कोई व्यक्ति "प्रगति" शब्द को सावधानी से मानता है, उच्च गणित के वर्गों से एक बहुत ही जटिल शब्द के रूप में। इस बीच, सबसे सरल अंकगणितीय प्रगति टैक्सी काउंटर (जहां वे अभी भी बनी हुई है) का काम है। और सार प्राप्त करें (और गणित में "जिस्ट प्राप्त करने" से अधिक महत्वपूर्ण कुछ नहीं है) अंकगणित क्रमकुछ बुनियादी अवधारणाओं को समझने के बाद यह इतना कठिन नहीं है।

गणितीय संख्या अनुक्रम

संख्यात्मक अनुक्रम को संख्याओं की एक श्रृंखला कहने की प्रथा है, जिनमें से प्रत्येक की अपनी संख्या होती है।

और 1 अनुक्रम का पहला सदस्य है;

और 2 अनुक्रम का दूसरा सदस्य है;

और 7 अनुक्रम का सातवां सदस्य है;

और n अनुक्रम का nवाँ सदस्य है;

हालांकि, आंकड़ों और संख्याओं का कोई भी मनमाना सेट हमें रूचि नहीं देता है। हम अपना ध्यान एक संख्यात्मक अनुक्रम पर केंद्रित करेंगे जिसमें n-वें सदस्य का मान एक निर्भरता द्वारा इसकी क्रमिक संख्या से संबंधित होता है जिसे गणितीय रूप से स्पष्ट रूप से तैयार किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में: nवें नंबर का संख्यात्मक मान n का कुछ कार्य है।

ए - संख्यात्मक अनुक्रम के सदस्य का मूल्य;

n इसका क्रमांक है;

f(n) एक फ़ंक्शन है जहां संख्यात्मक अनुक्रम n में क्रमसूचक तर्क है।

परिभाषा

एक अंकगणितीय प्रगति को आमतौर पर एक संख्यात्मक अनुक्रम कहा जाता है जिसमें प्रत्येक बाद का पद पिछले एक की तुलना में उसी संख्या से अधिक (कम) होता है। अंकगणितीय अनुक्रम के nवें सदस्य का सूत्र इस प्रकार है:

ए एन - अंकगणितीय प्रगति के वर्तमान सदस्य का मूल्य;

a n+1 - अगली संख्या का सूत्र;

डी - अंतर (एक निश्चित संख्या)।

यह निर्धारित करना आसान है कि यदि अंतर धनात्मक (d>0) है, तो विचाराधीन श्रृंखला का प्रत्येक अनुवर्ती सदस्य पिछले वाले से बड़ा होगा, और ऐसी अंकगणितीय प्रगति बढ़ती जाएगी।

नीचे दिए गए ग्राफ में, यह देखना आसान है कि संख्या अनुक्रम को "वृद्धि" क्यों कहा जाता है।

ऐसे मामलों में जहां अंतर ऋणात्मक है (डी<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

निर्दिष्ट सदस्य का मूल्य

कभी-कभी किसी अंकगणितीय श्रेणी के किसी मनमाना पद a n का मान निर्धारित करना आवश्यक होता है। आप अंकगणितीय प्रगति के सभी सदस्यों के मूल्यों की क्रमिक गणना करके पहले से वांछित तक ऐसा कर सकते हैं। हालाँकि, यह तरीका हमेशा स्वीकार्य नहीं होता है, उदाहरण के लिए, पाँच हज़ारवें या आठ मिलियनवें पद का मान ज्ञात करना आवश्यक है। पारंपरिक गणना में लंबा समय लगेगा। हालांकि, कुछ सूत्रों का उपयोग करके एक विशिष्ट अंकगणितीय प्रगति की जांच की जा सकती है। nवें पद के लिए एक सूत्र भी है: अंकगणितीय प्रगति के किसी भी सदस्य के मूल्य को प्रगति के अंतर के साथ प्रगति के पहले सदस्य के योग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, वांछित सदस्य की संख्या से गुणा किया जा सकता है, घटा एक .

प्रगति को बढ़ाने और घटाने के लिए सूत्र सार्वभौमिक है।

किसी दिए गए सदस्य के मूल्य की गणना करने का एक उदाहरण

आइए एक समान्तर श्रेणी के n-वें सदस्य का मान ज्ञात करने की निम्नलिखित समस्या को हल करें।

शर्त: मापदंडों के साथ एक अंकगणितीय प्रगति है:

अनुक्रम का पहला सदस्य 3 है;

संख्या श्रृंखला में अंतर 1.2 है।

कार्य: 214 पदों का मान ज्ञात करना आवश्यक है

हल: किसी दिए गए सदस्य का मान निर्धारित करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

ए (एन) = ए 1 + डी (एन -1)

समस्या कथन से डेटा को व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है:

ए (214) = ए 1 + डी (एन -1)

ए(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

उत्तर: अनुक्रम का 214वां सदस्य 258.6 के बराबर है।

इस गणना पद्धति के फायदे स्पष्ट हैं - संपूर्ण समाधान 2 पंक्तियों से अधिक नहीं लेता है।

सदस्यों की दी गई संख्या का योग

बहुत बार, किसी दी गई अंकगणितीय श्रृंखला में, इसके कुछ खंडों के मूल्यों का योग निर्धारित करना आवश्यक होता है। इसे प्रत्येक पद के मूल्यों की गणना करने और फिर उन्हें योग करने की भी आवश्यकता नहीं है। यह विधि तब लागू होती है जब उन पदों की संख्या जिनका योग ज्ञात किया जाना चाहिए, कम है। अन्य मामलों में, निम्न सूत्र का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है।

1 से n तक समांतर श्रेणी के सदस्यों का योग पहले और nवें सदस्यों के योग के बराबर होता है, जिसे सदस्य संख्या n से गुणा किया जाता है और दो से विभाजित किया जाता है। यदि सूत्र में n-वें सदस्य के मान को लेख के पिछले पैराग्राफ से व्यंजक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो हम प्राप्त करते हैं:

गणना उदाहरण

उदाहरण के लिए, आइए निम्नलिखित शर्तों के साथ किसी समस्या को हल करें:

अनुक्रम का पहला पद शून्य है;

अंतर 0.5 है।

समस्या में, श्रृंखला के पदों का योग 56 से 101 तक निर्धारित करना आवश्यक है।

समाधान। आइए प्रगति के योग को निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

सबसे पहले, हम अपनी समस्या की दी गई शर्तों को सूत्र में प्रतिस्थापित करके प्रगति के 101 सदस्यों के मूल्यों का योग निर्धारित करते हैं:

एस 101 = (2∙0 + 0.5∙ (101-1))∙101/2 = 2 525

जाहिर है, 56 वें से 101 वें तक की प्रगति की शर्तों का योग जानने के लिए, एस 55 को एस 101 से घटाना आवश्यक है।

एस 55 = (2∙0 + 0.5∙ (55-1))∙55/2 = 742.5

तो इस उदाहरण के लिए अंकगणितीय प्रगति का योग है:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5

अंकगणितीय प्रगति के व्यावहारिक अनुप्रयोग का उदाहरण

लेख के अंत में, आइए पहले पैराग्राफ में दिए गए अंकगणितीय अनुक्रम के उदाहरण पर लौटते हैं - एक टैक्सीमीटर (टैक्सी कार मीटर)। आइए एक ऐसे उदाहरण पर विचार करें।

एक टैक्सी (जिसमें 3 किमी शामिल है) में जाने पर 50 रूबल का खर्च आता है। प्रत्येक बाद के किलोमीटर का भुगतान 22 रूबल / किमी की दर से किया जाता है। यात्रा दूरी 30 किमी. यात्रा की लागत की गणना करें।

1. आइए पहले 3 किमी को छोड़ दें, जिसकी कीमत लैंडिंग लागत में शामिल है।

30 - 3 = 27 किमी।

2. आगे की गणना अंकगणितीय संख्या श्रृंखला को पार्स करने से ज्यादा कुछ नहीं है।

सदस्य संख्या यात्रा की गई किलोमीटर की संख्या है (पहले तीन घटाकर)।

सदस्य का मूल्य योग है।

इस समस्या में पहला पद 1 = 50 रूबल के बराबर होगा।

प्रगति अंतर डी = 22 पी।

हमारे लिए ब्याज की संख्या - अंकगणितीय प्रगति के (27 + 1)वें सदस्य का मान - 27वें किलोमीटर के अंत में मीटर रीडिंग - 27.999 ... = 28 किमी।

ए 28 \u003d 50 + 22 (28 - 1) \u003d 644

मनमाने ढंग से लंबी अवधि के लिए कैलेंडर डेटा की गणना कुछ संख्यात्मक अनुक्रमों का वर्णन करने वाले सूत्रों पर आधारित होती है। खगोल विज्ञान में, कक्षा की लंबाई ज्यामितीय रूप से खगोलीय पिंड से तारे की दूरी पर निर्भर करती है। इसके अलावा, सांख्यिकी और गणित की अन्य अनुप्रयुक्त शाखाओं में विभिन्न संख्यात्मक श्रृंखलाओं का सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है।

एक अन्य प्रकार का संख्या क्रम ज्यामितीय है

एक ज्यामितीय प्रगति को अंकगणित की तुलना में परिवर्तन की उच्च दर की विशेषता है। यह कोई संयोग नहीं है कि राजनीति, समाजशास्त्र, चिकित्सा में, अक्सर, किसी विशेष घटना के प्रसार की उच्च गति दिखाने के लिए, उदाहरण के लिए, एक महामारी के दौरान एक बीमारी, वे कहते हैं कि प्रक्रिया तेजी से विकसित होती है।

ज्यामितीय संख्या श्रृंखला का एन-वें सदस्य पिछले एक से भिन्न होता है जिसमें इसे कुछ स्थिर संख्या से गुणा किया जाता है - हर, उदाहरण के लिए, पहला सदस्य 1 है, क्रमशः 2 है, फिर:

n=1: 1 2 = 2

एन = 2: 2 2 = 4

एन = 3: 4 2 = 8

एन = 4: 8 2 = 16

एन = 5: 16 ∙ 2 = 32,

बी एन - ज्यामितीय प्रगति के वर्तमान सदस्य का मूल्य;

बी एन+1 - ज्यामितीय प्रगति के अगले सदस्य का सूत्र;

q एक ज्यामितीय प्रगति (स्थिर संख्या) का हर है।

यदि एक अंकगणितीय प्रगति का ग्राफ एक सीधी रेखा है, तो ज्यामितीय एक थोड़ा अलग चित्र बनाता है:

जैसा कि अंकगणित के मामले में, एक ज्यामितीय प्रगति में एक मनमाना सदस्य के मूल्य के लिए एक सूत्र होता है। ज्यामितीय प्रगति का कोई भी nवाँ पद पहले पद के गुणनफल के बराबर होता है और n की घात की प्रगति का हर एक से घटाया जाता है:

उदाहरण। हमारे पास एक ज्यामितीय प्रगति है जिसका पहला पद 3 के बराबर है और प्रगति का हर 1.5 के बराबर है। प्रगति का पाँचवाँ पद ज्ञात कीजिए

बी 5 \u003d बी 1 क्यू (5-1) \u003d 3 1.5 4 \u003d 15.1875

सदस्यों की दी गई संख्या के योग की गणना भी एक विशेष सूत्र का उपयोग करके की जाती है। एक ज्यामितीय प्रगति के पहले n सदस्यों का योग प्रगति के nवें सदस्य के गुणनफल और उसके हर और प्रगति के पहले सदस्य के बीच के अंतर के बराबर है, जिसे हर से विभाजित करके एक से घटाया जाता है:

यदि ऊपर चर्चा किए गए सूत्र का उपयोग करके b n को प्रतिस्थापित किया जाता है, तो मानी गई संख्या श्रृंखला के पहले n सदस्यों के योग का मान रूप लेगा:

उदाहरण। ज्यामितीय प्रगति 1 के बराबर पहले पद से शुरू होती है। हर को 3 के बराबर सेट किया जाता है। आइए पहले आठ पदों का योग ज्ञात करें।

s8 = 1 (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

यदि प्रत्येक प्राकृत संख्या एन एक वास्तविक संख्या का मिलान करें एक , तो वे कहते हैं कि दिया गया संख्या क्रम :

एक 1 , एक 2 , एक 3 , . . . , एक , . . . .

