Kažkas žodį „progresavimas“ traktuoja atsargiai, kaip labai sudėtingą terminą iš aukštosios matematikos skyrių. Tuo tarpu paprasčiausia aritmetinė progresija yra taksi skaitiklio darbas (kur jie vis dar lieka). Ir suprask esmę (o matematikoje nėra nieko svarbiau už „suvokti esmę“) aritmetinė seka Tai nėra taip sunku, kai supranti keletą pagrindinių sąvokų.

Matematinė skaičių seka

Įprasta skaičių seka vadinti skaičių seka, kurių kiekviena turi savo numerį.

ir 1 yra pirmasis sekos narys;

ir 2 yra antrasis sekos narys;

ir 7 yra septintasis sekos narys;

ir n yra n-tasis sekos narys;

Tačiau mūsų nedomina joks savavališkas skaičių ir skaičių rinkinys. Sutelksime dėmesį į skaitinę seką, kurioje n-ojo nario reikšmė yra susieta su eilės skaičiumi priklausomybe, kurią galima aiškiai suformuluoti matematiškai. Kitaip tariant: n-ojo skaičiaus skaitinė reikšmė yra tam tikra n funkcija.

a - skaitinės sekos nario reikšmė;

n yra jo serijos numeris;

f(n) yra funkcija, kurios eilės eilė skaičių sekoje n yra argumentas.

Apibrėžimas

Aritmetine progresija paprastai vadinama skaitinė seka, kurioje kiekvienas paskesnis narys yra didesnis (mažesnis) nei ankstesnis tuo pačiu skaičiumi. Aritmetinės sekos n-ojo nario formulė yra tokia:

a n – esamo aritmetinės progresijos nario reikšmė;

a n+1 – kito skaičiaus formulė;

d – skirtumas (tam tikras skaičius).

Nesunku nustatyti, kad jei skirtumas yra teigiamas (d>0), tai kiekvienas paskesnis nagrinėjamos eilutės narys bus didesnis nei ankstesnis, ir tokia aritmetinė progresija bus didėjanti.

Žemiau esančiame grafike nesunku suprasti, kodėl skaičių seka vadinama „didėjančia“.

Tais atvejais, kai skirtumas yra neigiamas (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Nurodyto nario vertė

Kartais reikia nustatyti kokio nors savavališko aritmetinės progresijos nario a n reikšmę. Tai galite padaryti paeiliui apskaičiuodami visų aritmetinės progresijos narių reikšmes, nuo pirmosios iki norimos. Tačiau toks būdas ne visada priimtinas, jei, pavyzdžiui, reikia rasti penkių tūkstantosios ar aštuonios milijoninės dalies vertę. Tradicinis skaičiavimas užtruks ilgai. Tačiau tam tikrą aritmetinę progresiją galima ištirti naudojant tam tikras formules. Taip pat yra n-ojo nario formulė: bet kurio aritmetinės progresijos nario vertė gali būti nustatyta kaip pirmojo progresijos nario suma su progresijos skirtumu, padauginta iš norimo nario skaičiaus, atėmus vieną. .

Formulė yra universali progresavimui didinti ir mažinti.

Duoto nario vertės apskaičiavimo pavyzdys

Išspręskime tokį aritmetinės progresijos n-ojo nario reikšmės radimo uždavinį.

Sąlyga: yra aritmetinė progresija su parametrais:

Pirmasis sekos narys yra 3;

Skaičių serijų skirtumas yra 1,2.

Užduotis: reikia rasti 214 terminų reikšmę

Sprendimas: norėdami nustatyti tam tikro nario vertę, naudojame formulę:

a(n) = a1 + d(n-1)

Pakeitę problemos teiginio duomenis į išraišką, gauname:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Atsakymas: 214-asis sekos narys yra lygus 258,6.

Šio skaičiavimo metodo pranašumai yra akivaizdūs – visas sprendimas užima ne daugiau kaip 2 eilutes.

Nurodyto narių skaičiaus suma

Labai dažnai tam tikroje aritmetinėje serijoje reikia nustatyti kai kurių jos segmentų verčių sumą. Taip pat nereikia skaičiuoti kiekvieno termino verčių ir tada jų susumuoti. Šis metodas taikomas, jei terminų, kurių sumą reikia rasti, skaičius yra mažas. Kitais atvejais patogiau naudoti šią formulę.

