สามเหลี่ยม . สามเหลี่ยมเฉียบพลัน ป้าน และสามเหลี่ยมมุมฉาก

ขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก หน้าจั่วและสามเหลี่ยมด้านเท่า

ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม

มุมด้านนอกของรูปสามเหลี่ยม สัญญาณความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

เส้นและจุดที่ยอดเยี่ยมในรูปสามเหลี่ยม: ความสูง ค่ามัธยฐาน

bisectors, ค่ามัธยฐานอี ตั้งฉาก, ออร์โธเซ็นเตอร์,

จุดศูนย์ถ่วง จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส อัตราส่วนกว้างยาวของรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ

สามเหลี่ยม เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้าน (หรือสามมุม) ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมมักใช้อักษรตัวเล็กแทน ซึ่งตรงกับตัวพิมพ์ใหญ่ที่แสดงถึงจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกัน

หากทั้งสามมุมเป็นมุมแหลม ( รูปที่ 20) แล้วนี่ สามเหลี่ยมแหลม . หากมุมใดมุมหนึ่งถูกต้อง(ค, รูปที่ 21), นั่นคือ สามเหลี่ยมมุมฉาก; ข้างก , ขเกิดเป็นมุมฉากเรียกว่า ขา; ด้านข้างคตรงข้ามมุมฉากเรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก. ถ้าหนึ่งในมุมป้าน ( B, รูปที่ 22), นั่นคือ สามเหลี่ยมป้าน


สามเหลี่ยม ABC (รูปที่ 23) - หน้าจั่ว, ถ้า สองด้านเท่ากันเอ= ค); ด้านเท่ากันนี้เรียกว่า ด้านข้างบุคคลที่สามเรียกว่า พื้นฐานสามเหลี่ยม. สามเหลี่ยมเอบีซี (รูปที่ 24) - ด้านเท่ากันหมด, ถ้า ทั้งหมดด้านเท่ากันเอ = ข = ค). โดยทั่วไป ( เอ ≠ ข ≠ ค) เรามี สเกลเน่สามเหลี่ยม .

คุณสมบัติพื้นฐานของสามเหลี่ยม ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ:

1. มีมุมที่ใหญ่กว่าตรงข้ามด้านที่ใหญ่กว่า และในทางกลับกัน

2. มุมเท่ากันอยู่ตรงข้ามด้านเท่ากัน และกลับกัน

โดยเฉพาะทุกมุมใน ด้านเท่ากันหมดสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากัน

3. ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180 º .

จากคุณสมบัติสองประการสุดท้ายจะเป็นไปตามที่แต่ละมุมอยู่ในด้านเท่ากันหมด

สามเหลี่ยมคือ60 º.

4. ต่อด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม (AC, รูปที่ 25) เราได้รับ ภายนอก

มุม BCD . มุมภายนอกของสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมภายใน

ไม่เกี่ยวกัน :BCD=A+B.

5. ใดๆ ด้านของสามเหลี่ยมมีค่าน้อยกว่าผลบวกของอีกสองด้านและอื่นๆ

ความแตกต่างของพวกเขา (เอ < ข + ค, เอ > ข – ค;ข < เอ + ค, ข > เอ – ค;ค < เอ + ข,ค > เอ – ข).

สัญญาณความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมจะเท่ากันถ้าเท่ากันตามลำดับ:

เอ ) สองด้านและมุมระหว่างพวกเขา

ข ) สองมุมและด้านที่อยู่ติดกัน

c) สามด้าน

สัญญาณความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สอง สี่เหลี่ยมสามเหลี่ยมจะเท่ากัน ถ้าเงื่อนไขใด ๆ ต่อไปนี้เป็นจริง:

1) ขาของพวกเขาเท่ากัน

2) ขาและด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับขาและด้านตรงข้ามมุมฉากของอีกรูปหนึ่ง

3) ด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมของอีกรูปหนึ่ง

4) ขาและมุมแหลมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมหนึ่งมีค่าเท่ากับขาและมุมแหลมที่อยู่ติดกันของอีกรูปหนึ่ง

5) ขาและมุมแหลมตรงข้ามของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับขาและ ตรงข้ามมุมแหลมของอีกด้านหนึ่ง

เส้นและจุดที่ยอดเยี่ยมในรูปสามเหลี่ยม

ส่วนสูง สามเหลี่ยมคือตั้งฉาก,ตกจากจุดยอดใด ๆ ไปยังด้านตรงข้าม ( หรือความต่อเนื่อง). ด้านนี้เรียกว่าฐานของสามเหลี่ยม . ระดับความสูงทั้งสามของสามเหลี่ยมตัดกันเสมอณ จุดหนึ่งเรียกว่า orthocenterสามเหลี่ยม. orthocenter ของรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลัน (pointอู๋ , รูปที่ 26) อยู่ภายในสามเหลี่ยมและorthocenter ของสามเหลี่ยมป้าน (pointอู๋ , รูปที่ 27) – ข้างนอก; จุดศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ของสามเหลี่ยมมุมฉากตรงกับจุดยอดของมุมฉาก

