Pojem teorie množin; průnik množin je množina sestávající ze všech těch prvků, které patří současně do všech daných množin. Průsečík množin A a B označíme A? B nebo AB ...

Pojem teorie množin; průnik množin je množina sestávající ze všech těch prvků, které patří současně do všech daných množin. Průsečík množin A a B označíme A∩B nebo AB. * * * Křižovatka množin KŘÍŽENÍ množin … encyklopedický slovník

Množina sestávající ze všech těch prvků, které patří současně do všech daných množin. P. m. A a B označují A ∩ B nebo AB; P. m. Ak, vzato v konečném nebo nekonečném čísle, značí Ak. P. m. může být prázdné, to znamená ne ... ... Velká sovětská encyklopedie

Pojem teorie množin; P. m. soubor sestávající ze všech těch prvků k žitu patří současně. do všech daných sad. P. m...

Průnik množin A a B Průnik množin v teorii množin je množina skládající se z prvků, které patří současně do všech daných množin. Obsah 1 Definice 2 Poznámka ... Wikipedie

Obor matematiky, který studuje obecné vlastnosti množin, většinou nekonečných. pojem množina je nejjednodušší matematický pojem, není definován, ale pouze vysvětlen pomocí příkladů: hodně knih na poličce, hodně bodů ... Velký encyklopedický slovník

Obor matematiky, který studuje obecné vlastnosti množin, většinou nekonečných. Pojem množina je nejjednodušší matematický pojem, není definován, ale pouze vysvětlen pomocí příkladů: spousta knih na poličce, spousta ... ... encyklopedický slovník

Matematická teorie, která studuje problém nekonečna přesnými prostředky. Předmět M. l. vlastnosti množin (kolekce, třídy, soubory), kap. arr. nekonečný. Množina A je jakýkoli soubor definovaných a rozlišitelných objektů... Slovník pojmů logiky

Teorie množin je odvětví matematiky, které studuje obecné vlastnosti množin. Teorie množin je jádrem většiny matematických disciplín; mělo hluboký vliv na porozumění samotné matematice. Obsah 1 Teorie ... ... Wikipedie

Obor matematiky, ve kterém se studují především obecné vlastnosti množin. nekonečný. Koncept setu je nejjednodušší z mat. pojem, není definován, ale pouze vysvětlen pomocí příkladů: hodně knih na poličce, hodně bodů na řádku ... ... Přírodní věda. encyklopedický slovník

knihy

• Počítám do 20. Pracovní sešit pro děti 6 - 7 let. GEF DO, Ševelev Konstantin Valerijevič. Sešit je určen pro práci s dětmi 6-7 let. Přispívá k dosažení cílů bloku Poznání formováním elementárních matematických reprezentací. Metodický…

1 OTÁZKA:mnoho je sbírka některých prvků spojených nějakým společným rysem. Prvky sady mohou být čísla, postavy, předměty, koncepty atd.

Sady jsou označeny velká písmena a prvky sady jsou malými písmeny. Prvky sady jsou uzavřeny ve složených závorkách.

Pokud prvek X patří do sady X, potom napiš X ∈ X (∈ - patří). Pokud je množina A součástí množiny B, zapište ALE⊂ V (⊂ - je obsaženo).

Definice 1 (definice rovnosti množin). Sady ALE a B jsou si rovny, pokud se skládají ze stejných prvků, to znamená, pokud z x  A následuje x  B a naopak, z x  B vyplývá x  A.

Formálně je rovnost dvou množin zapsána takto:

(A=B):= X((XA)  (XB)),

to znamená, že pro jakýkoli objekt x jsou poměry x A a x B ekvivalentní.

Zde je  univerzální kvantifikátor ( X zní „pro každého X").

Podmnožina

Definice: Množina X je podmnožina Y, pokud některý prvek množiny X patří do množiny Y. To se také nazývá neomezené začlenění.Některé vlastnosti podmnožiny:

1. ХХ - odrazivost

2. X  Y & YZ  X  Z - tranzitivita

3.   X tzn. prázdná množina je podmnožinou libovolné množiny. Univerzální množina Definice: Univerzální sada- jedná se o takovou množinu, která se skládá ze všech prvků, jakož i z podmnožin množiny objektů studijního území, tzn.

