Alfa žymi realųjį skaičių. Lygybės ženklas aukščiau pateiktose išraiškose rodo, kad jei prie begalybės pridėsite skaičių arba begalybę, niekas nepasikeis, rezultatas bus ta pati begalybė. Jei kaip pavyzdį paimsime begalinę natūraliųjų skaičių aibę, nagrinėjamus pavyzdžius galima pavaizduoti taip:

Norėdami vizualiai įrodyti savo atvejį, matematikai sugalvojo daugybę skirtingų metodų. Asmeniškai aš į visus šiuos metodus žiūriu kaip į šamanų šokius su tamburinais. Iš esmės jie visi susiveda į tai, kad arba kai kurie kambariai yra neapgyvendinti ir juose įsikuria nauji svečiai, arba dalis lankytojų išmeta į koridorių, kad būtų vietos svečiams (labai žmogiškai). Savo požiūrį į tokius sprendimus pateikiau fantastiškos istorijos apie blondinę forma. Kuo remiasi mano samprotavimai? Perkelti begalinį lankytojų skaičių užtrunka be galo daug laiko. Kai atlaisvinsime pirmąjį svečių kambarį, vienas iš lankytojų visada eis koridoriumi iš savo kambario į kitą iki laiko pabaigos. Žinoma, laiko faktorių galima kvailai ignoruoti, bet tai jau bus iš kategorijos „įstatymas ne kvailiams parašytas“. Viskas priklauso nuo to, ką mes darome: prideriname tikrovę prie matematinių teorijų ar atvirkščiai.

Kas yra „begalinis viešbutis“? Infinity Inn yra užeiga, kurioje visada yra bet koks laisvų vietų skaičius, nesvarbu, kiek kambarių yra užimta. Jei begaliniame „lankytojams“ koridoriuje visi kambariai užimti, yra dar vienas begalinis prieškambaris su patalpomis „svečiams“. Tokių koridorių bus be galo daug. Tuo pačiu metu „begalinis viešbutis“ turi begalinį aukštų skaičių begaliniame pastatų skaičiuje begaliniame skaičiuje planetų begaliniame skaičiuje visatų, sukurtų begalinio skaičiaus dievų. Matematikai, atvirkščiai, nesugeba atitolti nuo banalių kasdienių problemų: Dievas-Allah-Buda visada tik vienas, viešbutis – vienas, koridorius – tik vienas. Tad matematikai bando žongliruoti viešbučių kambarių eilės numeriais, įtikinėdami, kad galima „nustumdyti nepastumdytus“.

Savo samprotavimų logiką jums parodysiu naudodamas begalinės natūraliųjų skaičių aibės pavyzdį. Pirmiausia reikia atsakyti į labai paprastą klausimą: kiek natūraliųjų skaičių aibių egzistuoja – vienas ar daug? Nėra teisingo atsakymo į šį klausimą, nes mes patys sugalvojome skaičius, gamtoje skaičių nėra. Taip, Gamta puikiai moka skaičiuoti, tačiau tam ji naudoja kitus mums nepažįstamus matematinius įrankius. Kaip gamta galvoja, pasakysiu kitą kartą. Kadangi mes išradome skaičius, mes patys nuspręsime, kiek natūraliųjų skaičių aibių yra. Apsvarstykite abu variantus, kaip ir dera tikram mokslininkui.

Variantas vienas. „Duokite mums“ vieną natūraliųjų skaičių rinkinį, kuris ramiai guli lentynoje. Šį rinkinį paimame iš lentynos. Tai tiek, kitų natūraliųjų skaičių lentynoje neliko ir nėra kur imti. Negalime jo pridėti prie šio rinkinio, nes jį jau turime. O jeigu tu tikrai to nori? Jokiu problemu. Galime paimti vienetą iš jau paimto rinkinio ir grąžinti į lentyną. Po to galime paimti vienetą iš lentynos ir pridėti prie to, kas liko. Dėl to vėl gauname begalinę natūraliųjų skaičių aibę. Visas mūsų manipuliacijas galite parašyti taip:

Veiksmus surašiau algebriniu ir aibių teorijos žymėjimu, detaliai išvardijau aibės elementus. Indeksas rodo, kad turime vieną ir vienintelį natūraliųjų skaičių rinkinį. Pasirodo, natūraliųjų skaičių aibė išliks nepakitusi tik iš jos atėmus vieną ir pridėjus tą patį.

Antras variantas. Lentynoje turime daugybę skirtingų begalinių natūraliųjų skaičių rinkinių. Pabrėžiu – SKIRTINGI, nepaisant to, kad jie praktiškai nesiskiria. Mes paimame vieną iš šių rinkinių. Tada paimame vieną iš kitos natūraliųjų skaičių aibės ir pridedame prie jau paimtos aibės. Galime pridėti net dvi natūraliųjų skaičių aibes. Štai ką mes gauname:

Indeksai „vienas“ ir „du“ rodo, kad šie elementai priklausė skirtingiems rinkiniams. Taip, jei pridėsite vieną prie begalinės aibės, rezultatas taip pat bus begalinis aibė, tačiau jis nebus toks pat kaip pradinis rinkinys. Jei prie vienos begalinės aibės pridedama kita begalinė aibė, gaunama nauja begalinė aibė, susidedanti iš pirmųjų dviejų aibių elementų.

Natūraliųjų skaičių aibė naudojama skaičiuojant taip pat, kaip ir matavimų liniuotė. Dabar įsivaizduokite, kad prie liniuotės pridėjote vieną centimetrą. Tai jau bus kita eilutė, neprilygsta originalui.

Galite priimti arba nepriimti mano samprotavimų – tai jūsų pačių reikalas. Bet jei kada nors susidursite su matematinėmis problemomis, pagalvokite, ar einate klaidingų samprotavimų keliu, kurį minti matematikų kartos. Mat matematikos pamokos pirmiausia mumyse formuoja stabilų mąstymo stereotipą, o tik tada prideda mums protinių gebėjimų (arba atvirkščiai – atima laisvą mąstymą).

2019 m. rugpjūčio 4 d., sekmadienis

Rašiau poraštį straipsniui apie ir pamačiau šį nuostabų tekstą Vikipedijoje:

Skaitome: „... turtingas Babilono matematikos teorinis pagrindas neturėjo holistinio pobūdžio ir buvo sumažintas iki skirtingų metodų rinkinio, neturinčio bendros sistemos ir įrodymų bazės“.

Oho! Kokie mes protingi ir kaip gerai matome kitų trūkumus. Ar mums silpna žiūrėti į šiuolaikinę matematiką tame pačiame kontekste? Šiek tiek perfrazuodamas aukščiau pateiktą tekstą, aš asmeniškai gavau štai ką:

Turtingas šiuolaikinės matematikos teorinis pagrindas neturi holistinio pobūdžio ir yra sumažintas iki skirtingų skyrių rinkinio, neturinčio bendros sistemos ir įrodymų bazės.

Toli nepatvirtinsiu savo žodžių – jis turi kalbą ir sutartines, kurios skiriasi nuo daugelio kitų matematikos šakų kalbos ir susitarimų. Tie patys pavadinimai skirtingose ​​matematikos šakose gali turėti skirtingas reikšmes. Visą publikacijų ciklą noriu skirti ryškiausioms šiuolaikinės matematikos klaidoms. Greitai pasimatysime.

Šeštadienis, 2019 m. rugpjūčio 3 d

Kaip aibę padalyti į poaibius? Norėdami tai padaryti, turite įvesti naują matavimo vienetą, kuris yra kai kuriuose pasirinkto rinkinio elementuose. Apsvarstykite pavyzdį.

Tegul turime daug BET susidedantis iš keturių žmonių. Šis rinkinys sudarytas remiantis „žmonėmis“ Pažymėkime šio rinkinio elementus raide a, indeksas su skaičiumi nurodys kiekvieno šio rinkinio asmens eilės numerį. Įveskime naują matavimo vienetą „lytinė savybė“ ir pažymėkime jį raide b. Kadangi seksualinės savybės būdingos visiems žmonėms, mes padauginame kiekvieną rinkinio elementą BET dėl lyties b. Atkreipkite dėmesį, kad mūsų rinkinys „žmonės“ dabar tapo rinkiniu „žmonės su lytimi“. Po to seksualines savybes galime suskirstyti į vyriškas bm ir moterų bw lyties ypatumai. Dabar galime pritaikyti matematinį filtrą: pasirenkame vieną iš šių seksualinių savybių, nesvarbu, kuri iš jų yra vyras ar moteris. Jei žmoguje yra, tai dauginame iš vieneto, jei tokio ženklo nėra, dauginame iš nulio. Ir tada taikome įprastą mokyklinę matematiką. Pažiūrėkite, kas atsitiko.

