พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูทรงโค้ง เครื่องคิดเลขออนไลน์ คำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน (พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง)

สี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งมีค่าเท่ากับอินทิกรัลแน่นอน

อินทิกรัลที่แน่นอนใดๆ (ที่มีอยู่) มีความหมายทางเรขาคณิตที่ดีมาก ในชั้นเรียน ผมบอกว่าอินทิกรัลแน่นอนคือตัวเลข และตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะกล่าวถึงข้อเท็จจริงที่มีประโยชน์อีกประการหนึ่ง จากมุมมองของเรขาคณิต อินทิกรัลแน่นอนคือ AREA.

นั่นคือ, อินทิกรัลที่แน่นอน (ถ้ามี) ทางเรขาคณิตสอดคล้องกับพื้นที่ของรูปบางส่วน. ตัวอย่างเช่น พิจารณาอินทิกรัลแน่นอน อินทิกรัลกำหนดเส้นโค้งที่แน่นอนบนระนาบ (สามารถวาดได้เสมอหากต้องการ) และอินทิกรัลที่แน่นอนนั้นมีค่าเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่าง 1

นี่เป็นคำสั่งงานทั่วไป ครั้งแรกและ ช่วงเวลาสำคัญโซลูชั่น - การวาดภาพ. ยิ่งกว่านั้นต้องสร้างภาพวาด ขวา.

คุณสามารถหาเนื้อหาที่มีประโยชน์มากเกี่ยวกับบทเรียนของเรา - วิธีสร้างพาราโบลาอย่างรวดเร็ว

ในปัญหานี้ วิธีแก้ไขอาจมีลักษณะดังนี้
มาวาดรูปกันเถอะ (โปรดทราบว่าสมการกำหนดแกน):

ฉันจะไม่ฟักเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งมันชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงพื้นที่ใดที่นี่ การแก้ปัญหาดำเนินต่อไปเช่นนี้:

ในส่วนของกราฟของฟังก์ชันจะอยู่ที่ เหนือแกนนั่นเป็นเหตุผล:

ตอบ:

ใครมีปัญหาในการคำนวณอินทิกรัลแน่นอนและการใช้สูตรนิวตัน-ไลบนิซ อ้างถึงการบรรยาย อินทิกรัลที่แน่นอน ตัวอย่างโซลูชัน.

หลังจากทำงานเสร็จแล้ว จะเป็นประโยชน์เสมอที่จะดูภาพวาดและค้นหาว่าคำตอบนั้นเป็นของจริงหรือไม่ ในกรณีนี้ "ด้วยตา" เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด - จะพิมพ์ประมาณ 9 ครั้งดูเหมือนว่าจะเป็นจริง ค่อนข้างชัดเจนว่าถ้าเรามีคำตอบ: 20 ตารางหน่วย เห็นได้ชัดว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่ง - เซลล์ 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหา อย่างน้อยก็มากกว่าหนึ่งโหล หากคำตอบกลายเป็นลบแสดงว่างานก็แก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน

ตัวอย่าง 2

คำนวณพื้นที่ของรูป ล้อมรอบด้วยเส้น, , และแกน

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง คำตอบที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

จะทำอย่างไรถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลา?

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นและแกนพิกัด

วิธีแก้ปัญหา: มาวาดรูปกันเถอะ:

ถ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง อยู่ใต้เพลาอย่างสมบูรณ์จากนั้นจะหาพื้นที่ได้จากสูตร:
ในกรณีนี้:

ความสนใจ! งานสองประเภทไม่ควรสับสน:

1) หากคุณถูกขอให้แก้เฉพาะอินทิกรัลที่แน่นอนโดยไม่มีความหมายทางเรขาคณิต มันสามารถเป็นค่าลบได้

2) หากคุณถูกขอให้ค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน พื้นที่นั้นจะเป็นบวกเสมอ! นั่นคือเหตุผลที่เครื่องหมายลบปรากฏในสูตรที่เพิ่งพิจารณา

ในทางปฏิบัติ ตัวเลขส่วนใหญ่มักจะอยู่ในระนาบครึ่งบนและล่าง ดังนั้น จากปัญหาโรงเรียนที่ง่ายที่สุด เราจะไปยังตัวอย่างที่มีความหมายมากขึ้น

ตัวอย่างที่ 4

หาพื้นที่ของร่างแบนล้อมรอบด้วยเส้น , .

