Tento článok popisuje, ako nájsť hodnoty matematických výrazov. Začnime jednoduchými číselnými výrazmi a potom budeme uvažovať o prípadoch, keď sa ich zložitosť zvýši. Na konci uvádzame výraz obsahujúci označenie písmen, zátvorky, korene, špeciálne matematické znaky, stupne, funkcie atď. Celá teória bude podľa tradície vybavená bohatými a podrobnými príkladmi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ako zistiť hodnotu číselného výrazu?

Číselné výrazy okrem iného pomáhajú opísať stav problému v matematickom jazyku. Vo všeobecnosti môžu byť matematické výrazy buď veľmi jednoduché, pozostávajúce z dvojice čísel a aritmetických znamienok, alebo veľmi zložité, obsahujúce funkcie, stupne, korene, zátvorky atď. V rámci úlohy je často potrebné nájsť hodnotu výrazu. Ako to urobiť, bude diskutované nižšie.

Najjednoduchšie prípady

Toto sú prípady, keď výraz neobsahuje nič iné ako čísla a aritmetiku. Na úspešné nájdenie hodnôt takýchto výrazov budete potrebovať znalosti o poradí, v ktorom sa vykonávajú aritmetické operácie bez zátvoriek, ako aj schopnosť vykonávať operácie s rôznymi číslami.

Ak výraz obsahuje iba čísla a aritmetické znamienka " + " , " · " , " - " , " ÷ " , operácie sa vykonávajú zľava doprava v tomto poradí: najprv násobenie a delenie, potom sčítanie a odčítanie. Uveďme si príklady.

Príklad 1. Hodnota číselného výrazu

Nech je potrebné nájsť hodnoty výrazu 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 .

Najprv urobme násobenie a delenie. Dostaneme:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Teraz odpočítame a získame konečný výsledok:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Príklad 2. Hodnota číselného výrazu

Vypočítajme: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

Najprv vykonáme prevod zlomkov, delenie a násobenie:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Teraz urobme sčítanie a odčítanie. Zoskupíme zlomky a privedieme ich k spoločnému menovateľovi:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Nájde sa požadovaná hodnota.

Výrazy so zátvorkami

Ak výraz obsahuje zátvorky, určujú poradie akcií v tomto výraze. Najprv sa vykonajú akcie v zátvorkách a potom všetky ostatné. Ukážme si to na príklade.

Príklad 3. Hodnota číselného výrazu

Nájdite hodnotu výrazu 0 , 5 · (0 , 76 - 0 , 06) .

Výraz obsahuje zátvorky, takže najskôr vykonáme operáciu odčítania v zátvorkách a až potom násobenie.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

Hodnota výrazov obsahujúcich zátvorky v zátvorkách sa zistí podľa rovnakého princípu.

Príklad 4. Hodnota číselného výrazu

Vypočítajme hodnotu 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Vykonáme akcie od najvnútornejších zátvoriek až po vonkajšie.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Pri hľadaní hodnôt výrazov so zátvorkami je hlavnou vecou sledovať postupnosť akcií.

Výrazy s koreňmi

Matematické výrazy, ktorých hodnoty musíme nájsť, môžu obsahovať koreňové znaky. Okrem toho samotný výraz môže byť pod znakom koreňa. Ako byť v takom prípade? Najprv musíte nájsť hodnotu výrazu pod koreňom a potom extrahovať koreň z výsledného čísla. Ak je to možné, je lepšie zbaviť sa koreňov v číselných výrazoch a nahradiť ich číselnými hodnotami.

Príklad 5. Hodnota číselného výrazu

Vypočítajme hodnotu výrazu s odmocninami - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Najprv vypočítame radikálne výrazy.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Teraz môžeme vypočítať hodnotu celého výrazu.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Na nájdenie hodnoty výrazu s koreňmi je často potrebné najprv transformovať pôvodný výraz. Vysvetlime si to na inom príklade.

Príklad 6. Hodnota číselného výrazu

Koľko je 3 + 1 3 - 1 - 1

Ako vidíte, nemáme možnosť nahradiť koreň presnou hodnotou, čo komplikuje proces počítania. V tomto prípade však môžete použiť skrátený vzorec násobenia.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Touto cestou:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Výrazy s mocnosťami

Ak výraz obsahuje mocniny, ich hodnoty sa musia vypočítať pred pokračovaním vo všetkých ostatných akciách. Stáva sa, že samotný exponent alebo základ stupňa sú výrazy. V tomto prípade sa najprv vypočíta hodnota týchto výrazov a potom hodnota stupňa.

Príklad 7. Hodnota číselného výrazu

Nájdite hodnotu výrazu 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .

Začneme počítať v poradí.

2 3 4 – 10 = 2 12 – 10 = 2 2 = 4

16 1 – 1 2 3, 5 – 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Zostáva iba vykonať operáciu sčítania a zistiť hodnotu výrazu:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Často je tiež vhodné zjednodušiť výraz pomocou vlastností stupňa.

Príklad 8. Hodnota číselného výrazu

Vypočítajme hodnotu nasledujúceho výrazu: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Exponenty sú opäť také, že nie je možné získať ich presné číselné hodnoty. Zjednodušte pôvodný výraz, aby ste našli jeho hodnotu.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Výrazy so zlomkami

Ak výraz obsahuje zlomky, potom pri výpočte takéhoto výrazu musia byť všetky zlomky v ňom vyjadrené ako obyčajné zlomky a vypočítať ich hodnoty.

Ak sú v čitateli a menovateli zlomku výrazy, najprv sa vypočítajú hodnoty týchto výrazov a zaznamená sa konečná hodnota samotného zlomku. Aritmetické operácie sa vykonávajú v štandardnom poradí. Uvažujme o príklade riešenia.

