सेट सिद्धांत की अवधारणा; समुच्चय का प्रतिच्छेदन एक समुच्चय है जिसमें वे सभी तत्व होते हैं जो सभी दिए गए समुच्चयों से एक साथ संबंधित होते हैं। समुच्चय A और B के प्रतिच्छेदन को A? B या AB से निरूपित किया जाता है।

सेट सिद्धांत की अवधारणा; समुच्चय का प्रतिच्छेदन एक समुच्चय है जिसमें वे सभी तत्व होते हैं जो सभी दिए गए समुच्चयों से एक साथ संबंधित होते हैं। समुच्चय A और B का प्रतिच्छेदन A∩B या AB द्वारा निरूपित किया जाता है। * * *सेट्स का इंटरसेक्शन ऑफ सेट्स… विश्वकोश शब्दकोश

एक समुच्चय जिसमें वे सभी तत्व होते हैं जो सभी दिए गए समुच्चयों से एक साथ संबंधित होते हैं। P. m. A और B, A B या AB को निरूपित करते हैं; P. m. Ak, एक परिमित या अनंत संख्या में लिया गया, Ak को निरूपित करता है। पी.एम. खाली हो सकता है, यानी नहीं ... ... महान सोवियत विश्वकोश

सेट सिद्धांत की अवधारणा; राई के उन सभी तत्वों से युक्त पी एम सेट एक साथ हैं। सभी दिए गए सेटों के लिए। पी एम ...

A और B का प्रतिच्छेदन समुच्चय सिद्धांत में समुच्चयों का प्रतिच्छेदन एक ऐसा समुच्चय है जिसमें ऐसे तत्व होते हैं जो सभी दिए गए समुच्चयों से एक साथ संबंधित होते हैं। सामग्री 1 परिभाषा 2 नोट ... विकिपीडिया

गणित की एक शाखा जो सेट के सामान्य गुणों का अध्ययन करती है, ज्यादातर अनंत। एक सेट की अवधारणा सबसे सरल गणितीय अवधारणा है, इसे परिभाषित नहीं किया गया है, लेकिन केवल उदाहरणों की मदद से समझाया गया है: एक शेल्फ पर बहुत सारी किताबें, बहुत सारे बिंदु ... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

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एक गणितीय सिद्धांत जो सटीक तरीकों से अनंत की समस्या का अध्ययन करता है। विषय एम. एल. सेट के गुण (संग्रह, वर्ग, पहनावा), ch। गिरफ्तार अनंत। एक सेट ए परिभाषित और अलग-अलग वस्तुओं का संग्रह है ... तर्क शर्तों की शब्दावली

सेट थ्योरी गणित की एक शाखा है जो सेट के सामान्य गुणों का अध्ययन करती है। सेट सिद्धांत अधिकांश गणितीय विषयों के केंद्र में है; गणित की विषय वस्तु की समझ पर इसका गहरा प्रभाव पड़ा। सामग्री 1 सिद्धांत ... ... विकिपीडिया

गणित की वह शाखा जिसमें समुच्चयों के सामान्य गुणों का अध्ययन मुख्यतः किया जाता है। अनंत। एक सेट की अवधारणा चटाई की सबसे सरल है। अवधारणा, इसे परिभाषित नहीं किया गया है, लेकिन केवल उदाहरणों की मदद से समझाया गया है: एक शेल्फ पर बहुत सारी किताबें, एक पंक्ति पर बहुत सारे बिंदु ... ... प्राकृतिक विज्ञान। विश्वकोश शब्दकोश

पुस्तकें

• मैं 20 तक गिनता हूँ। 6 - 7 वर्ष के बच्चों के लिए कार्यपुस्तिका। जीईएफ डीओ, शेवलेव कॉन्स्टेंटिन वेलेरिविच। कार्यपुस्तिका को 6-7 वर्ष की आयु के बच्चों के साथ काम करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। प्राथमिक गणितीय अभ्यावेदन बनाकर कॉग्निशन ब्लॉक के लक्ष्यों की प्राप्ति में योगदान देता है। कार्यप्रणाली…

पाठ मकसद:

• शैक्षिक: सेट, सबसेट की पहचान करने के लिए कौशल का निर्माण; छवियों में प्रतिच्छेदन के क्षेत्र और सेटों के मिलन का पता लगाने और इस क्षेत्र से तत्वों का नाम लेने, समस्याओं को हल करने के लिए कौशल का गठन;
• विकासशील: छात्रों की संज्ञानात्मक रुचि का विकास; व्यक्ति के बौद्धिक क्षेत्र का विकास, तुलना और सामान्यीकरण के कौशल का विकास।
• शैक्षिक: निर्णय लेने में सटीकता और सावधानी पैदा करने के लिए।

कक्षाओं के दौरान।

1. संगठनात्मक क्षण।

2. शिक्षक पाठ के विषय की रिपोर्ट करता है, छात्रों के साथ मिलकर लक्ष्य और उद्देश्य तैयार करता है।

3. शिक्षक, छात्रों के साथ, ग्रेड 7 में "सेट्स" विषय पर अध्ययन की गई सामग्री को याद करते हैं, समस्याओं को हल करने के लिए नई अवधारणाओं और परिभाषाओं, सूत्रों का परिचय देते हैं।

