Online-Rechner Polynomische Vereinfachung Polynomische Multiplikation. Polynom, seine Standardform, Grad und Koeffizienten der Terme

Unter den verschiedenen Ausdrücken, die in der Algebra berücksichtigt werden, nehmen Summen von Monomen einen wichtigen Platz ein. Hier sind Beispiele für solche Ausdrücke:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Die Summe von Monomen heißt Polynom. Die Terme in einem Polynom heißen Glieder des Polynoms. Mononome werden auch als Polynome bezeichnet, wobei ein Monom als ein Polynom betrachtet wird, das aus einem Mitglied besteht.

Zum Beispiel Polynom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
vereinfacht werden kann.

Wir stellen alle Terme als Monome der Standardform dar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Wir geben ähnliche Terme im resultierenden Polynom an:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Das Ergebnis ist ein Polynom, dessen Mitglieder alle Monome der Standardform sind und unter denen es keine ähnlichen gibt. Solche Polynome werden aufgerufen Polynome der Standardform.

Pro Polynomgrad Standardform nehmen die größten Befugnisse ihrer Mitglieder. Das Binom \(12a^2b - 7b \) hat also den dritten Grad und das Trinom \(2b^2 -7b + 6 \) hat den zweiten.

Normalerweise werden die Terme von Polynomen in Standardform, die eine Variable enthalten, in absteigender Reihenfolge ihrer Exponenten angeordnet. Zum Beispiel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Die Summe mehrerer Polynome kann (vereinfacht) in ein Normalformpolynom umgewandelt werden.

Manchmal müssen die Mitglieder eines Polynoms in Gruppen eingeteilt werden, wobei jede Gruppe in Klammern gesetzt wird. Da Klammern das Gegenteil von Klammern sind, ist sie einfach zu formulieren Klammern Öffnungsregeln:

Steht das +-Zeichen vor den Klammern, so werden die in Klammern eingeschlossenen Begriffe mit den gleichen Zeichen geschrieben.

Wird den Klammern ein „-“ vorangestellt, so werden die in Klammern eingeschlossenen Begriffe mit entgegengesetzten Vorzeichen geschrieben.

Transformation (Vereinfachung) des Produkts aus einem Monom und einem Polynom

Unter Verwendung des Distributivgesetzes der Multiplikation kann man das Produkt eines Monoms und eines Polynoms in ein Polynom transformieren (vereinfachen). Zum Beispiel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Das Produkt eines Monoms und eines Polynoms ist identisch gleich der Summe der Produkte dieses Monoms und jedes der Terme des Polynoms.

Dieses Ergebnis wird üblicherweise als Regel formuliert.

Um ein Monom mit einem Polynom zu multiplizieren, muss man dieses Monom mit jedem der Terme des Polynoms multiplizieren.

Wir haben diese Regel wiederholt zum Multiplizieren mit einer Summe verwendet.

Das Produkt von Polynomen. Transformation (Vereinfachung) des Produkts zweier Polynome

Im Allgemeinen ist das Produkt zweier Polynome identisch gleich der Summe des Produkts jedes Terms eines Polynoms und jedes Terms des anderen.

Verwenden Sie normalerweise die folgende Regel.

Um ein Polynom mit einem Polynom zu multiplizieren, müssen Sie jeden Term eines Polynoms mit jedem Term des anderen multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.

Abgekürzte Multiplikationsformeln. Summe, Differenz und Differenzquadrat

Mit einigen Ausdrücken in algebraische Transformationen müssen sich mit mehr auseinandersetzen als andere. Die vielleicht gebräuchlichsten Ausdrücke sind \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) und \(a^2 - b^2 \), also das Quadrat der Summe, die Quadrat der Differenz und quadratische Differenz. Sie haben bemerkt, dass die Namen dieser Ausdrücke unvollständig zu sein scheinen, also ist beispielsweise \((a + b)^2 \) natürlich nicht nur das Quadrat der Summe, sondern das Quadrat der Summe von A und B. Das Quadrat der Summe von a und b ist jedoch in der Regel nicht so verbreitet, statt der Buchstaben a und b enthält es verschiedene, manchmal recht komplexe Ausdrücke.