ค่ามัธยฐาน - นี่คือ ส่วนของเส้น เชื่อมจุดยอดใดๆ ของสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ค่ามัธยฐานสามของรูปสามเหลี่ยม (พ.ศ. , พ.ศ. , CF , fig.28) ตัดกันที่จุดหนึ่ง อู๋ ซึ่งอยู่ในรูปสามเหลี่ยมเสมอและเป็นของเขา จุดศูนย์ถ่วง. จุดนี้แบ่งแต่ละค่ามัธยฐาน 2:1 จากด้านบน

แบ่งครึ่ง - นี่คือ ส่วนแบ่งครึ่งมุมจากบนลงล่าง ทางแยกกับฝั่งตรงข้าม สามเสี้ยวของสามเหลี่ยม (พ.ศ. , พ.ศ. , CF , fig.29) ตัดกันที่จุดหนึ่ง โอ้ นอนอยู่ในสามเหลี่ยมเสมอและ สิ่งมีชีวิต จารึกวงกลมตรงกลาง(ดูหัวข้อ "จารึกและรูปหลายเหลี่ยมที่ล้อมรอบ)

bisector แบ่งฝั่งตรงข้ามออกเป็นส่วนๆ ตามสัดส่วนของด้านประชิด ; ตัวอย่างเช่น ในรูปที่ 29 AE : CE = AB : BC .

มัธยฐานตั้งฉาก เป็นเส้นตั้งฉากจากค่าเฉลี่ยจุดแบ่ง (ด้านข้าง) เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากสามเส้นของสามเหลี่ยม ABC(KO , MO , NO , fig.30 ) ตัดกันที่จุดหนึ่ง O ซึ่งก็คือ ศูนย์กลาง วงล้อม (จุด K , M , N จุดกึ่งกลางของด้านของรูปสามเหลี่ยมเอบีซี)

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จุดนี้อยู่ภายในสามเหลี่ยม ในป้าน - ภายนอก; เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า - ตรงกลางด้านตรงข้ามมุมฉาก Orthocenter, จุดศูนย์ถ่วง, จุดศูนย์กลางของเส้นรอบวงและศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ ตรงกับรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่านั้น

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของขา

การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเห็นได้ชัดจากรูปที่ 31 พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีขา ก , ขและด้านตรงข้ามมุมฉาก ค.

มาสร้างสี่เหลี่ยมกันเถอะ AKMB โดยใช้ด้านตรงข้ามมุมฉาก AB เป็นด้านข้าง แล้วขยายด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC เพื่อให้ได้สี่เหลี่ยม CDEF ที่มีด้านเท่ากับก + ข .ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส CDEF คือ ( a+b) 2 . ในทางกลับกันสิ่งนี้ พื้นที่เท่ากับผลรวมพื้นที่ สามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูปและสี่เหลี่ยม AKMB นั่นคือ

ค 2 + 4 (อะบี / 2) = ค 2 + 2 ท้อง

จากที่นี่,

ค 2 + 2 อะบี= (a+b) 2 ,

และในที่สุดเราก็มี:

ค 2 =เอ 2 +ข 2 .

อัตราส่วนกว้างยาวของรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ

ในกรณีทั่วไป (สำหรับรูปสามเหลี่ยมโดยพลการ) เรามี:

ค 2 =เอ 2 +ข 2 – 2อะบี· cos ค,

ที่ไหน C - มุมระหว่างด้านเอและ ข .

เด็กมากขึ้น อายุก่อนวัยเรียนรู้ว่ารูปสามเหลี่ยมหน้าตาเป็นอย่างไร แต่ด้วยสิ่งที่พวกเขาเป็น พวกเขาเริ่มเข้าใจที่โรงเรียนแล้ว ประเภทหนึ่งคือสามเหลี่ยมป้าน เพื่อให้เข้าใจว่ามันคืออะไร วิธีที่ง่ายที่สุดคือดูภาพด้วยภาพของมัน และในทางทฤษฎี นี่คือสิ่งที่เรียกว่า "รูปหลายเหลี่ยมแบบง่ายที่สุด" ซึ่งมีสามด้านและจุดยอด ซึ่งหนึ่งในนั้นคือ

เข้าใจแนวคิด

ในเรขาคณิต มีตัวเลขประเภทดังกล่าวที่มีสามด้าน: สามเหลี่ยมมุมแหลม มุมฉาก และมุมป้าน นอกจากนี้ คุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดเหล่านี้จะเหมือนกันสำหรับทุกคน ดังนั้นสำหรับสปีชีส์ทั้งหมดที่ระบุไว้จะสังเกตเห็นความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว ผลรวมของความยาวของสองด้านใดๆ ย่อมต้องมากกว่าความยาวของด้านที่สาม

แต่เพื่อให้แน่ใจว่าเรากำลังพูดถึงตัวเลขที่สมบูรณ์ และไม่เกี่ยวกับชุดของจุดยอดแต่ละชุด จำเป็นต้องตรวจสอบว่าตรงตามเงื่อนไขหลักหรือไม่: ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมป้านคือ 180 o เช่นเดียวกับตัวเลขประเภทอื่นที่มีสามด้าน จริง ในรูปสามเหลี่ยมป้านมุมหนึ่งมุมจะมากกว่า 90 o และอีกสองมุมที่เหลือจะต้องมีความคม ในกรณีนี้คือมุมที่ใหญ่ที่สุดที่จะอยู่ตรงข้ามกับด้านที่ยาวที่สุด จริงอยู่ สิ่งเหล่านี้อยู่ไกลจากคุณสมบัติทั้งหมดของสามเหลี่ยมป้าน แต่ถึงแม้จะรู้เพียงคุณสมบัติเหล่านี้ นักเรียนก็สามารถแก้ปัญหามากมายในเรขาคณิตได้

สำหรับทุกรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดสามจุด มันก็จริงเช่นกันที่การดำเนินการต่อด้านใดด้านหนึ่ง เราจะได้มุมที่มีขนาดเท่ากับผลรวมของจุดยอดภายในที่ไม่อยู่ติดกันสองจุด เส้นรอบวงของสามเหลี่ยมมุมป้านคำนวณในลักษณะเดียวกับรูปทรงอื่นๆ เท่ากับผลรวมของความยาวของด้านทั้งหมด ในการตัดสินนักคณิตศาสตร์นั้น ได้ใช้สูตรต่างๆ มา ขึ้นอยู่กับว่าข้อมูลใดปรากฏอยู่ในตอนแรก

สไตล์ที่ถูกต้อง

เงื่อนไขที่สำคัญที่สุดประการหนึ่งในการแก้ปัญหาในเรขาคณิตคือการวาดภาพที่ถูกต้อง ครูสอนคณิตศาสตร์มักจะบอกว่าสิ่งนี้จะช่วยให้ไม่เพียงเห็นภาพสิ่งที่ได้รับและสิ่งที่คุณต้องการ แต่ยังเข้าใกล้คำตอบที่ถูกต้องอีก 80% นั่นคือเหตุผลสำคัญที่ต้องรู้วิธีสร้างสามเหลี่ยมป้าน หากคุณต้องการแค่ตัวเลขสมมุติ คุณสามารถวาดรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้านเพื่อให้มุมใดมุมหนึ่งมากกว่า 90 องศา

หากกำหนดค่าความยาวของด้านหรือองศาของมุมบางค่าก็จำเป็นต้องวาดรูปสามเหลี่ยมมุมป้านตามค่าเหล่านั้น ในเวลาเดียวกัน มีความจำเป็นต้องพยายามวาดภาพมุมต่างๆ ให้ถูกต้องที่สุด คำนวณโดยใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ และแสดงด้านตามสัดส่วนกับเงื่อนไขที่กำหนดในงาน

สายหลัก

บ่อยครั้งที่เด็กนักเรียนรู้เพียงว่าร่างบางควรมีลักษณะอย่างไรไม่เพียงพอ พวกเขาไม่สามารถจำกัดตัวเองให้อยู่ที่ข้อมูลเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมป้านและรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้ หลักสูตรคณิตศาสตร์ระบุว่าความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติหลักของตัวเลขควรมีความสมบูรณ์มากขึ้น

ดังนั้น นักเรียนแต่ละคนควรเข้าใจคำจำกัดความของเส้นแบ่งครึ่ง ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่งแนวตั้งฉาก และส่วนสูง นอกจากนี้ เขาต้องรู้คุณสมบัติพื้นฐานของพวกมันด้วย

ดังนั้น ตัวแบ่งครึ่งแบ่งมุมเป็นครึ่งหนึ่ง และด้านตรงข้ามออกเป็นส่วนๆ ที่เป็นสัดส่วนกับด้านที่อยู่ติดกัน

ค่ามัธยฐานแบ่งสามเหลี่ยมใดๆ ออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน เมื่อถึงจุดที่พวกมันตัดกัน แต่ละส่วนจะถูกแบ่งออกเป็น 2 ส่วนในอัตราส่วน 2: 1 เมื่อมองจากด้านบนที่เป็นต้นกำเนิด ในกรณีนี้ ค่ามัธยฐานที่ใหญ่ที่สุดจะถูกดึงไปทางด้านที่เล็กที่สุดเสมอ

ไม่น้อยให้ความสนใจกับความสูง ซึ่งตั้งฉากกับด้านตรงข้ามจากมุม ความสูงของสามเหลี่ยมป้านมีลักษณะเฉพาะของตัวเอง หากวาดจากจุดยอดแหลม มันจะไม่ตกอยู่ด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุด แต่อยู่ที่ส่วนขยาย

เส้นแบ่งครึ่งแนวตั้งฉากคือส่วนของเส้นตรงที่ออกมาจากกึ่งกลางของใบหน้าของรูปสามเหลี่ยม ในขณะเดียวกันก็ตั้งอยู่ในมุมฉากกับมัน

ทำงานกับแวดวง

ในช่วงเริ่มต้นของการศึกษาเรขาคณิต ก็เพียงพอแล้วสำหรับเด็กที่จะเข้าใจวิธีการวาดสามเหลี่ยมมุมป้าน เรียนรู้ที่จะแยกแยะจากประเภทอื่นและจดจำคุณสมบัติพื้นฐานของมัน แต่สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย ความรู้นี้ไม่เพียงพอ ตัวอย่างเช่น ในการสอบ มักมีคำถามเกี่ยวกับวงเวียนและวงกลมที่ถูกจารึกไว้ จุดแรกสัมผัสจุดยอดทั้งสามของสามเหลี่ยม และจุดที่สองมีจุดร่วมหนึ่งจุดที่มีทุกด้าน