Po padauginimo, sumažinimų ir pertvarkymų gavome du poaibius: vyriškąjį bm ir moterų pogrupis bw. Maždaug taip pat samprotauja matematikai, taikydami aibių teoriją praktikoje. Tačiau jie neįleidžia mūsų į smulkmenas, o pateikia galutinį rezultatą – „daug žmonių susideda iš vyrų ir moterų pogrupio“. Natūralu, kad jums gali kilti klausimas, kaip teisingai pritaikė matematiką aukščiau pateiktose transformacijose? Drįstu patikinti, kad iš tikrųjų transformacijos atliekamos teisingai, užtenka žinoti aritmetikos, Būlio algebros ir kitų matematikos skyrių matematinį pagrindimą. Kas tai yra? Kažkada apie tai papasakosiu.

Kalbant apie superrinkinius, galima sujungti du rinkinius į vieną superrinkinį, pasirenkant matavimo vienetą, kuris yra šių dviejų rinkinių elementuose.

Kaip matote, matavimo vienetai ir įprasta matematika aibių teoriją paverčia praeitimi. Požymis, kad su aibių teorija ne viskas gerai, yra tai, kad matematikai sugalvojo aibių teoriją savo kalba ir savo pavadinimais. Matematikai darė tai, ką kadaise darė šamanai. Tik šamanai moka „teisingai“ pritaikyti savo „žinias“. Šių „žinių“ jie mus moko.

Galiausiai noriu parodyti, kaip matematikai manipuliuoja .

Pirmadienis, 2019 m. sausio 7 d

Penktame amžiuje prieš Kristų senovės graikų filosofas Zenonas iš Elėjos suformulavo savo garsiąsias aporijas, iš kurių garsiausia yra aporija „Achilas ir vėžlys“. Štai kaip tai skamba:

Tarkime, Achilas bėga dešimt kartų greičiau už vėžlį ir nuo jo atsilieka tūkstančiu žingsnių. Per tą laiką, per kurį Achilas nubėga šį atstumą, vėžlys nušliaužia šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Kai Achilas nubėgs šimtą žingsnių, vėžlys nuropos dar dešimt žingsnių ir t.t. Procesas tęsis neribotą laiką, Achilas niekada nepasivys vėžlio.

Šis samprotavimas tapo logišku šoku visoms vėlesnėms kartoms. Aristotelis, Diogenas, Kantas, Hegelis, Gilbertas... Visi jie vienaip ar kitaip laikė Zenono aporijomis. Šokas buvo toks stiprus, kad " ... diskusijos tebesitęsia ir šiuo metu, mokslo bendruomenei dar nepavyko susidaryti bendros nuomonės apie paradoksų esmę ... nagrinėjant klausimą buvo įtraukta matematinė analizė, aibių teorija, nauji fizikiniai ir filosofiniai požiūriai. ; nė vienas iš jų netapo visuotinai priimtu problemos sprendimu..."[Wikipedia," Zenono Aporijos "]. Visi supranta, kad yra kvailinami, bet niekas nesupranta, kas yra apgaulė.

Matematikos požiūriu Zenonas savo aporijoje aiškiai pademonstravo perėjimą nuo vertės prie. Šis perėjimas reiškia, kad reikia taikyti vietoj konstantų. Kiek suprantu, matematinis aparatas kintamiems matavimo vienetams taikyti arba dar nėra sukurtas, arba nepritaikytas Zenono aporijai. Įprastos logikos taikymas įveda mus į spąstus. Mes pagal mąstymo inerciją abipusiam koeficientui taikome pastovius laiko vienetus. Žvelgiant iš fizinės pusės, atrodo, kad laikas sulėtėja ir visiškai sustoja tuo metu, kai Achilas pasiveja vėžlį. Jei laikas sustoja, Achilas nebegali aplenkti vėžlio.

Jei pasukame įprastą logiką, viskas stoja į savo vietas. Achilas bėga pastoviu greičiu. Kiekvienas paskesnis jo kelio segmentas yra dešimt kartų trumpesnis nei ankstesnis. Atitinkamai, laikas, skirtas jai įveikti, yra dešimt kartų mažesnis nei ankstesnis. Jei šioje situacijoje pritaikytume „begalybės“ sąvoką, tai būtų teisinga sakyti „Achilas be galo greitai aplenks vėžlį“.

Kaip išvengti šių loginių spąstų? Laikykitės pastovių laiko vienetų ir neperjunkite prie abipusių verčių. Zenono kalba tai atrodo taip:

Per tą laiką, kurio Achilui reikia nubėgti tūkstantį žingsnių, vėžlys nušliaužia šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Per kitą laiko intervalą, lygų pirmajam, Achilas nubėgs dar tūkstantį žingsnių, o vėžlys nuropos šimtą žingsnių. Dabar Achilas aštuoniais šimtais žingsnių lenkia vėžlį.

Šis požiūris adekvačiai apibūdina tikrovę be jokių loginių paradoksų. Tačiau tai nėra visiškas problemos sprendimas. Einšteino teiginys apie šviesos greičio neįveikiamumą labai panašus į Zenono aporiją „Achilas ir vėžlys“. Dar turime išstudijuoti, permąstyti ir išspręsti šią problemą. Ir sprendimo reikia ieškoti ne be galo dideliais skaičiais, o matavimo vienetais.

Kita įdomi Zenono aporija pasakoja apie skrendančią strėlę:

Skraidanti strėlė yra nejudanti, nes kiekvienu laiko momentu ji yra ramybės būsenoje, o kadangi ji ilsisi kiekvienu laiko momentu, ji visada yra ramybės būsenoje.

Šioje aporijoje loginis paradoksas įveikiamas labai paprastai – užtenka patikslinti, kad kiekvienu laiko momentu skraidanti strėlė stovi skirtinguose erdvės taškuose, o tai iš tikrųjų yra judėjimas. Čia reikia pažymėti dar vieną dalyką. Iš vienos automobilio nuotraukos kelyje neįmanoma nustatyti nei jo judėjimo fakto, nei atstumo iki jo. Norint nustatyti automobilio judėjimo faktą, reikalingos dvi nuotraukos, darytos iš to paties taško skirtingu laiku, tačiau jomis negalima nustatyti atstumo. Norėdami nustatyti atstumą iki automobilio, jums reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš skirtingų erdvės taškų vienu metu, tačiau iš jų negalite nustatyti judėjimo fakto (natūralu, kad jums vis tiek reikia papildomų duomenų skaičiavimams, trigonometrija jums padės). Į ką noriu atkreipti dėmesį Ypatingas dėmesys, yra tai, kad du laiko taškai ir du erdvės taškai yra skirtingi dalykai, kurių nereikėtų painioti, nes jie suteikia skirtingas tyrinėjimo galimybes.

2018 m. liepos 4 d., trečiadienis

Aš jums tai jau sakiau, kurio pagalba šamanai bando rūšiuoti „“ realijas. Kaip jie tai padaro? Kaip iš tikrųjų vyksta rinkinio formavimas?

Pažvelkime atidžiau į rinkinio apibrėžimą: „skirtingų elementų rinkinys, suvokiamas kaip viena visuma“. Dabar pajuskite skirtumą tarp dviejų frazių: „galvojama kaip visuma“ ir „galvojama kaip visuma“. Pirmoji frazė yra galutinis rezultatas, daugybė. Antroji frazė yra išankstinis pasiruošimas rinkinio formavimui. Šiame etape tikrovė yra padalinta į atskirus elementus („visumą“), iš kurių vėliau bus suformuota daugybė („viena visuma“). Tuo pačiu metu atidžiai stebimas veiksnys, leidžiantis sujungti „visumą“ į „vieną visumą“, kitaip šamanams nepasiseks. Juk šamanai iš anksto tiksliai žino, kokį rinkinį nori mums pademonstruoti.

Procesą parodysiu pavyzdžiu. Renkamės „raudona kieta spuogelyje“ – tai mūsų „visa“. Tuo pačiu matome, kad šie dalykai yra su lanku, o yra be lanko. Po to išrenkame dalį „visumos“ ir suformuojame rinkinį „su lanku“. Taip šamanai maitinasi, susiedami savo aibių teoriją su realybe.

Dabar padarykime nedidelį triuką. Paimkime „kietą spuogelyje su lanku“ ir sujungsime šiuos „visumus“ pagal spalvą, parinkdami raudonus elementus. Gavome daug „raudonos“. Dabar sudėtingas klausimas: ar gauti rinkiniai „su lanku“ ir „raudona“ yra tas pats rinkinys, ar du skirtingi rinkiniai? Tik šamanai žino atsakymą. Tiksliau, jie patys nieko nežino, bet kaip sako, taip ir yra.

