คณิตศาสตร์

§2 พิกัดของจุดบนเครื่องบิน

3. ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด

ตอนนี้คุณและฉันสามารถพูดคุยเกี่ยวกับจุดในภาษาของตัวเลขได้แล้ว ตัวอย่างเช่น เราไม่จำเป็นต้องอธิบายอีกต่อไป: หาจุดที่อยู่ห่างจากแกนขวาสามหน่วยและต่ำกว่าแกนอีกห้าหน่วย พูดง่ายๆ ก็คือ เข้าใจประเด็นนั้นซะ

เราได้กล่าวไปแล้วว่าสิ่งนี้สร้างข้อได้เปรียบบางประการ ดังนั้นเราจึงสามารถส่งภาพวาดที่ประกอบด้วยจุดทางโทรเลข สื่อสารกับคอมพิวเตอร์ซึ่งไม่เข้าใจภาพวาดเลย แต่เข้าใจตัวเลขได้ดี

ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ เราได้กำหนดจุดบางจุดบนระนาบโดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลข ทีนี้มาลองแปลอย่างอื่นอย่างสม่ำเสมอ แนวคิดทางเรขาคณิตและข้อเท็จจริง

เราจะเริ่มต้นด้วยงานที่เรียบง่ายและทั่วไป

ค้นหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนเครื่องบิน

สารละลาย:
เช่นเคย เราถือว่าจุดต่างๆ ถูกกำหนดโดยพิกัดของมัน จากนั้นงานของเราคือค้นหากฎที่ใช้คำนวณระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ โดยรู้พิกัดของจุดเหล่านั้น เมื่อได้รับกฎนี้แน่นอนว่าอนุญาตให้หันไปใช้รูปวาดได้ แต่กฎนั้นไม่ควรมีการอ้างอิงใด ๆ กับรูปวาด แต่ควรแสดงเฉพาะการกระทำใดและในลำดับใดที่ต้องทำกับตัวเลขที่กำหนด - พิกัด ของจุด - เพื่อให้ได้ตัวเลขที่ต้องการ - ระยะห่างระหว่างจุด

บางทีผู้อ่านบางคนอาจพบว่าแนวทางในการแก้ปัญหานี้แปลกและลึกซึ้ง อะไรที่ง่ายกว่านั้นพวกเขาจะบอกว่าให้คะแนนแม้จะเป็นพิกัดก็ตาม วาดจุดเหล่านี้ ใช้ไม้บรรทัดแล้ววัดระยะห่างระหว่างจุดเหล่านั้น

วิธีการนี้บางครั้งก็ไม่ได้แย่นัก อย่างไรก็ตาม ลองจินตนาการอีกครั้งว่าคุณกำลังติดต่อกับคอมพิวเตอร์ เธอไม่มีไม้บรรทัด และไม่วาดรูป แต่เธอสามารถนับได้เร็วมากจนไม่เป็นปัญหาสำหรับเธอเลย โปรดทราบว่าปัญหาของเราได้รับการกำหนดขึ้นเพื่อให้กฎสำหรับการคำนวณระยะห่างระหว่างจุดสองจุดประกอบด้วยคำสั่งที่เครื่องสามารถดำเนินการได้

เป็นการดีกว่าที่จะแก้ไขปัญหาที่เกิดขึ้นสำหรับกรณีพิเศษก่อนเมื่อจุดใดจุดหนึ่งเหล่านี้อยู่ที่จุดกำเนิดของพิกัด เริ่มต้นด้วยตัวอย่างตัวเลข: ค้นหาระยะห่างจากจุดกำเนิดของจุด และ .

บันทึก. ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ตอนนี้ให้เขียนสูตรทั่วไปเพื่อคำนวณระยะทางของจุดจากจุดกำเนิด

ระยะทางจากจุดกำเนิดถูกกำหนดโดยสูตร:

แน่นอนว่ากฎที่แสดงโดยสูตรนี้เป็นไปตามเงื่อนไขที่ระบุไว้ข้างต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สามารถใช้ในการคำนวณบนเครื่องที่สามารถคูณตัวเลข บวก และแยกรากที่สองได้

ตอนนี้เรามาแก้ไขปัญหาทั่วไปกัน

เมื่อพิจารณาจากจุดสองจุดบนเครื่องบิน จงหาระยะห่างระหว่างจุดทั้งสอง

สารละลาย:
ให้เราแสดงโดย , , , การฉายภาพจุดและบนแกนพิกัด

ให้เราแสดงจุดตัดของเส้นด้วยตัวอักษร . จาก สามเหลี่ยมมุมฉากเมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเราจะได้:

แต่ความยาวของปล้องจะเท่ากับความยาวของปล้อง จุด และ , อยู่บนแกนและมีพิกัด และ ตามลำดับ ตามสูตรที่ได้รับในวรรค 3 ของวรรค 2 ระยะห่างระหว่างพวกเขาเท่ากับ .

เมื่อโต้แย้งในทำนองเดียวกัน เราพบว่าความยาวของเซ็กเมนต์เท่ากับ แทนที่ค่าที่พบและเป็นสูตรที่เราได้รับ

การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์มักมาพร้อมกับความยากลำบากมากมายสำหรับนักเรียน การช่วยให้นักเรียนรับมือกับความยากลำบากเหล่านี้รวมทั้งสอนให้พวกเขาใช้ความรู้ทางทฤษฎีที่มีอยู่เมื่อแก้ไขปัญหาเฉพาะในทุกส่วนของหลักสูตรในวิชา "คณิตศาสตร์" เป็นจุดประสงค์หลักของเว็บไซต์ของเรา

เมื่อเริ่มแก้ปัญหาในหัวข้อนี้ นักเรียนควรจะสามารถสร้างจุดบนระนาบโดยใช้พิกัดของมัน รวมทั้งค้นหาพิกัดของจุดที่กำหนดได้

การคำนวณระยะห่างระหว่างจุดสองจุด A(x A; y A) และ B(x B; y B) ที่ถ่ายบนเครื่องบินจะดำเนินการโดยใช้สูตร d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2)โดยที่ d คือความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้บนระนาบ

หากปลายด้านใดด้านหนึ่งของส่วนตรงกับที่มาของพิกัดและอีกด้านมีพิกัด M(x M; y M) ดังนั้นสูตรในการคำนวณ d จะอยู่ในรูปแบบ OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. การคำนวณระยะทางระหว่างจุดสองจุดตามพิกัดที่กำหนดของจุดเหล่านี้

ตัวอย่างที่ 1.

ค้นหาความยาวของส่วนที่เชื่อมจุด A(2; -5) และ B(-4; 3) บนระนาบพิกัด (รูปที่ 1)

สารละลาย.

