ตัวคูณร่วมน้อยของ 8 และ 10 ตัวคูณร่วมน้อย (LCM): คำจำกัดความ ตัวอย่าง และคุณสมบัติ
คำนิยาม.จำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดที่ตัวเลข a และ b หารลงตัวโดยไม่มีเศษเรียกว่า ตัวหารร่วมมาก (gcd)ตัวเลขเหล่านี้
มาหาที่ใหญ่ที่สุดกันเถอะ ตัวหารร่วมหมายเลข 24 และ 35
ตัวหารของ 24 จะเป็นตัวเลข 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 และตัวหารของ 35 จะเป็นตัวเลข 1, 5, 7, 35
เราจะเห็นว่าตัวเลข 24 และ 35 มีตัวหารร่วมเพียงตัวเดียว - หมายเลข 1 ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่า coprime.
คำนิยาม.ตัวเลขธรรมชาติเรียกว่า coprimeถ้าตัวหารร่วมมาก (gcd) คือ 1
ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (GCD)สามารถพบได้โดยไม่ต้องเขียนตัวหารทั้งหมดของตัวเลขที่กำหนด
แยกตัวประกอบตัวเลข 48 และ 36 เราได้รับ:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
จากปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายตัวของตัวเลขตัวแรก เราจะลบปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขที่สอง (เช่น สองแต้ม)
ตัวประกอบ 2 * 2 * 3 ยังคงอยู่ ผลคูณของมันคือ 12 ตัวเลขนี้คือตัวหารร่วมมากของตัวเลข 48 และ 36 นอกจากนี้ยังพบตัวหารร่วมมากของตัวเลขสามตัวขึ้นไป
การค้นหา ตัวหารร่วมมาก
2) จากปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขเหล่านี้ให้ขีดฆ่าปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขอื่น ๆ
3) หาผลคูณของปัจจัยที่เหลือ
หากตัวเลขที่ให้มาทั้งหมดหารด้วยตัวใดตัวหนึ่งลงตัว ตัวเลขนี้ก็คือ ตัวหารร่วมมากตัวเลขที่กำหนด
ตัวอย่างเช่น ตัวหารร่วมมากของ 15, 45, 75 และ 180 คือ 15 เนื่องจากมันหารจำนวนอื่นๆ ทั้งหมด: 45, 75 และ 180
ตัวคูณร่วมน้อย (LCM)
คำนิยาม. ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ตัวเลขธรรมชาติ a และ b เป็นจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่เป็นจำนวนทวีคูณของทั้ง a และ b ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวเลข 75 และ 60 สามารถพบได้โดยไม่ต้องเขียนตัวเลขหลายตัวติดต่อกัน ในการทำเช่นนี้ เราแยก 75 และ 60 ออกเป็นปัจจัยง่ายๆ: 75 \u003d 3 * 5 * 5 และ 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5
เราเขียนปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขตัวแรกของตัวเลขเหล่านี้ และเพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไป 2 และ 2 จากการขยายตัวของตัวเลขที่สอง (นั่นคือ เรารวมตัวประกอบเข้าด้วยกัน)
เราได้ตัวประกอบ 5 ตัว 2 * 2 * 3 * 5 * 5 ซึ่งได้ผลลัพธ์คือ 300 ตัวเลขนี้เป็นตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 75 และ 60
หาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามตัวขึ้นไปด้วย
ถึง หาตัวคูณร่วมน้อยตัวเลขธรรมชาติหลายตัว คุณต้องการ:
1) แยกออกเป็นปัจจัยเฉพาะ
2) เขียนปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขตัวใดตัวหนึ่ง
3) เพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไปจากการขยายตัวเลขที่เหลือ