วิธีแก้ไข: ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูป โดยทั่วไป เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราสนใจจุดตัดของเส้นมากที่สุด หาจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรงกัน สามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์ เราแก้สมการ:

ดังนั้น ขีดจำกัดล่างของการรวม ขีดจำกัดบนของการรวม
เป็นการดีกว่าที่จะไม่ใช้วิธีนี้ถ้าเป็นไปได้

การสร้างเส้นทีละจุดจะทำกำไรได้มากกว่าและเร็วกว่ามาก ในขณะที่ข้อจำกัดของการรวมระบบจะพบได้ราวกับ "ด้วยตัวมันเอง" เทคนิคการสร้างแบบจุดต่อจุดสำหรับแผนภูมิต่างๆ มีการกล่าวถึงโดยละเอียดในความช่วยเหลือ กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น. อย่างไรก็ตาม วิธีการวิเคราะห์ในการค้นหาขีดจำกัดยังคงต้องใช้ในบางครั้ง ตัวอย่างเช่น กราฟมีขนาดใหญ่เพียงพอ หรือโครงสร้างเกลียวไม่เปิดเผยขีดจำกัดของการรวม (อาจเป็นเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล) และเราจะพิจารณาตัวอย่างดังกล่าวด้วย

เรากลับไปที่งานของเรา: มีเหตุผลมากกว่าที่จะสร้างเส้นตรงก่อนแล้วจึงสร้างพาราโบลา มาวาดรูปกันเถอะ:

ฉันขอย้ำว่าด้วยการสร้างแบบชี้จุด ขีด จำกัด ของการบูรณาการมักถูกค้นพบ "โดยอัตโนมัติ"

และตอนนี้สูตรการทำงาน:ถ้าบนเซ็กเมนต์บางฟังก์ชันต่อเนื่อง มากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่าง จากนั้นสูตรสามารถหาพื้นที่ของตัวเลขที่เกี่ยวข้องได้:

ที่นี่ไม่จำเป็นต้องนึกถึงตำแหน่งของรูปอีกต่อไป - เหนือแกนหรือใต้แกนและพูดคร่าวๆ มันสำคัญว่าแผนภูมิใดอยู่ด้านบน(เทียบกับกราฟอื่น) และอันไหนอยู่ด้านล่าง.

ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา จะเห็นได้ชัดเจนว่าในส่วนของพาราโบลานั้นอยู่เหนือเส้นตรง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องลบออกจาก

ความสมบูรณ์ของการแก้ปัญหาอาจมีลักษณะดังนี้:

ตัวเลขที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลาจากด้านบนและเส้นตรงจากด้านล่าง
ในส่วน ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

ตอบ:

อันที่จริงสูตรของโรงเรียนสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งในระนาบครึ่งล่าง (ดูตัวอย่างง่าย ๆ หมายเลข 3) เป็นกรณีพิเศษของสูตร . เนื่องจากแกนถูกกำหนดโดยสมการและกราฟของฟังก์ชันอยู่ใต้แกนดังนั้น

และตอนนี้สองสามตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ

ตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 6

หาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , .

ในการแก้ปัญหาการคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลบางตัว อาจมีเหตุการณ์ตลกเกิดขึ้นบ้าง ภาพวาดถูกสร้างขึ้นอย่างถูกต้องการคำนวณนั้นถูกต้อง แต่เนื่องจากการไม่ตั้งใจ ... พบพื้นที่ผิดรูปนั่นเป็นวิธีที่ผู้รับใช้ที่เชื่อฟังของคุณทำผิดพลาดหลายครั้ง ที่นี่ เคสจริงจากชีวิต:

ตัวอย่าง 7

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , , .

มาวาดกันก่อน:

รูปที่เราต้องการหาพื้นที่นั้นถูกแรเงาเป็นสีน้ำเงิน(ดูสภาพอย่างระมัดระวัง - ตัวเลขมี จำกัด อย่างไร!) แต่ในทางปฏิบัติเนื่องจากการไม่ใส่ใจจึงมักจะต้องหาพื้นที่ของร่างที่แรเงา สีเขียว!

ตัวอย่างนี้ยังมีประโยชน์ในการที่พื้นที่ของตัวเลขคำนวณโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอนสองอัน จริงๆ:

1) บนส่วนเหนือแกนมีกราฟเส้นตรง

2) บนส่วนเหนือแกนคือกราฟไฮเปอร์โบลา

เห็นได้ชัดว่าพื้นที่สามารถเพิ่ม (และควร) ได้ดังนั้น:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 8

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น
ขอนำเสนอสมการในรูปแบบ "โรงเรียน" และทำการวาดแบบจุดต่อจุด:

จากภาพวาดจะเห็นได้ว่าขีดจำกัดบนของเราคือ “ดี”: .
แต่ขีด จำกัด ล่างคืออะไร? เห็นได้ชัดว่านี่ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่อะไรนะ? อาจจะ ? แต่การรับประกันว่าภาพวาดนั้นถูกสร้างขึ้นมาอย่างแม่นยำที่สุดที่ไหน หรือราก เกิดอะไรขึ้นถ้าเราไม่ได้กราฟเลย?