Ausdrücke \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) lassen sich leicht in Polynome der Standardform umwandeln (vereinfachen), tatsächlich ist Ihnen eine solche Aufgabe bereits beim Multiplizieren von Polynomen begegnet :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Die resultierenden Identitäten sind nützlich, um sie sich zu merken und ohne Zwischenberechnungen anzuwenden. Dabei helfen kurze verbale Formulierungen.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - das Quadrat der Summe ist gleich der Summe der Quadrate und des doppelten Produkts.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - das Quadrat der Differenz ist die Summe der Quadrate ohne das Produkt zu verdoppeln.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - die Differenz der Quadrate ist gleich dem Produkt aus der Differenz und der Summe.

Diese drei Identitäten erlauben in Transformationen, ihre linken Teile durch rechte zu ersetzen und umgekehrt - rechte Teile durch linke. Das Schwierigste in diesem Fall ist, die entsprechenden Ausdrücke zu sehen und zu verstehen, was die Variablen a und b darin ersetzen. Sehen wir uns einige Beispiele für die Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln an.

In dieser Lektion erinnern wir uns an die wichtigsten Definitionen dieses Themas und betrachten einige typische Aufgaben, nämlich das Überführen eines Polynoms in eine Standardform und das Berechnen eines numerischen Werts für gegebene Variablenwerte. Wir werden mehrere Beispiele lösen, in denen die Reduktion auf die Standardform angewendet wird, um verschiedene Arten von Problemen zu lösen.

Thema:Polynome. Arithmetische Operationen auf Monomen

Lektion:Reduktion eines Polynoms auf eine Standardform. Typische Aufgaben

Erinnern Sie sich an die grundlegende Definition: Ein Polynom ist die Summe von Monomen. Jedes Monom, das als Term Teil eines Polynoms ist, heißt dessen Mitglied. Zum Beispiel:

Binomial;

Polynom;

Binomial;

Da das Polynom aus Monomen besteht, folgt von hier aus die erste Aktion mit dem Polynom - Sie müssen alle Monome in die Standardform bringen. Denken Sie daran, dass Sie dazu alle numerischen Faktoren multiplizieren müssen - erhalten Sie einen numerischen Koeffizienten und multiplizieren Sie die entsprechenden Potenzen - erhalten Sie den Buchstabenteil. Beachten wir außerdem den Satz über das Potenzprodukt: Beim Multiplizieren von Potenzen addieren sich ihre Exponenten.

Betrachten Sie eine wichtige Operation - das Bringen eines Polynoms in eine Standardform. Beispiel:

Kommentar: Um das Polynom in die Standardform zu bringen, müssen Sie alle Monome, die Teil davon sind, in die Standardform bringen. Wenn es ähnliche Monome gibt - und dies sind Monome mit demselben Buchstabenteil - führen Sie Aktionen aus mit ihnen.

Wir haben also das erste typische Problem betrachtet – ein Polynom in eine Standardform zu bringen.

Die nächste typische Aufgabe ist die Berechnung eines bestimmten Werts eines Polynoms für gegebene Zahlenwerte der darin enthaltenen Variablen. Betrachten wir weiter das vorherige Beispiel und setzen die Werte der Variablen:

Kommentar: Daran erinnern, dass die Einheit in jedem natürlichen Grad gleich eins ist und Null für jede natürliche Potenz gleich Null ist, erinnern wir uns außerdem daran, dass wir Null erhalten, wenn wir eine beliebige Zahl mit Null multiplizieren.

Betrachten Sie einige Beispiele für typische Operationen, um ein Polynom in eine Standardform zu bringen und seinen Wert zu berechnen:

Beispiel 1 - in Standardform bringen:

Kommentar: die erste Aktion - wir bringen die Monome in die Standardform, Sie müssen die erste, zweite und sechste bringen; die zweite Aktion - wir geben ähnliche Mitglieder, das heißt, wir führen die angegebenen arithmetischen Operationen an ihnen aus: Die erste wird zur fünften hinzugefügt, die zweite zur dritten, der Rest wird ohne Änderungen neu geschrieben, da sie keine ähnlichen haben.

Beispiel 2 - Berechnen Sie den Wert des Polynoms aus Beispiel 1 bei gegebenen Werten der Variablen:

Kommentar: Bei der Berechnung ist zu beachten, dass eine Einheit in jedem natürlichen Grad eine Einheit ist. Wenn es schwierig ist, Zweierpotenzen zu berechnen, können Sie die Potenztabelle verwenden.