4) หาผลคูณของปัจจัยผลลัพธ์
โปรดทราบว่าถ้าหนึ่งในตัวเลขเหล่านี้หารด้วยตัวเลขอื่น ๆ ทั้งหมด ตัวเลขนี้จะเป็นตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้
ตัวอย่างเช่น ตัวคูณร่วมน้อยของ 12, 15, 20 และ 60 จะเป็น 60 เนื่องจากหารด้วยจำนวนที่ระบุทั้งหมดลงตัว
พีทาโกรัส (ศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสต์ศักราช) และนักเรียนของเขาศึกษาปัญหาการหารตัวเลข ตัวเลขที่เท่ากับผลรวมของตัวหารทั้งหมด (ไม่มีตัวมันเอง) พวกเขาเรียกว่าจำนวนสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) นั้นสมบูรณ์แบบ ตัวเลขสมบูรณ์ถัดไปคือ 496, 8128, 33,550,336 ชาวพีทาโกรัสรู้เพียงตัวเลขที่สมบูรณ์สามตัวแรกเท่านั้น ที่สี่ - 8128 - กลายเป็นที่รู้จักในศตวรรษที่ 1 น. อี ที่ห้า - 33 550 336 - พบในศตวรรษที่ 15 ในปี 1983 มีคนรู้จักตัวเลขที่สมบูรณ์แบบ 27 ตัวแล้ว แต่จนถึงขณะนี้ นักวิทยาศาสตร์ไม่ทราบว่ามีเลขสมบูรณ์คี่หรือไม่ มีเลขสมบูรณ์มากที่สุดหรือไม่
ความสนใจของนักคณิตศาสตร์โบราณในเรื่องจำนวนเฉพาะเกิดจากการที่จำนวนใด ๆ ที่เป็นจำนวนเฉพาะหรือสามารถแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ นั่นคือ จำนวนเฉพาะเป็นเหมือนอิฐที่สร้างตัวเลขธรรมชาติที่เหลือ
คุณอาจสังเกตเห็นว่าจำนวนเฉพาะในชุดของจำนวนธรรมชาติเกิดขึ้นไม่เท่ากัน - ในบางส่วนของชุดตัวเลขมีจำนวนมากกว่า ในส่วนอื่นๆ - น้อยกว่า แต่ยิ่งเราเคลื่อนไปตามอนุกรมจำนวนเท่าใด ตัวเลขเฉพาะยิ่งหายากมากขึ้นเท่านั้น คำถามเกิดขึ้น: จำนวนเฉพาะตัวสุดท้าย (ที่ใหญ่ที่สุด) มีอยู่จริงหรือไม่? นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ Euclid (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) ในหนังสือของเขา "จุดเริ่มต้น" ซึ่งเป็นหนังสือเรียนวิชาคณิตศาสตร์หลักเป็นเวลาสองพันปีพิสูจน์ว่ามีจำนวนเฉพาะมากมายนับไม่ถ้วนนั่นคือหลังจำนวนเฉพาะแต่ละตัวมีคู่ จำนวนเฉพาะที่มากขึ้น
ในการค้นหาจำนวนเฉพาะ Eratosthenes นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกอีกคนหนึ่งในคราวเดียวกันได้คิดค้นวิธีการดังกล่าว เขาจดตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึงจำนวนหนึ่ง แล้วขีดฆ่าหน่วยซึ่งไม่ใช่จำนวนเฉพาะหรือจำนวนเชิงประกอบ จากนั้นจึงขีดฆ่าตัวเลขทั้งหมดหลัง 2 ตัวหนึ่ง (ตัวเลขที่ทวีคูณของ 2 คือ 4 6 , 8 เป็นต้น) หมายเลขแรกที่เหลือหลังจาก 2 คือ 3 จากนั้นหลังจากสอง หมายเลขทั้งหมดหลังจาก 3 จะถูกขีดฆ่า (ตัวเลขที่ทวีคูณของ 3 เช่น 6, 9, 12 เป็นต้น) ในท้ายที่สุด เฉพาะตัวเลขเฉพาะที่ยังไม่ถูกขีดฆ่า
แต่จำนวนธรรมชาติจำนวนมากหารด้วยจำนวนธรรมชาติอื่นๆ ลงตัว
ตัวอย่างเช่น:
หมายเลข 12 หารด้วย 1 ลงตัว 2 คูณ 3 คูณ 4 คูณ 6 คูณ 12 ลงตัว
เลข 36 หารด้วย 1, 2, 3 หาร 4, 6 คูณ 12, คูณ 18, 36 ลงตัว
ตัวเลขที่ตัวเลขหารลงตัว (สำหรับ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12) เรียกว่า ตัวหารตัวเลข. ตัวหารของจำนวนธรรมชาติ เอเป็นจำนวนธรรมชาติที่หาร ให้หมายเลข เอไร้ร่องรอย จำนวนธรรมชาติที่มีตัวประกอบมากกว่าสองตัวเรียกว่า คอมโพสิต .