คำชี้แจงปัญหาระบุว่า: x A = 2; x ข = -4; y A = -5 และ y B = 3 หา d

ใช้สูตร d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) เราจะได้:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. การคำนวณพิกัดของจุดที่อยู่ห่างจากจุดที่กำหนดสามจุดเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาพิกัดของจุด O 1 ซึ่งมีระยะห่างเท่ากันจากจุดสามจุด A(7; -1) และ B(-2; 2) และ C(-1; -5)

สารละลาย.

จากการกำหนดเงื่อนไขของปัญหาเป็นไปตามนั้น O 1 A = O 1 B = O 1 C ให้จุดที่ต้องการ O 1 มีพิกัด (a; b) ใช้สูตร d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) เราพบ:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2)

มาสร้างระบบสมการสองสมการกัน:

(√((ก – 7) 2 + (ข + 1) 2) = √((ก + 2) 2 + (ข – 2) 2),
(√((ก – 7) 2 + (ข + 1) 2) = √((ก + 1) 2 + (ข + 5) 2)

หลังจากยกกำลังสองด้านซ้ายและขวาของสมการแล้ว เราก็เขียนว่า:

((ก – 7) 2 + (ข + 1) 2 = (ก + 2) 2 + (ข – 2) 2,
((ก – 7) 2 + (ข + 1) 2 = (ก + 1) 2 + (ข + 5) 2.

ลดความซับซ้อน มาเขียนกันดีกว่า

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – ข + 3 = 0

เมื่อแก้ไขระบบแล้วเราจะได้: a = 2; ข = -1.

จุด O 1 (2; -1) มีระยะห่างเท่ากันจากจุดสามจุดที่ระบุในเงื่อนไขที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุด (รูปที่ 2).

3. การคำนวณค่า Abscissa (พิกัด) ของจุดที่อยู่บนแกน Abscissa (พิกัด) และอยู่ในระยะที่กำหนดจากจุดที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 3

ระยะห่างจากจุด B(-5; 6) ถึงจุด A ที่วางอยู่บนแกน Ox คือ 10 หาจุด A

สารละลาย.

จากการกำหนดเงื่อนไขของปัญหา ลำดับของจุด A เท่ากับศูนย์ และ AB = 10

แทนจุดขาดของจุด A ด้วย a เราเขียน A(a; 0)

AB = √((ก + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((ก + 5) 2 + 36)

เราได้สมการ √((a + 5) 2 + 36) = 10 ทำให้ง่ายขึ้น เราได้

2 + 10a – 39 = 0

รากของสมการนี้คือ 1 = -13; และ 2 = 3

เราได้สองแต้ม A 1 (-13; 0) และ A 2 (3; 0)

การตรวจสอบ:

ก 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10

คะแนนที่ได้รับทั้งสองมีความเหมาะสมตามเงื่อนไขของปัญหา (รูปที่ 3)

4. การคำนวณค่า Abscissa (พิกัด) ของจุดที่อยู่บนแกน Abscissa (พิกัด) และอยู่ห่างจากจุดที่กำหนดสองจุดเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 4

หาจุดบนแกน Oy ที่อยู่ห่างจากจุด A (6, 12) และ B (-8, 10) เท่ากัน

สารละลาย.

ให้พิกัดของจุดที่ต้องการตามเงื่อนไขของปัญหาซึ่งอยู่บนแกน Oy เป็น O 1 (0; b) ( ณ จุดที่อยู่บนแกน Oy นั้น Abscissa เป็นศูนย์) เป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่า O 1 A = O 1 B

ใช้สูตร d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) เราพบ:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2)

เรามีสมการ √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) หรือ 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

หลังจากลดความซับซ้อนเราได้รับ: b – 4 = 0, b = 4

จุด O 1 (0; 4) กำหนดโดยเงื่อนไขของปัญหา (รูปที่ 4)

5. การคำนวณพิกัดของจุดที่อยู่ในระยะเดียวกันจากแกนพิกัดและจุดที่กำหนดบางจุด

ตัวอย่างที่ 5

หาจุด M ที่อยู่บนระนาบพิกัดที่ระยะห่างเท่ากันจากแกนพิกัดและจากจุด A(-2; 1)

สารละลาย.

จุด M ที่ต้องการ เช่น จุด A(-2; 1) จะอยู่ในมุมพิกัดที่สอง เนื่องจากมีระยะห่างเท่ากันจากจุด A, P 1 และ P 2 (รูปที่ 5). ระยะห่างของจุด M จากแกนพิกัดจะเท่ากัน ดังนั้นพิกัดของจุด M จะเป็น (-a; a) โดยที่ a > 0

จากเงื่อนไขของปัญหาเป็นไปตามนั้น MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

เหล่านั้น. |-ก| = ก.

ใช้สูตร d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) เราพบ:

แมสซาชูเซต = √((-a + 2) 2 + (ก – 1) 2)

มาสร้างสมการกันดีกว่า:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

หลังจากยกกำลังสองและทำให้ง่ายขึ้น เราได้: a 2 – 6a + 5 = 0 แก้สมการ หา 1 = 1; และ 2 = 5

เราได้รับสองคะแนน M 1 (-1; 1) และ M 2 (-5; 5) ที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา

6. การคำนวณพิกัดของจุดที่อยู่ในระยะทางที่กำหนดเดียวกันจากแกน abscissa (พิกัด) และจากจุดที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาจุด M โดยที่ระยะห่างจากแกนพิกัดและจากจุด A(8; 6) เท่ากับ 5

สารละลาย.

จากเงื่อนไขของปัญหา จะได้ว่า MA = 5 และค่าแอบซิสซาของจุด M เท่ากับ 5 ให้พิกัดของจุด M เท่ากับ b แล้ว M(5; b) (รูปที่ 6)

ตามสูตร d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) เรามี:

แมสซาชูเซตส์ = √((5 – 8) 2 + (ข – 6) 2)

มาสร้างสมการกันดีกว่า:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5 เมื่อจัดรูปให้ง่ายขึ้น เราจะได้: b 2 – 12b + 20 = 0 รากของสมการนี้คือ b 1 = 2; b 2 = 10 ดังนั้นจึงมีสองจุดที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา: M 1 (5; 2) และ M 2 (5; 10)

เป็นที่ทราบกันดีว่านักเรียนจำนวนมากเมื่อแก้ไขปัญหาอย่างอิสระจำเป็นต้องได้รับคำปรึกษาอย่างต่อเนื่องเกี่ยวกับเทคนิคและวิธีการในการแก้ปัญหา บ่อยครั้งที่นักเรียนไม่สามารถหาวิธีแก้ไขปัญหาได้หากไม่ได้รับความช่วยเหลือจากครู นักเรียนสามารถรับคำแนะนำที่จำเป็นในการแก้ปัญหาได้จากเว็บไซต์ของเรา

ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่รู้ว่าจะหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนเครื่องบินได้อย่างไร?
หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

แต่ละจุด A ของระนาบมีลักษณะเฉพาะด้วยพิกัด (x, y) ตรงกับพิกัดของเวกเตอร์ 0A ที่ออกมาจากจุด 0 ซึ่งเป็นที่มาของพิกัด

ให้ A และ B เป็นจุดใดก็ได้ของระนาบโดยมีพิกัด (x 1 y 1) และ (x 2, y 2) ตามลำดับ

เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์ AB มีพิกัด (x 2 - x 1, y 2 - y 1) เป็นที่ทราบกันว่ากำลังสองของความยาวของเวกเตอร์เท่ากับผลรวมของกำลังสองของพิกัดของมัน ดังนั้น ระยะห่าง d ระหว่างจุด A และ B หรือความยาวของเวกเตอร์ AB ที่เท่ากัน จึงถูกกำหนดจากเงื่อนไข

วัน 2 = (x 2 - x 1) 2 + (ปี 2 - ปี 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

สูตรผลลัพธ์ช่วยให้คุณค้นหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดใดๆ บนระนาบได้ หากทราบเพียงพิกัดของจุดเหล่านี้เท่านั้น

ทุกครั้งที่เราพูดถึงพิกัดของจุดใดจุดหนึ่งบนระนาบ เราหมายถึงระบบพิกัดที่กำหนดไว้อย่างดี x0y โดยทั่วไปสามารถเลือกระบบพิกัดบนเครื่องบินได้หลายวิธี ดังนั้น แทนที่จะเป็นระบบพิกัด x0y เราสามารถพิจารณาระบบพิกัด xָy ซึ่งได้มาจากการหมุนแกนพิกัดเก่ารอบจุดเริ่มต้น 0 ทวนเข็มนาฬิกาลูกศรที่มุม α .

หากจุดใดจุดหนึ่งของระนาบในระบบพิกัด x0y มีพิกัด (x, y) ให้เข้า ระบบใหม่พิกัด xָy ก็จะมีพิกัดต่างกัน (x, y)

เป็นตัวอย่าง ให้พิจารณาจุด M ซึ่งอยู่บนแกน 0x และแยกจากจุด 0 ที่ระยะห่าง 1

แน่นอนว่าในระบบพิกัด x0y จุดนี้มีพิกัด (cos α ,บาป α ) และในระบบพิกัด x y พิกัดคือ (1,0)

พิกัดของจุดสองจุดใดๆ บนระนาบ A และ B ขึ้นอยู่กับวิธีการระบุระบบพิกัดในระนาบนี้ และที่นี่ ระยะห่างระหว่างจุดเหล่านี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการระบุระบบพิกัด .

วัสดุอื่นๆ

ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนเครื่องบิน
ระบบพิกัด

แต่ละจุด A ของระนาบมีลักษณะเฉพาะด้วยพิกัด (x, y) ตรงกับพิกัดของเวกเตอร์ 0A ที่ออกมาจากจุด 0 ซึ่งเป็นที่มาของพิกัด

ให้ A และ B เป็นจุดใดก็ได้ของระนาบโดยมีพิกัด (x 1 y 1) และ (x 2, y 2) ตามลำดับ

เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์ AB มีพิกัด (x 2 - x 1, y 2 - y 1) เป็นที่ทราบกันว่ากำลังสองของความยาวของเวกเตอร์เท่ากับผลรวมของกำลังสองของพิกัดของมัน ดังนั้น ระยะห่าง d ระหว่างจุด A และ B หรือความยาวของเวกเตอร์ AB ที่เท่ากัน จึงถูกกำหนดจากเงื่อนไข

วัน 2 = (x 2 - x 1) 2 + (ปี 2 - ปี 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

สูตรผลลัพธ์ช่วยให้คุณค้นหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดใดๆ บนระนาบได้ หากทราบเพียงพิกัดของจุดเหล่านี้เท่านั้น

ทุกครั้งที่เราพูดถึงพิกัดของจุดใดจุดหนึ่งบนระนาบ เราหมายถึงระบบพิกัดที่กำหนดไว้อย่างดี x0y โดยทั่วไปสามารถเลือกระบบพิกัดบนเครื่องบินได้หลายวิธี ดังนั้น แทนที่จะใช้ระบบพิกัด x0y คุณสามารถพิจารณาระบบพิกัด x"0y" ได้ ซึ่งได้มาจากการหมุนแกนพิกัดเก่ารอบจุดเริ่มต้น 0 ทวนเข็มนาฬิกาลูกศรที่มุม α .

หากจุดหนึ่งของระนาบในระบบพิกัด x0y มีพิกัด (x, y) ดังนั้นในระบบพิกัดใหม่ x"0y" ก็จะมีพิกัดที่แตกต่างกัน (x, y")

ตัวอย่างเช่น พิจารณาจุด M ซึ่งอยู่บนแกน 0x และแยกจากจุด 0 ที่ระยะห่าง 1

แน่นอนว่าในระบบพิกัด x0y จุดนี้มีพิกัด (cos α ,บาป α ) และในระบบพิกัด x"0y" พิกัดคือ (1,0)

พิกัดของจุดสองจุดใดๆ บนระนาบ A และ B ขึ้นอยู่กับวิธีการระบุระบบพิกัดในระนาบนี้ แต่ระยะห่างระหว่างจุดเหล่านี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการระบุระบบพิกัด เราจะใช้เหตุการณ์สำคัญนี้ให้เกิดประโยชน์อย่างมากในย่อหน้าถัดไป

การออกกำลังกาย

I. ค้นหาระยะทางระหว่างจุดต่างๆ ของระนาบด้วยพิกัด:

1) (3.5) และ (3.4); 3) (0.5) และ (5, 0); 5) (-3,4) และ (9, -17);

2) (2, 1) และ (- 5, 1); 4) (0, 7) และ (3,3); 6) (8, 21) และ (1, -3)

ครั้งที่สอง ค้นหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมที่ด้านได้รับจากสมการ:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 และ y = 1

สาม. ในระบบพิกัด x0y จุด M และ N มีพิกัด (1, 0) และ (0,1) ตามลำดับ ค้นหาพิกัดของจุดเหล่านี้ในระบบพิกัดใหม่ ซึ่งได้มาจากการหมุนแกนเก่ารอบจุดเริ่มต้นด้วยมุม 30° ทวนเข็มนาฬิกา

IV. ในระบบพิกัด x0y จุด M และ N มีพิกัด (2, 0) และ (\ / 3/2, - 1/2) ตามลำดับ ค้นหาพิกัดของจุดเหล่านี้ในระบบพิกัดใหม่ ซึ่งได้มาจากการหมุนแกนเก่ารอบจุดเริ่มต้นในมุม 30° ตามเข็มนาฬิกา

อนุญาต , (รูปที่ 2.3) จำเป็นต้องค้นหา.