Šis paprastas pavyzdys rodo, kad aibių teorija yra visiškai nenaudinga, kai kalbama apie tikrovę. Kokia paslaptis? Suformavome rinkinį „raudoną kietą spuogelį su lankeliu“. Formavimas vyko pagal keturis skirtingus matavimo vienetus: spalvą (raudona), stiprumą (vientisą), šiurkštumą (guzelyje), dekoracijas (su lanku). Tik matavimo vienetų rinkinys leidžia matematikos kalba adekvačiai apibūdinti tikrus objektus. Štai kaip tai atrodo.

Raidė „a“ su skirtingais indeksais žymi skirtingus matavimo vienetus. Skliausteliuose paryškinami matavimo vienetai, pagal kuriuos preliminariame etape paskirstoma „visa“. Matavimo vienetas, pagal kurį formuojamas rinkinys, išimamas iš skliaustų. Paskutinėje eilutėje rodomas galutinis rezultatas – rinkinio elementas. Kaip matote, jei aibei sudaryti naudojame vienetus, tai rezultatas nepriklauso nuo mūsų veiksmų eilės. Ir tai yra matematika, o ne šamanų šokiai su tamburinais. Šamanai gali „intuityviai“ pasiekti tą patį rezultatą, argumentuodami jį „akivaizdumu“, nes matavimo vienetai nėra įtraukti į jų „mokslinį“ arsenalą.

Matavimo vienetų pagalba labai lengva sulaužyti vieną arba sujungti kelis rinkinius į vieną superkomplektą. Pažvelkime atidžiau į šio proceso algebrą.

Šeštadienis, 2018 m. birželio 30 d

Jei matematikai negali redukuoti sąvokos į kitas sąvokas, tai jie matematikoje nieko nesupranta. Atsakau: kuo vienos aibės elementai skiriasi nuo kitos aibės elementų? Atsakymas labai paprastas: skaičiai ir matavimo vienetai.

Būtent šiandien viskas, ko nepaimame, priklauso kokiai nors aibei (kaip tikina matematikai). Beje, ar matėte veidrodyje ant kaktos sąrašą tų rinkinių, kuriems priklausote? Ir aš nemačiau tokio sąrašo. Pasakysiu daugiau – realybėje ne vienas daiktas turi etiketę su rinkinių sąrašu, kuriam šis daiktas priklauso. Visi rinkiniai yra šamanų išradimai. Kaip jie tai padaro? Pažiūrėkime šiek tiek giliau į istoriją ir pažiūrėkime, kaip atrodė rinkinio elementai, kol matematikai-šamanai juos išskyrė į savo rinkinius.

Seniai seniai, kai apie matematiką dar niekas negirdėjo, o žiedus turėjo tik medžiai ir Saturnas, fizikiniuose laukuose klajojo didžiulės laukinių aibių elementų bandos (juk šamanai dar nebuvo išradę matematinių laukų). Jie atrodė taip.

Taip, nenustebkite, matematikos požiūriu visi aibių elementai yra labiausiai panašūs į jūros ežiai- iš vieno taško, kaip adatos, į visas puses kyšo matavimo vienetai. Tiems, kurie primenu, kad bet kurį matavimo vienetą galima geometriškai pavaizduoti kaip savavališko ilgio segmentą, o skaičių - kaip tašką. Geometriškai bet koks kiekis gali būti pavaizduotas kaip išsikišusių segmentų pluoštas skirtingos pusės iš vieno taško. Šis taškas yra nulinis. Nepiešsiu šio geometrinio meno kūrinio (be įkvėpimo), bet jūs galite lengvai jį įsivaizduoti.

Kokie matavimo vienetai sudaro aibės elementą? Visi, apibūdinantys šį elementą skirtingais požiūriais. Tai senovės matavimo vienetai, kuriuos naudojo mūsų protėviai ir kuriuos visi jau seniai pamiršo. Tai yra šiuolaikiniai matavimo vienetai, kuriuos naudojame dabar. Tai mums nežinomi matavimo vienetai, kuriuos sugalvos mūsų palikuonys ir kuriais jie apibūdins tikrovę.

Mes išsiaiškinome geometriją - siūlomas rinkinio elementų modelis turi aiškų geometrinį vaizdą. O kaip su fizika? Matavimo vienetai – tai tiesioginis ryšys tarp matematikos ir fizikos. Jei šamanai nepripažįsta matavimo vienetų kaip visaverčio matematinių teorijų elemento, tai yra jų problema. Aš asmeniškai neįsivaizduoju tikro matematikos mokslo be matavimo vienetų. Štai kodėl pačioje istorijos apie aibių teoriją pradžioje kalbėjau apie ją kaip apie akmens amžių.

Bet pereikime prie įdomiausio – prie aibių elementų algebros. Algebriškai bet kuris aibės elementas yra skirtingų dydžių sandauga (daugybos rezultatas).Atrodo taip.

Sąmoningai nenaudojau aibių teorijoje priimtų susitarimų, nes mes laikome aibės elementą natūrali aplinka buveinė prieš aibių teorijos atsiradimą. Kiekviena raidžių pora skliausteliuose reiškia atskirą reikšmę, kurią sudaro skaičius, pažymėtas raide " n" ir matavimo vienetai, pažymėti raide " a". Indeksai šalia raidžių rodo, kad skaičiai ir matavimo vienetai skiriasi. Vieną rinkinio elementą gali sudaryti begalinis skaičius reikšmių (jei tik mes ir mūsų palikuonys turėsime pakankamai fantazijos). Kiekvienas. laikiklis geometriškai pavaizduotas atskiru segmentu.Pavyzdyje su jūros ežiu vienas laikiklis yra viena adata.

Kaip šamanai formuoja rinkinius iš skirtingų elementų? Tiesą sakant, pagal matavimo vienetus arba pagal skaičius. Nieko nesuprasdami matematikos, jie paima skirtingus jūros ežius ir atidžiai juos apžiūri ieškodami tos vienintelės adatos, kuria jie sudaro rinkinį. Jei tokia adata yra, tai šis elementas priklauso rinkiniui, jei tokios adatos nėra, šis elementas nėra iš šio rinkinio. Šamanai mums pasakoja pasakėčias apie psichinius procesus ir vieną visumą.

Kaip jau spėjote, tas pats elementas gali priklausyti įvairiems rinkiniams. Toliau parodysiu, kaip formuojasi aibės, poaibiai ir kitos šamanistinės nesąmonės. Kaip matote, „rinkinys negali turėti dviejų vienodų elementų“, tačiau jei rinkinyje yra identiški elementai, toks rinkinys vadinamas „multisetu“. Protingos būtybės niekada nesupras tokios absurdo logikos. Tai kalbančių papūgų ir dresuotų beždžionių lygis, kuriame žodžio „visiškai“ nėra proto. Matematikai veikia kaip paprasti treneriai, skelbiantys mums savo absurdiškas idėjas.

Kadaise tiltą statę inžinieriai per tilto bandymus buvo po tiltu valtyje. Jei tiltas sugriuvo, vidutinis inžinierius mirė po savo kūrinio griuvėsiais. Jei tiltas atlaikė apkrovą, talentingas inžinierius pastatė kitus tiltus.

Kad ir kaip matematikai slepiasi po fraze „mink mane, aš namuose“, o tiksliau „matematika tiria abstrakčias sąvokas“, yra viena virkštelė, kuri jas neatsiejamai sieja su tikrove. Ši virkštelė yra pinigai. Taikykime matematinių aibių teoriją patiems matematikams.

Labai gerai mokėmės matematikos, o dabar sėdime prie kasos, mokame atlyginimus. Štai pas mus ateina matematikas už savo pinigus. Suskaičiuojame jam visą sumą ir išdėliojame ant savo stalo į skirtingas krūvas, į kurias dedame to paties nominalo kupiūras. Tada iš kiekvienos krūvos paimame po vieną sąskaitą ir pateikiame matematikui jo „matematinį atlyginimo rinkinį“. Matematiką paaiškiname, kad likusias sąskaitas jis gaus tik tada, kai įrodys, kad aibė be identiškų elementų nėra lygi aibei su identiškais elementais. Čia ir prasideda linksmybės.

Visų pirma pasiteisins deputatų logika: „tu gali tai taikyti kitiems, bet ne man!“ Be to, prasidės garantijos, kad ant to paties nominalo banknotų yra skirtingi banknotų numeriai, o tai reiškia, kad jie negali būti laikomi identiškais elementais. Na, o atlyginimą skaičiuojame monetomis – ant monetų nėra skaičių. Čia matematikas pašėlusiai prisimins fiziką: skirtingos monetos turi skirtingą kiekį nešvarumų, kiekvienos monetos kristalų struktūra ir atomų išdėstymas yra unikalus ...

O dabar turiu daugiausia palūkanos Klausti: kur ta riba, už kurios daugiaaibės elementai virsta aibės elementais ir atvirkščiai? Tokios linijos nėra – viską sprendžia šamanai, mokslas čia nė iš tolo neprilygsta.