"अनेक है अनेक, हमारे द्वारा एक के रूप में सोचा" (सेट थ्योरी के संस्थापक - जॉर्ज कैंटर)। कांटोर (कैंटोर) जॉर्ज (1845-1918) - जर्मन गणितज्ञ, तर्कशास्त्री, धर्मशास्त्री, ट्रांसफ़िनिट (अनंत) सेटों के सिद्धांत के निर्माता, जिनका 19 वीं और 20 वीं शताब्दी के मोड़ पर गणितीय विज्ञान के विकास पर निर्णायक प्रभाव पड़ा।

समुच्चय आधुनिक गणित की मूल अवधारणाओं में से एक है, जिसका उपयोग लगभग सभी वर्गों में किया जाता है।

दुर्भाग्य से, सिद्धांत की मूल अवधारणा - एक सेट की अवधारणा - को एक कठोर परिभाषा नहीं दी जा सकती है। बेशक, कोई कह सकता है कि एक सेट एक "संग्रह", "संग्रह", "पहनावा", "संग्रह", "परिवार", "प्रणाली", "वर्ग", आदि है, हालांकि, यह सब एक नहीं होगा गणितीय परिभाषा, बल्कि रूसी भाषा की शब्दावली का दुरुपयोग।

किसी भी अवधारणा को परिभाषित करने के लिए, सबसे पहले, एक विशेष मामले के रूप में इंगित करना आवश्यक है, जिसमें से अधिक सामान्य सिद्धांतयह है, समुच्चय की अवधारणा के लिए ऐसा करना असंभव है, क्योंकि गणित में समुच्चय से अधिक सामान्य अवधारणा नहीं है।

अक्सर आपको कई चीजों के बारे में बात करनी होती है, जो किसी संकेत से एकजुट होती हैं। तो, हम कमरे में सभी कुर्सियों के सेट के बारे में बात कर सकते हैं, मानव शरीर की सभी कोशिकाओं के सेट के बारे में, किसी दिए गए बैग में सभी आलू के सेट के बारे में, समुद्र में सभी मछलियों के सेट के बारे में, सेट के बारे में बात कर सकते हैं समतल के सभी वर्गों का, किसी दिए गए वृत्त पर सभी बिंदुओं के समुच्चय के बारे में, आदि।

वे वस्तुएँ जो किसी दिए गए समुच्चय का निर्माण करती हैं, तत्त्व कहलाती हैं।

उदाहरण के लिए, सप्ताह के दिनों के सेट में तत्व होते हैं: सोमवार, मंगलवार, बुधवार, गुरुवार, शुक्रवार, शनिवार, रविवार।

कई महीने - तत्वों से: जनवरी, फरवरी, मार्च, अप्रैल, मई, जून, जुलाई, अगस्त, सितंबर, अक्टूबर, नवंबर, दिसंबर।

कई अंकगणितीय संचालन - तत्वों से: जोड़, घटाव, गुणा, भाग।

उदाहरण के लिए, यदि A का अर्थ है सभी का समुच्चय प्राकृतिक संख्या, तो 6 A से संबंधित है, लेकिन 3 A से संबंधित नहीं है।

यदि A वर्ष में सभी महीनों का समुच्चय है, तो मई A से संबंधित है, लेकिन बुधवार A से संबंधित नहीं है।

यदि किसी समुच्चय में तत्वों की संख्या सीमित हो तो उसे परिमित कहा जाता है और यदि उसमें तत्वों की संख्या अनंत हो तो उसे अनंत कहते हैं। तो जंगल में पेड़ों का सेट सीमित है, लेकिन सर्कल पर बिंदुओं का सेट अनंत है।

तर्क में विरोधाभास- यह एक विरोधाभास है जिसमें तार्किक रूप से सही निष्कर्ष की स्थिति है और साथ ही, एक तर्क है जो परस्पर अनन्य निष्कर्ष की ओर जाता है।

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, एक सेट की अवधारणा गणित के केंद्र में है। सरलतम सेटों और विभिन्न गणितीय निर्माणों का उपयोग करके, कोई भी लगभग किसी भी गणितीय वस्तु का निर्माण कर सकता है। सेट सिद्धांत के आधार पर सभी गणित के निर्माण के विचार को जी. कांटोर द्वारा सक्रिय रूप से बढ़ावा दिया गया था। हालांकि, इसकी सभी सादगी के लिए, एक सेट की अवधारणा विरोधाभासों के खतरे से भरा है या, जैसा कि वे कहते हैं, विरोधाभास। विरोधाभासों की उपस्थिति इस तथ्य के कारण है कि सभी निर्माणों और सभी सेटों पर विचार नहीं किया जा सकता है।

विरोधाभासों में सबसे सरल है " नाई का विरोधाभास".