การสร้างสามเหลี่ยมมุมป้านที่จารึกหรือล้อมรอบนั้นยากกว่ามาก เพราะสำหรับสิ่งนี้ คุณต้องค้นหาว่าจุดศูนย์กลางของวงกลมและรัศมีของวงกลมควรอยู่ที่ใดก่อน ในกรณีนี้ ไม่เพียงแต่ดินสอกับไม้บรรทัดเท่านั้น แต่เข็มทิศจะกลายเป็นเครื่องมือที่จำเป็นด้วย

ปัญหาเดียวกันนี้เกิดขึ้นเมื่อสร้างรูปหลายเหลี่ยมที่จารึกไว้ด้วยสามด้าน นักคณิตศาสตร์ได้พัฒนาสูตรต่างๆ ที่ช่วยให้คุณระบุตำแหน่งได้อย่างแม่นยำที่สุด

สามเหลี่ยมจารึก

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้นว่า ถ้าวงกลมผ่านจุดยอดทั้งสามจุดแล้ว เรียกว่าวงกลมรอบวง (circumscribed circle) คุณสมบัติหลักคือมันเป็นหนึ่งเดียว ในการค้นหาว่าวงกลมที่ล้อมรอบของสามเหลี่ยมป้านควรอยู่อย่างไร ต้องจำไว้ว่าจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดตัดของเส้นตั้งฉากค่ามัธยฐานทั้งสามที่อยู่ด้านข้างของรูป หากอยู่ในรูปหลายเหลี่ยมมุมแหลมที่มีจุดยอดสามจุด จุดนี้จะอยู่ด้านใน แล้วในรูปมุมป้าน - ด้านนอก

ตัวอย่างเช่น เมื่อรู้ว่าด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมป้านมีค่าเท่ากับรัศมี เราสามารถหามุมที่อยู่ตรงข้ามกับใบหน้าที่รู้จักได้ ไซน์ของมันจะเท่ากับผลจากการหารความยาวของด้านที่ทราบด้วย 2R (โดยที่ R คือรัศมีของวงกลม) นั่นคือความบาปของมุมจะเท่ากับ ½ ดังนั้นมุมจะเท่ากับ 150 o

หากคุณต้องการหารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบของสามเหลี่ยมมุมป้าน คุณจะต้องการข้อมูลเกี่ยวกับความยาวของด้าน (c, v, b) และพื้นที่ S ท้ายที่สุด รัศมีจะถูกคำนวณดังนี้ : (c x v x b): 4 x S. อย่างไรก็ตาม ไม่ว่าคุณจะมีรูปร่างแบบไหน: สามเหลี่ยมป้านอเนกประสงค์ หน้าจั่ว ขวาหรือแหลม ในทุกสถานการณ์ ด้วยสูตรข้างต้น คุณสามารถค้นหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดซึ่งมีสามด้านได้

สามเหลี่ยมล้อมรอบ

เป็นเรื่องปกติธรรมดาที่จะทำงานกับวงกลมที่จารึกไว้ ตามสูตรหนึ่ง รัศมีของรูปดังกล่าว คูณด้วย ½ ของเส้นรอบรูป จะเท่ากับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม จริง ในการหามัน คุณต้องรู้ด้านของสามเหลี่ยมป้าน อันที่จริง เพื่อที่จะกำหนด ½ ของปริมณฑล จำเป็นต้องเพิ่มความยาวแล้วหารด้วย 2

เพื่อให้เข้าใจว่าจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมป้านควรอยู่ที่ใด จำเป็นต้องวาดเส้นแบ่งครึ่งสามส่วน นี่คือเส้นที่แบ่งครึ่งมุม อยู่ที่สี่แยกซึ่งจุดศูนย์กลางของวงกลมจะตั้งอยู่ ในกรณีนี้จะเท่ากันทุกด้าน

รัศมีของวงกลมดังกล่าวที่จารึกไว้ในสามเหลี่ยมป้านมีค่าเท่ากับผลหาร (p-c) x (p-v) x (p-b) : p ยิ่งกว่านั้น p คือครึ่งปริมณฑลของรูปสามเหลี่ยม c, v, b คือด้านของมัน

เมื่อเรียนคณิตศาสตร์ นักเรียนเริ่มทำความคุ้นเคยกับรูปทรงเรขาคณิตประเภทต่างๆ วันนี้เราจะมาพูดถึง หลากหลายชนิดสามเหลี่ยม.

คำนิยาม

รูปทรงเรขาคณิตที่มีจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันเรียกว่าสามเหลี่ยม

ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดเรียกว่าด้าน และจุดเรียกว่าจุดยอด จุดยอดจะแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A, B, C

ด้านข้างระบุด้วยชื่อของจุดสองจุดที่ประกอบด้วย - AB, BC, AC ตัดกันด้านเป็นมุม ด้านล่างถือเป็นฐานของรูป

ข้าว. 1. สามเหลี่ยม ABC

ประเภทของสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมแบ่งตามมุมและด้านข้าง สามเหลี่ยมแต่ละประเภทมีคุณสมบัติของตัวเอง

มีสามเหลี่ยมสามประเภทที่มุม:

• มุมแหลม;
• สี่เหลี่ยม;
• ป้าน.

