सेट सिद्धांत की अवधारणा; समुच्चयों का प्रतिच्छेदन एक समुच्चय है जिसमें वे सभी तत्व होते हैं जो सभी दिए गए समुच्चयों से एक साथ संबंधित होते हैं। समुच्चय A और B के प्रतिच्छेदन को A? B या AB से निरूपित किया जाता है।

सेट सिद्धांत की अवधारणा; समुच्चयों का प्रतिच्छेदन एक समुच्चय है जिसमें वे सभी तत्व होते हैं जो सभी दिए गए समुच्चयों से एक साथ संबंधित होते हैं। समुच्चय A और B का प्रतिच्छेदन A∩B या AB द्वारा निरूपित किया जाता है। * * *सेट्स का इंटरसेक्शन ऑफ सेट्स… विश्वकोश शब्दकोश

एक समुच्चय जिसमें वे सभी तत्व होते हैं जो सभी दिए गए समुच्चयों से एक साथ संबंधित होते हैं। P. m. A और B, A B या AB को निरूपित करते हैं; P. m. Ak, एक परिमित या अनंत संख्या में लिया गया, Ak को निरूपित करता है। पी.एम. खाली हो सकता है, यानी नहीं ... ... महान सोवियत विश्वकोश

सेट सिद्धांत की अवधारणा; राई के उन सभी तत्वों से युक्त पी एम सेट एक साथ हैं। सभी दिए गए सेटों के लिए। पी एम ...

A और B का प्रतिच्छेदन समुच्चय सिद्धांत में समुच्चयों का प्रतिच्छेदन एक ऐसा समुच्चय है जिसमें ऐसे तत्व होते हैं जो सभी दिए गए समुच्चयों से एक साथ संबंधित होते हैं। सामग्री 1 परिभाषा 2 नोट ... विकिपीडिया

गणित की एक शाखा जो सेट के सामान्य गुणों का अध्ययन करती है, ज्यादातर अनंत। एक सेट की अवधारणा सबसे सरल गणितीय अवधारणा है, इसे परिभाषित नहीं किया गया है, लेकिन केवल उदाहरणों की मदद से समझाया गया है: एक शेल्फ पर बहुत सारी किताबें, बहुत सारे बिंदु ... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

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एक गणितीय सिद्धांत जो सटीक तरीकों से अनंत की समस्या का अध्ययन करता है। विषय एम. एल. सेट के गुण (संग्रह, वर्ग, पहनावा), ch। गिरफ्तार अनंत। एक सेट ए परिभाषित और अलग-अलग वस्तुओं का संग्रह है ... तर्क शर्तों की शब्दावली

सेट थ्योरी गणित की एक शाखा है जो सेट के सामान्य गुणों का अध्ययन करती है। सेट सिद्धांत अधिकांश गणितीय विषयों के केंद्र में है; गणित की विषय वस्तु की समझ पर इसका गहरा प्रभाव पड़ा। सामग्री 1 सिद्धांत ... ... विकिपीडिया

गणित की वह शाखा जिसमें समुच्चयों के सामान्य गुणों का अध्ययन मुख्यतः किया जाता है। अनंत। एक सेट की अवधारणा चटाई की सबसे सरल है। अवधारणा, इसे परिभाषित नहीं किया गया है, लेकिन केवल उदाहरणों की मदद से समझाया गया है: एक शेल्फ पर बहुत सारी किताबें, एक पंक्ति पर बहुत सारे बिंदु ... ... प्राकृतिक विज्ञान। विश्वकोश शब्दकोश

पुस्तकें

• मैं 20 तक गिनता हूँ। 6 - 7 वर्ष के बच्चों के लिए कार्यपुस्तिका। जीईएफ डीओ, शेवलेव कॉन्स्टेंटिन वेलेरिविच। कार्यपुस्तिका को 6-7 वर्ष की आयु के बच्चों के साथ काम करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। प्राथमिक गणितीय अभ्यावेदन बनाकर कॉग्निशन ब्लॉक के लक्ष्यों की प्राप्ति में योगदान देता है। कार्यप्रणाली…

1 प्रश्न:बहुत साकुछ सामान्य विशेषताओं द्वारा एकजुट कुछ तत्वों का संग्रह है। समुच्चय के अवयव संख्याएँ, आकृतियाँ, वस्तुएँ, अवधारणाएँ आदि हो सकते हैं।

सेट निरूपित हैं बड़े अक्षर, और सेट के अवयव छोटे अक्षरों में हैं। सेट तत्व घुंघराले ब्रेसिज़ में संलग्न हैं।