Beispiel 3 - Setzen Sie anstelle eines Sternchens ein solches Monom ein, damit das Ergebnis keine Variable enthält:

Kommentar: Unabhängig von der Aufgabe ist die erste Aktion immer dieselbe - das Polynom in die Standardform zu bringen. In unserem Beispiel reduziert sich diese Aktion auf das Casting gleicher Mitglieder. Danach sollten Sie die Bedingung noch einmal genau lesen und überlegen, wie wir das Monom loswerden können. Es ist offensichtlich, dass Sie dafür dasselbe Monom hinzufügen müssen, jedoch mit dem entgegengesetzten Vorzeichen -. dann ersetzen wir das Sternchen durch dieses Monom und vergewissern uns, dass unsere Entscheidung richtig ist.

Nach dem Studium der Monome wenden wir uns den Polynomen zu. Dieser Artikel informiert Sie über alle notwendigen Informationen, die zum Ausführen von Aktionen für sie erforderlich sind. Wir definieren ein Polynom mit begleitenden Definitionen eines Polynomterms, dh frei und ähnlich, betrachten ein Polynom einer Standardform, führen einen Grad ein und lernen, wie man ihn findet, arbeiten mit seinen Koeffizienten.

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Polynom und seine Mitglieder - Definitionen und Beispiele

Die Definition eines Polynoms wurde in benötigt 7 Klasse nach dem Studium der Monome. Schauen wir uns seine vollständige Definition an.

Bestimmung 1

Polynom Die Summe der Monome wird betrachtet, und das Monom selbst ist ein Sonderfall eines Polynoms.

Aus der Definition folgt, dass Beispiele für Polynome unterschiedlich sein können: 5 , 0 , − 1 , x, 5 ein b 3, x 2 0 , 6 x (− 2) y 12 , - 2 13 x y 2 3 2 3 x x 3 y z und so weiter. Von der Definition her haben wir das 1+x, a 2 + b 2 und der Ausdruck x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5 , 2 · y · x sind Polynome.

Sehen wir uns einige weitere Definitionen an.

Bestimmung 2

Die Mitglieder des Polynoms seine konstituierenden Monome heißen.

Betrachten Sie dieses Beispiel, wo wir ein Polynom 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3 haben, das aus 4 Mitgliedern besteht: 3 x 4 , − 2 x y , 3 und − j 3. Ein solches Monom kann als Polynom betrachtet werden, das aus einem Term besteht.

Bestimmung 3

Polynome, die 2, 3 Trinome in ihrer Zusammensetzung haben, haben den entsprechenden Namen - Binomial- und Trinom.

Daraus folgt, dass ein Ausdruck der Form x+y– ist ein Binom, und der Ausdruck 2 x 3 q − q x x + 7 b ist ein Trinom.

Gemäß dem Schullehrplan arbeiteten sie mit einem linearen Binom der Form a x + b, wobei a und b einige Zahlen sind und x eine Variable ist. Betrachten Sie Beispiele für lineare Binome der Form: x + 1 , x · 7 , 2 − 4 mit Beispielen für quadratische Trinome x 2 + 3 · x − 5 und 2 5 · x 2 - 3 x + 11 .

Für Transformation und Lösung gilt es, ähnliche Begriffe zu finden und einzubringen. Zum Beispiel hat ein Polynom der Form 1 + 5 x − 3 + y + 2 x die gleichen Terme 1 und - 3, 5 x und 2 x. Sie werden in eine spezielle Gruppe namens ähnliche Mitglieder des Polynoms unterteilt.

Bestimmung 4

Ähnliche Glieder eines Polynoms sind wie Terme im Polynom.

Im obigen Beispiel haben wir, dass 1 und - 3 , 5 x und 2 x ähnliche Terme des Polynoms oder ähnliche Terme sind. Um den Ausdruck zu vereinfachen, suchen und reduzieren Sie ähnliche Begriffe.

Polynom in Standardform

Alle Monome und Polynome haben ihre eigenen spezifischen Namen.

Bestimmung 5

Polynom in Standardform Ein Polynom wird aufgerufen, bei dem jedes Mitglied ein Monom der Standardform hat und keine ähnlichen Mitglieder enthält.

Aus der Definition ist ersichtlich, dass es möglich ist, Polynome der Standardform zu reduzieren, zum Beispiel 3 x 2 − x y + 1 und __Formel__, und der Datensatz ist in Standardform. Die Ausdrücke 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z und 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z sind keine Polynome der Standardform, da der erste von ihnen ähnliche Terme in der Form 3 x 2 und hat − x2, und das zweite enthält ein Monom der Form x · y 3 · x · z 2 , das sich vom Standardpolynom unterscheidet.

Wenn es die Umstände erfordern, wird das Polynom manchmal auf eine Standardform reduziert. Das Konzept eines freien Terms eines Polynoms wird auch als Polynom der Standardform betrachtet.