ทุกมุม มุมแหลมสามเหลี่ยมมีความแหลมคม กล่าวคือ การวัดดีกรีของแต่ละรูปต้องไม่เกิน 90 0

สี่เหลี่ยมสามเหลี่ยมมีมุมฉาก อีกสองมุมจะเป็นมุมแหลมเสมอ เพราะไม่เช่นนั้นผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมจะเกิน 180 องศา ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ด้านตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉากและอีกสองขา ด้านตรงข้ามมุมฉากมีค่ามากกว่าขาเสมอ

ป้านสามเหลี่ยมมีมุมป้าน นั่นคือมุมที่มากกว่า 90 องศา อีกสองมุมในรูปสามเหลี่ยมนั้นจะเป็นมุมแหลม

ข้าว. 2. ประเภทของสามเหลี่ยมในมุม

สามเหลี่ยมพีทาโกรัสคือสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านเป็น 3, 4, 5

ยิ่งไปกว่านั้น ด้านที่ใหญ่กว่าคือด้านตรงข้ามมุมฉาก

สามเหลี่ยมดังกล่าวมักใช้สร้างปัญหาง่าย ๆ ในเรขาคณิต ดังนั้น จำไว้ว่า ถ้าด้านที่สองของสามเหลี่ยมเป็น 3 แล้วด้านที่สามจะเป็น 5 อย่างแน่นอน ซึ่งจะทำให้การคำนวณง่ายขึ้น

ประเภทของสามเหลี่ยมที่ด้านข้าง:

• ด้านเท่ากันหมด;
• หน้าจั่ว;
• อเนกประสงค์

ด้านเท่ากันหมดสามเหลี่ยมคือรูปสามเหลี่ยมที่ด้านทุกด้านเท่ากัน มุมทุกมุมของสามเหลี่ยมดังกล่าวมีค่าเท่ากับ 60 0 นั่นคือมุมแหลมเสมอ

หน้าจั่วสามเหลี่ยมคือสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสองด้านเท่านั้น ด้านเหล่านี้เรียกว่าด้านข้างและด้านที่สาม - ฐาน นอกจากนี้ มุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะเท่ากันและแหลมเสมอ

อเนกประสงค์หรือรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคือรูปสามเหลี่ยมที่ความยาวและมุมทั้งหมดไม่เท่ากัน

หากไม่มีคำอธิบายเกี่ยวกับตัวเลขในปัญหา เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าเรากำลังพูดถึงรูปสามเหลี่ยมโดยพลการ

ข้าว. 3. ประเภทของสามเหลี่ยมที่ด้านข้าง

ผลรวมของมุมทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยม โดยไม่คำนึงถึงประเภทของมันคือ 1800

ตรงข้ามมุมที่ใหญ่กว่าคือด้านที่ใหญ่กว่า และความยาวของด้านใดด้านหนึ่งก็น้อยกว่าผลรวมของอีกสองข้างที่เหลือเสมอ คุณสมบัติเหล่านี้ได้รับการยืนยันโดยทฤษฎีบทอสมการสามเหลี่ยมไม่เท่ากัน

มีแนวคิดเรื่องสามเหลี่ยมทองคำ นี่คือสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ซึ่งด้านสองด้านเป็นสัดส่วนกับฐานและเท่ากับจำนวนหนึ่ง ในรูปดังกล่าว มุมจะเป็นสัดส่วนกับอัตราส่วน 2:2:1

งาน:

มีสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว 6 ซม. 3 ซม. 4 ซม. หรือไม่?

วิธีการแก้:

ในการแก้ปัญหานี้ คุณต้องใช้อสมการ a

เราได้เรียนรู้อะไรบ้าง?

จากเนื้อหานี้จากหลักสูตรคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 เราได้เรียนรู้ว่าสามเหลี่ยมถูกจำแนกตามด้านและมุม สามเหลี่ยมมีคุณสมบัติบางอย่างที่สามารถใช้ในการแก้ปัญหา

เรื่อง: คณิตศาสตร์

เกรด: เกรด 3

หนังสือเรียน "คณิตศาสตร์" ตอนที่ 2

หัวข้อ: ประเภทของสามเหลี่ยม

ประเภทบทเรียน: การค้นพบความรู้ใหม่

เป้า: เรียนรู้วิธีระบุประเภทของสามเหลี่ยมโดยการวัดความยาวของด้าน

งาน :

1) อัพเดทความรู้เกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิต - สี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยม สามเหลี่ยม

2) ปรับปรุงการบวกและการลบของตัวเลขสามหลัก การหารตัวเลขสองหลักเป็นหนึ่งหลัก สองหลัก และรอบ; การคูณตัวเลขสองหลักกับตัวเลขหนึ่งหลัก

3) ป้อนเงื่อนไข: หน้าจั่ว ด้านเท่า สามเหลี่ยมมุมฉาก

ระหว่างเรียน

1.แรงจูงใจในการ กิจกรรมการเรียนรู้

ดูสิ บอกฉันทีว่ามันคืออะไร?