Paziurek cia. Mes pasirenkame futbolo stadionus, kurių aikštės plotas yra toks pat. Laukų plotas yra toks pat, vadinasi, turime multiset. Bet jei svarstysime tų pačių stadionų pavadinimus, gautume daug, nes pavadinimai skirtingi. Kaip matote, tas pats elementų rinkinys tuo pačiu metu yra ir rinkinys, ir daugialypės terpės rinkinys. Kaip teisingai? O štai matematikas-šamanas-šuleris iš rankovės išsitraukia kozirį tūzą ir pradeda mums pasakoti arba apie rinkinį, arba apie multisetą. Bet kokiu atveju jis įtikins mus, kad yra teisus.

Norint suprasti, kaip šiuolaikiniai šamanai operuoja su aibių teorija, siedami ją su realybe, pakanka atsakyti į vieną klausimą: kuo vienos aibės elementai skiriasi nuo kitos aibės elementų? Aš jums parodysiu be jokių „įsivaizduojamų kaip ne viena visuma“ ar „neįsivaizduojama kaip viena visuma“.

Skaičiuoklė padeda greitai padidinti skaičių iki galios internete. Laipsnio pagrindas gali būti bet koks skaičius (ir sveikasis, ir tikrasis). Rodiklis taip pat gali būti sveikasis arba tikrasis skaičius, taip pat teigiamas ir neigiamas. Reikėtų atsiminti, kad neigiamiems skaičiams didinimas iki ne sveikojo skaičiaus laipsnis nėra apibrėžtas, todėl skaičiuotuvas praneš apie klaidą, jei vis tiek bandysite tai padaryti.

Laipsnio skaičiuoklė

Pakelti iki galios

Didinimas: 46086

Kas yra natūrali skaičiaus galia?

Skaičius p vadinamas skaičiaus a n laipsniu, jei p yra lygus skaičiui a, padaugintam iš savęs n kartų: p \u003d a n \u003d a ... a
n - paskambino eksponentas, o skaičius a - laipsnio pagrindas.

Kaip pakelti skaičių iki natūralios galios?

Norėdami suprasti, kaip pakelti įvairius skaičius iki natūralių galių, apsvarstykite kelis pavyzdžius:

1 pavyzdys. Pakelkite skaičių tris iki ketvirtos laipsnio. Tai yra, reikia apskaičiuoti 3 4
Sprendimas: kaip minėta aukščiau, 3 4 = 3 3 3 3 = 81 .
Atsakymas: 3 4 = 81 .

2 pavyzdys. Pakelkite skaičių penktą iki penktos laipsnio. Tai yra, reikia apskaičiuoti 5 5
Sprendimas: panašiai 5 5 = 5 5 5 5 5 = 3125 .
Atsakymas: 5 5 = 3125 .

Taigi, norint padidinti skaičių iki natūralus laipsnis, tiesiog padauginkite jį iš savęs n kartų.

Kas yra neigiama skaičiaus galia?

Neigiamas a laipsnis -n yra padalintas iš a iki n laipsnio: a -n = .

Šiuo atveju neigiamas eksponentas egzistuoja tik skaičiams, išskyrus nulį, nes priešingu atveju įvyktų padalijimas iš nulio.

Kaip pakelti skaičių iki neigiamo sveikojo skaičiaus?

Norėdami pakelti ne nulį skaičių iki neigiamo laipsnio, turite apskaičiuoti šio skaičiaus reikšmę iki tos pačios teigiamos galios ir padalyti vieną iš rezultato.

1 pavyzdys. Pakelkite skaičių du iki minus ketvirtosios laipsnio. Tai yra, reikia apskaičiuoti 2 -4

Sprendimas: kaip minėta aukščiau, 2 -4 = = = 0,0625 .

Atsakymas: 2 -4 = 0.0625 .

Tęsiant pokalbį apie skaičiaus laipsnį, logiška spręsti laipsnio vertės nustatymą. Šis procesas buvo pavadintas eksponencija. Šiame straipsnyje mes tiesiog išnagrinėsime, kaip atliekamas eksponentas, paliesdami visus galimus rodiklius - natūralius, sveikuosius, racionalius ir neracionalius. Ir pagal tradiciją mes išsamiai apsvarstysime skaičių didinimo įvairiais laipsniais pavyzdžių sprendimus.

Puslapio naršymas.

Ką reiškia "eksponentacija"?

Pradėkime nuo paaiškinimo, kas vadinama eksponencija. Čia yra atitinkamas apibrėžimas.

Apibrėžimas.

Eksponentiškumas yra rasti skaičiaus laipsnio reikšmę.

Taigi, rasti laipsnio a reikšmę su laipsniu r ir padidinti skaičių a iki r laipsnio yra tas pats. Pavyzdžiui, jei užduotis yra „apskaičiuoti laipsnio reikšmę (0,5) 5“, tada ją galima performuluoti taip: „Pakelkite skaičių 0,5 iki laipsnio 5“.

Dabar galite pereiti tiesiai prie taisyklių, pagal kurias atliekamas eksponentas.

Skaičiaus pakėlimas iki natūralios galios

Praktikoje lygybė pagrįsta dažniausiai taikoma formoje . Tai yra, kai skaičius a padidinamas iki trupmeninės laipsnio m / n, pirmiausia išimama n-ojo laipsnio šaknis iš skaičiaus a, o po to rezultatas pakeliamas iki sveikojo skaičiaus laipsnio m.

Apsvarstykite didinimo iki trupmeninės galios pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite laipsnio reikšmę.

Sprendimas.

Mes parodome du sprendimus.

Pirmas būdas. Pagal laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu. Apskaičiuojame laipsnio reikšmę po šaknies ženklu, po to ištraukiame kubo šaknis: .

Antras būdas. Pagal laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu ir remiantis šaknų savybėmis, lygybės yra teisingos . Dabar ištraukite šaknį Galiausiai padidiname iki sveikojo skaičiaus laipsnio .

Akivaizdu, kad gauti pakėlimo iki trupmeninės galios rezultatai sutampa.

Atsakymas:

Atkreipkite dėmesį, kad trupmeninis rodiklis gali būti parašytas dešimtaine trupmena arba mišriu skaičiumi, tokiais atvejais jis turėtų būti pakeistas atitinkama įprasta trupmena, o tada turėtų būti atliktas eksponentas.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite (44,89) 2,5 .

Sprendimas.

Rodiklį įrašome formoje bendroji trupmena(jei reikia, žiūrėkite straipsnį): . Dabar atliekame kėlimą iki trupmeninės galios:

Atsakymas:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Taip pat reikia pasakyti, kad skaičių pakėlimas iki racionalių laipsnių yra gana daug pastangų reikalaujantis procesas (ypač kai trupmeninio rodiklio skaitiklis ir vardiklis yra gana dideli skaičiai), kuris dažniausiai atliekamas naudojant kompiuterines technologijas.

Baigdami šią pastraipą, mes apsistosime ties skaičiaus nuliu konstravimu iki trupmeninės laipsnio. Formos trupmeniniam nulio laipsniui suteikėme tokią reikšmę: nes turime , o nulis iki galios m/n neapibrėžtas. Taigi, pavyzdžiui, nuo nulio iki teigiamos trupmeninės galios yra nulis, . Ir nulis trupmeninėje neigiamoje galioje neturi prasmės, pavyzdžiui, išraiškos ir 0 -4,3 neturi prasmės.

Pakėlimas į neracionalią galią

Kartais prireikia išsiaiškinti skaičiaus laipsnio reikšmę su neracionaliuoju rodikliu. Šiuo atveju praktiniais tikslais dažniausiai pakanka gauti laipsnio reikšmę iki tam tikro ženklo. Iš karto pažymime, kad ši vertė praktiškai apskaičiuojama naudojant elektroninės skaičiavimo technologiją, nes padidinimas iki ir racionalus laipsnis rankiniu būdu reikalaujama didelis skaičius sudėtingi skaičiavimai. Bet vis dėlto veiksmų esmę apibūdinsime bendrai.

Norint gauti apytikslę laipsnio a reikšmę su neracionaliuoju rodikliu, imamas tam tikras rodiklio dešimtainis aproksimacija ir apskaičiuojama eksponento reikšmė. Ši reikšmė yra apytikslė skaičiaus a laipsnio reikšmė su neracionaliuoju rodikliu. Kuo tikslesnis dešimtainis skaičiaus aproksimavimas iš pradžių, tuo tikslesnė bus laipsnio reikšmė.