รูปที่ 2.3. ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด

จากรูปสี่เหลี่ยมตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่เรามี

นั่นคือ ,

สูตรนี้ใช้ได้กับทุกตำแหน่งของจุดและ

ครั้งที่สอง การแบ่งส่วนในส่วนนี้:

อนุญาต , . จำเป็นต้องค้นหา นอนอยู่บนส่วนแล้วหารตามอัตราส่วนที่กำหนด (รูปที่ 2.4)

รูปที่ 2.4. การแบ่งส่วนในส่วนนี้

จากความคล้ายคลึง ~ นั่นคือจากที่ไหน เช่นเดียวกัน.

ดังนั้น,

– สูตรการแบ่งส่วนสัมพันธ์กับ

ถ้าอย่างนั้น

– พิกัดตรงกลางของส่วน

ความคิดเห็นสูตรที่ได้รับสามารถสรุปได้ทั่วไปในกรณีของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเชิงพื้นที่ ให้จุด , . แล้ว

- สูตรหาระยะห่างระหว่างจุดกับ

สูตรการแบ่งส่วนที่สัมพันธ์กัน

นอกเหนือจากระบบคาร์ทีเซียนแล้ว ระบบพิกัดอื่นๆ จำนวนมากยังสามารถสร้างขึ้นบนระนาบและในอวกาศได้ นั่นคือวิธีการระบุลักษณะของจุดบนระนาบหรือในอวกาศโดยใช้พารามิเตอร์ตัวเลขสองหรือสามตัว (พิกัด) ลองพิจารณาระบบพิกัดที่มีอยู่บางส่วน

บนเครื่องบินก็สามารถตรวจสอบได้ ระบบพิกัดเชิงขั้ว ซึ่งใช้โดยเฉพาะในการศึกษาการเคลื่อนที่แบบหมุน

รูปที่ 2.5. ระบบพิกัดเชิงขั้ว

ให้เรากำหนดจุดบนเครื่องบินและมีเส้นครึ่งเส้นโผล่ออกมา จากนั้นเลือกหน่วยมาตราส่วน (รูปที่ 2.5) ประเด็นนี้เรียกว่า เสา ครึ่งบรรทัด – แกนขั้วโลก . ให้เรากำหนดตัวเลขสองตัวให้กับจุดใดก็ได้:

– รัศมีขั้วโลก เท่ากับระยะทางจากจุด M ถึงขั้ว O;

– มุมขั้วโลก เท่ากับมุมระหว่างแกนเชิงขั้วกับเส้นครึ่งเส้น

วัดเป็นเรเดียน ทิศทางที่เป็นบวกของค่าจะนับจากทวนเข็มนาฬิกา ซึ่งโดยทั่วไปถือว่า

รัศมีเชิงขั้วสอดคล้องกับขั้ว แต่มุมเชิงขั้วไม่ได้ถูกกำหนดไว้สำหรับรัศมีนั้น

เรามาหาความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดสี่เหลี่ยมกับพิกัดเชิงขั้วกัน (รูปที่ 2.6)

รูปที่ 2.6. ความสัมพันธ์ระหว่างระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและพิกัดเชิงขั้ว

เราจะถือว่าจุดกำเนิดของระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเป็นขั้ว และนำรังสีเป็นแกนเชิงขั้ว อนุญาต - ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม และ - ในระบบพิกัดเชิงขั้ว มาดูความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดสี่เหลี่ยมกับพิกัดเชิงขั้วกัน

จากสี่เหลี่ยม และจากสี่เหลี่ยม ดังนั้นสูตรต่างๆ

แสดงพิกัดสี่เหลี่ยมของจุดในรูปของพิกัดเชิงขั้วของมัน

ความสัมพันธ์ผกผันแสดงโดยสูตร

ความคิดเห็นมุมเชิงขั้วสามารถกำหนดได้จากสูตร โดยก่อนหน้านี้หาได้จากพิกัดสี่เหลี่ยมซึ่งมีจุดอยู่ในจตุภาค

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาพิกัดเชิงขั้วของจุด

สารละลาย.เราคำนวณ; มุมเชิงขั้วหาได้จากเงื่อนไข:

ดังนั้น ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาพิกัดสี่เหลี่ยมของจุด

สารละลาย.เราคำนวณ

เราได้รับ.

ในพื้นที่สามมิติ นอกเหนือจากระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมแล้ว ยังมักใช้ระบบพิกัดทรงกระบอกและทรงกลมอีกด้วย

ระบบพิกัดทรงกระบอกเป็นระบบพิกัดเชิงขั้วในระนาบซึ่งเพิ่มแกนอวกาศตั้งฉากกับระนาบนี้ (รูปที่ 2.7) ตำแหน่งของจุดใด ๆ มีลักษณะเป็นตัวเลขสามตัว - พิกัดทรงกระบอก: , ที่ไหน และ คือพิกัดเชิงขั้ว (รัศมีเชิงขั้วและมุมเชิงขั้ว) ของการฉายภาพของจุดบนระนาบที่เลือกระบบพิกัดเชิงขั้ว - แอปพลิเคชัน ซึ่งเท่ากับระยะทางจากจุดถึงระนาบที่กำหนด

รูปที่ 2.7. ระบบพิกัดทรงกระบอก

เพื่อสร้างความสัมพันธ์ระหว่างระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมกับระบบพิกัดทรงกระบอก เราจะวางตำแหน่งให้สัมพันธ์กันดังรูปที่ 2.8 (เราวางระนาบในระนาบ และแกนเชิงขั้วเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางบวกของแกน แกน เป็นเรื่องปกติในทั้งสองระบบพิกัด)

อนุญาต เป็นพิกัดสี่เหลี่ยมของจุด เป็นพิกัดทรงกระบอกของจุดนี้ และเป็นเส้นโครงของจุดบนระนาบ แล้ว

สูตรเชื่อมต่อพิกัดสี่เหลี่ยมและทรงกระบอกของจุด

รูปที่ 2.8. ความสัมพันธ์ระหว่างคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม

และระบบพิกัดทรงกระบอก

ความคิดเห็นพิกัดทรงกระบอกมักใช้เมื่อพิจารณาถึงวัตถุที่หมุน โดยมีแกนอยู่ตามแนวแกนของการหมุน

ระบบทรงกลมพิกัดสามารถสร้างได้ดังนี้ ให้เราเลือกแกนเชิงขั้วในระนาบ ผ่านจุดนั้นเราวาดเส้นตรงตั้งฉากกับระนาบ (ปกติ) จากนั้นจุดใดๆ ในอวกาศสามารถเชื่อมโยงกับจำนวนจริงสามจำนวนได้ โดยที่ระยะทางจากจุดถึง คือมุมระหว่างแกนกับเส้นโครงของเซกเมนต์บนระนาบ และคือมุมระหว่างเส้นปกติและเซกเมนต์ สังเกตว่า , , .