एक सिपाही को आदेश दिया गया कि वह अपनी प्लाटून के केवल उन सैनिकों को मुंडवाए, जिन्होंने अपनी मुंडन नहीं की थी। सेना में आदेशों का पालन करने में विफलता, जैसा कि आप जानते हैं, जघन्य अपराध. हालांकि, सवाल उठा कि क्या इस सैनिक को खुद का मुंडन करना चाहिए। यदि वह मुंडाता है, तो उसे उन कई सैनिकों के लिए जिम्मेदार ठहराया जाना चाहिए जो खुद को मुंडाते हैं, और उसे इस तरह की दाढ़ी बनाने का कोई अधिकार नहीं है। यदि वह अपने आप को मुंडा नहीं करता है, तो वह उन सैनिकों की भीड़ में पड़ जाएगा जो अपने आप को मुंडा नहीं करते हैं, और आदेश के अनुसार, वह ऐसे सैनिकों को दाढ़ी देने के लिए बाध्य है। विरोधाभास।

सेट पर, साथ ही साथ कई अन्य गणितीय वस्तुओं पर, आप विभिन्न ऑपरेशन कर सकते हैं, जिन्हें कभी-कभी सेट-सैद्धांतिक संचालन या सेट-ऑपरेशंस कहा जाता है। संचालन के परिणामस्वरूप, मूल सेट से नए सेट प्राप्त होते हैं। सेट को अपरकेस लैटिन अक्षरों द्वारा और उनके तत्वों को लोअरकेस द्वारा निरूपित किया जाता है। रिकॉर्डिंग एक आरइसका मतलब है कि तत्व एकसेट के अंतर्गत आता है आर, वह है एक आर. वरना जब एकसेट से संबंधित नहीं है आर, लिखना एक आर .

दो सेट लेकिनतथा परबुलाया बराबर (लेकिन =पर) यदि वे समान तत्वों से मिलकर बने हैं, अर्थात सेट का प्रत्येक तत्व लेकिनसेट का एक तत्व है परऔर इसके विपरीत, समुच्चय का प्रत्येक अवयव परसेट का एक तत्व है लेकिन .

तुलना सेट करें।

सेट ए सेट बी में निहित है (सेट बी में सेट ए शामिल है) यदि ए का प्रत्येक तत्व बी का एक तत्व है:

वे कहते हैं कि अनेक लेकिनअनेकों में समाहित परया सेट लेकिनहै सबसेट सेट पर(इस मामले में लिखें लेकिन पर) यदि समुच्चय का प्रत्येक अवयव लेकिनसेट का एक तत्व भी है पर. सेट के बीच के इस संबंध को कहा जाता है समावेश . किसी भी सेट के लिए लेकिनइसमें शामिल हैं: लेकिनतथा लेकिन लेकिन

इस मामले में एबुलाया सबसेट बी, बी - सुपरसेटए. अगर, तो एबुलाया खुद का सबसेट पर. नोटिस जो ,

परिभाषा से ,

दो सेटों को कहा जाता है बराबरयदि वे एक दूसरे के उपसमुच्चय हैं

सेट पर संचालन

चौराहा।

एक संस्था।

गुण।

1. समुच्चयों के मिलन की क्रिया क्रमविनिमेय होती है

2. समुच्चयों के मिलन की क्रिया सकर्मक होती है

3. रिक्त समुच्चय X समुच्चयों के मिलन की संक्रिया का एक उदासीन अवयव है

1. मान लीजिए A = (1,2,3,4),B = (3,4,5,6,7)। फिर

2. ए \u003d (2,4,6,8,10), बी \u003d (3,6,9,12)। आइए इन समुच्चयों का मिलन और प्रतिच्छेदन ज्ञात करें:

{2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}.

3. बच्चों का समुच्चय कुल जनसंख्या का उपसमुच्चय है

4. समुच्चय के साथ पूर्णांकों के समुच्चय का प्रतिच्छेदन सकारात्मक संख्याप्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है।

5. सेट का संघ परिमेय संख्याअपरिमेय संख्याओं के समुच्चय के साथ धनात्मक संख्याओं का समुच्चय होता है।

6. शून्य गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के समुच्चय के संबंध में प्राकृत संख्याओं के समुच्चय का पूरक है।

वेन डायग्राम(वेन डायग्राम) - साधारण नामकई विज़ुअलाइज़ेशन विधियों और ग्राफिक चित्रण के तरीके, व्यापक रूप से विज्ञान और गणित के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग किए जाते हैं: सेट सिद्धांत, वास्तव में "वेन आरेख"किसी परिवार से सेट या घटनाओं के बीच सभी संभावित संबंधों को दिखाता है; किस्मों वेन डायग्रामहैं: यूलर आरेख,

चार सेटों का वेन आरेख।

वास्तव में "वेन आरेख"किसी परिवार से सेट या घटनाओं के बीच सभी संभावित संबंधों को दर्शाता है। सामान्य वेन आरेख में तीन सेट होते हैं। वेन ने खुद खोजने की कोशिश की सममित आकार के साथ सुंदर तरीका, आरेख में अधिक समुच्चयों का प्रतिनिधित्व करता है, लेकिन वह केवल चार सेटों के लिए ऐसा करने में सक्षम था (दाईं ओर की आकृति देखें) दीर्घवृत्त का उपयोग करके।

यूलर आरेख

यूलर आरेख वेन आरेखों के समान हैं। सेट-सैद्धांतिक पहचान की संभावना का मूल्यांकन करने के लिए यूलर आरेखों का उपयोग किया जा सकता है।

कार्य 1।कक्षा में 30 लोग हैं, जिनमें से प्रत्येक गाता या नृत्य करता है। यह ज्ञात है कि 17 लोग गाते हैं, और 19 लोग नृत्य करना जानते हैं। कितने लोग एक साथ गा रहे हैं और नाच रहे हैं?