Príklad 9. Hodnota číselného výrazu

Nájdite hodnotu výrazu obsahujúceho zlomky: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Ako vidíte, v pôvodnom výraze sú tri zlomky. Najprv vypočítajme ich hodnoty.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Prepíšme náš výraz a vypočítajme jeho hodnotu:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Pri hľadaní hodnôt výrazov je často vhodné zmenšiť zlomky. Existuje nevyslovené pravidlo: pred nájdením jeho hodnoty je najlepšie zjednodušiť akýkoľvek výraz na maximum a zredukovať všetky výpočty na najjednoduchšie prípady.

Príklad 10. Hodnota číselného výrazu

Vypočítajme výraz 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Nemôžeme úplne extrahovať koreň päťky, ale môžeme zjednodušiť pôvodný výraz pomocou transformácií.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Pôvodný výraz má tvar:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Vypočítajme hodnotu tohto výrazu:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Výrazy s logaritmami

Ak sú vo výraze prítomné logaritmy, ich hodnota, ak je to možné, sa počíta od úplného začiatku. Napríklad do výrazu log 2 4 + 2 4 môžete okamžite zapísať hodnotu tohto logaritmu namiesto log 2 4 a potom vykonať všetky akcie. Dostaneme: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

Číselné výrazy možno nájsť aj pod znamienkom logaritmu a na jeho základe. V tomto prípade je prvým krokom zistenie ich hodnôt. Zoberme si výraz log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Máme:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Ak nie je možné vypočítať presnú hodnotu logaritmu, zjednodušenie výrazu pomôže nájsť jeho hodnotu.

Príklad 11. Hodnota číselného výrazu

Nájdite hodnotu výrazu log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Podľa vlastnosti logaritmov:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

Opäť použitím vlastností logaritmov pre posledný zlomok vo výraze dostaneme:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Teraz môžete pristúpiť k výpočtu hodnoty pôvodného výrazu.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Výrazy s goniometrickými funkciami

Stáva sa, že vo výraze sú goniometrické funkcie sínus, kosínus, tangens a kotangens, ako aj funkcie, ktoré sú k nim inverzné. Z hodnoty sa vypočítajú pred vykonaním všetkých ostatných aritmetických operácií. V opačnom prípade je výraz zjednodušený.

Príklad 12. Hodnota číselného výrazu

Nájdite hodnotu výrazu: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Najprv vypočítame hodnoty goniometrických funkcií zahrnutých vo výraze.

hriech - 5 π 2 \u003d - 1

Nahraďte hodnoty vo výraze a vypočítajte jeho hodnotu:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Hodnota výrazu sa nájde.

Aby sme našli hodnotu výrazu s goniometrickými funkciami, musíme ho často najskôr previesť. Vysvetlíme si to na príklade.

Príklad 13. Hodnota číselného výrazu

Je potrebné nájsť hodnotu výrazu cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Na transformáciu použijeme trigonometrické vzorce pre kosínus dvojitého uhla a kosínus súčtu.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 -1 cos 1 - 1 = 0.

Všeobecný prípad číselného výrazu

Vo všeobecnom prípade môže goniometrický výraz obsahovať všetky vyššie opísané prvky: zátvorky, stupne, korene, logaritmy, funkcie. Poďme formulovať všeobecné pravidlo nájsť hodnoty takýchto výrazov.

Ako nájsť hodnotu výrazu

1. Odmocniny, mocniny, logaritmy atď. sú nahradené ich hodnotami.
2. Vykonajú sa akcie v zátvorkách.
3. Zostávajúce kroky sa vykonávajú v poradí zľava doprava. Najprv - násobenie a delenie, potom - sčítanie a odčítanie.

Vezmime si príklad.

Príklad 14. Hodnota číselného výrazu

Vypočítajme, aká je hodnota výrazu - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Výraz je dosť zložitý a ťažkopádny. Nie náhodou sme vybrali práve takýto príklad a snažili sme sa doň vtesnať všetky vyššie opísané prípady. Ako zistiť hodnotu takéhoto výrazu?

Je známe, že pri výpočte hodnoty komplexnej zlomkovej formy sa najprv hodnoty čitateľa a menovateľa zlomku nachádzajú oddelene. Tento výraz budeme postupne transformovať a zjednodušovať.

Najprv vypočítame hodnotu radikálového výrazu 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť hodnotu sínusu a výraz, ktorý je argumentom goniometrickej funkcie.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Teraz môžete zistiť hodnotu sínusu:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Vypočítame hodnotu radikálneho výrazu:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

So menovateľom zlomku je všetko jednoduchšie:

Teraz môžeme zapísať hodnotu celého zlomku:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

S ohľadom na to napíšeme celý výraz:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Konečný výsledok:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

V tomto prípade sme dokázali vypočítať presné hodnoty koreňov, logaritmov, sínusov atď. Ak to nie je možné, môžete sa ich pokúsiť zbaviť matematickými transformáciami.

Počítanie výrazov racionálnymi spôsobmi

Číselné hodnoty musia byť vypočítané konzistentne a presne. Tento proces je možné racionalizovať a urýchliť využitím rôznych vlastností operácií s číslami. Napríklad je známe, že súčin sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Vzhľadom na túto vlastnosť môžeme okamžite povedať, že výraz 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 sa rovná nule. V tomto prípade nie je vôbec potrebné vykonávať kroky v poradí opísanom v článku vyššie.

Je tiež vhodné použiť vlastnosť odčítania rovnaké čísla. Bez vykonania akýchkoľvek úkonov je možné nariadiť, aby hodnota výrazu 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 bola tiež rovná nule.

