Online kalkulačka Polynomiální zjednodušení, Polynomiální násobení. Polynom, jeho standardní tvar, stupeň a koeficienty členů

Mezi různými výrazy, které jsou v algebře uvažovány, zaujímají důležité místo součty monomií. Zde jsou příklady takových výrazů:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Součet monočlenů se nazývá polynom. Termíny v polynomu se nazývají členy polynomu. Mononomy se také označují jako polynomy, přičemž mononom považujeme za polynom sestávající z jednoho člena.

Například polynom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
lze zjednodušit.

Všechny termíny zastupujeme jako monočleny standardního tvaru:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Ve výsledném polynomu dáváme podobné členy:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Výsledkem je polynom, jehož všechny členy jsou monočleny standardního tvaru a mezi nimi žádné podobné nejsou. Takové polynomy se nazývají polynomy standardního tvaru.

Za polynomiální stupeň standardní forma přebírá největší z pravomocí svých členů. Takže binom \(12a^2b - 7b \) má třetí stupeň a trinom \(2b^2 -7b + 6 \) má druhý.

Obvykle jsou členy standardních tvarových polynomů obsahujících jednu proměnnou uspořádány v sestupném pořadí jejích exponentů. Například:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Součet několika polynomů lze převést (zjednodušit) do standardního tvaru polynomu.

Někdy je třeba členy polynomu rozdělit do skupin a každou skupinu uzavřít do závorek. Vzhledem k tomu, že závorky jsou opakem závorek, je snadné je formulovat pravidla otevírání závorek:

Je-li znaménko + umístěno před závorkami, pak se výrazy v závorkách píší se stejnými znaménky.

Je-li před závorkou umístěn znak „-“, pak se výrazy uzavřené v závorkách píší s opačnými znaménky.

Transformace (zjednodušení) součinu monočlenu a polynomu

Pomocí distributivní vlastnosti násobení lze transformovat (zjednodušit) součin monomiu a polynomu na polynom. Například:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b – 45a^3b^2 – 36a^2b^3 \)

Součin monočlenu a mnohočlenu je shodně roven součtu součinů tohoto monočlenu a každého z členů mnohočlenu.

Tento výsledek je obvykle formulován jako pravidlo.

Chcete-li vynásobit monočlen polynomem, musíte tento monočlen vynásobit každým z členů polynomu.

Toto pravidlo jsme opakovaně použili pro násobení součtem.

Součin polynomů. Transformace (zjednodušení) součinu dvou polynomů

Obecně platí, že součin dvou polynomů je shodně roven součtu součinu každého členu jednoho polynomu a každého členu druhého.

Obvykle použijte následující pravidlo.

Chcete-li vynásobit polynom polynomem, musíte vynásobit každý člen jednoho polynomu každým členem druhého a sečíst výsledné součiny.

Zkrácené vzorce násobení. Čtverce součtu, rozdílu a rozdílu

S některými výrazy algebraické transformace musí řešit víc než ostatní. Snad nejběžnějšími výrazy jsou \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) a \(a^2 - b^2 \), tedy druhá mocnina součtu, druhou mocninou rozdílu a druhou mocninou rozdílu. Všimli jste si, že názvy těchto výrazů se zdají být neúplné, takže například \((a + b)^2 \) samozřejmě není jen druhá mocnina součtu, ale druhá mocnina součtu a a b. Druhá mocnina součtu a a b však není tak častá, zpravidla místo písmen a a b obsahuje různé, někdy dosti složité výrazy.

Výrazy \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) lze snadno převést (zjednodušit) na polynomy standardního tvaru, ostatně s takovým úkolem jste se již setkali při násobení polynomů :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Výsledné identity je užitečné si zapamatovat a použít bez průběžných výpočtů. K tomu napomáhají krátké slovní formulace.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - druhá mocnina součtu je rovna součtu druhých mocnin a dvojitého součinu.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - druhá mocnina rozdílu je součet druhých mocnin bez zdvojnásobení součinu.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - rozdíl druhých mocnin je roven součinu rozdílu a součtu.

Tyto tři identity umožňují v transformacích nahradit jejich levé části pravými a naopak - pravé části levými. Nejobtížnější v tomto případě je vidět odpovídající výrazy a pochopit, čím jsou v nich nahrazeny proměnné a a b. Podívejme se na pár příkladů použití zkrácených vzorců pro násobení.

