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Bücher

• Sammlung mathematischer Probleme, V. Bachurin Die im Buch behandelten mathematischen Fragen entsprechen vollständig dem Inhalt eines der drei Programme: Schule, Vorbereitungsabteilungen, Aufnahmeprüfungen. Auch wenn dieses Buch heißt...
• Lebende Materie. Physics of Living and Evolutionary Processes, Yashin A.A. Diese Monographie fasst die Forschung des Autors der letzten Jahre zusammen. Die in diesem Buch vorgestellten experimentellen Ergebnisse wurden von der Tula Scientific School of Biophysics of Fields and…

Aufgabe 1.2
Gegeben seien zwei ganze Zahlen X und T. Haben sie unterschiedliche Vorzeichen, dann weise X den Wert des Produkts dieser Zahlen und T den Wert ihrer Modulo-Differenz zu. Wenn die Zahlen die gleichen Vorzeichen haben, dann weisen Sie X den Wert der Differenz modulo der ursprünglichen Zahlen und T den Wert des Produkts dieser Zahlen zu. Zeigen Sie die neuen X- und T-Werte auf dem Bildschirm an.

Die Aufgabe ist auch einfach. „Missverständnisse“ können nur entstehen, wenn Sie vergessen haben, was die Modulo-Differenz ist (ich hoffe, dass dies das Produkt zweier ganzer Zahlen ist, Sie erinnern sich noch))).

Differenz modulo zwei zahlen

Die Modulo-Differenz zweier ganzer Zahlen (obwohl nicht unbedingt ganze Zahlen - es spielt keine Rolle, es ist nur so, dass die Zahlen in unserem Problem ganze Zahlen sind) - dies, vereinfacht gesagt, wenn das Ergebnis der Berechnung der Modul der Differenz ist aus zwei Zahlen.

Das heißt, die Operation des Subtrahierens einer Zahl von einer anderen wird zuerst durchgeführt. Und dann wird der Modul des Ergebnisses dieser Operation berechnet.

Mathematisch lässt sich dies schreiben als:

Wenn jemand vergessen hat, was ein Modul ist oder wie man ihn in Pascal berechnet, dann siehe.

Algorithmus zur Vorzeichenbestimmung zweier Zahlen

Die Lösung des Problems ist im Allgemeinen recht einfach. Schwierigkeiten für Anfänger kann nur die Definition der Vorzeichen zweier Zahlen verursachen. Das heißt, es ist notwendig, die Frage zu beantworten: Wie kann man herausfinden, ob die Zahlen dieselben oder unterschiedliche Vorzeichen haben?

Erstens bittet es um den abwechselnden Vergleich von Zahlen mit Null. Dies ist akzeptabel. Aber der Quellcode wird ziemlich groß sein. Daher ist es richtiger, den folgenden Algorithmus zu verwenden:

1. Zahlen miteinander multiplizieren
2. Wenn das Ergebnis kleiner als Null ist, haben die Zahlen unterschiedliche Vorzeichen.
3. Wenn das Ergebnis null oder größer als null ist, haben die Zahlen die gleichen Vorzeichen

Ich habe diesen Algorithmus in Form einer separaten . Und das Programm selbst stellte sich als das gleiche heraus, wie in den Pascal- und C++-Beispielen unten gezeigt.

Lösung von Problem 1.2 in Pascal Prüfnummern programmieren; var A, X, T: Ganzzahl; //**************************************************** ** **************** // Überprüft, ob die Zahlen N1 und N2 die gleichen Vorzeichen haben. Wenn ja, dann // gibt TRUE zurück, sonst - FALSE //************************************ **** ************************* Funktion ZnakNumbers(N1, N2: Integer) : boolean; Beginn := (N1 * N2) >= 0; Ende; //**************************************************** ** ****************** // HAUPTPROGRAMM //**************************** ** ************************************ beginnen Schreiben ("X = "); ReadLn(X); Schreiben ("T = "); ReadLn(T); if ZnakNumbers(X, T) then //Wenn die Zahlen die gleichen Vorzeichen haben begin A:= (X - T); //Differenz modulo der ursprünglichen Zahlen erhalten T:= X * T; end else //Wenn Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben begin A:= X * T; T:= Abs(X - T); Ende; X:=A; //Wert A in X schreiben WriteLn("X = ", X); //Ausgabe X WriteLn("T = ", T); //Output T WriteLn("Das Ende. Drücken Sie ENTER..."); ReadLn; Ende.

