สารานุกรมคณิตศาสตร์. สารานุกรมคณิตศาสตร์ สัจพจน์และวิธีการพิสูจน์

สุขภาพ

สารานุกรมคณิตศาสตร์ - สิ่งตีพิมพ์อ้างอิงเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ทุกสาขา สารานุกรมจัดทำขึ้นจากบทความทบทวนที่เกี่ยวข้องกับประเด็นที่สำคัญที่สุดของคณิตศาสตร์ ข้อกำหนดหลักสำหรับบทความประเภทนี้คือความสมบูรณ์ที่เป็นไปได้ของภาพรวมของสถานะปัจจุบันของทฤษฎีพร้อมความสามารถในการนำเสนอสูงสุด โดยทั่วไปบทความเหล่านี้สามารถเข้าถึงได้สำหรับนักศึกษาคณิตศาสตร์รุ่นพี่ นักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา และผู้เชี่ยวชาญในสาขาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง และในบางกรณี ผู้เชี่ยวชาญในสาขาความรู้อื่นๆ ที่ใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ในการทำงาน วิศวกร และครูคณิตศาสตร์ นอกจากนี้ยังมีการจัดเตรียมบทความขนาดกลางเกี่ยวกับปัญหาเฉพาะบุคคลและวิธีการทางคณิตศาสตร์ไว้ด้วย บทความเหล่านี้มีไว้สำหรับผู้อ่านในวงแคบและอาจเข้าถึงได้น้อยลง สุดท้ายนี้ บทความอีกประเภทหนึ่งคือการอ้างอิงและคำจำกัดความโดยย่อ ในตอนท้ายของสารานุกรมเล่มสุดท้ายจะมีดัชนีหัวเรื่องซึ่งไม่เฉพาะแต่ชื่อเรื่องของบทความทั้งหมดเท่านั้น แต่ยังรวมไปถึงแนวคิดต่างๆ มากมาย โดยจะมีคำจำกัดความอยู่ในบทความสองประเภทแรกด้วย เป็นผลลัพธ์ที่สำคัญที่สุดที่กล่าวถึงในบทความ บทความสารานุกรมส่วนใหญ่จะมีบรรณานุกรมพร้อมหมายเลขซีเรียลสำหรับแต่ละชื่อเรื่อง ซึ่งทำให้สามารถอ้างอิงในเนื้อหาของบทความได้ ในตอนท้ายของบทความ (ตามกฎ) ผู้เขียนหรือแหล่งที่มาจะถูกระบุว่าบทความนั้นได้รับการตีพิมพ์ก่อนหน้านี้หรือไม่ (ส่วนใหญ่เป็นบทความในสารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่) ชื่อของนักวิทยาศาสตร์ต่างชาติ (ยกเว้นสมัยโบราณ) ที่กล่าวถึงในบทความจะมีการสะกดคำภาษาละตินร่วมด้วย (หากไม่มีลิงก์ไปยังรายการข้อมูลอ้างอิง)

ดาวน์โหลดและอ่านสารานุกรมคณิตศาสตร์เล่ม 3 Vinogradov I.M. , 1982

ดาวน์โหลดและอ่านสารานุกรมคณิตศาสตร์ เล่ม 2 Vinogradov I.M., 1979

ดาวน์โหลดและอ่านสารานุกรมคณิตศาสตร์ เล่ม 1, Vinogradov I.M., 1977

เดิมทีพีชคณิตเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการแก้สมการ ซึ่งแตกต่างจากเรขาคณิต การสร้างพีชคณิตตามสัจพจน์ไม่มีอยู่จนกระทั่งกลางศตวรรษที่ 19 เมื่อมีมุมมองใหม่โดยพื้นฐานเกี่ยวกับวิชาและธรรมชาติของพีชคณิต การวิจัยเริ่มให้ความสำคัญกับการศึกษาสิ่งที่เรียกว่าโครงสร้างพีชคณิตมากขึ้น สิ่งนี้มีข้อดีสองประการ ในด้านหนึ่ง พื้นที่ซึ่งทฤษฎีบทแต่ละทฤษฎีสามารถใช้ได้นั้นได้รับการชี้แจงให้กระจ่างแล้ว ในทางกลับกัน ก็เป็นไปได้ที่จะใช้การพิสูจน์เดียวกันในพื้นที่ที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง การแบ่งพีชคณิตนี้กินเวลาจนถึงกลางศตวรรษที่ 20 และสะท้อนให้เห็นในรูปลักษณ์ของสองชื่อ: "พีชคณิตคลาสสิก" และ "พีชคณิตสมัยใหม่" อย่างหลังมีชื่อเรียกอื่นที่ดีกว่า: "พีชคณิตนามธรรม" ความจริงก็คือส่วนนี้ - เป็นครั้งแรกในวิชาคณิตศาสตร์ - มีลักษณะเป็นนามธรรมโดยสมบูรณ์

ดาวน์โหลดและอ่านสารานุกรมคณิตศาสตร์ขนาดเล็ก, Fried E., Pastor I., Reiman I., Reves P., Ruzsa I., 1976

“ความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์” เป็นสิ่งพิมพ์อ้างอิงเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็น สถิติทางคณิตศาสตร์ และการประยุกต์ในสาขาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีต่างๆ สารานุกรมมีสองส่วน ส่วนหลักประกอบด้วยบทความทบทวน บทความที่เกี่ยวข้องกับปัญหาและวิธีการเฉพาะของแต่ละบุคคล ข้อมูลอ้างอิงโดยย่อที่ให้คำจำกัดความของแนวคิดพื้นฐาน ทฤษฎีบทและสูตรที่สำคัญที่สุด พื้นที่จำนวนมากมีไว้สำหรับประเด็นที่ประยุกต์ - ทฤษฎีข้อมูล ทฤษฎีคิว ทฤษฎีความน่าเชื่อถือ การวางแผนการทดลอง และสาขาที่เกี่ยวข้อง - ฟิสิกส์ ธรณีฟิสิกส์ พันธุศาสตร์ ประชากรศาสตร์ และสาขาเทคโนโลยีแต่ละสาขา บทความส่วนใหญ่จะมาพร้อมกับบรรณานุกรมของงานที่สำคัญที่สุดในประเด็นนี้ ชื่อเรื่องของบทความได้รับการแปลเป็นภาษาอังกฤษด้วย ส่วนที่สอง - "กวีนิพนธ์เกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์" มีบทความที่เขียนขึ้นสำหรับสารานุกรมในประเทศในอดีตรวมถึงเนื้อหาสารานุกรมที่ตีพิมพ์ก่อนหน้านี้ในงานอื่น ๆ สารานุกรมนี้มาพร้อมกับรายชื่อวารสาร วารสาร และสิ่งพิมพ์ต่อเนื่องที่ครอบคลุมหัวข้อต่างๆ ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์
เนื้อหาที่รวมอยู่ในสารานุกรมมีความจำเป็นสำหรับนักศึกษาระดับปริญญาตรี นักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา และนักวิจัยในสาขาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์อื่นๆ ที่ใช้วิธีการความน่าจะเป็นในการวิจัยและภาคปฏิบัติ

เนื้อหาของบทความ

คณิตศาสตร์.คณิตศาสตร์มักจะถูกกำหนดโดยการแสดงรายการชื่อของสาขาดั้งเดิมบางสาขา ประการแรก มันคือเลขคณิตที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาตัวเลข ความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขเหล่านั้น และกฎเกณฑ์สำหรับตัวเลขปฏิบัติการ ข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์มีความอ่อนไหวต่อการตีความเฉพาะต่างๆ ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ 2 + 3 = 4 + 1 สอดคล้องกับข้อความที่ว่าหนังสือสองและสามเล่มสร้างหนังสือได้มากเท่ากับสี่และหนึ่งเล่ม ความสัมพันธ์ใดๆ เช่น 2 + 3 = 4 + 1 กล่าวคือ ความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ โดยไม่มีการอ้างอิงถึงการตีความใดๆ จากโลกทางกายภาพเรียกว่านามธรรม ธรรมชาติที่เป็นนามธรรมของคณิตศาสตร์ทำให้สามารถนำไปใช้ในการแก้ปัญหาต่างๆ ได้อย่างหลากหลาย ตัวอย่างเช่น พีชคณิตที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการกับตัวเลข สามารถแก้ปัญหาที่นอกเหนือไปจากเลขคณิตได้ สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นคือเรขาคณิตงานหลักคือการศึกษาขนาดและรูปร่างของวัตถุ การผสมผสานระหว่างวิธีพีชคณิตกับวิธีเรขาคณิต ในด้านหนึ่งนำไปสู่วิชาตรีโกณมิติ (แต่เดิมอุทิศให้กับการศึกษารูปสามเหลี่ยมเรขาคณิต และตอนนี้ครอบคลุมประเด็นต่างๆ ที่กว้างขึ้นมาก) และในทางกลับกัน ไปสู่เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ซึ่ง ศึกษารูปร่างและตัวเลขทางเรขาคณิตโดยวิธีพีชคณิต มีพีชคณิตและเรขาคณิตที่สูงกว่าหลายสาขาซึ่งมีระดับนามธรรมที่สูงกว่า และไม่เกี่ยวข้องกับการศึกษาจำนวนสามัญและรูปทรงเรขาคณิตทั่วไป สาขาวิชาเรขาคณิตที่เป็นนามธรรมที่สุดเรียกว่าโทโพโลยี

การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับการศึกษาปริมาณที่เปลี่ยนแปลงในอวกาศหรือเวลา และขึ้นอยู่กับแนวคิดพื้นฐานสองประการ ได้แก่ ฟังก์ชันและลิมิต ซึ่งไม่พบในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา ในตอนแรก การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วยแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัล แต่ตอนนี้รวมส่วนอื่นๆ เข้าไปด้วย

คณิตศาสตร์มีสองสาขาหลัก ได้แก่ คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ซึ่งเน้นการใช้เหตุผลแบบนิรนัย และคณิตศาสตร์ประยุกต์ คำว่า "คณิตศาสตร์ประยุกต์" บางครั้งหมายถึงสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่สร้างขึ้นเพื่อตอบสนองความต้องการและข้อกำหนดของวิทยาศาสตร์โดยเฉพาะ และบางครั้งก็หมายถึงสาขาวิชาต่างๆ ของวิทยาศาสตร์ (ฟิสิกส์ เศรษฐศาสตร์ ฯลฯ) ที่ใช้คณิตศาสตร์เป็นวิธีการแก้ปัญหา งานของพวกเขา ความเข้าใจผิดที่พบบ่อยหลายประการเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เกิดขึ้นจากความสับสนในการตีความทั้งสองความหมายของ "คณิตศาสตร์ประยุกต์" เลขคณิตอาจเป็นตัวอย่างของคณิตศาสตร์ประยุกต์ในความหมายแรกและการบัญชีในความหมายที่สอง

ตรงกันข้ามกับความเชื่อทั่วไป คณิตศาสตร์ยังคงก้าวหน้าอย่างรวดเร็ว วารสาร Mathematical Review ตีพิมพ์ประมาณ สรุปบทความสั้น ๆ 8,000 บทความที่มีผลลัพธ์ล่าสุด - ข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์ใหม่ การพิสูจน์ข้อเท็จจริงเก่าใหม่ และแม้แต่ข้อมูลเกี่ยวกับสาขาวิชาคณิตศาสตร์ใหม่ทั้งหมด แนวโน้มการศึกษาคณิตศาสตร์ในปัจจุบันคือการแนะนำให้นักเรียนรู้จักกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่ทันสมัยและเป็นนามธรรมมากขึ้นตั้งแต่ต้นในการสอนคณิตศาสตร์ ดูสิ่งนี้ด้วยประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์เป็นหนึ่งในรากฐานสำคัญของอารยธรรม แต่มีเพียงไม่กี่คนที่เข้าใจสถานะปัจจุบันของวิทยาศาสตร์นี้

คณิตศาสตร์มีการเปลี่ยนแปลงครั้งใหญ่ในช่วงร้อยปีที่ผ่านมา ทั้งในเนื้อหาสาระและวิธีการวิจัย ในบทความนี้เราจะพยายามให้แนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับขั้นตอนหลักในการวิวัฒนาการของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ซึ่งในด้านหนึ่งสามารถพิจารณาผลลัพธ์หลักได้การเพิ่มช่องว่างระหว่างคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์และ ในทางกลับกัน การคิดใหม่อย่างสมบูรณ์เกี่ยวกับสาขาวิชาคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิม

การพัฒนาวิธีการทางคณิตศาสตร์

การกำเนิดของคณิตศาสตร์

ประมาณ 2,000 ปีก่อนคริสตกาล สังเกตว่าในรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว 3, 4 และ 5 หน่วย มีมุมหนึ่งเป็น 90° (ข้อสังเกตนี้ทำให้ง่ายต่อการสร้างมุมฉากสำหรับความต้องการในทางปฏิบัติ) คุณสังเกตเห็นอัตราส่วน 5 2 = 3 2 + 4 2 หรือไม่? เราไม่มีข้อมูลใด ๆ เกี่ยวกับเรื่องนี้ ไม่กี่ศตวรรษต่อมา มีการค้นพบกฎทั่วไป: ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ เอบีซีมีมุมขวาที่เอเพ็กซ์ กและฝ่ายต่างๆ ข = เครื่องปรับอากาศและ ค = เอบีระหว่างที่มุมนี้ปิดล้อมไว้กับด้านตรงข้าม ก = บี.ซี.อัตราส่วนนั้นถูกต้อง ก 2 = ข 2 + ค 2. เราสามารถพูดได้ว่าวิทยาศาสตร์เริ่มต้นขึ้นเมื่อมีการอธิบายการสังเกตส่วนบุคคลจำนวนมากโดยใช้กฎทั่วไปข้อเดียว ดังนั้นการค้นพบ "ทฤษฎีบทพีทาโกรัส" จึงถือได้ว่าเป็นหนึ่งในตัวอย่างแรกๆ ของความสำเร็จทางวิทยาศาสตร์อย่างแท้จริง

แต่สิ่งที่สำคัญยิ่งกว่าสำหรับวิทยาศาสตร์โดยทั่วไปและโดยเฉพาะคณิตศาสตร์ก็คือความจริงที่ว่า ควบคู่ไปกับการกำหนดกฎทั่วไป ความพยายามดูเหมือนจะพิสูจน์มัน กล่าวคือ แสดงให้เห็นว่ามันจำเป็นต้องตามมาจากคุณสมบัติทางเรขาคณิตอื่นๆ “ข้อพิสูจน์” ทางตะวันออกประการหนึ่งมีความชัดเจนเป็นพิเศษในความเรียบง่าย: สามเหลี่ยมสี่อันที่เท่ากับอันนี้ถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมจัตุรัส ก่อนคริสต์ศักราชตามที่แสดงในภาพวาด พื้นที่สี่เหลี่ยม ก 2 ปรากฏว่าแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม 4 อันเท่าๆ กัน โดยมีพื้นที่รวม 2 ก่อนคริสต์ศักราชและสี่เหลี่ยมจัตุรัส เอเอฟจีเอชพื้นที่ ( ข – ค) 2 . ดังนั้น, ก 2 = (ข – ค) 2 + 2ก่อนคริสต์ศักราช = (ข 2 + ค 2 – 2ก่อนคริสต์ศักราช) + 2ก่อนคริสต์ศักราช = ข 2 + ค 2. เป็นการแนะนำให้ก้าวไปอีกขั้นหนึ่งและค้นหาอย่างแม่นยำมากขึ้นว่าคุณสมบัติ "ก่อนหน้า" ใดที่ควรทราบ ความจริงที่ชัดเจนที่สุดคือตั้งแต่รูปสามเหลี่ยม บ.บและ บีอีเอฟอย่างแน่นอนโดยไม่มีช่องว่างหรือทับซ้อนกัน "พอดี" ด้านข้าง ปริญญาตรีและ บี.เอฟ.ซึ่งหมายความว่ามุมยอดทั้งสองมุม บีและ กับในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีเมื่อรวมกันเป็นมุม 90° ดังนั้นผลรวมของมุมทั้งสามจึงเท่ากับ 90° + 90° = 180° "การพิสูจน์" ข้างต้นยังใช้สูตร ( ก่อนคริสต์ศักราช/2) สำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม เอบีซีด้วยมุม 90° ที่ยอด ก. ในความเป็นจริง มีการใช้สมมติฐานอื่น ๆ เช่นกัน แต่สิ่งที่กล่าวมาก็เพียงพอแล้วเพื่อให้เรามองเห็นกลไกสำคัญของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ได้อย่างชัดเจน - การใช้เหตุผลแบบนิรนัย ซึ่งอนุญาตให้ใช้ข้อโต้แย้งเชิงตรรกะล้วนๆ (ตามเนื้อหาที่เตรียมไว้อย่างเหมาะสมในตัวอย่างของเรา - หารสี่เหลี่ยมจัตุรัส) เพื่ออนุมานคุณสมบัติใหม่จากผลลัพธ์ที่ทราบ ตามกฎแล้วอย่าติดตามโดยตรงจากข้อมูลที่มีอยู่