Bestimmung 6

Freies Mitglied des Polynoms ist ein Normalformpolynom ohne Buchstabenteil.

Mit anderen Worten, wenn die Notation eines Polynoms in Standardform eine Zahl hat, wird es als freies Element bezeichnet. Dann ist die Zahl 5 ein freies Glied des Polynoms x 2 · z + 5 , und das Polynom 7 · a + 4 · a · b + b 3 hat kein freies Glied.

Der Grad eines Polynoms - wie findet man ihn?

Die Definition des Grades eines Polynoms basiert auf der Definition eines Polynoms in Standardform und auf den Graden von Monomen, die seine Komponenten sind.

Bestimmung 7

Der Grad eines Polynoms in Standardform Nennen Sie die größte der Potenzen, die in seiner Notation enthalten sind.

Schauen wir uns ein Beispiel an. Der Grad des Polynoms 5 x 3 − 4 ist gleich 3, weil die in seiner Zusammensetzung enthaltenen Monome den Grad 3 und 0 haben und der größte von ihnen jeweils 3 ist. Die Definition des Grades aus dem Polynom 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x ist gleich der größten der Zahlen, also 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 und 1 , also 5 .

Es ist notwendig herauszufinden, wie der Abschluss selbst gefunden wird.

Bestimmung 8

Grad eines Polynoms einer beliebigen Zahl ist der Grad des entsprechenden Polynoms in Standardform.

Wenn ein Polynom nicht in der Standardform geschrieben ist, Sie aber seinen Grad finden müssen, müssen Sie es auf die Standardform reduzieren und dann den gewünschten Grad finden.

Beispiel 1

Finde den Grad eines Polynoms 3 ein 12 - 2 ein b c ein c b + y 2 z 2 - 2 ein 12 - ein 12.

Lösung

Zunächst stellen wir das Polynom in der Standardform vor. Wir erhalten einen Ausdruck wie:

3 ein 12 − 2 ein b c ein c b + y 2 z 2 − 2 ein 12 − ein 12 = = (3 ein 12 − 2 ein 12 − ein 12) − 2 (a a) (b b) (c c) + y 2 z 2 = = − 2 ein 2 b 2 c 2 + y 2 z 2

Wenn wir ein Polynom der Standardform erhalten, stellen wir fest, dass zwei davon klar unterschieden werden - 2 · a 2 · b 2 · c 2 und y 2 · z 2 . Um die Grade zu finden, berechnen wir und erhalten, dass 2 + 2 + 2 = 6 und 2 + 2 = 4 . Es ist ersichtlich, dass der größte von ihnen gleich 6 ist. Aus der Definition folgt, dass genau 6 der Grad des Polynoms − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 ist, also der ursprüngliche Wert.

Antworten: 6 .

Die Koeffizienten der Terme des Polynoms

Wenn alle Terme eines Polynoms Monome der Standardform sind, dann haben sie in diesem Fall den Namen Koeffizienten der Terme des Polynoms. Mit anderen Worten, sie können die Koeffizienten eines Polynoms genannt werden.

Wenn man das Beispiel betrachtet, sieht man, dass das Polynom der Form 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 4 Polynome in seiner Zusammensetzung hat: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x und 7 mit ihren jeweiligen Koeffizienten 2 , − 0 , 5 , 3 und 7 . Daher werden 2 , − 0 , 5 , 3 und 7 als die Koeffizienten der Terme des gegebenen Polynoms der Form 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 angesehen. Bei der Umrechnung ist es wichtig, auf die Koeffizienten vor den Variablen zu achten.

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Ein Polynom ist eine Summe von Monomen. Wenn alle Terme des Polynoms in Standardform geschrieben werden (siehe Punkt 51) und die Reduktion ähnlicher Terme durchgeführt wird, dann erhält man ein Polynom in Standardform.

Jeder ganzzahlige Ausdruck kann in ein Polynom der Standardform transformiert werden - das ist der Zweck von Transformationen (Vereinfachungen) von ganzzahligen Ausdrücken.

Betrachten Sie Beispiele, in denen der gesamte Ausdruck auf die Standardform eines Polynoms reduziert werden muss.