(พีระมิด)

บอกฉันว่ามันประกอบด้วยอะไร? (ของชิ้นส่วน ระดับ...)

พีระมิดนี้เปรียบได้กับความรู้ของเราหรือไม่? (ใช่)

ทุกๆ วันคุณสร้างปิรามิดมากขึ้นเรื่อยๆ แต่ละระดับของปิรามิดจะเป็นความรู้ใหม่ที่คุณได้รับในบทเรียน และจะเกิดอะไรขึ้นกับปิรามิดถ้าเราลบระดับสีน้ำเงินออก? (มันจะยุบ เล็กลง)

และปิรามิดแห่งความรู้ของเราจะพังลงเพราะอะไร? (เนื่องจากสอบตกไม่ครบ พลาดบทเรียน ไม่ฟังครูให้รอบคอบ)

ต้องทำอะไรเพื่อทำให้พีระมิดของเราแข็งแกร่งและเติบโต? (เรียนบทเรียน เรียนเก่ง ทำการบ้าน ไม่โดดเรียน)

พวกคุณพูดถูกทุกข้อ ทีนี้ลองนึกภาพว่าปิรามิดของเรามีเงา เงามีรูปทรงเรขาคณิตแบบใด?

(ไปทางสามเหลี่ยม)

วันนี้เราจะยังคงทำงานกับรูปทรงเรขาคณิตเช่นสามเหลี่ยมต่อไป

2. การทำให้เป็นจริงของความรู้และการแก้ไขปัญหาในสถานการณ์ปัญหา

คุณคุ้นเคยกับรูปทรงเรขาคณิตอะไร? (สี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยม สามเหลี่ยม)

มีตารางอยู่บนกระดานให้กรอกตามความรู้ของคุณ (นักเรียนแต่ละคนมีการ์ดที่มีตารางดังกล่าว):

รูปทรงเรขาคณิตสองรูปแรกชื่ออะไร (สี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยมในหนึ่งคำนี่คือรูปสี่เหลี่ยม)

คุณรู้จักรูปสี่เหลี่ยมประเภทใด รูปภาพบนสไลด์จะช่วยคุณตอบคำถามนี้

ชื่อของรูปสี่เหลี่ยมปรากฏขึ้นหลังคำตอบของเด็ก

(รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน, สี่เหลี่ยมจัตุรัส, สี่เหลี่ยมผืนผ้า, สี่เหลี่ยมคางหมู, สี่เหลี่ยมด้านขนาน - พวกมันถูกเรียกโดยรูปภาพบนสไลด์หรือกระดาน)

คุณบอกได้ไหมว่าสี่เหลี่ยมคืออะไรและสี่เหลี่ยมคืออะไร?

(สี่เหลี่ยมผืนผ้าคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมฉากทั้งหมด

สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านเท่ากันทุกด้าน)

ค้นหารูปทรงเรขาคณิตพิเศษตามผลลัพธ์ของตาราง (สามเหลี่ยม).

โอเค รูปสี่เหลี่ยมทั้งหมดต่างกันมาก แต่คุณรู้อะไรเกี่ยวกับสามเหลี่ยมนี้บ้าง (สามเหลี่ยมคือ: แหลม, ป้าน, สี่เหลี่ยม)

คุณรู้อะไรอีกเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม? (คำนิยาม)

สามเหลี่ยมคือ รูปทรงเรขาคณิตซึ่งมี 3 มุม 3 จุดยอด 3 ด้าน

กรอกตารางต่อไปนี้ตามความรู้ของคุณ:

(ครูเติมตารางตามคำตอบของเด็ก ความคิดเห็นต่างๆ ปรากฏในคอลัมน์ "ชื่อ" และเด็กบางคนเว้นว่างไว้)

3. การระบุสถานที่และสาเหตุของความยุ่งยาก

คุณทำหน้าที่อะไร (กรอกข้อมูลในตาราง)

ความยากลำบากเกิดขึ้นที่ไหน? (เมื่อเขียนชื่อสามเหลี่ยม)

ทำไมถึงมีปัญหา? (เราไม่รู้ว่าเรียกว่าอะไร)

จุดประสงค์ของบทเรียนคืออะไร? (ค้นหาว่าสามเหลี่ยมประเภทอื่นมีอะไรบ้างนอกเหนือจากที่ทำการศึกษา (มุมป้าน มุมแหลม สี่เหลี่ยม) เรียนรู้วิธีระบุประเภทของสามเหลี่ยมเหล่านี้)

หัวข้อของบทเรียนของเราคืออะไร? (ประเภทของสามเหลี่ยม)

4. การค้นพบความรู้ใหม่

กลับไปที่โต๊ะกันเถอะ

ป้อนขนาดของด้านข้างของสามเหลี่ยม (เข้า.)