V této lekci si připomeneme hlavní definice tohoto tématu a zvážíme některé typické úkoly, jmenovitě převedení polynomu do standardního tvaru a výpočet číselné hodnoty pro dané hodnoty proměnných. Budeme řešit několik příkladů, ve kterých bude použita redukce na standardní formu při řešení různých druhů problémů.

Téma:Polynomy. Aritmetické operace s monočleny

Lekce:Redukce polynomu na standardní tvar. Typické úkoly

Připomeňme si základní definici: polynom je součet monočlenů. Každý monočlen, který je součástí polynomu jako člen, se nazývá jeho členem. Například:

Binomický;

Polynom;

Binomický;

Vzhledem k tomu, že se polynom skládá z monočlenů, první akce s polynomem následuje odtud - musíte uvést všechny monočleny do standardního tvaru. Připomeňme, že k tomu musíte vynásobit všechny číselné faktory - získat číselný koeficient a vynásobit odpovídající mocniny - získat část písmene. Kromě toho věnujme pozornost větě o součinu mocnin: při násobení mocnin se jejich exponenty sčítají.

Zvažte důležitou operaci – převedení polynomu do standardního tvaru. Příklad:

Komentář: Chcete-li převést polynom do standardního tvaru, musíte do standardního formuláře uvést všechny monočleny, které jsou jeho součástí, poté, pokud existují podobné monočleny - a to jsou monočleny se stejnou částí písmene - proveďte akce s nimi.

Uvažovali jsme tedy o prvním typickém problému – převedení polynomu do standardního tvaru.

Dalším typickým úkolem je výpočet konkrétní hodnoty polynomu pro dané číselné hodnoty proměnných v něm obsažených. Pokračujme v zvažování předchozího příkladu a nastavme hodnoty proměnných:

Komentář: Připomeňme, že jednotka v žádném přirozený stupeň je rovna jedné a nula jakékoli přirozené mocnině je rovna nule, navíc si připomínáme, že když vynásobíme libovolné číslo nulou, dostaneme nulu.

Zvažte několik příkladů typických operací převedení polynomu do standardního tvaru a výpočtu jeho hodnoty:

Příklad 1 – převedení do standardního formuláře:

Komentář: první akce - monomiály uvádíme do standardního formuláře, musíte přinést první, druhý a šestý; druhá akce - dáme podobné členy, to znamená, že na nich provedeme dané aritmetické operace: první se přidá k pátému, druhý ke třetí, zbytek se přepíše beze změn, protože podobné nemají.

Příklad 2 - vypočítejte hodnotu polynomu z příkladu 1 za předpokladu hodnot proměnných:

Komentář: při výpočtu je třeba pamatovat na to, že jednotka v jakémkoli přirozeném stupni je jednotkou, pokud je obtížné vypočítat mocniny dvou, můžete použít mocninnou tabulku.

Příklad 3 - místo hvězdičky vložte takový jednočlen, aby výsledek neobsahoval proměnnou:

Komentář: bez ohledu na úlohu je první akce vždy stejná - uvést polynom do standardního tvaru. V našem příkladu je tato akce omezena na sesílání podobných členů. Poté byste si měli znovu pečlivě přečíst stav a zamyslet se nad tím, jak se můžeme monomiálu zbavit. je zřejmé, že k tomu musíte přidat stejný monomiál, ale s opačným znaménkem -. poté hvězdičku nahradíme tímto monomilem a ujistíme se, že naše rozhodnutí je správné.

Po prostudování monočlenů přejdeme k polynomům. Tento článek vám řekne o všech nezbytných informacích potřebných k provádění akcí na nich. Definujeme polynom s doprovodnými definicemi polynomického pojmu, tedy volného a podobného, ​​uvážíme polynom standardního tvaru, zavedeme stupeň a naučíme se jej najít, pracovat s jeho koeficienty.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Polynom a jeho členy - definice a příklady

Definice polynomu byla potřeba v 7 třídy po studiu monomiálů. Podívejme se na jeho úplnou definici.

Definice 1

polynom uvažuje se součet monočlenů a samotný monočlen je zvláštním případem polynomu.

Z definice vyplývá, že příklady polynomů mohou být různé: 5 , 0 , − 1 , X, 5 a b 3, x 2 0 , 6 x (− 2) y 12 , - 2 13 x y 2 3 2 3 x x 3 y z a tak dále. Z definice to máme 1+x, a 2 + b 2 a výraz x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y2 + 5, 2 · y · x jsou polynomy.