समाधान:सबसे पहले, हम ध्यान दें कि 30 लोगों में से 30 - 17 = 13 लोग गा नहीं सकते हैं।

वे सभी नृत्य करना जानते हैं, क्योंकि शर्त के अनुसार कक्षा का प्रत्येक छात्र गाता या नृत्य करता है। कुल मिलाकर, 19 लोग नाच सकते हैं, उनमें से 13 गा सकते हैं, जिसका अर्थ है कि 19-13 = 6 लोग एक ही समय में नाच और गा सकते हैं।

चौराहे और सेटों के मिलन पर समस्याएं।

1. समुच्चय A = (3.5, 0, 11, 12, 19), B = (2.4, 8, 12, 18.0) दिए गए हैं।
   सेट एयू बी खोजें,
2. कम से कम सात ऐसे शब्द बनाइए जिनके अक्षर समुच्चय के उपसमुच्चय बनाते हैं
   ए - (के, ए, पी, वाई, एस, ई, एल, बी)।
3. मान लीजिए A 2 से विभाज्य प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है, और B 4 से विभाज्य प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है। इन समुच्चयों के बारे में क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?
4. कंपनी में 67 लोग कार्यरत हैं। इनमें से 47 अंग्रेजी बोलते हैं, 35 जर्मन बोलते हैं और 23 दोनों भाषा बोलते हैं। कंपनी में कितने लोग अंग्रेजी नहीं बोलते हैं या जर्मन?
5. हमारी कक्षा के 40 विद्यार्थियों में से 32 को दूध पसंद है, 21 को नींबू पानी पसंद है, और 15 को दूध और नींबू पानी दोनों पसंद हैं। हमारी कक्षा में कितने बच्चे दूध या नींबू पानी पसंद नहीं करते हैं?
6. मेरे 12 सहपाठियों को जासूसी कहानियाँ पढ़ना पसंद है, 18 को साइंस फिक्शन पढ़ना पसंद है, उनमें से तीन दोनों मजे से पढ़ते हैं, और एक कुछ भी नहीं पढ़ता है। हमारी कक्षा में कितने विद्यार्थी हैं?
7. मेरे उन 18 सहपाठियों में से जो थ्रिलर देखना पसंद करते हैं, उनमें से केवल 12 को कार्टून देखने में कोई गुरेज नहीं है। मेरे कितने सहपाठी केवल "कार्टून" देखते हैं यदि हमारी कक्षा में 25 छात्र हैं, जिनमें से प्रत्येक या तो थ्रिलर, या कार्टून, या दोनों देखना पसंद करता है?
8. हमारे यार्ड में 29 लड़कों में से केवल दो ही खेल के लिए नहीं जाते हैं, और बाकी फुटबॉल या टेनिस वर्ग, या यहां तक ​​कि दोनों में भाग लेते हैं। यहाँ 17 लड़के फ़ुटबॉल खेल रहे हैं और 19 टेनिस खेल रहे हैं। कितने फ़ुटबॉल खिलाड़ी टेनिस खेलते हैं? कितने टेनिस खिलाड़ी फुटबॉल खेलते हैं?
9. दादी के खरगोशों में से 65% को गाजर पसंद है, 10% को गाजर और बंदगोभी दोनों पसंद हैं। कितने प्रतिशत खरगोश बंदगोभी खाने से विमुख नहीं हैं?
10. एक कक्षा में 25 विद्यार्थी होते हैं। इनमें से 7 लव नाशपाती, 11 लव चेरी। दो नाशपाती और चेरी की तरह; 6 - नाशपाती और सेब; 5 - सेब और चेरी। लेकिन कक्षा में दो विद्यार्थी हैं जो सब कुछ पसंद करते हैं और चार ऐसे हैं जिन्हें फल बिल्कुल पसंद नहीं हैं। इस कक्षा में कितने विद्यार्थी सेब पसंद करते हैं?
11. सौंदर्य प्रतियोगिता में 22 लड़कियों ने भाग लिया। इनमें से 10 सुंदर, 12 स्मार्ट और 9 दयालु थे। केवल 2 लड़कियां सुंदर और स्मार्ट दोनों थीं; 6 लड़कियां एक ही समय में स्मार्ट और दयालु थीं। निर्धारित करें कि कितनी सुंदर और एक ही समय में दयालु लड़कियां थीं, अगर मैं आपको बता दूं कि प्रतिभागियों के बीच एक भी स्मार्ट, दयालु और एक ही समय में नहीं था सुंदर लड़की?
12. हमारी कक्षा में 35 विद्यार्थी हैं। रूसी भाषा में पाँच की पहली तिमाही के लिए, 14 छात्रों के पास था; गणित में - 12; इतिहास में - 23; रूसी और गणित में - 4; गणित और इतिहास में - 9; रूसी भाषा और इतिहास में - 5. तीनों विषयों में कितने छात्रों के पास फाइव हैं, यदि कक्षा में एक भी छात्र नहीं है जिसके पास इनमें से कम से कम एक विषय में फाइव नहीं है?
13. 100 लोगों में से 85 अंग्रेजी बोलते हैं, 80 स्पेनिश बोलते हैं और 75 जर्मन बोलते हैं। सभी कम से कम एक विदेशी भाषा बोलते हैं। उनमें से दो विदेशी भाषाओं को जानने वाले नहीं हैं, लेकिन तीन भाषाएं बोलने वाले हैं। उन 100 लोगों में से कितने लोग तीन भाषाएं जानते हैं?
14. कंपनी के कर्मचारियों में से 16 ने फ्रांस, 10 - इटली, 6 - इंग्लैंड का दौरा किया; इंग्लैंड और इटली में - 5; इंग्लैंड और फ्रांस में - 6; तीनों देशों में - 5 कर्मचारी। कितने लोगों ने इटली और फ्रांस दोनों का दौरा किया है, यदि कंपनी में 19 लोग हैं, और उनमें से प्रत्येक ने इनमें से कम से कम एक देश का दौरा किया है?