Kaip pavyzdį apskaičiuokime apytikslę 2 laipsnio reikšmę 1,174367... . Paimkime tokią iracionalaus rodiklio dešimtainę aproksimaciją: . Dabar pakeliame 2 iki racionalios galios 1,17 (šio proceso esmę aprašėme ankstesnėje pastraipoje), gauname 2 1,17 ≈ 2,250116. Šiuo būdu, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Jei imsime tikslesnį neracionalaus laipsnio dešimtainį aproksimaciją, pavyzdžiui, , gausime tikslesnę pradinio laipsnio reikšmę: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematikos Zh vadovėlis 5 ląstelėms. švietimo įstaigų.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 7 langeliams. švietimo įstaigų.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 8 langeliams. švietimo įstaigų.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 9 langeliams. švietimo įstaigų.
• Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnicinas Yu.P. ir kt.. Algebra ir analizės užuomazgos: vadovėlis bendrojo lavinimo įstaigų 10-11 klasei.
• Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiesiems į technikos mokyklas).

Kam reikalingi laipsniai?

Kur tau jų reikia?

Kodėl reikia skirti laiko jų studijavimui?

Norėdami sužinoti VISKĄ APIE LAIPSNIUS, perskaitykite šį straipsnį.

Ir, žinoma, mokslo laipsnių žinojimas priartins prie sėkmingo egzamino išlaikymo.

Ir įstoti į savo svajonių universitetą!

Eime... (Eime!)

PIRMAS LYGIS

Eksponentinis koeficientas yra ta pati matematinė operacija kaip sudėtis, atimtis, daugyba ar dalyba.

Dabar aš viską paaiškinsiu žmonių kalba paprasti pavyzdžiai. Būk atsargus. Pavyzdžiai yra elementarūs, bet paaiškina svarbius dalykus.

Pradėkime nuo papildymo.

Nėra čia ką aiškinti. Tu jau viską žinai: mūsų yra aštuoni. Kiekvienas turi du butelius kolos. Kiek kolos? Teisingai – 16 butelių.

Dabar daugyba.

Tą patį pavyzdį su kola galima parašyti kitaip: . Matematikai yra gudrūs ir tingūs žmonės. Pirmiausia jie pastebi kai kuriuos modelius, o tada sugalvoja, kaip juos greičiau „suskaičiuoti“. Mūsų atveju jie pastebėjo, kad kiekvienas iš aštuonių žmonių turėjo tiek pat butelių kolos ir sugalvojo techniką, vadinamą daugyba. Sutikite, manoma, kad tai lengviau ir greičiau nei.

Taigi, norint suskaičiuoti greičiau, lengviau ir be klaidų, tereikia atsiminti daugybos lentelę. Žinoma, viską galima daryti lėčiau, sunkiau ir su klaidomis! Bet…

Čia yra daugybos lentelė. Pakartokite.

Ir dar vienas gražesnis:

O kokių dar gudrių skaičiavimo gudrybių sugalvojo tingūs matematikai? Teisingai - skaičiaus pakėlimas į laipsnį.

Skaičiaus pakėlimas į laipsnį

Jei jums reikia skaičių padauginti iš savęs penkis kartus, tada matematikai sako, kad jums reikia pakelti šį skaičių iki penktos laipsnio. Pavyzdžiui, . Matematikai prisimena, kad nuo dviejų iki penktos galios yra. Ir tokias problemas jie išsprendžia mintyse – greičiau, lengviau ir be klaidų.

Norėdami tai padaryti, jums tereikia prisiminkite, kas skaičių galių lentelėje paryškinta spalva. Patikėkite, tai labai palengvins jūsų gyvenimą.

Beje, kodėl vadinamas antrasis laipsnis kvadratas skaičiai, o trečiasis kubas? Ką tai reiškia? Labai geras klausimas. Dabar turėsite ir kvadratų, ir kubelių.

1 pavyzdys realiame gyvenime

Pradėkime nuo kvadrato arba antrosios skaičiaus laipsnio.

Įsivaizduokite kvadratinį baseiną, kurio matmenys yra metrai metrais. Baseinas yra jūsų kieme. Karšta ir aš labai noriu maudytis. Bet ... baseinas be dugno! Būtina iškloti baseino dugną plytelėmis. Kiek plytelių jums reikia? Norėdami tai nustatyti, turite žinoti baseino dugno plotą.

Tiesiog bakstelėję pirštu galite suskaičiuoti, kad baseino dugną sudaro metras po metro kubeliai. Jei jūsų plytelės yra metras po metro, jums reikės vienetų. Tai lengva... Bet kur tu matei tokią plytelę? Plytelė greičiau bus cm po cm, o tada jus kankins „skaičiuoti pirštu“. Tada reikia daugintis. Taigi vienoje baseino dugno pusėje klijuosime plyteles (gabalėlius), o kitoje – taip pat plyteles. Padauginus iš, gausite plyteles ().

Ar pastebėjote, kad tą patį skaičių padauginome iš savęs, norėdami nustatyti baseino dugno plotą? Ką tai reiškia? Kadangi tas pats skaičius padauginamas, galime naudoti eksponencijos techniką. (Žinoma, kai turi tik du skaičius, vis tiek reikia juos padauginti arba pakelti į laipsnį. Bet jei jų turi daug, tai pakelti iki laipsnio yra daug lengviau, o skaičiavimuose taip pat yra mažiau klaidų . Egzaminui tai labai svarbu).
Taigi, trisdešimties iki antrojo laipsnio bus (). Arba galite pasakyti, kad bus trisdešimt kvadratų. Kitaip tariant, antrąją skaičiaus laipsnį visada galima pavaizduoti kaip kvadratą. Ir atvirkščiai, jei matote kvadratą, tai VISADA yra antroji kokio nors skaičiaus laipsnė. Kvadratas yra antrosios skaičiaus laipsnio vaizdas.

2 realaus gyvenimo pavyzdys

Štai jums užduotis: suskaičiuokite, kiek langelių yra šachmatų lentoje, naudodami skaičiaus kvadratą... Vienoje langelių pusėje ir kitoje. Norėdami suskaičiuoti jų skaičių, turite aštuonis padauginti iš aštuonių arba ... jei pastebėsite, kad šachmatų lenta yra kvadratas su kraštine, tuomet galite kvadratu aštuonis. Gaukite ląstelių. () Taigi?

3 pavyzdys realiame gyvenime

Dabar kubas arba trečioji skaičiaus laipsnė. Tas pats baseinas. Tačiau dabar reikia išsiaiškinti, kiek vandens teks įpilti į šį baseiną. Reikia apskaičiuoti tūrį. (Tūriai ir skysčiai, beje, matuojami kubiniais metrais. Netikėta, tiesa?) Nubraižykite baseiną: vieno metro dydžio ir metro gylio dugną ir pabandykite suskaičiuoti, kiek kubelių, kurių matmenys metras ir metras pateks į jūsų baseinas.

Tiesiog parodyk pirštu ir skaičiuok! Vienas, du, trys, keturi...dvidešimt du, dvidešimt trys... Kiek išėjo? Ar nepasiklydo? Ar sunku suskaičiuoti pirštu? Taigi tai! Paimkite pavyzdį iš matematikų. Jie yra tinginiai, todėl pastebėjo, kad norint apskaičiuoti baseino tūrį, reikia padauginti jo ilgį, plotį ir aukštį vieną iš kito. Mūsų atveju baseino tūris bus lygus kubeliams... Lengviau, tiesa?

Dabar įsivaizduokite, kokie tingūs ir gudrūs yra matematikai, jei tai daro per daug lengva. Sumažino viską iki vieno veiksmo. Jie pastebėjo, kad ilgis, plotis ir aukštis yra lygūs ir kad tas pats skaičius padauginamas iš savęs... O ką tai reiškia? Tai reiškia, kad galite naudoti laipsnį. Taigi, ką kažkada suskaičiavote pirštu, jie padaro vienu veiksmu: trys kube yra lygūs. Tai parašyta taip:

Lieka tik įsiminti laipsnių lentelę. Nebent, žinoma, esate toks pat tingus ir gudrus kaip matematikai. Jei mėgstate sunkiai dirbti ir klysti, galite ir toliau skaičiuoti pirštu.

Na, o tam, kad pagaliau jus įtikintumėte, jog laipsnius sugalvojo palaidūnai ir gudruoliai, norėdami išspręsti savo gyvenimo problemas, o ne jums pridaryti problemų, štai dar pora pavyzdžių iš gyvenimo.

4 pavyzdys realiame gyvenime

Jūs turite milijoną rublių. Kiekvienų metų pradžioje už kiekvieną milijoną uždirbate po vieną milijoną. Tai yra, kiekvienas jūsų milijonas kiekvienų metų pradžioje padvigubėja. Kiek pinigų turėsite po metų? Jei dabar sėdi ir „skaičiuoji pirštu“, vadinasi, esi labai darbštus žmogus ir .. kvailas. Bet greičiausiai atsakymą pateiksite per porą sekundžių, nes esate protingas! Taigi, pirmaisiais metais – du kart du... antraisiais – kas atsitiko, dar dviem, trečiais... Stop! Pastebėjote, kad skaičius padauginamas iš savęs vieną kartą. Taigi nuo dviejų iki penktos galios yra milijonas! Dabar įsivaizduokite, kad turite konkursą ir tas, kuris greičiau skaičiuos, gaus šiuos milijonus... Ar verta prisiminti skaičių laipsnius, ką manote?