Lösung von Problem 1.2 in C++#include #include using namespace std; Ganzzahl A, X, T; //**************************************************** ** **************** // Überprüft, ob die Zahlen N1 und N2 das gleiche Vorzeichen haben. Wenn ja, dann // gibt TRUE zurück, sonst - FALSE //************************************ **** ****************************** bool ZnakNumbers(int N1, int N2) ( return ((N1 * N2 ) >= 0); ) //******************************************** ********** ***************** // HAUPTPROGRAMM //**************** ************** ************************************ * int main(int argc, char *argv) ( cout > X; cout > T; if (ZnakNumbers(X, T)) //Wenn die Zahlen die gleichen Vorzeichen haben ( A = abs(X - T); // Erhalte die Differenz modulo der ursprünglichen Zahlen T = X * T; ) else // Wenn die Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben ( A = X * T; T = abs(X - T); ) X = A; // Schreibe den Wert A cout zu X

Optimierung

Dieses einfache Programm lässt sich weiter vereinfachen, indem man auf eine Funktion verzichtet und den Quellcode ein wenig verändert. Dadurch wird die Gesamtzahl der Zeilen des Quellcodes etwas reduziert. Wie es geht - denken Sie selbst.

Analysieren wir das Konzept der Multiplikation anhand eines Beispiels:

Drei Tage waren die Touristen unterwegs. Jeden Tag gingen sie denselben Weg von 4200 m. Wie weit sind sie in drei Tagen gelaufen? Lösen Sie das Problem auf zwei Arten.

Lösung:
Betrachten wir das Problem im Detail.

Am ersten Tag legten die Wanderer 4200 Höhenmeter zurück. Am zweiten Tag wurde der gleiche Weg von Touristen auf 4200 m und am dritten Tag auf 4200 m zurückgelegt. Schreiben wir in mathematischer Sprache:
4200+4200+4200=12600m.
Wir sehen, dass sich das Muster der Zahl 4200 dreimal wiederholt, daher können wir die Summe durch Multiplikation ersetzen:
4200⋅3=12600m.
Antwort: Touristen legten in drei Tagen 12.600 Meter zurück.

Betrachten Sie ein Beispiel:

Um keinen langen Datensatz zu schreiben, können wir ihn als Multiplikation schreiben. Die Zahl 2 wird 11 mal wiederholt, also würde das Multiplikationsbeispiel so aussehen:
2⋅11=22

Zusammenfassen. Was ist Multiplikation?

Multiplikation ist eine Aktion, die die Wiederholung des Begriffs m n-mal ersetzt.

Die Notation m⋅n und das Ergebnis dieses Ausdrucks werden aufgerufen Produkt von Zahlen, und die Zahlen m und n werden aufgerufen Multiplikatoren.

Schauen wir uns ein Beispiel an:
7⋅12=84
Der Ausdruck 7⋅12 und das Ergebnis 84 werden aufgerufen Produkt von Zahlen.
Die Nummern 7 und 12 werden aufgerufen Multiplikatoren.

In der Mathematik gibt es mehrere Gesetze der Multiplikation. Betrachten Sie sie:

Kommutatives Gesetz der Multiplikation.

Betrachten Sie das Problem:

Wir haben 5 unserer Freunde zwei Äpfel geschenkt. Mathematisch sieht die Eingabe so aus: 2⋅5.
Oder wir haben zwei unserer Freunde 5 Äpfel geschenkt. Mathematisch sieht der Eintrag so aus: 5⋅2.
Im ersten und zweiten Fall verteilen wir die gleiche Anzahl Äpfel gleich 10 Stück.

Wenn wir 2⋅5=10 und 5⋅2=10 multiplizieren, ändert sich das Ergebnis nicht.

Eigenschaft des Kommutativgesetzes der Multiplikation:
Das Produkt ändert sich nicht, wenn die Orte der Faktoren geändert werden.
M⋅ N=n⋅M

Assoziatives Gesetz der Multiplikation.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 oder 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 erhalten wir,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(A⋅ B) ⋅ C= A⋅(B⋅ C)

Eigenschaft des Assoziativgesetzes der Multiplikation:
Um eine Zahl mit dem Produkt zweier Zahlen zu multiplizieren, kannst du sie zuerst mit dem ersten Faktor multiplizieren und dann das resultierende Produkt mit dem zweiten multiplizieren.

Das Vertauschen mehrerer Faktoren und das Einfügen in Klammern ändert das Ergebnis oder Produkt nicht.

Diese Gesetze gelten für alle natürlichen Zahlen.

Multiplikation einer beliebigen natürlichen Zahl mit eins.

Betrachten Sie ein Beispiel:
7⋅1=7 oder 1⋅7=7
A⋅1=a oder 1⋅A= A
Bei der Multiplikation einer natürlichen Zahl mit Eins ergibt das Produkt immer dieselbe Zahl.

Multiplikation einer beliebigen natürlichen Zahl mit Null.

6⋅0=0 oder 0⋅6=0
A⋅0=0 oder 0⋅A=0
Bei der Multiplikation einer natürlichen Zahl mit Null ist das Produkt gleich Null.