สัจพจน์และวิธีการพิสูจน์

หนึ่งในคุณสมบัติพื้นฐานของวิธีการทางคณิตศาสตร์คือกระบวนการสร้างโดยใช้ข้อโต้แย้งเชิงตรรกะที่สร้างขึ้นอย่างระมัดระวังซึ่งเป็นสายโซ่ของคำสั่งที่แต่ละลิงก์ต่อมาเชื่อมโยงกับลิงก์ก่อนหน้า ข้อพิจารณาแรกที่ค่อนข้างชัดเจนคือในห่วงโซ่ใดๆ จะต้องมีลิงก์แรก เหตุการณ์นี้ชัดเจนต่อชาวกรีกเมื่อพวกเขาเริ่มจัดระบบข้อโต้แย้งทางคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 7 พ.ศ. เพื่อดำเนินการตามแผนนี้ ชาวกรีกจำเป็นต้องมีประมาณ เมื่อ 200 ปีที่แล้ว เอกสารที่ยังมีชีวิตอยู่เป็นเพียงแนวคิดคร่าว ๆ เกี่ยวกับวิธีการทำงานเท่านั้น เรามีข้อมูลที่ถูกต้องเฉพาะเกี่ยวกับผลการวิจัยขั้นสุดท้ายเท่านั้นที่มีชื่อเสียง จุดเริ่มต้นยุคลิด (ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล) Euclid เริ่มต้นด้วยการระบุตำแหน่งเริ่มต้น ซึ่งตำแหน่งอื่นๆ ทั้งหมดได้มาในเชิงตรรกะล้วนๆ บทบัญญัติเหล่านี้เรียกว่าสัจพจน์หรือสมมุติฐาน (เงื่อนไขนี้ใช้แทนกันได้ในทางปฏิบัติ) พวกเขาแสดงคุณสมบัติทั่วไปและค่อนข้างคลุมเครือของวัตถุชนิดใด ๆ เช่น "ส่วนทั้งหมดมากกว่าส่วน" หรือคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์เฉพาะบางอย่าง เช่น สำหรับจุดสองจุดใด ๆ จะมีเส้นตรงเฉพาะที่เชื่อมโยงจุดเหล่านั้น . เราไม่มีข้อมูลว่าชาวกรีกแนบความหมายที่ลึกซึ้งหรือมีความสำคัญกับ "ความจริง" ของสัจพจน์นี้หรือไม่ แม้ว่าจะมีเบาะแสบางประการที่ชาวกรีกพูดคุยกันสักระยะก่อนที่จะยอมรับสัจพจน์บางประการ ใน Euclid และผู้ติดตามของเขา สัจพจน์เป็นเพียงจุดเริ่มต้นสำหรับการสร้างคณิตศาสตร์เท่านั้น โดยไม่มีคำอธิบายใดๆ เกี่ยวกับธรรมชาติของสัจพจน์

สำหรับวิธีการพิสูจน์นั้น ตามกฎแล้วจะเน้นไปที่การใช้ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้โดยตรง อย่างไรก็ตาม บางครั้งตรรกะของการให้เหตุผลก็ซับซ้อนมากขึ้น เราจะพูดถึงวิธีการโปรดของ Euclid ที่นี่ซึ่งกลายเป็นส่วนหนึ่งของการฝึกคณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวัน - การพิสูจน์ทางอ้อมหรือการพิสูจน์โดยความขัดแย้ง เป็นตัวอย่างเบื้องต้นของการพิสูจน์ความขัดแย้ง เราจะแสดงให้เห็นว่ากระดานหมากรุกที่มีช่องสี่เหลี่ยมมุมสองช่องถูกตัดออก ซึ่งอยู่ที่ปลายตรงข้ามของเส้นทแยงมุมนั้น ไม่สามารถคลุมด้วยโดมิโนได้ ซึ่งแต่ละช่องจะเท่ากับสองช่อง (สันนิษฐานว่าควรปิดกระดานหมากรุกแต่ละช่องเพียงครั้งเดียว) สมมติว่าข้อความตรงกันข้าม ("ตรงกันข้าม") เป็นจริง เช่น ว่ากระดานสามารถคลุมด้วยโดมิโนได้ แต่ละช่องครอบคลุมสี่เหลี่ยมสีดำและสีขาวหนึ่งช่อง ดังนั้นไม่ว่าจะจัดเรียงโดมิโนอย่างไร พวกมันก็ครอบคลุมสี่เหลี่ยมสีดำและสีขาวในจำนวนเท่ากัน อย่างไรก็ตาม เนื่องจากสี่เหลี่ยมมุมทั้งสองถูกเอาออก กระดานหมากรุก (ซึ่งแต่เดิมมีสี่เหลี่ยมสีดำจำนวนมากพอๆ กับสีขาว) จึงมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีสีเดียวมากกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีสีอื่นถึงสองอัน ซึ่งหมายความว่าสมมติฐานเริ่มแรกของเราไม่สามารถเป็นจริงได้ เนื่องจากจะนำไปสู่ความขัดแย้ง และเนื่องจากข้อเสนอที่ขัดแย้งกันไม่สามารถเป็นเท็จในเวลาเดียวกันได้ (หากหนึ่งในนั้นเป็นเท็จ สิ่งที่ตรงกันข้ามจะเป็นจริง) สมมติฐานเริ่มแรกของเราจึงต้องเป็นจริง เพราะสมมติฐานที่ขัดแย้งกับสิ่งนั้นนั้นเป็นเท็จ ดังนั้น กระดานหมากรุกที่มีช่องสี่เหลี่ยมสองมุมที่ตัดออกแนวทแยงไม่สามารถคลุมด้วยโดมิโนได้ ดังนั้น เพื่อที่จะพิสูจน์ข้อความบางอย่าง เราสามารถสันนิษฐานได้ว่ามันเป็นเท็จ และอนุมานจากสมมติฐานนี้ว่าขัดแย้งกับข้อความอื่นบางข้อความ ซึ่งเป็นความจริงที่ทราบกันดีอยู่แล้ว

ตัวอย่างที่ดีของการพิสูจน์โดยความขัดแย้ง ซึ่งได้กลายเป็นหนึ่งในเหตุการณ์สำคัญในการพัฒนาคณิตศาสตร์กรีกโบราณ คือการพิสูจน์ที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ เช่น ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ พี/ถาม, ที่ไหน พีและ ถาม- จำนวนทั้งหมด. ถ้า แล้ว 2 = พี 2 /ถาม 2 จากที่ไหน พี 2 = 2ถาม 2. สมมุติว่ามีจำนวนเต็มสองตัว พีและ ถาม, ซึ่ง พี 2 = 2ถาม 2. กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราถือว่ามีจำนวนเต็มซึ่งมีกำลังสองเป็นสองเท่าของกำลังสองของจำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่ง หากจำนวนเต็มใดๆ ตรงตามเงื่อนไขนี้ หนึ่งในจำนวนนั้นจะต้องเล็กกว่าจำนวนอื่นๆ ทั้งหมด เรามาเน้นที่ตัวเลขที่น้อยที่สุดกันดีกว่า ให้มันเป็นตัวเลข พี. ตั้งแต่ 2 ถาม 2 เป็นเลขคู่และ พี 2 = 2ถาม 2 แล้วตามด้วยตัวเลข พี 2 จะต้องเท่ากัน เนื่องจากกำลังสองของเลขคี่ทั้งหมดเป็นเลขคี่และกำลังสอง พี 2 เป็นเลขคู่ ซึ่งหมายถึงตัวเลขนั่นเอง พีจะต้องเท่ากัน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือจำนวน พีสองเท่าของจำนวนเต็มจำนวนหนึ่ง ร. เพราะ พี = 2รและ พี 2 = 2ถาม 2 เรามี: (2 ร) 2 = 4ร 2 = 2ถาม 2 และ ถาม 2 = 2ร 2. ความเสมอภาคสุดท้ายมีรูปแบบเดียวกับความเสมอภาค พี 2 = 2ถาม 2 และเราสามารถทำซ้ำการใช้เหตุผลเดียวกัน แสดงตัวเลขนั้นได้ ถามเป็นเลขคู่และมีจำนวนเต็มเช่นนั้น ส, อะไร ถาม = 2ส. แต่แล้ว ถาม 2 = (2ส) 2 = 4ส 2 และตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ถาม 2 = 2ร 2 เราสรุปได้ว่า 4 ส 2 = 2ร 2 หรือ ร 2 = 2ส 2. นี่ทำให้เราได้จำนวนเต็มที่สองซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่ากำลังสองของมันคือสองเท่าของกำลังสองของจำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่ง แต่แล้ว พีจะเป็นจำนวนที่น้อยที่สุดไม่ได้ (ตั้งแต่ ร = พี/2) แม้ว่าในตอนแรกเราจะถือว่ามันเป็นจำนวนที่น้อยที่สุดก็ตาม ดังนั้นสมมติฐานเริ่มแรกของเราจึงเป็นเท็จ เนื่องจากนำไปสู่ความขัดแย้ง ดังนั้นจึงไม่มีจำนวนเต็มดังกล่าว พีและ ถาม, ซึ่ง พี 2 = 2ถาม 2 (นั่นคือเช่นนั้น) ซึ่งหมายความว่าจำนวนไม่สามารถเป็นจำนวนตรรกยะได้

ตั้งแต่ยุคลิดจนถึงต้นศตวรรษที่ 19

ในช่วงเวลานี้ คณิตศาสตร์เปลี่ยนแปลงไปอย่างมากอันเป็นผลมาจากนวัตกรรม 3 อย่าง

(1) ในกระบวนการพัฒนาพีชคณิต มีการคิดค้นวิธีสัญลักษณ์สัญลักษณ์ซึ่งทำให้สามารถแสดงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่ซับซ้อนมากขึ้นในรูปแบบย่อได้ เป็นตัวอย่างของความไม่สะดวกที่จะเกิดขึ้นหากไม่มี "การเขียนตัวสะกด" ดังกล่าว เรามาลองถ่ายทอดความสัมพันธ์ด้วยคำพูด ( ก + ข) 2 = ก 2 + 2เกี่ยวกับ + ข 2: “พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับผลรวมของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปที่กำหนดนั้นเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของมันบวกสองเท่าของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านเท่ากับด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ให้สี่เหลี่ยมจัตุรัส”

(2) การสร้างในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 17 เรขาคณิตวิเคราะห์ ซึ่งทำให้สามารถลดปัญหาของเรขาคณิตคลาสสิกให้เป็นปัญหาเกี่ยวกับพีชคณิตได้

(3) การสร้างและพัฒนาแคลคูลัสขนาดเล็กในช่วงระหว่างปี 1600 ถึง 1800 ซึ่งทำให้สามารถแก้ปัญหาหลายร้อยปัญหาที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องขีดจำกัดและความต่อเนื่องได้อย่างง่ายดายและเป็นระบบ มีเพียงไม่กี่ปัญหาเท่านั้นที่ได้รับการแก้ไขด้วยความยากลำบากอย่างยิ่ง โดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ สาขาวิชาคณิตศาสตร์เหล่านี้จะกล่าวถึงรายละเอียดเพิ่มเติมในบทความ ALGEBRA เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ ; การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทบทวนเรขาคณิต

ตั้งแต่ศตวรรษที่ 17 คำถามซึ่งจนถึงขณะนี้ยังคงไม่สามารถแก้ไขได้ก็ค่อยๆชัดเจนขึ้น คณิตศาสตร์คืออะไร? ก่อนปี 1800 คำตอบนั้นค่อนข้างง่าย ในเวลานั้นไม่มีขอบเขตที่ชัดเจนระหว่างวิทยาศาสตร์ต่าง ๆ คณิตศาสตร์เป็นส่วนหนึ่งของ "ปรัชญาธรรมชาติ" - การศึกษาธรรมชาติอย่างเป็นระบบโดยใช้วิธีการที่เสนอโดยนักปฏิรูปผู้ยิ่งใหญ่แห่งยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาและต้นศตวรรษที่ 17 – กาลิเลโอ (1564–1642), เอฟ. เบคอน (1561–1626) และอาร์. เดการ์ตส์ (1596–1650) เชื่อกันว่านักคณิตศาสตร์มีสาขาวิชาของตนเอง ได้แก่ ตัวเลขและวัตถุทางเรขาคณิต และนักคณิตศาสตร์ไม่ได้ใช้วิธีการทดลอง อย่างไรก็ตาม นิวตันและผู้ติดตามของเขาได้ศึกษากลศาสตร์และดาราศาสตร์โดยใช้วิธีสัจพจน์ คล้ายกับวิธีที่ Euclid นำเสนอเรขาคณิต โดยทั่วไป เป็นที่ทราบกันว่าวิทยาศาสตร์ใดๆ ที่สามารถแสดงผลลัพธ์ของการทดลองโดยใช้ตัวเลขหรือระบบตัวเลขได้กลายมาเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ (ในวิชาฟิสิกส์ แนวคิดนี้ก่อตั้งขึ้นในศตวรรษที่ 19 เท่านั้น)

สาขาวิทยาศาสตร์เชิงทดลองที่ผ่านการบำบัดทางคณิตศาสตร์มักเรียกว่า "คณิตศาสตร์ประยุกต์"; นี่เป็นชื่อที่โชคร้ายมาก เนื่องจากไม่ว่าจะตามมาตรฐานคลาสสิกหรือมาตรฐานสมัยใหม่ก็ตาม (ในความหมายที่เข้มงวด) มีข้อโต้แย้งทางคณิตศาสตร์อย่างแท้จริงในแอปพลิเคชันเหล่านี้ เนื่องจากหัวข้อการศึกษาในนั้นไม่ใช่วัตถุทางคณิตศาสตร์ เมื่อข้อมูลการทดลองถูกแปลเป็นภาษาของตัวเลขหรือสมการ (เช่น "การแปล" มักจะต้องใช้ความรอบรู้อย่างมากในส่วนของนักคณิตศาสตร์ "ประยุกต์") จึงเป็นไปได้ที่จะนำทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ไปใช้อย่างกว้างขวาง ผลลัพธ์จะถูกแปลกลับและเปรียบเทียบกับการสังเกต ความจริงที่ว่าคำว่า "คณิตศาสตร์" ถูกนำไปใช้กับกระบวนการประเภทนี้เป็นหนึ่งในแหล่งที่มาของความเข้าใจผิดไม่รู้จบ ในยุค "คลาสสิก" ที่เรากำลังพูดถึงตอนนี้ ไม่มีความเข้าใจผิดประเภทนี้ เนื่องจากคนกลุ่มเดียวกันนี้เป็นทั้งนักคณิตศาสตร์ที่ "ประยุกต์" และ "บริสุทธิ์" ทำงานพร้อมกันกับปัญหาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์หรือทฤษฎีจำนวน และปัญหาของ พลศาสตร์หรือทัศนศาสตร์ อย่างไรก็ตาม ความเชี่ยวชาญที่เพิ่มขึ้นและแนวโน้มที่จะแยกคณิตศาสตร์ที่ "บริสุทธิ์" และ "ประยุกต์" ได้ทำให้ประเพณีความเป็นสากลที่มีอยู่ก่อนหน้านี้อ่อนแอลงอย่างมีนัยสำคัญ และนักวิทยาศาสตร์ผู้ซึ่งเหมือนกับ J. von Neumann (1903–1957) สามารถดำเนินงานทางวิทยาศาสตร์เชิงรุกในทั้งสองอย่างได้ ประยุกต์และในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์กลายเป็นข้อยกเว้นมากกว่ากฎ