5 pavyzdys realiame gyvenime

Tu turi milijoną. Kiekvienų metų pradžioje už kiekvieną milijoną uždirbate dar dviem. Tai puiku, tiesa? Kiekvienas milijonas patrigubinamas. Kiek pinigų turėsi per metus? Suskaičiuokime. Pirmi metai - dauginkite iš, paskui rezultatas iš kitų... Jau nuobodu, nes jau viską supratai: trys padauginami iš savęs kartų. Taigi ketvirtoji galia yra milijonas. Jums tereikia atsiminti, kad nuo trijų iki ketvirtos galios yra arba.

Dabar jūs žinote, kad padidinę skaičių iki galios, jūs žymiai palengvinsite savo gyvenimą. Pažvelkime toliau, ką galite padaryti su laipsniais ir ką apie juos reikia žinoti.

Terminai ir sąvokos ... kad nesusipainiotumėte

Taigi, pirmiausia apibrėžkime sąvokas. Ką tu manai, kas yra eksponentas? Tai labai paprasta – tai yra skaičius, kuris yra skaičiaus galios „viršuje“. Ne mokslinis, bet aiškus ir lengvai įsimenamas ...

Na, tuo pačiu ir ką toks laipsnio pagrindas? Dar paprastesnis yra skaičius, kuris yra apačioje, apačioje.

Štai nuotrauka, kad įsitikintumėte.

Na ir į vidų bendras vaizdas apibendrinti ir geriau atsiminti... Laipsnis su baze "" ir laipsniu "" skaitomas kaip "iki laipsnio" ir rašomas taip:

Skaičiaus su natūraliuoju rodikliu galia

Tikriausiai jau atspėjote: nes eksponentas yra natūralusis skaičius. Taip, bet kas yra natūralusis skaičius? Elementaru! Natūralūs skaičiai yra tie, kurie naudojami skaičiuojant surašant elementus: vienas, du, trys ... Kai skaičiuojame elementus, nesakome: „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. Mes taip pat nesakome „trečdalis“ ar „nulis taško penkios dešimtosios“. Tai nėra natūralūs skaičiai. Kaip manote, kokie tai skaičiai?

Tokie skaičiai kaip „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. Sveiki skaičiai. Apskritai sveikieji skaičiai apima visus natūraliuosius skaičius, skaičius, priešingus natūraliems skaičiams (tai yra, paimtus su minuso ženklu) ir skaičių. Nulį lengva suprasti – tai tada, kai nieko nėra. O ką reiškia neigiami („minusiniai“) skaičiai? Tačiau jie buvo išrasti pirmiausia skoloms žymėti: jei telefone turite likutį rubliais, tai reiškia, kad esate skolingas operatoriui rublių.

Visos trupmenos yra racionalūs numeriai. Kaip manote, kaip jie atsirado? Labai paprasta. Prieš kelis tūkstančius metų mūsų protėviai atrado, kad neturi pakankamai natūralių skaičių ilgiui, svoriui, plotui ir kt. Ir jie sugalvojo racionalūs numeriai... Įdomu, ar ne?

Yra ir neracionalių skaičių. Kokie tai skaičiai? Trumpai tariant, be galo dešimtainis. Pavyzdžiui, jei apskritimo perimetrą padalinsite iš jo skersmens, gausite neracionalų skaičių.

Santrauka:

Apibrėžkime laipsnio sąvoką, kurios rodiklis yra natūralusis skaičius (tai yra sveikasis skaičius ir teigiamas).

1. Bet kuris skaičius iki pirmosios laipsnio yra lygus sau:
2. Norėdami padalyti skaičių kvadratu, padauginkite jį iš savęs:
3. Skaičius kubu reiškia jį padauginti iš savęs tris kartus:

Apibrėžimas. Padidinti skaičių iki natūralios laipsnio reiškia skaičių padauginti iš savęs kartų:
.

Laipsnio savybės

Iš kur atsirado šios savybės? Aš tau dabar parodysiu.

Pažiūrėkime, kas yra ir ?

Pagal apibrėžimą:

Kiek daugiklių iš viso yra?

Tai labai paprasta: prie veiksnių pridėjome veiksnius, o rezultatas yra veiksniai.

Bet pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus su laipsniu laipsnis, tai yra: , kurį reikėjo įrodyti.

Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas:

Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas: Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklėje būtinai turi būti ta pati priežastis!
Todėl laipsnius deriname su baze, bet liekame atskiru veiksniu:

tik galių produktams!

Jokiu būdu neturėtumėte to rašyti.

2. tai yra - skaičiaus laipsnis

Kaip ir ankstesnėje savybėje, pereikime prie laipsnio apibrėžimo:

Pasirodo, išraiška padauginama iš savęs vieną kartą, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra skaičiaus laipsnis:

Tiesą sakant, tai gali būti vadinama „indikatoriaus kėlimu“. Bet jūs niekada negalite to padaryti iš viso:

Prisiminkime sutrumpinto daugybos formules: kiek kartų norėjome parašyti?

Bet tai netiesa, tikrai.

Laipsnis su neigiama baze

Iki šiol mes tik aptarėme, koks turėtų būti eksponentas.

Bet kas turėtų būti pagrindas?

Laipsniais nuo natūralus rodiklis pagrindas gali būti bet koks skaičius. Iš tiesų, galime padauginti bet kurį skaičių vienas iš kito, nesvarbu, ar jie yra teigiami, neigiami ar lyginiai.

Pagalvokime, kokie ženklai ("" arba "") turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnius?

Pavyzdžiui, ar skaičius bus teigiamas ar neigiamas? BET? ? Su pirmuoju viskas aišku: kad ir kiek teigiamų skaičių padaugintume vienas su kitu, rezultatas bus teigiamas.

Tačiau neigiami dalykai yra šiek tiek įdomesni. Juk iš 6 klasės prisimename paprastą taisyklę: „minusas kartelį minusas duoda pliusą“. Tai yra arba. Bet jei padauginsime iš, paaiškėja.

Pats nustatykite, kokį ženklą turės šie posakiai:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Ar susitvarkei?

Štai atsakymai: pirmuose keturiuose pavyzdžiuose, tikiuosi, viskas aišku? Tiesiog žiūrime į bazę ir eksponentą ir taikome atitinkamą taisyklę.

5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: nesvarbu, kam lygi bazė - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas.

Na, nebent kai bazė lygi nuliui. Pagrindas ne tas pats, ar ne? Akivaizdu, kad ne, nes (nes).

6 pavyzdys) nebėra toks paprastas!

6 praktikos pavyzdžiai

Sprendimo analizė 6 pavyzdžiai

visasįvardijame natūraliuosius skaičius, jų priešingybes (tai yra paimtus su ženklu "") ir skaičių.

teigiamas sveikasis skaičius, ir tai niekuo nesiskiria nuo natūralaus, tada viskas atrodo lygiai taip pat, kaip ankstesniame skyriuje.

Dabar pažvelkime į naujus atvejus. Pradėkime nuo rodiklio, lygaus.

Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui:

Kaip visada, klausiame savęs: kodėl taip yra?

Apsvarstykite tam tikrą galią su pagrindu. Paimkite, pavyzdžiui, ir padauginkite iš:

Taigi, padauginome skaičių iš ir gavome tą patį, koks buvo -. Iš kokio skaičiaus reikia padauginti, kad niekas nepasikeistų? Teisingai, įjungti. Reiškia.

Tą patį galime padaryti su savavališku skaičiumi:

Pakartokime taisyklę:

Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui.

Tačiau iš daugelio taisyklių yra išimčių. Ir čia taip pat yra - tai yra skaičius (kaip pagrindas).

Viena vertus, jis turi būti lygus bet kokiam laipsniui – kad ir kiek padaugintumėte nulį iš savęs, vis tiek gausite nulį, aišku. Tačiau, kita vertus, kaip ir bet kuris skaičius iki nulio laipsnio, jis turi būti lygus. Taigi kokia čia tiesa? Matematikai nusprendė nesikišti ir atsisakė pakelti nulį iki nulinės galios. Tai yra, dabar galime ne tik padalyti iš nulio, bet ir pakelti jį iki nulinės galios.

Eikime toliau. Be natūraliųjų skaičių ir skaičių, sveikieji skaičiai apima ir neigiamus skaičius. Kad suprastume, kas yra neigiamas laipsnis, darykime taip pat, kaip ir praeitą kartą: kokį nors normalų skaičių padauginame iš to paties neigiamo laipsnio:

Iš čia jau lengva išreikšti norimą:

Dabar išplečiame gautą taisyklę iki savavališko laipsnio:

Taigi, suformuluokime taisyklę:

Skaičius neigiamam laipsniui yra atvirkštinis to paties skaičiaus teigiamam laipsniui. Bet tuo pačiu bazė negali būti nulinė:(nes padalyti neįmanoma).