Aritmetinės progresijos nuo 1 iki n narių suma yra lygi pirmojo ir n-ojo narių sumai, padaugintai iš nario skaičiaus n ir padalytai iš dviejų. Jei formulėje n-ojo nario reikšmė pakeičiama išraiška iš ankstesnės straipsnio pastraipos, gauname:

Skaičiavimo pavyzdys

Pavyzdžiui, išspręskime problemą su šiomis sąlygomis:

Pirmasis sekos narys yra nulis;

Skirtumas yra 0,5.

Užduotyje reikia nustatyti serijos terminų sumą nuo 56 iki 101.

Sprendimas. Progresijos sumai nustatyti naudokite formulę:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Pirma, mes nustatome 101 progresijos nario verčių sumą, pakeisdami pateiktas mūsų problemos sąlygas į formulę:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Akivaizdu, kad norint sužinoti progresijos nuo 56 iki 101 terminų sumą, iš S 101 reikia atimti S 55.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Taigi šio pavyzdžio aritmetinės progresijos suma yra tokia:

101 s – 55 \u003d 2 525 – 742,5 \u003d 1 782,5

Aritmetinės progresijos praktinio taikymo pavyzdys

Straipsnio pabaigoje grįžkime prie pirmoje pastraipoje pateiktos aritmetinės sekos pavyzdžio – taksometras (taksi automobilio matuoklis). Panagrinėkime tokį pavyzdį.

Įlipimas į taksi (į kurį įeina 3 km) kainuoja 50 rublių. Už kiekvieną kitą kilometrą mokama 22 rubliai / km. Kelionės atstumas 30 km. Apskaičiuokite kelionės kainą.

1. Išmeskime pirmus 3 km, kurių kaina įskaičiuota į nusileidimo kainą.

30 - 3 = 27 km.

2. Tolesnis skaičiavimas yra ne kas kita, kaip aritmetinių skaičių serijų analizavimas.

Nario numeris yra nuvažiuotų kilometrų skaičius (atėmus pirmuosius tris).

Nario vertė yra suma.

Pirmasis šios problemos terminas bus lygus 1 = 50 rublių.

Progresijos skirtumas d = 22 p.

mus dominantis skaičius - (27 + 1) aritmetinės progresijos nario reikšmė - skaitiklio rodmuo 27 kilometro pabaigoje - 27,999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Savavališkai ilgo laikotarpio kalendoriaus duomenų skaičiavimai yra pagrįsti formulėmis, apibūdinančiomis tam tikras skaitines sekas. Astronomijoje orbitos ilgis geometriškai priklauso nuo dangaus kūno atstumo iki šviestuvo. Be to, įvairios skaitinės eilutės sėkmingai naudojamos statistikoje ir kitose taikomosiose matematikos šakose.

Kita skaičių sekos rūšis yra geometrinė

Geometrinei progresijai būdingas didelis pokyčio greitis, palyginti su aritmetine. Neatsitiktinai politikoje, sociologijoje, medicinoje dažnai, norėdami parodyti didelį konkretaus reiškinio plitimo greitį, pavyzdžiui, ligos epidemijos metu, sakoma, kad procesas vystosi eksponentiškai.

N-asis geometrinių skaičių serijos narys skiriasi nuo ankstesnio, nes jis padauginamas iš pastovaus skaičiaus - vardiklis, pavyzdžiui, pirmasis narys yra 1, vardiklis yra atitinkamai 2, tada:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - dabartinio geometrinės progresijos nario reikšmė;

b n+1 - kito geometrinės progresijos nario formulė;

q yra geometrinės progresijos (pastovaus skaičiaus) vardiklis.

Jei aritmetinės progresijos grafikas yra tiesi linija, tada geometrinė piešia šiek tiek kitokį vaizdą:

Kaip ir aritmetikos atveju, geometrinė progresija turi savavališko nario vertės formulę. Bet kuris n-asis geometrinės progresijos narys yra lygus pirmojo nario sandaugai ir progresijos vardiklio iki laipsnio n, sumažinto vienetu, sandaugai:

Pavyzdys. Turime geometrinę progresiją, kurios pirmasis narys lygus 3, o progresijos vardiklis lygus 1,5. Raskite 5 progresijos narį

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5–1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Tam tikro narių skaičiaus suma taip pat apskaičiuojama naudojant specialią formulę. Pirmųjų n geometrinės progresijos narių suma yra lygi skirtumui tarp n-ojo progresijos nario ir jo vardiklio sandaugos ir pirmojo progresijos nario, padalijus iš vardiklio, sumažinto vienetu:

Jei b n pakeičiamas naudojant aukščiau aptartą formulę, nagrinėjamos skaičių serijos pirmųjų n narių sumos reikšmė bus tokia:

Pavyzdys. Geometrinė progresija prasideda nuo pirmojo nario, kuris lygus 1. Vardiklis nustatomas lygus 3. Raskime pirmųjų aštuonių narių sumą.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Jei kiekvienas natūralusis skaičius n atitinka tikrąjį skaičių a n , tada jie sako, kad duota skaičių seka :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Taigi, skaitinė seka yra natūralaus argumento funkcija.