ธรรมชาติของวัตถุทางคณิตศาสตร์ เช่น ตัวเลข จุด เส้น มุม พื้นผิว ฯลฯ ที่เรามองข้ามการมีอยู่ของวัตถุนั้นคืออะไร? แนวคิด "ความจริง" หมายถึงอะไรที่เกี่ยวข้องกับวัตถุดังกล่าว? คำถามเหล่านี้ได้รับคำตอบค่อนข้างชัดเจนในยุคคลาสสิก แน่นอนว่านักวิทยาศาสตร์ในยุคนั้นเข้าใจอย่างชัดเจนว่าในโลกแห่งความรู้สึกของเราไม่มีสิ่งใดเช่น "เส้นตรงที่ขยายไม่มีที่สิ้นสุด" หรือ "จุดที่ไร้มิติ" ของ Euclid เช่นเดียวกับที่ไม่มี "โลหะบริสุทธิ์", "สีเดียว แสง”, “ระบบฉนวนความร้อน” ฯลฯ .d. ซึ่งผู้ทดลองดำเนินการในการให้เหตุผล แนวคิดทั้งหมดนี้คือ "แนวคิดสงบ" เช่น แบบจำลองเชิงกำเนิดของแนวคิดเชิงประจักษ์ แม้ว่าจะมีธรรมชาติที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง อย่างไรก็ตาม มีการสันนิษฐานโดยปริยายว่า "ภาพ" ทางกายภาพของความคิดอาจใกล้เคียงกับที่ต้องการได้เท่ากับความคิดนั้นเอง ในขอบเขตที่สามารถพูดสิ่งใดๆ ก็ได้เกี่ยวกับความใกล้ชิดของวัตถุต่อความคิด "ความคิด" ก็อาจกล่าวได้ว่าเป็น "การจำกัดกรณี" ของวัตถุทางกายภาพ จากมุมมองนี้ สัจพจน์ของ Euclid และทฤษฎีบทที่ได้มาจากสิ่งเหล่านี้แสดงคุณสมบัติของวัตถุ "ในอุดมคติ" ซึ่งข้อเท็จจริงเชิงทดลองที่คาดเดาได้จะต้องสอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น การวัดมุมของสามเหลี่ยมที่เกิดจากจุดสามจุดในอวกาศด้วยวิธีเชิงแสง ในกรณี "อุดมคติ" ควรให้ผลรวมเท่ากับ 180° กล่าวอีกนัยหนึ่ง สัจพจน์ถูกวางไว้ในระดับเดียวกับกฎฟิสิกส์ ดังนั้น "ความจริง" ของพวกมันจึงถูกรับรู้ในลักษณะเดียวกับความจริงของกฎฟิสิกส์ เหล่านั้น. ผลที่ตามมาเชิงตรรกะของสัจพจน์นั้นต้องได้รับการตรวจสอบโดยการเปรียบเทียบกับข้อมูลการทดลอง แน่นอนว่าข้อตกลงสามารถทำได้ภายในขอบเขตของข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับทั้งลักษณะที่ "ไม่สมบูรณ์" ของเครื่องมือวัดและ "ลักษณะที่ไม่สมบูรณ์" ของวัตถุที่วัดเท่านั้น อย่างไรก็ตาม มีการสันนิษฐานเสมอว่าหากกฎเป็น "ความจริง" การปรับปรุงกระบวนการวัดโดยหลักการแล้วสามารถทำให้เกิดข้อผิดพลาดในการวัดได้น้อยเท่าที่ต้องการ

ตลอดศตวรรษที่ 18 มีหลักฐานมากขึ้นเรื่อยๆ ว่าผลลัพธ์ทั้งหมดที่ได้รับจากสัจพจน์พื้นฐาน โดยเฉพาะในด้านดาราศาสตร์และกลศาสตร์ นั้นสอดคล้องกับข้อมูลการทดลอง และเนื่องจากผลที่ตามมาเหล่านี้ได้มาโดยใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่มีอยู่ในเวลานั้น ความสำเร็จที่ทำได้จึงมีส่วนช่วยเสริมสร้างความคิดเห็นเกี่ยวกับความจริงของสัจพจน์ของ Euclid ซึ่งดังที่เพลโตกล่าวว่า "ชัดเจนสำหรับทุกคน" และไม่ได้อยู่ภายใต้การอภิปราย

ความสงสัยและความหวังใหม่

เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด

ในบรรดาสมมุติฐานที่ Euclid ให้ไว้ สิ่งหนึ่งที่ไม่ชัดเจนเลยแม้แต่นักเรียนคนแรกของนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ก็ยังถือว่านี่เป็นจุดอ่อนในระบบ เริ่ม. สัจพจน์ดังกล่าวระบุว่าผ่านจุดที่อยู่นอกเส้นที่กำหนด มีเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่สามารถลากขนานกับเส้นที่กำหนดได้ เรขาคณิตส่วนใหญ่เชื่อว่าสัจพจน์คู่ขนานสามารถพิสูจน์ได้ด้วยสัจพจน์อื่นๆ และยูคลิดได้กำหนดประโยคคู่ขนานไว้เป็นสมมุติฐานเพียงเพราะเขาไม่สามารถหาข้อพิสูจน์ดังกล่าวได้ แต่ถึงแม้ว่านักคณิตศาสตร์ที่เก่งที่สุดจะพยายามแก้ปัญหาเรื่องความคล้ายคลึง แต่ก็ไม่มีใครสามารถเอาชนะ Euclid ได้ ในที่สุดในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 18 มีความพยายามที่จะพิสูจน์สมมุติฐานของยุคลิดในเรื่องความคล้ายคลึงกันโดยมีข้อขัดแย้ง มีการเสนอแนะว่าสัจพจน์คู่ขนานนั้นเป็นเท็จ นิรนัย สมมุติฐานของยุคลิดอาจกลายเป็นเท็จได้ในสองกรณี: ถ้ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะลากเส้นขนานเส้นเดียวผ่านจุดที่อยู่นอกเส้นที่กำหนด หรือถ้าสามารถดึงอันขนานกันหลายตัวผ่านได้ ปรากฎว่าความเป็นไปได้ประการแรกนั้นถูกแยกออกจากสัจพจน์อื่น หลังจากนำสัจพจน์ใหม่มาใช้แทนสัจพจน์ดั้งเดิมเกี่ยวกับความคล้ายคลึงกัน (ว่าสามารถลากเส้นหลายเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดผ่านจุดนอกเส้นที่กำหนดได้) นักคณิตศาสตร์พยายามหาคำกล่าวที่ขัดแย้งกับสัจพจน์อื่นจากจุดนั้น แต่ล้มเหลว: ไม่ ไม่ว่าพวกเขาจะพยายามดึงผลที่ตามมาจากสัจพจน์ "ต่อต้านยุคลิด" หรือ "ไม่ใช่ยุคลิด" ใหม่เพียงใด ความขัดแย้งก็ไม่เคยปรากฏ ในที่สุด โดยเป็นอิสระจากกัน N.I. Lobachevsky (1793–1856) และ J. Bolyai (1802–1860) ตระหนักว่าสมมติฐานของ Euclid เกี่ยวกับความคล้ายคลึงกันนั้นพิสูจน์ไม่ได้ หรืออีกนัยหนึ่ง ความขัดแย้งจะไม่ปรากฏใน "เรขาคณิตที่ไม่ใช่ยุคลิด" ”

ด้วยการถือกำเนิดของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด ปัญหาทางปรัชญาหลายประการก็เกิดขึ้นทันที เนื่องจากการอ้างสิทธิ์ในความจำเป็นเบื้องต้นของสัจพจน์ได้หายไปแล้ว วิธีเดียวที่เหลืออยู่ในการทดสอบ "ความจริง" ของพวกเขาคือการทดลอง แต่ดังที่ A. Poincaré (1854–1912) ตั้งข้อสังเกตในภายหลัง ในการบรรยายปรากฏการณ์ใดๆ มีข้อสมมติทางกายภาพมากมายที่ซ่อนอยู่ ซึ่งไม่มีการทดลองใดเลยที่สามารถให้หลักฐานที่น่าเชื่อเกี่ยวกับความจริงหรือความเท็จของสัจพจน์ทางคณิตศาสตร์ได้ ยิ่งกว่านั้น แม้ว่าเราจะทึกทักว่าโลกของเราเป็น "ไม่ใช่แบบยุคลิด" มันจะเป็นไปตามที่เรขาคณิตแบบยุคลิดทั้งหมดเป็นเท็จหรือไม่ เท่าที่ทราบ ไม่มีนักคณิตศาสตร์คนใดเคยพิจารณาสมมติฐานดังกล่าวอย่างจริงจัง สัญชาตญาณชี้ให้เห็นว่าทั้งเรขาคณิตแบบยุคลิดและที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเป็นตัวอย่างของคณิตศาสตร์ที่เต็มเปี่ยม

"สัตว์ประหลาด" ทางคณิตศาสตร์

โดยไม่คาดคิดถึงข้อสรุปเดียวกันจากทิศทางที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง - วัตถุถูกค้นพบซึ่งทำให้นักคณิตศาสตร์แห่งศตวรรษที่ 19 ตกตะลึง ตกใจและขนานนามว่าเป็น “สัตว์ประหลาดทางคณิตศาสตร์” การค้นพบนี้เกี่ยวข้องโดยตรงกับประเด็นที่ละเอียดอ่อนมากของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่เกิดขึ้นในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 เท่านั้น ความยากลำบากเกิดขึ้นเมื่อพยายามค้นหาความคล้ายคลึงทางคณิตศาสตร์ที่แน่นอนกับแนวคิดการทดลองของเส้นโค้ง สาระสำคัญของแนวคิดเรื่อง "การเคลื่อนไหวต่อเนื่อง" คืออะไร (เช่น จุดของปากกาวาดภาพที่เคลื่อนที่บนแผ่นกระดาษ) อยู่ภายใต้คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำ และบรรลุเป้าหมายนี้เมื่อแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องได้รับคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด ความหมาย ( ซม. อีกด้วยเส้นโค้ง) โดยสังหรณ์ใจดูเหมือนว่า “เส้นโค้ง” ในแต่ละจุดจะมีทิศทาง กล่าวคือ ในกรณีทั่วไป ในบริเวณใกล้กันของจุดแต่ละจุด เส้นโค้งจะมีพฤติกรรมเกือบจะเหมือนกับเส้นตรง (ในทางกลับกัน ไม่ใช่เรื่องยากที่จะจินตนาการว่าเส้นโค้งมีจำนวนจุดมุมที่จำกัด "หักมุม" เหมือนรูปหลายเหลี่ยม) ข้อกำหนดนี้สามารถกำหนดได้ทางคณิตศาสตร์ กล่าวคือ การมีอยู่ของเส้นสัมผัสเส้นโค้งคือ สันนิษฐานและจนถึงกลางศตวรรษที่ 19 เชื่อกันว่า "เส้นโค้ง" มีเส้นสัมผัสที่เกือบทุกจุด บางทีอาจมีข้อยกเว้นบางจุด "พิเศษ" ดังนั้นการค้นพบ “เส้นโค้ง” ที่ไม่มีเส้นสัมผัสกัน ณ จุดใดจุดหนึ่งทำให้เกิดเรื่องอื้อฉาวอย่างแท้จริง ( ซม. อีกด้วยทฤษฎีฟังก์ชัน) (ผู้อ่านที่คุ้นเคยกับตรีโกณมิติและเรขาคณิตวิเคราะห์สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการ ย = xบาป(1/ x) ไม่มีแทนเจนต์ที่จุดกำเนิด แต่การกำหนดเส้นโค้งที่ไม่มีแทนเจนต์ที่จุดใดๆ จะยากกว่ามาก)

ต่อมาได้ผลลัพธ์ "ทางพยาธิวิทยา" มากขึ้น: เป็นไปได้ที่จะสร้างตัวอย่างของเส้นโค้งที่เติมเต็มสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้สมบูรณ์ ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา มี "สัตว์ประหลาด" หลายร้อยตัวถูกประดิษฐ์ขึ้น ซึ่งตรงกันข้ามกับ "สามัญสำนึก" ควรเน้นย้ำว่าการมีอยู่ของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่ผิดปกติดังกล่าวเป็นไปตามหลักสัจพจน์พื้นฐานว่าไม่มีข้อบกพร่องอย่างเคร่งครัดและในเชิงตรรกะพอๆ กับการมีอยู่ของสามเหลี่ยมหรือวงรี เนื่องจาก "สัตว์ประหลาด" ทางคณิตศาสตร์ไม่สามารถสอดคล้องกับวัตถุทดลองใด ๆ ได้ และข้อสรุปเดียวที่เป็นไปได้ก็คือโลกแห่ง "ความคิด" ทางคณิตศาสตร์นั้นสมบูรณ์ยิ่งขึ้นและแปลกประหลาดเกินกว่าที่ใครจะคาดคิดได้และมีเพียงไม่กี่คนเท่านั้นที่มีความสอดคล้องในโลกของเรา ความรู้สึก แต่หาก "สัตว์ประหลาด" ทางคณิตศาสตร์ตามหลักสัจพจน์ตามหลักเหตุผล แล้วสัจพจน์ดังกล่าวจะยังถือว่าเป็นจริงได้หรือไม่

วัตถุใหม่

ผลลัพธ์ข้างต้นได้รับการยืนยันจากอีกด้านหนึ่ง: ในทางคณิตศาสตร์ โดยหลักๆ คือพีชคณิต วัตถุทางคณิตศาสตร์ใหม่ๆ เริ่มปรากฏขึ้นทีละชิ้นๆ ซึ่งเป็นแนวคิดทั่วไปของแนวคิดเรื่องตัวเลข จำนวนเต็มสามัญนั้นค่อนข้าง "ใช้งานง่าย" และไม่ใช่เรื่องยากเลยที่จะมาถึงแนวคิดการทดลองของเศษส่วน (แม้ว่าจะต้องยอมรับว่าการดำเนินการแบ่งหน่วยออกเป็นหลายส่วนเท่า ๆ กันและการเลือกหลายส่วนนั้นมีความแตกต่างกันในธรรมชาติ จากกระบวนการนับ) เมื่อพบว่าตัวเลขไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ชาวกรีกถูกบังคับให้พิจารณาจำนวนอตรรกยะ การกำหนดที่ถูกต้องซึ่งโดยลำดับอนันต์ของการประมาณด้วยจำนวนตรรกยะเป็นของความสำเร็จสูงสุดของจิตใจมนุษย์ แต่แทบจะไม่สอดคล้องกับสิ่งใดๆ ที่เกิดขึ้นจริงในโลกทางกายภาพของเรา (ซึ่งการวัดใดๆ ก็ตามมีความเกี่ยวข้องกับข้อผิดพลาดอย่างสม่ำเสมอ) อย่างไรก็ตาม การแนะนำจำนวนอตรรกยะเกิดขึ้นไม่มากก็น้อยในจิตวิญญาณของ "อุดมคติ" ของแนวคิดทางกายภาพ เราจะพูดอะไรเกี่ยวกับจำนวนลบซึ่งเริ่มเข้าสู่การใช้ทางวิทยาศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการพัฒนาพีชคณิตอย่างช้าๆ เมื่อเผชิญกับการต่อต้านครั้งใหญ่ สามารถระบุได้อย่างมั่นใจว่าไม่มีวัตถุทางกายภาพสำเร็จรูป เริ่มต้นด้วยการใช้กระบวนการนามธรรมโดยตรงสามารถพัฒนาแนวคิดของจำนวนลบได้ และในการสอนหลักสูตรพีชคณิตเบื้องต้นเราต้องแนะนำหลายอย่าง ตัวอย่างเสริมและค่อนข้างซับซ้อน (ส่วนที่มุ่งเน้น อุณหภูมิ หนี้สิน ฯลฯ) เพื่ออธิบายว่าจำนวนลบคืออะไร สถานการณ์นี้อยู่ห่างไกลจากแนวคิดที่ "ชัดเจนสำหรับทุกคน" อย่างมาก เนื่องจากเพลโตเรียกร้องแนวคิดที่เป็นรากฐานของคณิตศาสตร์ และบ่อยครั้งที่ต้องเผชิญกับผู้สำเร็จการศึกษาระดับวิทยาลัยซึ่งกฎแห่งเครื่องหมายยังคงเป็นปริศนา (- ก)(–ข) = เกี่ยวกับ. ดูสิ่งนี้ด้วยตัวเลข .