5. पाठ को सारांशित करना।

6. प्रतिबिंब।

• मुझे सबसे ज्यादा सफलता मिली...
• यह मेरे लिए एक रहस्योद्घाटन था कि...
• आप अपनी प्रशंसा किस लिए कर सकते हैं?
• आपको क्या लगता है क्या काम नहीं किया? क्यों? भविष्य के लिए क्या विचार करें?
• कक्षा में मेरी उपलब्धियां

7. गृहकार्य।

1. मकारिचेव। आइटम 13. नंबर 263, नंबर 264, नंबर 265, नंबर 266, नंबर 271, नंबर 272।
2. सेट थ्योरी के अनुप्रयोग के लिए कार्यों की रचना करें।
3. समूहों में, "सेट" विषय पर प्रस्तुतियाँ तैयार करें।

1 प्रश्न:बहुत साकुछ सामान्य विशेषताओं द्वारा एकजुट कुछ तत्वों का संग्रह है। समुच्चय के अवयव संख्याएँ, आकृतियाँ, वस्तुएँ, अवधारणाएँ आदि हो सकते हैं।

सेट निरूपित हैं बड़े अक्षर, और सेट के अवयव छोटे अक्षरों में हैं। सेट तत्व घुंघराले ब्रेसिज़ में संलग्न हैं।

यदि तत्व एक्ससेट के अंतर्गत आता है एक्स, फिर लिखें एक्स ∈ एक्स (∈ - के अंतर्गत आता है)। यदि समुच्चय A समुच्चय B का भाग है, तो लिखिए लेकिन⊂ पर (⊂ - निहित है)।

परिभाषा 1 (सेटों की समानता की परिभाषा)।सेट लेकिनऔर B समान हैं यदि उनमें समान तत्व हैं, अर्थात यदि x A से x B का अनुसरण होता है और इसके विपरीत, x B से x  A का अनुसरण होता है।

औपचारिक रूप से, दो सेटों की समानता इस प्रकार लिखी जाती है:

(ए = बी):= एक्स((एक्सए)  (एक्सबी)),

इसका मतलब है कि किसी भी वस्तु x के लिए अनुपात x A और x B बराबर हैं।

यहाँ  सार्वत्रिक परिमाणक है ( .) एक्सपढ़ता है "प्रत्येक के लिए" एक्स").

सबसेट

परिभाषा: सेट एक्स है सबसेट Y यदि समुच्चय X का कोई अवयव समुच्चय Y से संबंधित है। इसे भी कहा जाता है गैर सख्त समावेशकुछ सबसेट गुण:

1. - परावर्तन

2. एक्स वाई और वाईजेड  एक्स  जेड - ट्रांजिटिविटी

3. एक्स यानी। रिक्त समुच्चय किसी समुच्चय का उपसमुच्चय है। सार्वभौम समुच्चय परिभाषा: सार्वसमुच्चय- यह एक ऐसा सेट है जिसमें सभी तत्वों के साथ-साथ अध्ययन क्षेत्र की वस्तुओं के सेट के सबसेट होते हैं, अर्थात।

1. अगर एम  मैं , फिर एम  मैं

2. अगर एम  मैं , फिर (एम)  मैं, जहां नीचे (एम) -एम, या बूलियन एम के सभी संभावित सबसेट को संदर्भित करता है।

सार्वत्रिक समुच्चय को सामान्यतः निरूपित किया जाता है मैं .