หากเราวางระนาบในระนาบ และเลือกแกนเชิงขั้วให้ตรงกับทิศทางบวกของแกน และเลือกแกนตามปกติ (รูปที่ 2.9) เราจะได้สูตรที่เชื่อมต่อระบบพิกัดทั้งสองนี้

รูปที่ 2.9. ความสัมพันธ์ระหว่างคาร์ทีเซียนทรงกลมและสี่เหลี่ยม

ระบบพิกัด

ปริมาณสเกลาร์หรือสเกลาร์มีลักษณะเฉพาะโดยสมบูรณ์ด้วยค่าตัวเลขในระบบหน่วยที่เลือก ปริมาณเวกเตอร์ หรือเวกเตอร์ นอกจากค่าตัวเลขแล้ว ยังมีทิศทางอีกด้วย ตัวอย่างเช่น ถ้าเราบอกว่าลมพัดด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที เราจะแนะนำค่าสเกลาร์ของความเร็วลม แต่ถ้าเราบอกว่าลมตะวันตกเฉียงใต้พัดด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที ในกรณีนี้ ความเร็วลมจะเป็นเวกเตอร์อยู่แล้ว

เวกเตอร์เรียกว่าส่วนตรงที่มีความยาวที่แน่นอนเช่น ส่วนของความยาวที่กำหนดโดยจุด จำกัด จุดใดจุดหนึ่งถือเป็นจุดเริ่มต้นและจุดที่สอง - เป็นจุดสิ้นสุด เราจะแสดงเวกเตอร์อย่างใดอย่างหนึ่งหรือ (รูปที่ 2.10)

ความยาวของเวกเตอร์แสดงด้วยสัญลักษณ์หรือเรียกว่าโมดูลัสของเวกเตอร์ เรียกว่าเวกเตอร์ที่มีความยาว 1 เดี่ยว . เวกเตอร์นี้เรียกว่า ศูนย์ ถ้าจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกัน และเขียนแทนด้วย θ หรือ เวกเตอร์ว่างไม่มีทิศทางเฉพาะและมีความยาวเท่ากับศูนย์ เวกเตอร์และอยู่บนเส้นเดียวกันหรือบนเส้นคู่ขนานเรียกว่า คอลลิเนียร์ . เรียกเวกเตอร์สองตัวนี้ว่า เท่ากัน ถ้าเป็นเส้นตรงก็จะมีความยาวเท่ากันและมีทิศทางเดียวกัน เวกเตอร์ศูนย์ทั้งหมดถือว่าเท่ากัน

เรียกว่าเวกเตอร์คอลลิเนียร์สองตัวที่แตกต่างจากศูนย์ซึ่งมีขนาดเท่ากัน แต่มีทิศทางตรงกันข้าม ตรงข้าม . เวกเตอร์ที่อยู่ตรงข้ามเขียนแทนด้วย , สำหรับเวกเตอร์ที่อยู่ตรงข้าม

ถึงเบอร์ การดำเนินการเชิงเส้น ส่วนเวกเตอร์นั้นรวมถึงการดำเนินการบวก การลบเวกเตอร์ และการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข เช่น การดำเนินการซึ่งผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์

ให้เรากำหนดการดำเนินการที่ระบุบนเวกเตอร์ ให้เวกเตอร์สองตัวแล้วได้รับ ลองหาจุดใดก็ได้ตามต้องการ O และสร้างเวกเตอร์ แล้วพลอตเวกเตอร์จากจุด A จากนั้นจะเรียกเวกเตอร์ที่เชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของเทอมแรกของเวกเตอร์กับจุดสิ้นสุดของวินาที จำนวน เวกเตอร์เหล่านี้เขียนแทนด้วย กฎที่ใช้พิจารณาในการค้นหาผลรวมของเวกเตอร์เรียกว่า กฎสามเหลี่ยม (รูปที่ 2.11)

ผลรวมของเวกเตอร์สามารถหาได้ด้วยวิธีอื่น (รูปที่ 2.12) ให้เราพลอตเวกเตอร์และเวกเตอร์จากจุด ลองสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานบนเวกเตอร์เหล่านี้ที่ด้านข้างกัน เวกเตอร์ซึ่งเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ดึงมาจากจุดยอดจะเป็นผลรวม กฎการหาผลรวมนี้เรียกว่า กฎรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน .

ผลรวมของเวกเตอร์จำนวนจำกัดใดๆ สามารถรับได้โดยใช้กฎเส้นประ (รูปที่ 2.13) จากจุดใดๆ ที่เราพลอตเวกเตอร์ จากนั้นเราก็พลอตเวกเตอร์ ฯลฯ เวกเตอร์ที่เชื่อมจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรกถึงจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์สุดท้ายคือผลรวม

เวกเตอร์ข้อมูล เช่น . แน่นอนว่า หากจุดสิ้นสุดของเทอมสุดท้ายของเวกเตอร์ตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรก ผลรวมของเวกเตอร์จะเท่ากับเวกเตอร์ว่าง

โดยความแตกต่าง เวกเตอร์สองตัวและเรียกว่าเวกเตอร์ดังกล่าว ซึ่งผลรวมของเวกเตอร์ที่ลบออกจะได้เวกเตอร์ จากที่นี่ กฎสำหรับการสร้างเวกเตอร์ผลต่าง(รูปที่ 2.14) จากจุดที่เราพล็อตเวกเตอร์และเวกเตอร์ เวกเตอร์ที่เชื่อมต่อปลายของเวกเตอร์ minuend กับเวกเตอร์ subtrahend และกำกับจากเวกเตอร์ minuend ไปยังเวกเตอร์ minuend มีความแตกต่างกัน

ผลคูณของเวกเตอร์สำหรับจำนวนจริง lam คือเวกเตอร์ที่อยู่ในแนวเดียวกับเวกเตอร์และมีความยาวและทิศทางเดียวกันกับเวกเตอร์ if และมีทิศทางตรงข้ามกับเวกเตอร์ if

เข้าแล้ว การดำเนินการเชิงเส้น ส่วนเวกเตอร์มี คุณสมบัติ :

10. การสับเปลี่ยนของการบวก: .

20. การเชื่อมโยงเพิ่มเติม: .