ในกรณีเช่นนี้ เราต้องใช้เวลาเพิ่มเติมและปรับปรุงขีดจำกัดของการผสานรวมในเชิงวิเคราะห์

หาจุดตัดของเส้นตรงกับพาราโบลากัน
ในการทำเช่นนี้ เราแก้สมการ:

เพราะเหตุนี้, .

วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมนั้นไม่สำคัญสิ่งสำคัญคืออย่าสับสนในการแทนที่และเครื่องหมายการคำนวณที่นี่ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด

ในส่วนของ ตามสูตรที่สอดคล้องกัน:

ตอบ:

ในตอนท้ายของบทเรียนเราจะพิจารณางานสองงานที่ยากขึ้น

ตัวอย่างที่ 9

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , ,

วิธีแก้ปัญหา: วาดรูปนี้ในรูปวาด

สำหรับการวาดแบบจุดต่อจุด คุณจำเป็นต้องรู้ รูปร่างไซนัส (และโดยทั่วไปก็มีประโยชน์ที่จะรู้ กราฟของฟังก์ชันพื้นฐานทั้งหมด) เช่นเดียวกับค่าไซน์บางค่า สามารถพบได้ใน ตารางตรีโกณมิติ. ในบางกรณี (เช่นในกรณีนี้) อนุญาตให้สร้างแผนผังซึ่งต้องแสดงกราฟและขีด จำกัด การรวมในหลักการอย่างถูกต้อง

ไม่มีปัญหากับการจำกัดการรวมที่นี่ โดยจะปฏิบัติตามโดยตรงจากเงื่อนไข: - "x" เปลี่ยนจากศูนย์เป็น "pi" เราทำการตัดสินใจเพิ่มเติม:

บนเซ็กเมนต์ กราฟของฟังก์ชันจะอยู่เหนือแกน ดังนั้น:

(1) วิธีที่ไซน์และโคไซน์ถูกรวมเข้ากับกำลังคี่สามารถเห็นได้ในบทเรียน ปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ. นี่เป็นเทคนิคทั่วไป เราบีบไซน์ออกหนึ่งอัน

(2) เราใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานในรูปแบบ

(3) มาเปลี่ยนตัวแปรกัน จากนั้น:

การแจกจ่ายใหม่ของการผสานรวม:

ใครคือธุรกิจที่แย่จริงๆ กับการทดแทน โปรดไปที่บทเรียน วิธีการแทนที่ในปริพันธ์ไม่แน่นอน. สำหรับผู้ที่ไม่ชัดเจนเกี่ยวกับอัลกอริธึมการแทนที่ในอินทิกรัลที่แน่นอนโปรดไปที่หน้า อินทิกรัลที่แน่นอน ตัวอย่างโซลูชัน.

อินทิกรัลที่แน่นอน วิธีการคำนวณพื้นที่ของรูป

ตอนนี้เราหันไปพิจารณาการประยุกต์ใช้แคลคูลัสอินทิกรัล ในบทนี้ เราจะวิเคราะห์งานทั่วไปและงานทั่วไป วิธีการใช้อินทิกรัลที่แน่นอนในการคำนวณพื้นที่ของรูประนาบ. สุดท้ายนี้ ผู้ที่แสวงหาความหมายในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง - ขอให้พวกเขาค้นพบมัน คุณไม่เคยรู้. เราจะต้องใกล้ชิดกันมากขึ้นในชีวิต พื้นที่กระท่อมชนบทฟังก์ชันเบื้องต้นและหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน

ในการที่จะเชี่ยวชาญด้านวัสดุให้สำเร็จ คุณต้อง:

1) ทำความเข้าใจอินทิกรัลไม่แน่นอนอย่างน้อยในระดับกลาง ดังนั้น หุ่นควรอ่านบทเรียนก่อน ไม่.

2) สามารถใช้สูตร Newton-Leibniz และคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนได้ หลอมอุ่น มิตรสัมพันธ์ที่มีอินทิกรัลที่แน่นอนสามารถพบได้ในหน้า อินทิกรัลที่แน่นอน ตัวอย่างโซลูชัน.

ที่จริงแล้ว ในการหาพื้นที่ของรูป คุณไม่จำเป็นต้องมีความรู้มากมายเกี่ยวกับอินทิกรัลที่แน่นอนและแน่นอน งาน "คำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน" เกี่ยวข้องกับการสร้างภาพวาดเสมอ, อื่น ๆ อีกมากมาย ประเด็นเฉพาะจะเป็นความรู้และทักษะการวาดภาพของคุณ ในแง่นี้ เป็นการดีที่จะรีเฟรชหน่วยความจำของกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานหลัก และอย่างน้อยที่สุด เพื่อสร้างเส้นตรง พาราโบลา และไฮเพอร์โบลา สิ่งนี้สามารถทำได้ (จำเป็นมาก) ด้วยความช่วยเหลือของ วัสดุระเบียบวิธีและบทความเกี่ยวกับการแปลงเรขาคณิตของกราฟ