Fragen zum Thema „Multiplikation“:

Was ist ein Zahlenprodukt?
Antwort: Das Produkt von Zahlen oder die Multiplikation von Zahlen ist der Ausdruck m⋅n, wobei m der Begriff und n die Anzahl der Wiederholungen dieses Begriffs ist.

Wozu dient die Multiplikation?
Antwort: um keine lange Addition von Zahlen zu schreiben, sondern abgekürzt zu schreiben. Zum Beispiel 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

Was ist das Ergebnis der Multiplikation?
Antwort: die Bedeutung der Arbeit.

Was bedeutet die Multiplikation 3⋅5?
Antwort: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

Wenn Sie eine Million mit Null multiplizieren, was ist das Produkt?
Antwort: 0

Beispiel 1:
Ersetze die Summe durch das Produkt: a) 12+12+12+12+12 b) 3+3+3+3+3+3+3+3+3
Antwort: a) 12⋅5=60 b) 3⋅9=27

Beispiel #2:
Schreiben Sie in Form eines Produkts: a) a + a + a + a b) c + c + c + c + c + c + c
Lösung:
a)a+a+a+a=4⋅a
b) s+s+s+s+s+s+s=7⋅s

Aufgabe 1:
Mama hat 3 Schachteln Pralinen gekauft. Jede Schachtel enthält 8 Bonbons. Wie viele Süßigkeiten hat Mama gekauft?
Lösung:
Es gibt 8 Bonbons in einer Schachtel, und wir haben 3 solcher Schachteln.
8+8+8=8⋅3=24 Bonbons
Antwort: 24 Bonbons.

Aufgabe Nr. 2:
Die Kunstlehrerin forderte ihre acht Schüler auf, sieben Bleistifte pro Unterrichtsstunde vorzubereiten. Wie viele Stifte hatten die Kinder insgesamt?
Lösung:
Sie können die Summe der Aufgabe berechnen. Der erste Schüler hatte 7 Bleistifte, der zweite Schüler hatte 7 Bleistifte und so weiter.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Der Datensatz erwies sich als unbequem und lang, wir werden die Summe durch das Produkt ersetzen.
7⋅8=56
Die Antwort ist 56 Bleistifte.

In diesem Artikel werden wir verstehen, wie Ganzzahlige Multiplikation. Zuerst führen wir Begriffe und Notationen ein und finden auch heraus, was es bedeutet, zwei ganze Zahlen zu multiplizieren. Danach erhalten wir die Regeln zum Multiplizieren zweier positiver ganzer Zahlen, negativer ganzer Zahlen und ganzer Zahlen mit verschiedene Vorzeichen. In diesem Fall geben wir Beispiele mit einer detaillierten Erklärung der Lösung. Wir werden auch die Fälle der Multiplikation ganzer Zahlen ansprechen, wenn einer der Faktoren gleich eins oder null ist. Als nächstes lernen wir, wie man das Ergebnis der Multiplikation überprüft. Und schließlich sprechen wir über die Multiplikation von drei, vier oder mehr ganzen Zahlen.

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Begriffe und Notation

Um die Multiplikation ganzer Zahlen zu beschreiben, verwenden wir dieselben Begriffe, mit denen wir die Multiplikation natürlicher Zahlen beschrieben haben. Erinnern wir sie.

Die zu multiplizierenden ganzen Zahlen werden aufgerufen Multiplikatoren. Das Ergebnis der Multiplikation wird aufgerufen arbeiten. Die Multiplikationsoperation wird durch das Multiplikationszeichen der Form "·" bezeichnet. In manchen Quellen findet man die Bezeichnung der Multiplikation mit den Zeichen „*“ oder „ד.

Die multiplizierten ganzen Zahlen a , b und das Ergebnis ihrer Multiplikation c werden zweckmäßigerweise unter Verwendung einer Gleichheit der Form a b=c geschrieben. In dieser Schreibweise ist die ganze Zahl a der erste Faktor, die ganze Zahl b der zweite Faktor und c das Produkt. der Form a b wird auch Produkt genannt, ebenso wie der Wert dieses Ausdrucks c .

Beachten Sie im Voraus, dass das Produkt zweier ganzer Zahlen eine ganze Zahl ist.

Bedeutung von ganzzahliger Multiplikation

Multiplikation von positiven ganzen Zahlen

Positive ganze Zahlen sind natürliche Zahlen, also Multiplikation von positiven ganzen Zahlen nach allen Regeln der Multiplikation natürlicher Zahlen durchgeführt. Es ist klar, dass als Ergebnis der Multiplikation zweier positiver ganzer Zahlen eine positive ganze Zahl (eine natürliche Zahl) erhalten wird. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel.

Was ist das Produkt der positiven ganzen Zahlen 127 und 5?

Lösung.