तो, संख्यात्मक अनुक्रम प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है।

संख्या एक 1 बुलाया अनुक्रम का पहला सदस्य , संख्या एक 2 — अनुक्रम का दूसरा सदस्य , संख्या एक 3 — तीसरा और इसी तरह। संख्या एक बुलाया नौवां सदस्यदृश्यों , और प्राकृतिक संख्या एन — उसका नंबर .

दो पड़ोसी सदस्यों से एक तथा एक +1 सदस्य क्रम एक +1 बुलाया बाद का (की ओर एक ), एक एक — पिछला (की ओर एक +1 ).

एक अनुक्रम निर्दिष्ट करने के लिए, आपको एक विधि निर्दिष्ट करनी होगी जो आपको किसी भी संख्या के साथ अनुक्रम सदस्य को खोजने की अनुमति देती है।

अक्सर अनुक्रम के साथ दिया जाता है nth टर्म फॉर्मूला , अर्थात्, एक सूत्र जो आपको अनुक्रम सदस्य को उसकी संख्या से निर्धारित करने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए,

धनात्मक विषम संख्याओं का क्रम सूत्र द्वारा दिया जा सकता है

एक= 2एन- 1,

और प्रत्यावर्तन का क्रम 1 तथा -1 - सूत्र

बीएन = (-1)एन +1 . ◄

अनुक्रम निर्धारित किया जा सकता है आवर्तक सूत्र, अर्थात्, एक सूत्र जो अनुक्रम के किसी भी सदस्य को, कुछ से शुरू करके, पिछले (एक या अधिक) सदस्यों के माध्यम से व्यक्त करता है।

उदाहरण के लिए,

यदि एक 1 = 1 , एक एक +1 = एक + 5

एक 1 = 1,

एक 2 = एक 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

एक 3 = एक 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

एक 4 = एक 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

एक 5 = एक 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

यदि एक एक 1= 1, एक 2 = 1, एक +2 = एक + एक +1 , तो संख्यात्मक अनुक्रम के पहले सात सदस्यों को निम्नानुसार सेट किया जाता है:

एक 1 = 1,

एक 2 = 1,

एक 3 = एक 1 + एक 2 = 1 + 1 = 2,

एक 4 = एक 2 + एक 3 = 1 + 2 = 3,

एक 5 = एक 3 + एक 4 = 2 + 3 = 5,

एक 6 = एक 4 + एक 5 = 3 + 5 = 8,

एक 7 = एक 5 + एक 6 = 5 + 8 = 13. ◄

अनुक्रम हो सकते हैं अंतिम तथा अनंत .

अनुक्रम कहा जाता है परम यदि उसके सदस्यों की सीमित संख्या है। अनुक्रम कहा जाता है अनंत यदि इसमें अपरिमित रूप से कई सदस्य हैं।

उदाहरण के लिए,

दो अंकों का क्रम प्राकृतिक संख्या:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

अंतिम।

प्राइम नंबर अनुक्रम:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

अनंत। ◄

अनुक्रम कहा जाता है की बढ़ती , यदि इसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक से बड़ा है।

अनुक्रम कहा जाता है घट , यदि इसके प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक से कम है।

उदाहरण के लिए,

2, 4, 6, 8, . . . , 2एन, . . . एक आरोही क्रम है;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /एन, . . . अवरोही क्रम है। ◄

एक अनुक्रम जिसके तत्व बढ़ती संख्या के साथ कम नहीं होते हैं, या, इसके विपरीत, नहीं बढ़ते हैं, कहलाते हैं नीरस अनुक्रम .

मोनोटोनिक अनुक्रम, विशेष रूप से, बढ़ते क्रम और घटते क्रम हैं।

अंकगणितीय प्रगति

अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम कहा जाता है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, जिसमें समान संख्या जोड़ी जाती है।

एक 1 , एक 2 , एक 3 , . . . , एक, . . .

एक समांतर श्रेणी है यदि किसी प्राकृत संख्या के लिए एन शर्त पूरी होती है:

एक +1 = एक + डी,

कहाँ पे डी - कुछ संख्या।

इस प्रकार, दी गई अंकगणितीय प्रगति के अगले और पिछले सदस्यों के बीच का अंतर हमेशा स्थिर रहता है:

एक 2 - एक 1 = एक 3 - एक 2 = . . . = एक +1 - एक = डी.

संख्या डी बुलाया एक अंकगणितीय प्रगति का अंतर.

एक अंकगणितीय प्रगति निर्धारित करने के लिए, इसका पहला पद और अंतर निर्दिष्ट करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

यदि एक 1 = 3, डी = 4 , तो अनुक्रम के पहले पाँच पद इस प्रकार पाए जाते हैं:

एक 1 =3,

एक 2 = एक 1 + डी = 3 + 4 = 7,

एक 3 = एक 2 + डी= 7 + 4 = 11,

एक 4 = एक 3 + डी= 11 + 4 = 15,

एक 5 = एक 4 + डी= 15 + 4 = 19. ◄

पहले पद के साथ एक अंकगणितीय प्रगति के लिए एक 1 और अंतर डी उसकी एन

एक = एक 1 + (एन- 1)डी।

उदाहरण के लिए,

एक अंकगणितीय प्रगति का तीसवां पद ज्ञात कीजिए

1, 4, 7, 10, . . .

एक 1 =1, डी = 3,

एक 30 = एक 1 + (30 - 1)डी = 1 + 29· 3 = 88. ◄

एक एन-1 = एक 1 + (एन- 2)डी,

एक= एक 1 + (एन- 1)डी,

एक +1 = एक 1 + रा,

तो जाहिर है

अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले और बाद के सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

संख्या ए, बी और सी कुछ अंकगणितीय प्रगति के लगातार सदस्य हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक अन्य दो के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

उदाहरण के लिए,

एक = 2एन- 7 , एक अंकगणितीय प्रगति है।

आइए ऊपर दिए गए कथन का उपयोग करें। हमारे पास है:

एक = 2एन- 7,

एक एन-1 = 2(एन- 1) - 7 = 2एन- 9,

एक एन+1 = 2(एन+ 1) - 7 = 2एन- 5.