สามสิบ การมีอยู่ขององค์ประกอบที่เป็นกลางโดยการเติม: .

4 0 . การมีอยู่ขององค์ประกอบตรงกันข้ามโดยการบวก:

50 . การกระจายตัวของการคูณด้วยตัวเลขเทียบกับการบวกเวกเตอร์:

6 0 . การกระจายตัวของการคูณเวกเตอร์ด้วยผลรวมของตัวเลขสองตัว:

7 0 . คุณสมบัติการเชื่อมโยงที่เกี่ยวข้องกับการคูณเวกเตอร์ด้วยผลคูณของตัวเลข:

ให้ระบบเวกเตอร์ได้รับ:

นิพจน์ที่ λ i (i = 1,2,…, n) เป็นตัวเลขบางตัวเรียกว่า การรวมกันเชิงเส้น ระบบเวกเตอร์ (2.1) เรียกว่าระบบเวกเตอร์ (2.1) ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ถ้าผลรวมเชิงเส้นเท่ากับศูนย์ โดยมีเงื่อนไขว่าตัวเลข แลมบ์ 1, แลมบ์ 2, ..., แลมบ์ n ไม่ใช่ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ เรียกว่าระบบเวกเตอร์ (2.1) เป็นอิสระเชิงเส้น หากผลรวมเชิงเส้นเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวเลขทั้งหมด แลมบ์ i = 0 () เราสามารถให้คำจำกัดความอีกประการหนึ่งของการพึ่งพาเชิงเส้นของเวกเตอร์ได้ เรียกว่าระบบเวกเตอร์ (2.1) ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ถ้าเวกเตอร์ใดๆ ของระบบนี้แสดงเป็นเส้นตรงในรูปของเวกเตอร์อื่นๆ มิฉะนั้นจะเป็นระบบของเวกเตอร์ (2.1) เป็นอิสระเชิงเส้น .

สำหรับเวกเตอร์ที่วางอยู่บนระนาบ ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง

10. เวกเตอร์สามตัวใดๆ บนระนาบจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

20. ถ้าจำนวนเวกเตอร์เหล่านี้บนระนาบมากกว่าสาม เวกเตอร์เหล่านั้นก็จะขึ้นกับเชิงเส้นด้วย

สามสิบ เพื่อให้เวกเตอร์สองตัวบนระนาบมีความเป็นอิสระเชิงเส้น มีความจำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์ทั้งสองจะไม่อยู่ในแนวเดียวกัน

ดังนั้น จำนวนเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสูงสุดบนระนาบคือ 2 ตัว

เวกเตอร์เรียกว่า เครื่องบินร่วม ถ้าพวกมันอยู่ในระนาบเดียวกันหรือขนานกับระนาบเดียวกัน ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับเวกเตอร์อวกาศ

10. เวกเตอร์อวกาศทุก ๆ สี่ตัวจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

20. หากจำนวนเวกเตอร์เหล่านี้ในอวกาศมากกว่าสี่ เวกเตอร์เหล่านั้นก็จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นด้วย

สามสิบ เพื่อให้เวกเตอร์สามตัวมีความเป็นอิสระเชิงเส้น จำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์ทั้งสามจะต้องไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน

ดังนั้น จำนวนเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสูงสุดในอวกาศคือ 3 ตัว

ระบบย่อยสูงสุดของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นใดๆ ที่เรียกว่าเวกเตอร์ใดๆ ของระบบนี้ พื้นฐาน อันที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ระบบเวกเตอร์ . เป็นเรื่องง่ายที่จะสรุปได้ว่าฐานบนระนาบประกอบด้วยเวกเตอร์ที่ไม่ใช่โคลิเนียร์สองตัว และพื้นฐานในอวกาศประกอบด้วยเวกเตอร์ที่ไม่ใช่โคระนาบสามตัว เรียกจำนวนเวกเตอร์ฐาน อันดับ ระบบเวกเตอร์ เรียกค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวของเวกเตอร์ไปเป็นเวกเตอร์พื้นฐาน พิกัดเวกเตอร์ ในพื้นฐานนี้

ให้เวกเตอร์สร้างฐานแล้วให้ จากนั้นตัวเลข แลมบ์ดา 1, แลมบ์ 2, แลมบ์ 3 คือพิกัดของเวกเตอร์บนฐาน ในกรณีนี้ เขียน แสดงว่าการสลายตัวของเวกเตอร์บนฐานนั้นไม่ซ้ำกัน . ความหมายหลักของพื้นฐานคือ การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์กลายเป็นการดำเนินการเชิงเส้นธรรมดากับตัวเลข - พิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ การใช้คุณสมบัติของการดำเนินการเชิงเส้นกับเวกเตอร์ เราสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้ได้

ทฤษฎีบท. เมื่อบวกเวกเตอร์สองตัวเข้าด้วยกัน พิกัดที่สอดคล้องกันจะถูกเพิ่มเข้าไป เมื่อเวกเตอร์ถูกคูณด้วยตัวเลข พิกัดทั้งหมดจะถูกคูณด้วยตัวเลขนั้น

ดังนั้น ถ้า และ , แล้วก็ , โดยที่ , และที่ไหน , λ คือจำนวนที่แน่นอน

โดยปกติแล้ว เซตของเวกเตอร์ทั้งหมดในระนาบซึ่งถูกรีดิวซ์ให้เหลือจุดกำเนิดร่วมด้วยการดำเนินการเชิงเส้นที่แนะนำ จะแสดงด้วย V 2 และเซตของเวกเตอร์ทั้งหมดในอวกาศ ซึ่งลดลงจนเหลือจุดกำเนิดร่วม จะแสดงด้วย V 3 เซต V 2 และ V 3 เรียกว่า ช่องว่างของเวกเตอร์เรขาคณิต

มุมระหว่างเวกเตอร์และเรียกว่ามุมที่เล็กที่สุด () โดยที่เวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งจะต้องหมุนจนกระทั่งมันเกิดขึ้นพร้อมกับวินาทีหลังจากนำเวกเตอร์เหล่านี้ไปสู่จุดกำเนิดทั่วไป

สินค้าดอทเวกเตอร์สองตัวคือตัวเลขที่เท่ากับผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ และเขียนแทนด้วย หรือ

ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์ และ เท่ากับ แล้ว

จากมุมมองทางเรขาคณิต ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์จะเท่ากับผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์หนึ่งและการฉายภาพของเวกเตอร์อีกตัวหนึ่งลงบนเวกเตอร์นั้น จากความเสมอภาค (2.2) เป็นไปตามนั้น

จากที่นี่ สภาพตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว: เวกเตอร์สองตัวและ อยู่ในมุมฉากก็ต่อเมื่อผลคูณสเกลาร์มีค่าเท่ากับศูนย์ นั่นคือ .