Skaičius a 1 paskambino pirmasis sekos narys , numeris a 2 — antrasis sekos narys , numeris a 3 — trečias ir taip toliau. Skaičius a n paskambino n-asis narys sekos , ir natūralusis skaičius n — jo numeris .

Iš dviejų kaimyninių narių a n ir a n +1 narių sekos a n +1 paskambino vėliau (link a n ), a a n — ankstesnis (link a n +1 ).

Norėdami nurodyti seką, turite nurodyti metodą, leidžiantį rasti sekos narį su bet kokiu skaičiumi.

Dažnai seka pateikiama su n-ojo termino formulės , tai yra formulė, leidžianti nustatyti sekos narį pagal jo skaičių.

Pavyzdžiui,

teigiamų nelyginių skaičių seka gali būti pateikta formule

a n= 2n- 1,

ir kaitaliojimosi seka 1 ir -1 - formulė

b n = (-1)n +1 . ◄

Seka gali būti nustatyta pasikartojanti formulė, tai yra formulė, išreiškianti bet kurį sekos narį, pradedant kai kuriais, per ankstesnius (vieną ar kelis) narius.

Pavyzdžiui,

jeigu a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jeigu a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada pirmieji septyni skaitinės sekos nariai nustatomi taip:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekos gali būti galutinis ir begalinis .

Seka vadinama galutinis jei ji turi baigtinį narių skaičių. Seka vadinama begalinis jei ji turi be galo daug narių.

Pavyzdžiui,

dviejų skaitmenų seka natūraliuosius skaičius:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

galutinis.

Pirminių skaičių seka:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

begalinis. ◄

Seka vadinama didėja , jei kiekvienas jo narys, pradedant nuo antrojo, yra didesnis už ankstesnįjį.

Seka vadinama silpsta , jei kiekvienas jo narys, pradedant nuo antrojo, yra mažesnis už ankstesnįjį.

Pavyzdžiui,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . yra didėjanti seka;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . yra mažėjanti seka. ◄

Vadinama seka, kurios elementai didėjant skaičiui nemažėja arba, atvirkščiai, nedidėja monotoniška seka .

Visų pirma monotoninės sekos yra didėjančios ir mažėjančios sekos.

Aritmetinė progresija

Aritmetinė progresija vadinama seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, prie kurio pridedamas toks pat skaičius.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

yra bet kurio natūraliojo skaičiaus aritmetinė progresija n sąlyga įvykdyta:

a n +1 = a n + d,

kur d - kažkoks skaičius.

Taigi skirtumas tarp kito ir ankstesnio tam tikros aritmetinės progresijos narių visada yra pastovus:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Skaičius d paskambino aritmetinės progresijos skirtumas.

Norint nustatyti aritmetinę progresiją, pakanka nurodyti pirmąjį jos narį ir skirtumą.

Pavyzdžiui,

jeigu a 1 = 3, d = 4 , tada pirmieji penki sekos nariai randami taip:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Aritmetinei progresijai su pirmuoju nariu a 1 ir skirtumas d ją n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Pavyzdžiui,

rasti trisdešimtąjį aritmetinės progresijos narį

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

tada aišku

kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesnių ir paskesnių narių aritmetiniam vidurkiui.

skaičiai a, b ir c yra nuoseklūs tam tikros aritmetinės progresijos nariai tada ir tik tada, kai vienas iš jų yra lygus kitų dviejų aritmetiniam vidurkiui.

Pavyzdžiui,

a n = 2n- 7 , yra aritmetinė progresija.

Naudokime aukščiau pateiktą teiginį. Mes turime:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Vadinasi,

◄

Prisimink tai n -tąjį aritmetinės progresijos narį galima rasti ne tik per a 1 , bet ir visus ankstesnius a k

a n = a k + (n- k)d.

Pavyzdžiui,

dėl a 5 galima parašyti

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

tada aišku

bet kuris aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrosios, yra lygus pusei šios aritmetinės progresijos narių sumos, vienodu atstumu nuo jos.