โปรดทราบว่าตัวเลข 12 และ 36 มีตัวหารร่วม ตัวเลขเหล่านี้ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12 ตัวหารที่ใหญ่ที่สุดของตัวเลขเหล่านี้คือ 12 ตัวหารร่วมของตัวเลขสองตัวนี้ เอและ ขคือ จำนวนที่เลขทั้งสองตัวหารลงตัวโดยไม่เหลือเศษ เอและ ข.
ตัวคูณร่วมตัวเลขหลายตัวเรียกว่าตัวเลขที่หารด้วยตัวเลขเหล่านี้แต่ละตัวลงตัว ตัวอย่างเช่น, ตัวเลข 9, 18 และ 45 มีตัวคูณร่วมของ 180 แต่ 90 และ 360 ก็เป็นตัวคูณร่วมของพวกมันเช่นกัน ในบรรดาทวีคูณทั่วไปทั้งหมด จะมีจำนวนที่น้อยที่สุดเสมอ ในกรณีนี้คือ 90 หมายเลขนี้เรียกว่า น้อยที่สุดตัวคูณร่วม (LCM).
LCM เป็นจำนวนธรรมชาติเสมอ ซึ่งต้องมากกว่าจำนวนที่ใหญ่ที่สุดของตัวเลขที่กำหนดไว้
ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) คุณสมบัติ.
การสับเปลี่ยน:
สมาคม:
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า และ เป็นจำนวน coprime ดังนั้น:
ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มสองตัว มและ นเป็นตัวหารของตัวคูณร่วมอื่นๆ ทั้งหมด มและ น. นอกจากนี้ เซตของตัวคูณร่วม ม.นตรงกับชุดทวีคูณสำหรับ LCM( ม.น).
สมการสำหรับ สามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันทางทฤษฎีจำนวนหนึ่งได้
ดังนั้น, ฟังก์ชัน Chebyshev. เช่นเดียวกับ:
ตามมาจากนิยามและคุณสมบัติของฟังก์ชันรถม้า กรัม(n).
สิ่งที่ตามมาจากกฎการกระจายของจำนวนเฉพาะ
การหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM)
NOC( ก, ข) สามารถคำนวณได้หลายวิธี:
1. ถ้ารู้จักตัวหารร่วมมาก คุณสามารถใช้ความสัมพันธ์ของมันกับ LCM:
2. ให้ทราบการสลายตัวตามรูปแบบบัญญัติของตัวเลขทั้งสองเป็นปัจจัยเฉพาะ:
ที่ไหน p 1 ,...,p kเป็นจำนวนเฉพาะต่างๆ และ d 1 ,...,d kและ อี 1 ,...,เอกเป็นจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบ (สามารถเป็นศูนย์ได้หากจำนวนเฉพาะที่ตรงกันไม่อยู่ในการสลายตัว)
จากนั้น LCM ( เอ,ข) คำนวณโดยสูตร:
กล่าวอีกนัยหนึ่ง การขยาย LCM มีปัจจัยเฉพาะทั้งหมดที่รวมอยู่ในการขยายจำนวนอย่างน้อยหนึ่งรายการ ก, ขและกำลังหาเลขชี้กำลังสองที่ใหญ่ที่สุดของปัจจัยนี้
ตัวอย่าง:
การคำนวณตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขหลายตัวสามารถลดลงเป็นการคำนวณ LCM ของตัวเลขสองตัวต่อเนื่องกันได้หลายตัว:
กฎ.ในการค้นหา LCM ของชุดตัวเลข คุณต้อง:
- แยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ
- โอนการขยายตัวที่ใหญ่ที่สุดไปยังปัจจัยของผลิตภัณฑ์ที่ต้องการ (ผลคูณของปัจจัยที่มีจำนวนมากที่สุดของจำนวนที่กำหนด) แล้วบวกปัจจัยจากการขยายตัวของตัวเลขอื่น ๆ ที่ไม่เกิดขึ้นในตัวเลขแรกหรืออยู่ในนั้น จำนวนครั้งน้อยลง
- ผลคูณของตัวประกอบเฉพาะจะเป็น LCM ของตัวเลขที่กำหนด