สถานการณ์ยิ่งแย่ลงไปอีกเมื่อมีตัวเลข "จินตภาพ" หรือ "ซับซ้อน" เนื่องจากมี "ตัวเลข" อยู่ด้วย ฉัน, ดังนั้น ฉัน 2 = –1 ซึ่งเป็นการละเมิดกฎการลงชื่ออย่างชัดเจน อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์จากปลายศตวรรษที่ 16 อย่าลังเลที่จะคำนวณด้วยตัวเลขเชิงซ้อนราวกับว่ามัน "สมเหตุสมผล" แม้ว่าเมื่อ 200 ปีที่แล้วพวกเขาไม่สามารถกำหนด "วัตถุ" เหล่านี้หรือตีความโดยใช้โครงสร้างเสริมใด ๆ เช่นพวกเขาถูกตีความโดยใช้ตัวเลขลบส่วนกำกับ . (หลังปี ค.ศ. 1800 มีการเสนอการตีความจำนวนเชิงซ้อนหลายครั้ง ซึ่งเป็นการใช้เวกเตอร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดในระนาบ)

สัจพจน์สมัยใหม่

การปฏิวัติเกิดขึ้นในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 และแม้ว่าจะไม่ได้มาพร้อมกับการนำแถลงการณ์อย่างเป็นทางการมาใช้ แต่ในความเป็นจริงแล้วมันเป็นเรื่องของการประกาศ "การประกาศเอกราช" แบบหนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเกี่ยวกับการประกาศโดยพฤตินัยถึงความเป็นอิสระของคณิตศาสตร์จากโลกภายนอก

จากมุมมองนี้ "วัตถุ" ทางคณิตศาสตร์หากสมเหตุสมผลที่จะพูดถึง "การดำรงอยู่" ของมันเลย ถือเป็นการสร้างสรรค์ที่บริสุทธิ์ของจิตใจ และพวกมันมี "การโต้ตอบ" ใด ๆ และอนุญาตให้มี "การตีความ" ใด ๆ ในโลกทางกายภาพหรือไม่ สำหรับคณิตศาสตร์นั้นไม่สำคัญ (แม้ว่าคำถามนี้จะน่าสนใจในตัวมันเองก็ตาม)

ข้อความที่ "จริง" เกี่ยวกับ "วัตถุ" ดังกล่าวเป็นผลสืบเนื่องทางตรรกะแบบเดียวกันของสัจพจน์ แต่ตอนนี้สัจพจน์ควรได้รับการพิจารณาว่าเป็นไปตามอำเภอใจโดยสมบูรณ์ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้อง "ชัดเจน" หรืออนุมานได้จากประสบการณ์ในชีวิตประจำวันผ่าน "อุดมคติ" ในทางปฏิบัติ เสรีภาพโดยสมบูรณ์ถูกจำกัดด้วยการพิจารณาต่างๆ แน่นอนว่าวัตถุ "คลาสสิก" และสัจพจน์ของพวกมันยังคงไม่เปลี่ยนแปลง แต่ตอนนี้ไม่สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นเพียงวัตถุและสัจพจน์ของคณิตศาสตร์เท่านั้น และนิสัยของการโยนทิ้งหรือนำสัจพจน์กลับมาใช้ใหม่ได้กลายเป็นส่วนหนึ่งของการปฏิบัติในชีวิตประจำวันเพื่อให้สามารถ ใช้มันในรูปแบบต่างๆ ดังที่ทำระหว่างการเปลี่ยนจากเรขาคณิตแบบยุคลิดไปเป็นเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด (ด้วยวิธีนี้เองที่ทำให้ได้รูปทรง "ที่ไม่ใช่แบบยุคลิด" หลายรูปแบบ แตกต่างจากเรขาคณิตแบบยุคลิดและจากเรขาคณิตแบบโลบาเชฟสกี-โบลไย ตัวอย่างเช่น มีรูปทรงแบบที่ไม่ใช่แบบยุคลิดซึ่งไม่มีเส้นขนาน)

ฉันอยากจะเน้นย้ำถึงสถานการณ์หนึ่งที่ตามมาจากแนวทางใหม่ไปสู่ "วัตถุ" ทางคณิตศาสตร์: การพิสูจน์ทั้งหมดจะต้องอยู่บนพื้นฐานของสัจพจน์เท่านั้น หากเราจำคำจำกัดความของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ได้ ข้อความดังกล่าวอาจดูเหมือนซ้ำซาก อย่างไรก็ตาม กฎนี้ไม่ค่อยมีใครปฏิบัติตามในคณิตศาสตร์คลาสสิก เนื่องจากธรรมชาติของวัตถุหรือสัจพจน์ "ตามสัญชาตญาณ" แม้กระทั่งใน จุดเริ่มต้นสำหรับ "ความเข้มงวด" ที่ชัดเจนของยุคลิด สัจพจน์หลายประการไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจน และคุณสมบัติหลายอย่างอาจถูกสันนิษฐานหรือนำเสนอโดยปริยายโดยไม่มีการให้เหตุผลเพียงพอ เพื่อให้เรขาคณิตแบบยุคลิดอยู่บนพื้นฐานที่มั่นคง จำเป็นต้องมีการแก้ไขหลักการที่สำคัญอย่างยิ่ง แทบจะไม่คุ้มที่จะบอกว่าการควบคุมรายละเอียดที่เล็กที่สุดของการพิสูจน์อย่างอวดดีเป็นผลมาจากการปรากฏตัวของ "สัตว์ประหลาด" ที่สอนให้นักคณิตศาสตร์ยุคใหม่ระมัดระวังในการสรุป ข้อความที่ไม่เป็นอันตรายและ "ชัดเจนในตัวเอง" เกี่ยวกับวัตถุคลาสสิก เช่น ข้อความที่ว่าเส้นโค้งที่เชื่อมต่อจุดที่อยู่ด้านตรงข้ามของเส้นจำเป็นต้องตัดกับเส้นนี้ จำเป็นต้องมีการพิสูจน์อย่างเป็นทางการที่เข้มงวดในคณิตศาสตร์สมัยใหม่

อาจดูขัดแย้งกันที่จะกล่าวว่าเป็นเพราะการยึดมั่นในสัจพจน์ที่คณิตศาสตร์สมัยใหม่ทำหน้าที่เป็นตัวอย่างที่ชัดเจนว่าวิทยาศาสตร์ควรเป็นอย่างไร อย่างไรก็ตาม วิธีการนี้แสดงให้เห็นถึงคุณลักษณะเฉพาะของกระบวนการคิดทางวิทยาศาสตร์ขั้นพื้นฐานที่สุดกระบวนการหนึ่ง นั่นคือ การได้รับข้อมูลที่ถูกต้องในสถานการณ์ที่มีความรู้ที่ไม่สมบูรณ์ การศึกษาทางวิทยาศาสตร์ของวัตถุบางประเภทสันนิษฐานว่าลักษณะที่ทำให้สามารถแยกแยะวัตถุหนึ่งจากอีกวัตถุหนึ่งได้นั้นจงใจทำให้ลืมเลือน และจะคงไว้เฉพาะลักษณะทั่วไปของวัตถุที่อยู่ระหว่างการพิจารณาเท่านั้น สิ่งที่ทำให้คณิตศาสตร์แตกต่างจากวิทยาศาสตร์ทั่วไปคือการยึดมั่นในโปรแกรมนี้อย่างเข้มงวดในทุกประเด็น กล่าวกันว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยสัจพจน์ที่ใช้ในทฤษฎีของวัตถุเหล่านั้นอย่างสมบูรณ์ หรือในคำพูดของปัวน์กาเร สัจพจน์ทำหน้าที่เป็น "คำจำกัดความปลอมตัว" ของวัตถุที่พวกเขาอ้างถึง

คณิตศาสตร์สมัยใหม่

แม้ว่าการมีอยู่ของสัจพจน์ใดๆ ก็ตามจะเป็นไปได้ในทางทฤษฎี แต่ก็ยังมีการเสนอและศึกษาสัจพจน์เพียงจำนวนเล็กน้อยเท่านั้น โดยปกติ ในระหว่างการพัฒนาทฤษฎีหนึ่งหรือหลายทฤษฎี จะสังเกตเห็นว่ารูปแบบการพิสูจน์บางอย่างเกิดขึ้นซ้ำภายใต้เงื่อนไขที่คล้ายคลึงกันไม่มากก็น้อย เมื่อคุณสมบัติที่ใช้ในแผนการพิสูจน์ทั่วไปถูกค้นพบ คุณสมบัติเหล่านั้นจะถูกกำหนดเป็นสัจพจน์ และผลที่ตามมาจะถูกสร้างขึ้นเป็นทฤษฎีทั่วไปที่ไม่มีความสัมพันธ์โดยตรงกับบริบทเฉพาะซึ่งเป็นนามธรรมซึ่งเป็นนามธรรม ทฤษฎีบททั่วไปที่ได้รับในลักษณะนี้ใช้ได้กับสถานการณ์ทางคณิตศาสตร์ใดๆ ก็ตามซึ่งมีระบบของวัตถุที่เป็นไปตามสัจพจน์ที่สอดคล้องกัน การทำซ้ำแผนการพิสูจน์เดียวกันในสถานการณ์ทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน บ่งชี้ว่าเรากำลังเผชิญกับข้อกำหนดเฉพาะที่แตกต่างกันของทฤษฎีทั่วไปเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าหลังจากการตีความที่เหมาะสม สัจพจน์ของทฤษฎีนี้จะกลายเป็นทฤษฎีบทในทุกสถานการณ์ คุณสมบัติใดๆ ที่ได้มาจากสัจพจน์จะสามารถใช้ได้ในสถานการณ์เหล่านี้ทั้งหมด แต่ไม่จำเป็นต้องมีการพิสูจน์แยกต่างหากสำหรับแต่ละกรณี ในกรณีเช่นนี้ กล่าวกันว่าสถานการณ์ทางคณิตศาสตร์มี "โครงสร้าง" ทางคณิตศาสตร์เหมือนกัน

เราใช้แนวคิดเรื่องโครงสร้างในทุกขั้นตอนในชีวิตประจำวันของเรา หากเทอร์โมมิเตอร์อ่านได้ 10°C และสำนักงานพยากรณ์อากาศคาดการณ์ว่าอุณหภูมิจะเพิ่มขึ้น 5°C โดยไม่คำนวณใดๆ คาดว่าจะมีอุณหภูมิ 15°C หากเปิดหนังสือในหน้า 10 และเราขอให้ดูเพิ่มเติมอีก 5 หน้า เราไม่ลังเลที่จะเปิดมันในหน้า 15 โดยไม่นับหน้ากลาง ในทั้งสองกรณี เราเชื่อว่าการบวกตัวเลขจะให้ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง โดยไม่คำนึงถึงการตีความ เช่น อุณหภูมิหรือหมายเลขหน้า เราไม่จำเป็นต้องเรียนเลขคณิตตัวหนึ่งสำหรับเทอร์โมมิเตอร์และอีกตัวหนึ่งสำหรับเลขหน้า (แม้ว่าเราจะใช้เลขคณิตพิเศษเมื่อต้องรับมือกับนาฬิกา ซึ่ง 8 + 5 = 1 เนื่องจากนาฬิกามีโครงสร้างที่แตกต่างจากหน้าหนังสือ) โครงสร้างที่นักคณิตศาสตร์สนใจนั้นค่อนข้างซับซ้อนกว่า ซึ่งง่ายต่อการดูจากตัวอย่างที่จะกล่าวถึงในสองส่วนถัดไปของบทความนี้ หนึ่งในนั้นจะพูดคุยเกี่ยวกับทฤษฎีกลุ่มและแนวคิดทางคณิตศาสตร์ของโครงสร้างและมอร์ฟิซึ่มส์

ทฤษฎีกลุ่ม

เพื่อให้เข้าใจกระบวนการที่อธิบายไว้ข้างต้นได้ดีขึ้น ขอให้เราใช้เสรีภาพในการมองเข้าไปในห้องทดลองของนักคณิตศาสตร์สมัยใหม่และพิจารณาหนึ่งในเครื่องมือหลักของเขาอย่างใกล้ชิด - ทฤษฎีกลุ่ม ( ซม. อีกด้วยพีชคณิตนามธรรม) กลุ่มคือชุด (หรือ "ชุด") ของวัตถุ ชซึ่งมีการกำหนดการดำเนินการที่ตรงกับสองวัตถุหรือองค์ประกอบใดๆ ก, ขจาก ชดำเนินการตามลำดับที่ระบุ (อันดับแรกคือองค์ประกอบ กประการที่สองคือองค์ประกอบ ข) องค์ประกอบที่สาม คจาก ชตามกฎเกณฑ์ที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัด เพื่อความกระชับ เราจึงแสดงองค์ประกอบนี้ ก*ข; เครื่องหมายดอกจัน (*) หมายถึงการทำงานขององค์ประกอบของทั้งสององค์ประกอบ การดำเนินการนี้ ซึ่งเราจะเรียกว่าการคูณแบบกลุ่ม ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

(1) สำหรับสามองค์ประกอบใดๆ ก, ข, คจาก ชทรัพย์สินสมาคมถือ: ก* (ข*ค) = (ก*ข) *ค;

(2) ใน ชมีองค์ประกอบดังกล่าว จซึ่งสำหรับองค์ประกอบใดๆ กจาก ชมีความสัมพันธ์ จ*ก = ก*จ = ก; องค์ประกอบนี้ จเรียกว่าองค์ประกอบเอกพจน์หรือเป็นกลางของกลุ่ม

(3) สำหรับองค์ประกอบใด ๆ กจาก ชมีองค์ประกอบดังกล่าว กўเรียกว่าย้อนกลับหรือสมมาตร ถึงองค์ประกอบ ก, อะไร ก*กў = กў* ก = จ.

ถ้าคุณสมบัติเหล่านี้เป็นสัจพจน์ ผลที่ตามมาเชิงตรรกะของคุณสมบัติเหล่านี้ (โดยไม่ขึ้นอยู่กับสัจพจน์หรือทฤษฎีบทอื่นๆ) รวมกันจะก่อให้เกิดสิ่งที่เรียกกันทั่วไปว่าทฤษฎีกลุ่ม การได้รับผลที่ตามมาเหล่านี้เพียงครั้งเดียวกลับกลายเป็นว่ามีประโยชน์มาก เนื่องจากกลุ่มมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์ทุกสาขา จากตัวอย่างที่เป็นไปได้นับพันของกลุ่ม เราจะเลือกกลุ่มที่ง่ายที่สุดเพียงไม่กี่กลุ่มเท่านั้น

(ก) เศษส่วน พี/ถาม, ที่ไหน พีและ ถาม– จำนวนเต็มตามใจชอบ i1 (ด้วย ถาม= 1 เราได้จำนวนเต็มธรรมดา) เศษส่วน พี/ถามตั้งกลุ่มภายใต้การคูณกลุ่ม ( พี/ถาม) *(ร/ส) = (ราคา)/(ถาม). คุณสมบัติ (1), (2), (3) ตามมาจากสัจพจน์ของเลขคณิต จริงหรือ, [( พี/ถาม) *(ร/ส)] *(ที/ยู) = (ราคา)/(คิวซู) = (พี/ถาม)*[(ร/ส)*(ที/ยู)]. องค์ประกอบหน่วยคือตัวเลข 1 = 1/1 เนื่องจาก (1/1)*( พี/ถาม) = (1ชม พี)/(1H ถาม) = พี/ถาม. สุดท้าย องค์ประกอบจะผกผันกับเศษส่วน พี/ถาม, เป็นเศษส่วน ถาม/พี, เพราะ ( พี/ถาม)*(ถาม/พี) = (หน้า)/(หน้า) = 1.

(ข) พิจารณาเป็น ชชุดของจำนวนเต็มสี่จำนวน 0, 1, 2, 3 และ as ก*ข- ส่วนที่เหลือของการแบ่ง ก + ขที่ 4 ผลลัพธ์ของการดำเนินการที่แนะนำในลักษณะนี้แสดงไว้ในตาราง 1 (องค์ประกอบ ก*ขยืนอยู่ตรงจุดตัดของเส้น กและคอลัมน์ ข). ง่ายต่อการตรวจสอบว่ามีคุณสมบัติตรงตาม (1)–(3) และองค์ประกอบเอกลักษณ์คือตัวเลข 0

(ค) มาเลือกกันเป็น ชชุดตัวเลข 1, 2, 3, 4 และ as ก*ข- ส่วนที่เหลือของการแบ่ง เกี่ยวกับ(สินค้าธรรมดา) คูณ 5 ผลที่ได้คือโต๊ะ 2. ง่ายต่อการตรวจสอบว่ามีคุณสมบัติตรงตาม (1)–(3) และองค์ประกอบเอกลักษณ์คือ 1

(ง) วัตถุสี่ชิ้น เช่น ตัวเลขสี่ตัว 1, 2, 3, 4 สามารถจัดเรียงเป็นแถวได้ 24 วิธี การจัดเรียงแต่ละครั้งสามารถแสดงออกมาเป็นการเปลี่ยนแปลงที่แปลงการจัดเรียง "ธรรมชาติ" ให้เป็นแบบที่กำหนด ตัวอย่างเช่น การจัดเรียง 4, 1, 2, 3 เป็นผลจากการแปลง

ส: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

ซึ่งสามารถเขียนในรูปแบบที่สะดวกกว่าได้

สำหรับการแปลงสองครั้งใดๆ ก็ตาม ส, ตเราจะเป็นผู้กำหนด ส*ตเป็นการเปลี่ยนแปลงที่เป็นผลมาจากการดำเนินการตามลำดับ ตและจากนั้น ส. เช่น ถ้า แล้ว ด้วยคำจำกัดความนี้ การแปลงที่เป็นไปได้ทั้ง 24 รายการจะรวมกันเป็นกลุ่ม องค์ประกอบมีหน่วยเป็น และองค์ประกอบผกผันกับ สได้มาจากการแทนที่ลูกศรในคำจำกัดความ สตรงกันข้าม; ตัวอย่างเช่น ถ้า แล้ว .