Be to, bet kuriai aritmetinei progresijai yra teisinga lygybė:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Pavyzdžiui,

aritmetinėje progresijoje

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, nes

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

Pirmas n aritmetinės progresijos nariai yra lygūs pusės kraštutinių narių sumos sandaugai iš narių skaičiaus:

Iš to visų pirma išplaukia, kad jei būtina terminus sumuoti

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada ankstesnė formulė išlaiko savo struktūrą:

Pavyzdžiui,

aritmetinėje progresijoje 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jei pateikiama aritmetinė progresija, tada dydžiai a 1 , a n, d, n irS n susieta dviem formulėmis:

Todėl, jei pateikiamos trijų iš šių dydžių reikšmės, tada iš šių formulių nustatomos atitinkamos kitų dviejų dydžių reikšmės, sujungtos į dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą.

Aritmetinė progresija yra monotoniška seka. Kur:

• jeigu d > 0 , tada jis didėja;
• jeigu d < 0 , tada jis mažėja;
• jeigu d = 0 , tada seka bus stacionari.

Geometrinė progresija

geometrinė progresija vadinama seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

yra bet kurio natūraliojo skaičiaus geometrinė progresija n sąlyga įvykdyta:

b n +1 = b n · q,

kur q ≠ 0 - kažkoks skaičius.

Taigi kito šios geometrinės progresijos nario santykis su ankstesniu yra pastovus skaičius:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Skaičius q paskambino geometrinės progresijos vardiklis.

Norint nustatyti geometrinę progresiją, pakanka nurodyti pirmąjį jos narį ir vardiklį.

Pavyzdžiui,

jeigu b 1 = 1, q = -3 , tada pirmieji penki sekos nariai randami taip:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ir vardiklis q ją n - terminą galima rasti pagal formulę:

b n = b 1 · q n -1 .

Pavyzdžiui,

rasti septintą geometrinės progresijos narį 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

tada aišku

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

kiekvienas geometrinės progresijos narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesnių ir paskesnių narių geometriniam vidurkiui (proporciniam).

Kadangi teisinga ir atvirkščiai, galioja toks teiginys:

skaičiai a, b ir c yra nuoseklūs tam tikros geometrinės progresijos nariai tada ir tik tada, kai vieno iš jų kvadratas yra lygus kitų dviejų sandaugai, tai yra, vienas iš skaičių yra kitų dviejų geometrinis vidurkis.

Pavyzdžiui,

įrodykime, kad formulės pateikta seka b n= -3 2 n , yra geometrinė progresija. Naudokime aukščiau pateiktą teiginį. Mes turime:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Vadinasi,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

kuris įrodo reikalingą teiginį. ◄

Prisimink tai n geometrinės progresijos terminą galima rasti ne tik per b 1 , bet ir bet kuris ankstesnis terminas b k , kuriam pakanka naudoti formulę

b n = b k · q n - k.

Pavyzdžiui,

dėl b 5 galima parašyti

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · 2 k,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

tada aišku

b n 2 = b n - k· b n + k

bet kurio geometrinės progresijos nario kvadratas, pradedant nuo antrojo, yra lygus šios progresijos narių, nutolusių nuo jos vienodu atstumu, sandaugai.

Be to, bet kokiai geometrinei progresijai galioja lygybė:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Pavyzdžiui,

eksponentiškai

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , nes

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

Pirmas n geometrinės progresijos nariai su vardikliu q ≠ 0 apskaičiuojamas pagal formulę:

Ir kada q = 1 - pagal formulę

S n= n.b. 1

Atkreipkite dėmesį, kad jei mums reikia susumuoti terminus

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada naudojama formulė:

Pavyzdžiui,

eksponentiškai 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jei pateikiama geometrinė progresija, tada dydžiai b 1 , b n, q, n ir S n susieta dviem formulėmis:

Todėl, jei pateikiamos bet kurių trijų iš šių dydžių reikšmės, tada iš šių formulių nustatomos atitinkamos kitų dviejų dydžių reikšmės, sujungtos į dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą.

Geometrinei progresijai su pirmuoju nariu b 1 ir vardiklis q vyksta šie dalykai monotoniškumo savybės :

• progresavimas didėja, jei įvykdoma viena iš šių sąlygų:

b 1 > 0 ir q> 1;

b 1 < 0 ir 0 < q< 1;

• Progresas mažėja, jei įvykdoma viena iš šių sąlygų:

b 1 > 0 ir 0 < q< 1;

b 1 < 0 ir q> 1.