โอเค ตอนนี้ดูและบอกฉันว่าคุณสังเกตเห็นอะไร (สามเหลี่ยมแรกมีทุกด้านเท่ากัน สามเหลี่ยมที่สองมี 2 ด้านเท่ากัน และสามเหลี่ยมที่สามมีด้านต่างกัน)

ใช่ แต่คุณคิดชื่อสามเหลี่ยมเหล่านี้ตามคำอธิบายที่คุณเพิ่งให้มาได้ไหม (ใช่)

สามเหลี่ยมที่ทุกด้านเท่ากันเรียกว่าอะไร? นึกถึงคำคุณศัพท์ที่ประกอบด้วยคำ 2 คำ คือ ด้านเท่ากัน (ด้านเท่ากันหมด)

สามเหลี่ยมที่ด้านต่างๆ ต่างกันมีชื่อเรียกว่าอะไร (อเนกประสงค์)

รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากัน 2 ด้านชื่ออะไร (เด็กๆ มีข้อสงสัย ในการตอบคำถามนี้ พวกเขาใช้ตำราหน้า 73) (หน้าจั่ว) แล้วสามเหลี่ยมอะไรอีกที่เราเรียกว่าหน้าจั่ว? (ด้านเท่ากันหมด)

เติมตารางด้วยตัวคุณเองตามความรู้ใหม่

ตอนนี้เราสามารถกำหนดประเภทของสามเหลี่ยมได้หรือไม่? (ใช่)

ด้านเท่ากันหมด สามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามเท่ากัน

หน้าจั่ว สามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันอย่างน้อยสองด้าน สามเหลี่ยมด้านเท่ายังเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

อเนกประสงค์ สามเหลี่ยมที่มีทุกด้านต่างกัน

ตรวจสอบคำจำกัดความของคุณ p.73 -tutorial (ตรวจสอบ.)

คุณถูกต้องในคำจำกัดความของคุณหรือไม่? (ใช่.)

5. การรวมหลักพร้อมการออกเสียงในคำพูดภายนอก

ทำงานให้เสร็จจากตำราหน้า 74 (ใต้?)

1) อเนกประสงค์: 2,3,5

2) หน้าจั่ว: 1,4 , 6, 7

(นักเรียนเขียนในสมุดบันทึก ผลัดกันตอบ โต้เถียง ตัวอย่างถูกตรึงบนกระดาน)

6. งานอิสระ มีการตรวจสอบตนเองตามมาตรฐาน

เสร็จสิ้นภารกิจด้วยตัวเอง ในตอนท้ายของการทำงาน - การตรวจสอบตนเองตามแบบจำลอง (บนกระดานหรือบนการ์ดแต่ละใบ)

№1.กรอกตาราง , แผนผังแสดงรูปสามเหลี่ยม

№2. เขียนตัวเลข:

1) สามเหลี่ยมมุมฉาก

2) หน้าจั่ว จากตัวเลขที่เขียนออกมา ให้ขีดเส้นใต้ตัวเลขของสามเหลี่ยมด้านเท่า

อ้างอิง:

งานหมายเลข 1:

งานหมายเลข 2:

1) สามเหลี่ยมมุมฉาก: 2,3,4

2) สามเหลี่ยมหน้าจั่ว (ขีดเส้นใต้จำนวนสามเหลี่ยมด้านเท่า): 1,5

7. รวมอยู่ในระบบความรู้และการทำซ้ำ

เด็กชายวาดรูปสามเหลี่ยมบนพื้นทรายและเข้ารหัสคำ ค้นหาความหมายของสำนวนที่เขียนในรูปสามเหลี่ยม อันดับแรก ให้แก้ที่เขียนด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่า แล้วแก้ในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว และเดาคำที่เข้ารหัส

คำแนะนำ: เขียนตัวเลขตามลำดับจากน้อยไปมากแล้วคุณจะได้คำ

การ์ด:

วิธีการแก้:

ตอบ ประเภทของสามเหลี่ยม

8. ภาพสะท้อนกิจกรรมการศึกษา

วาดตามพีระมิดแห่งความรู้ประกอบด้วย 7 ระดับ แต่ละระดับคือคำตอบของคำถาม

ตอบคำถาม:

1) พวกคุณเขียนอะไร "ประเภทของสามเหลี่ยม"? (หัวข้อของบทเรียนของเรา)

2) เป้าหมายของเราคืออะไร? (เรียนรู้วิธีเรียกสามเหลี่ยมทั้ง 3 ประเภท เรียนรู้วิธีระบุประเภทเหล่านี้โดยการวัดความยาวของด้าน)

3) คุณรู้จักสามเหลี่ยมประเภทใด (สเกล, หน้าจั่ว, ด้านเท่ากันหมด)

4) ทำไมพวกเขาถึงเรียกอย่างนั้น?