ที่จริงแล้ว ทุกคนคงคุ้นเคยกับปัญหาในการหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอนตั้งแต่สมัยเรียน และเราจะนำหลักสูตรของโรงเรียนไปก่อนเล็กน้อย บทความนี้อาจไม่มีอยู่เลย แต่ความจริงก็คือปัญหาเกิดขึ้นใน 99 กรณีจาก 100 เมื่อนักเรียนถูกทรมานโดยหอคอยเกลียดชังด้วยความกระตือรือร้นในการเรียนรู้หลักสูตรคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น

เนื้อหาของการประชุมเชิงปฏิบัติการนี้จะนำเสนออย่างเรียบง่ายในรายละเอียดและมีทฤษฎีขั้นต่ำ

เริ่มจากสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้ง

สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเรียกว่ารูปแบนที่ล้อมรอบด้วยแกน เส้นตรง และกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซ็กเมนต์ที่ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายในช่วงเวลานี้ ให้รูปนี้ตั้งอยู่ ไม่น้อยแอบซิสซ่า:

แล้ว พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นตัวเลขเท่ากับอินทิกรัลบางตัว. อินทิกรัลที่แน่นอนใดๆ (ที่มีอยู่) มีความหมายทางเรขาคณิตที่ดีมาก ในบทเรียน อินทิกรัลที่แน่นอน ตัวอย่างโซลูชันผมบอกว่าอินทิกรัลแน่นอนคือจำนวน และตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะกล่าวถึงข้อเท็จจริงที่มีประโยชน์อีกประการหนึ่ง จากมุมมองของเรขาคณิต อินทิกรัลแน่นอนคือ AREA.

นั่นคือ, อินทิกรัลที่แน่นอน (ถ้ามี) ทางเรขาคณิตสอดคล้องกับพื้นที่ของรูปบางส่วน. ตัวอย่างเช่น พิจารณาอินทิกรัลแน่นอน อินทิกรัลกำหนดเส้นโค้งบนระนาบที่อยู่เหนือแกน (ผู้ที่ต้องการสามารถวาดให้เสร็จได้) และอินทิกรัลที่แน่นอนนั้นเท่ากับตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่าง 1

นี่เป็นคำสั่งงานทั่วไป ช่วงเวลาแรกและสำคัญที่สุดของการตัดสินใจคือการสร้างภาพวาด. ยิ่งกว่านั้นต้องสร้างภาพวาด ขวา.

เมื่อสร้างพิมพ์เขียว ฉันแนะนำลำดับต่อไปนี้: แรกเป็นการดีกว่าที่จะสร้างทุกบรรทัด (ถ้ามี) และเท่านั้น หลังจาก- พาราโบลา ไฮเปอร์โบลา กราฟของฟังก์ชันอื่นๆ กราฟฟังก์ชันสร้างกำไรได้มากกว่า ทีละจุดด้วยเทคนิคการก่อสร้างแบบ pointwise สามารถพบได้ในวัสดุอ้างอิง กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น. คุณสามารถหาเนื้อหาที่มีประโยชน์มากเกี่ยวกับบทเรียนของเรา - วิธีสร้างพาราโบลาอย่างรวดเร็ว

ในส่วนของกราฟของฟังก์ชันจะอยู่ที่ เหนือแกนนั่นเป็นเหตุผล:

ตอบ:

ตัวอย่าง 2

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , และแกน

จะทำอย่างไรถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลา?

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นและแกนพิกัด

วิธีการแก้: มาวาดรูปกันเถอะ:

หากตำแหน่งของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลา(หรืออย่างน้อย ไม่สูงกว่าแกนที่กำหนด) จากนั้นสูตรสามารถหาพื้นที่ได้:
ในกรณีนี้:

ความสนใจ! อย่าสับสนงานทั้งสองประเภท:

ตัวอย่างที่ 4

หาพื้นที่ของร่างแบนล้อมรอบด้วยเส้น , .

วิธีการแก้: ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูปให้เสร็จ โดยทั่วไป เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราสนใจจุดตัดของเส้นมากที่สุด หาจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรงกัน สามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์ เราแก้สมการ:

ดังนั้น ขีดจำกัดล่างของการรวม ขีดจำกัดบนของการรวม
เป็นการดีที่สุดที่จะไม่ใช้วิธีนี้ถ้าเป็นไปได้.