Jeigu q< 0 , tada geometrinė progresija yra ženklų kaitaliojama: jos nelyginiai terminai turi tą patį ženklą kaip ir pirmasis narys, o lyginiai – priešingą ženklą. Akivaizdu, kad kintamoji geometrinė progresija nėra monotoniška.

Pirmojo gaminys n Geometrinės progresijos terminai gali būti apskaičiuojami pagal formulę:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Pavyzdžiui,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Be galo mažėjanti geometrinė progresija

Be galo mažėjanti geometrinė progresija vadinama begaline geometrine progresija, kurios vardiklio modulis yra mažesnis už 1 , tai yra

|q| < 1 .

Atminkite, kad be galo mažėjanti geometrinė progresija gali būti ne mažėjanti seka. Tai tinka šiuo atveju

1 < q< 0 .

Su tokiu vardikliu seka yra kintamoji. Pavyzdžiui,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma įvardykite skaičių, į kurį sueina pirmoji suma n progresavimo terminai su neribotu skaičiaus padidėjimu n . Šis skaičius visada yra baigtinis ir išreiškiamas formule

Pavyzdžiui,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmetinės ir geometrinės progresijos ryšys

Aritmetinė ir geometrinė progresijos yra glaudžiai susijusios. Panagrinėkime tik du pavyzdžius.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , tada

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Pavyzdžiui,

1, 3, 5, . . . — aritmetinė progresija su skirtumu 2 ir

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . yra geometrinė progresija su vardikliu 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . yra geometrinė progresija su vardikliu q , tada

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — aritmetinė progresija su skirtumu žurnalas aq .

Pavyzdžiui,

2, 12, 72, . . . yra geometrinė progresija su vardikliu 6 ir

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetinė progresija su skirtumu lg 6 . ◄

IV Jakovlevas | Matematikos medžiagos | MathUs.ru

Aritmetinė progresija

Aritmetinė progresija yra ypatinga sekos rūšis. Todėl prieš apibrėžiant aritmetinę (o vėliau ir geometrinę) progresiją, turime trumpai aptarti svarbi koncepcija skaičių seka.

Pasekmė

Įsivaizduokite įrenginį, kurio ekrane vienas po kito rodomi kai kurie skaičiai. Tarkime 2; 7; 13; vienas; 6; 0; 3; : : : Toks skaičių rinkinys yra tik sekos pavyzdys.

Apibrėžimas. Skaičių seka yra skaičių rinkinys, kuriame kiekvienam skaičiui galima priskirti unikalų skaičių (tai yra, suderinti su vienu natūraliu skaičiumi)1. Skaičius su skaičiumi n vadinamas n-tuoju sekos nariu.

Taigi aukščiau pateiktame pavyzdyje pirmasis skaičius turi skaičių 2, kuris yra pirmasis sekos narys, kuris gali būti žymimas a1 ; skaičius penki turi skaičių 6, kuris yra penktasis sekos narys, kuris gali būti žymimas a5 . Apskritai, n-asis terminas sekos žymimos an (arba bn , cn ir pan.).

Labai patogi situacija, kai n-tą sekos narį galima nurodyti kokia nors formule. Pavyzdžiui, formulė an = 2n 3 nurodo seką: 1; vienas; 3; 5; 7; : : : Formulė an = (1)n apibrėžia seką: 1; vienas; vienas; vienas; : : :

Ne kiekvienas skaičių rinkinys yra seka. Taigi segmentas nėra seka; jame yra ¾per daug¿ skaičių, kad juos būtų galima pernumeruoti. Visų realiųjų skaičių aibė R taip pat nėra seka. Šie faktai įrodomi atliekant matematinę analizę.

Aritmetinė progresija: pagrindiniai apibrėžimai

Dabar esame pasirengę apibrėžti aritmetinę progresiją.

Apibrėžimas. Aritmetinė progresija yra seka, kurioje kiekvienas narys (pradedant nuo antrojo) yra lygus ankstesnio nario ir tam tikro fiksuoto skaičiaus (vadinamo aritmetinės progresijos skirtumu) sumai.

Pavyzdžiui, seka 2; 5; aštuoni; vienuolika; : : : yra aritmetinė progresija su 2 pirmuoju nariu ir skirtumu 3. 7 seka; 2; 3; aštuoni; : : : yra aritmetinė progresija, kurios pirmasis narys yra 7 ir skirtumas 5. 3 seka; 3; 3; : : : yra aritmetinė progresija su nuliu skirtumu.

