Studijuodami algebrą bendrojo lavinimo mokykla(9 klasė) Viena iš svarbių temų yra skaitinių sekų, kurios apima progresijas – geometrines ir aritmetines, tyrimas. Šiame straipsnyje apžvelgsime aritmetinę progresiją ir pavyzdžius su sprendimais.

Kas yra aritmetinė progresija?

Norint tai suprasti, būtina pateikti nagrinėjamos progresijos apibrėžimą, taip pat pateikti pagrindines formules, kurios bus toliau naudojamos sprendžiant problemas.

Aritmetinis arba yra tokia tvarkingų racionaliųjų skaičių rinkinys, kurio kiekvienas narys skiriasi nuo ankstesnio tam tikra pastovia reikšme. Ši vertė vadinama skirtumu. Tai reiškia, kad žinodami bet kurį tvarkingos skaičių sekos narį ir skirtumą, galite atkurti visą aritmetinę progresiją.

Paimkime pavyzdį. Kita skaičių seka bus aritmetinė progresija: 4, 8, 12, 16, ..., nes skirtumas šiuo atveju yra 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Tačiau skaičių aibės 3, 5, 8, 12, 17 nebegalima priskirti nagrinėjamam progresijos tipui, nes jos skirtumas nėra pastovi reikšmė (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 – 12).

Svarbios formulės

Dabar pateikiame pagrindines formules, kurių prireiks sprendžiant uždavinius naudojant aritmetinę progresiją. Pažymėkite simboliu a n n-asis narys sekos, kur n yra sveikas skaičius. Skirtumas žymimas lotyniška raide d. Tada teisingi šie posakiai:

1. Norint nustatyti n-ojo nario reikšmę, tinka formulė: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Pirmųjų n narių sumai nustatyti: S n = (a n + a 1)*n/2.

Norint suprasti bet kokius aritmetinės progresijos su 9 klasės sprendimu pavyzdžius, pakanka prisiminti šias dvi formules, nes visos nagrinėjamo tipo problemos yra pagrįstos jų naudojimu. Taip pat nepamirškite, kad progresijos skirtumas nustatomas pagal formulę: d = a n - a n-1 .

1 pavyzdys: Nežinomo nario radimas

Pateikiame paprastą aritmetinės progresijos pavyzdį ir formules, kurias reikia naudoti sprendžiant.

Tegu duota seka 10, 8, 6, 4, ..., joje reikia rasti penkis narius.

Jau iš uždavinio sąlygų išplaukia, kad žinomi pirmieji 4 terminai. Penktoji gali būti apibrėžta dviem būdais:

1. Pirmiausia apskaičiuokime skirtumą. Turime: d = 8 - 10 = -2. Panašiai galima paimti bet kokius du kitus terminus, stovinčius vienas šalia kito. Pavyzdžiui, d = 4 - 6 = -2. Kadangi žinoma, kad d \u003d a n - a n-1, tada d \u003d a 5 - a 4, iš kur gauname: a 5 \u003d a 4 + d. Pakeičiame žinomas reikšmes: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Antrasis metodas taip pat reikalauja žinoti apie nagrinėjamos progresijos skirtumą, todėl pirmiausia turite jį nustatyti, kaip parodyta aukščiau (d = -2). Žinodami, kad pirmasis narys a 1 = 10, naudojame sekos n skaičiaus formulę. Turime: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Pakeitę n = 5 į paskutinę išraišką, gauname: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Kaip matote, abu sprendimai leidžia pasiekti tą patį rezultatą. Atkreipkite dėmesį, kad šiame pavyzdyje progresijos skirtumas d yra neigiamas. Tokios sekos vadinamos mažėjančiomis, nes kiekvienas einantis narys yra mažesnis už ankstesnįjį.

2 pavyzdys: progresijos skirtumas

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį, pateikime pavyzdį, kaip rasti aritmetinės progresijos skirtumą.

Yra žinoma, kad kai kuriose algebrinės progresijos 1 narys lygus 6, o 7 narys lygus 18. Reikia rasti skirtumą ir atkurti šią seką į 7 narį.

Nežinomam nariui nustatyti panaudokime formulę: a n = (n - 1) * d + a 1 . Į jį pakeičiame žinomus duomenis iš sąlygos, tai yra, skaičius a 1 ir a 7, turime: 18 \u003d 6 + 6 * d. Iš šios išraiškos galite nesunkiai apskaičiuoti skirtumą: d = (18 - 6) / 6 = 2. Taigi buvo atsakyta į pirmąją uždavinio dalį.

Norėdami atkurti 7-ojo nario seką, turėtumėte naudoti algebrinės progresijos apibrėžimą, tai yra, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d ir pan. Dėl to atkuriame visą seką: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 ir 7 = 18.

3 pavyzdys: progresas

Dar labiau apsunkinkime problemos būklę. Dabar reikia atsakyti į klausimą, kaip rasti aritmetinę progresiją. Galime pateikti tokį pavyzdį: pateikti du skaičiai, pavyzdžiui, 4 ir 5. Būtina atlikti algebrinę progresiją, kad tarp jų tilptų dar trys nariai.

Prieš pradedant spręsti šią problemą, būtina suprasti, kokią vietą duoti skaičiai užims tolesnėje progresijoje. Kadangi tarp jų bus dar trys terminai, tada 1 \u003d -4 ir 5 \u003d 5. Tai nustatę, pereiname prie užduoties, panašios į ankstesnę. Vėlgi, n-tajam nariui naudojame formulę, gauname: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Nuo: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Čia mes gavome ne sveiką skirtumo reikšmę, bet ji yra racionalus skaičius, todėl algebrinės progresijos formulės išlieka tos pačios.

Dabar rastą skirtumą pridėkime prie 1 ir atkurkime trūkstamus progresijos narius. Gauname: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003 kuri sutapo su problemos sąlyga.

4 pavyzdys: pirmasis progreso narys

Toliau pateikiame aritmetinės progresijos su sprendimu pavyzdžius. Visose ankstesnėse problemose buvo žinomas pirmasis algebrinės progresijos skaičius. Dabar apsvarstykite kitokio tipo uždavinį: tebūnie du skaičiai, kur a 15 = 50 ir 43 = 37. Reikia išsiaiškinti, nuo kurio skaičiaus prasideda ši seka.

Iki šiol naudotos formulės daro prielaidą, kad žinomos 1 ir d. Apie šiuos skaičius problemos sąlygomis nieko nežinoma. Nepaisant to, užrašykite kiekvieno termino, apie kurį turime informacijos, išraiškas: a 15 = a 1 + 14 * d ir a 43 = a 1 + 42 * d. Gavome dvi lygtis, kuriose yra 2 nežinomi dydžiai (a 1 ir d). Tai reiškia, kad problema redukuojama iki tiesinių lygčių sistemos sprendimo.