Ďalšou technikou, ktorá vám umožňuje urýchliť proces, je použitie identických transformácií, ako je zoskupovanie výrazov a faktorov a vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek. Racionálnym prístupom k výpočtu výrazov so zlomkami je zredukovať rovnaké výrazy v čitateli a menovateli.

Vezmime si napríklad výraz 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . Bez vykonania akcií v zátvorkách, ale zmenšením zlomku môžeme povedať, že hodnota výrazu je 1 3 .

Nájdenie hodnôt výrazov s premennými

Hodnota doslovného výrazu a výrazu s premennými sa nachádza pre konkrétne dané hodnoty písmen a premenných.

Nájdenie hodnôt výrazov s premennými

Ak chcete nájsť hodnotu doslovného výrazu a výrazu s premennými, musíte dané hodnoty písmen a premenných nahradiť pôvodným výrazom a potom vypočítať hodnotu výsledného číselného výrazu.

Príklad 15. Hodnota výrazu s premennými

Vypočítajte hodnotu výrazu 0, 5 x - y za predpokladu x = 2 , 4 a y = 5 .

Hodnoty premenných dosadíme do výrazu a vypočítame:

0,5 x - y = 0, 5 2, 4 - 5 = 1, 2 - 5 = - 3,8.

Niekedy je možné transformovať výraz takým spôsobom, aby získal jeho hodnotu bez ohľadu na hodnoty písmen a premenných, ktoré sú v ňom obsiahnuté. Na to je potrebné zbaviť sa písmen a premenných vo výraze, ak je to možné, pomocou rovnakých transformácií, vlastností aritmetických operácií a všetkých možných iných metód.

Napríklad výraz x + 3 - x má samozrejme hodnotu 3 a na výpočet tejto hodnoty nie je potrebné poznať hodnotu x. Hodnota tohto výrazu sa rovná trom pre všetky hodnoty premennej x z jej rozsahu platných hodnôt.

Ešte jeden príklad. Hodnota výrazu x x sa rovná jednej pre všetky kladné x.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Prvá úroveň

Konverzia výrazov. Podrobná teória (2019)

Konverzia výrazov

Často počujeme túto nepríjemnú frázu: "zjednodušte výraz." Zvyčajne v tomto prípade máme nejaké monštrum, ako je toto:

"Áno, oveľa jednoduchšie," hovoríme, ale takáto odpoveď zvyčajne nefunguje.

Teraz vás naučím nebáť sa žiadnych takýchto úloh. Navyše, na konci hodiny si tento príklad sám zjednodušíte na (len!) obyčajné číslo (áno, do čerta s týmito písmenami).

Ale predtým, ako začnete túto lekciu, musíte byť schopní zvládnuť zlomky a faktorové polynómy. Preto najprv, ak ste to ešte neurobili, nezabudnite zvládnuť témy "" a "".

Čítať? Ak áno, ste pripravení.

Základné zjednodušujúce operácie

Teraz budeme analyzovať hlavné techniky, ktoré sa používajú na zjednodušenie výrazov.

Najjednoduchší z nich je

1. Prinášanie podobného

Čo sú podobné? Prešli ste si tým v 7. ročníku, keď sa v matematike namiesto číslic prvýkrát objavili písmená. Podobné sú termíny (monomiály) s rovnakou písmenovou časťou. Napríklad v súčte sú podobné výrazy a.

Spomenul si?

Priniesť podobné výrazy znamená pridať niekoľko podobných výrazov k sebe a získať jeden výraz.

Ale ako môžeme poskladať písmená? - pýtaš sa.

To je veľmi ľahké pochopiť, ak si predstavíte, že písmená sú nejaké predmety. Napríklad list je stolička. Aký je potom výraz? Dve stoličky plus tri stoličky, koľko to bude? Presne tak, stoličky: .

Teraz skúste tento výraz:

Aby ste sa neplietli, nech rôzne písmená označujú rôzne predmety. Napríklad - toto je (ako obvykle) stolička a - toto je stôl. potom:

stoličky stoly stoličky stoly stoličky stoličky stoly

Čísla, ktorými sa písmená v takýchto pojmoch násobia, sa nazývajú koeficienty. Napríklad v monomiáli je koeficient rovnaký. A je rovnocenný.

Takže pravidlo pre prinesenie podobného:

Príklady:

Prineste podobné:

Odpovede:

2. (a sú podobné, pretože tieto výrazy majú preto rovnakú časť písmena).

2. Faktorizácia

Toto je zvyčajne najdôležitejšia časť pri zjednodušovaní výrazov. Po zadaní podobných musí byť výsledný výraz najčastejšie faktorizovaný, teda prezentovaný ako produkt. Toto je obzvlášť dôležité pri zlomkoch: koniec koncov, aby sa zlomok zmenšil, čitateľ a menovateľ musia byť vyjadrené ako súčin.

Prešli ste si podrobnými metódami faktoringu výrazov v téme "", takže si tu stačí zapamätať, čo ste sa naučili. Ak to chcete urobiť, vyriešte niekoľko príklady(bude zohľadnené):

Riešenia:

3. Zníženie frakcií.

Nuž, čo môže byť krajšie, ako vyškrtnúť časť čitateľa a menovateľa a vyhodiť ich zo svojho života?

V tom je krása skratky.

Je to jednoduché:

Ak čitateľ a menovateľ obsahujú rovnaké faktory, môžu sa znížiť, to znamená odstrániť zo zlomku.

Toto pravidlo vyplýva zo základnej vlastnosti zlomku:

To znamená, že podstatou operácie redukcie je to Čitateľ a menovateľ zlomku delíme rovnakým číslom (alebo rovnakým výrazom).

Ak chcete znížiť zlomok, potrebujete:

1) čitateľ a menovateľ faktorizovať

2) ak čitateľ a menovateľ obsahuje spoločné faktory, môžu byť vymazané.