Lösung. Zuerst bringen wir die Terme des Polynoms in die Normalform. Wir erhalten Nach Reduktion ähnlicher Terme erhalten wir ein Polynom der Standardform

Lösung. Wenn vor den Klammern ein Pluszeichen steht, können die Klammern weggelassen werden, wobei die Vorzeichen aller in Klammern eingeschlossenen Begriffe erhalten bleiben. Mit dieser Regel zum Öffnen von Klammern erhalten wir:

Lösung. Steht vor den Klammern ein ziak „Minus“, dann können die Klammern weggelassen werden, indem die Vorzeichen aller in Klammern eingeschlossenen Begriffe geändert werden. Mit dieser Klammer-Escape-Regel erhalten wir:

Lösung. Das Produkt eines Monoms und eines Polynoms ist nach dem Verteilungsgesetz gleich der Summe der Produkte dieses Monoms und jedes Mitglieds des Polynoms. Wir bekommen

Lösung. Wir haben

Lösung. Wir haben

Es bleibt übrig, ähnliche Begriffe anzugeben (sie sind unterstrichen). Wir bekommen:

53. Formeln für abgekürzte Multiplikation.

In einigen Fällen wird die Reduktion des gesamten Ausdrucks auf die Standardform eines Polynoms unter Verwendung der Identitäten durchgeführt:

Diese Identitäten werden abgekürzte Multiplikationsformeln genannt,

Betrachten wir Beispiele, in denen es notwendig ist, einen gegebenen Ausdruck in Myogeln der Standardform umzuwandeln.

Beispiel 1. .

Lösung. Mit Formel (1) erhalten wir:

Beispiel 2. .

Lösung.

Beispiel 3. .

Lösung. Mit Formel (3) erhalten wir:

Beispiel 4

Lösung. Mit Formel (4) erhalten wir:

54. Faktorisierung von Polynomen.

Manchmal können Sie ein Polynom in ein Produkt mehrerer Faktoren umwandeln - Polynome oder Teilterme. Eine solche Identitätstransformation wird als Faktorisierung eines Polynoms bezeichnet. In diesem Fall heißt das Polynom durch jeden dieser Faktoren teilbar.

Betrachten Sie einige Möglichkeiten, Polynome zu faktorisieren,

1) Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus der Klammer. Diese Transformation ist eine direkte Folge des Distributivgesetzes (zur Verdeutlichung muss dieses Gesetz nur „von rechts nach links“ umgeschrieben werden):

Beispiel 1. Faktorisieren eines Polynoms

Lösung. .

Normalerweise wird beim Entfernen des gemeinsamen Faktors aus Klammern jede Variable, die in allen Mitgliedern des Polynoms enthalten ist, mit dem kleinsten Exponenten herausgenommen, den sie in diesem Polynom hat. Wenn alle Koeffizienten des Polynoms ganze Zahlen sind, dann wird der größte Modulo als Koeffizient des gemeinsamen Faktors genommen gemeinsamer Teiler alle Koeffizienten des Polynoms.

2) Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln. Die Formeln (1) - (7) aus Absatz 53, "von rechts nach links gelesen, erweisen sich in vielen Fällen als nützlich für die Faktorisierung von Polynomen.

Beispiel 2. Faktorisieren .

Lösung. Wir haben . Wenden wir Formel (1) (Differenz der Quadrate) an, erhalten wir . Bewirbt sich

jetzt Formeln (4) und (5) (Kubiksumme, Kubikdifferenz), wir erhalten:

Beispiel 3. .

Lösung. Nehmen wir zuerst den gemeinsamen Teiler aus der Klammer. Dazu finden wir den größten gemeinsamen Teiler der Koeffizienten 4, 16, 16 und die kleinsten Exponenten, mit denen die Variablen a und b in den Monomen enthalten sind, aus denen dieses Polynom besteht. Wir bekommen:

3) Gruppierungsmethode. Es basiert auf der Tatsache, dass die kommutativen und assoziativen Additionsgesetze es Ihnen ermöglichen, die Terme eines Polynoms zu gruppieren verschiedene Wege. Manchmal ist eine solche Gruppierung möglich, dass nach dem Einklammern der gemeinsamen Teiler in jeder Gruppe ein und dasselbe Polynom in Klammern verbleibt, das wiederum als gemeinsamer Teiler eingeklammert werden kann. Betrachten Sie Beispiele für die Faktorisierung eines Polynoms.

Beispiel 4. .

Lösung. Lass es uns so gruppieren:

In der ersten Gruppe nehmen wir den gemeinsamen Teiler heraus, in der zweiten Gruppe den gemeinsamen Teiler 5. Wir erhalten nun das Polynom als gemeinsamen Teiler, das wir aus der Klammer nehmen: Somit erhalten wir:

Beispiel 5

Lösung. .