( ด้านเท่ากันหมด สามเหลี่ยมที่มีทุกด้านเท่ากัน

หน้าจั่ว - สามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันอย่างน้อยสองด้าน รวมทั้งสามเหลี่ยมด้านเท่า เพราะมันมีสองด้านเท่ากัน)

อเนกประสงค์ สามเหลี่ยมที่มีทุกด้านต่างกัน

5) คุณได้เรียนรู้วิธีวาดภาพสามเหลี่ยมทุกประเภทหรือไม่? (ใช่ ฉันเอง)

6) คุณค้นพบอะไรในวันนี้? (รูปสามเหลี่ยมชนิดใหม่ ชื่อของมัน)

7) พวกคุณสามารถกำหนดประเภทของสามเหลี่ยมด้วยการวัดได้หรือไม่? (ใช่) ตอนนี้ฉันจะบอกคุณถึงการวัดและคุณยกการ์ดที่มีชื่อประเภทสามเหลี่ยม (การ์ดถูกออกเพิ่มเติม - อย่างละ 3 ใบ)

1. 2 ซม. 3 ซม. 5 ซม. - อเนกประสงค์

2. 4ซม. 4ซม. 2ซม. - หน้าจั่ว

3.6ซม. 6ซม. 6ซม. - ด้านเท่า หน้าจั่ว

ยกมือขึ้น ใครมาถึงจุดสูงสุดของความรู้นี้ในวันนี้? (ยก)

แล้วยกมือขึ้น ใครขาด 1,2 ระดับ (พวกเขายก.)

(ครูวิเคราะห์ "ปิรามิดแห่งความรู้ในเด็กสรุป - ระดับใดที่จมและในบทเรียนต่อไปจะเริ่มอัปเดตความรู้จากสิ่งนี้)

สามเหลี่ยม (จากมุมมองของอวกาศยูคลิด) เป็นรูปทรงเรขาคณิตซึ่งเกิดขึ้นจากสามส่วนที่เชื่อมต่อสามจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียว สามจุดที่เป็นรูปสามเหลี่ยมเรียกว่าจุดยอดและส่วนของเส้นที่เชื่อมต่อจุดยอดเรียกว่าด้านของรูปสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมคืออะไร?

สามเหลี่ยมเท่ากับ

มีสามสัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมอะไรเรียกว่าเท่ากัน? เหล่านี้คือผู้ที่:

• สองด้านและมุมระหว่างด้านเหล่านี้เท่ากัน
• ด้านหนึ่งและสองมุมที่อยู่ติดกันมีค่าเท่ากัน
• ทั้งสามด้านเท่ากัน

สามเหลี่ยมมุมฉากมีเครื่องหมายความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

• ตามมุมแหลมและด้านตรงข้ามมุมฉาก
• ตามมุมแหลมและขา;
• บนสองขา;
• ตามแนวด้านตรงข้ามมุมฉากและสายสวน

สามเหลี่ยมคืออะไร

จากจำนวนด้านเท่ากัน สามเหลี่ยมสามารถเป็น:

• ด้านเท่ากันหมด เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสามด้าน มุมทั้งหมดในสามเหลี่ยมด้านเท่าคือ 60 องศา นอกจากนี้ ศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบและที่จารึกไว้จะตรงกัน
• ไม่เท่ากัน สามเหลี่ยมที่มีด้านไม่เท่ากัน
• หน้าจั่ว. เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีสองด้านเท่ากัน ด้านที่เหมือนกันสองด้านคือด้าน และด้านที่สามคือฐาน ในสามเหลี่ยมดังกล่าว เส้นแบ่งครึ่ง ค่ามัธยฐาน และความสูงจะเท่ากันหากถูกลดระดับลงมาที่ฐาน

ตามขนาดของมุม สามเหลี่ยมสามารถเป็น:

1. ป้าน - เมื่อมุมใดมุมหนึ่งมีค่ามากกว่า 90 องศา นั่นคือ เมื่อมุมป้าน
2. มุมแหลม - ถ้าทั้งสามมุมในรูปสามเหลี่ยมเป็นมุมแหลม นั่นคือ มีค่าน้อยกว่า 90 องศา
3. สามเหลี่ยมใดเรียกว่าสามเหลี่ยมมุมฉาก นี่คือมุมฉากหนึ่งมุมเท่ากับ 90 องศา ขาในนั้นเรียกว่าสองด้านที่สร้างมุมนี้ และด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านตรงข้ามมุมฉาก

คุณสมบัติพื้นฐานของสามเหลี่ยม

1. มุมที่เล็กกว่าจะอยู่ตรงข้ามกับด้านที่เล็กกว่าเสมอ และมุมที่ใหญ่กว่าจะอยู่ตรงข้ามกับด้านที่ใหญ่กว่าเสมอ
2. มุมเท่ากันจะอยู่ตรงข้ามด้านเท่ากันเสมอ และอยู่ตรงข้าม ด้านต่างๆมักจะอยู่ในมุมที่ต่างกัน โดยเฉพาะในสามเหลี่ยมด้านเท่า ทุกมุมมีค่าเท่ากัน
3. ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ ผลรวมของมุมคือ 180 องศา
4. มุมภายนอกสามารถรับได้โดยขยายด้านใดด้านหนึ่งเป็นสามเหลี่ยม ค่าของมุมด้านนอกจะเท่ากับผลรวมของมุมภายในที่ไม่อยู่ประชิดกัน
5. ด้านของสามเหลี่ยมมีค่ามากกว่าผลต่างของอีกสองด้านที่เหลือ แต่น้อยกว่าผลรวม

ในเรขาคณิตเชิงพื้นที่ของ Lobachevsky ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมจะน้อยกว่า 180 องศาเสมอ บนทรงกลม ค่านี้มากกว่า 180 องศา ความแตกต่างระหว่าง 180 องศากับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเรียกว่าข้อบกพร่อง