विचाराधीन सेट और हल किए जाने वाले कार्यों के आधार पर, सार्वभौमिक सेट को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है।

सेट निर्दिष्ट करने के तरीके:

1. इसके तत्वों को सूचीबद्ध करके। आमतौर पर, परिमित सेट गणना द्वारा निर्दिष्ट किए जाते हैं।

2. उन गुणों का वर्णन करके जो इस समुच्चय के सभी अवयवों और केवल इस समुच्चय के लिए उभयनिष्ठ हैं। इस संपत्ति को कहा जाता है विशेषता संपत्ति, और सेट निर्दिष्ट करने का यह तरीका विवरण. इस प्रकार, परिमित और अनंत दोनों सेट निर्दिष्ट किए जा सकते हैं। यदि हम किसी गुण द्वारा समुच्चय निर्धारित करते हैं, तो यह पता चल सकता है कि केवल एक वस्तु में यह गुण है, या ऐसी कोई वस्तु नहीं है। यह तथ्य बिल्कुल स्पष्ट नहीं हो सकता है।

विषय 2.3 सेट पर संचालन।

अब सेट पर संचालन को परिभाषित करते हैं।

1. सेटों का प्रतिच्छेदन।

परिभाषा: समुच्चय X और Y का प्रतिच्छेदन समुच्चय है जिसमें वे सभी और केवल वे तत्व हैं जो समुच्चय X और समुच्चय Y दोनों से संबंधित हैं।

उदाहरण के लिए: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) चौराहा (2,4)

परिभाषा: समुच्चय असंयुक्त कहलाते हैं यदि उनमें कोई उभयनिष्ठ अवयव न हों, अर्थात्। उनका चौराहा खाली सेट के बराबर है।

उदाहरण के लिए : अप्रतिच्छेदी समुच्चय समूह के उत्कृष्ट विद्यार्थियों और जो अच्छा नहीं कर रहे हैं, के समुच्चय हैं।

इस ऑपरेशन को दो से अधिक सेटों तक बढ़ाया जा सकता है। इस मामले में, यह सभी सेटों से एक साथ संबंधित तत्वों का एक सेट होगा।

प्रतिच्छेदन गुण:

1. X∩Y = Y∩X - कम्यूटेटिविटी

2. (X∩Y) Z =X∩ (Y∩Z)=X∩Y∩Z - सहयोगीता

3. X∩ =

4.X∩ मैं = एक्स

2. सेटों का संघ

परिभाषा: दो समुच्चयों का मिलन एक समुच्चय है जिसमें सभी और केवल वे तत्व होते हैं जो कम से कम एक समुच्चय X या Y से संबंधित होते हैं।

उदाहरण के लिए: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) संघ द्वारा (1,2,3,4,6)

इस ऑपरेशन को दो से अधिक सेटों तक बढ़ाया जा सकता है। इस मामले में, यह उन तत्वों का एक समूह होगा जो इनमें से कम से कम एक सेट से संबंधित हैं।

संघ गुण:

1. एक्सयूवाई = वाईयूवाई-कम्यूटेटिविटी

2. (X UY)UZ =XU (YUZ)=XUYUZ - सहयोगीता

4.XU मैं = मैं

यह प्रतिच्छेदन और संघ के संचालन के गुणों से देखा जा सकता है कि रिक्त सेट संख्याओं के बीजगणित में शून्य के अनुरूप है।

3. सेट का अंतर

परिभाषा: यह ऑपरेशन, चौराहे और संघ के संचालन के विपरीत, केवल दो सेटों के लिए परिभाषित किया गया है। समुच्चय X और Y का अंतर वह समुच्चय है जिसमें वे सभी और केवल वे तत्व हैं जो X से संबंधित हैं और Y के नहीं हैं।

उदाहरण के लिए: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) अंतर (1,3)

जैसा कि हम पहले ही देख चुके हैं, समुच्चयों के बीजगणित में शून्य की भूमिका रिक्त समुच्चय द्वारा निभाई जाती है। हम एक सेट को परिभाषित करते हैं जो सेट के बीजगणित में एक इकाई की भूमिका निभाएगा

4. सेट का पूरक

समुच्चय X का पूरक I और X के बीच का अंतर है।

ऐड-ऑन गुण:

1. समुच्चय X और उसके पूरक में कोई उभयनिष्ठ अवयव नहीं है

2. कोई भी अवयव I या तो समुच्चय X या उसके पूरक से संबंधित है।

2 प्रश्न संख्याओं के समूह

पूर्णांकों- मदों की गिनती (गणना) करते समय उपयोग की जाने वाली संख्याएँ: N=(1,2,3,…)

शून्य शामिल के साथ प्राकृतिक संख्या- वस्तुओं की संख्या को इंगित करने के लिए प्रयुक्त संख्याएँ: N0=(0,1,2,3,…)

पूर्ण संख्याएं- प्राकृत संख्याएँ, प्राकृत संख्याओं के विपरीत संख्याएँ (अर्थात ऋणात्मक चिह्न के साथ) और शून्य शामिल करें। पूर्णांक सकारात्मक संख्या: Z+=N=(1,2,3,…) पूर्णांक ऋणात्मक संख्या: Z−=(…,−3,−2,−1) Z=Z−∪(0)∪Z+=(…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…)

परिमेय संख्या− संख्याएं एक उभयनिष्ठ भिन्न a/b के रूप में निरूपित होती हैं, जहां a और b पूर्णांक और b≠0 हैं। क्यू=(x∣x=a/b,a∈Z,b∈Z,b≠0) दशमलवएक परिमेय संख्या को एक परिमित या अनंत आवर्त भिन्न द्वारा दर्शाया जाता है।

तर्कहीन संख्या- संख्याएं जिन्हें अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जाता है।