Myslím, že princíp je jasný?

Chcel by som vás upozorniť na jednu typickú chybu v skratke. Aj keď je táto téma jednoduchá, veľa ľudí robí všetko zle, pričom si to neuvedomujú rezať- to znamená rozdeliťčitateľa a menovateľa rovnakým číslom.

Žiadne skratky, ak je čitateľ alebo menovateľ súčet.

Napríklad: musíte zjednodušiť.

Niektorí to robia: čo je absolútne nesprávne.

Ďalší príklad: znížiť.

"Najmúdrejší" urobí toto:.

Povedz mi, čo sa tu deje? Zdalo by sa: - toto je multiplikátor, takže môžete znížiť.

Ale nie: - toto je faktor len jedného člena v čitateli, ale samotný čitateľ ako celok nie je rozložený na faktory.

Tu je ďalší príklad: .

Tento výraz je rozložený na faktory, čo znamená, že môžete znížiť, to znamená rozdeliť čitateľa a menovateľa a potom:

Môžete okamžite rozdeliť podľa:

Aby ste sa vyhli takýmto chybám, pamätajte ľahká cesta ako zistiť, či je výraz zohľadnený:

Aritmetická operácia, ktorá sa vykoná ako posledná pri výpočte hodnoty výrazu, je „hlavná“. To znamená, že ak namiesto písmen dosadíte nejaké (akékoľvek) čísla a pokúsite sa vypočítať hodnotu výrazu, potom ak je poslednou akciou násobenie, máme súčin (výraz sa rozloží na faktory). Ak je poslednou akciou sčítanie alebo odčítanie, znamená to, že výraz nie je faktorizovaný (a preto ho nemožno zmenšiť).

Ak to chcete opraviť, vyriešte to sami príklady:

Odpovede:

1. Dúfam, že ste sa hneď nehrnuli strihať a? Stále nestačilo „znížiť“ jednotky takto:

Prvým krokom by malo byť faktorizovanie:

4. Sčítanie a odčítanie zlomkov. Privedenie zlomkov k spoločnému menovateľovi.

Sčítanie a odčítanie obyčajných zlomkov je známa operácia: hľadáme spoločného menovateľa, vynásobíme každý zlomok chýbajúcim faktorom a sčítame/odčítame čitateľa. Pripomeňme si:

Odpovede:

1. Menovatelia a sú coprime, to znamená, že nemajú spoločné faktory. Preto sa LCM týchto čísel rovná ich súčinu. Toto bude spoločný menovateľ:

2. Tu je spoločný menovateľ:

3. Tu najskôr premeníme zmiešané frakcie na nesprávne a potom - podľa obvyklej schémy:

Iná vec je, ak zlomky obsahujú písmená, napríklad:

Začnime jednoducho:

a) Menovatele neobsahujú písmená

Tu je všetko rovnaké ako pri bežných číselných zlomkoch: nájdeme spoločného menovateľa, vynásobíme každý zlomok chýbajúcim faktorom a pripočítame / odčítame čitateľa:

teraz v čitateli môžete priniesť podobné, ak nejaké existujú, a rozpočítať ich:

Vyskúšajte sami:

b) Menovateľ obsahuje písmená

Pripomeňme si princíp hľadania spoločného menovateľa bez písmen:

Najprv určíme spoločné faktory;

Potom raz vypíšeme všetky spoločné faktory;

a vynásobte ich všetkými ostatnými faktormi, nie bežnými.

Aby sme určili spoločné faktory menovateľov, najprv ich rozložíme na jednoduché faktory:

Zdôrazňujeme spoločné faktory:

Teraz raz vypíšeme spoločné faktory a pridáme k nim všetky nie spoločné (nepodčiarknuté) faktory:

Toto je spoločný menovateľ.

Vráťme sa k písmenám. Menovatelia sa uvádzajú presne rovnakým spôsobom:

Menovateľov rozložíme na faktory;

určiť spoločné (identické) multiplikátory;

raz zapíšte všetky spoločné faktory;

Násobíme ich všetkými ostatnými faktormi, nie bežnými.

Takže v poradí:

1) rozložte menovateľov na faktory:

2) určiť spoločné (identické) faktory:

3) napíšte všetky spoločné faktory raz a vynásobte ich všetkými ostatnými (nepodčiarknutými) faktormi:

Takže spoločný menovateľ je tu. Prvý zlomok sa musí vynásobiť, druhý -:

Mimochodom, existuje jeden trik:

Napríklad: .

V menovateľoch vidíme rovnaké faktory, len všetky s inými ukazovateľmi. Spoločným menovateľom bude:

do tej miery

do tej miery

do tej miery

v stupni.

Skomplikujme si úlohu:

Ako dosiahnuť, aby zlomky mali rovnakého menovateľa?

Pripomeňme si základnú vlastnosť zlomku:

Nikde nie je povedané, že od čitateľa a menovateľa zlomku možno odčítať (alebo sčítať) rovnaké číslo. Pretože to nie je pravda!

Presvedčte sa sami: vezmite si napríklad ľubovoľný zlomok a do čitateľa a menovateľa pridajte nejaké číslo, napríklad . Čo sa naučilo?

Takže ďalšie neotrasiteľné pravidlo:

Keď privediete zlomky k spoločnému menovateľovi, použite iba operáciu násobenia!

Čo však potrebujete množiť, aby ste získali?

Tu a množte sa. A vynásobte:

Výrazy, ktoré nemožno faktorizovať, budeme nazývať „elementárne faktory“. Napríklad je to elementárny faktor. - tiež. Ale - nie: rozkladá sa na faktory.

A čo vyjadrovanie? Je to elementárne?

Nie, pretože to môže byť faktorizované:

(o faktorizácii ste už čítali v téme "").