Apibendrinkime:

Savarankiško sprendimo užduotys:

Na, kaip įprasta, nepriklausomo sprendimo pavyzdžiai:

Savarankiško sprendimo užduočių analizė:

Žinau, žinau, skaičiai baisūs, bet per egzaminą turi būti pasiruošęs viskam! Išspręskite šiuos pavyzdžius arba išanalizuokite jų sprendimą, jei nepavyko išspręsti, ir išmoksite, kaip lengvai su jais susidoroti egzamine!

Toliau plėskime skaičių ratą „tinkamų“ kaip eksponentą.

Dabar apsvarstykite racionalūs numeriai. Kokie skaičiai vadinami racionaliais?

Atsakymas: visa tai gali būti pavaizduota trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai.

Norėdami suprasti, kas yra "dalinis laipsnis" Panagrinėkime trupmeną:

Pakelkime abi lygties puses į laipsnį:

Dabar prisimink taisyklę "laipsnis į laipsnį":

Kokį skaičių reikia padidinti iki laipsnio, kad gautume?

Ši formuluotė yra laipsnio šaknies apibrėžimas.

Leiskite jums priminti: skaičiaus () laipsnio šaknis yra skaičius, kuris, pakeltas į laipsnį, yra lygus.

Tai yra, th laipsnio šaknis yra atvirkštinė eksponencijos operacija: .

Paaiškėjo, kad. Akivaizdu, kad šį specialų atvejį galima pratęsti: .

Dabar pridėkite skaitiklį: kas tai yra? Atsakymą nesunku gauti taikant energijos tiekimo taisyklę:

Bet ar bazė gali būti bet koks skaičius? Juk šaknies negalima išgauti iš visų skaičių.

Nė vienas!

Prisiminkite taisyklę: bet koks skaičius, padidintas iki lyginės laipsnio, yra teigiamas skaičius. Tai yra, iš neigiamų skaičių neįmanoma išskirti lyginio laipsnio šaknų!

O tai reiškia, kad tokių skaičių negalima pakelti iki trupmeninės laipsnio su lyginiu vardikliu, tai yra, išraiška neturi prasmės.

O išraiška?

Bet čia iškyla problema.

Skaičius gali būti pavaizduotas kaip kitos, sumažintos trupmenos, pavyzdžiui, arba.

Ir pasirodo, kad jis egzistuoja, bet neegzistuoja, ir tai tik du skirtingi to paties numerio įrašai.

Arba kitas pavyzdys: vieną kartą, tada galite užsirašyti. Bet kai tik užrašome rodiklį kitaip, vėl susiduriame su bėdomis: (tai yra, gavome visiškai kitokį rezultatą!).

Kad išvengtumėte tokių paradoksų, apsvarstykite tik teigiamas bazinis eksponentas su trupmeniniu rodikliu.

Taigi, jei:

• - natūralusis skaičius;
• yra sveikasis skaičius;

Pavyzdžiai:

Laipsniai su racionaliuoju rodikliu yra labai naudingi transformuojant išraiškas su šaknimis, pavyzdžiui:

5 praktikos pavyzdžiai

5 mokymo pavyzdžių analizė

Na, o dabar – sunkiausia. Dabar analizuosime laipsnis su neracionaliuoju rodikliu.

Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnių su racionaliuoju rodikliu, išskyrus

Iš tiesų, pagal apibrėžimą neracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti kaip trupmeną, kur ir yra sveikieji skaičiai (ty neracionalieji skaičiai yra visi tikrieji skaičiai, išskyrus racionalius).

Studijuodami laipsnius su natūraliu, sveiku skaičiumi ir racionaliu rodikliu, kiekvieną kartą sukurdavome tam tikrą „vaizdą“, „analogiją“ ar aprašą labiau pažįstamais terminais.

Pavyzdžiui, natūralusis rodiklis yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus;

...nulinė galia- tai tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jis dar nepradėtas dauginti, o tai reiškia, kad pats skaičius dar net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras „tuščias skaičius“ , būtent numeris;

...neigiamas sveikasis rodiklis- tarsi įvyko tam tikras „atvirkštinis procesas“, tai yra, skaičius buvo ne padaugintas iš savęs, o padalintas.

Beje, mokslas dažnai naudoja laipsnį su sudėtingu rodikliu, tai yra, rodiklis net nėra tikrasis skaičius.

Tačiau mokykloje apie tokius sunkumus negalvojame, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.

KUR ESAME TIKRI, KUR JUMS EITI! (jei išmoksi spręsti tokius pavyzdžius :))

Pavyzdžiui:

Spręskite patys:

Sprendimų analizė:

1. Pradėkime nuo jau įprastos laipsnio pakėlimo į laipsnį taisyklės:

PAŽEIDĖJANTIS LYGIS

Laipsnio apibrėžimas

Laipsnis yra formos išraiška: , kur:

• — laipsnio pagrindas;
• - eksponentas.

Laipsnis su natūraliuoju rodikliu (n = 1, 2, 3,...)

Padidinti skaičių iki natūraliosios laipsnio n reiškia skaičių padauginti iš savęs iš karto:

Laipsnis su sveikuoju rodikliu (0, ±1, ±2,...)

Jei eksponentas yra teigiamas sveikasis skaičius numeris:

erekcija iki nulinės galios:

Išraiška yra neapibrėžta, nes, viena vertus, bet kuriuo laipsniu yra tai, o kita vertus, bet koks skaičius iki th laipsnio yra tai.

Jei eksponentas yra sveikasis skaičius neigiamas numeris:

(nes padalyti neįmanoma).

Dar kartą apie nulius: atveju išraiška neapibrėžta. Jei tada.

Pavyzdžiai:

Laipsnis su racionaliuoju rodikliu

• - natūralusis skaičius;
• yra sveikasis skaičius;

Pavyzdžiai:

Laipsnio savybės

Kad būtų lengviau spręsti problemas, pabandykime suprasti: iš kur atsirado šios savybės? Įrodykime juos.

Pažiūrėkime: kas yra ir?

Pagal apibrėžimą:

Taigi, dešinėje šios išraiškos pusėje gaunamas šis produktas:

Bet pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus laipsnis su eksponentu, ty:

Q.E.D.

Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas : .

Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas : Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklėje būtinai turi turėti tą patį pagrindą. Todėl laipsnius deriname su baze, bet liekame atskiru veiksniu:

Kita svarbi pastaba: ši taisyklė - tik galių produktams!

Jokiu būdu neturėčiau to rašyti.

Kaip ir ankstesnėje savybėje, pereikime prie laipsnio apibrėžimo:

Pertvarkykime taip:

Pasirodo, išraiška padauginama iš savęs vieną kartą, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra skaičiaus --oji galia:

Tiesą sakant, tai gali būti vadinama „indikatoriaus kėlimu“. Bet jūs niekada negalite to padaryti iš viso:!

Prisiminkime sutrumpinto daugybos formules: kiek kartų norėjome parašyti? Bet tai netiesa, tikrai.

Galia su neigiama baze.

Iki šiol aptarėme tik tai, kas turėtų būti indeksas laipsnį. Bet kas turėtų būti pagrindas? Laipsniais nuo natūralus indikatorius pagrindas gali būti bet koks skaičius .

Iš tiesų, galime padauginti bet kurį skaičių vienas iš kito, nesvarbu, ar jie yra teigiami, neigiami ar lyginiai. Pagalvokime, kokie ženklai ("" arba "") turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnius?

Pavyzdžiui, ar skaičius bus teigiamas ar neigiamas? BET? ?

Su pirmuoju viskas aišku: kad ir kiek teigiamų skaičių padaugintume vienas su kitu, rezultatas bus teigiamas.

Tačiau neigiami dalykai yra šiek tiek įdomesni. Juk iš 6 klasės prisimename paprastą taisyklę: „minusas kartelį minusas duoda pliusą“. Tai yra arba. Bet jei padauginsime iš (), gausime -.

Ir taip toliau iki begalybės: su kiekvienu tolesniu dauginimu ženklas keisis. Galima suformuluoti tokius paprastos taisyklės:

1. net laipsnis, - skaičius teigiamas.
2. Neigiamas skaičius, pastatytas m nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
3. teigiamas skaičius bet kuriai laipsniai yra teigiamas skaičius.
4. Nulis bet kokiai galiai yra lygus nuliui.

Pats nustatykite, kokį ženklą turės šie posakiai:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ar susitvarkei? Štai atsakymai:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Pirmuosiuose keturiuose pavyzdžiuose, tikiuosi, viskas aišku? Tiesiog žiūrime į bazę ir eksponentą ir taikome atitinkamą taisyklę.