यदि तत्व एक्ससेट के अंतर्गत आता है एक्स, फिर लिखें एक्स ∈ एक्स (∈ - के अंतर्गत आता है)। यदि समुच्चय A समुच्चय B का भाग है, तो लिखिए लेकिन⊂ पर (⊂ - निहित है)।

परिभाषा 1 (सेटों की समानता की परिभाषा)।सेट लेकिनऔर B समान हैं यदि उनमें समान तत्व हैं, अर्थात यदि x A से x  B का अनुसरण होता है और इसके विपरीत, x B से x  A का अनुसरण होता है।

औपचारिक रूप से, दो सेटों की समानता इस प्रकार लिखी जाती है:

(ए = बी):= एक्स((एक्सए)  (एक्सबी)),

इसका मतलब है कि किसी भी वस्तु x के लिए अनुपात x A और x B बराबर हैं।

यहाँ  सार्वत्रिक परिमाणक है ( .) एक्सपढ़ता है "प्रत्येक के लिए" एक्स").

सबसेट

परिभाषा: सेट एक्स है सबसेट Y यदि समुच्चय X का कोई अवयव समुच्चय Y से संबंधित है। इसे भी कहा जाता है गैर सख्त समावेशकुछ सबसेट गुण:

1. - परावर्तन

2. एक्स वाई और वाईजेड  एक्स  जेड - ट्रांजिटिविटी

3. एक्स यानी। रिक्त समुच्चय किसी समुच्चय का उपसमुच्चय है। सार्वभौम समुच्चय परिभाषा: सार्वसमुच्चय- यह एक ऐसा सेट है जिसमें सभी तत्वों के साथ-साथ अध्ययन क्षेत्र की वस्तुओं के सेट के सबसेट होते हैं, अर्थात।

1. अगर एम  मैं , फिर एम  मैं

2. अगर एम  मैं , फिर (एम)  मैं, जहां नीचे (एम) -एम, या बूलियन एम के सभी संभावित सबसेट को संदर्भित करता है।

सार्वत्रिक समुच्चय को सामान्यतः निरूपित किया जाता है मैं .

विचाराधीन सेट और हल किए जाने वाले कार्यों के आधार पर, सार्वभौमिक सेट को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है।

सेट निर्दिष्ट करने के तरीके:

1. इसके तत्वों को सूचीबद्ध करके। आमतौर पर, परिमित सेट गणना द्वारा निर्दिष्ट किए जाते हैं।

2. उन गुणों का वर्णन करके जो इस समुच्चय के सभी अवयवों और केवल इस समुच्चय के लिए उभयनिष्ठ हैं। इस संपत्ति को कहा जाता है विशेषता संपत्ति, और सेट निर्दिष्ट करने का यह तरीका विवरण. इस प्रकार, परिमित और अनंत दोनों सेट निर्दिष्ट किए जा सकते हैं। यदि हम किसी गुण द्वारा समुच्चय निर्धारित करते हैं, तो यह पता चल सकता है कि केवल एक वस्तु में यह गुण है, या ऐसी कोई वस्तु नहीं है। यह तथ्य बिल्कुल स्पष्ट नहीं हो सकता है।

विषय 2.3 सेट पर संचालन।

अब सेट पर संचालन को परिभाषित करते हैं।

1. सेटों का प्रतिच्छेदन।

परिभाषा: समुच्चय X और Y का प्रतिच्छेदन समुच्चय है जिसमें वे सभी और केवल वे तत्व हैं जो समुच्चय X और समुच्चय Y दोनों से संबंधित हैं।

उदाहरण के लिए: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) चौराहा (2,4)

परिभाषा: समुच्चय असंयुक्त कहलाते हैं यदि उनमें कोई उभयनिष्ठ अवयव न हों, अर्थात्। उनका चौराहा खाली सेट के बराबर है।

उदाहरण के लिए : अप्रतिच्छेदी समुच्चय समूह के उत्कृष्ट विद्यार्थियों और जो अच्छा नहीं कर रहे हैं, के समुच्चय हैं।

इस ऑपरेशन को दो से अधिक सेटों तक बढ़ाया जा सकता है। इस मामले में, यह सभी सेटों से एक साथ संबंधित तत्वों का एक सेट होगा।

प्रतिच्छेदन गुण:

1. X∩Y = Y∩X - कम्यूटेटिविटी

2. (X∩Y) Z =X∩ (Y∩Z)=X∩Y∩Z - सहयोगीता

3. X∩ =

4.X∩ मैं = एक्स

2. सेटों का संघ

परिभाषा: दो समुच्चयों का मिलन एक समुच्चय है जिसमें सभी और केवल वे तत्व होते हैं जो कम से कम एक समुच्चय X या Y से संबंधित होते हैं।