Takže elementárne faktory, na ktoré rozložíte výraz s písmenami, sú analógiou jednoduchých faktorov, na ktoré rozložíte čísla. A to isté urobíme s nimi.

Vidíme, že oba menovatele majú faktor. Pôjde to do spoločného menovateľa v moci (pamätáte prečo?).

Násobiteľ je elementárny a nemajú ho spoločný, čo znamená, že prvý zlomok sa ním bude musieť jednoducho vynásobiť:

Ďalší príklad:

Riešenie:

Pred vynásobením týchto menovateľov v panike musíte premýšľať o tom, ako ich faktorizovať? Obaja predstavujú:

Výborne! potom:

Ďalší príklad:

Riešenie:

Ako obvykle, menovatele rozkladáme na faktor. V prvom menovateli ho jednoducho vysunieme zo zátvoriek; v druhom - rozdiel štvorcov:

Zdá sa, že neexistujú žiadne spoločné faktory. Ale keď sa pozriete pozorne, už sú si také podobné ... A pravdou je:

Tak si napíšme:

To znamená, že to dopadlo takto: vo vnútri zátvorky sme prehodili pojmy a zároveň sa znamienko pred zlomkom zmenilo na opak. Berte na vedomie, že to budete musieť robiť často.

Teraz sa dostávame k spoločnému menovateľovi:

Mám to? Teraz to skontrolujeme.

Úlohy na samostatné riešenie:

Odpovede:

Tu si musíme pamätať ešte jednu vec - rozdiel kociek:

Upozorňujeme, že menovateľ druhého zlomku neobsahuje vzorec "druhá mocnina súčtu"! Druhá mocnina súčtu by vyzerala takto:

A je takzvaný neúplný štvorec súčtu: druhý člen v ňom je súčinom prvého a posledného, ​​a nie ich zdvojeným súčinom. Neúplná druhá mocnina súčtu je jedným z faktorov pri rozširovaní rozdielu kociek:

Čo ak už existujú tri zlomky?

Áno, to isté! Po prvé, urobme to tak maximálne množstvo faktory v menovateloch boli rovnaké:

Pozor: ak zmeníte znamienka v jednej zátvorke, znamienko pred zlomkom sa zmení na opačné. Keď zmeníme znamienka v druhej zátvorke, znamienko pred zlomkom sa opäť obráti. V dôsledku toho sa on (znak pred zlomkom) nezmenil.

Prvý menovateľ vypíšeme celý do spoločného menovateľa a potom k nemu pridáme všetky ešte nezapísané činitele od druhého a potom od tretieho (a tak ďalej, ak je zlomkov viac). Teda ide to takto:

Hmm... So zlomkami je jasné, čo robiť. Ale čo tí dvaja?

Je to jednoduché: viete, ako sčítať zlomky, však? Takže sa musíte uistiť, že dvojka sa stane zlomkom! Pamätajte: zlomok je operácia delenia (čitateľ sa delí menovateľom, ak ste náhle zabudli). A nie je nič jednoduchšie ako vydeliť číslo. V tomto prípade sa samotné číslo nezmení, ale zmení sa na zlomok:

Presne to, čo je potrebné!

5. Násobenie a delenie zlomkov.

No, to najťažšie je už za nami. A pred nami je to najjednoduchšie, ale zároveň najdôležitejšie:

Postup

Aký je postup pri výpočte číselného výrazu? Pamätajte, že vzhľadom na hodnotu takéhoto výrazu:

Počítal si?

Malo by to fungovať.

Takže pripomínam.

Prvým krokom je výpočet stupňa.

Druhým je násobenie a delenie. Ak existuje niekoľko násobení a delení súčasne, môžete ich vykonať v ľubovoľnom poradí.

A nakoniec vykonáme sčítanie a odčítanie. Opäť v akomkoľvek poradí.

Ale: výraz v zátvorkách je vyhodnotený mimo poradia!

Ak sa vynásobí alebo vydelí niekoľko zátvoriek, najprv vyhodnotíme výraz v každej zo zátvoriek a potom ich vynásobíme alebo rozdelíme.

Čo ak sú v zátvorkách ďalšie zátvorky? No, zamyslime sa: nejaký výraz je napísaný v zátvorkách. Čo treba urobiť ako prvé pri hodnotení výrazu? Správne, vypočítajte zátvorky. No, prišli sme na to: najprv vypočítame vnútorné zátvorky, potom všetko ostatné.

Poradie akcií pre vyššie uvedený výraz je teda nasledovné (aktuálna akcia je zvýraznená červenou farbou, teda akcia, ktorú práve vykonávam):

Dobre, všetko je jednoduché.

Ale to nie je to isté ako výraz s písmenami, však?

Nie, je to to isté! Iba namiesto aritmetických operácií je potrebné robiť algebraické operácie, to znamená operácie opísané v predchádzajúcej časti: prinášajúce podobné, pridávanie zlomkov, zmenšovanie zlomkov atď. Jediným rozdielom bude pôsobenie faktoringových polynómov (často ho používame pri práci so zlomkami). Najčastejšie pri faktorizácii musíte použiť i alebo jednoducho vyňať spoločný faktor zo zátvoriek.

Zvyčajne je naším cieľom reprezentovať výraz ako produkt alebo kvocient.

Napríklad:

Zjednodušme výraz.

1) Najprv zjednodušíme výraz v zátvorkách. Tam máme rozdiel zlomkov a naším cieľom je reprezentovať ho ako súčin alebo kvocient. Zlomky teda privedieme k spoločnému menovateľovi a pridáme:

Nie je možné tento výraz ďalej zjednodušiť, všetky faktory sú tu elementárne (pamätáte si ešte, čo to znamená?).

2) Dostávame:

Násobenie zlomkov: čo môže byť jednoduchšie.