Nurodytą sistemą lengviausia išspręsti, jei kiekvienoje lygtyje išreiškiate 1, o tada palyginsite gautas išraiškas. Pirmoji lygtis: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; antroji lygtis: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Sulyginę šias išraiškas, gauname: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, iš kur skirtumas d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (duodami tik 3 skaitmenys po kablelio).

Žinodami d, 1 galite naudoti bet kurią iš 2 aukščiau pateiktų posakių. Pavyzdžiui, pirmiausia: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Jei kyla abejonių dėl rezultato, galite jį patikrinti, pavyzdžiui, nustatyti sąlygoje nurodytą 43-ią progresijos narį. Gauname: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Nedidelė klaida atsirado dėl to, kad skaičiavimuose buvo naudojamas apvalinimas iki tūkstantųjų dalių.

5 pavyzdys: suma

Dabar pažvelkime į keletą pavyzdžių su aritmetinės progresijos sumos sprendiniais.

Tegu pateikiama tokios formos skaitinė progresija: 1, 2, 3, 4, ...,. Kaip apskaičiuoti 100 šių skaičių sumą?

Tobulėjant kompiuterinėms technologijoms, ši problema gali būti išspręsta, tai yra, nuosekliai susumuoti visus skaičius, ką kompiuteris padarys, kai tik žmogus paspaus klavišą Enter. Tačiau problemą galima išspręsti mintyse, jei atkreipsite dėmesį, kad pateikta skaičių serija yra algebrinė progresija, o jos skirtumas lygus 1. Pritaikę sumos formulę, gauname: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Įdomu pastebėti, kad ši problema vadinama „Gauso“, nes XVIII amžiaus pradžioje garsusis vokietis, dar būdamas vos 10 metų, sugebėjo ją mintyse išspręsti per kelias sekundes. Berniukas nežinojo algebrinės progresijos sumos formulės, tačiau pastebėjo, kad sudėjus skaičių poras, esančias sekos kraštuose, visada gausite tą patį rezultatą, ty 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., o kadangi šios sumos bus lygiai 50 (100 / 2), tada norint gauti teisingą atsakymą, pakanka 50 padauginti iš 101.

6 pavyzdys: terminų suma nuo n iki m

Kitas tipiškas aritmetinės progresijos sumos pavyzdys yra toks: pateikiant skaičių seką: 3, 7, 11, 15, ..., reikia sužinoti, kokia bus jos narių nuo 8 iki 14 suma.

Problema sprendžiama dviem būdais. Pirmajame iš jų reikia surasti nežinomus terminus nuo 8 iki 14, o paskui juos susumuoti iš eilės. Kadangi terminų yra nedaug, šis metodas nėra pakankamai sunkus. Nepaisant to, šią problemą siūloma spręsti antruoju metodu, kuris yra universalesnis.

Idėja yra gauti formulę algebrinės progresijos tarp terminų m ir n sumai, kur n > m yra sveikieji skaičiai. Abiem atvejais rašome dvi sumos išraiškas:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Kadangi n > m, akivaizdu, kad į 2 sumą įeina pirmoji. Paskutinė išvada reiškia, kad jei paimsime skirtumą tarp šių sumų, o prie jo pridėsime terminą a m (skirtumo ėmimo atveju jis atimamas iš sumos S n), tada gauname reikiamą problemos atsakymą. Mes turime: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Šioje išraiškoje būtina pakeisti n ir m formules. Tada gauname: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Gauta formulė yra šiek tiek sudėtinga, tačiau suma S mn priklauso tik nuo n, m, a 1 ir d. Mūsų atveju a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Pakeitę šiuos skaičius, gauname: S mn = 301.

Kaip matyti iš aukščiau pateiktų sprendimų, visos problemos yra pagrįstos n-ojo nario išraiškos ir pirmųjų narių aibės sumos formulės žinojimu. Prieš pradedant spręsti bet kurią iš šių problemų, rekomenduojama atidžiai perskaityti sąlygą, aiškiai suprasti, ką norite rasti, ir tik tada tęsti sprendimą.

Kitas patarimas yra siekti paprastumo, tai yra, jei galite atsakyti į klausimą nenaudodami sudėtingų matematinių skaičiavimų, tuomet turite tai padaryti, nes tokiu atveju tikimybė suklysti yra mažesnė. Pavyzdžiui, aritmetinės progresijos su sprendimu Nr. 6 pavyzdyje galima sustoti ties formule S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, ir išsiskyrė bendra užduotisį atskiras poproblemas (šiuo atveju pirmiausia suraskite terminus a n ir a m).

Jei kyla abejonių dėl gauto rezultato, rekomenduojama jį patikrinti, kaip buvo padaryta kai kuriuose pateiktuose pavyzdžiuose. Kaip rasti aritmetinę progresiją, sužinojome. Kai tai išsiaiškinsi, tai nėra taip sunku.

Taip taip: aritmetinė progresija- tai ne tau žaislai :)

Na, draugai, jei skaitote šį tekstą, tai vidinis dangtelio įrodymas man sako, kad jūs vis dar nežinote, kas yra aritmetinė progresija, bet tikrai (ne, taip: TAIP!) norite žinoti. Todėl nekankinsiu jūsų ilgomis įžangomis ir iškart kibsiu į reikalą.

Norėdami pradėti, pora pavyzdžių. Apsvarstykite keletą skaičių rinkinių:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Ką bendro turi visi šie rinkiniai? Iš pirmo žvilgsnio nieko. Bet iš tikrųjų kažkas yra. Būtent: kiekvienas kitas elementas nuo ankstesnio skiriasi tuo pačiu skaičiumi.

Spręskite patys. Pirmasis rinkinys yra tik iš eilės einantys skaičiai, kurių kiekvienas yra didesnis nei ankstesnis. Antruoju atveju skirtumas tarp stovintys numeriai jau lygus penkiems, tačiau šis skirtumas vis tiek yra pastovus. Trečiuoju atveju apskritai yra šaknys. Tačiau $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tuo tarpu $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, t.y. Tokiu atveju kiekvienas kitas elementas tiesiog padidėja $\sqrt(2)$ (ir neišsigąskite, kad šis skaičius yra neracionalus).

Taigi: visos tokios sekos tiesiog vadinamos aritmetine progresija. Pateikime griežtą apibrėžimą:

Apibrėžimas. Skaičių seka, kurioje kiekvienas kitas lygiai tiek pat skiriasi nuo ankstesnio, vadinama aritmetine progresija. Pati suma, kuria skiriasi skaičiai, vadinama progresijos skirtumu ir dažniausiai žymima raide $d$.

Žymėjimas: $\left(((a)_(n)) \right)$ yra pati progresija, $d$ yra jos skirtumas.

Ir tik pora svarbių pastabų. Pirma, atsižvelgiama tik į progresą tvarkingas skaičių seka: juos leidžiama skaityti griežtai ta tvarka, kuria jie parašyti – ir nieko daugiau. Negalite pertvarkyti ar sukeisti numerių.