จำนวนธรรมชาติตั้งแต่สองตัวขึ้นไปจะมี LCM ของตัวเอง หากตัวเลขไม่เป็นทวีคูณของกันและกันหรือไม่มีปัจจัยเดียวกันในการขยาย LCM ของพวกมันจะเท่ากับผลคูณของตัวเลขเหล่านี้
ปัจจัยเฉพาะของจำนวน 28 (2, 2, 7) ถูกเสริมด้วยปัจจัย 3 (หมายเลข 21) ผลลัพธ์ที่ได้ (84) จะเป็น ตัวเลขที่น้อยที่สุดซึ่งหารด้วย 21 และ 28 ลงตัว
ตัวประกอบเฉพาะของจำนวนที่มากที่สุด 30 ถูกเสริมด้วยตัวประกอบของ 5 ของจำนวน 25 ผลลัพธ์ที่ได้คือ 150 มากกว่าจำนวนที่มากที่สุด 30 และหารด้วยตัวเลขที่ระบุทั้งหมดโดยไม่มีเศษเหลือ นี่คือผลคูณที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้ (150, 250, 300...) ที่ตัวเลขที่ระบุทั้งหมดเป็นทวีคูณของ
ตัวเลข 2,3,11,37 เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น LCM ของพวกมันจึงเท่ากับผลคูณของตัวเลขที่ระบุ
กฎ. ในการคำนวณ LCM ของจำนวนเฉพาะ คุณต้องคูณตัวเลขทั้งหมดเหล่านี้เข้าด้วยกัน
อีกทางเลือกหนึ่ง:
ในการหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวเลขหลายตัวคุณต้อง:
1) แทนตัวเลขแต่ละตัวเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ เช่น
504 \u003d 2 2 2 3 3 7,
2) เขียนพลังของปัจจัยเฉพาะทั้งหมด:
504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1
3) เขียนตัวหารเฉพาะทั้งหมด (ตัวคูณ) ของตัวเลขแต่ละตัวเหล่านี้
4) เลือกระดับที่ใหญ่ที่สุดของแต่ละรายการที่พบในการขยายทั้งหมดของตัวเลขเหล่านี้
5) คูณพลังเหล่านี้
ตัวอย่าง. ค้นหา LCM ของตัวเลข: 168, 180 และ 3024
วิธีการแก้. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1
180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .
เราเขียนเลขยกกำลังที่ใหญ่ที่สุดของตัวหารเฉพาะทั้งหมดแล้วคูณมัน:
LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120
เพื่อให้เข้าใจวิธีการคำนวณ LCM อันดับแรก คุณควรกำหนดความหมายของคำว่า "หลายรายการ"
ผลคูณของ A เป็นจำนวนธรรมชาติที่ A หารด้วย A ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ ดังนั้น 15, 20, 25 และอื่นๆ สามารถนับเป็นทวีคูณของ 5
ตัวหารจำนวนหนึ่งอาจมีจำนวนจำกัด แต่ตัวคูณมีจำนวนไม่สิ้นสุด
ผลคูณร่วมของจำนวนธรรมชาติคือจำนวนที่หารด้วยจำนวนดังกล่าวโดยไม่มีเศษเหลือ
วิธีหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข
ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวเลข (สอง สามหรือมากกว่า) คือจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่หารด้วยจำนวนเหล่านี้ทั้งหมดลงตัว
ในการค้นหา NOC คุณสามารถใช้หลายวิธี
สำหรับจำนวนน้อย จะสะดวกที่จะเขียนผลคูณทั้งหมดของตัวเลขเหล่านี้ในบรรทัดจนกว่าจะพบตัวเลขร่วมในจำนวนนั้น ทวีคูณจะแสดงในบันทึกด้วยอักษรตัวใหญ่ K
ตัวอย่างเช่น สามารถเขียนทวีคูณของ 4 ได้ดังนี้:
K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K(6) = (12, 18, 24, ...)