5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: nesvarbu, kam lygi bazė - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas. Na, nebent kai bazė lygi nuliui. Pagrindas ne tas pats, ar ne? Akivaizdu, kad ne, nes (nes).

6 pavyzdys) nebėra toks paprastas. Čia reikia išsiaiškinti, kas mažiau: ar? Jei tai prisimenate, tai tampa aišku, o tai reiškia, kad bazė yra mažesnė už nulį. Tai yra, taikome 2 taisyklę: rezultatas bus neigiamas.

Ir vėl naudojame laipsnio apibrėžimą:

Viskas kaip įprasta - užrašome laipsnių apibrėžimą ir suskirstome juos vienas į kitą, suskirstome į poras ir gauname:

Prieš analizuodami paskutinę taisyklę, išspręskime kelis pavyzdžius.

Apskaičiuokite išraiškų reikšmes:

Sprendimai :

Grįžkime prie pavyzdžio:

Ir vėl formulė:

Taigi dabar paskutinė taisyklė:

Kaip mes tai įrodysime? Žinoma, kaip įprasta: išplėskime laipsnio sąvoką ir supaprastinkime:

Na, dabar atidarykime skliaustus. Kiek bus raidžių? kartų pagal daugiklius – kaip tai atrodo? Tai ne kas kita, kaip operacijos apibrėžimas daugyba: iš viso pasirodė daugikliai. Tai yra, pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus laipsnis su eksponentu:

Pavyzdys:

Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu

Be informacijos apie vidutinio lygio laipsnius, mes analizuosime laipsnį su neracionaliu rodikliu. Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnio su racionaliuoju rodikliu, su išimtimi - juk pagal apibrėžimą neracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai (tai yra , neracionalieji skaičiai yra visi realieji skaičiai, išskyrus racionaliuosius).

Studijuodami laipsnius su natūraliu, sveiku skaičiumi ir racionaliu rodikliu, kiekvieną kartą sukurdavome tam tikrą „vaizdą“, „analogiją“ ar aprašą labiau pažįstamais terminais. Pavyzdžiui, natūralusis rodiklis yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus; skaičius iki nulio laipsnio yra tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jis dar nepradėtas dauginti, o tai reiškia, kad pats skaičius dar net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras „numerio paruošimas“, būtent skaičius; laipsnis su sveikuoju neigiamu rodikliu - tarsi įvyko tam tikras „atvirkštinis procesas“, tai yra, skaičius nebuvo padaugintas iš savęs, o padalintas.

Labai sunku įsivaizduoti laipsnį su neracionaliu eksponentu (kaip sunku įsivaizduoti 4-matę erdvę). Greičiau tai yra grynai matematinis objektas, kurį matematikai sukūrė siekdami išplėsti laipsnio sąvoką į visą skaičių erdvę.

Beje, mokslas dažnai naudoja laipsnį su sudėtingu rodikliu, tai yra, rodiklis net nėra tikrasis skaičius. Tačiau mokykloje apie tokius sunkumus negalvojame, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.

Taigi, ką daryti, jei matome neracionalų eksponentą? Stengiamės jo atsikratyti! :)

Pavyzdžiui:

Spręskite patys:

1)

2)

3)

Atsakymai:

SKYRIAUS SANTRAUKA IR PAGRINDINĖ FORMULĖ

Laipsnis vadinama formos išraiška: , kur:

Laipsnis su sveikuoju rodikliu

laipsnis, kurio rodiklis yra natūralusis skaičius (t. y. sveikasis skaičius ir teigiamas).

Laipsnis su racionaliuoju rodikliu

laipsnis, kurio rodiklis yra neigiami ir trupmeniniai skaičiai.

Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu

rodiklis, kurio rodiklis yra begalinė dešimtainė trupmena arba šaknis.

Laipsnio savybės

Laipsnių ypatumai.

• Neigiamas skaičius padidintas iki net laipsnis, - skaičius teigiamas.
• Neigiamas skaičius padidintas iki nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
• Teigiamas bet kurios laipsnio skaičius yra teigiamas skaičius.
• Nulis yra lygus bet kokiai galiai.
• Bet kuris skaičius iki nulio laipsnio yra lygus.

DABAR TURI ŽODĮ...

Kaip jums patinka straipsnis? Leiskite man žinoti toliau pateiktuose komentaruose, ar jums tai patiko, ar ne.

Papasakokite apie savo patirtį, susijusią su galios savybėmis.

Galbūt turite klausimų. Arba pasiūlymų.

Rašyk komentaruose.

Ir sėkmės egzaminuose!

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote teoriją šia tema. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Kam?

Už sėkmingą egzamino išlaikymą, įstojimą į institutą už biudžetą ir, SVARBIAUSIA, iki gyvos galvos.

Aš niekuo jūsų neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką ...

Žmonės, gavę gerą išsilavinimą, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

UŽPILDYK RANKĄ, SPRENDŽI ŠIOS TEmos problemas.

Egzamine jums nebus klausiama teorijos.

Jums reikės laiku išspręsti problemas.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog nepadarysite jos laiku.

Tai kaip sporte – reikia daug kartų kartoti, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją bet kur, kur norite būtinai su sprendimais išsamią analizę ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite pasinaudoti mūsų užduotimis (nebūtina) ir mes jas tikrai rekomenduojame.

Kad galėtumėte pasinaudoti mūsų užduotimis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių šiame straipsnyje -
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 mokymo programos straipsniuose - Pirkti vadovėlį - 899 rubliai

Taip, vadovėlyje turime 99 tokius straipsnius ir iš karto galima atidaryti visas užduotis ir visus paslėptus tekstus.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama visą svetainės veikimo laiką.

Apibendrinant...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „Aš žinau, kaip išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir spręskite!

Atėjo laikas atlikti šiek tiek matematikos. Ar dar prisimeni, kiek bus du kartus du?

Jei kas pamiršo – bus keturi. Atrodo, kad visi prisimena ir žino daugybos lentelę, tačiau radau daugybę užklausų Yandex, pavyzdžiui, „daugybos lentelė“ ar net „atsisiųsti daugybos lentelę“ (!). Būtent šios kategorijos vartotojams, taip pat labiau pažengusiems vartotojams, kurie jau domisi kvadratais ir laipsniais, skelbiu visas šias lenteles. Jūs netgi galite atsisiųsti savo sveikatai! Taigi:

Daugybos lentelė

(sveiki skaičiai nuo 1 iki 20)

?	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

Kvadratų lentelė

(sveiki skaičiai nuo 1 iki 100)

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100	11 2 = 121 12 2 = 144 13 2 = 169 14 2 = 196 15 2 = 225 16 2 = 256 17 2 = 289 18 2 = 324 19 2 = 361 20 2 = 400	21 2 = 441 22 2 = 484 23 2 = 529 24 2 = 576 25 2 = 625 26 2 = 676 27 2 = 729 28 2 = 784 29 2 = 841 30 2 = 900	31 2 = 961 32 2 = 1024 33 2 = 1089 34 2 = 1156 35 2 = 1225 36 2 = 1296 37 2 = 1369 38 2 = 1444 39 2 = 1521 40 2 = 1600	41 2 = 1681 42 2 = 1764 43 2 = 1849 44 2 = 1936 45 2 = 2025 46 2 = 2116 47 2 = 2209 48 2 = 2304 49 2 = 2401 50 2 = 2500
51 2 = 2601 52 2 = 2704 53 2 = 2809 54 2 = 2916 55 2 = 3025 56 2 = 3136 57 2 = 3249 58 2 = 3364 59 2 = 3481 60 2 = 3600	61 2 = 3721 62 2 = 3844 63 2 = 3969 64 2 = 4096 65 2 = 4225 66 2 = 4356 67 2 = 4489 68 2 = 4624 69 2 = 4761 70 2 = 4900	71 2 = 5041 72 2 = 5184 73 2 = 5329 74 2 = 5476 75 2 = 5625 76 2 = 5776 77 2 = 5929 78 2 = 6084 79 2 = 6241 80 2 = 6400	81 2 = 6561 82 2 = 6724 83 2 = 6889 84 2 = 7056 85 2 = 7225 86 2 = 7396 87 2 = 7569 88 2 = 7744 89 2 = 7921 90 2 = 8100	91 2 = 8281 92 2 = 8464 93 2 = 8649 94 2 = 8836 95 2 = 9025 96 2 = 9216 97 2 = 9409 98 2 = 9604 99 2 = 9801 100 2 = 10000

Laipsnių lentelė

(sveiki skaičiai nuo 1 iki 10)

1 į valdžią:

2 į galią:

3 į valdžią:

4 į galią:

5 į galią:

6 į galią:

7 į galią:

7 10 = 282475249

8 į galią:

8 10 = 1073741824

9 į valdžią:

9 10 = 3486784401

10 į galią:

10 8 = 100000000

10 9 = 1000000000