การสร้างเส้นทีละจุดจะทำกำไรได้มากกว่าและเร็วกว่ามาก ในขณะที่ค้นพบข้อจำกัดของการบูรณาการราวกับว่า "ด้วยตัวเอง" เทคนิคการสร้างแบบจุดต่อจุดสำหรับแผนภูมิต่างๆ มีการกล่าวถึงโดยละเอียดในความช่วยเหลือ กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น. อย่างไรก็ตาม วิธีการวิเคราะห์ในการค้นหาขีดจำกัดยังคงต้องใช้ในบางครั้ง ตัวอย่างเช่น กราฟมีขนาดใหญ่เพียงพอ หรือโครงสร้างเกลียวไม่เปิดเผยขีดจำกัดของการรวม (อาจเป็นเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล) และเราจะพิจารณาตัวอย่างดังกล่าวด้วย

และตอนนี้สูตรการทำงาน: หากมีบางฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลา มากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่าง จากนั้นพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้และเส้นตรง สามารถพบได้โดยสูตร:

ความสมบูรณ์ของการแก้ปัญหาอาจมีลักษณะดังนี้:

ตอบ:

อันที่จริงสูตรของโรงเรียนสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งในระนาบครึ่งล่าง (ดูตัวอย่างง่าย ๆ หมายเลข 3) เป็นกรณีพิเศษของสูตร . เนื่องจากแกนถูกกำหนดโดยสมการ และกราฟของฟังก์ชันตั้งอยู่ ไม่สูงกว่าแกน แล้วก็

และตอนนี้สองสามตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ

ตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 6

หาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , .

ในการแก้ปัญหาการคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลบางตัว อาจมีเหตุการณ์ตลกเกิดขึ้นบ้าง ภาพวาดถูกสร้างขึ้นอย่างถูกต้องการคำนวณนั้นถูกต้อง แต่เนื่องจากการไม่ตั้งใจ ... พบพื้นที่ผิดรูปนั่นเป็นวิธีที่ผู้รับใช้ที่เชื่อฟังของคุณทำผิดพลาดหลายครั้ง นี่คือกรณีในชีวิตจริง:

ตัวอย่าง 7

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , , .

วิธีการแก้: มาวาดรูปกันก่อน:

…เอ๊ะ ภาพวาดออกมาอึ แต่ทุกอย่างดูเหมือนจะชัดเจน

รูปที่เราต้องการหาพื้นที่นั้นถูกแรเงาเป็นสีน้ำเงิน(ดูสภาพอย่างระมัดระวัง - ตัวเลขมี จำกัด อย่างไร!) แต่ในทางปฏิบัติเนื่องจากการไม่ตั้งใจจึงมักเกิด "ความผิดพลาด" ซึ่งคุณต้องค้นหาพื้นที่ของร่างที่แรเงาด้วยสีเขียว!

1) บนส่วนเหนือแกนมีกราฟเส้นตรง

2) บนส่วนเหนือแกนคือกราฟไฮเปอร์โบลา

เห็นได้ชัดว่าพื้นที่สามารถเพิ่ม (และควร) ได้ดังนั้น:

ตอบ:

มาต่อกันที่งานที่มีความหมายอีกงานหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 8

หาจุดตัดของเส้นตรงกับพาราโบลากัน
ในการทำเช่นนี้ เราแก้สมการ:

,

จริงๆ, .

ในส่วนของ ตามสูตรที่สอดคล้องกัน:

ตอบ:

ในตอนท้ายของบทเรียนเราจะพิจารณางานสองงานที่ยากขึ้น

ตัวอย่างที่ 9

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , ,

วิธีการแก้: วาดรูปนี้ในรูปวาด

โทษที ฉันลืมเซ็นตารางงาน และทำรูปภาพใหม่ ขอโทษ ไม่ใช่ hotz ไม่ใช่ภาพวาด สั้นๆ วันนี้คือวัน =)

สำหรับการก่อสร้างแบบจุดต่อจุด จำเป็นต้องทราบลักษณะที่ปรากฏของไซนูซอยด์ (และโดยทั่วไปแล้ว การรู้จะเป็นประโยชน์ กราฟของฟังก์ชันพื้นฐานทั้งหมด) เช่นเดียวกับค่าไซน์บางค่า สามารถพบได้ใน ตารางตรีโกณมิติ. ในบางกรณี (เช่นในกรณีนี้) อนุญาตให้สร้างแผนผังซึ่งต้องแสดงกราฟและขีด จำกัด การรวมในหลักการอย่างถูกต้อง

บนเซ็กเมนต์ กราฟของฟังก์ชันจะอยู่เหนือแกน ดังนั้น:

งาน 1(ในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง).