उदाहरण के लिए: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) संघ द्वारा (1,2,3,4,6)

इस ऑपरेशन को दो से अधिक सेटों तक बढ़ाया जा सकता है। इस मामले में, यह उन तत्वों का एक समूह होगा जो इनमें से कम से कम एक सेट से संबंधित हैं।

संघ गुण:

1. एक्सयूवाई = वाईयूवाई-कम्यूटेटिविटी

2. (X UY)UZ =XU (YUZ)=XUYUZ - सहयोगीता

4.XU मैं = मैं

यह प्रतिच्छेदन और संघ के संचालन के गुणों से देखा जा सकता है कि रिक्त सेट संख्याओं के बीजगणित में शून्य के अनुरूप है।

3. सेट का अंतर

परिभाषा: यह ऑपरेशन, चौराहे और संघ के संचालन के विपरीत, केवल दो सेटों के लिए परिभाषित किया गया है। समुच्चय X और Y का अंतर वह समुच्चय है जिसमें वे सभी और केवल वे तत्व हैं जो X से संबंधित हैं और Y के नहीं हैं।

उदाहरण के लिए: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) अंतर (1,3)

जैसा कि हम पहले ही देख चुके हैं, समुच्चयों के बीजगणित में शून्य की भूमिका रिक्त समुच्चय द्वारा निभाई जाती है। हम एक सेट को परिभाषित करते हैं जो सेट के बीजगणित में एक इकाई की भूमिका निभाएगा

4. सेट का पूरक

समुच्चय X का पूरक I और X के बीच का अंतर है।

ऐड-ऑन गुण:

1. समुच्चय X और उसके पूरक में कोई उभयनिष्ठ अवयव नहीं है

2. कोई भी अवयव I या तो समुच्चय X या उसके पूरक से संबंधित है।

2 प्रश्न संख्याओं के समूह

पूर्णांकों- मदों की गिनती (गणना) करते समय उपयोग की जाने वाली संख्याएँ: N=(1,2,3,…)

शून्य शामिल के साथ प्राकृतिक संख्या- वस्तुओं की संख्या को इंगित करने के लिए प्रयुक्त संख्याएँ: N0=(0,1,2,3,…)

पूर्ण संख्याएं- प्राकृत संख्याएँ, प्राकृत संख्याओं के विपरीत संख्याएँ (अर्थात ऋणात्मक चिह्न के साथ) और शून्य शामिल करें। पूर्णांक सकारात्मक संख्या: Z+=N=(1,2,3,…) पूर्णांक ऋणात्मक संख्या: Z−=(…,−3,−2,−1) Z=Z−∪(0)∪Z+=(…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…)

परिमेय संख्या− संख्याएं एक उभयनिष्ठ भिन्न a/b के रूप में निरूपित होती हैं, जहां a और b पूर्णांक और b≠0 हैं। क्यू=(x∣x=a/b,a∈Z,b∈Z,b≠0) दशमलवएक परिमेय संख्या को एक परिमित या अनंत आवर्त भिन्न द्वारा दर्शाया जाता है।

तर्कहीन संख्या- संख्याएं जिन्हें अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जाता है।

वास्तविक (वास्तविक) संख्याएं- परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का मिलन: R

जटिल आंकड़े C=(x+iy∣x∈R और y∈R), जहां i काल्पनिक इकाई है।

वास्तविक संख्या और गुणों का मापांक

वास्तविक संख्या मापांकइस संख्या का निरपेक्ष मान है।

सीधे शब्दों में कहें, मॉड्यूल लेते समय, आपको संख्या से इसके चिह्न को त्यागने की आवश्यकता होती है।

किसी संख्या का निरपेक्ष मान एकलक्षित |ए|. ध्यान दें कि किसी संख्या का मापांक हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है: |ए|≥ 0.

|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45

लक्ष्य:यूलर सर्कल के रूप में सेट और संबंधित ग्राफिकल मॉडल के "चौराहे" की अवधारणा का परिचय दें। सेट के प्रतिच्छेदन के लिए अंकन दर्ज करें।

दोहराव, चेक डी / जेड:

"कई" शब्द का क्या अर्थ है?

समुच्चय के अवयव को हम क्या कहते हैं?

एक सेट के तत्व क्या हैं?

तत्वों की संख्या से सेट कैसे प्रतिष्ठित होते हैं?