Beispiel 6

Lösung. Hier führt keine Gruppierung zum Auftreten des gleichen Polynoms in allen Gruppen. In solchen Fällen erweist es sich manchmal als nützlich, einen beliebigen Term des Polynoms als Summe darzustellen und dann erneut zu versuchen, die Gruppierungsmethode anzuwenden. In unserem Beispiel ist es ratsam, als Summe darzustellen, die wir erhalten

Beispiel 7

Lösung. Wir addieren und subtrahieren das Monom, wir bekommen

55. Polynome in einer Variablen.

Ein Polynom, bei dem a, b variable Zahlen sind, wird als Polynom ersten Grades bezeichnet; ein Polynom, bei dem a, b, c variable Zahlen sind, heißt Polynom zweiten Grades oder quadratisches Trinom; ein Polynom, bei dem a, b, c, d Zahlen sind, eine Variable wird als Polynom dritten Grades bezeichnet.

Allgemein gilt, wenn o eine Variable ist, dann ein Polynom

heißt lshomogenealer Grad (in Bezug auf x); , m-Terme des Polynoms, Koeffizienten, der führende Term des Polynoms, und ist der Koeffizient des führenden Terms, der freie Term des Polynoms. Normalerweise wird das Polynom in abnehmenden Potenzen der Variablen geschrieben, d. H. Die Grade der Variablen nehmen allmählich ab, insbesondere steht der ältere Begriff an erster Stelle und der freie Begriff an letzter Stelle. Der Grad eines Polynoms ist der Grad des führenden Terms.

Beispielsweise ein Polynom fünften Grades, bei dem der führende Term 1 der freie Term des Polynoms ist.

Die Wurzel eines Polynoms ist der Wert, bei dem das Polynom verschwindet. Zum Beispiel ist die Zahl 2 die Wurzel des Polynoms, weil

Per Definition ist ein Polynom ein algebraischer Ausdruck, der die Summe von Monomen darstellt.

Zum Beispiel: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 sind Polynome, und der Ausdruck z/(x - x*y^2 + 4) ist kein Polynom, weil er keine Summe von Monomen ist. Ein Polynom wird manchmal auch als Polynom bezeichnet, und Monome, die Teil eines Polynoms sind, sind Mitglieder eines Polynoms oder von Monomen.

Das komplexe Konzept eines Polynoms

Wenn ein Polynom aus zwei Termen besteht, wird es als Binom bezeichnet, wenn es aus drei besteht - einem Trinom. Die Namen viergliedrig, fünfgliedrig und andere werden nicht verwendet, und in solchen Fällen sagen sie einfach polynomial. Solche Namen stellen je nach Anzahl der Begriffe alles an seinen Platz.

Und der Begriff Monom wird intuitiv. Aus mathematischer Sicht ist ein Monom ein Sonderfall eines Polynoms. Ein Monom ist ein Polynom, das nur einen Term hat.

Genau wie ein Monom hat ein Polynom seine eigene Standard Ansicht. Die Standardform eines Polynoms ist eine solche Notation eines Polynoms, bei der alle darin enthaltenen Monome als Terme in Standardform geschrieben und ähnliche Terme angegeben werden.

Standardform eines Polynoms

Das Verfahren, um ein Polynom in die Standardform zu bringen, besteht darin, jedes der Monome in die Standardform zu bringen und dann alle diese Monome zusammenzuzählen. Die Addition ähnlicher Glieder eines Polynoms wird als Reduktion ähnlicher Terme bezeichnet.
Lassen Sie uns zum Beispiel ähnliche Terme im Polynom 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b angeben.

Die Begriffe 4*a*b^2*c^3 und 6*a*b^2*c^3 sind hier ähnlich. Die Summe dieser Terme ist das Monom 10*a*b^2*c^3. Daher kann das ursprüngliche Polynom 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b umgeschrieben werden als 10*a*b^2*c^3 - a* b . Dieser Eintrag ist die Standardform des Polynoms.

Aus der Tatsache, dass jedes Monom auf die Standardform reduziert werden kann, folgt auch, dass jedes Polynom auf die Standardform reduziert werden kann.

Wenn das Polynom auf die Standardform reduziert wird, können wir von einem Konzept wie dem Grad des Polynoms sprechen. Der Grad eines Polynoms ist der größte Grad eines Monoms, der in einem gegebenen Polynom enthalten ist.
So ist beispielsweise 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 ein Polynom fünften Grades, da der maximale Grad eines im Polynom enthaltenen Monoms (5*x^3*y^ 2) ist der fünfte.