परिमेय संख्याएँ: परिभाषाएँ, उदाहरण। परिमेय संख्याओं की परिभाषा

यह लेख "परिमेय संख्या" विषय के अध्ययन के लिए समर्पित है। नीचे परिभाषाएं दी गई हैं परिमेय संख्याउदाहरण दिए गए हैं, और यह कैसे निर्धारित किया जाए कि कोई संख्या परिमेय है या नहीं।

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परिमेय संख्या। परिभाषाएं

परिमेय संख्याओं की परिभाषा देने से पहले, आइए याद करें कि संख्याओं के अन्य सेट क्या हैं और वे एक दूसरे से कैसे संबंधित हैं।

प्राकृत संख्याएँ, उनके विपरीत और शून्य संख्या के साथ मिलकर पूर्णांकों का एक समुच्चय बनाती हैं। बदले में, पूर्णांक भिन्नात्मक संख्याओं का समुच्चय परिमेय संख्याओं का समुच्चय बनाता है।

परिभाषा 1. परिमेय संख्याएं

परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें धनात्मक उभयनिष्ठ भिन्न a b, ऋणात्मक उभयनिष्ठ भिन्न a b या संख्या शून्य के रूप में दर्शाया जा सकता है।

इस प्रकार, हम परिमेय संख्याओं के कई गुण छोड़ सकते हैं:

1. कोई भी प्राकृत संख्या एक परिमेय संख्या होती है। स्पष्ट है कि प्रत्येक प्राकृत संख्या n को भिन्न 1 n के रूप में दर्शाया जा सकता है।
2. 0 सहित कोई भी पूर्णांक एक परिमेय संख्या है। वास्तव में, किसी भी धनात्मक पूर्णांक और ऋणात्मक पूर्णांक को क्रमशः धनात्मक या ऋणात्मक उभयनिष्ठ भिन्न के रूप में आसानी से दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 15 = 15 1 , - 352 = - 352 1 ।
3. कोई भी धनात्मक या ऋणात्मक उभयनिष्ठ भिन्न a b एक परिमेय संख्या होती है। यह उपरोक्त परिभाषा से सीधे अनुसरण करता है।
4. कोई मिश्रित संख्यातर्कसंगत है। दरअसल, आखिरकार, एक मिश्रित संख्या को एक साधारण अनुचित अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है।
5. किसी भी परिमित या आवधिक दशमलव अंश को एक सामान्य अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसलिए, प्रत्येक आवधिक या परिमित दशमलवएक परिमेय संख्या है।
6. अनंत और अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्याएँ नहीं हैं। इन्हें साधारण भिन्नों के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।

आइए हम परिमेय संख्याओं के उदाहरण दें। संख्याएँ 5 , 105 , 358 , 1100055 प्राकृत, धनात्मक और पूर्णांक हैं। आखिरकार, ये परिमेय संख्याएँ हैं। संख्याएँ - 2 , - 358 , - 936 ऋणात्मक पूर्णांक हैं, और वे परिभाषा के अनुसार परिमेय भी हैं। सार्व भिन्न 3 5 , 8 7 , - 35 8 भी परिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं।

परिमेय संख्याओं की उपरोक्त परिभाषा को अधिक संक्षिप्त रूप से तैयार किया जा सकता है। आइए फिर से इस प्रश्न का उत्तर दें कि परिमेय संख्या क्या है।

परिभाषा 2. परिमेय संख्याएं

परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें भिन्न ± z n के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ z एक पूर्णांक है, n एक प्राकृत संख्या है।

यह दिखाया जा सकता है कि यह परिभाषापरिमेय संख्याओं की पिछली परिभाषा के बराबर है। ऐसा करने के लिए, याद रखें कि भिन्न का दंड भाग चिह्न के समान होता है। पूर्णांकों के विभाजन के नियमों और गुणों को ध्यान में रखते हुए, हम निम्नलिखित निष्पक्ष असमानताएँ लिख सकते हैं:

0 एन = 0 एन = 0; - एम एन = (- एम) एन = - एम एन।

इस प्रकार, कोई लिख सकता है:

z n = z n , p p और z > 0 0 , p p और z = 0 - z n , p p और z< 0

दरअसल, यह रिकॉर्ड सबूत है। हम दूसरी परिभाषा के आधार पर परिमेय संख्याओं के उदाहरण देते हैं। संख्याओं पर विचार करें - 3 , 0 , 5 , - 7 55 , 0 , 0125 और - 1 3 5 । ये सभी संख्याएँ परिमेय हैं, क्योंकि इन्हें एक पूर्णांक अंश और एक प्राकृतिक हर के साथ भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10000 , 8 5 ।