ผลคูณดอทของเวกเตอร์ไม่ใช่การดำเนินการเชิงเส้น เนื่องจากผลลัพธ์ของมันคือตัวเลข ไม่ใช่เวกเตอร์

คุณสมบัติของผลคูณสเกลาร์

1°. – การสับเปลี่ยน

2°. – การกระจาย.

3°. – ความเชื่อมโยงที่เกี่ยวข้องกับปัจจัยเชิงตัวเลข

4องศา - คุณสมบัติของกำลังสองสเกลาร์

จากคุณสมบัติ 4 เป็นไปตามคำจำกัดความ ความยาวเวกเตอร์ :

ให้กำหนดพื้นฐานในปริภูมิ V 3 โดยที่เวกเตอร์เป็นเวกเตอร์หน่วย (เรียกว่าเวกเตอร์หน่วย) ทิศทางของแต่ละเวกเตอร์เกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางบวกของแกนพิกัด Ox, Oy, Oz ของพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม ระบบ.

ให้เราขยายเวกเตอร์อวกาศ V 3 ตามพื้นฐานนี้ (รูปที่ 2.15):

เวกเตอร์เรียกว่าส่วนประกอบเวกเตอร์ตามแกนพิกัดหรือส่วนประกอบตัวเลข a x , a y , a z– พิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมของเวกเตอร์ ก. ทิศทางของเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยมุม α, β, γ ที่เกิดขึ้นจากเส้นพิกัด โคไซน์ของมุมเหล่านี้เรียกว่าเวกเตอร์ทิศทาง จากนั้นโคไซน์ทิศทางจะถูกกำหนดโดยสูตร:

มันง่ายที่จะแสดงสิ่งนั้น

ลองแสดงผลคูณสเกลาร์ในรูปแบบพิกัดกัน

ช่างมัน. การคูณเวกเตอร์เหล่านี้เป็นพหุนามและคำนึงว่าเราได้นิพจน์สำหรับการค้นหา ดอทโปรดัคในรูปแบบพิกัด:

เหล่านั้น. ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์คู่ของพิกัดที่มีชื่อเดียวกัน

จาก (2.6) และ (2.4) เป็นไปตามสูตรการหา ความยาวเวกเตอร์ :

จาก (2.6) และ (2.7) เราได้สูตรในการพิจารณา มุมระหว่างเวกเตอร์:

เวกเตอร์สามเท่าเรียกว่าสั่งหากมีการระบุว่าเวกเตอร์ใดถือเป็นอันแรกซึ่งถือเป็นอันที่สองและอันใดถือเป็นอันที่สาม

สั่งแล้ว เวกเตอร์สามตัว เรียกว่า ขวา หากหลังจากนำพวกมันไปยังจุดกำเนิดร่วมจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่สามแล้ว การหมุนที่สั้นที่สุดจากเวกเตอร์แรกถึงเวกเตอร์ที่สองจะทำทวนเข็มนาฬิกา มิฉะนั้นจะเรียกว่าเวกเตอร์สามเท่า ซ้าย . ตัวอย่างเช่น ในรูปที่ 2.15 เวกเตอร์ , , สร้างสามเท่าทางขวาของเวกเตอร์ และเวกเตอร์ , , สร้างสามเท่าทางซ้ายของเวกเตอร์

ในทำนองเดียวกัน ได้มีการนำแนวคิดของระบบพิกัดด้านซ้ายและขวาในพื้นที่สามมิติมาใช้

งานศิลปะของเว็กเตอร์ vector โดย vector เป็นเวกเตอร์ (สัญกรณ์อื่น) ที่:

1) มีความยาว โดยที่ มุมระหว่างเวกเตอร์ และ ;

2) ตั้งฉากกับเวกเตอร์และ () เช่น ตั้งฉากกับระนาบซึ่งมีเวกเตอร์ และ ;

ตามคำจำกัดความ เราจะพบผลคูณเวกเตอร์ของหน่วยพิกัด เวกเตอร์ , , :

ถ้า , ดังนั้นพิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์และเวกเตอร์จะถูกกำหนดโดยสูตร:

จากคำจำกัดความดังต่อไปนี้ ความหมายทางเรขาคณิตของศิลปะเวกเตอร์ : โมดูลัสเวกเตอร์ เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นจากเวกเตอร์และ.

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

4 0 . ถ้าเวกเตอร์ และ เป็นเส้นตรง หรือเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์

ตัวอย่างที่ 3สี่เหลี่ยมด้านขนานถูกสร้างขึ้นบนเวกเตอร์ และ , โดยที่ , , . คำนวณความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้ มุมระหว่างเส้นทแยงมุมและพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สารละลาย.การสร้างเวกเตอร์และแสดงในรูปที่ 2.16 การสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานบนเวกเตอร์เหล่านี้แสดงในรูปที่ 2.17

ให้เราดำเนินการแก้ไขปัญหาเชิงวิเคราะห์นี้ ให้เราแสดงเวกเตอร์ที่กำหนดเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นผ่านเวกเตอร์ และ แล้วผ่าน และ . เราพบว่า , . ต่อไป เราจะหาความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับความยาวของเวกเตอร์ที่สร้างขึ้น

มุมระหว่างเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานเขียนแทนด้วย จากสูตรสำหรับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ เราได้:

เพราะฉะนั้น, .

การใช้คุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์เราคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

ให้สามเวกเตอร์ และ จะได้รับ ลองจินตนาการว่าเวกเตอร์ถูกคูณด้วยเวกเตอร์ และเวกเตอร์กับเวกเตอร์ผลลัพธ์จะถูกคูณด้วยเวกเตอร์แบบสเกลาร์ จึงเป็นการกำหนดตัวเลข เรียกว่า เวกเตอร์-สเกลาร์ หรือ งานผสม เวกเตอร์ 3 ตัว และ . แสดงโดยหรือ

มาหาคำตอบกัน ความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์ผสม (รูปที่ 2.18) ให้ , ไม่เป็นระนาบเดียวกัน ลองสร้างเส้นขนานบนเวกเตอร์เหล่านี้ตรงขอบกัน ผลคูณไขว้เป็นเวกเตอร์ซึ่งมีโมดูลัสเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ฐานของสี่เหลี่ยมด้านขนาน) สร้างขึ้นบนเวกเตอร์และ และ ตั้งฉากกับระนาบของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ผลิตภัณฑ์ดอท (เท่ากับผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์และการฉายภาพลงบน ) ความสูงของเส้นขนานที่สร้างขึ้นคือค่าสัมบูรณ์ของเส้นโครงนี้ ดังนั้นค่าสัมบูรณ์ของผลิตภัณฑ์ผสมของเวกเตอร์สามตัวจึงเท่ากับปริมาตรของเส้นขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ และ เช่น .