Antra, pati seka gali būti baigtinė arba begalinė. Pavyzdžiui, aibė (1; 2; 3) akivaizdžiai yra baigtinė aritmetinė progresija. Bet jei rašote kažką panašaus į (1; 2; 3; 4; ...) - tai jau yra begalinė progresija. Elipsė po keturių tarsi sufleruoja, kad nemažai skaičių eina toliau. Pavyzdžiui, be galo daug. :)

Taip pat norėčiau pastebėti, kad progresas didėja ir mažėja. Jau matėme didėjančius – tą patį rinkinį (1; 2; 3; 4; ...). Štai mažėjančio progresavimo pavyzdžiai:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Gerai, gerai: paskutinis pavyzdys gali atrodyti pernelyg sudėtingas. Bet visa kita, manau, jūs suprantate. Todėl pateikiame naujus apibrėžimus:

Apibrėžimas. Aritmetinė progresija vadinama:

1. didėja, jei kiekvienas kitas elementas yra didesnis už ankstesnį;
2. mažėja, jei, atvirkščiai, kiekvienas paskesnis elementas yra mažesnis nei ankstesnis.

Be to, yra taip vadinamos „stacionarios“ sekos – jos susideda iš to paties pasikartojančio skaičiaus. Pavyzdžiui, (3; 3; 3; ...).

Lieka tik vienas klausimas: kaip atskirti didėjančią progresą nuo mažėjančios? Laimei, čia viskas priklauso tik nuo skaičiaus $d$ ženklo, t.y. progresavimo skirtumai:

1. Jei $d \gt 0$, tai progresija didėja;
2. Jei $d \lt 0$, tai progresija akivaizdžiai mažėja;
3. Galiausiai yra atvejis $d=0$ — šiuo atveju visa progresija redukuojama į stacionarią identiškų skaičių seką: (1; 1; 1; 1; ...) ir t.t.

Pabandykime apskaičiuoti skirtumą $d$ trims pirmiau nurodytoms mažėjančioms pakopoms. Norėdami tai padaryti, pakanka paimti bet kuriuos du gretimus elementus (pavyzdžiui, pirmąjį ir antrąjį) ir atimti iš dešinėje esančio skaičiaus, o iš skaičiaus kairėje. Tai atrodys taip:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Kaip matote, visais trimis atvejais skirtumas tikrai buvo neigiamas. Ir dabar, kai daugiau ar mažiau išsiaiškinome apibrėžimus, laikas išsiaiškinti, kaip aprašomos progresijos ir kokios jos savybės.

Progresavimo ir pasikartojimo formulės nariai

Kadangi mūsų sekų elementai negali būti sukeisti, jie gali būti sunumeruoti:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \teisingai\)\]

Atskiri šios aibės elementai vadinami progresijos nariais. Jie nurodomi tokiu būdu skaičiaus pagalba: pirmasis narys, antrasis narys ir pan.

Be to, kaip jau žinome, kaimyniniai progreso nariai yra susieti pagal formulę:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rodyklė dešinėn ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Trumpai tariant, norėdami rasti progresijos $n$-ąjį narį, turite žinoti $n-1$-ąjį narį ir skirtumą $d$. Tokia formulė vadinama pasikartojančia, nes jos pagalba galima rasti bet kokį skaičių, tik žinant ankstesnį (o iš tikrųjų – visus ankstesnius). Tai labai nepatogu, todėl yra sudėtingesnė formulė, kuri sumažina bet kokį skaičiavimą iki pirmojo termino ir skirtumo:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Tikriausiai jau esate susidūrę su šia formule. Jie mėgsta tai pateikti visokiose žinynuose ir rešebnikuose. Ir bet kuriame protingame matematikos vadovėlyje jis yra vienas iš pirmųjų.

Tačiau siūlau šiek tiek pasitreniruoti.

Užduotis numeris 1. Užrašykite pirmuosius tris aritmetinės progresijos $\left(((a)_(n)) \right)$ narius, jei $((a)_(1))=8,d=-5$.

Sprendimas. Taigi, mes žinome pirmąjį terminą $((a)_(1))=8$ ir progresijos skirtumą $d=-5$. Naudokime ką tik pateiktą formulę ir pakeiskime $n=1$, $n=2$ ir $n=3$:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(lygiuoti)\]

Atsakymas: (8; 3; -2)

Tai viskas! Atkreipkite dėmesį, kad mūsų progresas mažėja.

Žinoma, $n=1$ negalėjo būti pakeistas – mes jau žinome pirmąjį terminą. Tačiau pakeitę vienetą įsitikinome, kad mūsų formulė veikia net pirmą kadenciją. Kitais atvejais viskas susivedė į banalią aritmetiką.

Užduotis numeris 2. Užrašykite pirmuosius tris aritmetinės progresijos narius, jei jos septintasis narys yra –40, o septynioliktasis – –50.

Sprendimas. Problemos sąlygą rašome įprastomis sąlygomis:

\[((a)_(7)) = -40;\quad ((a)_(17)) = -50.\]

\[\left\( \begin(lygiuoti) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(lygiuoti) \right.\]

\[\left\( \begin(lygiuoti) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(lygiuoti) \teisingai.\]

Aš dedu sistemos ženklą, nes šie reikalavimai turi būti įvykdyti vienu metu. Ir dabar pastebime, kad atėmę pirmąją lygtį iš antrosios lygties (turime teisę tai padaryti, nes turime sistemą), gauname štai ką:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(lygiuoti)\]

Kaip tik taip, mes nustatėme progresavimo skirtumą! Lieka pakeisti rastą skaičių bet kurioje iš sistemos lygčių. Pavyzdžiui, pirmajame:

\[\begin(matrica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1)) = -40 + 6 = -34. \\ \end(matrica)\]

Dabar, žinant pirmąjį terminą ir skirtumą, belieka rasti antrą ir trečią terminus:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(lygiuoti)\]

Pasiruošę! Problema išspręsta.

Atsakymas: (-34; -35; -36)

Atkreipkite dėmesį į keistą progresijos savybę, kurią aptikome: jei paimsime $n$-ąją ir $m$-ąją dalį ir atimsime juos vieną iš kitos, gausime progresijos skirtumą, padaugintą iš skaičiaus $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Paprasta, bet labai naudingą turtą, kurį būtinai turite žinoti – jo pagalba galite žymiai pagreitinti daugelio progresuojančių problemų sprendimą. Štai puikus pavyzdys:

Užduotis numeris 3. Penktasis aritmetinės progresijos narys yra 8,4, o dešimtasis – 14,4. Raskite penkioliktą šios progresijos narį.

Sprendimas. Kadangi $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ ir turime rasti $((a)_(15))$, atkreipiame dėmesį į šiuos dalykus:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(lygiuoti)\]

Bet pagal sąlygą $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, taigi $5d=6$, iš kur turime:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(lygiuoti)\]

Atsakymas: 20.4

Tai viskas! Nereikėjo sudaryti jokių lygčių sistemų ir skaičiuoti pirmojo nario bei skirtumo – viskas buvo nuspręsta vos per porą eilučių.