3) Teraz môžete skrátiť:

Dobre, teraz je po všetkom. Nič zložité, však?

Ďalší príklad:

Zjednodušte výraz.

Najprv to skúste vyriešiť sami a až potom sa pozrite na riešenie.

V prvom rade si definujme postup. Najprv pridajme zlomky v zátvorkách, namiesto dvoch zlomkov nám vyjde jeden. Potom urobíme delenie zlomkov. No a výsledok sčítame s posledným zlomkom. Schematicky očíslujem kroky:

Teraz ukážem celý proces a aktuálnu akciu zafarbím červenou farbou:

Na záver vám dám dva užitočné tipy:

1. Ak sú tam podobné, treba ich ihneď priniesť. V každom okamihu, keď máme podobné, je vhodné ich hneď priniesť.

2. To isté platí pre redukciu zlomkov: akonáhle sa naskytne príležitosť na redukciu, treba ju využiť. Výnimkou sú zlomky, ktoré sčítate alebo odčítate: ak majú teraz rovnakých menovateľov, zníženie by sa malo ponechať na neskôr.

Tu je niekoľko úloh, ktoré musíte vyriešiť sami:

A hneď na začiatku sľúbil:

Riešenia (stručne):

Ak ste sa vyrovnali aspoň s prvými tromi príkladmi, potom považujte tému za zvládnutú.

Teraz k učeniu!

KONVERZIA VÝRAZOV. SÚHRN A ZÁKLADNÝ VZOREC

Základné zjednodušujúce operácie:

• Prinášať podobné: ak chcete pridať (zmenšiť) podobné výrazy, musíte pridať ich koeficienty a priradiť časť písmena.
• Faktorizácia: vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek, uplatnenie atď.
• Zníženie frakcií: čitateľa a menovateľa zlomku možno násobiť alebo deliť rovnakým nenulovým číslom, od ktorého sa hodnota zlomku nemení.
  1) čitateľ a menovateľ faktorizovať
  2) ak sú v čitateli a menovateli spoločné faktory, možno ich prečiarknuť.

  DÔLEŽITÉ: Znížiť možno iba násobiteľov!

• Sčítanie a odčítanie zlomkov:
  ;
• Násobenie a delenie zlomkov:
  ;

Číselný výraz je záznam čísel v spojení s aritmetickými operáciami a zátvorkami. Keď sa premenné používajú vo výraze spolu s číslami a celý výraz je zložený s významom, nazýva sa to algebraický (doslovný) výraz. Ak výraz obsahuje priame, derivačné, inverzné a iné goniometrické funkcie, potom sa výraz nazýva goniometrický. Veľký počet príkladov a úloh s použitím rôznych výrazov je podrobne popísaný v školskom kurze matematiky.

Hlavné veci na zapamätanie:

1. Hodnota číselného výrazu bude číslo získané vykonaním aritmetických operácií v tomto výraze. Hlavná vec je dôsledne vykonávať aritmetické operácie. Pre jednoduchosť celej operácie je možné kroky očíslovať. Ak výraz obsahuje zátvorky, potom najskôr vykonáme akciu zodpovedajúcu znaku v zátvorkách. Ďalším krokom bude umocnenie. Ďalej prioritne vykonávame násobenie alebo delenie a až na samom konci sčítanie a odčítanie.

Teraz nájdime hodnotu číselného výrazu 5+20*(60-45). Najprv sa zbavme zátvoriek. Vykonaním akcie dostaneme 60-45=15. Teraz máme 5+20*15. Ďalšou akciou je násobenie 20*15=300. A posledná akcia bude sčítanie, vykonáme to a dostaneme konečný výsledok 5 + 300 = 305.

2. V známom uhle? Pri práci s goniometrickými výrazmi budete potrebovať základné znalosti trigonometrické vzorce pomôcť zjednodušiť výraz. Nájdeme hodnotu výrazu cos 12? pretože 18? - hriech 12? hriech 18?. Na zjednodušenie tohto výrazu použijeme vzorec cos (? +?) = cos? pretože - hriech? hriech?, potom dostaneme cos 12? pretože 18? - hriech 12? hriech 18?= cos(12? +18?)= cos30? =v3?2.

3. Výrazy s premennými. Je potrebné si uvedomiť, že hodnota algebraického výrazu priamo závisí od premennej. Premenné môžu byť označené písmenami gréckej alebo latinskej abecedy. Keď máme dané parametre algebraického výrazu, musíme ho najskôr zjednodušiť. Potom je potrebné dosadiť dané premenné a vykonať aritmetické operácie. Výsledkom je, že s danými premennými dostaneme číslo, ktoré bude hodnotou algebraického výrazu. Uvažujme o príklade, kde potrebujete nájsť hodnotu výrazu 3(a+y)+2(3a+2y) s a=4 a y=5. Zjednodušte tento výraz a získajte 3a+3y+6a+4y=9a+7y. Teraz musíte nahradiť hodnotu premenných a vypočítať, získaný výsledok bude hodnotou výrazu. Takže máme 9a+7y s a=4 a y=5 dostaneme 36+35=71. Všimnite si, že algebraické výrazy nie vždy dávajú zmysel. Napríklad výraz 15:(b-4) dáva zmysel pre každé b iné ako b =4.

Teraz, keď sme sa naučili sčítať a násobiť jednotlivé zlomky, môžeme zvážiť viac zložité štruktúry. Čo ak sa napríklad v jednej úlohe vyskytne sčítanie, odčítanie a násobenie zlomkov?

Najprv musíte previesť všetky zlomky na nesprávne. Potom postupne vykonáme požadované akcie - v rovnakom poradí ako pri bežných číslach. menovite:

1. Najprv sa vykoná umocňovanie - zbavte sa všetkých výrazov obsahujúcich exponenty;
2. Potom - delenie a násobenie;
3. Posledným krokom je sčítanie a odčítanie.