จะเห็นได้ง่ายในสามตัวอย่างแรก ก*ข = ข*ก; ในกรณีเช่นนี้ การคูณแบบกลุ่มหรือกลุ่มเรียกว่าเป็นการสับเปลี่ยน ในทางกลับกันในตัวอย่างสุดท้ายและด้วยเหตุนี้ ต*สแตกต่างจาก ส*ต.

กลุ่มจากตัวอย่าง (d) เป็นกรณีพิเศษของสิ่งที่เรียกว่า กลุ่มสมมาตร ซึ่งการประยุกต์ต่างๆ รวมถึงวิธีการแก้สมการพีชคณิตและพฤติกรรมของเส้นในสเปกตรัมของอะตอม กลุ่มในตัวอย่าง (b) และ (c) มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีจำนวน ในตัวอย่าง (b) สามารถแทนที่หมายเลข 4 ด้วยจำนวนเต็มใดก็ได้ nและตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 3 – ตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง n– 1 (ด้วย n= 12 เราได้ระบบตัวเลขที่อยู่บนหน้าปัดนาฬิกาดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว) ตัวอย่าง (c) สามารถแทนที่เลข 5 ด้วยจำนวนเฉพาะใดๆ ได้ รและตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 4 - ตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง พี – 1.

โครงสร้างและมอร์ฟิซึม

ตัวอย่างก่อนหน้านี้แสดงให้เห็นว่าธรรมชาติของวัตถุที่ก่อตัวเป็นกลุ่มนั้นมีความหลากหลายเพียงใด แต่ในความเป็นจริงแล้ว ในแต่ละกรณี ทุกอย่างล้วนอยู่ในสถานการณ์เดียวกัน นั่นคือคุณสมบัติของชุดของวัตถุ เราจะพิจารณาเฉพาะคุณสมบัติที่เปลี่ยนชุดนี้ให้เป็นกลุ่ม (นี่คือตัวอย่างของความรู้ที่ไม่สมบูรณ์!) ในกรณีเช่นนี้ เรากำลังพิจารณาโครงสร้างกลุ่มที่กำหนดโดยการคูณกลุ่มที่เราเลือก

อีกตัวอย่างหนึ่งของโครงสร้างคือสิ่งที่เรียกว่า โครงสร้างการสั่งซื้อ พวงของ อีกอปรด้วยโครงสร้างของลำดับหรือสั่งถ้าระหว่างองค์ประกอบ ก è ขที่เป็นของ อีมีความสัมพันธ์บางอย่างซึ่งเราแสดงว่า ร (ก,ข). (ความสัมพันธ์นี้จะต้องสมเหตุสมผลสำหรับองค์ประกอบคู่ใด ๆ จาก อีแต่โดยทั่วไปจะเป็นเท็จสำหรับบางคู่และเป็นเท็จสำหรับคู่อื่น เช่น ความสัมพันธ์ 7

(1) ร (ก,ก) จริงสำหรับทุกคน กเป็นเจ้าของ อี;

(2) จาก ร (ก,ข) และ ร (ข,ก) ตามนั้น ก = ข;

(3) จาก ร (ก,ข) และ ร (ข,ค) ควร ร (ก,ค).

ให้เรายกตัวอย่างจากชุดคำสั่งที่หลากหลายจำนวนมาก

(ก) อีประกอบด้วยจำนวนเต็มทั้งหมด ร (ก,ข) – ความสัมพันธ์ “ กน้อยกว่าหรือเท่ากัน ข».

(ข) อีประกอบด้วยจำนวนเต็มทั้งหมด >1, ร (ก,ข) – ความสัมพันธ์ “ กแบ่ง ขหรือเท่ากัน ข».

(ค) อีประกอบด้วยวงกลมทั้งหมดบนเครื่องบิน ร (ก,ข) – ความสัมพันธ์ “วงกลม กบรรจุใน ขหรือเกิดขึ้นพร้อมกับ ข».

เป็นตัวอย่างสุดท้ายของโครงสร้าง ให้เราพูดถึงโครงสร้างของปริภูมิเมตริก โครงสร้างดังกล่าวถูกกำหนดไว้ในชุด อีถ้าธาตุแต่ละคู่ กและ ขเป็นของ อีคุณสามารถจับคู่หมายเลขได้ ง (ก,ข) i 0 เป็นไปตามคุณสมบัติต่อไปนี้:

(1) ง (ก,ข) = 0 ถ้าและถ้าเท่านั้น ก = ข;

(2) ง (ข,ก) = ง (ก,ข);

(3) ง (ก,ค) Ј ง (ก,ข) + ง (ข,ค) สำหรับองค์ประกอบทั้งสามที่กำหนด ก, ข, คจาก อี.

ให้เรายกตัวอย่างช่องว่างเมตริก:

(a) พื้นที่ "สามมิติ" ธรรมดา โดยที่ ง (ก,ข) – ระยะทางปกติ (หรือ “ยุคลิด”)

(b) พื้นผิวของทรงกลม โดยที่ ง (ก,ข) คือความยาวของส่วนโค้งที่เล็กที่สุดของวงกลมที่เชื่อมจุดสองจุด กและ ขบนทรงกลม;

คำจำกัดความที่ชัดเจนของแนวคิดเรื่องโครงสร้างนั้นค่อนข้างยาก โดยไม่ต้องลงรายละเอียดเราสามารถพูดอย่างนั้นได้ในหลาย ๆ อีมีการระบุโครงสร้างของบางประเภทหากอยู่ระหว่างองค์ประกอบของชุด อี(และบางครั้งวัตถุอื่นๆ เช่น ตัวเลขที่มีบทบาทเสริม) ความสัมพันธ์จะถูกระบุซึ่งเป็นไปตามชุดสัจพจน์คงที่ที่กำหนดลักษณะโครงสร้างของประเภทที่พิจารณา ข้างต้นเราได้นำเสนอสัจพจน์ของโครงสร้างสามประเภท แน่นอนว่ายังมีโครงสร้างประเภทอื่นๆ อีกมากมายที่ทฤษฎีได้รับการพัฒนาอย่างเต็มที่

แนวคิดเชิงนามธรรมหลายแนวคิดมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเรื่องโครงสร้าง ให้เราตั้งชื่อเพียงหนึ่งสิ่งที่สำคัญที่สุด - แนวคิดของมอร์ฟิซึ่ม นึกถึงตัวอย่างของกลุ่ม (b) และ (c) ที่ให้ไว้ในส่วนก่อนหน้า มันง่ายที่จะตรวจสอบจากตาราง 1 ไปที่โต๊ะ 2 สามารถนำทางได้โดยใช้การจับคู่

0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3.

ในกรณีนี้เราบอกว่ากลุ่มเหล่านี้เป็นไอโซมอร์ฟิก โดยทั่วไปมีสองกลุ่ม ชและ ชў เป็น isomorphic หากอยู่ระหว่างองค์ประกอบของกลุ่ม ชและองค์ประกอบกลุ่ม ชў เป็นไปได้ที่จะสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งดังกล่าว ก « กўจะเกิดอะไรขึ้นถ้า ค = ก*ข, ที่ คў = กў* ขў สำหรับองค์ประกอบที่เกี่ยวข้อง กў. ข้อความใด ๆ จากทฤษฎีกลุ่มที่ถูกต้องสำหรับกลุ่ม ช, ยังคงใช้ได้สำหรับกลุ่ม ชўและในทางกลับกัน กลุ่มพีชคณิต ชและ ชўแยกไม่ออก.

ผู้อ่านสามารถเห็นได้อย่างง่ายดายว่าในลักษณะเดียวกันเราสามารถกำหนดชุดลำดับไอโซมอร์ฟิกสองชุดหรือปริภูมิเมตริกไอโซมอร์ฟิกสองชุด แสดงให้เห็นว่าแนวคิดของมอร์ฟิซึ่มขยายไปถึงโครงสร้างทุกประเภท

การจัดหมวดหมู่

การจำแนกคณิตศาสตร์เก่าและใหม่

แนวคิดเรื่องโครงสร้างและแนวคิดอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องได้เป็นศูนย์กลางของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ทั้งจาก "ทางเทคนิค" ล้วนๆ และจากมุมมองทางปรัชญาและระเบียบวิธี ทฤษฎีบททั่วไปของโครงสร้างประเภทหลักทำหน้าที่เป็นเครื่องมือที่ทรงพลังอย่างยิ่งของ "เทคนิค" ทางคณิตศาสตร์ เมื่อใดก็ตามที่นักคณิตศาสตร์สามารถแสดงให้เห็นว่าวัตถุที่เขาศึกษาเป็นไปตามสัจพจน์ของโครงสร้างบางประเภท เขาจะพิสูจน์ได้ว่าทฤษฎีบททั้งหมดของทฤษฎีโครงสร้างประเภทนี้นำไปใช้กับวัตถุเฉพาะที่เขากำลังศึกษา (โดยไม่มีทฤษฎีบททั่วไปเหล่านี้เขา มีแนวโน้มอย่างมากที่จะพลาด จะมองไม่เห็นทางเลือกเฉพาะของตน หรืออาจถูกบังคับให้เป็นภาระในการให้เหตุผลของฉันด้วยการสันนิษฐานที่ไม่จำเป็น) ในทำนองเดียวกัน หากโครงสร้างสองโครงสร้างได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นไอโซมอร์ฟิก จำนวนทฤษฎีบทจะเพิ่มเป็นสองเท่าทันที โดยแต่ละทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วสำหรับโครงสร้างใดโครงสร้างหนึ่งจะให้ทฤษฎีบทที่สอดคล้องกันสำหรับอีกโครงสร้างหนึ่งทันที ดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจที่มีทฤษฎีที่ซับซ้อนและยาก เช่น "ทฤษฎีสนามคลาส" ในทฤษฎีจำนวน เป้าหมายหลักคือการพิสูจน์มอร์ฟิซึมของโครงสร้าง

จากมุมมองเชิงปรัชญาการใช้โครงสร้างและมอร์ฟิซึมอย่างแพร่หลายแสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติหลักของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ - ความจริงที่ว่า "ธรรมชาติ" ของ "วัตถุ" ทางคณิตศาสตร์ไม่สำคัญมากนักมีเพียงความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุเท่านั้นที่มีความสำคัญ (ชนิดของ หลักความรู้ที่ไม่สมบูรณ์)

สุดท้ายนี้ คงไม่มีใครลืมพูดถึงว่าแนวคิดเรื่องโครงสร้างทำให้สามารถจำแนกสาขาต่างๆ ของคณิตศาสตร์ได้ในรูปแบบใหม่ จนกระทั่งกลางศตวรรษที่ 19 แตกต่างกันไปตามหัวข้อการศึกษา เลขคณิต (หรือทฤษฎีจำนวน) เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็ม เรขาคณิตเกี่ยวข้องกับเส้นตรง มุม รูปหลายเหลี่ยม วงกลม พื้นที่ ฯลฯ พีชคณิตเกี่ยวข้องกับวิธีการแก้สมการเชิงตัวเลขหรือระบบสมการเกือบทั้งหมด เรขาคณิตวิเคราะห์ได้พัฒนาวิธีการแปลงปัญหาเรขาคณิตให้เป็นปัญหาพีชคณิตที่เทียบเท่ากัน ช่วงความสนใจของสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่สำคัญอีกสาขาหนึ่งที่เรียกว่า "การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์" รวมถึงแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์เป็นหลัก และการประยุกต์ต่างๆ ในเรขาคณิต พีชคณิต และทฤษฎีจำนวน จำนวนแอปพลิเคชันเหล่านี้เพิ่มขึ้น และความสำคัญก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน ซึ่งนำไปสู่การแยกส่วนของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ออกเป็นส่วนย่อย: ทฤษฎีฟังก์ชัน สมการเชิงอนุพันธ์ (อนุพันธ์สามัญและอนุพันธ์บางส่วน) เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ แคลคูลัสของการแปรผัน ฯลฯ

สำหรับนักคณิตศาสตร์ยุคใหม่จำนวนมาก วิธีการนี้ทำให้นึกถึงประวัติศาสตร์ของการจำแนกประเภทสัตว์ของนักธรรมชาติวิทยายุคแรก กล่าวคือ กาลครั้งหนึ่งทั้งเต่าทะเลและปลาทูน่าถือเป็นปลาเพราะว่าพวกมันอาศัยอยู่ในน้ำและมีลักษณะคล้ายกัน วิธีการสมัยใหม่ได้สอนให้เรามองเห็นไม่เพียงแต่สิ่งที่อยู่บนพื้นผิวเท่านั้น แต่ยังต้องมองให้ลึกลงไปอีก และพยายามจดจำโครงสร้างพื้นฐานที่อยู่เบื้องหลังรูปลักษณ์ที่หลอกลวงของวัตถุทางคณิตศาสตร์ จากมุมมองนี้ สิ่งสำคัญคือต้องศึกษาโครงสร้างประเภทที่สำคัญที่สุด ไม่น่าเป็นไปได้ที่เราจะมีรายการประเภทเหล่านี้ที่สมบูรณ์และชัดเจน บางส่วนถูกค้นพบในช่วง 20 ปีที่ผ่านมา และมีเหตุผลทุกประการที่คาดหวังการค้นพบใหม่ในอนาคต อย่างไรก็ตาม เรามีความเข้าใจเกี่ยวกับโครงสร้าง "นามธรรม" พื้นฐานหลายประเภทอยู่แล้ว (วัตถุเหล่านี้เป็น "นามธรรม" เมื่อเปรียบเทียบกับวัตถุ "คลาสสิก" ของคณิตศาสตร์ แม้ว่าจะแทบจะเรียกได้ว่าเป็น "คอนกรีต" ไม่ได้ก็ตาม มันเป็นเรื่องของระดับของนามธรรมมากกว่า)

โครงสร้างที่ทราบสามารถจำแนกตามความสัมพันธ์ที่มีอยู่หรือตามความซับซ้อน ในด้านหนึ่ง มีบล็อกโครงสร้าง "พีชคณิต" มากมาย กรณีพิเศษคือ โครงสร้างกลุ่ม เป็นต้น ในบรรดาโครงสร้างพีชคณิตอื่น ๆ เราตั้งชื่อวงแหวนและฟิลด์ ( ซม. อีกด้วยพีชคณิตนามธรรม) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาโครงสร้างพีชคณิตเรียกว่า "พีชคณิตสมัยใหม่" หรือ "พีชคณิตนามธรรม" ซึ่งตรงกันข้ามกับพีชคณิตธรรมดาหรือคลาสสิก ส่วนสำคัญของเรขาคณิตแบบยุคลิด เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด และเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ ก็รวมอยู่ในพีชคณิตใหม่ด้วย

ที่ระดับทั่วไปเดียวกันคืออีกสองช่วงตึกของโครงสร้าง หนึ่งในนั้นเรียกว่าโทโพโลยีทั่วไป รวมถึงทฤษฎีประเภทของโครงสร้าง กรณีพิเศษคือโครงสร้างของปริภูมิเมตริก ( ซม. โทโพโลยี ; ช่องว่างที่เป็นนามธรรม) ช่วงที่สามประกอบด้วยทฤษฎีโครงสร้างลำดับและส่วนขยาย “การขยาย” ของโครงสร้างประกอบด้วยการเพิ่มสัจพจน์ใหม่ให้กับสัจพจน์ที่มีอยู่ ตัวอย่างเช่น หากเราเพิ่มสมบัติของการสับเปลี่ยนเป็นสัจพจน์ที่สี่ให้กับสัจพจน์ของกลุ่ม ก*ข = ข*กจากนั้นเราจะได้โครงสร้างของกลุ่มสับเปลี่ยน (หรือกลุ่มอาบีเลียน)

จากสามช่วงตึกนี้ ช่วงสองช่วงหลังอยู่ในสถานะที่ค่อนข้างคงที่จนกระทั่งเมื่อไม่นานมานี้ และช่วง "พีชคณิตสมัยใหม่" กำลังเติบโตอย่างรวดเร็ว บางครั้งไปในทิศทางที่ไม่คาดคิด (เช่น ได้มีการพัฒนาสาขาทั้งหมดที่เรียกว่า "พีชคณิตคล้ายคลึง" ขึ้น) นอกสิ่งที่เรียกว่า โครงสร้างประเภท "บริสุทธิ์" ในอีกระดับหนึ่ง - โครงสร้าง "ผสม" เช่น พีชคณิตและทอพอโลยี พร้อมด้วยสัจพจน์ใหม่ที่เชื่อมโยงเข้าด้วยกัน ชุดค่าผสมดังกล่าวหลายชุดได้รับการศึกษา ซึ่งส่วนใหญ่แบ่งออกเป็นสองช่วงตึกกว้างๆ ได้แก่ "พีชคณิตทอพอโลยี" และ "โทโพโลยีพีชคณิต"