1. Pokud M  já , pak M  já

2. Pokud M  já , pak Ώ(M)  já, kde pod Ώ(M) - odkazuje na všechny možné podmnožiny M nebo Boolean M.

Obvykle se označuje univerzální sada já .

Univerzální sadu lze zvolit nezávisle na uvažované sadě a řešených úkolech.

Způsoby, jak určit sady:

1. výčtem jejích prvků. Obvykle jsou konečné množiny specifikovány výčtem.

2. popisem vlastností, které jsou společné všem prvkům této množiny a pouze této množině. Tato vlastnost se nazývá charakteristická vlastnost, a tento způsob upřesnění množiny popis. Lze tedy specifikovat jak konečné, tak i nekonečné množiny. Pokud nastavíme množinu nějakou vlastností, pak se může ukázat, že tuto vlastnost má pouze jeden objekt, nebo takový objekt vůbec neexistuje. Tato skutečnost nemusí být vůbec zřejmá.

Téma 2.3 Operace na množinách.

Nyní definujeme operace na množinách.

1. Průnik množin.

Definice: Průsečík množin X a Y je množina sestávající ze všech a pouze těch prvků, které patří jak do množiny X, tak do množiny Y.

Například: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) průsečík (2,4)

Definice: Množiny se nazývají disjunktní, pokud nemají žádné společné prvky, tzn. jejich průsečík je roven prázdné množině.

Například : neprotínající se množiny jsou množiny výborných studentů skupiny a těch, kterým se nedaří.

Tuto operaci lze rozšířit na více než dvě sady. V tomto případě se bude jednat o množinu prvků patřících současně do všech množin.

Vlastnosti křižovatky:

1. X∩Y = Y∩X - komutativnost

2. (X∩Y) ∩Z =X∩ (Y∩Z)=X∩Y∩Z - asociativita

3. X∩ = 

4.X∩ já = X

2. Sjednocení množin

Definice: Sjednocení dvou množin je množina sestávající ze všech a pouze těch prvků, které patří alespoň do jedné z množin X nebo Y.

Například: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) spojením (1,2,3,4,6)

Tuto operaci lze rozšířit na více než dvě sady. V tomto případě se bude jednat o množinu prvků, které patří alespoň do jedné z těchto množin.

Vlastnosti unie:

1. XUY= YUY-komutativity

2. (X UY)UZ =XU (YUZ)=XUYUZ - asociativita

4.XU já = já

Z vlastností operací průniku a sjednocení je vidět, že prázdná množina je analogická nule v algebře čísel.

3. Rozdíl množin

Definice: Tato operace, na rozdíl od operací průniku a sjednocení, je definována pouze pro dvě množiny. Rozdíl množin X a Y je množina sestávající ze všech a pouze těch prvků, které patří do X a nepatří do Y.

Například: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) rozdíl (1,3)

Jak jsme již viděli, roli nuly v algebře množin hraje prázdná množina. Definujeme množinu, která bude hrát roli jednotky v algebře množin

4. Doplnění sestavy

Doplněk množiny X je rozdíl mezi I a X.

Vlastnosti doplňků:

1. Množina X a její doplněk nemají společné prvky

2. Libovolný prvek I patří buď do množiny X, nebo do jejího doplňku.

2 OTÁZKA Soubory čísel

Celá čísla− čísla používaná při počítání (výčet) položek: N=(1,2,3,…)

Přirozená čísla včetně nuly− čísla používaná k označení počtu položek: N0=(0,1,2,3,…)

Celá čísla− zahrnují přirozená čísla, čísla opačná k přirozeným číslům (tj. se záporným znaménkem) a nulu. Celá kladná čísla: Z+=N=(1,2,3,…) Celá záporná čísla: Z−=(…,−3,−2,−1) Z=Z−∪(0)∪Z+=(…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…)

Racionální čísla− čísla reprezentovaná jako společný zlomek a/b, kde aab jsou celá čísla a b≠0. Q=(x∣x=a/b,a∈Z,b∈Z,b≠0) desetinný racionální číslo je reprezentováno konečným nebo nekonečným periodickým zlomkem.