ดังนั้น คุณจะเห็นได้ว่าตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 4 และ 6 คือหมายเลข 24 รายการนี้ดำเนินการดังนี้:
LCM(4, 6) = 24
หากตัวเลขมีขนาดใหญ่ ให้หาตัวคูณร่วมของตัวเลขสามตัวขึ้นไป ควรใช้วิธีอื่นในการคำนวณ LCM
เพื่อให้งานสำเร็จลุล่วง จำเป็นต้องแยกจำนวนที่เสนอเป็นปัจจัยเฉพาะ
ก่อนอื่นคุณต้องเขียนการขยายของตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดในบรรทัดและด้านล่าง - ส่วนที่เหลือ
ในการขยายจำนวนแต่ละจำนวน อาจมีปัจจัยหลายอย่างที่แตกต่างกัน
ตัวอย่างเช่น ลองแยกตัวประกอบตัวเลข 50 และ 20 เป็นตัวประกอบเฉพาะ
ในการขยายจำนวนที่น้อยกว่า เราควรเน้นปัจจัยที่ขาดหายไปในการขยายจำนวนที่มากที่สุดตัวแรก แล้วเพิ่มเข้าไป ในตัวอย่างที่นำเสนอ ผีสางหายไป
ตอนนี้เราสามารถคำนวณตัวคูณร่วมน้อยของ 20 และ 50
LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
ดังนั้น ผลคูณของตัวประกอบเฉพาะของจำนวนที่มากกว่าและตัวประกอบของจำนวนที่สอง ซึ่งไม่รวมอยู่ในการสลายตัวของจำนวนที่มากกว่า จะเป็นตัวคูณร่วมน้อยที่น้อยที่สุด
ในการหา LCM ของตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไป ทั้งหมดควรถูกแยกย่อยเป็นปัจจัยเฉพาะ เช่นในกรณีก่อนหน้า
ตัวอย่างเช่น คุณสามารถค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 16, 24, 36
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
ดังนั้น มีเพียงสองผีจากการสลายตัวของสิบหกที่ไม่รวมอยู่ในการแยกตัวประกอบของจำนวนที่มากขึ้น (หนึ่งอยู่ในการสลายตัวของยี่สิบสี่)
จึงต้องเพิ่มจำนวนที่สลายตัวให้มากขึ้น
LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
มีกรณีพิเศษในการพิจารณาตัวคูณร่วมน้อย ดังนั้น หากตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งสามารถหารโดยไม่มีเศษเหลือ ตัวเลขที่มากกว่าจะเป็นตัวคูณร่วมน้อย
ตัวอย่างเช่น NOCs ของสิบสองและยี่สิบสี่จะเป็นยี่สิบสี่
หากจำเป็นต้องค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนโคไพรม์ที่ไม่มีตัวหารเหมือนกัน LCM ของพวกมันจะเท่ากับผลคูณของจำนวนนั้น
ตัวอย่างเช่น LCM(10, 11) = 110
ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสองตัวเกี่ยวข้องโดยตรงกับตัวหารร่วมมากของตัวเลขเหล่านั้น นี้ ลิงค์ระหว่าง GCD และ NOCถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้
ทฤษฎีบท.
ผลคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวกสองตัว a และ b เท่ากับผลคูณของ a และ b หารด้วยตัวหารร่วมมากของ a และ b นั่นคือ LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).
การพิสูจน์.
อนุญาต M คือผลคูณของจำนวน a และ b นั่นคือ M หารด้วย a ลงตัว และโดยนิยามของการหารลงตัว จะมีจำนวนเต็ม k อยู่จำนวนหนึ่งที่ความเสมอภาค M=a·k เป็นจริง แต่ M ก็หารด้วย b ลงตัว แล้ว a k หารด้วย b ลงตัว
แสดงว่า gcd(a, b) เป็น d จากนั้นเราสามารถเขียนความเท่าเทียมกัน a=a 1 ·d และ b=b 1 ·d และ a 1 =a:d และ b 1 =b:d จะเป็นจำนวน coprime ดังนั้น เงื่อนไขที่ได้รับในย่อหน้าก่อนหน้าที่ a k หารด้วย b ลงตัว สามารถจัดรูปแบบใหม่ได้ดังนี้ a 1 d k หารด้วย b 1 d ลงตัว และเนื่องจากคุณสมบัติของการหารด้วย b เท่ากับเงื่อนไขที่ a 1 k หารด้วย b ลงตัว
เราต้องเขียนผลสืบเนื่องที่สำคัญสองประการจากทฤษฎีบทที่พิจารณาด้วย
ตัวคูณร่วมของตัวเลขสองตัวจะเหมือนกับผลคูณของตัวคูณร่วมน้อยของพวกมัน
นี่เป็นความจริง เนื่องจากตัวคูณร่วมของตัวเลข M a และ b ถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน M=LCM(a, b) t สำหรับค่าจำนวนเต็มบางค่า t
ตัวคูณร่วมน้อยของ coprime ตัวเลขบวก a และ b เท่ากับผลคูณของพวกมัน
เหตุผลสำหรับความจริงข้อนี้ค่อนข้างชัดเจน เนื่องจาก a และ b เป็น coprime ดังนั้น gcd(a, b)=1 ดังนั้น LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.
ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามตัวขึ้นไป
การหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไปสามารถลดลงได้เป็นการหา LCM ของตัวเลขสองตัวตามลำดับ วิธีการดำเนินการนี้แสดงไว้ในทฤษฎีบทต่อไปนี้ a 1 , a 2 , …, a k ตรงกับผลคูณร่วมของตัวเลข m k-1 และ a k ดังนั้น ตรงกับผลคูณของ m k และเนื่องจากผลคูณบวกที่น้อยที่สุดของจำนวน m k คือจำนวน m k เอง ดังนั้นผลคูณร่วมน้อยของตัวเลข a 1 , a 2 , …, a k คือ m k
บรรณานุกรม.
- Vilenkin N.Ya. เป็นต้น คณิตศาสตร์ ป.6 ตำราเรียนสำหรับสถานศึกษา
- Vinogradov I.M. พื้นฐานของทฤษฎีจำนวน
- มิคเฮโลวิช ช. ทฤษฎีจำนวน
- Kulikov L.Ya. และอื่นๆ. การรวบรวมปัญหาทางพีชคณิตและทฤษฎีตัวเลข : หนังสือเรียนสำหรับนักเรียน fiz.-mat. ความเชี่ยวชาญของสถาบันการสอน
มาพูดคุยกันต่อไปเกี่ยวกับตัวคูณร่วมน้อยที่เราเริ่มต้นในส่วน LCM - ตัวคูณร่วมน้อย คำจำกัดความ ตัวอย่าง ในหัวข้อนี้ เราจะดูวิธีหา LCM สำหรับตัวเลขสามตัวขึ้นไป เราจะวิเคราะห์คำถามว่าจะหา LCM ของจำนวนลบได้อย่างไร
Yandex.RTB R-A-339285-1
การคำนวณตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ผ่าน gcd
เราได้สร้างความสัมพันธ์ระหว่างตัวคูณร่วมน้อยกับตัวหารร่วมมากแล้ว ตอนนี้ มาเรียนรู้วิธีกำหนด LCM ผ่าน GCD กัน อันดับแรก เรามาหาวิธีหาจำนวนบวกกันก่อน
คำจำกัดความ 1
คุณสามารถหาตัวคูณร่วมน้อยได้โดยใช้ตัวหารร่วมมากโดยใช้สูตร LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b)
ตัวอย่าง 1
จำเป็นต้องหาค่า LCM ของตัวเลข 126 และ 70
วิธีการแก้
ลองหา a = 126 , b = 70 . แทนค่าในสูตรเพื่อคำนวณตัวคูณร่วมน้อยโดยใช้ตัวหารร่วมมาก LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
ค้นหา GCD ของตัวเลข 70 และ 126 สำหรับสิ่งนี้เราต้องการอัลกอริทึมแบบยุคลิด: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 ดังนั้น gcd (126 , 70) = 14 .
มาคำนวณ LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630
ตอบ: LCM (126, 70) = 630.
ตัวอย่าง 2
ค้นหานกของตัวเลข 68 และ 34
วิธีการแก้
GCD ในกรณีนี้หาง่าย เนื่องจาก 68 หารด้วย 34 ลงตัว คำนวณตัวคูณร่วมน้อยโดยใช้สูตร: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68
ตอบ: LCM(68, 34) = 68.
ในตัวอย่างนี้ เราใช้กฎในการหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวก a และ b: ถ้าตัวเลขตัวแรกหารด้วยตัวที่สองลงตัว LCM ของตัวเลขเหล่านี้จะเท่ากับตัวเลขตัวแรก
การหา LCM โดยการแยกตัวประกอบตัวเลขออกเป็นปัจจัยสำคัญ
ตอนนี้เรามาดูวิธีการหา LCM ซึ่งอิงจากการย่อยสลายของตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะ
คำจำกัดความ 2
ในการหาตัวคูณร่วมน้อย เราต้องทำตามขั้นตอนง่ายๆ ดังนี้
- เราประกอบกันเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะของตัวเลขทั้งหมดที่เราต้องหา LCM
- เราแยกปัจจัยเฉพาะทั้งหมดออกจากผลิตภัณฑ์ที่ได้รับ
- ผลิตภัณฑ์ที่ได้รับหลังจากกำจัดปัจจัยเฉพาะทั่วไปจะเท่ากับ LCM ของตัวเลขที่ระบุ
วิธีการหาตัวคูณร่วมน้อยนี้ขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกัน LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) ถ้าคุณดูที่สูตร มันจะชัดเจน: ผลคูณของตัวเลข a และ b เท่ากับผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการขยายของตัวเลขสองตัวนี้ ในกรณีนี้ GCD ของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลคูณของตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดที่มีอยู่พร้อมกันในการแยกตัวประกอบของตัวเลขสองตัวนี้
ตัวอย่างที่ 3
เรามีสองหมายเลข 75 และ 210 . เราสามารถแยกตัวประกอบออกมาได้ดังนี้: 75 = 3 5 5และ 210 = 2 3 5 7. หากคุณสร้างผลคูณของตัวประกอบทั้งหมดของตัวเลขดั้งเดิมสองตัว คุณจะได้: 2 3 3 5 5 5 7.