Samozrejme, ak sú vo výraze zátvorky, poradie akcií sa zmení - všetko, čo je v zátvorkách, treba zvážiť ako prvé. A pamätajte na nesprávne zlomky: celú časť musíte vybrať až po dokončení všetkých ostatných akcií.

Preložme všetky zlomky z prvého výrazu na nesprávne a potom vykonajte nasledujúce akcie:

Teraz nájdime hodnotu druhého výrazu. Tu zlomky s celú časť nie, ale sú tam zátvorky, takže najprv urobíme sčítanie a až potom delenie. Všimnite si, že 14 = 7 2 . potom:

Nakoniec zvážte tretí príklad. Tu sú zátvorky a stupeň - je lepšie ich počítať samostatne. Vzhľadom na to, že 9 = 3 3, máme:

Venujte pozornosť poslednému príkladu. Ak chcete zlomok zvýšiť na mocninu, musíte zvlášť zvýšiť čitateľ na túto mocninu a zvlášť menovateľ.

Môžete sa rozhodnúť inak. Ak si spomenieme na definíciu stupňa, problém sa zredukuje na obvyklé násobenie zlomkov:

Viacposchodové zlomky

Doteraz sme uvažovali len o „čistých“ zlomkoch, keď v čitateli a menovateli sú obyčajné čísla. To je v súlade s definíciou číselného zlomku uvedenou v úplne prvej lekcii.

Čo však, ak sa do čitateľa alebo menovateľa umiestni zložitejší objekt? Napríklad ďalší číselný zlomok? Takéto konštrukcie sa vyskytujú pomerne často, najmä pri práci s dlhými výrazmi. Tu je pár príkladov:

Pre prácu s viacpodlažnými frakciami existuje len jedno pravidlo: musíte sa ich okamžite zbaviť. Odstránenie "extra" podláh je celkom jednoduché, ak si pamätáte, že zlomková čiara znamená štandardnú operáciu delenia. Preto je možné ľubovoľný zlomok prepísať takto:

Využitím tohto faktu a dodržaním postupu ľahko zredukujeme akúkoľvek viacpodlažnú frakciu na bežnú. Pozrite si príklady:

Úloha. Preveďte viacpríbehové zlomky na bežné:

V každom prípade prepíšeme hlavný zlomok a nahradíme deliacu čiaru deliacim znakom. Pamätajte tiež, že akékoľvek celé číslo môže byť reprezentované ako zlomok s menovateľom 1. To znamená, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Dostaneme:

V poslednom príklade sa zlomky zmenšili pred konečným násobením.

Špecifiká práce s viacpodlažnými frakciami

Vo viacpodlažných zlomkoch je jedna jemnosť, ktorá sa musí vždy pamätať, inak môžete dostať nesprávnu odpoveď, aj keď boli všetky výpočty správne. Pozri sa:

1. V čitateli je samostatné číslo 7 a v menovateli zlomok 12/5;
2. Čitateľom je zlomok 7/12 a menovateľom je jediné číslo 5.

Takže pre jeden záznam sme dostali dve úplne odlišné interpretácie. Ak počítate, odpovede sa budú tiež líšiť:

Aby bol záznam vždy prečítaný jednoznačne, použite jednoduché pravidlo: deliaca čiara hlavného zlomku musí byť dlhšia ako vnorená čiara. Najlepšie niekoľkokrát.

Ak budete postupovať podľa tohto pravidla, vyššie uvedené zlomky by mali byť napísané takto:

Áno, pravdepodobne je škaredý a zaberá príliš veľa miesta. Ale budete počítať správne. Na záver niekoľko príkladov, kde sa skutočne vyskytujú viacúrovňové zlomky:

Úloha. Nájsť hodnoty výrazu:

Poďme teda pracovať s prvým príkladom. Preveďme všetky zlomky na nesprávne a potom vykonajte operácie sčítania a delenia:

Urobme to isté s druhým príkladom. Preveďte všetky zlomky na nesprávne a vykonajte požadované operácie. Aby som čitateľa nenudil, vynechám niekoľko samozrejmých výpočtov. Máme:

Vzhľadom na to, že čitateľ a menovateľ hlavných zlomkov obsahujú súčty, pravidlo pre zápis viacposchodových zlomkov sa dodržiava automaticky. Aj v poslednom príklade sme schválne nechali číslo 46/1 vo forme zlomku, aby sme vykonali delenie.

Všimol som si tiež, že v oboch príkladoch zlomkový stĺpec skutočne nahrádza zátvorky: najskôr sme našli súčet a až potom kvocient.

Niekto povie, že prechod na nesprávne zlomky v druhom príklade bol zjavne zbytočný. Možno je to tak. Ale takto sa poisťujeme proti chybám, pretože nabudúce môže byť príklad oveľa komplikovanejší. Vyberte si sami, čo je dôležitejšie: rýchlosť alebo spoľahlivosť.

ja Výrazy, v ktorých možno spolu s písmenami použiť čísla, znaky aritmetických operácií a zátvorky, sa nazývajú algebraické výrazy.

Príklady algebraických výrazov:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Keďže písmeno v algebraickom výraze môže byť nahradené rôznymi číslami, písmeno sa nazýva premenná a samotné písmeno algebraický výraz- výraz s premennou.

II. Ak sa v algebraickom výraze písmená (premenné) nahradia ich hodnotami a vykonajú sa zadané akcie, výsledné číslo sa nazýva hodnota algebraického výrazu.

Príklady. Nájdite hodnotu výrazu:

1) a + 2b-c pre a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| pri x = -8; y = -5; z = 6.

Riešenie.