वास्तविक (वास्तविक) संख्याएं- परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का मिलन: R

जटिल आंकड़े C=(x+iy∣x∈R और y∈R), जहां i काल्पनिक इकाई है।

वास्तविक संख्या और गुणों का मापांक

वास्तविक संख्या मापांकइस संख्या का निरपेक्ष मान है।

सीधे शब्दों में कहें, मॉड्यूल लेते समय, आपको संख्या से इसके चिह्न को त्यागने की आवश्यकता होती है।

किसी संख्या का निरपेक्ष मान एकलक्षित |ए|. ध्यान दें कि किसी संख्या का मापांक हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है: |ए|≥ 0.

|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45

लक्ष्य:यूलर सर्कल के रूप में सेट और संबंधित ग्राफिकल मॉडल के "चौराहे" की अवधारणा का परिचय दें। सेट के प्रतिच्छेदन के लिए अंकन दर्ज करें।

दोहराव, चेक डी / जेड:

"कई" शब्द का क्या अर्थ है?

समुच्चय के अवयव को हम क्या कहते हैं?

एक सेट के तत्व क्या हैं?

तत्वों की संख्या से सेट कैसे प्रतिष्ठित होते हैं?

आप एक सेट को कैसे परिभाषित कर सकते हैं? (तत्वों की गणना, विशिष्ट गुण)

विशेषता गुण किसे कहते हैं?

क्या समुच्चय समान कहलाते हैं?

संक्षिप्त अंकन के लिए हम किस गणितीय "चित्रलिपि" का उपयोग करते हैं?

एक उपसमुच्चय क्या है?

यूलर सर्कल क्या हैं? वे क्यों? (यूलर सर्कल एक ज्यामितीय आरेख है जिसका उपयोग दृश्य प्रतिनिधित्व के लिए सबसेट के बीच संबंधों को चित्रित करने के लिए किया जा सकता है)

सेट का एक संघ क्या है? संघ का चिन्ह।

तय करना व्यायाम 1, 2, 3.डी / एच से अभ्यास 1, 2 की जाँच करें।

d / z से अभ्यास 3 की जाँच करें (सभी प्रस्तावित समाधान)

से व्यायाम की जाँच करें गृहकार्य:

सेट दिए गए हैं: ए = (2; 3; 8), बी = (2; 3; 8; 11) और सी = (5; 11)।

खोजें: ए) ए बी; बी) ए सी; सी) सी बी।

A सम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है, B दो अंकों की संख्याओं का समुच्चय है। इन समुच्चयों के मिलन का एक अभिलक्षणिक गुण लिखिए। इस समुच्चय के तत्वों के उदाहरण दीजिए।

हल: A ∪ B सम प्राकृत संख्याओं या दो अंकों की संख्याओं का समुच्चय है। उदाहरण 4, 8, 11, 32, 51, आदि।

कक्षा में 30 लोग हैं, जिनमें से प्रत्येक गाता या नृत्य करता है। यह ज्ञात है कि 17 लोग गाते हैं, और 19 लोग नृत्य करना जानते हैं। कितने लोग एक साथ गा रहे हैं और नाच रहे हैं?

समाधान: सबसे पहले, ध्यान दें कि 30 लोगों में से (पहली आकृति में - सेट बी) 30 - 17 . गा नहीं सकते (पहली आकृति में - सेट ए)= 13 लोग (पहली आकृति पर - छायांकित सेट)।

इस प्रकार, 13 लोग गा नहीं सकते। वे सभी नृत्य करना जानते हैं, क्योंकि शर्त के अनुसार कक्षा का प्रत्येक छात्र गाता या नृत्य करता है। कुल 19 लोग नृत्य कर सकते हैं (दूसरी आकृति में - सेट बी), जिनमें से 13 (दूसरी आकृति में - सेट ए)गाना नहीं जानते, जिसका मतलब है कि 19-13 = 6 लोग एक ही समय में नाच और गा सकते हैं (दूसरी आकृति पर - छायांकित सेट).

व्यायाम 1: चित्र के अनुसार एक कार्य की रचना करें:

अभ्यास 2: दिए गए समुच्चय: A = (1; 2; 5; 7) और B = (3; 5; 7)। इन समुच्चयों का मिलन ज्ञात कीजिए।

समाधान: ए∪ बी = (1; 2; 5; 7; 3)।

व्यायाम 3:सेट दिए गए हैं: ए = (3, 5, 0, 11, 12, 19), बी = (2, 4, 8, 12, 18, 0)। सेट ए यू बी खोजें।

समाधान: ए∪ बी = (3, 5, 0, 11, 12, 19, 2, 4, 8, 18}.

नए ज्ञान की खोज: सेट का प्रतिच्छेदन

आपको तस्वीर में "फलों" का सेट कैसे मिला? (सेट "सेब" और "नाशपाती" का मिलन)

आपको क्या लगता है, "येलो" का सेट कैसे आया? इस सेट में क्या शामिल है, कौन से तत्व?