Dabar panagrinėkime kitą problemos tipą – neigiamų ir teigiamų progreso narių paiešką. Ne paslaptis, kad jei progresija didėja, o jos pirmasis terminas yra neigiamas, tai anksčiau ar vėliau joje atsiras teigiami terminai. Ir atvirkščiai: mažėjančios progresijos sąlygos anksčiau ar vėliau taps neigiamos.

Tuo pačiu metu toli gražu ne visada įmanoma rasti šį momentą „ant kaktos“, nuosekliai rūšiuojant elementus. Dažnai uždaviniai yra suplanuoti taip, kad nežinant formulių skaičiavimai užtruktų kelis lapus – tiesiog užmigtume, kol rastume atsakymą. Todėl mes stengsimės šias problemas išspręsti greičiau.

Užduotis numeris 4. Kiek neigiamų narių aritmetinėje progresijoje -38,5; -35,8; …?

Sprendimas. Taigi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, iš kurių iškart randame skirtumą:

Atkreipkite dėmesį, kad skirtumas yra teigiamas, todėl progresas didėja. Pirmasis narys yra neigiamas, todėl iš tikrųjų tam tikru momentu mes suklupsime ant teigiamų skaičių. Tik klausimas, kada tai įvyks.

Pabandykime išsiaiškinti: kiek laiko (t. y. iki kokio natūraliojo skaičiaus $n$) išsaugomas terminų negatyvumas:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n)) \lt 0\Rodyklė dešinėn ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rodyklė dešinėn ((n)_(\max ))=15. \\ \end(lygiuoti)\]

Paskutinę eilutę reikia paaiškinti. Taigi žinome, kad $n \lt 15\frac(7)(27)$. Kita vertus, mums tiks tik sveikosios skaičiaus reikšmės (be to: $n\in \mathbb(N)$), todėl didžiausias leistinas skaičius yra būtent $n=15$ ir jokiu būdu ne 16.

Užduotis numeris 5. Aritmetine progresija $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Raskite pirmojo teigiamo šios progresijos nario skaičių.

Tai būtų lygiai tokia pati problema kaip ir ankstesnė, bet mes nežinome $((a)_(1))$. Tačiau kaimyniniai terminai yra žinomi: $((a)_(5))$ ir $((a)_(6))$, todėl galime lengvai rasti progresijos skirtumą:

Be to, pabandykime išreikšti penktą terminą pirmuoju ir skirtumu, naudodami standartinę formulę:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1)) = -150-12 = -162. \\ \end(lygiuoti)\]

Dabar tęsiame analogiją su ankstesne problema. Sužinome, kuriame mūsų sekos taške atsiras teigiami skaičiai:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rodyklė dešinėn ((n)_(\min ))=56. \\ \end(lygiuoti)\]

Mažiausias sveikasis šios nelygybės sprendimas yra skaičius 56.

Atkreipkite dėmesį, kad paskutinėje užduotyje viskas buvo sumažinta iki griežtos nelygybės, todėl variantas $n=55$ mums netiks.

Dabar, kai išmokome spręsti paprastas problemas, pereikime prie sudėtingesnių. Bet pirmiausia išmokime dar vieną labai naudingą aritmetinės progresijos savybę, kuri ateityje sutaupys daug laiko ir nevienodų langelių. :)

Aritmetinis vidurkis ir lygios įtraukos

Apsvarstykite kelis iš eilės didėjančios aritmetinės progresijos $\left(((a)_(n)) \right)$ narius. Pabandykime pažymėti juos skaičių eilutėje:

Aritmetinės progresijos nariai skaičių tiesėje

Aš konkrečiai atkreipiau dėmesį į savavališkus narius $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, o ne bet kokius $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ ir kt. Nes taisyklė, kurią dabar jums pasakysiu, galioja bet kokiems „segmentams“.

O taisyklė labai paprasta. Prisiminkime rekursinę formulę ir užrašykite ją visiems pažymėtiems nariams:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(lygiuoti)\]

Tačiau šias lygybes galima perrašyti skirtingai:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(lygiuoti)\]

Na ir kas? Tačiau faktas, kad terminai $((a)_(n-1))$ ir $((a)_(n+1))$ yra tokiu pat atstumu nuo $((a)_(n)) $ . Ir šis atstumas lygus $d$. Tą patį galima pasakyti apie terminus $((a)_(n-2))$ ir $((a)_(n+2))$ – jie taip pat pašalinami iš $((a)_(n) )$ tuo pačiu atstumu, lygiu $2d$. Galite tęsti neribotą laiką, tačiau paveikslėlis gerai iliustruoja prasmę

Progresijos nariai guli tokiu pat atstumu nuo centro

Ką tai reiškia mums? Tai reiškia, kad galite rasti $((a)_(n))$, jei žinomi gretimi skaičiai:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Išvedėme puikų teiginį: kiekvienas aritmetinės progresijos narys yra lygus gretimų narių aritmetiniam vidurkiui! Be to, mes galime nukrypti nuo mūsų $((a)_(n))$ į kairę ir į dešinę ne vienu žingsniu, o $k$ žingsniais — ir vis tiek formulė bus teisinga:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Tie. nesunkiai galime rasti $((a)_(150))$, jei žinome $((a)_(100))$ ir $((a)_(200))$, nes $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad šis faktas mums nieko naudingo neduoda. Tačiau praktikoje daugelis užduočių yra specialiai „paaštrintos“ aritmetinio vidurkio vartojimui. Pažiūrėk:

Užduotis numeris 6. Raskite visas $x$ reikšmes taip, kad skaičiai $-6((x)^(2))$, $x+1$ ir $14+4((x)^(2))$ būtų nuoseklūs aritmetinė progresija (nurodyta tvarka).

Sprendimas. Kadangi šie skaičiai yra progresijos nariai, jiems tenkinama aritmetinio vidurkio sąlyga: centrinis elementas $x+1$ gali būti išreikštas gretimais elementais:

\[\begin(lygiuoti) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(lygiuoti)\]

Tai pasirodė klasika kvadratinė lygtis. Jo šaknys: $x=2$ ir $x=-3$ yra atsakymai.

Atsakymas: -3; 2.

Užduotis numeris 7. Raskite $$ reikšmes tokias, kad skaičiai $-1;4-3;(()^(2))+1$ sudarytų aritmetinę progresiją (ta tvarka).

Sprendimas. Vėlgi, vidurinį terminą išreiškiame gretimų terminų aritmetiniu vidurkiu:

\[\begin(lygiuoti) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(lygiuoti)\]

Kita kvadratinė lygtis. Ir vėl dvi šaknys: $x=6$ ir $x=1$.

Atsakymas: 1; 6.

Jei spręsdami problemą gaunate žiaurius skaičius arba nesate visiškai tikri dėl rastų atsakymų teisingumo, tada yra nuostabus triukas, leidžiantis patikrinti: ar teisingai išsprendėme problemą?