फलस्वरूप,

◄

ध्यान दें कि एन -एक अंकगणितीय प्रगति का सदस्य न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है एक 1 , लेकिन यह भी कोई पिछला एक को

एक = एक को + (एन- क)डी.

उदाहरण के लिए,

के लिये एक 5 लिखा जा सकता है

एक 5 = एक 1 + 4डी,

एक 5 = एक 2 + 3डी,

एक 5 = एक 3 + 2डी,

एक 5 = एक 4 + डी. ◄

एक = एक एन-को + केडी,

एक = एक एन+के - केडी,

तो जाहिर है

अंकगणितीय प्रगति का कोई भी सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, इस अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग के आधे के बराबर होता है, जो इससे समान दूरी पर होता है।

इसके अलावा, किसी भी अंकगणितीय प्रगति के लिए, समानता सत्य है:

ए एम + ए एन = ए के + ए एल,

एम + एन = के + एल।

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में

1) एक 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (एक 9 + एक 11 )/2;

2) 28 = एक 10 = एक 3 + 7डी= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) एक 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ए 7 + ए 13)/2;

4) ए 2 + ए 12 = ए 5 + ए 9, इसलिये

ए 2 + ए 12= 4 + 34 = 38,

ए 5 + ए 9 = 13 + 25 = 38. ◄

एस नहीं= ए 1 + ए 2 + ए 3 +। . .+ एक,

पहला एन एक अंकगणितीय प्रगति के सदस्य, पदों की संख्या के चरम पदों के योग के आधे के गुणनफल के बराबर होते हैं:

इससे, विशेष रूप से, यह इस प्रकार है कि यदि शर्तों को जोड़ना आवश्यक है

एक को, एक को +1 , . . . , एक,

तब पिछला सूत्र अपनी संरचना को बरकरार रखता है:

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

एस 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = एस 10 - एस 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

यदि एक समान्तर श्रेणी दी गई है, तो मात्राएँ एक 1 , एक, डी, एनतथाएस एन दो सूत्रों से जुड़ा हुआ है:

इसलिए, यदि इनमें से तीन राशियों के मान दिए गए हैं, तो अन्य दो राशियों के संगत मान इन सूत्रों से दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में संयुक्त रूप से निर्धारित किए जाते हैं।

एक अंकगणितीय प्रगति एक मोनोटोनिक अनुक्रम है। जिसमें:

• यदि डी > 0 , तो यह बढ़ रहा है;
• यदि डी < 0 , तो यह घट रहा है;
• यदि डी = 0 , तो अनुक्रम स्थिर होगा।

ज्यामितीय अनुक्रम

ज्यामितीय अनुक्रम एक अनुक्रम कहा जाता है, जिसमें से प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, उसी संख्या से गुणा किया जाता है।

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . , बी नहीं, . . .

एक ज्यामितीय प्रगति है यदि किसी प्राकृतिक संख्या के लिए एन शर्त पूरी होती है:

बी नहीं +1 = बी नहीं · क्यू,

कहाँ पे क्यू ≠ 0 - कुछ संख्या।

इस प्रकार, इस ज्यामितीय प्रगति के अगले पद का पिछले एक से अनुपात एक स्थिर संख्या है:

बी 2 / बी 1 = बी 3 / बी 2 = . . . = बी नहीं +1 / बी नहीं = क्यू.

संख्या क्यू बुलाया एक ज्यामितीय प्रगति का भाजक.

एक ज्यामितीय प्रगति निर्धारित करने के लिए, इसके पहले पद और हर को निर्दिष्ट करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

यदि बी 1 = 1, क्यू = -3 , तो अनुक्रम के पहले पाँच पद इस प्रकार पाए जाते हैं:

ख 1 = 1,

बी 2 = ख 1 · क्यू = 1 · (-3) = -3,

ख 3 = बी 2 · क्यू= -3 · (-3) = 9,

बी 4 = ख 3 · क्यू= 9 · (-3) = -27,

बी 5 = बी 4 · क्यू= -27 · (-3) = 81. ◄

बी 1 और हर क्यू उसकी एन -वाँ पद सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

बी नहीं = बी 1 · क्यू नहीं -1 .

उदाहरण के लिए,

एक गुणोत्तर श्रेणी का सातवाँ पद ज्ञात कीजिए 1, 2, 4, . . .

बी 1 = 1, क्यू = 2,

बी 7 = बी 1 · क्यू 6 = 1 2 6 = 64. ◄

बटालियन -1 = ख 1 · क्यू नहीं -2 ,

बी नहीं = ख 1 · क्यू नहीं -1 ,

बी नहीं +1 = बी 1 · क्यू नहीं,

तो जाहिर है

बी नहीं 2 = बी नहीं -1 · बी नहीं +1 ,

ज्यामितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले और बाद के सदस्यों के ज्यामितीय माध्य (आनुपातिक) के बराबर होता है।

चूँकि विलोम भी सत्य है, निम्नलिखित अभिकथन मानता है:

संख्याएँ a, b और c कुछ ज्यामितीय प्रगति के क्रमागत सदस्य हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक का वर्ग अन्य दो के गुणनफल के बराबर है, अर्थात संख्याओं में से एक अन्य दो का ज्यामितीय माध्य है।

उदाहरण के लिए,

आइए हम सिद्ध करें कि सूत्र द्वारा दिया गया क्रम बी नहीं= -3 2 एन , एक ज्यामितीय प्रगति है। आइए ऊपर दिए गए कथन का उपयोग करें। हमारे पास है:

बी नहीं= -3 2 एन,

बी नहीं -1 = -3 2 एन -1 ,

बी नहीं +1 = -3 2 एन +1 .

फलस्वरूप,

बी नहीं 2 = (-3 2 एन) 2 = (-3 2 एन -1 ) (-3 2 एन +1 ) = बी नहीं -1 · बी नहीं +1 ,

जो आवश्यक अभिकथन को सिद्ध करता है। ◄

ध्यान दें कि एन एक ज्यामितीय प्रगति का वां पद न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है बी 1 , लेकिन यह भी कोई पिछला पद बी के , जिसके लिए सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है

बी नहीं = बी के · क्यू नहीं - क.