Podívejme se na další definice.

Definice 2

Členové polynomu jeho základní monomiály se nazývají.

Uvažujme tento příklad, kde máme polynom 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3 , sestávající ze 4 členů: 3 x 4 , − 2 x y , 3 a -y 3. Takový monočlen lze považovat za polynom, který se skládá z jednoho členu.

Definice 3

Polynomy, které mají ve svém složení 2, 3 trinomy, mají odpovídající název - binomický a trojčlenný.

Z toho vyplývá, že výraz formy x+y– je dvojčlen a výraz 2 x 3 q − q x x + 7 b je trojčlen.

Podle školního vzdělávacího programu se pracovalo s lineárním binomem tvaru a x + b, kde a a b jsou nějaká čísla a x je proměnná. Uvažujme příklady lineárních binomů ve tvaru: x + 1 , x · 7 , 2 − 4 s příklady čtvercových trinomů x 2 + 3 · x − 5 a 2 5 · x 2 - 3 x + 11 .

Pro transformaci a řešení je nutné najít a přinést podobné termíny. Například polynom ve tvaru 1 + 5 x − 3 + y + 2 x má stejné členy 1 a - 3, 5 x a 2 x. Jsou rozděleny do zvláštní skupiny nazývané podobné členy polynomu.

Definice 4

Podobné členy polynomu jsou jako termíny v polynomu.

Ve výše uvedeném příkladu máme, že 1 a - 3 , 5 x a 2 x jsou podobné členy polynomu nebo podobné členy. Pro zjednodušení výrazu najděte a zredukujte podobné výrazy.

Standardní tvar polynomu

Všechny monočleny a polynomy mají svá specifická jména.

Definice 5

Standardní tvar polynomu Nazývá se polynom, ve kterém každý jeho člen má jednočlen standardního tvaru a neobsahuje podobné členy.

Z definice je vidět, že je možné redukovat polynomy standardního tvaru, například 3 x 2 − x y + 1 a __formula__ a záznam je ve standardní formě. Výrazy 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z a 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z nejsou polynomy standardního tvaru, protože první z nich má podobné členy ve tvaru 3 x 2 a − x2 a druhý obsahuje monočlen tvaru x · y 3 · x · z 2 , který se liší od standardního polynomu.

Pokud to okolnosti vyžadují, někdy se polynom redukuje do standardního tvaru. Pojem volného členu polynomu je také považován za polynom standardního tvaru.

Definice 6

Volný člen mnohočlenu je polynom standardního tvaru bez písmenné části.

Jinými slovy, když má zápis polynomu ve standardním tvaru číslo, nazývá se volný člen. Pak je číslo 5 volným členem polynomu x 2 · z + 5 a mnohočlen 7 · a + 4 · a · b + b 3 žádný volný člen nemá.

Stupeň polynomu - jak ho najít?

Definice stupně polynomu vychází z definice polynomu standardního tvaru a ze stupňů monočlenů, které jsou jeho součástmi.

Definice 7

Stupeň polynomu standardního tvaru jmenuj největší z mocností obsažených v jeho zápisu.

Podívejme se na příklad. Stupeň polynomu 5 x 3 − 4 je roven 3, protože monočleny zahrnuté v jeho složení mají stupně 3 a 0 a největší z nich je 3. Definice stupně z polynomu 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x se rovná největšímu z čísel, tedy 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 a 1 , tedy 5 .

Je třeba zjistit, jak se samotný titul zjišťuje.

Definice 8

Stupeň polynomu libovolného čísla je stupeň odpovídajícího polynomu ve standardním tvaru.

Když polynom není zapsán ve standardním tvaru, ale potřebujete najít jeho stupeň, musíte ho zmenšit na standardní tvar a pak najít požadovaný stupeň.

Příklad 1

Najděte stupeň polynomu 3 a 12 − 2 a b c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.

Řešení

Nejprve představíme polynom ve standardním tvaru. Dostaneme výraz jako:

3 a 12 − 2 a b c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 (a a) (b b) (c c) + y 2 z 2 = = − 2 a 2 b 2 c 2 + y 2 z 2

Při získávání polynomu standardního tvaru zjistíme, že dva z nich jsou jasně rozlišeny - 2 · a 2 · b 2 · c 2 a y 2 · z 2 . Abychom našli stupně, vypočítáme a dostaneme, že 2 + 2 + 2 = 6 a 2 + 2 = 4 . Je vidět, že největší z nich se rovná 6. Z definice vyplývá, že právě 6 je stupeň polynomu − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2, tedy původní hodnota.