Tarkime, 6 uždavinyje gavome atsakymus -3 ir 2. Kaip galime patikrinti, ar šie atsakymai teisingi? Tiesiog prijunkite juos prie pradinės būklės ir pažiūrėkime, kas atsitiks. Priminsiu, kad turime tris skaičius ($-6(()^(2))$, $+1$ ir $14+4(()^(2))$), kurie turėtų sudaryti aritmetinę progresiją. Pakaitalas $x=-3$:

\[\begin(lygiuoti) & x=-3\Rodyklė dešinėn \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(lygiuoti)\]

Gavome skaičius -54; −2; 50, kurie skiriasi 52, neabejotinai yra aritmetinė progresija. Tas pats atsitinka su $x=2$:

\[\begin(lygiuoti) & x=2\Rodyklė dešinėn \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(lygiuoti)\]

Vėl progresija, bet su 27 skirtumu. Taigi, problema išspręsta teisingai. Norintys antrą užduotį gali pasitikrinti patys, bet iš karto pasakysiu: ir ten viskas teisingai.

Apskritai, spręsdami paskutines užduotis, užkliuvome už kitos įdomus faktas, kurį taip pat reikia atsiminti:

Jei trys skaičiai yra tokie, kad antrasis yra pirmojo ir paskutinio vidurkis, tada šie skaičiai sudaro aritmetinę progresiją.

Ateityje šio teiginio supratimas leis mums tiesiogine to žodžio prasme „sukonstruoti“ reikiamas pažangas pagal problemos būklę. Tačiau prieš įsitraukdami į tokią „konstrukciją“, turėtume atkreipti dėmesį į dar vieną faktą, kuris tiesiogiai išplaukia iš to, kas jau buvo svarstyta.

Elementų grupavimas ir suma

Vėl grįžkime prie skaičių eilutės. Atkreipiame dėmesį į keletą progreso narių, tarp kurių galbūt. verti daug kitų narių:

Skaičių eilutėje pažymėti 6 elementai

Pabandykime „kairę uodegą“ išreikšti $((a)_(n))$ ir $d$, o „dešinę uodegą“ – $((a)_(k))$ ir $ d$. Tai labai paprasta:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(lygiuoti)\]

Dabar atkreipkite dėmesį, kad šios sumos yra lygios:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(lygiuoti)\]

Paprasčiau tariant, jei laikysime pradžią du progreso elementus, kurie iš viso yra lygūs tam tikram skaičiui $S$, o tada pradedame žingsniuoti nuo šių elementų priešingomis kryptimis (vienas kito link arba atvirkščiai, norėdami tolti), tada elementų sumos, į kurias atsidursime, taip pat bus lygios$S$. Geriausiai tai galima pavaizduoti grafiškai:

Tos pačios įtraukos suteikia vienodas sumas

Šio fakto supratimas leis mums išspręsti iš esmės aukštesnio sudėtingumo problemas nei tos, kurias svarstėme aukščiau. Pavyzdžiui, šie:

Užduotis numeris 8. Nustatykite aritmetinės progresijos skirtumą, kai pirmasis narys yra 66, o antrojo ir dvyliktojo narių sandauga yra mažiausia įmanoma.

Sprendimas. Užsirašykime viską, ką žinome:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(lygiuoti)\]

Taigi, mes nežinome progresijos $d$ skirtumo. Tiesą sakant, visas sprendimas bus sukurtas atsižvelgiant į skirtumą, nes produktas $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ gali būti perrašytas taip:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(lygiuoti)\]

Tiems, kurie yra bake: aš išėmiau bendrą koeficientą 11 iš antrojo laikiklio. Taigi norima sandauga yra kvadratinė funkcija kintamojo $d$ atžvilgiu. Todėl apsvarstykite funkciją $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ – jos grafikas bus parabolė su šakomis į viršų, nes jei atidarysime skliaustus, gausime:

\[\begin(lygiuoti) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end (lygiuoti)\]

Kaip matote, koeficientas aukščiausiu terminu yra 11 - tai yra teigiamas skaičius, taigi mes iš tikrųjų susiduriame su parabole su šakomis į viršų:

tvarkaraštį kvadratinė funkcija- parabolė

Atkreipkite dėmesį: ši parabolė turi mažiausią vertę savo viršūnėje su abscise $((d)_(0))$. Žinoma, šią abscisę galime apskaičiuoti pagal standartinę schemą (yra formulė $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), bet daug protingiau būtų atkreipkite dėmesį, kad norima viršūnė yra ant parabolės ašies simetrijos, todėl taškas $((d)_(0))$ yra vienodu atstumu nuo lygties $f\left(d \right)=0$ šaknų:

\[\begin(lygiuoti) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(lygiuoti)\]

Todėl skliausteliuose neskubėjau atversti: originalioje formoje šaknis buvo labai labai lengva rasti. Todėl abscisė yra lygi skaičių −66 ir −6 aritmetiniam vidurkiui:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Kas suteikia mums atrastą skaičių? Su juo reikalinga prekė įgauna mažiausią reikšmę (beje, mes neskaičiavome $((y)_(\min ))$ - to iš mūsų nereikalaujama). Kartu šis skaičius yra pradinės progresijos skirtumas, t.y. radome atsakymą. :)

Atsakymas: -36

Užduotis numeris 9. Tarp skaičių $-\frac(1)(2)$ ir $-\frac(1)(6)$ įterpkite tris skaičius, kad kartu su nurodytais skaičiais sudarytų aritmetinę progresiją.

Sprendimas. Tiesą sakant, turime sudaryti penkių skaičių seką, kurių pirmasis ir paskutinis skaičiai jau žinomi. Trūkstamus skaičius pažymėkite kintamaisiais $x$, $y$ ir $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Atkreipkite dėmesį, kad skaičius $y$ yra mūsų sekos "viduris" – jis yra vienodu atstumu nuo skaičių $x$ ir $z$ bei nuo skaičių $-\frac(1)(2)$ ir $-\frac. (1) (6) $. Ir jei iš skaičių $x$ ir $z$ mes patenkame Šis momentas negalime gauti $y$, tada situacija kitokia su progresijos galais. Prisiminkite aritmetinį vidurkį:

Dabar, žinodami $y$, rasime likusius skaičius. Atminkite, kad $x$ yra tarp $-\frac(1)(2)$ ir $y=-\frac(1)(3)$ ką tik rasta. Štai kodėl

Ginčiuodami panašiai, randame likusį skaičių:

Pasiruošę! Mes radome visus tris skaičius. Užrašykite juos atsakyme tokia tvarka, kokia jie turėtų būti įterpti tarp pradinių skaičių.

Atsakymas: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Užduotis numeris 10. Tarp skaičių 2 ir 42 įterpkite kelis skaičius, kurie kartu su nurodytais skaičiais sudaro aritmetinę progresiją, jei žinoma, kad pirmojo, antrojo ir paskutinio įterptų skaičių suma yra 56.