หากไม่รวมปัจจัยร่วมของทั้งตัวเลข 3 และ 5 เราจะได้ผลลัพธ์ในรูปแบบต่อไปนี้: 2 3 5 5 7 = 1050. สินค้านี้จะเป็น LCM ของเราสำหรับหมายเลข 75 และ 210
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหา LCM ของตัวเลข 441 และ 700 โดยแยกตัวเลขทั้งสองเป็นตัวประกอบเฉพาะ
วิธีการแก้
มาหาตัวประกอบเฉพาะของตัวเลขที่ให้มาในเงื่อนไขกัน:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
เราได้ตัวเลขสองสาย: 441 = 3 3 7 7 และ 700 = 2 2 5 5 7 .
ผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่มีส่วนร่วมในการขยายตัวเลขเหล่านี้จะมีลักษณะดังนี้: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. มาหาปัจจัยร่วมกัน หมายเลขนี้คือ 7 เราแยกออกจากผลิตภัณฑ์ทั่วไป: 2 2 3 3 5 5 7 7. ปรากฎว่า NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
ตอบ: LCM (441 , 700) = 44 100 .
ให้เรากำหนดวิธีการหา LCM อีกวิธีหนึ่งโดยแยกตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะ
คำจำกัดความ 3
ก่อนหน้านี้ เราแยกจากจำนวนรวมของปัจจัยร่วมของทั้งสองตัวเลข ตอนนี้เราจะทำอย่างอื่น:
- มาแยกตัวเลขทั้งสองเป็นตัวประกอบเฉพาะ:
- บวกกับผลคูณของตัวประกอบเฉพาะของจำนวนแรก ตัวประกอบที่ขาดหายไปของจำนวนที่สอง
- เราได้รับผลิตภัณฑ์ซึ่งจะเป็น LCM ที่ต้องการของตัวเลขสองตัว
ตัวอย่างที่ 5
กลับไปที่ตัวเลข 75 และ 210 ซึ่งเราได้ค้นหา LCM แล้วในหนึ่งในตัวอย่างก่อนหน้านี้ แบ่งพวกเขาออกเป็นปัจจัยง่ายๆ: 75 = 3 5 5และ 210 = 2 3 5 7. เป็นผลคูณของปัจจัย 3 , 5 และ 5 เลข 75 บวกตัวประกอบที่ขาดหายไป 2 และ 7 หมายเลข 210 . เราได้รับ: 2 3 5 5 7 .นี่คือ LCM ของตัวเลข 75 และ 210
ตัวอย่างที่ 6
จำเป็นต้องคำนวณ LCM ของตัวเลข 84 และ 648
วิธีการแก้
ลองแยกตัวเลขจากเงื่อนไขเป็นตัวประกอบเฉพาะ: 84 = 2 2 3 7และ 648 = 2 2 2 3 3 3 3 3. บวกกับผลคูณของตัวประกอบ 2 , 2 , 3 และ 7
ตัวเลข 84 ขาดปัจจัย 2 , 3 , 3 และ
3
หมายเลข 648 . เราได้รับสินค้า 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 .นี่คือตัวคูณร่วมน้อยของ 84 และ 648
ตอบ: LCM (84, 648) = 4536
การหา LCM ของตัวเลขสามตัวขึ้นไป
ไม่ว่าเราจะจัดการกับตัวเลขจำนวนเท่าใด อัลกอริธึมของการกระทำของเราจะเหมือนกันเสมอ: เราจะค้นหา LCM ของตัวเลขสองตัวอย่างสม่ำเสมอ มีทฤษฎีบทสำหรับกรณีนี้
ทฤษฎีบท 1
สมมติว่าเรามีจำนวนเต็ม a 1 , 2 , … , ก. NOC m kของตัวเลขเหล่านี้พบได้ในการคำนวณตามลำดับ m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k)
ตอนนี้เรามาดูกันว่าทฤษฎีบทสามารถนำไปใช้กับปัญหาเฉพาะได้อย่างไร
ตัวอย่าง 7
คุณต้องคำนวณตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสี่ตัว 140 , 9 , 54 และ 250 .