เมื่อนำมารวมกัน บล็อกเหล่านี้ประกอบขึ้นเป็นสาขาวิทยาศาสตร์ที่เป็น "นามธรรม" ที่สำคัญมาก นักคณิตศาสตร์หลายคนหวังว่าจะใช้เครื่องมือใหม่ๆ เพื่อทำความเข้าใจทฤษฎีคลาสสิกให้ดีขึ้นและแก้ปัญหาที่ยากๆ แท้จริงแล้ว ด้วยระดับนามธรรมและลักษณะทั่วไปที่เหมาะสม ปัญหาของคนสมัยโบราณสามารถปรากฏในมุมมองใหม่ ซึ่งจะทำให้สามารถค้นหาแนวทางแก้ไขได้ วัสดุคลาสสิกจำนวนมหาศาลอยู่ภายใต้อิทธิพลของคณิตศาสตร์ใหม่และถูกเปลี่ยนแปลงหรือรวมเข้ากับทฤษฎีอื่นๆ ยังมีพื้นที่กว้างใหญ่ที่วิธีการสมัยใหม่ยังไม่ได้เจาะลึกเท่าที่ควร ตัวอย่างได้แก่ทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์และทฤษฎีจำนวนส่วนใหญ่ มีความเป็นไปได้มากที่ความก้าวหน้าที่สำคัญในพื้นที่เหล่านี้จะประสบความสำเร็จเมื่อมีการค้นพบและศึกษาโครงสร้างประเภทใหม่อย่างละเอียด

ความยากลำบากทางปรัชญา

แม้แต่ชาวกรีกโบราณก็เข้าใจอย่างชัดเจนว่าทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ควรปราศจากความขัดแย้ง ซึ่งหมายความว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะได้ผลลัพธ์เชิงตรรกะจากสัจพจน์ของข้อความนั้น รและการปฏิเสธของเขาไม่ใช่ ป. อย่างไรก็ตาม เนื่องจากเชื่อว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์มีความสอดคล้องกันในโลกแห่งความเป็นจริง และสัจพจน์คือ "อุดมคติ" ของกฎแห่งธรรมชาติ จึงไม่มีใครสงสัยในความสอดคล้องของคณิตศาสตร์ ในระหว่างการเปลี่ยนผ่านจากคณิตศาสตร์คลาสสิกไปสู่คณิตศาสตร์สมัยใหม่ ปัญหาความสม่ำเสมอได้รับความหมายที่แตกต่างออกไป เสรีภาพในการเลือกสัจพจน์ของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ใดๆ จะต้องถูกจำกัดอย่างชัดเจนด้วยเงื่อนไขของความสม่ำเสมอ แต่จะแน่ใจได้ไหมว่าเงื่อนไขนี้จะเป็นไปตามนั้น

เราได้กล่าวถึงแนวคิดของชุดไปแล้ว แนวคิดนี้ถูกนำมาใช้อย่างชัดเจนไม่มากก็น้อยในวิชาคณิตศาสตร์และตรรกศาสตร์ ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 กฎเบื้องต้นสำหรับการจัดการแนวคิดเรื่องชุดได้รับการจัดระบบบางส่วน นอกจากนี้ ยังได้รับผลลัพธ์ที่สำคัญบางประการซึ่งก่อให้เกิดเนื้อหาของสิ่งที่เรียกว่า ทฤษฎีเซต ( ซม. อีกด้วยทฤษฎีเซต) ซึ่งกลายเป็นรากฐานของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ทั้งหมด ตั้งแต่สมัยโบราณจนถึงศตวรรษที่ 19 มีความกังวลเกี่ยวกับฉากที่ไม่มีที่สิ้นสุด เช่น สะท้อนให้เห็นในความขัดแย้งที่มีชื่อเสียงของ Zeno of Eleatic (ศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช) ความกังวลเหล่านี้ส่วนหนึ่งมีลักษณะเลื่อนลอย และส่วนหนึ่งเกิดจากความยากลำบากที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดในการวัดปริมาณ (เช่น ความยาวหรือเวลา) เป็นไปได้ที่จะขจัดปัญหาเหล่านี้หลังจากศตวรรษที่ 19 เท่านั้น มีการกำหนดแนวคิดพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ไว้อย่างเคร่งครัด ในปี ค.ศ. 1895 ความกลัวทั้งหมดก็หมดไป และดูเหมือนว่าคณิตศาสตร์จะวางอยู่บนรากฐานที่มั่นคงของทฤษฎีเซต แต่ในทศวรรษถัดมา มีข้อโต้แย้งใหม่ๆ เกิดขึ้น ซึ่งดูเหมือนจะแสดงให้เห็นถึงความไม่สอดคล้องกันภายในของทฤษฎีเซต (และคณิตศาสตร์ที่เหลือ)

ความขัดแย้งใหม่นั้นง่ายมาก ข้อแรกคือความขัดแย้งของรัสเซล สามารถพิจารณาได้ในรูปแบบง่ายๆ ที่เรียกว่าความขัดแย้งของช่างตัดผม ในเมืองหนึ่ง ช่างตัดผมจะโกนขนผู้อยู่อาศัยทุกคนที่ไม่ได้โกนขนด้วยตนเอง ใครโกนช่างตัดผมเอง? ถ้าช่างตัดผมโกนตัวเอง เขาไม่เพียงแต่โกนชาวบ้านที่ไม่โกนตัวเองเท่านั้น แต่ยังโกนชาวบ้านคนหนึ่งที่โกนตัวเองด้วย ถ้าตัวเขาเองไม่โกน เขาก็ไม่โกนชาวเมืองทุกคนที่ไม่โกนขน ความขัดแย้งประเภทนี้เกิดขึ้นเมื่อมีการพิจารณาแนวคิดเรื่อง "เซตของเซตทั้งหมด" แม้ว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์นี้จะดูเป็นธรรมชาติมาก แต่การให้เหตุผลเกี่ยวกับวัตถุดังกล่าวอย่างรวดเร็วทำให้เกิดความขัดแย้ง

ความขัดแย้งของ Berry ยิ่งเผยให้เห็นมากขึ้น พิจารณาชุดวลีภาษารัสเซียทั้งหมดที่มีคำไม่เกินสิบเจ็ดคำ จำนวนคำในภาษารัสเซียมีจำกัด ดังนั้นจำนวนวลีดังกล่าวจึงมีจำกัด ให้เราเลือกจำนวนที่กำหนดจำนวนเต็มที่ไม่ซ้ำกัน เช่น "จำนวนคี่ที่ใหญ่ที่สุดน้อยกว่าสิบ" จำนวนวลีดังกล่าวก็มีจำกัดเช่นกัน ดังนั้นเซตของจำนวนเต็มที่กำหนดโดยพวกมันจึงมีจำกัด ให้เราแสดงเซตจำกัดของจำนวนเหล่านี้ด้วย ดี. จากสัจพจน์ของเลขคณิตเป็นไปตามว่ามีจำนวนเต็มที่ไม่อยู่ในนั้น ดีและในบรรดาตัวเลขเหล่านี้จะมีจำนวนน้อยที่สุด n. เบอร์นี้ nถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยวลี: "จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่ไม่สามารถกำหนดโดยวลีที่ประกอบด้วยคำภาษารัสเซียไม่เกินสิบเจ็ดคำ" แต่วลีนี้มีสิบเจ็ดคำพอดี ดังนั้นจึงกำหนดจำนวน nซึ่งควรจะเป็นของ ดีและเราก็มาถึงความขัดแย้งที่ขัดแย้งกัน

นักสัญชาตญาณและนักพิธีการ

ความตกใจที่เกิดจากความขัดแย้งของทฤษฎีเซตทำให้เกิดปฏิกิริยาที่หลากหลาย นักคณิตศาสตร์บางคนค่อนข้างแน่วแน่และแสดงความคิดเห็นว่าคณิตศาสตร์มีการพัฒนาไปในทิศทางที่ผิดตั้งแต่เริ่มต้นและควรตั้งอยู่บนรากฐานที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ไม่สามารถอธิบายมุมมองของ "นักสัญชาตญาณ" ดังกล่าว (เมื่อพวกเขาเริ่มเรียกตัวเองว่า) ได้อย่างแม่นยำเนื่องจากพวกเขาปฏิเสธที่จะลดมุมมองของตนลงเหลือเพียงโครงร่างเชิงตรรกะล้วนๆ จากมุมมองของนักสัญชาตญาณ การใช้กระบวนการเชิงตรรกะกับวัตถุที่ไม่สามารถนำเสนอได้โดยสัญชาตญาณถือเป็นความผิด วัตถุที่ชัดเจนโดยสัญชาตญาณเพียงอย่างเดียวคือจำนวนธรรมชาติ 1, 2, 3,... และเซตจำนวนธรรมชาติที่มีขอบเขตจำกัด ซึ่ง "สร้างขึ้น" ตามกฎที่ระบุไว้อย่างแม่นยำ แต่แม้กระทั่งกับวัตถุดังกล่าว นักสัญชาตญาณไม่อนุญาตให้นำการหักล้างตรรกะคลาสสิกทั้งหมดไปใช้ ตัวอย่างเช่น พวกเขาไม่รู้จักสิ่งนั้นสำหรับข้อความใดๆ รจริงเช่นกัน ร, หรือไม่ ร. ด้วยวิธีการที่จำกัดเช่นนี้ พวกเขาจึงหลีกเลี่ยง "ความขัดแย้ง" ได้อย่างง่ายดาย แต่ในขณะเดียวกันพวกเขาก็โยนทิ้งไม่เพียงแต่คณิตศาสตร์สมัยใหม่ทั้งหมดเท่านั้น แต่ยังเป็นส่วนสำคัญของผลลัพธ์ของคณิตศาสตร์คลาสสิกด้วย และสำหรับผู้ที่ยังคงอยู่ ก็จำเป็นต้องค้นหาสิ่งใหม่ การพิสูจน์ที่ซับซ้อนมากขึ้น

นักคณิตศาสตร์สมัยใหม่ส่วนใหญ่ไม่เห็นด้วยกับข้อโต้แย้งของนักสัญชาตญาณ นักคณิตศาสตร์ที่ไม่มีสัญชาตญาณสังเกตเห็นว่าข้อโต้แย้งที่ใช้ในความขัดแย้งแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากข้อโต้แย้งที่ใช้ในงานคณิตศาสตร์ทั่วไปที่มีทฤษฎีเซต ดังนั้นข้อโต้แย้งดังกล่าวจึงควรตัดออกว่าผิดกฎหมายโดยไม่เป็นอันตรายต่อทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่มีอยู่ ข้อสังเกตอีกประการหนึ่งคือในทฤษฎีเซต "ไร้เดียงสา" ซึ่งมีอยู่ก่อนการถือกำเนิดของ "ความขัดแย้ง" ความหมายของคำว่า "เซต" "ทรัพย์สิน" "ความสัมพันธ์" ไม่ได้ถูกตั้งคำถาม - เช่นเดียวกับในเรขาคณิตคลาสสิก "สัญชาตญาณ" ไม่ได้ถูกตั้งคำถามถึงธรรมชาติของแนวคิดทางเรขาคณิตทั่วไป ด้วยเหตุนี้ เราจึงสามารถกระทำการในลักษณะเดียวกับในเรขาคณิต กล่าวคือ ละทิ้งความพยายามทั้งหมดที่จะดึงดูด "สัญชาตญาณ" และใช้ระบบของสัจพจน์ที่ได้รับการกำหนดสูตรอย่างแม่นยำเป็นจุดเริ่มต้นของทฤษฎีเซต อย่างไรก็ตาม ยังไม่ชัดเจนว่าคำต่างๆ เช่น "ทรัพย์สิน" หรือ "ความสัมพันธ์" สามารถถูกตัดออกจากความหมายธรรมดาได้อย่างไร แต่สิ่งนี้จะต้องทำถ้าเราต้องการที่จะแยกข้อโต้แย้งเช่นความขัดแย้งของ Berry ออก วิธีการประกอบด้วยการละเว้นการใช้ภาษาธรรมดาในการตั้งสัจพจน์หรือทฤษฎีบท เฉพาะข้อเสนอที่สร้างขึ้นตามระบบที่ชัดเจนของกฎที่เข้มงวดเท่านั้นที่ได้รับอนุญาตให้เป็น "คุณสมบัติ" หรือ "ความสัมพันธ์" ในคณิตศาสตร์และเข้าสู่การกำหนดสัจพจน์ กระบวนการนี้เรียกว่า "การทำให้เป็นทางการ" ของภาษาคณิตศาสตร์ (เพื่อหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิดที่เกิดจากความคลุมเครือของภาษาธรรมดาขอแนะนำให้ไปอีกขั้นหนึ่งและแทนที่คำด้วยสัญลักษณ์พิเศษในประโยคที่เป็นทางการเช่นแทนที่คำเกี่ยวพัน "และ" ด้วยสัญลักษณ์ & การเชื่อมต่อ "หรือ" - ด้วยสัญลักษณ์ b "มีอยู่" พร้อมสัญลักษณ์ $ ฯลฯ ) นักคณิตศาสตร์ที่ปฏิเสธวิธีการที่เสนอโดยนักสัญชาตญาณเริ่มถูกเรียกว่า "ผู้เป็นทางการ"

อย่างไรก็ตาม คำถามเดิมก็ไม่เคยได้รับคำตอบ “ทฤษฎีเซตสัจพจน์” ปราศจากความขัดแย้งหรือไม่? ความพยายามครั้งใหม่ในการพิสูจน์ความสอดคล้องของทฤษฎี "ที่เป็นทางการ" เกิดขึ้นในช่วงทศวรรษที่ 1920 โดย D. Hilbert (1862-1943) และโรงเรียนของเขา และถูกเรียกว่า "metamathematics" โดยพื้นฐานแล้ว metamathematics เป็นสาขาหนึ่งของ "คณิตศาสตร์ประยุกต์" ซึ่งวัตถุที่ใช้การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์เป็นข้อเสนอของทฤษฎีที่เป็นทางการและการจัดเรียงของพวกมันภายในการพิสูจน์ ประโยคเหล่านี้ให้ถือเป็นเพียงการผสมผสานเนื้อหาของสัญลักษณ์ที่สร้างขึ้นตามกฎที่กำหนดไว้บางประการ โดยไม่มีการอ้างอิงใด ๆ ถึง "ความหมาย" ที่เป็นไปได้ของสัญลักษณ์เหล่านี้ (ถ้ามี) การเปรียบเทียบที่ดีคือเกมหมากรุก: สัญลักษณ์ตรงกับตัวหมาก ประโยคตรงกับตำแหน่งต่างๆ บนกระดาน และข้อสรุปเชิงตรรกะสอดคล้องกับกฎในการเคลื่อนย้ายหมาก เพื่อสร้างความสอดคล้องของทฤษฎีที่เป็นทางการ ก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงให้เห็นว่าในทฤษฎีนี้ ไม่มีหลักฐานใดที่ลงท้ายด้วยข้อความ 0 หมายเลข 0 อย่างไรก็ตาม เราสามารถคัดค้านการใช้ข้อโต้แย้งทางคณิตศาสตร์ในการพิสูจน์ "เมตาคณิตศาสตร์" ได้ ความสม่ำเสมอของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ หากคณิตศาสตร์ไม่สอดคล้องกัน ข้อโต้แย้งทางคณิตศาสตร์ก็จะสูญเสียพลังทั้งหมด และเราจะพบว่าตัวเองอยู่ในสถานการณ์ที่เลวร้าย เพื่อตอบข้อโต้แย้งเหล่านี้ ฮิลแบร์ตอนุญาตให้ใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์อย่างจำกัดมากในแบบที่นักสัญชาตญาณพิจารณาว่ายอมรับได้สำหรับใช้ในวิชาอภิคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม K. Gödel แสดงให้เห็นในไม่ช้า (1931) ว่าความสอดคล้องของเลขคณิตไม่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีการที่จำกัดเช่นนั้น ถ้ามันสอดคล้องกันอย่างแท้จริง (ขอบเขตของบทความนี้ไม่อนุญาตให้เราสรุปวิธีการอันชาญฉลาดที่ทำให้ได้รับผลลัพธ์ที่น่าทึ่งนี้ และประวัติความเป็นมาของอภิธรรมวิทยาในเวลาต่อมา)