Sprendimas. Dar sunkesnė užduotis, kuri vis dėlto sprendžiama taip pat, kaip ir ankstesnės – per aritmetinį vidurkį. Problema ta, kad mes tiksliai nežinome, kiek skaičių įterpti. Todėl tikslumui darome prielaidą, kad įterpus bus lygiai $n$ skaičiai, o pirmasis iš jų yra 2, o paskutinis - 42. Šiuo atveju norima aritmetinė progresija gali būti pavaizduota taip:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;(a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+(a)_(3))+(a)_(n-1)) = 56\]

Tačiau atkreipkite dėmesį, kad skaičiai $((a)_(2))$ ir $((a)_(n-1))$ gaunami iš skaičių 2 ir 42, stovinčių kraštuose vienu žingsniu vienas kito link. , t.y. į sekos centrą. O tai reiškia, kad

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Bet tada aukščiau pateiktą išraišką galima perrašyti taip:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+(a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(lygiuoti)\]

Žinodami $((a)_(3))$ ir $((a)_(1))$, galime lengvai rasti progresijos skirtumą:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rodyklė dešinėn d=5. \\ \end(lygiuoti)\]

Belieka tik surasti likusius narius:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(lygiuoti)\]

Taigi, jau 9 žingsniu pateksime į kairįjį sekos galą – skaičių 42. Iš viso reikėjo įterpti tik 7 skaičius: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Atsakymas: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tekstinės užduotys su progresais

Baigdamas norėčiau apsvarstyti keletą gana paprastų problemų. Na, kaip paprasti: daugumai mokinių, kurie mokykloje mokosi matematikos ir neskaitė to, kas parašyta aukščiau, šios užduotys gali atrodyti kaip gestas. Nepaisant to, būtent tokios užduotys kyla OGE ir USE matematikoje, todėl rekomenduoju su jomis susipažinti.

Užduotis numeris 11. Sausio mėnesį komanda pagamino 62 dalis, o kiekvieną kitą mėnesį pagamino 14 dalių daugiau nei praėjusį. Kiek dalių brigada pagamino lapkritį?

Sprendimas. Akivaizdu, kad dalių skaičius, nudažytas pagal mėnesį, bus didėjanti aritmetinė progresija. Ir:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(lygiuoti)\]

Lapkritis yra 11 metų mėnuo, todėl turime rasti $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Todėl lapkričio mėnesį bus pagamintos 202 dalys.

Užduotis numeris 12. Įrišimo dirbtuvės sausio mėnesį įrišo 216 knygų, o kiekvieną mėnesį įrišo 4 knygomis daugiau nei praėjusį mėnesį. Kiek knygų seminaras įrišo gruodžio mėnesį?

Sprendimas. Visi vienodi:

$\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(lygiuoti)$

Gruodis yra paskutinis, 12 metų mėnuo, todėl ieškome $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Tai yra atsakymas – gruodžio mėnesį bus įrišta 260 knygų.

Na, o jei perskaitėte iki šiol, skubu jus pasveikinti: sėkmingai baigėte „jaunojo kovotojo kursą“ aritmetinėje progresijoje. Galime drąsiai pereiti prie kitos pamokos, kurioje išnagrinėsime progresavimo sumos formulę, taip pat svarbias ir labai naudingas jos pasekmes.

Arba aritmetika - tai sutvarkytos skaitinės sekos tipas, kurio savybės tiriamos mokykliniame algebros kurse. Šiame straipsnyje išsamiai aptariamas klausimas, kaip rasti aritmetinės progresijos sumą.

Kas yra ši progresija?

Prieš pradedant svarstyti klausimą (kaip rasti aritmetinės progresijos sumą), verta suprasti, kas bus aptariama.

Bet kuri realiųjų skaičių seka, gauta pridedant (atimant) tam tikrą reikšmę iš kiekvieno ankstesnio skaičiaus, vadinama algebrine (aritmetine) progresija. Šis apibrėžimas, išverstas į matematikos kalbą, yra toks:

Čia i yra eilutės elemento eilės skaičius a i . Taigi, žinodami tik vieną pradinį skaičių, galite lengvai atkurti visą seriją. Parametras d formulėje vadinamas progresijos skirtumu.

Galima lengvai parodyti, kad nagrinėjamai skaičių serijai galioja ši lygybė:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Tai yra, norėdami rasti n-ojo elemento reikšmę, skirtumą d pridėkite prie pirmojo elemento a 1 n-1 kartą.

Kokia yra aritmetinės progresijos suma: formulė

Prieš pateikiant nurodytos sumos formulę, verta pagalvoti apie paprastą ypatingą atvejį. Danos progresas natūraliuosius skaičius nuo 1 iki 10, reikia rasti jų sumą. Kadangi progresijoje (10) yra mažai terminų, problemą galima išspręsti tiesiai, ty susumuoti visus elementus iš eilės.

S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Verta apsvarstyti vieną įdomų dalyką: kadangi kiekvienas terminas skiriasi nuo kito ta pačia reikšme d \u003d 1, tada poromis susumavus pirmąjį su dešimtąja, antrąja su devintu ir tt duos tą patį rezultatą. . Tikrai:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kaip matote, šių sumų yra tik 5, tai yra lygiai du kartus mažiau nei serijos elementų skaičius. Tada sumų skaičių (5) padauginę iš kiekvienos sumos rezultato (11), gausite pirmame pavyzdyje gautą rezultatą.

Jei apibendrinsime šiuos argumentus, galime parašyti tokią išraišką:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Ši išraiška rodo, kad visai nebūtina susumuoti visų elementų iš eilės, pakanka žinoti pirmojo a 1 ir paskutinio a n reikšmę, taip pat iš viso terminai n.

Manoma, kad Gaussas pirmą kartą pagalvojo apie šią lygybę, kai ieškojo savo mokyklos mokytojo iškeltos problemos sprendimo: susumuoti pirmuosius 100 sveikųjų skaičių.

Elementų suma nuo m iki n: formulė

Ankstesnėje pastraipoje pateikta formulė atsako į klausimą, kaip rasti aritmetinės progresijos (pirmųjų elementų) sumą, tačiau dažnai užduotyse reikia sumuoti skaičių seką progresijos viduryje. Kaip tai padaryti?

Lengviausias būdas atsakyti į šį klausimą yra atsižvelgiant į tokį pavyzdį: tegul reikia rasti terminų sumą nuo m iki n. Norint išspręsti problemą, duotas progresijos segmentas nuo m iki n turi būti pavaizduotas kaip nauja skaičių seka. Tokiose atstovavimas m-t terminas a m bus pirmasis, o a n bus sunumeruotas n-(m-1). Tokiu atveju, taikant standartinę sumos formulę, bus gauta tokia išraiška:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Formulių naudojimo pavyzdys

Žinant, kaip rasti aritmetinės progresijos sumą, verta apsvarstyti paprastą aukščiau pateiktų formulių naudojimo pavyzdį.