Den ersten Faktor 107 stellen wir als Summe von Bittermen dar, also in der Form 100+20+7 . Danach wenden wir die Regel zum Multiplizieren der Summe von Zahlen mit einer gegebenen Zahl an: 127 5=(100+20+7) 5=100 5+20 5+7 5. Es bleibt nur noch die Rechnung zu vervollständigen: 100 5+20 5+7 5= 500+100+35=600+35=635 .

Das Produkt der gegebenen positiven ganzen Zahlen 127 und 5 ist also 635.

Antworten:

127 5=635 .

Um mehrwertige positive ganze Zahlen zu multiplizieren, ist es praktisch, die Spaltenmultiplikationsmethode zu verwenden.

Beispiel.

Multiplizieren Sie die dreistellige positive Ganzzahl 712 mit der zweistelligen positiven Ganzzahl 92 .

Lösung.

Lassen Sie uns diese ganzzahligen positiven Zahlen in einer Spalte multiplizieren:

Antworten:

712 92=65 504 .

Regel zum Multiplizieren ganzer Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen, Beispiele

Das folgende Beispiel soll uns helfen, die Regel für die Multiplikation ganzer Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen zu formulieren.

Wir berechnen das Produkt einer negativen ganzen Zahl −5 und einer ganzen Zahl positive Zahl 3 basierend auf der Bedeutung der Multiplikation. So (–5) 3=(–5)+(–5)+(–5)=–15. Um die Gültigkeit des Kommutativgesetzes der Multiplikation zu wahren, muss die Gleichheit (−5)·3=3·(−5) gelten. Das heißt, das Produkt von 3·(−5) ist auch gleich −15 . Es ist leicht zu sehen, dass −15 gleich dem Produkt der Module der ursprünglichen Faktoren ist, was bedeutet, dass das Produkt der ursprünglichen ganzen Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen gleich dem Produkt der Module der ursprünglichen Faktoren ist, genommen mit einem Minus Zeichen.

Also haben wir Multiplikationsregel für ganze Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen: Um zwei ganze Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen zu multiplizieren, müssen Sie die Module dieser Zahlen multiplizieren und ein Minuszeichen vor die resultierende Zahl setzen.

Aus der stimmhaften Regel können wir schließen, dass das Produkt von ganzen Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen immer eine negative ganze Zahl ist. In der Tat erhalten wir als Ergebnis der Multiplikation der Faktormodule eine positive ganze Zahl, und wenn wir dieser Zahl ein Minuszeichen voranstellen, wird sie zu einer negativen ganzen Zahl.

Betrachten Sie Beispiele für die Berechnung des Produkts ganzer Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen unter Verwendung der resultierenden Regel.

Beispiel.

Multipliziere eine positive ganze Zahl 7 mit einer ganzen Zahl eine negative Zahl −14 .

Lösung.

Wenden wir die Regel der Multiplikation ganzer Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen an. Die Module der Multiplizierer sind 7 bzw. 14. Berechnen wir das Modulprodukt: 7·14=98 . Es bleibt, der resultierenden Zahl ein Minuszeichen voranzustellen: -98. Also 7·(−14)=−98 .

Antworten:

7 (−14)=−98 .

Beispiel.

Berechnen Sie das Produkt (−36) 29 .

Lösung.

Wir müssen das Produkt von ganzen Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen berechnen. Dazu berechnen wir das Produkt der Absolutwerte der Faktoren: 36 29 \u003d 1 044 (Multiplikation erfolgt am besten in einer Spalte). Jetzt setzen wir ein Minuszeichen vor die Zahl 1044, wir bekommen −1044.

Antworten:

(−36) 29=−1 044 .

Zum Abschluss dieses Unterabschnitts beweisen wir die Gültigkeit der Gleichung a·(−b)=−(a·b) , wobei a und −b beliebige ganze Zahlen sind. Ein Sonderfall dieser Gleichheit ist die stimmhafte Regel zur Multiplikation ganzer Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen.

Mit anderen Worten, wir müssen beweisen, dass die Werte der Ausdrücke a (−b) und a b entgegengesetzte Zahlen sind. Um dies zu beweisen, finden wir die Summe a (−b) + a b und verifizieren, dass sie gleich Null ist. Aufgrund der distributiven Eigenschaft der Multiplikation ganzer Zahlen in Bezug auf die Addition ist die Gleichheit a·(–b)+a·b=a·((–b)+b) wahr. Die Summe von (–b)+b ist als Summe entgegengesetzter ganzer Zahlen gleich Null, dann ist a ((–b)+b)=a 0 . Das letzte Produkt ist Null aufgrund der Eigenschaft, eine ganze Zahl mit Null zu multiplizieren. Also a·(−b)+a·b=0 , also sind a·(−b) und a·b entgegengesetzte Zahlen, was die Gleichheit a·(−b)=−(a·b) impliziert. Ebenso kann man zeigen, dass (−a) b=−(a b) .