हम परिमेय संख्याओं की परिभाषा का एक और समतुल्य रूप प्रस्तुत करते हैं।

परिभाषा 3. परिमेय संख्याएं

एक परिमेय संख्या एक संख्या है जिसे एक परिमित या अनंत आवधिक दशमलव अंश के रूप में लिखा जा सकता है।

यह परिभाषा इस अनुच्छेद की पहली परिभाषा से सीधे अनुसरण करती है।

इस मद पर सारांश तैयार करने और सारांश तैयार करने के लिए:

1. धनात्मक और ऋणात्मक भिन्नात्मक और पूर्णांक संख्याएँ परिमेय संख्याओं का समुच्चय बनाती हैं।
2. प्रत्येक परिमेय संख्या को एक भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसका अंश एक पूर्णांक और हर एक प्राकृतिक संख्या है।
3. प्रत्येक परिमेय संख्या को दशमलव भिन्न के रूप में भी दर्शाया जा सकता है: परिमित या अनंत आवर्त।

कौन सी संख्या परिमेय है?

जैसा कि हम पहले ही जान चुके हैं कि कोई भी प्राकृत संख्या, पूर्णांक, नियमित और अनुचित साधारण भिन्न, आवर्त और अंतिम दशमलव भिन्न परिमेय संख्याएँ होती हैं। इस ज्ञान से लैस होकर, आप आसानी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि कोई संख्या परिमेय है या नहीं।

हालाँकि, व्यवहार में, किसी को अक्सर संख्याओं के साथ नहीं, बल्कि संख्यात्मक अभिव्यक्तियों से निपटना पड़ता है जिसमें जड़ें, शक्तियाँ और लघुगणक होते हैं। कुछ मामलों में, प्रश्न का उत्तर "क्या एक संख्या परिमेय है?" स्पष्ट से बहुत दूर है। आइए देखें कि इस प्रश्न का उत्तर कैसे दिया जाए।

यदि एक संख्या को एक व्यंजक के रूप में दिया जाता है जिसमें केवल परिमेय संख्याएँ होती हैं और उनके बीच अंकगणितीय संक्रियाएँ होती हैं, तो व्यंजक का परिणाम एक परिमेय संख्या होती है।

उदाहरण के लिए, व्यंजक 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) का मान एक परिमेय संख्या है और 18 के बराबर है।

इस प्रकार, परिसर को सरल बनाना संख्यात्मक अभिव्यक्तिआपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि दी गई संख्या परिमेय है या नहीं।

अब आइए जड़ के चिन्ह से निपटें।

यह पता चला है कि संख्या m की घात n के मूल के रूप में दी गई संख्या m n तभी परिमेय होती है जब m किसी प्राकृत संख्या की nवीं घात हो।

आइए एक उदाहरण देखें। संख्या 2 तर्कसंगत नहीं है। जबकि 9, 81 परिमेय संख्याएँ हैं। 9 और 81 क्रमशः संख्या 3 और 9 के पूर्ण वर्ग हैं। संख्याएँ 199, 28, 15 1 परिमेय संख्याएँ नहीं हैं, क्योंकि मूल चिह्न के नीचे की संख्याएँ किसी भी संख्या का पूर्ण वर्ग नहीं हैं। प्राकृतिक संख्या.

अब एक और जटिल मामला लेते हैं। क्या संख्या 243 5 परिमेय है? यदि आप 3 को पांचवीं घात तक बढ़ाते हैं, तो आपको 243 मिलता है, इसलिए मूल व्यंजक को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है: 243 5 = 3 5 5 = 3। फलस्वरूप, दी गई संख्यातर्कसंगत रूप से। अब संख्या 121 5 लेते हैं। यह संख्या परिमेय नहीं है, क्योंकि ऐसी कोई भी प्राकृत संख्या नहीं है जिसके पाँचवें घात को बढ़ाने पर 121 प्राप्त हो।

यह पता लगाने के लिए कि क्या किसी संख्या a का आधार b का लघुगणक एक परिमेय संख्या है, विरोधाभास विधि को लागू करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, आइए जानें कि क्या संख्या लॉग 2 5 परिमेय है। मान लीजिए कि यह संख्या परिमेय है। यदि ऐसा है, तो इसे एक साधारण भिन्न लॉग 2 5 \u003d m n के रूप में लिखा जा सकता है। लघुगणक के गुणों और डिग्री के गुणों से, निम्नलिखित समानताएं सत्य हैं:

5 = 2 लघुगणक 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

जाहिर है, अंतिम समानता असंभव है, क्योंकि बाएँ और दाएँ पक्षों में क्रमशः विषम और होते हैं सम संख्या. इसलिए, की गई धारणा गलत है, और संख्या लॉग 2 5 एक परिमेय संख्या नहीं है।

यह ध्यान देने योग्य है कि संख्याओं की तर्कसंगतता और अपरिमेयता का निर्धारण करते समय अचानक निर्णय नहीं लेना चाहिए। उदाहरण के लिए, अपरिमेय संख्याओं के गुणनफल का परिणाम हमेशा एक अपरिमेय संख्या नहीं होता है। एक उदाहरण उदाहरण: 2 · 2 = 2।

ऐसी अपरिमेय संख्याएँ भी होती हैं जिनकी अपरिमेय घात को बढ़ाने से एक परिमेय संख्या प्राप्त होती है। प्रपत्र 2 लॉग 2 3 की घात में, आधार और घातांक अपरिमेय संख्याएँ हैं। हालाँकि, संख्या ही परिमेय है: 2 log 2 3 = 3 ।

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परिमेय संख्याओं की परिभाषा

परिमेय संख्याएँ हैं:

• प्राकृतिक संख्याएँ जिन्हें भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $7=\frac(7)(1)$।
• पूर्णांक, जिसमें संख्या शून्य भी शामिल है, जिसे धनात्मक या ऋणात्मक भिन्न या शून्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$।
• साधारण अंश (सकारात्मक या नकारात्मक)।
• मिश्रित संख्याएं जिन्हें एक अनुचित सामान्य अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ और $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$।
• एक परिमित दशमलव और एक अनंत आवर्त भिन्न, जिसे एक उभयनिष्ठ भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$।

टिप्पणी 1

ध्यान दें कि एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश परिमेय संख्याओं पर लागू नहीं होता है, क्योंकि इसे साधारण भिन्न के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण 1

प्राकृत संख्याएँ $7, 670, 21 \ 456$ परिमेय हैं।

पूर्णांक $76, -76, 0, -555 \ 666$ परिमेय हैं।

साधारण भिन्न $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ परिमेय संख्याएं हैं .

इस प्रकार, परिमेय संख्याओं को धनात्मक और ऋणात्मक में विभाजित किया जाता है। शून्य एक परिमेय संख्या है, लेकिन यह एक धनात्मक या ऋणात्मक परिमेय संख्या नहीं है।

आइए हम परिमेय संख्याओं की एक छोटी परिभाषा तैयार करें।

परिभाषा 3

तर्कसंगतकॉल नंबर जिन्हें एक परिमित या अनंत आवधिक दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है।

निम्नलिखित निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं:

• धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याएँ परिमेय संख्याओं के समुच्चय से संबंधित हैं;
• परिमेय संख्याओं को एक भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसमें एक पूर्णांक अंश और एक प्राकृतिक हर होता है और एक परिमेय संख्या होती है;
• परिमेय संख्याओं को किसी भी आवधिक दशमलव के रूप में दर्शाया जा सकता है जो एक परिमेय संख्या है।

कैसे निर्धारित करें कि कोई संख्या परिमेय है

1. संख्या को अंकीय व्यंजक के रूप में दिया जाता है, जिसमें केवल परिमेय संख्याएँ और अंकगणितीय संक्रियाओं के चिह्न होते हैं। इस स्थिति में, व्यंजक का मान एक परिमेय संख्या होगी।
2. किसी प्राकृत संख्या का वर्गमूल एक परिमेय संख्या तभी होती है जब मूल वह संख्या हो जो किसी प्राकृत संख्या का पूर्ण वर्ग हो। उदाहरण के लिए, $\sqrt(9)$ और $\sqrt(121)$ परिमेय संख्याएं हैं क्योंकि $9=3^2$ और $121=11^2$।
3. किसी पूर्णांक का $n$th मूल एक परिमेय संख्या केवल तभी होती है जब मूल चिह्न के नीचे की संख्या किसी पूर्णांक की $n$th घात हो। उदाहरण के लिए, $\sqrt(8)$ एक परिमेय संख्या है, क्योंकि $8=2^3$।