Žemiau yra skaitinė seka, kurioje turėtumėte rasti jos narių sumą, pradedant nuo 5 ir baigiant 12:

Pateikti skaičiai rodo, kad skirtumas d yra lygus 3. Naudodami n-ojo elemento išraišką galite rasti 5-ojo ir 12-ojo progresijos narių reikšmes. Paaiškėja:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 = a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Žinodami skaičių reikšmes nagrinėjamos algebrinės progresijos galuose, taip pat žinodami, kuriuos eilės skaičius jie užima, galite naudoti ankstesnėje pastraipoje gautos sumos formulę. Gaukite:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Verta paminėti, kad šią reikšmę galima gauti skirtingai: pirmiausia pagal standartinę formulę suraskite pirmųjų 12 elementų sumą, tada pagal tą pačią formulę apskaičiuokite pirmųjų 4 elementų sumą, o tada iš pirmosios sumos atimkite antrąją. .

Kažkas žodį „progresavimas“ traktuoja atsargiai, kaip labai sudėtingą terminą iš aukštosios matematikos skyrių. Tuo tarpu paprasčiausia aritmetinė progresija yra taksi skaitiklio darbas (kur jie vis dar lieka). O suprasti aritmetinės sekos esmę (o matematikoje nėra nieko svarbiau už „suprasti esmę“) nėra taip sunku, išanalizavus keletą elementarių sąvokų.

Matematinė skaičių seka

Įprasta skaičių seka vadinti skaičių seka, kurių kiekviena turi savo numerį.

ir 1 yra pirmasis sekos narys;

ir 2 yra antrasis sekos narys;

ir 7 yra septintasis sekos narys;

ir n yra n-tasis sekos narys;

Tačiau mūsų nedomina joks savavališkas skaičių ir skaičių rinkinys. Sutelksime dėmesį į skaitinę seką, kurioje n-ojo nario reikšmė yra susieta su eilės skaičiumi priklausomybe, kurią galima aiškiai suformuluoti matematiškai. Kitaip tariant: n-ojo skaičiaus skaitinė reikšmė yra tam tikra n funkcija.

a - skaitinės sekos nario reikšmė;

n yra jo serijos numeris;

f(n) yra funkcija, kurios eilės eilė skaičių sekoje n yra argumentas.

Apibrėžimas

Aritmetine progresija paprastai vadinama skaitinė seka, kurioje kiekvienas paskesnis narys yra didesnis (mažesnis) nei ankstesnis tuo pačiu skaičiumi. Aritmetinės sekos n-ojo nario formulė yra tokia:

a n – esamo aritmetinės progresijos nario reikšmė;

a n+1 – kito skaičiaus formulė;

d – skirtumas (tam tikras skaičius).

Nesunku nustatyti, kad jei skirtumas yra teigiamas (d>0), tai kiekvienas paskesnis nagrinėjamos eilutės narys bus didesnis nei ankstesnis, ir tokia aritmetinė progresija bus didėjanti.

Žemiau esančiame grafike nesunku suprasti, kodėl skaičių seka vadinama „didėjančia“.

Tais atvejais, kai skirtumas yra neigiamas (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Nurodyto nario vertė

Kartais reikia nustatyti kokio nors savavališko aritmetinės progresijos nario a n reikšmę. Tai galite padaryti paeiliui apskaičiuodami visų aritmetinės progresijos narių reikšmes, nuo pirmosios iki norimos. Tačiau toks būdas ne visada priimtinas, jei, pavyzdžiui, reikia rasti penkių tūkstantosios ar aštuonios milijoninės dalies vertę. Tradicinis skaičiavimas užtruks ilgai. Tačiau tam tikrą aritmetinę progresiją galima ištirti naudojant tam tikras formules. Taip pat yra n-ojo nario formulė: bet kurio aritmetinės progresijos nario vertė gali būti nustatyta kaip pirmojo progresijos nario suma su progresijos skirtumu, padauginta iš norimo nario skaičiaus, atėmus vieną. .

Formulė yra universali progresavimui didinti ir mažinti.

Duoto nario vertės apskaičiavimo pavyzdys

Išspręskime tokį aritmetinės progresijos n-ojo nario reikšmės radimo uždavinį.

Sąlyga: yra aritmetinė progresija su parametrais:

Pirmasis sekos narys yra 3;

Skaičių serijų skirtumas yra 1,2.

Užduotis: reikia rasti 214 terminų reikšmę

Sprendimas: norėdami nustatyti tam tikro nario vertę, naudojame formulę:

a(n) = a1 + d(n-1)

Pakeitę problemos teiginio duomenis į išraišką, gauname:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Atsakymas: 214-asis sekos narys yra lygus 258,6.

Šio skaičiavimo metodo pranašumai yra akivaizdūs – visas sprendimas trunka ne daugiau kaip 2 eilutes.

Nurodyto narių skaičiaus suma

Labai dažnai tam tikroje aritmetinėje serijoje reikia nustatyti kai kurių jos segmentų verčių sumą. Taip pat nereikia skaičiuoti kiekvieno termino verčių ir tada jų susumuoti. Šis metodas taikomas, jei terminų, kurių sumą reikia rasti, skaičius yra mažas. Kitais atvejais patogiau naudoti šią formulę.

Aritmetinės progresijos nuo 1 iki n narių suma yra lygi pirmojo ir n-ojo narių sumai, padaugintai iš nario skaičiaus n ir padalytai iš dviejų. Jei formulėje n-ojo nario reikšmė pakeičiama išraiška iš ankstesnės straipsnio pastraipos, gauname:

Skaičiavimo pavyzdys

Pavyzdžiui, išspręskime problemą su šiomis sąlygomis:

Pirmasis sekos narys yra nulis;

Skirtumas yra 0,5.

Užduotyje reikia nustatyti serijos terminų sumą nuo 56 iki 101.

Sprendimas. Progresijos sumai nustatyti naudokite formulę:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Pirma, mes nustatome 101 progresijos nario verčių sumą, pakeisdami pateiktas mūsų problemos sąlygas į formulę:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Akivaizdu, kad norint sužinoti progresijos nuo 56 iki 101 terminų sumą, iš S 101 reikia atimti S 55.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Taigi šio pavyzdžio aritmetinės progresijos suma yra tokia:

101 s – 55 \u003d 2 525 – 742,5 \u003d 1 782,5

Aritmetinės progresijos praktinio taikymo pavyzdys

Straipsnio pabaigoje grįžkime prie pirmoje pastraipoje pateiktos aritmetinės sekos pavyzdžio – taksometras (taksi automobilio matuoklis). Panagrinėkime tokį pavyzdį.

Įlipimas į taksi (į kurį įeina 3 km) kainuoja 50 rublių. Už kiekvieną kitą kilometrą mokama 22 rubliai / km. Kelionės atstumas 30 km. Apskaičiuokite kelionės kainą.

1. Išmeskime pirmus 3 km, kurių kaina įskaičiuota į nusileidimo kainą.

30 - 3 = 27 km.