วิธีการแก้
มาแนะนำสัญกรณ์: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250
เริ่มต้นด้วยการคำนวณ m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . ลองใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิดในการคำนวณ GCD ของตัวเลข 140 และ 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 เราได้รับ: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260 ดังนั้น ม. 2 = 1 260 .
ทีนี้มาคำนวณโดยใช้อัลกอริธึมเดียวกัน m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) ในระหว่างการคำนวณ เราได้ m 3 = 3 780
เรายังคงคำนวณ m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . เราดำเนินการตามอัลกอริทึมเดียวกัน เราได้ ม. 4 \u003d 94 500
LCM ของตัวเลขสี่ตัวจากเงื่อนไขตัวอย่างคือ 94500
ตอบ: LCM (140, 9, 54, 250) = 94,500.
อย่างที่คุณเห็น การคำนวณนั้นง่ายแต่ค่อนข้างลำบาก คุณสามารถไปทางอื่นเพื่อประหยัดเวลา
คำจำกัดความ 4
เราขอเสนออัลกอริธึมของการดำเนินการต่อไปนี้แก่คุณ:
- แยกจำนวนทั้งหมดออกเป็นปัจจัยเฉพาะ
- ผลคูณของตัวประกอบของจำนวนแรก ให้บวกตัวประกอบที่ขาดหายไปจากผลคูณของจำนวนที่สอง
- เพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไปของตัวเลขที่สามให้กับผลิตภัณฑ์ที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้า ฯลฯ
- ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขทั้งหมดจากเงื่อนไข
ตัวอย่างที่ 8
จำเป็นต้องค้นหา LCM ของตัวเลขห้าตัว 84 , 6 , 48 , 7 , 143
วิธีการแก้
มาแยกตัวเลขทั้งห้าตัวเป็นตัวประกอบเฉพาะ: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 จำนวนเฉพาะซึ่งเป็นเลข 7 ไม่สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะได้ ตัวเลขดังกล่าวเกิดขึ้นพร้อมกับการสลายตัวของพวกมันเป็นปัจจัยสำคัญ
ทีนี้ ลองหาผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ 2, 2, 3 และ 7 ของจำนวน 84 แล้วบวกตัวประกอบที่หายไปของจำนวนที่สองเข้าไป เราแยกเลข 6 ออกเป็น 2 และ 3 แล้ว ปัจจัยเหล่านี้มีอยู่แล้วในผลคูณของตัวเลขแรก ดังนั้นเราจึงละเว้น
เรายังคงเพิ่มตัวคูณที่ขาดหายไปต่อไป เราเปลี่ยนเป็นตัวเลข 48 จากผลคูณของตัวประกอบเฉพาะที่เรานำ 2 และ 2 จากนั้นเราบวกตัวประกอบอย่างง่ายของ 7 จากจำนวนที่สี่และตัวประกอบของ 11 และ 13 ของตัวที่ห้า เราได้: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048 นี่คือตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเดิมห้าจำนวน
ตอบ: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048
การหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนลบ
การหาตัวคูณร่วมน้อย ตัวเลขติดลบตัวเลขเหล่านี้จะต้องถูกแทนที่ด้วยตัวเลขที่มีเครื่องหมายตรงข้ามก่อน จากนั้นจึงทำการคำนวณตามอัลกอริทึมข้างต้น
ตัวอย่างที่ 9
LCM(54, −34) = LCM(54, 34) และ LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888)
การกระทำดังกล่าวจะกระทำได้เพราะว่าหากเป็นที่ยอมรับว่า เอและ −- ตัวเลขตรงข้าม
แล้วเซตของทวีคูณ เอประจวบกับเซตของจำนวนทวีคูณ −.
ตัวอย่าง 10
จำเป็นต้องคำนวณ LCM ของจำนวนลบ − 145 และ − 45 .
วิธีการแก้
มาเปลี่ยนเลขกันเถอะ − 145 และ − 45 ไปเป็นเลขตรงข้ามกัน 145 และ 45 . ตอนนี้โดยใช้อัลกอริทึม เราคำนวณ LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 โดยก่อนหน้านี้ได้กำหนด GCD โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด
เราจะได้ LCM ของตัวเลข − 145 และ − 45 เท่ากับ 1 305 .
ตอบ: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