उदाहरण के लिए,

के लिये बी 5 लिखा जा सकता है

ख 5 = ख 1 · क्यू 4 ,

ख 5 = बी 2 · क्यू 3,

ख 5 = ख 3 · क्यू2,

ख 5 = बी 4 · क्यू. ◄

बी नहीं = बी के · क्यू नहीं - क,

बी नहीं = बी नहीं - क · क्यू के,

तो जाहिर है

बी नहीं 2 = बी नहीं - क· बी नहीं + क

एक ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य का वर्ग, दूसरे से शुरू होकर, इस प्रगति के सदस्यों के उत्पाद के बराबर होता है।

इसके अलावा, किसी भी ज्यामितीय प्रगति के लिए, समानता सत्य है:

बी एम· बी नहीं= बी के· बी एल,

एम+ एन= क+ मैं.

उदाहरण के लिए,

तेजी से

1) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = बी 5 · बी 7 ;

2) 1024 = बी 11 = बी 6 · क्यू 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = बी 4 · बी 8 ;

4) बी 2 · बी 7 = बी 4 · बी 5 , इसलिये

बी 2 · बी 7 = 2 · 64 = 128,

बी 4 · बी 5 = 8 · 16 = 128. ◄

एस नहीं= बी 1 + बी 2 + बी 3 + . . . + बी नहीं

पहला एन एक हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्य क्यू ≠ 0 सूत्र द्वारा गणना:

और जब क्यू = 1 - सूत्र के अनुसार

एस नहीं= एन.बी. 1

ध्यान दें कि यदि हमें शर्तों का योग करना है

बी के, बी के +1 , . . . , बी नहीं,

तब सूत्र का उपयोग किया जाता है:

उदाहरण के लिए,

तेजी से 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

एस 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = एस 10 - एस 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

यदि एक ज्यामितीय प्रगति दी जाती है, तो मात्राएँ बी 1 , बी नहीं, क्यू, एनतथा एस नहीं दो सूत्रों से जुड़ा हुआ है:

इसलिए, यदि इनमें से किन्हीं तीन राशियों के मान दिए गए हैं, तो अन्य दो राशियों के संगत मान इन सूत्रों से दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में संयुक्त रूप से निर्धारित किए जाते हैं।

पहले पद के साथ एक ज्यामितीय प्रगति के लिए बी 1 और हर क्यू निम्नलिखित होता है एकरसता गुण :

• यदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति बढ़ रही है:

बी 1 > 0 तथा क्यू> 1;

बी 1 < 0 तथा 0 < क्यू< 1;

• यदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति घट रही है:

बी 1 > 0 तथा 0 < क्यू< 1;

बी 1 < 0 तथा क्यू> 1.

यदि एक क्यू< 0 , तो ज्यामितीय प्रगति साइन-अल्टरनेटिंग है: इसके विषम-संख्या वाले शब्दों का चिन्ह इसके पहले पद के समान होता है, और सम-संख्या वाले शब्दों का विपरीत चिन्ह होता है। यह स्पष्ट है कि एक वैकल्पिक ज्यामितीय प्रगति मोनोटोनिक नहीं है।

पहले का उत्पाद एन एक ज्यामितीय प्रगति की शर्तों की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

पी न= ख 1 · बी 2 · ख 3 · . . . · बी नहीं = (ख 1 · बी नहीं) एन / 2 .

उदाहरण के लिए,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति एक अनंत ज्यामितीय प्रगति कहलाती है जिसका हर मापांक . से कम है 1 , वह है

|क्यू| < 1 .

ध्यान दें कि एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति घटती क्रम नहीं हो सकती है। यह मामला फिट बैठता है

1 < क्यू< 0 .

ऐसे हर के साथ, अनुक्रम संकेत-वैकल्पिक है। उदाहरण के लिए,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग उस संख्या का नाम बताइए जिसमें पहले का योग हो एन संख्या में असीमित वृद्धि के साथ प्रगति की शर्तें एन . यह संख्या हमेशा परिमित होती है और सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है

उदाहरण के लिए,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति के बीच संबंध

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति निकट से संबंधित हैं। आइए केवल दो उदाहरणों पर विचार करें।

एक 1 , एक 2 , एक 3 , . . . डी , फिर

बी ० ए 1 , बी ० ए 2 , बी ० ए 3 , . . . बी डी .

उदाहरण के लिए,

1, 3, 5, . . . — अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति 2 तथा

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है 7 2 . ◄

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है क्यू , फिर

लॉग ए बी 1, लॉग ए बी 2, लॉग ए बी 3, . . . — अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति लॉग एक्यू .

उदाहरण के लिए,

2, 12, 72, . . . हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है 6 तथा

एलजी 2, एलजी 12, एलजी 72, . . . — अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति एलजी 6 . ◄

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अंकगणितीय प्रगति

एक अंकगणितीय प्रगति एक विशेष प्रकार का अनुक्रम है। इसलिए, अंकगणित (और फिर ज्यामितीय) प्रगति को परिभाषित करने से पहले, हमें संक्षेप में चर्चा करने की आवश्यकता है महत्वपूर्ण अवधारणासंख्या क्रम।

परिणाम को

स्क्रीन पर एक ऐसे उपकरण की कल्पना करें जिसके कुछ नंबर एक के बाद एक प्रदर्शित होते हैं। मान लीजिए 2; 7; 13; एक; 6; 0; 3; : : : संख्याओं का ऐसा समुच्चय एक अनुक्रम का एक उदाहरण मात्र है।

परिभाषा। एक संख्यात्मक अनुक्रम संख्याओं का एक समूह है जिसमें प्रत्येक संख्या को एक अद्वितीय संख्या दी जा सकती है (अर्थात, एक प्राकृतिक संख्या के साथ पत्राचार में रखा जाता है) 1। संख्या n वाली संख्या को अनुक्रम का nवाँ सदस्य कहा जाता है।