Regel zum Multiplizieren negativer ganzer Zahlen, Beispiele

Die Gleichheit (−a)·(−b)=a·b , die wir jetzt beweisen werden, hilft uns, die Regel für die Multiplikation zweier negativer ganzer Zahlen zu erhalten.

Am Ende des vorherigen Absatzes haben wir gezeigt, dass a (−b)=−(a b) und (−a) b=−(a b) , also können wir die folgende Gleichheitskette schreiben (−a) (−b)=−(a (−b))=−(−(a b)). Und der resultierende Ausdruck −(−(a b)) ist nichts anderes als a b aufgrund der Definition von Gegenzahlen. Also, (−a)·(−b)=a·b .

Die bewiesene Gleichheit (−a) (−b)=a b erlaubt uns zu formulieren Regel zum Multiplizieren negativer ganzer Zahlen: Das Produkt zweier negativer ganzer Zahlen ist gleich dem Produkt der Module dieser Zahlen.

Aus der stimmhaften Regel folgt, dass das Ergebnis der Multiplikation zweier negativer ganzer Zahlen eine positive ganze Zahl ist.

Berücksichtigen Sie die Anwendung dieser Regel, wenn Sie eine Multiplikation negativer ganzer Zahlen durchführen.

Beispiel.

Berechnen Sie das Produkt (−34)·(−2) .

Lösung.

Wir müssen zwei negative ganze Zahlen -34 und -2 multiplizieren. Lassen Sie uns die entsprechende Regel verwenden. Dazu finden wir die Moduli der Faktoren: und . Es bleibt das Produkt der Zahlen 34 und 2 zu berechnen, was wir tun können. Kurz gesagt kann die gesamte Lösung geschrieben werden als (−34)·(−2)=34·2=68 .

Antworten:

(−34)·(−2)=68 .

Beispiel.

Multiplizieren Sie die negative ganze Zahl −1041 mit der negativen ganzen Zahl −538 .

Lösung.

Nach der Regel der Multiplikation negativer ganzer Zahlen ist das gewünschte Produkt gleich dem Produkt der Module der Faktoren. Die Multiplikatormodule sind 1041 bzw. 538. Machen wir die Multiplikation mit einer Spalte:

Antworten:

(−1 041) (−538)=560 058 .

Multiplikation einer ganzen Zahl mit eins

Die Multiplikation einer beliebigen ganzen Zahl a mit eins ergibt die Zahl a . Wir haben dies bereits erwähnt, als wir über die Bedeutung der Multiplikation zweier ganzer Zahlen gesprochen haben. Also eine 1=a . Aufgrund des Kommutativgesetzes der Multiplikation muss die Gleichheit a·1=1·a wahr sein. Daher gilt 1·a=a .

Die obige Überlegung führt uns zu der Regel für die Multiplikation zweier ganzer Zahlen, von denen eine gleich eins ist. Das Produkt zweier ganzer Zahlen, bei denen einer der Faktoren eins ist, ist gleich dem anderen Faktor.

Zum Beispiel 56 1=56 , 1 0=0 und 1 (−601)=−601 . Lassen Sie uns noch ein paar Beispiele geben. Das Produkt der ganzen Zahlen -53 und 1 ist -53 und das Ergebnis der Multiplikation von 1 und der negativen ganzen Zahl -989981 ist -989981 .

Multipliziere eine Ganzzahl mit Null

Wir waren uns einig, dass das Produkt jeder ganzen Zahl a und Null gleich Null ist, also a 0=0 . Das Kommutativgesetz der Multiplikation lässt uns die Gleichheit 0·a=0 akzeptieren. Auf diese Weise, Das Produkt zweier ganzer Zahlen, bei denen mindestens einer der Faktoren Null ist, ist gleich Null. Insbesondere ist das Ergebnis der Multiplikation von Null mit Null Null: 0·0=0 .

Lassen Sie uns einige Beispiele geben. Das Produkt einer positiven ganzen Zahl 803 und Null ist Null; das Ergebnis der Multiplikation von Null mit einer negativen ganzen Zahl –51 ist Null; auch (−90 733) 0=0 .

Beachten Sie auch, dass das Produkt zweier ganzer Zahlen genau dann gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.

Überprüfen des Ergebnisses der Multiplikation ganzer Zahlen

Überprüfen des Ergebnisses der Multiplikation zweier ganzer Zahlen fertig mit Division. Das resultierende Produkt muss durch einen der Faktoren dividiert werden. Wenn dies eine Zahl ergibt, die dem anderen Faktor entspricht, wurde die Multiplikation korrekt durchgeführt. Wenn Sie eine Zahl erhalten, die sich von dem anderen Begriff unterscheidet, wurde irgendwo ein Fehler gemacht.