आप एक सेट को कैसे परिभाषित कर सकते हैं? (तत्वों की गणना, विशिष्ट गुण)

विशेषता गुण किसे कहते हैं?

क्या समुच्चय समान कहलाते हैं?

संक्षिप्त अंकन के लिए हम किस गणितीय "चित्रलिपि" का उपयोग करते हैं?

एक उपसमुच्चय क्या है?

यूलर सर्कल क्या हैं? वे क्यों? (यूलर सर्कल एक ज्यामितीय आरेख है जिसका उपयोग दृश्य प्रतिनिधित्व के लिए सबसेट के बीच संबंधों को चित्रित करने के लिए किया जा सकता है)

सेट का एक संघ क्या है? संघ का चिन्ह।

तय करना व्यायाम 1, 2, 3.डी / एच से अभ्यास 1, 2 की जाँच करें।

d / z से अभ्यास 3 की जाँच करें (सभी प्रस्तावित समाधान)

से व्यायाम की जाँच करें गृहकार्य:

सेट दिए गए हैं: ए = (2; 3; 8), बी = (2; 3; 8; 11) और सी = (5; 11)।

खोजें: ए) ए बी; बी) ए सी; सी) सी बी।

A सम का समुच्चय है प्राकृतिक संख्या, B दो अंकों की संख्याओं का समुच्चय है। इन समुच्चयों के मिलन का एक अभिलक्षणिक गुण लिखिए। इस समुच्चय के तत्वों के उदाहरण दीजिए।

हल: A ∪ B सम प्राकृत संख्याओं या दो अंकों की संख्याओं का समुच्चय है। उदाहरण 4, 8, 11, 32, 51, आदि।

कक्षा में 30 लोग हैं, जिनमें से प्रत्येक गाता या नृत्य करता है। यह ज्ञात है कि 17 लोग गाते हैं, और 19 लोग नृत्य करना जानते हैं। कितने लोग एक साथ गा रहे हैं और नाच रहे हैं?

समाधान: सबसे पहले, ध्यान दें कि 30 लोगों में से (पहली आकृति में - सेट बी) 30 - 17 . गा नहीं सकते (पहली आकृति में - सेट ए)= 13 लोग (पहली आकृति पर - छायांकित सेट)।

इस प्रकार, 13 लोग गा नहीं सकते। वे सभी नृत्य करना जानते हैं, क्योंकि शर्त के अनुसार कक्षा का प्रत्येक छात्र गाता या नृत्य करता है। कुल 19 लोग नृत्य कर सकते हैं (दूसरी आकृति में - सेट बी), जिनमें से 13 (दूसरी आकृति में - सेट ए)गाना नहीं जानते, जिसका मतलब है कि 19-13 = 6 लोग एक ही समय में नाच और गा सकते हैं (दूसरी आकृति पर - छायांकित सेट).

व्यायाम 1: चित्र के अनुसार एक कार्य की रचना करें:

अभ्यास 2: दिए गए समुच्चय: A = (1; 2; 5; 7) और B = (3; 5; 7)। इन समुच्चयों का मिलन ज्ञात कीजिए।

समाधान: ए∪ बी = (1; 2; 5; 7; 3)।

व्यायाम 3:सेट दिए गए हैं: ए = (3, 5, 0, 11, 12, 19), बी = (2, 4, 8, 12, 18, 0)। सेट ए यू बी खोजें।

समाधान: ए∪ बी = (3, 5, 0, 11, 12, 19, 2, 4, 8, 18}.

नए ज्ञान की खोज: सेट का प्रतिच्छेदन

आपको तस्वीर में "फलों" का सेट कैसे मिला? (सेट "सेब" और "नाशपाती" का मिलन)

आपको क्या लगता है, "येलो" का सेट कैसे आया? इस सेट में क्या शामिल है, कौन से तत्व?

यह सही है, पीले नाशपाती और पीले सेब सेट "सेब" और सेट "नाशपाती" के चौराहे के परिणामस्वरूप गठित सेट हैं।

इन समुच्चयों का प्रतिच्छेदन कौन से तत्व हैं? (सामान्य, समान)

अभ्यास 1: दो समुच्चय दिए गए हैं A = (1; 2; 5; 7) और B = (4; 5; 6; 7; 8; 9; 10)। आपके विचार से इन समुच्चयों के कौन से तत्व उनका प्रतिच्छेदन होंगे?

एक अन्य चित्र को देखें और दो समुच्चयों के प्रतिच्छेदन की परिभाषा बनाने का प्रयास करें।

चौराहा सेट करेंएक्स तथायू समुच्चय कहा जाता है जिसमें समुच्चय के सभी सामान्य (समान) तत्व होते हैंएक्स तथायू , अर्थात। सभी तत्वों से संबंधित और सेटएक्स , और कईयू .