संख्या रेखा पर, परिमेय संख्याएँ हर जगह सघन होती हैं: प्रत्येक दो परिमेय संख्याओं के बीच जो एक दूसरे के बराबर नहीं होती हैं, कम से कम एक परिमेय संख्या (और इसलिए परिमेय संख्याओं की एक अनंत संख्या) स्थित हो सकती है। इसी समय, परिमेय संख्याओं के समुच्चय को एक गणनीय कार्डिनैलिटी की विशेषता होती है (अर्थात, समुच्चय के सभी तत्वों को क्रमांकित किया जा सकता है)। प्राचीन यूनानियों ने साबित किया कि ऐसी संख्याएँ हैं जिन्हें भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। उन्होंने दिखाया कि ऐसी कोई परिमेय संख्या नहीं है जिसका वर्ग $2$ के बराबर हो। तब सभी मात्राओं को व्यक्त करने के लिए परिमेय संख्याएँ पर्याप्त नहीं थीं, जिसके कारण बाद में वास्तविक संख्याएँ प्रकट हुईं। परिमेय संख्याओं का समुच्चय, वास्तविक संख्याओं के विपरीत, शून्य-विमीय होता है।

परिमेय संख्याओं का समुच्चय

परिमेय संख्याओं के समुच्चय को निरूपित किया जाता है और इसे निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

यह पता चला है कि विभिन्न प्रविष्टियाँ एक ही भिन्न का प्रतिनिधित्व कर सकती हैं, उदाहरण के लिए, और, (सभी भिन्न जो एक ही प्राकृतिक संख्या से गुणा या विभाजित करके एक दूसरे से प्राप्त की जा सकती हैं, एक ही परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करती हैं)। चूँकि किसी भिन्न के अंश और हर को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करके, कोई एक परिमेय संख्या का एकमात्र इरेड्यूसेबल प्रतिनिधित्व प्राप्त कर सकता है, कोई उनके समुच्चय को समुच्चय के रूप में कह सकता है अलघुकरणीयकोप्राइम पूर्णांक अंश और प्राकृतिक हर के साथ अंश:

यहाँ संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है और .

परिमेय संख्याओं का समुच्चय पूर्णांकों के समुच्चय का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण है। यह देखना आसान है कि यदि किसी परिमेय संख्या में एक हर होता है, तो वह एक पूर्णांक होता है। परिमेय संख्याओं का समुच्चय संख्या अक्ष पर हर जगह सघन होता है: किन्हीं दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच कम से कम एक परिमेय संख्या होती है (और इसलिए परिमेय संख्याओं का एक अनंत समुच्चय)। हालांकि, यह पता चला है कि परिमेय संख्याओं के सेट में एक गणनीय कार्डिनैलिटी है (अर्थात, इसके सभी तत्वों को फिर से क्रमांकित किया जा सकता है)। ध्यान दें, वैसे, प्राचीन यूनानी भी संख्याओं के अस्तित्व के बारे में आश्वस्त थे जिन्हें एक अंश के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, उन्होंने साबित किया कि कोई तर्कसंगत संख्या नहीं है जिसका वर्ग 2 है)।

शब्दावली

औपचारिक परिभाषा

औपचारिक रूप से, परिमेय संख्याओं को तुल्यता संबंध के संबंध में युग्मों के तुल्यता वर्गों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि । इस मामले में, जोड़ और गुणा के संचालन को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

संबंधित परिभाषाएं

उचित, अनुचित और मिश्रित भिन्न

सही एक भिन्न को तब कहा जाता है जब अंश का मापांक हर के मापांक से कम हो। उचित भिन्न परिमेय संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, मॉड्यूल एक से कम। एक भिन्न जो उचित नहीं है, कहलाती है गलतऔर एक मॉड्यूल से अधिक या उसके बराबर एक परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।

एक अनुचित भिन्न को एक पूर्ण संख्या और एक उचित भिन्न के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसे कहा जाता है मिश्रित अंश . उदाहरण के लिए, । एक समान अंकन (एक लापता जोड़ चिह्न के साथ), हालांकि प्राथमिक अंकगणित में उपयोग किया जाता है, एक मिश्रित अंश के लिए अंकन की समानता के कारण एक पूर्णांक के उत्पाद के लिए अंकन की समानता के कारण सख्त गणितीय साहित्य से बचा जाता है।

शॉट ऊंचाई

उभयनिष्ठ भिन्न की ऊँचाई इस भिन्न के अंश और हर के मापांक का योग है। एक परिमेय संख्या की ऊँचाई इस संख्या के संगत इरेड्यूसिबल साधारण भिन्न के अंश और हर के मापांक का योग है।

उदाहरण के लिए, एक अंश की ऊंचाई है। संगत परिमेय संख्या की ऊंचाई है, क्योंकि भिन्न को घटा दिया गया है।