Odpovědět: 6 .

Koeficienty členů polynomu

Když jsou všechny členy polynomu monočleny standardního tvaru, pak v tomto případě mají jméno koeficienty členů polynomu. Jinými slovy, lze je nazvat koeficienty polynomu.

Při zvažování příkladu je vidět, že polynom tvaru 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 má ve svém složení 4 polynomy: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x a 7 s jejich příslušnými koeficienty 2 , − 0 , 5 , 3 a 7 . 2 , − 0 , 5 , 3 a 7 jsou tedy považovány za koeficienty členů daného polynomu ve tvaru 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 . Při přepočtu je důležité věnovat pozornost koeficientům před proměnnými.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Polynom je součet monočlenů. Pokud jsou všechny členy polynomu zapsány ve standardním tvaru (viz bod 51) a provede se redukce podobných členů, získá se polynom standardního tvaru.

Jakýkoli celočíselný výraz lze převést na polynom standardního tvaru - k tomu slouží transformace (zjednodušení) celočíselných výrazů.

Zvažte příklady, ve kterých musí být celý výraz zredukován na standardní formu polynomu.

Řešení. Nejprve převedeme členy polynomu do standardního tvaru. Získáme Po redukci podobných členů získáme polynom standardního tvaru

Řešení. Pokud je před závorkami znaménko plus, lze závorky vynechat a zachovat znaménka všech výrazů uzavřených v závorkách. Pomocí tohoto pravidla pro otevírání závorek získáme:

Řešení. Je-li před závorkami ziak „mínus“, lze závorky vynechat změnou znamének všech termínů uzavřených v závorkách. Pomocí tohoto pravidla pro escapování závorek získáme:

Řešení. Součin monočlenu a mnohočlenu se podle zákona o rozdělení rovná součtu součinů tohoto monočlenu a každého člena mnohočlenu. Dostaneme

Řešení. My máme

Řešení. My máme

Zbývá uvést podobné termíny (jsou podtržené). Dostaneme:

53. Vzorce pro zkrácené násobení.

V některých případech se redukce celého výrazu na standardní formu polynomu provádí pomocí identit:

Tyto identity se nazývají zkrácené násobící vzorce,

Uvažujme příklady, ve kterých je nutné převést daný výraz do standardní formy myogles.

Příklad 1.

Řešení. Pomocí vzorce (1) získáme:

Příklad 2.

Řešení.

Příklad 3.

Řešení. Pomocí vzorce (3) získáme:

Příklad 4

Řešení. Pomocí vzorce (4) získáme:

54. Faktorizace polynomů.

Někdy můžete převést polynom na součin několika faktorů - polynomů nebo podtermů. Taková transformace identity se nazývá faktorizace polynomu. V tomto případě se říká, že polynom je dělitelný každým z těchto faktorů.

Zvažte některé způsoby faktorizace polynomů,

1) Vyjmutí společného činitele ze závorky. Tato transformace je přímým důsledkem distributivního zákona (pro přehlednost je pouze nutné tento zákon přepsat „zprava doleva“):

Příklad 1. Faktorizace polynomu

Řešení. .

Obvykle se při vyjímání společného faktoru ze závorek každá proměnná obsažená ve všech členech polynomu vyjme s nejmenším exponentem, který má v tomto polynomu. Pokud jsou všechny koeficienty polynomu celá čísla, pak se jako koeficient společného faktoru bere největší modulo společný dělitel všechny koeficienty polynomu.

2) Použití zkrácených vzorců pro násobení. Vzorce (1) - (7) z odstavce 53, čtené „zprava doleva, se v mnoha případech ukazují jako užitečné pro faktorování polynomů.

Příklad 2. Faktorizace.

Řešení. My máme . Použitím vzorce (1) (rozdíl čtverců) získáme . Uplatňuje se

nyní vzorce (4) a (5) (součet kostek, rozdíl kostek), dostaneme:

Příklad 3.