Betrachten Sie Beispiele, in denen das Ergebnis der Multiplikation ganzer Zahlen überprüft wird.

Beispiel.

Als Ergebnis der Multiplikation zweier ganzer Zahlen -5 und 21 wurde die Zahl -115 erhalten, wird das Produkt korrekt berechnet?

Lösung.

Lassen Sie uns einen Check machen. Dazu teilen wir das errechnete Produkt -115 durch einen der Faktoren, beispielsweise durch -5., überprüfen Sie das Ergebnis. (−17)·(−67)=1 139 .

Multiplikation von drei oder mehr ganzen Zahlen

Die assoziative Eigenschaft der Multiplikation ganzer Zahlen ermöglicht es uns, das Produkt von drei, vier oder mehr ganzen Zahlen eindeutig zu bestimmen. Gleichzeitig erlauben uns die übrigen Eigenschaften der Multiplikation ganzer Zahlen zu behaupten, dass das Produkt von drei oder mehr ganzen Zahlen nicht von der Anordnung der Klammern und der Reihenfolge der Faktoren im Produkt abhängt. Wir haben ähnliche Aussagen untermauert, als wir über die Multiplikation von drei oder mehr natürlichen Zahlen sprachen. Bei ganzzahligen Faktoren ist die Begründung völlig gleich.

Betrachten wir eine Beispiellösung.

Beispiel.

Berechnen Sie das Produkt von fünf ganzen Zahlen 5 , −12 , 1 , −2 und 15 .

Lösung.

Wir können zwei benachbarte Faktoren von links nach rechts nacheinander durch ihr Produkt ersetzen: 5 (−12) 1 (−2) 15= (−60) 1 (−2) 15= (−60) (−2 ) 15= 120 15 =1 800 . Diese Version der Berechnung des Produkts entspricht der folgenden Art, Klammern zu setzen: (((5 (−12)) 1) (−2)) 15.

Wir könnten auch einige der Faktoren umstellen und die Klammern anders anordnen, wenn uns das erlaubt, das Produkt dieser fünf ganzen Zahlen rationaler zu berechnen. Zum Beispiel war es möglich, die Faktoren in der folgenden Reihenfolge 1 5 (−12) (−2) 15 neu anzuordnen und dann die Klammern so anzuordnen ((1 5) (−12)) ((−2) 15). In diesem Fall lauten die Berechnungen wie folgt: ((1 5) (−12)) ((−2) 15)=(5 (−12)) ((−2) 15)= (−60) (−30)=1 800 .

Wie Sie sehen können, führten unterschiedliche Optionen zum Anordnen von Klammern und eine unterschiedliche Reihenfolge der Multiplikatoren zum gleichen Ergebnis.

Antworten:

5 (−12) 1 (−2) 15=1 800.

Unabhängig davon stellen wir fest, dass, wenn im Produkt von drei, vier usw. ganze Zahlen, mindestens einer der Faktoren gleich Null ist, dann ist das Produkt gleich Null. Beispielsweise ist das Produkt von vier ganzen Zahlen 5 , –90 321 , 0 und 111 null; das Ergebnis der Multiplikation dreier ganzer Zahlen 0 , 0 und –1 983 ist ebenfalls Null. Auch die umgekehrte Aussage gilt: Wenn das Produkt gleich Null ist, dann ist mindestens einer der Faktoren gleich Null.

Die Summe ist das Ergebnis der Addition, und das Wort kann sich nicht nur auf Zahlen beziehen.

Die Differenz ergibt sich nach Subtraktion der Zahlen.

Produkt - was nach der Multiplikation erhalten wird, das Wort hat eine andere Bedeutung.

Der Quotient ist das, was man nach Division erhält.

ICH. Mathematische Konzepte SUMME, DIFFERENZ, PRODUKT, TEILWEISE im Zusammenhang mit mathematischen Begriffen ADDITION, SUBTRAKTION, MULTIPLIKATION, DIVISION.

Alle Definitionen werden hier auf der Menge der natürlichen Zahlen gegeben.

Jedem Zahlenpaar ist eine Nummer zugeordnet, die sie genannt werden SUMME.

Die Summe besteht aus so vielen Einheiten, wie es in den Zahlen (Termen) des gegebenen Paares gibt.

SUMME ist das Ergebnis der Addition von Summanden.

Die Subtraktion ist die Umkehroperation der Addition. Es besteht darin, einen der Terme durch die Summe und den anderen Term zu finden. Dieser Betrag wird als reduziert bezeichnet, dieser Term wird als subtrahiert bezeichnet und der gewünschte Term wird aufgerufen UNTERSCHIED.

UNTERSCHIED ist die Zahl, die das Ergebnis der Subtraktion ist, der Rest der Subtraktion.