तो, उपरोक्त उदाहरण में, पहली संख्या में संख्या 2 है, जो अनुक्रम का पहला सदस्य है, जिसे a1 द्वारा दर्शाया जा सकता है; संख्या पाँच में संख्या 6 है जो अनुक्रम का पाँचवाँ सदस्य है, जिसे a5 निरूपित किया जा सकता है। सामान्यतया, नौवां पदअनुक्रमों को a (या bn , cn , आदि) द्वारा निरूपित किया जाता है।

एक बहुत ही सुविधाजनक स्थिति तब होती है जब अनुक्रम के nवें सदस्य को किसी सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र a = 2n 3 अनुक्रम निर्दिष्ट करता है: 1; एक; 3; 5; 7; : : : सूत्र a = (1)n अनुक्रम को परिभाषित करता है: 1; एक; एक; एक; : : :

संख्याओं का प्रत्येक समुच्चय एक क्रम नहीं है। तो, एक खंड एक अनुक्रम नहीं है; इसमें "बहुत अधिक" संख्याएँ हैं जिन्हें फिर से क्रमांकित किया जाना है। सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R भी अनुक्रम नहीं है। ये तथ्य गणितीय विश्लेषण के दौरान सिद्ध होते हैं।

अंकगणितीय प्रगति: बुनियादी परिभाषाएँ

अब हम एक अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित करने के लिए तैयार हैं।

परिभाषा। एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक पद (दूसरे से शुरू होता है) पिछले पद और कुछ निश्चित संख्या के योग के बराबर होता है (जिसे अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है)।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम 2; 5; आठ; ग्यारह; : : एक समांतर श्रेणी है जिसका पहला पद 2 और अंतर 3 है। अनुक्रम 7; 2; 3; आठ; : : एक समांतर श्रेणी है जिसका पहला पद 7 और अंतर 5 है। अनुक्रम 3; 3; 3; : : शून्य अंतर वाली एक समांतर श्रेणी है।

समतुल्य परिभाषा: एक अनुक्रम a को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है यदि अंतर a+1 a एक स्थिरांक है (n पर निर्भर नहीं)।

एक अंकगणितीय प्रगति को बढ़ती हुई कहा जाता है यदि इसका अंतर सकारात्मक है, और यदि इसका अंतर ऋणात्मक है तो घट रहा है।

1 और यहां एक अधिक संक्षिप्त परिभाषा है: अनुक्रम प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर परिभाषित एक फ़ंक्शन है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं का क्रम फलन f: N! आर।

डिफ़ॉल्ट रूप से, अनुक्रमों को अनंत माना जाता है, यानी अनंत संख्या में संख्याएं होती हैं। लेकिन कोई भी सीमित दृश्यों पर भी विचार करने की जहमत नहीं उठाता; वास्तव में, संख्याओं के किसी भी परिमित समुच्चय को परिमित अनुक्रम कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, अंतिम अनुक्रम 1; 2; 3; चार; 5 में पाँच संख्याएँ होती हैं।

समांतर श्रेणी के nवें सदस्य का सूत्र

यह समझना आसान है कि एक अंकगणितीय प्रगति पूरी तरह से दो संख्याओं से निर्धारित होती है: पहला पद और अंतर। इसलिए, प्रश्न उठता है: कैसे, पहले पद और अंतर को जानने के लिए, एक अंकगणितीय प्रगति का एक मनमाना शब्द खोजने के लिए?

एक समान्तर श्रेणी के nवें पद के लिए वांछित सूत्र प्राप्त करना कठिन नहीं है। चलो एक

कार्य 1. अंकगणितीय प्रगति में 2; 5; आठ; ग्यारह; : : nवें पद का सूत्र ज्ञात कीजिए और सौवाँ पद परिकलित कीजिए।

समाधान। सूत्र (1) के अनुसार हमारे पास है:

एक = 2 ​​+ 3 (एन 1) = 3 एन 1:

ए 100 = 3 100 1 = 299:

गुण और अंकगणितीय प्रगति का चिह्न

एक अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति। अंकगणितीय प्रगति में a किसी के लिए

दूसरे शब्दों में, समांतर श्रेणी का प्रत्येक सदस्य (दूसरे से शुरू होकर) पड़ोसी सदस्यों का अंकगणितीय माध्य है।

जो आवश्यक था।

अधिक सामान्यतः, अंकगणितीय प्रगति समानता को संतुष्ट करती है

ए एन = ए एन के+ ए एन+के

किसी भी n > 2 और किसी भी प्राकृतिक k . के लिए< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

यह पता चला है कि सूत्र (2) न केवल एक आवश्यक बल्कि एक अनुक्रम के लिए एक अंकगणितीय प्रगति होने के लिए पर्याप्त शर्त भी है।

एक अंकगणितीय प्रगति का संकेत। यदि समानता (2) सभी n > 2 के लिए है, तो अनुक्रम a एक अंकगणितीय प्रगति है।

सबूत। आइए सूत्र (2) को इस प्रकार फिर से लिखें:

ए ना एन 1= ए एन+1ए एन:

इससे पता चलता है कि अंतर a+1 a n पर निर्भर नहीं करता है, और इसका सीधा सा मतलब है कि अनुक्रम a एक अंकगणितीय प्रगति है।

एक अंकगणितीय प्रगति के गुण और चिह्न को एक कथन के रूप में तैयार किया जा सकता है; सुविधा के लिए, हम इसे तीन नंबरों के लिए करेंगे (यही स्थिति है जो अक्सर समस्याओं में होती है)।

एक अंकगणितीय प्रगति की विशेषता। तीन संख्याएँ a, b, c एक समांतर श्रेणी बनाती हैं यदि और केवल यदि 2b = a + c हो।

समस्या 2. (मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी, अर्थशास्त्र संकाय, 2007) संकेतित क्रम में तीन संख्याएँ 8x, 3 x2 और 4 घटती हुई अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं। x ज्ञात कीजिए और इस प्रगति का अंतर लिखिए।

समाधान। अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति से, हमारे पास है:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; एक्स = 5:

यदि x = 1, तो 8, 2, 4 की घटती हुई प्रगति, 6 के अंतर से प्राप्त होती है। यदि x = 5 है, तो 40, 22, 4 की बढ़ती हुई प्रगति प्राप्त होती है; यह मामला काम नहीं करता है।

उत्तर: x = 1, अंतर 6 है।

अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग

किंवदंती कहती है कि एक बार शिक्षक ने बच्चों को 1 से 100 तक की संख्याओं का योग खोजने के लिए कहा और चुपचाप अखबार पढ़ने बैठ गए। हालांकि, कुछ ही मिनटों में एक लड़के ने कहा कि उसने समस्या का समाधान कर लिया है। यह 9 वर्षीय कार्ल फ्रेडरिक गॉस था, जो बाद में में से एक था महानतम गणितज्ञइतिहास में।

लिटिल गॉस का विचार यह था। होने देना

एस = 1 + 2 + 3 + : : : : +98 + 99 + 100:

आइए इस योग को उल्टे क्रम में लिखें:

एस = 100 + 99 + 98 + : : : : + 3 + 2 + 1;

और इन दो सूत्रों को जोड़ें:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) +:::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

कोष्ठक में प्रत्येक पद 101 के बराबर है, और ऐसे कुल 100 पद हैं। इसलिए

2S = 101 100 = 10100;

हम इस विचार का उपयोग योग सूत्र प्राप्त करने के लिए करते हैं

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n : (3)

सूत्र (3) का एक उपयोगी संशोधन nवें पद a = a1 + (n 1)d के लिए सूत्र को इसमें प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है:

टास्क 3. 13 से विभाज्य तीन अंकों की सभी सकारात्मक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान। 13 के तीन अंकों के गुणज पहले पद 104 और अंतर 13 के साथ एक समान्तर श्रेणी बनाते हैं; इस प्रगति का वां पद है:

एक = 104 + 13 (एन 1) = 91 + 13एन:

आइए जानें कि हमारी प्रगति में कितने सदस्य हैं। ऐसा करने के लिए, हम असमानता को हल करते हैं:

एक 6999; 91 + 13एन 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; एन 6 69:

तो हमारी प्रगति में 69 सदस्य हैं। सूत्र (4) के अनुसार हम आवश्यक राशि पाते हैं:

एस = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

अंकगणितीय प्रगति की समस्याएं प्राचीन काल से मौजूद हैं। वे प्रकट हुए और समाधान की मांग की, क्योंकि उन्हें व्यावहारिक आवश्यकता थी।

तो, पपीरी में से एक में प्राचीन मिस्र, जिसमें गणितीय सामग्री है, रिंद पेपिरस (XIX सदी ईसा पूर्व) में निम्नलिखित कार्य शामिल हैं: दस लोगों में रोटी के दस उपाय विभाजित करें, बशर्ते कि उनमें से प्रत्येक के बीच का अंतर एक माप का आठवां हो।

और प्राचीन यूनानियों के गणितीय कार्यों में अंकगणितीय प्रगति से संबंधित सुरुचिपूर्ण प्रमेय हैं। तो, अलेक्जेंड्रिया के हाइप्सिकल्स (दूसरी शताब्दी, जिन्होंने कई दिलचस्प समस्याओं को संकलित किया और यूक्लिड के "सिद्धांतों" में चौदहवीं पुस्तक को जोड़ा, ने इस विचार को तैयार किया: "एक अंकगणितीय प्रगति में जिसने सम संख्यासदस्यों के लिए, दूसरे भाग के सदस्यों का योग 1 के सदस्यों के योग से सदस्यों की संख्या के वर्ग 1/2 से अधिक है।

अनुक्रम a को निरूपित किया जाता है। अनुक्रम की संख्याओं को इसके सदस्य कहा जाता है और आमतौर पर इस सदस्य की क्रम संख्या को इंगित करने वाले सूचकांकों के साथ अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है (ए 1, ए 2, ए 3 ... यह पढ़ता है: "ए 1", "ए 2", "ए तीसरा "और इसी तरह)।

अनुक्रम अनंत या परिमित हो सकता है।

एक अंकगणितीय प्रगति क्या है? इसे उसी संख्या d के साथ पिछले पद (n) को जोड़ने पर प्राप्त के रूप में समझा जाता है, जो कि प्रगति का अंतर है।

अगर डी<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 है, तो ऐसी प्रगति बढ़ती हुई मानी जाती है।

एक अंकगणितीय प्रगति को परिमित कहा जाता है यदि इसके पहले शब्दों में से केवल कुछ को ही ध्यान में रखा जाए। बहुत के साथ बड़ी संख्या मेंसदस्य पहले से ही एक अनंत प्रगति है।

कोई भी अंकगणितीय प्रगति निम्न सूत्र द्वारा दी गई है:

a =kn+b, जबकि b और k कुछ संख्याएं हैं।

कथन, जो इसके विपरीत है, बिल्कुल सत्य है: यदि अनुक्रम एक समान सूत्र द्वारा दिया गया है, तो यह वास्तव में एक अंकगणितीय प्रगति है, जिसमें गुण हैं:

1. प्रगति का प्रत्येक सदस्य पिछले सदस्य और अगले सदस्य का अंकगणितीय माध्य है।
2. विपरीत: यदि, दूसरे से शुरू होकर, प्रत्येक पद पिछले पद और अगले का अंकगणितीय माध्य है, अर्थात। यदि शर्त पूरी होती है, तो दिया गया क्रम एक अंकगणितीय प्रगति है। यह समानता भी प्रगति का प्रतीक है, इसलिए इसे आमतौर पर प्रगति का एक विशिष्ट गुण कहा जाता है।
   इसी तरह, प्रमेय जो इस संपत्ति को दर्शाता है वह सत्य है: एक अनुक्रम एक अंकगणितीय प्रगति है, यदि यह समानता अनुक्रम के किसी भी सदस्य के लिए सत्य है, जो 2 से शुरू होती है।

समांतर श्रेणी की किन्हीं चार संख्याओं के लिए अभिलक्षणिक गुण सूत्र a + am = ak + al द्वारा व्यक्त किया जा सकता है यदि n + m = k + l (m, n, k प्रगति की संख्याएँ हैं)।