टिप्पणी

शर्त भिन्नात्मक संख्या (अंश)कभी-कभी [ स्पष्ट करना] शब्द के पर्यायवाची के रूप में प्रयोग किया जाता है परिमेय संख्या, और कभी-कभी किसी गैर-पूर्णांक संख्या का पर्यायवाची। बाद के मामले में, भिन्नात्मक और परिमेय संख्याएं हैं अलग अलग बातें, तब से गैर-पूर्णांक परिमेय संख्याएँ भिन्नात्मक संख्याओं का एक विशेष मामला है।

गुण

मूल गुण

परिमेय संख्याओं का समुच्चय सोलह मूल गुणों को संतुष्ट करता है, जिन्हें पूर्णांकों के गुणों से आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।

1. सुव्यवस्था।किसी भी परिमेय संख्या के लिए, एक नियम है जो आपको उनके बीच विशिष्ट रूप से तीन संबंधों में से एक और केवल एक की पहचान करने की अनुमति देता है: "", "" या ""। इस नियम को कहा जाता है आदेश देने का नियमऔर इस प्रकार तैयार किया गया है: दो सकारात्मक संख्याऔर दो पूर्णांकों के समान संबंध से संबंधित हैं और ; दो गैर-सकारात्मक संख्याएं और दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के समान संबंध से संबंधित हैं और; अगर अचानक गैर-नकारात्मक, लेकिन - नकारात्मक, तो .

   

   भिन्नों का योग

2. जोड़ संचालन। योग नियम जोड़संख्याओं और और को द्वारा निरूपित किया जाता है, और ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है योग. योग नियम के निम्नलिखित रूप हैं: .
3. गुणन संचालन।किसी भी परिमेय संख्या के लिए और एक तथाकथित है गुणन नियम, जो उन्हें कुछ परिमेय संख्या के साथ पत्राचार में रखता है। नंबर ही कहा जाता है कामसंख्याओं और और को निरूपित किया जाता है, और ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया को भी कहा जाता है गुणा. गुणन नियम के निम्नलिखित रूप हैं: .
4. आदेश संबंध की ट्रांजिटिविटी।परिमेय संख्याओं के किसी भी तिगुने के लिए, और यदि उससे कम और उससे कम है, तो उससे कम, और यदि बराबर और बराबर है, तो बराबर है।
5. जोड़ की कम्यूटेटिविटी।परिमेय पदों के स्थानों में परिवर्तन से योग नहीं बदलता है।
6. जोड़ की साहचर्यता।जिस क्रम में तीन परिमेय संख्याओं को जोड़ा जाता है वह परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
7. शून्य की उपस्थिति।एक परिमेय संख्या 0 होती है जो योग करने पर अन्य सभी परिमेय संख्याओं को सुरक्षित रखती है।
8. विपरीत संख्याओं की उपस्थिति।किसी भी परिमेय संख्या की एक विपरीत परिमेय संख्या होती है, जिसका योग करने पर 0 प्राप्त होता है।
9. गुणन की क्रमपरिवर्तनशीलता।तर्कसंगत कारकों के स्थानों को बदलने से उत्पाद नहीं बदलता है।
10. गुणन की साहचर्यता।जिस क्रम में तीन परिमेय संख्याओं को गुणा किया जाता है, वह परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
11. एक इकाई की उपस्थिति।एक परिमेय संख्या 1 है जो गुणा करने पर हर दूसरी परिमेय संख्या को सुरक्षित रखती है।
12. पारस्परिक की उपस्थिति।किसी भी गैर-शून्य परिमेय संख्या में एक व्युत्क्रम परिमेय संख्या होती है, जिसके गुणन से 1 प्राप्त होता है।
13. जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण।गुणन संचालन वितरण कानून के माध्यम से जोड़ संचालन के अनुरूप है:
14. जोड़ के संचालन के साथ आदेश संबंध का संबंध।बाएँ और दाएँ तर्कसंगत असमानताआप वही परिमेय संख्या जोड़ सकते हैं।
15. गुणन के संचालन के साथ क्रम संबंध का संबंध।एक परिमेय असमानता के बाएँ और दाएँ पक्षों को उसी धनात्मक परिमेय संख्या से गुणा किया जा सकता है।
16. आर्किमिडीज का स्वयंसिद्ध।परिमेय संख्या जो भी हो, आप इतनी इकाइयाँ ले सकते हैं कि उनका योग अधिक हो जाएगा।

अतिरिक्त गुण

परिमेय संख्याओं में निहित अन्य सभी गुणों को मूल गुणों के रूप में अलग नहीं किया जाता है, क्योंकि, सामान्यतया, वे अब सीधे पूर्णांकों के गुणों पर आधारित नहीं होते हैं, बल्कि दिए गए मूल गुणों के आधार पर या सीधे परिभाषा द्वारा सिद्ध किए जा सकते हैं। कुछ गणितीय वस्तु। ऐसी बहुत सी अतिरिक्त संपत्तियां हैं। उनमें से कुछ को ही यहाँ उद्धृत करना उचित है।