Iracionální čísla− čísla, která jsou reprezentována jako nekonečný neperiodický desetinný zlomek.

Reálná (reálná) čísla− spojení racionálních a iracionálních čísel: R

Komplexní čísla C=(x+iy∣x∈R a y∈R), kde i je imaginární jednotka.

Modul reálného čísla a vlastnosti

Modul reálného čísla je absolutní hodnota tohoto čísla.

Jednoduše řečeno, při přebírání modulu je potřeba odhodit jeho znaménko z čísla.

Absolutní hodnota čísla A označené |a|. Všimněte si, že modul čísla je vždy nezáporný: |a|≥ 0.

|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45

Cílová: Představit koncept "průniku" množin a odpovídající grafické modely v podobě Eulerových kružnic. Zadejte označení průniku množin.

Opakování, kontrola d/z:

Co znamená slovo „mnoho“?

Jak nazýváme prvek množiny?

Jaké jsou prvky sady?

Jak se množiny rozlišují podle počtu prvků?

Jak můžete definovat sadu? (výčet prvků, charakteristická vlastnost)

Jaká vlastnost se nazývá charakteristická vlastnost?

Jaké množiny se nazývají rovné?

Jaké matematické „hieroglyfy“ používáme pro zkrácený zápis?

Co je podmnožina?

Co jsou Eulerovy kruhy? proč jsou? (Eulerovy kruhy jsou geometrický diagram, který lze použít k zobrazení vztahů mezi podmnožinami pro vizuální znázornění)

Co je to sjednocení množin? Asociace znamení.

Rozhodni se cvičení 1, 2, 3. Zkontrolujte cvičení 1, 2 od d / h.

Zkontrolujte cvičení 3 z d / z (všechna navržená řešení)

Zkontrolujte cvičení z domácí práce:

Jsou dány soubory: A = (2; 3; 8), B = (2; 3; 8; 11) a C = (5; 11).

Najděte: a) A ∪ B; b) A ∪ C; c) C ∪ B.

A je množina sudých přirozená čísla, B je množina dvouciferných čísel. Sestavte charakteristickou vlastnost sjednocení těchto množin. Uveďte příklady prvků této množiny.

Řešení: A ∪ B je množina sudých přirozených čísel nebo dvouciferných čísel. Příklady 4, 8, 11, 32, 51 atd.

Ve třídě je 30 lidí, z nichž každý zpívá nebo tančí. Je známo, že 17 lidí zpívá a 19 lidí umí tančit. Kolik lidí zpívá a tančí současně?

Řešení: Nejprve si všimněte, že z 30 lidí (na 1. obrázku - sada B) neumím zpívat 30-17 (na 1. obrázku - sada A)= 13 lidí (na 1. obrázku - stínovaná sada).

13 lidí tedy nemůže zpívat. Všichni vědí, jak tančit, protože podle kondice každý žák třídy zpívá nebo tančí. Tančit může celkem 19 lidí (na 2. obrázku - sada B), z toho 13 (na 2. obrázku - sada A) neumí zpívat, to znamená, že 19-13 = 6 lidí může tančit a zpívat současně (na 2. obrázku - stínovaná sada).

Cvičení 1: Sestavte úkol podle výkresu:

Cvičení 2: Zadané množiny: A = (1; 2; 5; 7) a B = (3; 5; 7). Najděte spojení těchto množin.

Řešení: A∪ B = (1; 2; 5; 7; 3).

Cvičení 3:Jsou dány množiny: A = (3, 5, 0, 11, 12, 19), B = (2, 4, 8, 12, 18, 0). Najděte množinu A U B.

Řešení: A∪ B = (3, 5, 0, 11, 12, 19, 2, 4, 8, 18}.