Lygiavertis apibrėžimas: seka an vadinama aritmetine progresija, jei skirtumas an+1 an yra pastovi reikšmė (nepriklausoma nuo n).

Sakoma, kad aritmetinė progresija didėja, jei jos skirtumas yra teigiamas, ir mažėja, jei skirtumas yra neigiamas.

1 Ir čia yra glaustesnis apibrėžimas: seka yra funkcija, apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje. Pavyzdžiui, realiųjų skaičių seka yra funkcija f: N! R.

Pagal numatytuosius nustatymus sekos laikomos begalinėmis, ty turinčios begalinį skaičių skaičių. Tačiau niekas nesivargina atsižvelgti ir į baigtines sekas; iš tikrųjų bet kurią baigtinę skaičių aibę galima pavadinti baigtine seka. Pavyzdžiui, galutinė seka 1; 2; 3; keturi; 5 susideda iš penkių skaičių.

Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė

Nesunku suprasti, kad aritmetinę progresiją visiškai lemia du skaičiai: pirmasis narys ir skirtumas. Todėl kyla klausimas: kaip, žinant pirmąjį narį ir skirtumą, rasti savavališką aritmetinės progresijos narį?

Nesunku gauti norimą aritmetinės progresijos n-ojo nario formulę. Tegul an

1 užduotis. 2 aritmetine progresija; 5; aštuoni; vienuolika; : : : raskite n-ojo nario formulę ir apskaičiuokite šimtąjį narį.

Sprendimas. Pagal (1) formulę turime:

an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Savybė ir aritmetinės progresijos ženklas

aritmetinės progresijos savybė. Aritmetinėje progresijoje an už bet kurią

Kitaip tariant, kiekvienas aritmetinės progresijos narys (pradedant nuo antrosios) yra gretimų narių aritmetinis vidurkis.

ko ir reikėjo.

Apskritai aritmetinė progresija an tenkina lygybę

a n = a n k+ a n+k

bet kuriam n > 2 ir bet kuriam natūraliam k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Pasirodo, kad (2) formulė yra ne tik būtina, bet ir pakankama sąlyga, kad seka būtų aritmetinė progresija.

Aritmetinės progresijos ženklas. Jei lygybė (2) galioja visiems n > 2, tai seka an yra aritmetinė progresija.

Įrodymas. Perrašykime formulę (2) taip:

a na n 1= a n+1a n:

Tai rodo, kad skirtumas an+1 an nepriklauso nuo n, o tai tiesiog reiškia, kad seka an yra aritmetinė progresija.

Aritmetinės progresijos savybė ir ženklas gali būti suformuluoti kaip vienas teiginys; patogumo dėlei tai padarysime su trimis skaičiais (ši situacija dažnai pasitaiko problemose).

Aritmetinės progresijos apibūdinimas. Trys skaičiai a, b, c sudaro aritmetinę progresiją tada ir tik tada, kai 2b = a + c.

2 uždavinys. (Maskvos valstybinis universitetas, Ekonomikos fakultetas, 2007) Trys skaičiai 8x, 3 x2 ir 4 nurodyta tvarka sudaro mažėjančią aritmetinę progresiją. Raskite x ir parašykite šios progresijos skirtumą.

Sprendimas. Pagal aritmetinės progresijos savybę turime:

2 (3 x 2 ) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x=5:

Jei x = 1, tai gaunama mažėjanti 8, 2, 4 progresija su 6 skirtumu. Jei x = 5, tai gaunama didėjanti 40, 22, 4 progresija; šis atvejis neveikia.

Atsakymas: x = 1, skirtumas yra 6.

Pirmųjų n aritmetinės progresijos narių suma

Legenda pasakoja, kad kartą mokytoja liepė vaikams surasti skaičių sumą nuo 1 iki 100 ir atsisėdo ramiai skaityti laikraščio. Tačiau per kelias minutes vienas berniukas pasakė, kad problemą išsprendė. Tai buvo 9 metų Carlas Friedrichas Gaussas, vėliau vienas iš didžiausi matematikai istorijoje.

Mažojo Gauso idėja buvo tokia. Leisti

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Parašykime šią sumą atvirkštine tvarka:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

ir pridėkite šias dvi formules:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Kiekvienas terminas skliausteliuose yra lygus 101, o iš viso tokių terminų yra 100. Todėl

2S = 101 100 = 10100;

Mes naudojame šią idėją sumos formulei išvesti

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Naudinga (3) formulės modifikacija gaunama pakeičiant n-ojo nario formulę an = a1 + (n 1)d:

Užduotis 3. Raskite visų teigiamų triženklių skaičių, dalijamų iš 13, sumą.