เมื่อสรุปสถานการณ์ปัญหาในปัจจุบันจากมุมมองของนักนิยมนิยม เราต้องยอมรับว่ามันยังไม่จบสิ้น การใช้แนวคิดเรื่องเซตถูกจำกัดด้วยข้อจำกัดที่ถูกนำมาใช้โดยเฉพาะเพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้งที่เป็นที่รู้จัก และไม่มีการรับประกันว่าความขัดแย้งใหม่ๆ จะไม่เกิดขึ้นในทฤษฎีเซตที่เป็นจริง อย่างไรก็ตาม ข้อจำกัดของทฤษฎีเซตสัจพจน์ไม่ได้ขัดขวางการกำเนิดของทฤษฎีใหม่ที่สามารถดำเนินการได้

คณิตศาสตร์และโลกแห่งความเป็นจริง

แม้จะกล่าวอ้างเกี่ยวกับความเป็นอิสระของคณิตศาสตร์ แต่ก็ไม่มีใครปฏิเสธได้ว่าคณิตศาสตร์และโลกทางกายภาพมีความเชื่อมโยงถึงกัน แน่นอนว่าวิธีการทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาของฟิสิกส์คลาสสิกยังคงใช้ได้อยู่ เป็นความจริงเช่นกันว่าในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่สำคัญมากกล่าวคือในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์อนุพันธ์สามัญและอนุพันธ์ย่อยกระบวนการเพิ่มคุณค่าซึ่งกันและกันของฟิสิกส์และคณิตศาสตร์นั้นค่อนข้างประสบผลสำเร็จ

คณิตศาสตร์มีประโยชน์ในการตีความปรากฏการณ์โลกใบเล็ก อย่างไรก็ตาม “การประยุกต์ใช้” ใหม่ของคณิตศาสตร์แตกต่างอย่างมากจากแอพพลิเคชั่นแบบดั้งเดิม เครื่องมือที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของฟิสิกส์ได้กลายเป็นทฤษฎีความน่าจะเป็นซึ่งก่อนหน้านี้ใช้เป็นหลักในทฤษฎีการพนันและการประกันภัย วัตถุทางคณิตศาสตร์ที่นักฟิสิกส์เชื่อมโยงกับ "สถานะอะตอม" หรือ "การเปลี่ยนผ่าน" มีลักษณะเป็นนามธรรมอย่างมาก และนักคณิตศาสตร์ได้แนะนำและศึกษามานานก่อนการถือกำเนิดของกลศาสตร์ควอนตัม ควรเสริมว่าหลังจากความสำเร็จครั้งแรกปัญหาร้ายแรงก็เกิดขึ้น สิ่งนี้เกิดขึ้นในช่วงเวลาที่นักฟิสิกส์พยายามใช้แนวคิดทางคณิตศาสตร์กับแง่มุมที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นของทฤษฎีควอนตัม อย่างไรก็ตาม นักฟิสิกส์หลายคนยังคงมองทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ใหม่ๆ ด้วยความหวัง โดยเชื่อว่าทฤษฎีเหล่านี้จะช่วยแก้ปัญหาใหม่ๆ ได้

คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์หรือศิลปะ?

แม้ว่าเราจะรวมทฤษฎีความน่าจะเป็นหรือตรรกะทางคณิตศาสตร์ไว้ในคณิตศาสตร์ที่ "บริสุทธิ์" แต่กลับกลายเป็นว่าในปัจจุบันวิทยาศาสตร์อื่นใช้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ที่ทราบน้อยกว่า 50% ครึ่งหลังที่เหลือเราควรคิดอย่างไร? กล่าวอีกนัยหนึ่ง อะไรคือแรงจูงใจเบื้องหลังสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ไม่เกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหาทางกายภาพ

เราได้กล่าวถึงความไร้เหตุผลของจำนวนแล้วในฐานะตัวแทนทั่วไปของทฤษฎีบทประเภทนี้ อีกตัวอย่างหนึ่งคือทฤษฎีบทที่พิสูจน์โดย J.-L. Lagrange (1736–1813) แทบจะไม่มีนักคณิตศาสตร์คนไหนที่จะไม่เรียกมันว่า "สำคัญ" หรือ "สวยงาม" ทฤษฎีบทของลากรองจ์กล่าวว่าจำนวนเต็มใดๆ ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 1 สามารถแสดงเป็นผลรวมของกำลังสองของตัวเลขไม่เกินสี่จำนวนได้ เช่น 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2 ในสภาวะปัจจุบัน ไม่น่าเชื่อว่าผลลัพธ์นี้จะมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาการทดลองใดๆ เป็นความจริงที่ว่านักฟิสิกส์จัดการกับจำนวนเต็มในปัจจุบันบ่อยกว่าในอดีตมาก แต่จำนวนเต็มที่ใช้นั้นจะถูกจำกัดอยู่เสมอ (แทบจะไม่เกินสองสามร้อยเลย) ดังนั้น ทฤษฎีบทอย่างลากรองจ์จะ "มีประโยชน์" ได้ก็ต่อเมื่อนำไปใช้กับจำนวนเต็มภายในขอบเขตที่กำหนด แต่ทันทีที่เราจำกัดการกำหนดทฤษฎีบทของลากรองจ์ นักคณิตศาสตร์ก็เลิกสนใจทันที เนื่องจากพลังที่น่าดึงดูดทั้งหมดของทฤษฎีบทนี้อยู่ที่การนำไปประยุกต์ใช้กับจำนวนเต็มทั้งหมดได้ (มีข้อความมากมายเกี่ยวกับจำนวนเต็มที่คอมพิวเตอร์สามารถตรวจสอบได้สำหรับตัวเลขจำนวนมาก แต่เนื่องจากไม่พบข้อพิสูจน์ทั่วไป จึงยังคงเป็นเรื่องสมมุติและไม่น่าสนใจสำหรับนักคณิตศาสตร์มืออาชีพ)

การมุ่งเน้นหัวข้อที่ห่างไกลจากการใช้งานทันทีไม่ใช่เรื่องแปลกสำหรับนักวิทยาศาสตร์ที่ทำงานในสาขาใดๆ ไม่ว่าจะเป็นดาราศาสตร์หรือชีววิทยา อย่างไรก็ตาม แม้ว่าผลการทดลองจะสามารถปรับปรุงและปรับปรุงได้ แต่การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ยังคงเป็นที่สิ้นสุดเสมอ ด้วยเหตุนี้จึงเป็นเรื่องยากที่จะต้านทานการล่อลวงให้ถือว่าคณิตศาสตร์ หรืออย่างน้อยก็ส่วนหนึ่งที่ไม่เกี่ยวข้องกับ "ความเป็นจริง" ในฐานะศิลปะ ปัญหาทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ถูกกำหนดจากภายนอก และถ้าเราใช้มุมมองสมัยใหม่ เราก็มีอิสระอย่างสมบูรณ์ในการเลือกใช้สื่อต่างๆ เมื่อประเมินผลงานทางคณิตศาสตร์บางงาน นักคณิตศาสตร์ไม่มีเกณฑ์ "วัตถุประสงค์" และถูกบังคับให้พึ่งพา "รสนิยม" ของตนเอง รสนิยมจะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับเวลา ประเทศ ประเพณี และแต่ละบุคคล ในคณิตศาสตร์ยุคใหม่มีทั้งแฟชั่นและ "โรงเรียน" ปัจจุบันมี "โรงเรียน" สามแห่งซึ่งเพื่อความสะดวกเราจะเรียกว่า "ลัทธิคลาสสิก" "ลัทธิสมัยใหม่" และ "ลัทธินามธรรม" เพื่อให้เข้าใจถึงความแตกต่างระหว่างสิ่งเหล่านั้นได้ดีขึ้น เราจะมาวิเคราะห์เกณฑ์ต่างๆ ที่นักคณิตศาสตร์ใช้ในการประเมินทฤษฎีบทหรือกลุ่มของทฤษฎีบท

(1) ตามความเห็นทั่วไป ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ที่ "สวยงาม" ไม่ควรเป็นเรื่องเล็กน้อย เช่น ไม่ควรเป็นผลที่ชัดเจนของสัจพจน์หรือทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้ การพิสูจน์ต้องใช้แนวคิดใหม่หรือใช้แนวคิดเก่าอย่างชาญฉลาด กล่าวอีกนัยหนึ่ง สิ่งที่สำคัญสำหรับนักคณิตศาสตร์ไม่ใช่ผลลัพธ์ของตัวเอง แต่เป็นกระบวนการในการเอาชนะความยากลำบากที่เขาพบในการได้รับมัน

(2) ปัญหาทางคณิตศาสตร์ใดๆ ก็ตามย่อมมีประวัติของตัวเอง ซึ่งก็คือ "สายเลือด" นั่นเอง ซึ่งเป็นไปตามรูปแบบทั่วไปเดียวกันกับที่ประวัติศาสตร์ของวิทยาศาสตร์ใดๆ พัฒนาขึ้น กล่าวคือ หลังจากความสำเร็จครั้งแรก เวลาหนึ่งอาจผ่านไปก่อนคำตอบของ พบคำถามที่ถูกโพสต์ เมื่อได้รับวิธีแก้ปัญหาแล้ว เรื่องราวไม่ได้จบเพียงแค่นั้น เนื่องจากกระบวนการขยายและการวางนัยทั่วไปที่เป็นที่รู้จักเริ่มต้นขึ้น ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทลากรองจ์ที่กล่าวถึงข้างต้นนำไปสู่คำถามเกี่ยวกับการแสดงจำนวนเต็มใดๆ เป็นผลรวมของลูกบาศก์ ยกกำลังที่สี่ ห้า เป็นต้น นี่คือสาเหตุที่ทำให้เกิด "ปัญหา Waring" ซึ่งยังไม่ได้รับแนวทางแก้ไขขั้นสุดท้าย ยิ่งไปกว่านั้น หากเราโชคดี ปัญหาที่เราแก้ไขจะกลายเป็นเกี่ยวข้องกับโครงสร้างพื้นฐานอย่างน้อยหนึ่งอย่าง และในทางกลับกัน ก็จะนำไปสู่ปัญหาใหม่ที่เกี่ยวข้องกับโครงสร้างเหล่านี้ แม้ว่าทฤษฎีดั้งเดิมจะตายไปในที่สุด มันก็มักจะทิ้งหน่อที่มีชีวิตไว้มากมาย นักคณิตศาสตร์สมัยใหม่ต้องเผชิญกับปัญหามากมาย ถึงแม้ว่าการสื่อสารกับวิทยาศาสตร์เชิงทดลองทั้งหมดจะถูกขัดจังหวะ แต่การแก้ปัญหาก็ยังต้องใช้เวลาอีกหลายศตวรรษ

(3) นักคณิตศาสตร์ทุกคนจะยอมรับว่าเมื่อเกิดปัญหาใหม่ต่อหน้าเขา เป็นหน้าที่ของเขาที่จะต้องแก้ไขด้วยวิธีใดก็ตามที่เป็นไปได้ เมื่อปัญหาเกี่ยวข้องกับวัตถุทางคณิตศาสตร์คลาสสิก (นักคลาสสิกไม่ค่อยจัดการกับวัตถุประเภทอื่น) นักคลาสสิกพยายามแก้มันโดยใช้วิธีคลาสสิกเท่านั้น ในขณะที่นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ แนะนำโครงสร้าง "นามธรรม" มากกว่าเพื่อใช้ทฤษฎีบททั่วไปที่เกี่ยวข้องกับงาน แนวทางที่แตกต่างนี้ไม่ใช่เรื่องใหม่ ตั้งแต่ศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์แบ่งออกเป็น "นักยุทธวิธี" ที่พยายามค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่มีพลังล้วนๆ และ "นักยุทธศาสตร์" ที่มีแนวโน้มที่จะซ้อมรบวงเวียนซึ่งทำให้สามารถบดขยี้ศัตรูด้วยกำลังขนาดเล็ก

(4) องค์ประกอบสำคัญของ “ความงาม” ของทฤษฎีบทนี้คือความเรียบง่าย แน่นอนว่าการค้นหาความเรียบง่ายเป็นคุณลักษณะเฉพาะของความคิดทางวิทยาศาสตร์ทั้งหมด แต่นักทดลองก็พร้อมที่จะทนกับ "วิธีแก้ปัญหาที่น่าเกลียด" หากปัญหาได้รับการแก้ไขเท่านั้น ในทำนองเดียวกัน ในทางคณิตศาสตร์ นักคลาสสิกและนักนามธรรมไม่ได้กังวลมากนักเกี่ยวกับการปรากฏตัวของผลลัพธ์ "ทางพยาธิวิทยา" ในทางกลับกัน นักสมัยใหม่ไปไกลถึงการมองว่า "พยาธิสภาพ" ของทฤษฎีเป็นอาการที่บ่งบอกถึงความไม่สมบูรณ์ของแนวคิดพื้นฐาน

สารานุกรมคณิตศาสตร์ - สิ่งตีพิมพ์อ้างอิงเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ทุกสาขา สารานุกรมจัดทำขึ้นจากบทความทบทวนที่เกี่ยวข้องกับประเด็นที่สำคัญที่สุดของคณิตศาสตร์ ข้อกำหนดหลักสำหรับบทความประเภทนี้คือความสมบูรณ์ที่เป็นไปได้ของภาพรวมของสถานะปัจจุบันของทฤษฎีพร้อมความสามารถในการนำเสนอสูงสุด โดยทั่วไปบทความเหล่านี้สามารถเข้าถึงได้สำหรับนักศึกษาคณิตศาสตร์รุ่นพี่ นักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา และผู้เชี่ยวชาญในสาขาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง และในบางกรณี ผู้เชี่ยวชาญในสาขาความรู้อื่นๆ ที่ใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ในการทำงาน วิศวกร และครูคณิตศาสตร์ นอกจากนี้ยังมีการจัดเตรียมบทความขนาดกลางเกี่ยวกับปัญหาเฉพาะบุคคลและวิธีการทางคณิตศาสตร์ไว้ด้วย บทความเหล่านี้มีไว้สำหรับผู้อ่านในวงแคบและอาจเข้าถึงได้น้อยลง สุดท้ายนี้ บทความอีกประเภทหนึ่งคือการอ้างอิงและคำจำกัดความโดยย่อ คำจำกัดความบางอย่างระบุไว้ในบทความสองประเภทแรก บทความสารานุกรมส่วนใหญ่จะมีบรรณานุกรมพร้อมหมายเลขซีเรียลสำหรับแต่ละชื่อเรื่อง ซึ่งทำให้สามารถอ้างอิงในเนื้อหาของบทความได้ ในตอนท้ายของบทความ (ตามกฎ) ผู้เขียนหรือแหล่งที่มาจะถูกระบุว่าบทความนั้นได้รับการตีพิมพ์ก่อนหน้านี้หรือไม่ (ส่วนใหญ่เป็นบทความในสารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่) ชื่อของนักวิทยาศาสตร์ต่างชาติ (ยกเว้นสมัยโบราณ) ที่กล่าวถึงในบทความจะมีการสะกดคำภาษาละตินร่วมด้วย (หากไม่มีลิงก์ไปยังรายการข้อมูลอ้างอิง)

หลักการจัดเรียงบทความในสารานุกรมเป็นแบบเรียงตามตัวอักษร หากชื่อเรื่องของบทความเป็นคำที่มีคำพ้องความหมาย จะต้องให้คำหลังตามหลังชื่อหลัก ในหลายกรณี ชื่อบทความประกอบด้วยคำตั้งแต่สองคำขึ้นไป ในกรณีเหล่านี้ คำต่างๆ จะได้รับในรูปแบบที่ใช้บ่อยที่สุด หรือให้คำที่มีความหมายสำคัญที่สุดมาเป็นอันดับแรก หากชื่อของบทความมีชื่อเฉพาะ จะถูกจัดให้อยู่ในตำแหน่งแรก (รายการอ้างอิงสำหรับบทความดังกล่าวตามกฎจะมีแหล่งข้อมูลหลักที่อธิบายชื่อของคำนั้น) ชื่อเรื่องของบทความจะถูกกำหนดให้เป็นเอกพจน์เป็นหลัก

สารานุกรมใช้ระบบลิงก์ไปยังบทความอื่นอย่างกว้างขวาง โดยผู้อ่านจะพบข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับหัวข้อที่อยู่ระหว่างการพิจารณา คำจำกัดความไม่ได้ให้การอ้างอิงถึงคำที่ปรากฏในชื่อบทความ