Jedem Zahlenpaar kann eine Zahl zugeordnet werden, die aus so vielen Einheiten besteht, wie die erste Zahl des Paars enthält, und zwar so oft, wie Einheiten in der zweiten Zahl des Paars enthalten sind. Diese Zahl, die auf diese Weise einem Zahlenpaar (man nennt sie Faktoren) entspricht, wird genannt ARBEITEN.

ARBEITEN ist das Ergebnis der Multiplikation.

Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation.

Division findet einen der Faktoren durch das Produkt und den anderen Faktor. Dieses Produkt heißt teilbar, dieser Faktor heißt Teiler und der gesuchte Faktor ist PRIVATGELÄNDE, also die Zahl, die man erhält, wenn man eine Zahl durch eine andere dividiert.

II. ANDERE BEDEUTUNG DER WÖRTER SUMME, DIFFERENZ, PRODUKT, PARTIKEL.

Alle Wörter, die als mathematische Konzepte verwendet werden, können andere lexikalische Bedeutungen haben.

SUMME bedeutet im übertragenen Sinne die Gesamtheit, die Gesamtmenge von etwas.

Zum Beispiel. Die Professionalität eines Lehrers liegt in der Menge an Wissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten, die er an seine Schüler weitergibt. Fehlt der erforderliche Geldbetrag, muss der Kauf abgelehnt werden.

UNTERSCHIED hat die Bedeutung von Unterschied, Unähnlichkeit, Unterschieden in etwas.

Zum Beispiel. Der Interessenunterschied ist viel schlimmer als der Altersunterschied. Freundschaft kann mit der Idee einer Gemeinsamkeit von Ansichten und Feindschaft beginnen - mit unterschiedlichen Ansichten.

ARBEITEN bedeutet etwas, das im Arbeitsprozess hergestellt wird, die Schaffung von etwas, ein Produkt von Arbeit, Kreativität, Kunst usw.

Zum Beispiel. hoch Kunstwerk bringt einen Menschen dazu, über sein Leben nachzudenken. Beim Wettbewerb junger Pianisten spielte der Junge das Werk von P.I. Tschaikowsky. Diese Box ist ein wahres Kunstwerk.

PRIVATGELÄNDE- das ist etwas Persönliches, Persönliches, das nur einer Person gehört, das ist sein Eigentum, sein und nur sein Eigentum. Und seien es persönliche Gedanken, seien es Eigentum oder etwas anderes, aber es gehört nur ihm, einer Privatperson.

Zum Beispiel. Ein Freund gab mir ein Notizbuch mit der Aufschrift Privat. Ist es gut, das Private dem Öffentlichen gegenüberzustellen?

Tatsächlich spiegeln alle vier Wörter in der Frage, nämlich Summe, Differenz, Produkt und Quotient, die vier grundlegenden mathematischen Operationen wider, die die Grundlagen darstellen. Mit dem Erlernen dieser Aktionen beginnt eine faszinierende Reise in die Welt der Mathematik. Auf diese Weise,

Summe, Differenz, Produkt, Quotient - das ist das Ergebnis mathematischer Handlungen, mit denen wir alle unsere Bekanntschaft mit der Mathematik begonnen haben. Im Leben verwenden wir diese Wörter auch, aber wir geben ihnen mehr mathematische Bedeutung, obwohl wir keine Zahlen hinzufügen können. Die Arbeit kann auch künstlerisch sein. Das ist eine ganz andere Bedeutung des Wortes, das wir im Leben verwenden.

Alle vier dieser Begriffe werden hauptsächlich in der Mathematik verwendet.

Eine Summe entsteht, wenn zwei Zahlen addiert werden;

Differenz ist die Subtraktion einer Zahl von einer anderen;

Der Quotient ist die Division einer Zahl durch eine andere;

Ein Produkt ist die Multiplikation einer Zahl mit einer anderen.

Der Quotient ist das Ergebnis der Division von Zahlen, das Produkt das Ergebnis der Multiplikation von Zahlen, die Summe das Ergebnis der Addition von Zahlen, die Differenz das Ergebnis der Subtraktion. Dies sind elementare mathematische Operationen, die mit Zahlen durchgeführt werden können.

Dies sind mathematische Konzepte.

Die Summe ist das Ergebnis der Addition. Die Zahlen, die sich addieren, heißen der erste Term und der zweite Term. Es wird durch das folgende Zeichen gekennzeichnet: +.

Die Differenz ist das Ergebnis der Subtraktion. Die subtrahierten Zahlen heißen Minuend (die größere) und Subtrahend (die kleinere). Es wird durch das folgende Zeichen gekennzeichnet: -.

Ein Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation. Die sich multiplizierenden Zahlen heißen erster Multiplikator und zweiter Multiplikator. Es wird durch folgendes Zeichen gekennzeichnet: *.

Der Quotient ist das Ergebnis der Division. Die dividierbaren Zahlen heißen Dividende (größer), Divisor (kleiner). Es wird durch dieses Zeichen gekennzeichnet: :.