1) a + 2b-c pre a = -2; b = 10; c = -3,5. Namiesto premenných dosadíme ich hodnoty. Dostaneme:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| pri x = -8; y = -5; z = 6. Uvedené hodnoty dosadíme. Pamätajte, že modul záporné číslo sa rovná svojmu opačnému číslu a modulu kladné číslo rovnakému číslu. Dostaneme:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Hodnoty písmena (premennej), pre ktoré má algebraický výraz zmysel, sa nazývajú platné hodnoty písmena (premenná).

Príklady. Pri akých hodnotách premennej výraz nedáva zmysel?

Riešenie. Vieme, že nie je možné deliť nulou, preto každý z týchto výrazov nebude dávať zmysel s hodnotou písmena (premennej), ktorá mení menovateľa zlomku na nulu!

V príklade 1) je to hodnota a = 0. V skutočnosti, ak namiesto a nahradíme 0, potom číslo 6 bude potrebné vydeliť 0, ale to sa nedá. Odpoveď: výraz 1) nedáva zmysel, keď a = 0.

V príklade 2) menovateľ x - 4 = 0 pri x = 4, preto túto hodnotu x = 4 nemožno vziať. Odpoveď: výraz 2) nedáva zmysel pre x = 4.

V príklade 3) je menovateľ x + 2 = 0 pre x = -2. Odpoveď: výraz 3) nedáva zmysel pri x = -2.

V príklade 4) je menovateľ 5 -|x| = 0 pre |x| = 5. A keďže |5| = 5 a |-5| \u003d 5, potom nemôžete vziať x \u003d 5 a x \u003d -5. Odpoveď: výraz 4) nemá zmysel pre x = -5 a pre x = 5.
IV. Dva výrazy sa považujú za zhodné, ak sú pre akékoľvek prípustné hodnoty premenných zodpovedajúce hodnoty týchto výrazov rovnaké.

Príklad: 5 (a - b) a 5a - 5b sú totožné, pretože rovnosť 5 (a - b) = 5a - 5b bude platiť pre všetky hodnoty a a b. Rovnosť 5 (a - b) = 5a - 5b je identita.

Identita je rovnosť, ktorá platí pre všetky prípustné hodnoty premenných v nej zahrnutých. Príklady vám už známych identít sú napríklad vlastnosti sčítania a násobenia, vlastnosť distribúcie.

Nahradenie jedného výrazu iným, jemu zhodne rovným, sa nazýva identická transformácia alebo jednoducho premena výrazu. Identické transformácie výrazov s premennými sa vykonávajú na základe vlastností operácií s číslami.

Príklady.

a) preveďte výraz na identicky rovný pomocou distribučnej vlastnosti násobenia:

1) 10 (1,2x + 2,3r); 2) 1,5 (a-2b + 4c); 3) a·(6m-2n + k).

Riešenie. Pripomeňme si distribučnú vlastnosť (zákon) násobenia:

(a+b) c=a c+b c(distributívny zákon násobenia vzhľadom na sčítanie: ak chcete vynásobiť súčet dvoch čísel tretím číslom, môžete vynásobiť každý člen týmto číslom a výsledky sčítať).
(a-b) c=a c-b c(distributívny zákon násobenia vzhľadom na odčítanie: ak chcete vynásobiť rozdiel dvoch čísel tretím číslom, môžete vynásobiť týmto zníženým a odčítaným číslom oddelene a odpočítať druhé od prvého výsledku).

1) 10 (1,2x + 2,3r) \u003d 10 1,2x + 10 2,3r \u003d 12x + 23r.

2) 1,5 (a-2b + 4c) = 1,5a-3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) transformovať výraz na identicky rovný pomocou komutatívnych a asociatívnych vlastností (zákonov) sčítania:

4) x + 4,5 + 2 x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.

Riešenie. Aplikujeme zákony (vlastnosti) pridania:

a+b=b+a(posunutie: súčet sa nemení od preskupenia pojmov).
(a+b)+c=a+(b+c)(asociatívne: ak chcete k súčtu dvoch výrazov pridať tretie číslo, môžete k prvému číslu pridať súčet druhého a tretieho).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

v) transformovať výraz na identicky rovný pomocou komutatívnych a asociatívnych vlastností (zákonov) násobenia:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2r · (-jeden); 9) 3a · (-3) · 2s.

Riešenie. Aplikujme zákony (vlastnosti) násobenia:

a b = b a(posun: permutácia faktorov nemení súčin).
(a b) c=a (b c)(kombinačný: ak chcete vynásobiť súčin dvoch čísel tretím číslom, môžete prvé číslo vynásobiť súčinom druhého a tretieho).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2r · (-1) = 7r.

9) 3a · (-3) · 2s = -18as.

Ak je algebraický výraz uvedený ako redukovateľný zlomok, potom pomocou pravidla o redukcii zlomkov ho možno zjednodušiť, t.j. nahradiť identicky sa mu rovnajú jednoduchším výrazom.

Príklady. Zjednodušte pomocou redukcie frakcií.

Riešenie. Zmenšiť zlomok znamená vydeliť jeho čitateľa a menovateľa rovnakým číslom (výrazom) iným ako nula. Frakcia 10) sa zníži o 3b; zlomok 11) znížiť o a a frakcia 12) znížiť o 7n. Dostaneme:

Na formulovanie vzorcov sa používajú algebraické výrazy.

Vzorec je algebraický výraz napísaný ako rovnosť, ktorý vyjadruje vzťah medzi dvoma alebo viacerými premennými. Príklad: vzorec cesty, ktorý poznáte s=v t(s je prejdená vzdialenosť, v je rýchlosť, t je čas). Pamätajte si, aké ďalšie vzorce poznáte.

Strana 1 z 1 1