เพื่อประหยัดพื้นที่ บทความต่างๆ จะใช้ตัวย่อตามปกติของคำบางคำสำหรับสารานุกรม

ทำงานในเล่มที่ 1

กองบรรณาธิการคณิตศาสตร์ของสำนักพิมพ์ "สารานุกรมโซเวียต" - V. I. BITYUTSKOV (หัวหน้าบรรณาธิการ), M. I. VOITSEKHOVSKY (บรรณาธิการวิทยาศาสตร์), Yu. A. GORBKOV (บรรณาธิการวิทยาศาสตร์), A. B. IVANOV (บรรณาธิการวิทยาศาสตร์อาวุโส), O A. IVANOVA (อาวุโส) บรรณาธิการด้านวิทยาศาสตร์), T. Y. POPOVA (บรรณาธิการด้านวิทยาศาสตร์), S. A. RUKOVA (บรรณาธิการด้านวิทยาศาสตร์อาวุโส), E. G. SOBOLEVSKAYA (บรรณาธิการ), L. V. SOKOLOVA (บรรณาธิการรุ่นเยาว์), L. R. HABIB (บรรณาธิการรุ่นเยาว์)

เจ้าหน้าที่สำนักพิมพ์: E. P. RYABOVA (บรรณาธิการวรรณกรรม) E. I. ZHAROVA, A. M. MARTYNOV (บรรณานุกรม) A.F. DALKOVSKAYA (ถอดความ) N. A. FEDOROVA (แผนกการจัดหา) 3. A. SUKHOVA (ภาพประกอบฉบับ) E. I. ALEXEEVA, N. Y. KRUZHALOVA (บรรณาธิการพจนานุกรม) M.V. AKIMOVA, A.F. PROSHKO (ผู้พิสูจน์อักษร) G.V. SMIRNOVA (ฉบับทางเทคนิค)

ปกโดยศิลปิน R.I. MALANICHEV

ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเล่มที่ 1

สำนักพิมพ์ "สารานุกรมโซเวียต"

สารานุกรม พจนานุกรม หนังสืออ้างอิง

สภาวิทยาศาสตร์และกองบรรณาธิการของสำนักพิมพ์

A. M. PROKHOROV (ประธาน), I. V. ABASHIDZE, P. A. AZIMOV, A. P. ALEXANDROV, V. A. AMBARTSUMYAN, I. I. ARTOBOLEVSKY, A. V. ARTSIKHOVSKY, M. S. ASIMOV , M. P. BAZHAN, Y. Y. BARABASH, N. V. BARANOV, N. N. BOGOLYUBOV, P. U . BROVKA, Y.V. BROMLEY, B.E. BYKHOVSKY, V. X. VASILENKO , L M. VOLODARSKY, V. V. VOLSKY, B. M. VUL, B. G. GAFUROV, S. R. GERSHBERG, M. S. GILYAROV, V. P. GLUSHKO, V. M. GLUSHKOV, G. N GOLIKOV, D. B. GULIEV, A. A. GUSEV (รองประธาน), V. P. ELUTIN, V. S. EMELYANOV, E . ม. ซูคอฟ , A. A. IMSHENETSKY, N. N. INOZEMTSEV, M A. I. KABACHNIK, S. V. KALESNIK, G. A. KARAVAEV, K. K. KARAKEEV, M. K. KARATAEV, B. M. KEDROV, G. V. KELDYSH, V. A. KIRILLIN, I. L KNUNYANTS, S. M. KOVALEV (เดอคนแรก ประธานฉาว), F. V. KONSTANTINOV, V. N. KUDRYAVTSEV , M. I. KUZNETSOV (รองประธาน), B. V. KUKARKIN, V. G. KULIKOV, I. A. KUTUZOV, P. P. LOBANOV, G. M. LOZA, Y. E. MAKSAREV, P. A. MARKOV, A. I. MARKUSHEVICH, Y. Y. MATULIS, G. I. NAAN, G. D. OBICHKIN, B. อี. ปาตัน, วี. เอ็ม. โพลเวย์, M. A. PROKOFIEV, Y. V. PROKHOROV, N. F. ROSTOVTSEV, A. M. RUMYANTSEV, B. A. RYBAKOV, V. P. SAMSON, M. I. SLADKOVSKY, V. I. SMIRNOV, D. N. SOLOVIEV (รองประธาน), V. G. SOLODOVNIKOV, V. N. STOLETOV, B. I. STU CALIN, A. A. SURKOV, M. L. TERENTYEV, S. A. TOKAREV, V. A. TRAPEZNIKOV, E. K. FEDOROV, M. B. KHRAPCHENKO, E. I. CHAZOV, V. N. CHERNIGOVSKY, Y. E. SHMUSHKIS, S. I. YUTKEVICH เลขาธิการสภา L.V. KIRILLOVA

มอสโก 2520

สารานุกรมทางคณิตศาสตร์. เล่มที่ 1 (ก - ง)

บรรณาธิการบริหาร I. M. VINOGRADOV

ทีมบรรณาธิการ

S. I. ADYAN, P. S. ALEXANDROV, N. S. BAKHVALOV, V. I. BITYUTSKOV (รองบรรณาธิการบริหาร), A. V. BITSADZE, L. N. BOLSHEV, A. A. GONCHAR, N. V EFIMOV, V. A. ILYIN, A. A. KARATSUBA, L. D. KUDRYAVTSEV, B. M. LEVITAN, K เค. มาร์ซานนิชวิลี, E.F. MISHCHENKO, S. P. NOVIKOV, E. G. POZNYAK , Y. V. PROKHOROV (รองบรรณาธิการบริหาร), A. G. SVESHNIKOV, A. N. TIKHONOV, P. L. ULYANOV, A. I. SHIRSHOV, S. V. YABLONSKY

สารานุกรมคณิตศาสตร์. เอ็ด คณะกรรมการ: I. M. Vinogradov (หัวหน้าบรรณาธิการ) [และอื่น ๆ ] T. 1 - M. , “ สารานุกรมโซเวียต”, 2520

(สารานุกรม พจนานุกรม หนังสืออ้างอิง) เล่ม 1. A - G. 1977. 1152 stb. จากภาพลวงตา

ส่งเพื่อเรียงพิมพ์เมื่อวันที่ 9 มิถุนายน พ.ศ. 2519 ลงนามเพื่อพิมพ์เมื่อวันที่ 18 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2520 การพิมพ์ข้อความจากเมทริกซ์ที่ทำที่โรงพิมพ์รุ่นแรกซึ่งตั้งชื่อตาม เอ.เอ.ซดาโนวา คำสั่งของสำนักพิมพ์ธงแดงแรงงาน "สารานุกรมโซเวียต" 109817. Moscow, Zh - 28, Pokrovsky Boulevard, 8. T - 02616 ยอดจำหน่าย 150,000 เล่ม สั่งซื้อเลขที่ 418 กระดาษพิมพ์เบอร์ 1 รูปแบบกระดาษ 84xl08 1/14. เล่มที่ 36 ทางกายภาพ ป.ล. ; 60, 48 แบบธรรมดา ป.ล. ข้อความ. 101, 82 วิชาการ. - เอ็ด ล. ราคาหนังสืออยู่ที่ 7 รูเบิล 10 ก.

คำสั่งของธงแดงของโรงพิมพ์แรงงานมอสโกหมายเลข 1 "Soyuzpoligrafproma" ภายใต้คณะกรรมการแห่งรัฐของสภารัฐมนตรีของสหภาพโซเวียตเพื่อการตีพิมพ์การพิมพ์และการค้าหนังสือ, มอสโก, I - 85, Prospekt Mira, 105 หมายเลขคำสั่งซื้อ 865.

สารานุกรมคณิตศาสตร์

สารานุกรมคณิตศาสตร์- สิ่งพิมพ์สารานุกรมของสหภาพโซเวียตในห้าเล่มที่เกี่ยวข้องกับหัวข้อทางคณิตศาสตร์ จัดพิมพ์ในปี 1985 โดยสำนักพิมพ์ "สารานุกรมโซเวียต" บรรณาธิการบริหาร: นักวิชาการ I. M. Vinogradov

นี่เป็นสิ่งพิมพ์พร้อมภาพประกอบพื้นฐานเกี่ยวกับคณิตศาสตร์สาขาหลักทุกสาขา หนังสือเล่มนี้นำเสนอเนื้อหาที่ครอบคลุมในหัวข้อนี้ ชีวประวัติของนักคณิตศาสตร์ชื่อดัง ภาพวาด กราฟ แผนภูมิ และแผนภูมิ

ปริมาณรวม: ประมาณ 3,000 หน้า การจำหน่ายบทความตามปริมาณ:

เล่ม 1: ลูกคิด - หลักการของไฮเกนส์, 576 หน้า
เล่ม 2: เจ้าหน้าที่ D'Alembert - เกม Co-op, 552 หน้า
เล่มที่ 3: พิกัด - Monomial, 592 หน้า
เล่มที่ 4: ดวงตาแห่งทฤษฎีบท - ฟังก์ชั่นเชิงซ้อน, 608 หน้า
เล่มที่ 5: ตัวแปรสุ่ม - เซลล์, 623 หน้า
ภาคผนวกของเล่มที่ 5: ดัชนี รายการการพิมพ์ผิดที่ระบุไว้

ลิงค์

หนังสืออ้างอิงและสารานุกรมทั่วไปและพิเศษเกี่ยวกับคณิตศาสตร์บนพอร์ทัล "โลกแห่งสมการทางคณิตศาสตร์" ซึ่งคุณสามารถดาวน์โหลดสารานุกรมในรูปแบบอิเล็กทรอนิกส์

หมวดหมู่:

หนังสือตามลำดับตัวอักษร
วรรณคดีคณิตศาสตร์
สารานุกรม
หนังสือจากสำนักพิมพ์ "สารานุกรมโซเวียต"
สารานุกรมของสหภาพโซเวียต

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2010.

เคมีคณิตศาสตร์
รากฐานทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัม

ดูว่า "สารานุกรมคณิตศาสตร์" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:

ตรรกะทางคณิตศาสตร์- (ตรรกะเชิงทฤษฎี ตรรกะเชิงสัญลักษณ์) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาการพิสูจน์และคำถามเกี่ยวกับรากฐานของคณิตศาสตร์ “เรื่องของตรรกะทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่มีความหลากหลาย” ตามคำจำกัดความของ P. S. Poretsky "คณิตศาสตร์ ... ... Wikipedia

สารานุกรม- (สารานุกรมละตินใหม่ (ไม่ก่อนศตวรรษที่ 16) จากภาษากรีกอื่น ๆ ἐγκύκλιος παιδεία “การเรียนรู้ในวงกลมเต็ม”, κύκλος วงกลม และ παιδεία การเรียนรู้/paideia) ถูกนำเข้าสู่ระบบเกี่ยวกับ ... Wikipedia

สารานุกรม- (จากภาษากรีก enkyklios Paideia การฝึกอบรมในความรู้ทั้งหมด) ทางวิทยาศาสตร์ หรือทางวิทยาศาสตร์ สิ่งพิมพ์อ้างอิงยอดนิยมที่มีข้อมูลที่เป็นระบบ องค์ความรู้ เนื้อหาในภาษา E. จัดเรียงตามตัวอักษรหรือเป็นระบบ หลักการ (ตามสาขาวิชาความรู้).... ... วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ. พจนานุกรมสารานุกรม

ตรรกะทางคณิตศาสตร์- หนึ่งในชื่อของตรรกะสมัยใหม่ที่มาในวินาที พื้น. 19 เริ่ม ศตวรรษที่ 20 เพื่อทดแทนตรรกะแบบเดิมๆ คำว่าตรรกะเชิงสัญลักษณ์ยังใช้เป็นอีกชื่อหนึ่งของเวทีสมัยใหม่ในการพัฒนาวิทยาศาสตร์แห่งตรรกศาสตร์ คำนิยาม… … สารานุกรมปรัชญา

อนันต์ทางคณิตศาสตร์- ชื่อสามัญของการสลายตัว การนำแนวคิดเรื่องอนันต์ไปใช้ในทางคณิตศาสตร์ แม้ว่าระหว่างความหมายของแนวคิด M.b. และความหมายอื่นๆ ที่ใช้คำว่า อินฟินิตี้ นั้นไม่มีขอบเขตจำกัด (เนื่องจากแนวคิดทั้งหมดนี้สะท้อนให้เห็นในท้ายที่สุดอย่างมาก ... ... สารานุกรมปรัชญา

การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์- การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์ (ในคณิตศาสตร์มักเรียกว่าการเหนี่ยวนำที่สมบูรณ์ในกรณีนี้แนวคิดนี้ควรแตกต่างจากแนวคิดของการเหนี่ยวนำที่สมบูรณ์ซึ่งพิจารณาในตรรกะที่เป็นทางการที่ไม่ใช่ทางคณิตศาสตร์) - วิธีการพิสูจน์ข้อเสนอทั่วไปใน ... . .. สารานุกรมปรัชญา

สมมติฐานทางคณิตศาสตร์- การเปลี่ยนแปลงรูปแบบ ประเภท ลักษณะของสมการที่สันนิษฐานได้ซึ่งแสดงกฎของพื้นที่ที่ศึกษาของปรากฏการณ์ โดยมีจุดประสงค์เพื่อขยายไปยังพื้นที่ใหม่ที่ยังไม่ได้ศึกษาในฐานะกฎหมายโดยธรรมชาติ M.g. ใช้กันอย่างแพร่หลายในยุคปัจจุบัน เชิงทฤษฎี...... สารานุกรมปรัชญา

โรงเรียนคณิตศาสตร์ในเศรษฐศาสตร์การเมือง- ภาษาอังกฤษ โรงเรียนคณิตศาสตร์เศรษฐศาสตร์การเมือง เยอรมัน ตารางคณิตศาสตร์ใน der politischen Okonomie ทิศทางทางการเมืองเศรษฐกิจซึ่งเกิดขึ้นในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 ได้รับจากตัวแทน (L. Walras, V. Pareto, O. Jevons ฯลฯ ) ... ... สารานุกรมสังคมวิทยา

โรงเรียนคณิตศาสตร์ในสังคมวิทยา- ภาษาอังกฤษ โรงเรียนคณิตศาสตร์ในสังคมวิทยา เยอรมัน ตารางคณิตศาสตร์ใน der Soziologie กระแสสังคมวิทยาที่เกิดขึ้นในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20 ผู้ก่อตั้งสังคมวิทยา (A. Zipf, E. Dodd ฯลฯ ) เชื่อว่าทฤษฎีของนักสังคมวิทยาถึงระดับ... ... สารานุกรมสังคมวิทยา

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของอาคารและโครงสร้าง- แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (คอมพิวเตอร์) ของอาคารและโครงสร้าง - การแสดงอาคารและโครงสร้างในรูปแบบของแผนภาพองค์ประกอบไฟไนต์เอลิเมนต์สำหรับการคำนวณเชิงตัวเลขเมื่อแก้ไขปัญหาที่เกิดขึ้นระหว่างการออกแบบการก่อสร้างและ... ... สารานุกรมคำศัพท์ คำจำกัดความ และคำอธิบายวัสดุก่อสร้าง

หนังสือ

สารานุกรมคณิตศาสตร์ (ชุด 5 เล่ม) . สารานุกรมคณิตศาสตร์ - สิ่งพิมพ์อ้างอิงที่สะดวกสำหรับคณิตศาสตร์ทุกสาขา สารานุกรมมีพื้นฐานมาจากบทความที่เกี่ยวข้องกับประเด็นที่สำคัญที่สุดของคณิตศาสตร์ หลักการจัดสถานที่...

ดาวน์โหลดหนังสือสารานุกรมคณิตศาสตร์ จำนวน 5 เล่มฟรีอย่างแน่นอน

หากต้องการดาวน์โหลดหนังสือฟรีจากบริการโฮสต์ไฟล์ ให้คลิกลิงก์ที่อยู่ถัดจากคำอธิบายของหนังสือฟรี

เรียนผู้อ่านถ้ามันไม่ได้ผลสำหรับคุณ

ดาวน์โหลดสารานุกรมคณิตศาสตร์จำนวน 5 เล่ม

เขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในความคิดเห็นและเราจะช่วยคุณอย่างแน่นอน

เราหวังว่าคุณจะชอบหนังสือเล่มนี้และสนุกกับการอ่านมัน เพื่อเป็นการขอบคุณ คุณสามารถฝากลิงก์ไปยังเว็บไซต์ของเราไว้ในฟอรัมหรือบล็อก :)หนังสืออิเล็กทรอนิกส์ สารานุกรมคณิตศาสตร์ จำนวน 5 เล่ม มีไว้เพื่อการทบทวนก่อนซื้อหนังสือกระดาษเท่านั้น และไม่ใช่คู่แข่งกับสิ่งพิมพ์