एक समान्तर श्रेणी में, निम्नलिखित सूत्र को लागू करके कोई भी आवश्यक (Nth) पद ज्ञात किया जा सकता है:

उदाहरण के लिए: एक अंकगणितीय प्रगति में पहला पद (a1) दिया गया है और तीन के बराबर है, और अंतर (d) चार के बराबर है। आपको इस प्रगति का पैंतालीसवाँ पद ज्ञात करना है। a45 = 1+4(45-1)=177

सूत्र a = ak + d(n - k) आपको किसी भी k-वें सदस्य के माध्यम से अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य को निर्धारित करने की अनुमति देता है, बशर्ते कि यह ज्ञात हो।

एक अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों का योग (अंतिम प्रगति के पहले n सदस्यों को मानते हुए) की गणना निम्नानुसार की जाती है:

एसएन = (ए 1 + एन) एन / 2।

यदि पहला पद भी ज्ञात है, तो गणना के लिए एक अन्य सूत्र सुविधाजनक है:

एसएन = ((2a1+d(n-1))/2)*n।

एक अंकगणितीय प्रगति का योग जिसमें n पद हैं, की गणना निम्नानुसार की जाती है:

गणना के लिए सूत्रों का चुनाव कार्यों की शर्तों और प्रारंभिक डेटा पर निर्भर करता है।

किसी भी संख्या की प्राकृतिक श्रृंखला जैसे 1,2,3,...,n,...- सबसे सरल उदाहरणअंकगणितीय प्रगति।

अंकगणितीय प्रगति के अलावा, एक ज्यामितीय भी है, जिसके अपने गुण और विशेषताएं हैं।

अंकगणितीय प्रगतिसंख्याओं के अनुक्रम को नाम दें (प्रगति के सदस्य)

जिसमें प्रत्येक अनुवर्ती पद पिछले एक से एक स्टील शब्द से भिन्न होता है, जिसे भी कहा जाता है कदम या प्रगति अंतर.

इस प्रकार, प्रगति का चरण और उसका पहला पद निर्धारित करके, आप सूत्र का उपयोग करके इसके किसी भी तत्व को पा सकते हैं

एक अंकगणितीय प्रगति के गुण

1) अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरी संख्या से शुरू होकर, प्रगति के पिछले और अगले सदस्य का अंकगणितीय माध्य है

इसका उलटा भी सच है। यदि प्रगति के पड़ोसी विषम (सम) सदस्यों का अंकगणितीय माध्य उनके बीच खड़े सदस्य के बराबर है, तो संख्याओं का यह क्रम एक अंकगणितीय प्रगति है। इस कथन से किसी भी क्रम की जाँच करना बहुत आसान है।

साथ ही अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति से, उपरोक्त सूत्र को निम्नलिखित के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है

यह सत्यापित करना आसान है कि क्या हम समान चिह्न के दायीं ओर के पदों को लिखते हैं

समस्याओं में गणना को सरल बनाने के लिए इसका उपयोग अक्सर अभ्यास में किया जाता है।

2) अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों के योग की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

अंकगणितीय प्रगति के योग के सूत्र को अच्छी तरह याद रखें, यह गणनाओं में अपरिहार्य है और साधारण जीवन स्थितियों में काफी सामान्य है।

3) यदि आपको संपूर्ण योग नहीं, बल्कि उसके k -वें सदस्य से शुरू होने वाले अनुक्रम का एक भाग खोजने की आवश्यकता है, तो निम्न योग सूत्र आपके काम आएगा

4) व्यावहारिक रुचि k-वें संख्या से शुरू होने वाली अंकगणितीय प्रगति के n सदस्यों का योग ज्ञात करना है। ऐसा करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें

यह वह जगह है जहां सैद्धांतिक सामग्री समाप्त होती है और हम व्यवहार में आम समस्याओं को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

उदाहरण 1. समांतर श्रेणी 4;7;... का चालीसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान:

शर्त के अनुसार, हमारे पास है

प्रगति चरण को परिभाषित करें

प्रसिद्ध सूत्र के अनुसार, हम प्रगति का चालीसवाँ पद पाते हैं

उदाहरण 2। अंकगणितीय प्रगति इसके तीसरे और सातवें सदस्यों द्वारा दी गई है। प्रगति का पहला पद और दस का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

हम दिए गए अनुक्रम के तत्वों को सूत्रों के अनुसार लिखते हैं

हम पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाते हैं, परिणामस्वरूप हम प्रगति चरण पाते हैं

अंकगणितीय प्रगति के पहले पद को खोजने के लिए पाया गया मान किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है

प्रगति के पहले दस पदों के योग की गणना करें

जटिल गणनाओं को लागू किए बिना, हमें सभी आवश्यक मान मिल गए।

उदाहरण 3. हर और उसके एक सदस्य द्वारा एक समांतर श्रेणी दी गई है। प्रगति का पहला पद, 50 से शुरू होने वाले इसके 50 पदों का योग और पहले 100 का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

आइए प्रगति के सौवें तत्व का सूत्र लिखें

और पहले खोजें

पहले के आधार पर, हम प्रगति का 50वाँ पद पाते हैं

प्रगति के भाग का योग ज्ञात करना

और पहले 100 . का योग

प्रगति का योग 250 है।

उदाहरण 4

एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों की संख्या ज्ञात कीजिए यदि:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

समाधान:

हम समीकरणों को पहले पद और प्रगति के चरण के रूप में लिखते हैं और उन्हें परिभाषित करते हैं

हम योग में सदस्यों की संख्या निर्धारित करने के लिए प्राप्त मूल्यों को योग सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं

सरलीकरण करना

और द्विघात समीकरण को हल करें

पाए गए दो मानों में से केवल संख्या 8 ही समस्या की स्थिति के लिए उपयुक्त है। इस प्रकार प्रगति के पहले आठ पदों का योग 111 है।

उदाहरण 5

प्रश्न हल करें

1+3+5+...+x=307.

हल: यह समीकरण एक समान्तर श्रेणी का योग है। हम इसका पहला पद लिखते हैं और प्रगति का अंतर पाते हैं