Řešení. Nejprve vyjmeme ze závorky společný faktor. K tomu najdeme největšího společného dělitele koeficientů 4, 16, 16 a nejmenších exponentů, se kterými jsou proměnné a a b zahrnuty v monočlenech tvořících tento polynom. Dostaneme:

3) Metoda seskupování. Je založen na skutečnosti, že komutativní a asociativní zákony sčítání umožňují seskupovat členy polynomu různé způsoby. Někdy je možné takové seskupení, že po závorce společných faktorů v každé skupině zůstane v závorkách jeden a tentýž polynom, který zase jako společný faktor může být uzavřen. Zvažte příklady faktorizace polynomu.

Příklad 4.

Řešení. Seskupíme to takto:

V první skupině vyjmeme společný faktor ve druhé skupině - společný faktor 5. Dostaneme Nyní polynom jako společný faktor vyjmeme ze závorky: Získáme tedy:

Příklad 5

Řešení. .

Příklad 6

Řešení. Zde žádné seskupení nepovede k výskytu stejného polynomu ve všech skupinách. V takových případech se někdy ukáže být užitečné reprezentovat libovolný člen polynomu jako součet a pak zkusit znovu použít metodu seskupení. V našem příkladu je vhodné reprezentovat jako součet Dostaneme

Příklad 7

Řešení. Přidáme a odečteme jednočlen, dostaneme

55. Polynomy v jedné proměnné.

Polynom, kde a, b jsou proměnná čísla, se nazývá polynom prvního stupně; polynom, kde a, b, c jsou proměnná čísla, se nazývá polynom druhého stupně nebo čtvercový trinom; polynom, kde a, b, c, d jsou čísla, proměnná se nazývá polynom třetího stupně.

Obecně, jestliže o je proměnná, pak polynom

se nazývá lshomogenní stupeň (vzhledem k x); , m-členy polynomu, koeficienty, vedoucí člen polynomu, a je koeficient vedoucího členu, volný člen polynomu. Obvykle se polynom zapisuje v klesající mocnině proměnné, tj. stupně proměnné postupně klesají, zejména je na prvním místě nadřazený a na posledním volný. Stupeň polynomu je stupeň vedoucího členu.

Například polynom pátého stupně, ve kterém je vedoucí člen 1 volným členem polynomu.

Kořen polynomu je hodnota, při které polynom zaniká. Například číslo 2 je kořenem polynomu, protože

Podle definice je polynom algebraický výraz představující součet monočlenů.

Například: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 jsou polynomy a výraz z/(x - x*y^2 + 4) není polynom, protože to není součet monočlenů. Polynom se někdy také nazývá polynom a monočleny, které jsou součástí polynomu, jsou členy polynomu nebo monočlenů.

Komplexní pojetí polynomu

Pokud se polynom skládá ze dvou členů, pak se nazývá binom, pokud se skládá ze tří - trinom. Nepoužívají se názvy čtyřčlenný, pětičlenný a další a v takových případech se říká jednoduše polynom. Taková jména, v závislosti na počtu termínů, dávají vše na své místo.

A termín monomiální se stává intuitivním. Z hlediska matematiky je monočlen speciálním případem polynomu. Monomial je polynom, který má pouze jeden člen.

Stejně jako monočlen má i polynom svůj vlastní standardní pohled. Standardní tvar mnohočlenu je takový zápis mnohočlenu, ve kterém jsou všechny monočleny v něm obsažené jako termíny zapsány ve standardním tvaru a jsou uvedeny podobné termíny.

Standardní tvar polynomu

Postup pro uvedení polynomu do standardního tvaru spočívá v převedení každého z monočlenů do standardního tvaru a poté sečtení všech takových monočlenů dohromady. Sčítání podobných členů polynomu se nazývá redukce podobných členů.
Uveďme například podobné členy v polynomu 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

Výrazy 4*a*b^2*c^3 a 6*a*b^2*c^3 jsou zde podobné. Součet těchto členů bude jednočlenný 10*a*b^2*c^3. Proto lze původní polynom 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b přepsat jako 10*a*b^2*c^3 - a* b . Tento záznam bude standardní formou polynomu.

Ze skutečnosti, že jakýkoli monočlen lze redukovat do standardního tvaru, také vyplývá, že jakýkoli polynom může být redukován do standardního tvaru.

Když je polynom redukován do standardního tvaru, můžeme mluvit o takovém konceptu, jako je stupeň polynomu. Stupeň polynomu je největší stupeň monočlenu obsažený v daném polynomu.
Takže například 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 je polynom pátého stupně, protože maximální stupeň monomiu zahrnutý v polynomu (5*x^3*y^ 2) je pátá.