Alle diese Konzepte werden in der Grundschule gelehrt.

In der Mathematik gibt es vier einfache Operationen, die auf zwei Zahlen angewendet werden können und zu folgenden Ergebnissen führen:

Summe ist das Ergebnis der Addition von Zahlen,

Differenz ist das Ergebnis der Subtraktion einer Zahl von einer anderen,

Produkt ist das Ergebnis der Multiplikation von Zahlen,

Quotient ist bereits das Ergebnis der Division von Zahlen.

Die Summe in der Mathematik ist die Zahl, die wir erhalten, wenn wir eine Zahl zu einer anderen addieren. Differenz ist das Gegenteil von Addition, wenn Sie eine kleinere Zahl von einer größeren Zahl subtrahieren. Ein Produkt ist eine Zahl, die sich aus der Multiplikation einer Zahl mit einer anderen ergibt. Der Unterschied ist die entgegengesetzte Zahl des Produkts. Den Unterschied bekommen wir so: Wir dividieren eine Zahl durch eine andere.

Ich bin ausgebildeter Mathematiker, Fachrichtung: Mathematiklehrer. Sie arbeitete ihr ganzes Leben lang als Lehrerin für Mathematik an einer pädagogischen Hochschule.

Eine Reservierung ist erforderlich. In Zukunft sprechen wir von Summe, Differenz, Produkt, Quotient Zahlen.

Die Antworten auf diese Fragen sind zwar einfach, bereiten den Schülern jedoch Schwierigkeiten. Um dieses verallgemeinernde Thema detaillierter betrachten zu können, mache ich Sie auf nützliches Material dazu aufmerksam. Die Note heißt Math for Blondes.

Die Unterrichtsmethode hat mir gut gefallen.

Es wird eine provokative Frage gestellt:

Wird die Differenz geteilt oder multipliziert?

Sie versuchen zu interessieren (keine der vorgeschlagenen Versionen ist korrekt!)))

Dann antworten sie:

Der Unterschied ist zum Mitnehmen. Das Ergebnis der Subtraktion heißt Differenz.

Holen Sie sich das gleiche:

Die Summe ist zu addieren. Das Ergebnis der Addition heißt Summe.

Das Produkt soll multipliziert werden. Das Ergebnis einer Multiplikation nennt man Produkt.

Privat ist Teilung. Das Ergebnis der Division wird Quotient genannt.

So einfache Sprache die korrekten Begriffe Summe, Differenz, Produkt und Quotient in der Mathematik werden erklärt. Lediglich Sätze werden leicht vereinfacht geschrieben: Die Differenz wird subtrahiert, die Summe addiert, das Produkt multipliziert, der Quotient dividiert. Um genau zu sein, sagen sie es nicht.

So, Ergebnis der Addition von Zahlen(Begriffe) - das sind ihre Summe, das Ergebnis der Subtraktion von Zahlen(reduziert und subtrahiert) ist Unterschied, Ergebnis der Multiplikation von Zahlen(Faktoren) ist arbeiten, A Ergebnis der Division von Zahlen(durch den Divisor teilbar), und der Divisor darf nicht gleich Null sein, sonst kann die Division nicht durchgeführt werden, da ist Privatgelände diese Nummern.

Ich denke nicht über andere Bedeutungen dieser Wörter nach, Mathematik überschattet alles.)))

Die Wörter Summe, Differenz, Produkt und Quotient sind Schülern von Schulen und anderen Bildungseinrichtungen bestens vertraut und kommen mit diesen Definitionen in jedem Mathematikunterricht vor.

1) Summe

Die Summe ist das Ergebnis, das man nach der Addition (+) von zwei oder mehr Zahlen erhält.

Der Betrag ist auch der Endpreis der Ware (der zu zahlende Betrag), der Gesamtbestand an Wissen, Eindrücken und vielem mehr.

2) Unterschied

In der Mathematik bedeutet es das Ergebnis der Subtraktion einer Zahl (-).

Das Wort Unterschied kann auch als Wort für den Unterschied von etwas verwendet werden. Zum Beispiel Meinungsverschiedenheiten, Meinungsverschiedenheiten, unterschiedliche Indikatoren usw.

3) Arbeiten

Das Produkt ist das Ergebnis der Multiplikation der Zahlen (*).

Neben der Mathematik wird dieses Wort auch als Bezeichnung für das Ergebnis des Schaffensprozesses (ein Kunstwerk) verwendet, als Verb von produzieren.

4) ehrlich

Dieses Wort bezeichnet das Ergebnis der Division zweier Zahlen (:).

Wir können das Wort privat auch hören, wenn es um das Eigentum einer Sache an einen Eigentümer geht (Privatperson, Privateigentum, Privatsache).