2. Tolesnis skaičiavimas yra ne kas kita, kaip aritmetinių skaičių serijų analizavimas.

Nario numeris yra nuvažiuotų kilometrų skaičius (atėmus pirmuosius tris).

Nario vertė yra suma.

Pirmasis šios problemos terminas bus lygus 1 = 50 rublių.

Progresijos skirtumas d = 22 p.

mus dominantis skaičius - (27 + 1) aritmetinės progresijos nario reikšmė - skaitiklio rodmuo 27 kilometro pabaigoje - 27,999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Savavališkai ilgo laikotarpio kalendoriaus duomenų skaičiavimai yra pagrįsti formulėmis, apibūdinančiomis tam tikras skaitines sekas. Astronomijoje orbitos ilgis geometriškai priklauso nuo dangaus kūno atstumo iki šviestuvo. Be to, įvairios skaitinės eilutės sėkmingai naudojamos statistikoje ir kitose taikomosiose matematikos šakose.

Kita skaičių sekos rūšis yra geometrinė

Geometrinei progresijai būdingas didelis pokyčio greitis, palyginti su aritmetine. Neatsitiktinai politikoje, sociologijoje, medicinoje dažnai, norėdami parodyti didelį konkretaus reiškinio plitimo greitį, pavyzdžiui, ligos epidemijos metu, sakoma, kad procesas vystosi eksponentiškai.

N-asis geometrinių skaičių serijos narys skiriasi nuo ankstesnio, nes jis padauginamas iš pastovaus skaičiaus - vardiklis, pavyzdžiui, pirmasis narys yra 1, vardiklis yra atitinkamai 2, tada:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - dabartinio geometrinės progresijos nario reikšmė;

b n+1 - kito geometrinės progresijos nario formulė;

q yra geometrinės progresijos (pastovaus skaičiaus) vardiklis.

Jei aritmetinės progresijos grafikas yra tiesi linija, tada geometrinė piešia šiek tiek kitokį vaizdą:

Kaip ir aritmetikos atveju, geometrinė progresija turi savavališko nario vertės formulę. Bet kuris n-asis geometrinės progresijos narys yra lygus pirmojo nario sandaugai ir progresijos vardiklio iki laipsnio n, sumažinto vienetu, sandaugai:

Pavyzdys. Turime geometrinę progresiją, kurios pirmasis narys lygus 3, o progresijos vardiklis lygus 1,5. Raskite 5 progresijos narį

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5–1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Tam tikro narių skaičiaus suma taip pat apskaičiuojama naudojant specialią formulę. Pirmųjų n geometrinės progresijos narių suma yra lygi skirtumui tarp n-ojo progresijos nario ir jo vardiklio sandaugos ir pirmojo progresijos nario, padalijus iš vardiklio, sumažinto vienetu:

Jei b n pakeičiamas naudojant aukščiau aptartą formulę, nagrinėjamos skaičių serijos pirmųjų n narių sumos reikšmė bus tokia:

Pavyzdys. Geometrinė progresija prasideda nuo pirmojo nario, kuris lygus 1. Vardiklis nustatomas lygus 3. Raskime pirmųjų aštuonių narių sumą.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Aritmetinė ir geometrinė progresija

Teorinė informacija

Teorinė informacija

	Aritmetinė progresija	Geometrinė progresija
Apibrėžimas	Aritmetinė progresija a n vadinama seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, pridėtam tuo pačiu skaičiumi d (d- progresavimo skirtumas)	geometrinė progresija b n vadinama ne nulinių skaičių seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, padaugintam iš to paties skaičiaus q (q- progreso vardiklis)
Pasikartojanti formulė	Bet kokiam natūraliam n a n + 1 = a n + d	Bet kokiam natūraliam n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
n-ojo termino formulė	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
būdinga savybė
Pirmųjų n narių suma

Užduočių pavyzdžiai su komentarais

1 pratimas

Aritmetine progresija ( a n) a 1 = -6, a 2

Pagal n-ojo nario formulę:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21d

Pagal sąlygą:

a 1= -6, taigi a 22= -6 + 21d.

Būtina rasti progresavimo skirtumą:

d= a 2-a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Atsakymas : a 22 = -48.

2 užduotis

Raskite penktąjį geometrinės progresijos narį: -3; 6;...

1-as būdas (naudojant n terminų formulę)

Pagal geometrinės progresijos n-ojo nario formulę:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Nes b 1 = -3,

2 būdas (naudojant rekursinę formulę)

Kadangi progresijos vardiklis yra -2 (q = -2), tada:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Atsakymas : b 5 = -48.

3 užduotis

Aritmetine progresija ( a n) a 74 = 34; a 76= 156. Raskite septyniasdešimt penktąjį šios progresijos narį.

Aritmetinei progresijai būdinga savybė turi formą .

Todėl:

.

Pakeiskite duomenis formulėje:

Atsakymas: 95.

4 užduotis

Aritmetine progresija ( a n) a n= 3n - 4. Raskite pirmųjų septyniolikos narių sumą.

Norint rasti aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumą, naudojamos dvi formulės:

.

Kurį iš jų šiuo atveju patogiau taikyti?

Pagal sąlygą yra žinoma pradinės progresijos n-ojo nario formulė ( a n) a n= 3n - 4. Galima rasti iš karto ir a 1, ir a 16 neradus d . Todėl mes naudojame pirmąją formulę.

Atsakymas: 368.

5 užduotis

Aritmetinėje progresijoje a n) a 1 = -6; a 2= -8. Raskite dvidešimt antrąjį progresavimo terminą.

Pagal n-ojo nario formulę:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.

Pagal sąlygą, jei a 1= -6, tada a 22= -6 + 21d. Būtina rasti progresavimo skirtumą:

d= a 2-a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Atsakymas : a 22 = -48.

6 užduotis

Įrašomi keli iš eilės geometrinės progresijos nariai:

Raskite progresijos terminą, pažymėtą raide x .

Spręsdami naudojame n-ojo nario formulę b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 geometrinei progresijai. Pirmasis progresijos narys. Norėdami rasti progresijos q vardiklį, turite paimti bet kurį iš šių progresijos narių ir padalyti iš ankstesnio. Mūsų pavyzdyje galite paimti ir padalyti iš. Gauname, kad q \u003d 3. Vietoj n formulėje pakeičiame 3, nes reikia rasti trečiąjį tam tikros geometrinės progresijos narį.

Pakeitę rastas reikšmes į formulę, gauname:

.

Atsakymas:.

7 užduotis

Iš aritmetinių progresijų, pateiktų n-ojo nario formule, pasirinkite tą, kurios sąlyga tenkinama a 27 > 9:

Kadangi nurodyta sąlyga turi būti įvykdyta 27 progresijos nariui, kiekvienoje iš keturių progresijų vietoj n pakeičiame 27. 4-oje pakopoje gauname:

.

Atsakymas: 4.

8 užduotis

Aritmetinėje progresijoje a 1= 3, d = -1,5. Nurodykite didžiausią n reikšmę, kuriai galioja nelygybė a n > -6.