Objev nových poznatků: PRŮNIK SET

Jak jste dostali sadu "ovoce" na obrázek? (spojení množin "jablka" a "hrušky")

Jak myslíte, jak vznikla sestava „žlutých“? Co je součástí této sady, jaké prvky?

Správně, žluté hrušky a žlutá jablka jsou souborem vzniklým průnikem souboru „jablka“ a souboru „hrušek“.

Jaké prvky jsou průnikem těchto množin? (společné, identické)

Cvičení 1: Jsou dány dvě množiny A = (1; 2; 5; 7) a B = (4; 5; 6; 7; 8; 9; 10). Jaké prvky těchto množin budou podle vás jejich průnikem?

Podívejte se na jiný obrázek a pokuste se vytvořit definici průniku dvou množin.

Nastavte křižovatkuX aY nazývá se množina sestávající ze všech společných (identických) prvků množinX aY , tj. všech prvků, které patří a nastavujíX , a mnohoY .

Co myslíte, jaká aritmetická operace odpovídá křižovatce? (násobení, součin)

Označení:X ∩ Y .

Je vhodné reprezentovat množiny jako Eulerovy kružnice.

Na obrázku množina průniků množin X a Y přemalováno oranžová barva.

Jak budeme skládat průnik dvou množin?

Aby se vytvořil průnik dvou číselné sady, musíme postupně vzít prvky první sady a zkontrolovat, zda patří do druhé sady. Ty z nich, které patří a budou průsečíkem.

Cvičení 2:Najděte průsečík množinAaB, pokudA=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) aB={2,4,6,8,10}.

A∩ B={2,4,6,8}.

Cvičení 3:Najděte průsečík množinAaB, pokudA=(2,4,6) aB=(2,4,6,8,10). Řešení nakreslete pomocí Eulerových kružnic.

Řešení: Najděte společné (shodné) prvky množin.

A∩ B=(2,4,6,) = A.

Cvičení 4:Najděte průsečík množinAaB, pokudA=(0,1,2,3,4,5) aB=(6,8,10). Řešení nakreslete pomocí Eulerových kružnic.

Řešení: Najděte společné (shodné) prvky množin. Nejsou tady.

A ∩ B =.

6-A

Pokud dvě množiny nemají žádné společné prvky, pak průnik těchto množin je prázdná množina.

Jak můžeme najít průsečík tří množin?

Použijte Eulerovy kruhy k reprezentaci spojení tří sad: A, B a C.

V jakém pořadí jsi je přešel?

Opravdu, výsledek průniku množin nezávisí na pořadí operací:

Nastavit vlastnosti křižovatky:

1. Operace průniku množin je komutativní: A ∩ B = B ∩ A;

2. Operace průniku množin je tranzitivní: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);

3. Univerzální množina X je neutrálním prvkem operace průniku množin: A ∩ X = A;

4. Operace průniku množin je idempotentní: A ∩ A = A;

5. Je-li prázdná množina, pak: А ∩ = .

Shrnutí lekce, reflexe

nejvíc se mi povedlo...

Bylo to pro mě zjevení, že...

Za co se můžete pochválit?

Co se podle vás nepovedlo? Proč? Co zvážit do budoucna?

Moje úspěchy ve třídě

Domácí práce: abstrakt, cvičení:

Jsou dány sady: A \u003d (a; b; c; d), B \u003d (c; d; e; f) a C \u003d (c; e; q; k).

Najděte: (A ∪ B) ∪ C.

A je množina sudých přirozených čísel, B je množina dvouciferných čísel. Sestavte charakteristickou vlastnost průniku těchto množin. Uveďte příklady prvků této množiny.

Řešení: A ∩ B je množina sudých přirozených čísel a dvouciferná čísla. Příklady 42, 86, 12, 32, 50 atd.

Každý student ve třídě se učí anglicky nebo francouzsky. anglický jazyk 25 studentů studuje francouzštinu, 27 studentů a 18 studentů dva jazyky. Kolik studentů je ve třídě?