Sprendimas. Triženkliai skaičiai, kurie yra 13 kartotiniai, sudaro aritmetinę progresiją, kurios pirmasis narys yra 104, o skirtumas yra 13; N-asis šios progresijos narys yra:

an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:

Sužinokime, kiek narių yra mūsų progrese. Norėdami tai padaryti, išsprendžiame nelygybę:

6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Taigi mūsų progrese yra 69 nariai. Pagal formulę (4) randame reikiamą kiekį:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Aritmetinės progresijos problemos egzistavo nuo senų senovės. Jie pasirodė ir reikalavo sprendimo, nes turėjo praktinį poreikį.

Taigi, viename iš papirusų Senovės Egiptas, turinčiame matematinį turinį – Rhindo papirusą (XIX a. pr. Kr.) – yra tokia užduotis: padalinti dešimt duonos matų dešimčiai žmonių, su sąlyga, kad skirtumas tarp jų yra viena aštuntadalis.

O senovės graikų matematiniuose darbuose yra elegantiškų teoremų, susijusių su aritmetine progresija. Taigi Hipsiklis iš Aleksandrijos (II a., sukūręs daug įdomių užduočių ir keturioliktąją knygą pridėjęs prie Euklido „Principų“) suformulavo idėją: „Aritmetinėje progresijoje, kuri lyginis skaičius narių, 2-osios pusės narių suma yra didesnė už 1-osios narių sumą kvadratu 1/2 narių skaičiaus.

Seka an yra pažymėta. Sekos skaičiai vadinami jos nariais ir dažniausiai žymimi raidėmis su indeksais, nurodančiais šio nario eilės numerį (a1, a2, a3 ... skaitykite: „a 1st“, „a 2nd“, „a 3rd“ ir taip toliau).

Seka gali būti begalinė arba baigtinė.

Kas yra aritmetinė progresija? Jis suprantamas kaip gautas pridedant ankstesnį terminą (n) su tuo pačiu skaičiumi d, kuris yra progresijos skirtumas.

Jei d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, tada tokia progresija laikoma didėjančia.

Sakoma, kad aritmetinė progresija yra baigtinė, jei atsižvelgiama tik į keletą pirmųjų jos narių. Labai dideliais kiekiais nariai jau yra begalinis progresas.

Bet kokia aritmetinė progresija pateikiama pagal šią formulę:

an =kn+b, o b ir k yra kai kurie skaičiai.

Teiginys, kuris yra priešingas, yra visiškai teisingas: jei seka pateikiama panašia formule, tai yra būtent aritmetinė progresija, turinti savybes:

1. Kiekvienas progresijos narys yra ankstesnio ir kito nario aritmetinis vidurkis.
2. Priešingai: jei, pradedant nuo 2-osios, kiekvienas narys yra ankstesnio ir kito nario aritmetinis vidurkis, t.y. jei sąlyga įvykdyta, tai duotoji seka yra aritmetinė progresija. Ši lygybė kartu yra ir progresavimo požymis, todėl dažniausiai vadinama būdinga progresijos savybe.
   Lygiai taip pat teisinga šią savybę atspindinti teorema: seka yra aritmetinė progresija tik tuo atveju, jei ši lygybė teisinga bet kuriam sekos nariui, pradedant nuo 2-osios.

Bet kurių keturių aritmetinės progresijos skaičių būdingą savybę galima išreikšti formule an + am = ak + al, jei n + m = k + l (m, n, k yra progresijos skaičiai).

Aritmetinėje progresijoje bet kurį būtiną (N-ąjį) narį galima rasti taikant šią formulę:

Pavyzdžiui: pirmasis aritmetinės progresijos narys (a1) yra lygus trims, o skirtumas (d) lygus keturiems. Turite rasti keturiasdešimt penktąjį šios progresijos terminą. a45 = 1+4(45-1)=177

Formulė an = ak + d(n - k) leidžia nustatyti n-ąjį aritmetinės progresijos narį per bet kurį k-ąjį narį, jei jis žinomas.

Aritmetinės progresijos narių suma (darant prielaidą, kad galutinės progresijos 1-ieji n nariai) apskaičiuojama taip:

Sn = (a1+an) n/2.