गणनीयता सेट करें

परिमेय संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाने के लिए, आपको उनके समुच्चय की कार्डिनैलिटी ज्ञात करनी होगी। यह सिद्ध करना आसान है कि परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है। ऐसा करने के लिए, यह एक एल्गोरिदम देने के लिए पर्याप्त है जो तर्कसंगत संख्याओं की गणना करता है, यानी, तर्कसंगत और प्राकृतिक संख्याओं के सेट के बीच एक विभाजन स्थापित करता है। निम्नलिखित सरल एल्गोरिदम ऐसे निर्माण के उदाहरण के रूप में कार्य कर सकता है। साधारण भिन्नों की एक अनंत तालिका संकलित की जाती है, प्रत्येक -वें स्तंभ में प्रत्येक -वें पंक्ति पर, जिसमें एक अंश होता है। निश्चितता के लिए, यह माना जाता है कि इस तालिका की पंक्तियों और स्तंभों को एक से गिना जाता है। टेबल सेल को किसके द्वारा दर्शाया जाता है, टेबल की पंक्ति संख्या कहाँ है जिसमें सेल स्थित है, और कॉलम नंबर है।

परिणामी तालिका को निम्नलिखित औपचारिक एल्गोरिथम के अनुसार "साँप" द्वारा प्रबंधित किया जाता है।

इन नियमों को ऊपर से नीचे तक खोजा जाता है और पहले मैच के द्वारा अगली स्थिति का चयन किया जाता है।

इस तरह के बाईपास की प्रक्रिया में, प्रत्येक नई परिमेय संख्या को अगली प्राकृतिक संख्या को सौंपा जाता है। यही है, अंशों को नंबर 1, अंश - संख्या 2, आदि सौंपा गया है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि केवल इरेड्यूसबल अंश ही गिने जाते हैं। इरेड्यूसिबिलिटी का औपचारिक संकेत अंश के अंश और हर के सबसे बड़े सामान्य भाजक की एकता की समानता है।

इस एल्गोरिथम का अनुसरण करते हुए, कोई भी सभी सकारात्मक परिमेय संख्याओं की गणना कर सकता है। इसका अर्थ है कि धनात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है। धनात्मक और ऋणात्मक परिमेय संख्याओं के समुच्चय के बीच केवल एक परिमेय संख्या को इसके विपरीत बताकर, एक आक्षेप स्थापित करना आसान है। उस। ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय भी गणनीय होता है। उनका संघ गणनीय समुच्चयों के गुण से भी गणनीय है। परिमेय संख्याओं का समुच्चय परिमित संख्या के साथ गणनीय समुच्चय के मिलन के रूप में भी गणनीय होता है।

बेशक, परिमेय संख्याओं की गणना करने के अन्य तरीके भी हैं। उदाहरण के लिए, इसके लिए आप कैल्किन-विल्फ़ ट्री, स्टर्न-ब्रोकॉ ट्री या फ़ेरी सीरीज़ जैसी संरचनाओं का उपयोग कर सकते हैं।

परिमेय संख्याओं के समुच्चय की गणनीयता के बारे में कथन कुछ अचरज का कारण बन सकता है, क्योंकि पहली नज़र में यह आभास होता है कि यह प्राकृत संख्याओं के समुच्चय से बहुत बड़ा है। वास्तव में, यह मामला नहीं है, और सभी परिमेय संख्याओं की गणना करने के लिए पर्याप्त प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

परिमेय संख्याओं की अपर्याप्तता

यह सभी देखें

टिप्पणियाँ

साहित्य

• आई. कुशनिर। स्कूली बच्चों के लिए गणित की हैंडबुक। - कीव: एस्टार्टा, 1998. - 520 पी।
• पीएस अलेक्जेंड्रोव। सेट सिद्धांत और सामान्य टोपोलॉजी का परिचय। - एम .: सिर। ईडी। भौतिक।-गणित। जलाया ईडी। "विज्ञान", 1977
• आई एल खमेलनित्सकी। बीजीय प्रणालियों के सिद्धांत का परिचय

परिमेय संख्याओं की परिभाषा:

एक परिमेय संख्या एक संख्या है जिसे भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। ऐसे भिन्न का अंश पूर्णांकों के समुच्चय से संबंधित होता है, और हर प्राकृत संख्याओं के समुच्चय से संबंधित होता है।

संख्याओं को परिमेय क्यों कहा जाता है?