आप क्या सोचते हैं, कौन सा अंकगणितीय ऑपरेशन चौराहे से मेल खाता है? (गुणा, उत्पाद)

पद:एक्स ∩ यू .

सेट को यूलर सर्कल के रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है।

चित्र में, समुच्चयों के प्रतिच्छेदों का समुच्चय एक्सतथा यूमें चित्रित नारंगी रंग.

हम दो सेटों के प्रतिच्छेदन की रचना कैसे करेंगे?

दो का प्रतिच्छेदन करने के लिए संख्या सेट, हमें पहले सेट के तत्वों को क्रमिक रूप से लेना चाहिए और जांचना चाहिए कि वे दूसरे सेट से संबंधित हैं या नहीं। उनमें से जो संबंधित हैं, और चौराहे होंगे।

व्यायाम 2:समुच्चयों का प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिएएतथाबी, यदिए=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) औरबी={2,4,6,8,10}.

ए∩ बी={2,4,6,8}.

व्यायाम 3:समुच्चयों का प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिएएतथाबी, यदिए=(2,4,6) औरबी=(2,4,6,8,10)। यूलर सर्कल का उपयोग करके समाधान बनाएं।

हल: समुच्चय के उभयनिष्ठ (समान) अवयव ज्ञात कीजिए।

ए∩ बी=(2,4,6,) = ए.

व्यायाम 4:समुच्चयों का प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिएएतथाबी, यदिए=(0,1,2,3,4,5) औरबी=(6,8,10)। यूलर सर्कल का उपयोग करके समाधान बनाएं।

हल: समुच्चय के उभयनिष्ठ (समान) अवयव ज्ञात कीजिए। वे यहाँ नहीं हैं।

ए ∩ बी =.

6-एक

यदि दो समुच्चयों में कोई उभयनिष्ठ अवयव नहीं हैं, तो इन समुच्चयों का प्रतिच्छेदन रिक्त समुच्चय है।

हम तीन समुच्चयों का प्रतिच्छेदन कैसे ज्ञात कर सकते हैं?

तीन सेटों के संघ का प्रतिनिधित्व करने के लिए यूलर सर्कल का प्रयोग करें: ए, बी, और सी।

आपने उन्हें किस क्रम में पार किया?

सचमुच, सेट के प्रतिच्छेदन का परिणाम संचालन के क्रम पर निर्भर नहीं करता है:

चौराहा गुण सेट करें:

1. समुच्चयों के प्रतिच्छेदन का संक्रिया क्रमविनिमेय है: A B = B ∩ A;

2. समुच्चयों के प्रतिच्छेदन का संक्रिया सकर्मक है: (ए ∩ बी) सी = ए ∩ (बी ∩ सी);

3. सार्वत्रिक समुच्चय X समुच्चयों के प्रतिच्छेदन के संक्रिया का एक उदासीन अवयव है: A X = A;

4. समुच्चयों के प्रतिच्छेदन की संक्रिया निष्क्रिय होती है: A A = A;

5. यदि एक खाली समुच्चय है, तो: = .

पाठ को सारांशित करना, प्रतिबिंब

मुझे सबसे ज्यादा सफलता मिली...

यह मेरे लिए एक रहस्योद्घाटन था कि...

आप अपनी प्रशंसा किस लिए कर सकते हैं?

आपको क्या लगता है क्या काम नहीं किया? क्यों? भविष्य के लिए क्या विचार करें?

कक्षा में मेरी उपलब्धियां

गृहकार्य:सार, व्यायाम:

सेट दिए गए हैं: ए \u003d (ए; बी; सी; डी), बी \u003d (सी; डी; ई; एफ) और सी \u003d (सी; ई; क्यू; के)।

खोजें: (ए ∪ बी) सी।

A सम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है, B दो अंकों की संख्याओं का समुच्चय है। इन समुच्चयों के प्रतिच्छेदन का एक अभिलक्षणिक गुण लिखिए। इस समुच्चय के तत्वों के उदाहरण दीजिए।

हल: A ∩ B सम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है तथादो अंकों की संख्या। उदाहरण 42, 86, 12, 32, 50, आदि।

कक्षा का प्रत्येक छात्र अंग्रेजी या फ्रेंच सीखता है। अंग्रेजी भाषा 25 छात्र फ्रेंच, 27 छात्र और 18 छात्र दो भाषाओं का अध्ययन करते हैं। कक्षा में कितने विध्यार्थी है?