Jei žinomas ir 1-asis terminas, tada skaičiavimui patogu naudoti kitą formulę:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Aritmetinės progresijos, kurią sudaro n narių, suma apskaičiuojama taip:

Skaičiavimų formulių pasirinkimas priklauso nuo užduočių sąlygų ir pradinių duomenų.

Natūralioji bet kokių skaičių, pvz., 1,2,3,...,n,...- paprasčiausias pavyzdys aritmetinė progresija.

Be aritmetinės progresijos, yra ir geometrinė, kuri turi savo savybes ir charakteristikas.

Aritmetinė progresija pavadinkite skaičių seką (progresijos narius)

Kuriame kiekvienas paskesnis terminas skiriasi nuo ankstesnio plieno terminu, kuris taip pat vadinamas žingsnio ar progreso skirtumas.

Taigi, nustatę progresijos žingsnį ir pirmąjį jo terminą, naudodami formulę galite rasti bet kurį jo elementą

Aritmetinės progresijos savybės

1) Kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrojo skaičiaus, yra ankstesnio ir kito progresijos nario aritmetinis vidurkis

Priešingai irgi tiesa. Jei gretimų nelyginių (lyginių) progresijos narių aritmetinis vidurkis yra lygus nariui, kuris yra tarp jų, tai ši skaičių seka yra aritmetinė progresija. Šiuo teiginiu labai lengva patikrinti bet kokią seką.

Taip pat pagal aritmetinės progresijos savybę aukščiau pateiktą formulę galima apibendrinti taip

Tai lengva patikrinti, jei terminus rašome lygybės ženklo dešinėje

Jis dažnai naudojamas praktikoje, siekiant supaprastinti problemų skaičiavimus.

2) Pirmųjų n aritmetinės progresijos narių suma apskaičiuojama pagal formulę

Gerai atsiminkite aritmetinės progresijos sumos formulę, ji yra būtina skaičiavimuose ir gana įprasta paprastose gyvenimo situacijose.

3) Jei jums reikia rasti ne visą sumą, o dalį sekos, pradedant nuo k-ojo nario, tada jums pravers ši sumos formulė

4) Praktiškai svarbu rasti aritmetinės progresijos, prasidedančios nuo k-ojo skaičiaus, n narių sumą. Norėdami tai padaryti, naudokite formulę

Čia teorinė medžiaga baigiasi ir pereinama prie praktikoje įprastų problemų sprendimo.

1 pavyzdys. Raskite keturiasdešimtąjį aritmetinės progresijos 4;7 narį;...

Sprendimas:

Pagal būklę turime

Apibrėžkite progresavimo žingsnį

Pagal gerai žinomą formulę randame keturiasdešimtąjį progresijos narį

2 pavyzdys. Aritmetinę progresiją pateikia trečiasis ir septintasis nariai. Raskite pirmąjį progresijos narį ir dešimties sumą.

Sprendimas:

Duotus progresijos elementus užrašome pagal formules

Pirmąją lygtį atimame iš antrosios lygties, todėl randame progresavimo žingsnį

Rasta reikšmė pakeičiama į bet kurią iš lygčių, kad būtų galima rasti pirmąjį aritmetinės progresijos narį

Apskaičiuokite pirmųjų dešimties progresijos narių sumą

Netaikant sudėtingų skaičiavimų, radome visas reikalingas reikšmes.

3 pavyzdys. Aritmetinė progresija pateikiama iš vardiklio ir vieno iš jo narių. Raskite pirmąjį progresijos narį, jo 50 narių sumą, pradedant nuo 50, ir pirmųjų 100 sumą.

Sprendimas:

Parašykime šimtosios progresijos elemento formulę

ir susirask pirmąjį

Remdamiesi pirmuoju, randame 50-ąjį progresijos terminą

Progresijos dalies sumos radimas

ir pirmųjų 100 suma

Progresijos suma yra 250.

4 pavyzdys

Raskite aritmetinės progresijos narių skaičių, jei:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Sprendimas:

Rašome lygtis pagal pirmąjį narį ir progresijos žingsnį ir jas apibrėžiame

Gautas reikšmes pakeičiame į sumos formulę, kad nustatytų terminų skaičių sumoje

Supaprastinimų darymas

ir išspręskite kvadratinę lygtį

Iš dviejų rastų verčių problemos būklei tinka tik skaičius 8. Taigi pirmųjų aštuonių progresijos narių suma yra 111.

5 pavyzdys

išspręsti lygtį

1+3+5+...+x=307.

Sprendimas: ši lygtis yra aritmetinės progresijos suma. Išrašome pirmąjį jo terminą ir nustatome progresijos skirtumą