लैटिन में "अनुपात" (अनुपात) का अर्थ अनुपात है। परिमेय संख्याओं को अनुपात के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात्। दूसरे शब्दों में, एक अंश के रूप में।

परिमेय संख्या उदाहरण

संख्या 2/3 एक परिमेय संख्या है। क्यों? इस संख्या को एक भिन्न के रूप में दर्शाया जाता है, जिसका अंश पूर्णांकों के समुच्चय से संबंधित होता है, और हर प्राकृत संख्याओं के समुच्चय से संबंधित होता है।

परिमेय संख्याओं के अधिक उदाहरणों के लिए, लेख देखें।

समान परिमेय संख्याएं

भिन्न भिन्नएक परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।

परिमेय संख्या 3/5 पर विचार करें। यह परिमेय संख्या के बराबर है

अंश और हर को 2 के सामान्य गुणनखंड से घटाएं:

हमें भिन्न 3/5 प्राप्त हुआ, जिसका अर्थ है कि

हाई स्कूल के छात्रों और गणितीय विशिष्टताओं के छात्रों द्वारा इस प्रश्न का उत्तर आसानी से देने की संभावना है। लेकिन जो लोग पेशे से इससे दूर हैं उनके लिए यह और भी मुश्किल होगा। यह वास्तव में क्या है?

सार और पदनाम

परिमेय संख्याएँ वे हैं जिन्हें भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस सेट में सकारात्मक, नकारात्मक और साथ ही शून्य भी शामिल हैं। भिन्न का अंश एक पूर्णांक होना चाहिए, और हर का होना चाहिए

इस समुच्चय को गणित में Q के रूप में निरूपित किया जाता है और इसे "परिमेय संख्याओं का क्षेत्र" कहा जाता है। इसमें सभी पूर्णांक और प्राकृतिक संख्याएँ शामिल हैं, जिन्हें क्रमशः Z और N के रूप में दर्शाया गया है। सेट Q स्वयं सेट R में शामिल है। यह वह अक्षर है जो तथाकथित वास्तविक को दर्शाता है या

प्रदर्शन

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, परिमेय संख्याएँ एक समुच्चय है जिसमें सभी पूर्णांक और भिन्नात्मक मान शामिल होते हैं। उन्हें प्रस्तुत किया जा सकता है अलग - अलग रूप. सबसे पहले, एक साधारण अंश के रूप में: 5/7, 1/5, 11/15, आदि। बेशक, पूर्णांकों को भी इसी रूप में लिखा जा सकता है: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2, आदि। दूसरे, एक अन्य प्रकार का प्रतिनिधित्व अंतिम भिन्नात्मक भाग के साथ एक दशमलव अंश है: 0.01, -15.001006, आदि। यह शायद सबसे सामान्य रूपों में से एक है।

लेकिन एक तीसरा भी है - आवधिक अंश। यह प्रकार बहुत आम नहीं है, लेकिन फिर भी इसका उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, भिन्न 10/3 को 3.33333... या 3,(3) के रूप में लिखा जा सकता है। इस मामले में, अलग-अलग अभ्यावेदन को समान संख्या माना जाएगा। समान भिन्नों को भी कहा जाएगा, उदाहरण के लिए, 3/5 और 6/10। ऐसा लगता है कि यह स्पष्ट हो गया है कि परिमेय संख्याएँ क्या हैं। लेकिन उनके लिए इस शब्द का प्रयोग क्यों किया जाता है?

नाम की उत्पत्ति

आधुनिक रूसी में "तर्कसंगत" शब्द का आम तौर पर थोड़ा अलग अर्थ होता है। यह बल्कि "उचित", "माना जाता है" है। लेकिन गणितीय शब्द इसके प्रत्यक्ष अर्थ के करीब हैं। लैटिन में, "अनुपात" "अनुपात", "अंश" या "विभाजन" है। इस प्रकार, नाम इस बात का सार दर्शाता है कि परिमेय संख्याएँ क्या हैं। हालांकि, दूसरा अर्थ

सच्चाई से दूर नहीं।

उनके साथ कार्रवाई

गणितीय समस्याओं को हल करते समय, हम स्वयं को जाने बिना परिमेय संख्याओं का लगातार सामना करते हैं। और उनके पास कई दिलचस्प गुण हैं। वे सभी या तो समुच्चय की परिभाषा से या क्रियाओं से अनुसरण करते हैं।

सबसे पहले, परिमेय संख्याओं में क्रम संबंध गुण होते हैं। इसका मतलब है कि दो संख्याओं के बीच केवल एक अनुपात मौजूद हो सकता है - वे या तो एक दूसरे के बराबर हैं, या एक दूसरे से बड़ा या छोटा है। अर्थात।:

या ए = बीया ए> बीया एक< b.