จากตรงนี้ ปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์และคำนวณโดยสูตร

เรามาสังเกตเพิ่มเติมกัน คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ผสม เวกเตอร์

1 โอ เครื่องหมายของผลิตภัณฑ์จะเป็นค่าบวกหากเวกเตอร์ , , และสร้างระบบที่มีชื่อเดียวกันกับชื่อหลักและเป็นค่าลบหากเป็นอย่างอื่น

จริงหรือผลคูณสเกลาร์จะเป็นบวกหากมุมระหว่าง และ เป็นแบบเฉียบพลันและเป็นลบ หากมุมนั้นป้าน ด้วยมุมแหลมระหว่าง และ เวกเตอร์ และตั้งอยู่บนด้านหนึ่งสัมพันธ์กับฐานของเส้นขนานดังนั้นจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ การหมุนจาก ถึง จะมองเห็นได้ในลักษณะเดียวกับจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ เวกเตอร์เช่น ไปในทิศทางบวก (ทวนเข็มนาฬิกา)

ที่มุมป้านและมีเวกเตอร์อยู่ตามแนว ด้านที่แตกต่างกันสัมพันธ์กับระนาบของสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งอยู่ที่ฐานของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น จากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ การหมุนจาก k จึงมองเห็นได้ในทิศทางลบ (ตามเข็มนาฬิกา)

2 o ผลิตภัณฑ์แบบผสมจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการจัดเรียงปัจจัยใหม่เป็นวงกลม:

3 o เมื่อเวกเตอร์สองตัวใดตัวหนึ่งถูกจัดเรียงใหม่ ผลคูณผสมจะเปลี่ยนเฉพาะเครื่องหมายเท่านั้น ตัวอย่างเช่น, , . , . - ระบบที่ไม่รู้จัก

ระบบ(3.1) เรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกัน หากสมาชิกทุกคนมีอิสระ ระบบ (3.1) เรียกว่า ต่างกัน ถ้ามีสมาชิกฟรีอย่างน้อยหนึ่งคน

โซลูชั่นระบบเรียกว่าชุดตัวเลข เมื่อนำไปแทนค่าเหล่านั้นลงในสมการของระบบแทนที่จะเป็นค่าที่ไม่ทราบที่สอดคล้องกัน แต่ละสมการของระบบจะกลายเป็นเอกลักษณ์ ระบบที่ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเรียกว่า เข้ากันไม่ได้, หรือ เป็นที่ถกเถียง . ระบบที่มีโซลูชันอย่างน้อยหนึ่งโซลูชันเรียกว่า ข้อต่อ .

ระบบร่วมเรียกว่า แน่ใจ ถ้ามันมีวิธีแก้ไขเฉพาะตัว หากระบบที่สอดคล้องกันมีมากกว่าหนึ่งโซลูชัน ระบบจะเรียกว่า ไม่แน่นอน . ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีความสอดคล้องกันเสมอ เนื่องจากมีอย่างน้อยสารละลายเป็นศูนย์ นิพจน์สำหรับสิ่งที่ไม่ทราบซึ่งสามารถรับวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของระบบได้เรียกว่า การตัดสินใจทั่วไป และวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของระบบก็คือมัน โซลูชันส่วนตัว . สองระบบที่มีสิ่งไม่รู้เหมือนกัน เทียบเท่า (เทียบเท่า ) หากแต่ละคำตอบของหนึ่งในนั้นเป็นคำตอบของอีกระบบหนึ่งหรือทั้งสองระบบไม่สอดคล้องกัน

พิจารณาวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นหลักวิธีหนึ่งคือ วิธีเกาส์ หรือ วิธีการตามลำดับ การยกเว้นสิ่งที่ไม่รู้จัก สาระสำคัญของวิธีนี้คือการลดระบบสมการเชิงเส้นให้อยู่ในรูปแบบขั้นตอน ในกรณีนี้ จะต้องดำเนินการสมการต่อไปนี้: การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น :

1. การจัดเรียงสมการของระบบใหม่

2. การบวกสมการอื่นเข้ากับสมการเดียว

3. การคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์

เป็นผลให้ระบบจะอยู่ในรูปแบบ:

ดำเนินการตามกระบวนการนี้ต่อไป เราจะกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบออกจากสมการทั้งหมด โดยเริ่มจากสมการที่สาม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณสมการที่สองด้วยตัวเลขแล้วบวกเข้ากับสมการที่ 3, ..., ถึง -th ของระบบ ขั้นตอนต่อไปนี้ของวิธีเกาส์มีการดำเนินการในทำนองเดียวกัน หากเป็นผลมาจากการแปลงเราได้รับสมการที่เหมือนกัน เราก็จะลบมันออกจากระบบ หากในขั้นตอนหนึ่งของวิธีเกาส์เซียนจะได้สมการของรูปแบบ:

จากนั้นระบบที่อยู่ระหว่างการพิจารณาไม่สอดคล้องกันและแนวทางแก้ไขเพิ่มเติมจะยุติลง หากไม่พบสมการของรูปแบบ (3.2) เมื่อทำการแปลงเบื้องต้น ดังนั้นในระบบไม่เกิน - ขั้นตอน (3.1) จะถูกแปลงเป็นรูปแบบขั้นตอน:

เพื่อให้ได้โซลูชันเฉพาะของระบบ จำเป็นต้องกำหนดค่าเฉพาะให้กับตัวแปรอิสระใน (3.4)

โปรดทราบว่าเนื่องจากในวิธีเกาส์ การแปลงทั้งหมดจะดำเนินการกับสัมประสิทธิ์ของสมการที่ไม่รู้จักและเทอมอิสระ ในทางปฏิบัติ วิธีการนี้มักจะใช้กับเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของค่าที่ไม่รู้จักและคอลัมน์ของเทอมอิสระ เมทริกซ์นี้เรียกว่าขยาย เมื่อใช้การแปลงเบื้องต้น เมทริกซ์นี้จะลดลงเป็นรูปแบบขั้นตอน จากนั้น เมื่อใช้เมทริกซ์ผลลัพธ์ ระบบจะถูกสร้างขึ้นใหม่และการใช้เหตุผลก่อนหน้านี้ทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 1แก้ระบบ:

สารละลาย.เราสร้างเมทริกซ์แบบขยายและลดขนาดให้เป็นรูปแบบขั้นตอน:

~ *) ~ **) ~ ***)

*) - คูณบรรทัดที่สองและขีดฆ่าบรรทัดที่สาม