यह सही है, पीले नाशपाती और पीले सेब सेट "सेब" और सेट "नाशपाती" के चौराहे के परिणामस्वरूप गठित सेट हैं।

इन समुच्चयों का प्रतिच्छेदन कौन से तत्व हैं? (सामान्य, समान)

अभ्यास 1: दो समुच्चय दिए गए हैं A = (1; 2; 5; 7) और B = (4; 5; 6; 7; 8; 9; 10)। आपके विचार से इन समुच्चयों के कौन से तत्व उनका प्रतिच्छेदन होंगे?

एक अन्य चित्र को देखें और दो समुच्चयों के प्रतिच्छेदन की परिभाषा बनाने का प्रयास करें।

चौराहा सेट करेंएक्स तथायू समुच्चय कहा जाता है जिसमें समुच्चय के सभी सामान्य (समान) तत्व होते हैंएक्स तथायू , अर्थात। सभी तत्वों से संबंधित और सेटएक्स , और कईयू .

आप क्या सोचते हैं, कौन सा अंकगणितीय ऑपरेशन चौराहे से मेल खाता है? (गुणा, उत्पाद)

पद:एक्स ∩ यू .

सेट को यूलर सर्कल के रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है।

चित्र में, समुच्चयों के प्रतिच्छेदों का समुच्चय एक्सतथा यूमें चित्रित नारंगी रंग.

हम दो सेटों के प्रतिच्छेदन की रचना कैसे करेंगे?

दो का प्रतिच्छेदन करने के लिए संख्या सेट, हमें पहले सेट के तत्वों को क्रमिक रूप से लेना चाहिए और जांचना चाहिए कि वे दूसरे सेट से संबंधित हैं या नहीं। उनमें से जो संबंधित हैं, और चौराहे होंगे।

व्यायाम 2:समुच्चयों का प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिएएतथाबी, यदिए=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) औरबी={2,4,6,8,10}.

ए∩ बी={2,4,6,8}.

व्यायाम 3:समुच्चयों का प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिएएतथाबी, यदिए=(2,4,6) औरबी=(2,4,6,8,10)। यूलर सर्कल का उपयोग करके समाधान बनाएं।

हल: समुच्चय के उभयनिष्ठ (समान) अवयव ज्ञात कीजिए।

ए∩ बी=(2,4,6,) = ए.

व्यायाम 4:समुच्चयों का प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिएएतथाबी, यदिए=(0,1,2,3,4,5) औरबी=(6,8,10)। यूलर सर्कल का उपयोग करके समाधान बनाएं।

हल: समुच्चय के उभयनिष्ठ (समान) अवयव ज्ञात कीजिए। वे यहाँ नहीं हैं।

ए ∩ बी =.

6-एक

यदि दो समुच्चयों में कोई उभयनिष्ठ अवयव नहीं हैं, तो इन समुच्चयों का प्रतिच्छेदन रिक्त समुच्चय है।

हम तीन समुच्चयों का प्रतिच्छेदन कैसे ज्ञात कर सकते हैं?

तीन सेटों के संघ का प्रतिनिधित्व करने के लिए यूलर सर्कल का प्रयोग करें: ए, बी, और सी।

आपने उन्हें किस क्रम में पार किया?

सचमुच, सेट के प्रतिच्छेदन का परिणाम संचालन के क्रम पर निर्भर नहीं करता है:

चौराहा गुण सेट करें:

1. समुच्चयों के प्रतिच्छेदन का संक्रिया क्रमविनिमेय है: A B = B ∩ A;

2. समुच्चयों के प्रतिच्छेदन का संक्रिया सकर्मक है: (ए ∩ बी) सी = ए ∩ (बी ∩ सी);

3. सार्वत्रिक समुच्चय X समुच्चयों के प्रतिच्छेदन के संक्रिया का एक उदासीन अवयव है: A X = A;

4. समुच्चयों के प्रतिच्छेदन की संक्रिया निष्क्रिय होती है: A A = A;

5. यदि एक खाली समुच्चय है, तो: = .

पाठ को सारांशित करना, प्रतिबिंब

मुझे सबसे ज्यादा सफलता मिली...

यह मेरे लिए एक रहस्योद्घाटन था कि...

आप अपनी प्रशंसा किस लिए कर सकते हैं?

आपको क्या लगता है क्या काम नहीं किया? क्यों? भविष्य के लिए क्या विचार करें?

कक्षा में मेरी उपलब्धियां

गृहकार्य:सार, व्यायाम:

सेट दिए गए हैं: ए \u003d (ए; बी; सी; डी), बी \u003d (सी; डी; ई; एफ) और सी \u003d (सी; ई; क्यू; के)।

खोजें: (ए ∪ बी) सी।

A सम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है, B दो अंकों की संख्याओं का समुच्चय है। इन समुच्चयों के प्रतिच्छेदन का अभिलक्षणिक गुण लिखिए। इस समुच्चय के तत्वों के उदाहरण दीजिए।

हल: A B सम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है तथादो अंकों की संख्या। उदाहरण 42, 86, 12, 32, 50, आदि।

कक्षा का प्रत्येक छात्र अंग्रेजी या फ्रेंच सीखता है। अंग्रेजी भाषा 25 छात्र फ्रेंच, 27 छात्र और 18 छात्र दो भाषाओं का अध्ययन करते हैं। कक्षा में कितने विध्यार्थी है?