इसके अलावा, यह संपत्ति संबंध की परिवर्तनशीलता को भी दर्शाती है। यानी अगर एकअधिक बी, बीअधिक सी, फिर एकअधिक सी. गणित की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:

(ए> बी) ^ (बी> सी) => (ए> सी)।

दूसरे, परिमेय संख्याओं के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ हैं, जो कि जोड़, घटाव, भाग और निश्चित रूप से गुणा हैं। इसी समय, परिवर्तनों की प्रक्रिया में कई गुणों को भी प्रतिष्ठित किया जा सकता है।

• ए + बी = बी + ए (शब्दों का प्रतिस्थापन, कम्यूटेटिविटी);
• 0 + ए = ए + 0;
• (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी) (सहयोगिता);
• ए + (-ए) = 0;
• एबी = बीए;
• (एबी) सी = ए (बीसी) (वितरण);
• ए एक्स 1 = 1 एक्स ए = ए;
• ए एक्स (1 / ए) = 1 (इस मामले में, ए 0 के बराबर नहीं है);
• (ए + बी) सी = एसी + एबी;
• (ए > बी) ^ (सी > 0) => (एसी> बीसी)।

जब सामान्य की बात आती है, और नहीं या पूर्णांक, तो उनके साथ संचालन कुछ कठिनाइयों का कारण बन सकता है। इसलिए, जोड़ और घटाव तभी संभव है जब हर बराबर हों। यदि वे शुरू में भिन्न हैं, तो आपको कुछ संख्याओं द्वारा संपूर्ण भिन्न के गुणन का उपयोग करके एक सामान्य ज्ञात करना चाहिए। तुलना भी सबसे अधिक बार तभी संभव है जब यह शर्त पूरी हो।

साधारण अंशों का विभाजन और गुणन पर्याप्त के अनुसार किया जाता है सरल नियम. एक सामान्य भाजक को कम करना आवश्यक नहीं है। अंशों और हरों को अलग-अलग गुणा किया जाता है, जबकि क्रिया करने की प्रक्रिया में, यदि संभव हो तो, अंश को कम किया जाना चाहिए और जितना संभव हो उतना सरल किया जाना चाहिए।

विभाजन के लिए, यह क्रिया थोड़े अंतर के साथ पहले के समान है। दूसरी भिन्न के लिए, आपको व्युत्क्रम ज्ञात करना चाहिए, अर्थात्,

"पलट दो। इस प्रकार, पहले अंश के अंश को दूसरे के हर से गुणा करना होगा और इसके विपरीत।

अंत में, परिमेय संख्याओं में निहित एक अन्य गुण को आर्किमिडीज का अभिगृहीत कहा जाता है। शब्द "सिद्धांत" भी अक्सर साहित्य में पाया जाता है। यह वास्तविक संख्याओं के पूरे सेट के लिए मान्य है, लेकिन हर जगह नहीं। इस प्रकार, यह सिद्धांत तर्कसंगत कार्यों के कुछ संग्रह के लिए काम नहीं करता है। संक्षेप में, इस स्वयंसिद्ध का अर्थ है कि दो मात्राओं a और b के अस्तित्व को देखते हुए, आप हमेशा b को पार करने के लिए पर्याप्त a ले सकते हैं।

आवेदन क्षेत्र

इसलिए, उन लोगों के लिए जिन्होंने सीखा या याद किया है कि तर्कसंगत संख्याएं क्या हैं, यह स्पष्ट हो जाता है कि उनका उपयोग हर जगह किया जाता है: लेखांकन, अर्थशास्त्र, सांख्यिकी, भौतिकी, रसायन शास्त्र और अन्य विज्ञानों में। स्वाभाविक रूप से, उनका गणित में भी स्थान है। हमेशा यह नहीं जानते कि हम उनके साथ काम कर रहे हैं, हम लगातार परिमेय संख्याओं का उपयोग करते हैं। यहां तक ​​कि छोटे बच्चे भी वस्तुओं को गिनना सीखते हैं, सेब को टुकड़ों में काटते हैं या अन्य सरल क्रियाएं करते हैं, उनका सामना होता है। वे सचमुच हमें घेर लेते हैं। और फिर भी, कुछ समस्याओं को हल करने के लिए, वे पर्याप्त नहीं हैं, विशेष रूप से, पाइथागोरस प्रमेय के उदाहरण का उपयोग करके, कोई भी अवधारणा को पेश करने की आवश्यकता को समझ सकता है।