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม xOy ให้ตัวเลข (ดูรูป) ล้อมรอบด้วยแกน x เส้นตรง x \u003d a, x \u003d b (สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของ \ u200b\u200bสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง
วิธีการแก้.เรขาคณิตทำให้เรามีสูตรในการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมและบางส่วนของวงกลม (ส่วน ส่วน) เมื่อใช้การพิจารณาทางเรขาคณิต เราจะสามารถหาเฉพาะค่าโดยประมาณของพื้นที่ที่ต้องการเท่านั้น โดยโต้แย้งดังนี้

มาแบ่งส่วนกัน [a; b] (ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง) ออกเป็น n ส่วนเท่า ๆ กัน; พาร์ติชั่นนี้เป็นไปได้ด้วยความช่วยเหลือของจุด x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 ให้เราลากเส้นผ่านจุดเหล่านี้ขนานกับแกน y จากนั้นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ให้มาจะถูกแบ่งออกเป็น n ส่วน เป็น n คอลัมน์แคบ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูทั้งหมดเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของคอลัมน์

พิจารณาแยกคอลัมน์ที่ k นั่นคือ สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งซึ่งฐานเป็นส่วน ลองแทนที่ด้วยสี่เหลี่ยมที่มีฐานและความสูงเท่ากัน f(x k) (ดูรูป) พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ $f(x_k) \cdot \Delta x_k $ โดยที่ $\Delta x_k $ คือความยาวของส่วน เป็นเรื่องปกติที่จะพิจารณาผลิตภัณฑ์ที่รวบรวมเป็นค่าโดยประมาณของพื้นที่ของคอลัมน์ kth

หากตอนนี้เราทำเช่นเดียวกันกับคอลัมน์อื่นๆ ทั้งหมด เราก็มาถึงผลลัพธ์ต่อไปนี้ พื้นที่ S ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่กำหนดจะเท่ากับพื้นที่ S n ของรูปขั้นบันไดที่ประกอบขึ้นจาก n สี่เหลี่ยมโดยประมาณ (ดูรูป):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
ที่นี่เพื่อความสม่ำเสมอของสัญกรณ์เราถือว่า a \u003d x 0, b \u003d x n; $\Delta x_0 $ - ความยาวเซ็กเมนต์ , $\Delta x_1 $ - ความยาวเซ็กเมนต์ ฯลฯ ; ในขณะที่ตามที่ตกลงกันไว้ข้างต้น $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

ดังนั้น $S \ประมาณ S_n $ และความเท่าเทียมกันโดยประมาณนี้ยิ่งแม่นยำ ยิ่ง n มีขนาดใหญ่ขึ้น
ตามคำจำกัดความจะถือว่าพื้นที่ที่ต้องการของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเท่ากับขีด จำกัด ของลำดับ (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

งาน2(เกี่ยวกับการย้ายจุด)
จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง การพึ่งพาความเร็วตรงเวลาแสดงโดยสูตร v = v(t) ค้นหาการกระจัดของจุดในช่วงเวลา [a; ข].
วิธีการแก้.หากการเคลื่อนที่สม่ำเสมอ ปัญหาก็จะได้รับการแก้ไขอย่างง่าย ๆ : s = vt, i.e. s = วี(b-a). สำหรับการเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอ ต้องใช้แนวคิดเดียวกันกับที่ใช้แก้ปัญหาก่อนหน้านี้
1) แบ่งช่วงเวลา [a; b] ออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กัน
2) พิจารณาช่วงเวลาและสมมติว่าในช่วงเวลานี้ ความเร็วคงที่ เช่น ที่เวลา t k . ดังนั้นเราจึงถือว่า v = v(t k)
3) ค้นหาค่าโดยประมาณของการกระจัดจุดในช่วงเวลา ค่าโดยประมาณนี้จะแสดงด้วย s k
$s_k = v(t_k) \เดลต้า t_k $
4) ค้นหาค่าโดยประมาณของการกระจัด s:
$s \ประมาณ S_n $ โดยที่
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) การกระจัดที่ต้องการเท่ากับขีด จำกัด ของลำดับ (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

มาสรุปกัน โซลูชั่น งานต่างๆลดลงเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เดียวกัน ปัญหามากมายจากสาขาวิชาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีต่างๆ นำไปสู่รูปแบบเดียวกันในกระบวนการแก้ปัญหา ดังนั้น ควรศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์นี้เป็นพิเศษ

แนวคิดของปริพันธ์ที่แน่นอน

ให้เราให้คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของแบบจำลองที่สร้างขึ้นในสามปัญหาที่พิจารณาสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งต่อเนื่องกัน (แต่ไม่จำเป็นต้องไม่เป็นค่าลบ ตามที่สันนิษฐานไว้ในปัญหาที่พิจารณา) ในส่วน [ ก; ข]:
1) แบ่งส่วน [a; b] ออกเป็น n ส่วนเท่า ๆ กัน;
2) ผลรวม $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) คำนวณ $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

ในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ มีการพิสูจน์แล้วว่าขีดจำกัดนี้มีอยู่แล้วในกรณีของฟังก์ชันต่อเนื่อง (หรือต่อเนื่องทีละส่วน) เขาถูกเรียก ปริพันธ์ที่แน่นอนของฟังก์ชัน y = f(x) เหนือเซกเมนต์ [a; ข]และแสดงดังนี้:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
ตัวเลข a และ b เรียกว่าขีดจำกัดของการรวม (ล่างและบนตามลำดับ)

กลับไปที่งานที่กล่าวถึงข้างต้น คำจำกัดความของพื้นที่ที่กำหนดในปัญหาที่ 1 สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
ที่นี่ S คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่แสดงในรูปด้านบน นี่คืออะไร ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลแน่นอน

คำจำกัดความของการกระจัด s ของจุดที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็ว v = v(t) ตลอดช่วงเวลาตั้งแต่ t = a ถึง t = b ในปัญหาที่ 2 สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้

นิวตัน - สูตรไลบนิซ

เริ่มต้นด้วย มาตอบคำถาม: อะไรคือความสัมพันธ์ระหว่างอินทิกรัลแน่นอนกับแอนติเดริเวทีฟ?

คำตอบสามารถพบได้ในปัญหาที่ 2 ในด้านหนึ่ง การกระจัด s ของจุดที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็ว v = v(t) ในช่วงเวลาตั้งแต่ t = a ถึง t = b และคำนวณโดย สูตร
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

ในทางกลับกัน พิกัดของจุดเคลื่อนที่คือแอนติเดริเวทีฟของความเร็ว - ให้แทนค่า s(t); ดังนั้นการกระจัด s จึงแสดงโดยสูตร s = s(b) - s(a) เป็นผลให้เราได้รับ:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
โดยที่ s(t) คือแอนติเดริเวทีฟสำหรับ v(t)

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
ทฤษฎีบท. ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) ต่อเนื่องบนเซกเมนต์ [a; b] แล้วสูตร
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
โดยที่ F(x) คือแอนติเดริเวทีฟสำหรับ f(x)

สูตรนี้มักจะเรียกว่า สูตรนิวตัน-ไลบนิซเพื่อเป็นเกียรติแก่นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ Isaac Newton (1643-1727) และนักปรัชญาชาวเยอรมัน Gottfried Leibniz (1646-1716) ซึ่งได้รับมันอย่างอิสระจากกันและกันและเกือบจะพร้อมกัน

ในทางปฏิบัติ แทนที่จะเขียน F(b) - F(a) พวกเขาใช้สัญกรณ์ $\left. F(x)\right|_a^b $ (บางครั้งเรียกว่า การทดแทนสองครั้ง) และด้วยเหตุนี้ ให้เขียนสูตร Newton-Leibniz ใหม่ในรูปแบบนี้:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

การคำนวณอินทิกรัลแน่นอน ขั้นแรกให้หาแอนติเดริเวทีฟ แล้วทำการแทนที่แบบทวีคูณ

จากสูตรของนิวตัน-ไลบนิซ เราสามารถหาสมบัติของอินทิกรัลที่แน่นอนได้สองคุณสมบัติ

ทรัพย์สิน 1อินทิกรัลของผลรวมของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของอินทิกรัล:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

ทรัพย์สิน 2ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายปริพันธ์ได้:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

การคำนวณพื้นที่ของตัวเลขระนาบโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน

เมื่อใช้อินทิกรัล คุณสามารถคำนวณพื้นที่ได้ ไม่เพียงแต่รูปสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งเท่านั้น แต่ยังรวมถึงตัวเลขระนาบของประเภทที่ซับซ้อนกว่าด้วย เช่น พื้นที่ที่แสดงในรูป รูป P ถูกล้อมรอบด้วยเส้นตรง x = a, x = b และกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่อง y = f(x), y = g(x) และบนเซ็กเมนต์ [a; b] ความไม่เท่าเทียมกัน $g(x) \leq f(x) $ ถือ ในการคำนวณพื้นที่ S ของตัวเลขดังกล่าว เราจะดำเนินการดังนี้:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

ดังนั้น พื้นที่ S ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง x = a, x = b และกราฟของฟังก์ชัน y = f(x), y = g(x) ต่อเนื่องบนเซกเมนต์ และดังนั้น x ใดๆ จาก ส่วน [a; b] ความไม่เท่าเทียมกัน $g(x) \leq f(x) $ เป็นที่พอใจคำนวณโดยสูตร
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

ตารางปริพันธ์ไม่แน่นอน (แอนติเดริเวทีฟ) ของฟังก์ชันบางอย่าง

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1) ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) )x+C $$

ตัวอย่าง1 . คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 และ x = 2

มาสร้างร่างกันเถอะ (ดูรูป) เราสร้างเส้นตรง x + 2y - 4 \u003d 0 ตามจุดสองจุด A (4; 0) และ B (0; 2) แสดง y ในรูปของ x เราได้ y \u003d -0.5x + 2 ตามสูตร (1) โดยที่ f (x) \u003d -0.5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, เรา หา

S \u003d \u003d [-0.25 \u003d 11.25 ตร. หน่วย

ตัวอย่าง 2 คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 และ y \u003d 0

วิธีการแก้. มาสร้างร่างกันเถอะ

มาสร้างเส้นตรง x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2)

มาสร้างเส้นตรง x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5)

หาจุดตัดของเส้นโดยแก้ระบบสมการ:

x = 2, y = 3; ม(2; 3).

ในการคำนวณพื้นที่ที่ต้องการ เราแบ่งสามเหลี่ยม AMC ออกเป็นสองสามเหลี่ยม AMN และ NMC เนื่องจากเมื่อ x เปลี่ยนจาก A เป็น N พื้นที่นั้นจะถูกจำกัดด้วยเส้นตรง และเมื่อ x เปลี่ยนจาก N เป็น C จะเป็นเส้นตรง

สำหรับสามเหลี่ยม AMN เรามี: ; y \u003d 0.5x + 2 เช่น f (x) \u003d 0.5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2

สำหรับสามเหลี่ยม NMC เรามี: y = - x + 5, เช่น f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5

การคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมแต่ละรูปและเพิ่มผลลัพธ์เราพบว่า:

ตร. หน่วย

9 + 4, 5 = 13.5 ตร.ว. หน่วย ตรวจสอบ: = 0.5AC = 0.5 ตร.ม. หน่วย

ตัวอย่างที่ 3 คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3

ในกรณีนี้จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยพาราโบลา y = x 2 , เส้นตรง x \u003d 2 และ x \u003d 3 และแกน Ox (ดูรูปที่) ตามสูตร (1) เราพบพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

= = 6kv. หน่วย

ตัวอย่างที่ 4 คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: y \u003d - x 2 + 4 และ y = 0

มาสร้างร่างกันเถอะ พื้นที่ที่ต้องการอยู่ระหว่างพาราโบลา y \u003d - x 2 +4 และแกน อ้อ

หาจุดตัดของพาราโบลาที่มีแกน x สมมติว่า y \u003d 0 เราพบ x \u003d เนื่องจากตัวเลขนี้สมมาตรเกี่ยวกับแกน Oy เราคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่อยู่ทางด้านขวาของแกน Oy และเพิ่มผลลัพธ์เป็นสองเท่า: \u003d + 4x] ตร. หน่วย 2 = 2 ตร.ม. หน่วย

ตัวอย่างที่ 5 คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: y 2 = x, yx = 1, x = 4

นี่จะต้องคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยกิ่งบนของพาราโบลา y 2 \u003d x แกน Ox และเส้นตรง x \u003d 1x \u003d 4 (ดูรูปที่)

ตามสูตร (1) โดยที่ f(x) = a = 1 และ b = 4 เรามี = (= sq. units

ตัวอย่างที่ 6 . คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

พื้นที่ที่ต้องการถูกจำกัดด้วยไซนูซอยด์ครึ่งคลื่นและแกน Ox (ดูรูป)

เรามี - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 ตารางเมตร หน่วย

ตัวอย่าง 7 คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: y \u003d - 6x, y \u003d 0 และ x \u003d 4

รูปอยู่ใต้แกน Ox (ดูรูป)

ดังนั้น พื้นที่ของมันถูกหาได้จากสูตร (3)

= =

ตัวอย่างที่ 8 คำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยเส้น: y \u003d และ x \u003d 2 เราจะสร้างเส้นโค้ง y \u003d โดยจุด (ดูรูป) ดังนั้น พื้นที่ของรูปจึงหาได้จากสูตร (4)

ตัวอย่างที่ 9 .

X 2 + y 2 = ร 2 .

ที่นี่คุณต้องคำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยวงกลม x 2 + y 2 = ร 2 นั่นคือ พื้นที่ของวงกลมรัศมี r มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด มาหาส่วนที่สี่ของพื้นที่นี้กัน โดยเอาขีดจำกัดของการรวมจาก0

ดอร์; เรามี: 1 = = [

เพราะเหตุนี้, 1 =

ตัวอย่าง 10 คำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยเส้น: y \u003d x 2 และ y = 2x

ตัวเลขนี้ถูก จำกัด โดยพาราโบลา y \u003d x 2 และเส้นตรง y \u003d 2x (ดูรูปที่) เพื่อกำหนดจุดตัดของเส้นที่กำหนดเราแก้ระบบสมการ: x 2 – 2x = 0 x = 0 และ x = 2

โดยใช้สูตร (5) เพื่อหาพื้นที่ เราจะได้

= }