S koreláciou rovnaká hodnota jedného atribútu zodpovedá rôznym hodnotám druhého. Napríklad: existuje korelácia medzi výškou a hmotnosťou, medzi výskytom malígnych novotvarov a vekom atď.

Na výpočet korelačného koeficientu existujú 2 metódy: metóda štvorcov (Pearson), metóda hodností (Spearman).

Najpresnejšia je metóda štvorcov (Pearson), pri ktorej je korelačný koeficient určený vzorcom: , kde

r xy je korelačný koeficient medzi štatistickými radmi X a Y.

d x je odchýlka každého z čísel štatistického radu X od jeho aritmetického priemeru.

d y je odchýlka každého z čísel štatistického radu Y od jeho aritmetického priemeru.

V závislosti od sily spojenia a jeho smeru sa korelačný koeficient môže pohybovať od 0 do 1 (-1). Korelačný koeficient 0 znamená úplný nedostatok spojenia. Čím bližšie je úroveň korelačného koeficientu k 1 alebo (-1), tým väčšia je, v tomto poradí, tým bližšie je ním nameraná priama alebo spätná väzba. S korelačným koeficientom rovným 1 alebo (-1) je spojenie kompletné, funkčné.

Schéma na odhad sily korelácie pomocou korelačného koeficientu

Sila spojenia	Hodnota korelačného koeficientu, ak je k dispozícii
	priame pripojenie (+)	spätná väzba (-)
Žiadne spojenie
Komunikácia je malá (slabá)	od 0 do +0,29	0 až -0,29
Priemerná komunikácia (stredná)	+0,3 až +0,69	-0,3 až -0,69
Komunikácia veľká (silná)	+0,7 až +0,99	-0,7 až -0,99
Komunikácia je dokončená (funkčné)

Na výpočet korelačného koeficientu metódou štvorcov je zostavená tabuľka so 7 stĺpcami. Analyzujme proces výpočtu na príklade:

URČITE SILU A CHARAKTER VZŤAHU MEDZI MEDZI

	Je čas- ness struma (V r )	d x= V X –M X	d y= V r –M r	d X d r	d X 2	d r 2
				Σ -1345 ,0	Σ 13996 ,0	Σ 313 , 47

1. Určte priemerný obsah jódu vo vode (v mg / l).

mg/l

2. Určte priemerný výskyt strumy v %.

3. Určte odchýlku každého V x od M x, t.j. d x .

201–138=63; 178–138=40 atď.

4. Podobne určíme odchýlku každého V y od M y, t.j. d

0,2-3,8=-3,6; 0,6–38 = -3,2 atď.

5. Určujeme súčin odchýlok. Výsledný produkt sa spočíta a získa.

6. Odmocníme d x a zhrnieme výsledky, dostaneme.

7. Podobne odmocníme d y, zhrnieme výsledky, dostaneme

8. Nakoniec dosadíme všetky prijaté sumy do vzorca:

Na vyriešenie problému spoľahlivosti korelačného koeficientu je jeho priemerná chyba určená vzorcom:

(Ak je počet pozorovaní menší ako 30, potom je menovateľom n-1).

V našom príklade

Hodnota korelačného koeficientu sa považuje za spoľahlivú, ak je aspoň 3-krát vyššia ako jeho stredná chyba.

V našom príklade

Korelačný koeficient teda nie je spoľahlivý, a preto je potrebné zvýšiť počet pozorovaní.

Korelačný koeficient možno určiť o niečo menej presnou, ale oveľa jednoduchšou metódou, metódou hodnotenia (Spearman).

Spearmanova metóda: P=1-(6∑d 2 /n-(n 2 -1))

vytvorte dva riadky spárovaných porovnávaných prvkov, pričom označte prvý a druhý riadok x a y. Zároveň uveďte prvý riadok atribútu v zostupnom alebo vzostupnom poradí a umiestnite číselné hodnoty druhého riadku oproti hodnotám prvého riadka, ktorým zodpovedajú

hodnota prvku v každom z porovnávaných riadkov by mala byť nahradená sériovým číslom (rank). Poradie alebo čísla označujú miesta ukazovateľov (hodnoty) prvého a druhého riadku. V čom číselné hodnoty druhého atribútu, hodnosti musia byť priradené v rovnakom poradí, aké bolo prijaté pri ich rozdelení na hodnoty prvého atribútu. Pri rovnakých hodnotách atribútu v rade by sa poradie malo určiť ako priemerné číslo zo súčtu poradových čísel týchto hodnôt

určiť rozdiel v poradí medzi x a y (d): d = x - y

druhá mocnina výsledného rozdielu v poradí (d 2)

získajte súčet druhých mocnín rozdielu (Σ d 2) a získané hodnoty dosaďte do vzorca:

Príklad: použitím hodnostnej metódy na určenie smeru a sily vzťahu medzi dĺžkou služby v rokoch a frekvenciou zranení, ak sa získajú tieto údaje:

Zdôvodnenie výberu metódy: na vyriešenie problému je možné zvoliť len metódu poradovej korelácie, keďže prvý riadok atribútu „pracovná prax v rokoch“ má otvorené možnosti (pracovná prax do 1 roka a 7 a viac rokov), čo neumožňuje presnejšou metódou – metódou štvorcov – stanoviť vzťah medzi porovnávané charakteristiky.

Riešenie. Postupnosť výpočtov je popísaná v texte, výsledky sú uvedené v tabuľke. 2.

tabuľka 2

Pracovné skúsenosti v rokoch	Počet zranení	Radové čísla (hodnoty)		Rozdiel v poradí	rozdiel v poradí na druhú
				d(x-y)	d 2

Každý z radov párových znakov je označený „x“ a „y“ (stĺpce 1-2).

Hodnota každého zo znakov je nahradená poradovým (poradovým) číslom. Poradie rozdelenia hodností v rade „x“ je nasledovné: minimálnej hodnote atribútu (praxe do 1 roka) je pridelené poradové číslo „1“, následné varianty rovnakého radu atribútu, resp. , vo vzostupnom poradí od 2., 3., 4. a 5. poradového čísla - poradia (pozri stĺpec 3). Podobné poradie sa pozoruje pri rozdeľovaní poradí podľa druhého prvku „y“ (stĺpec 4). V prípadoch, keď existuje niekoľko variantov rovnakej veľkosti (napríklad pri štandardnej úlohe je to 12 a 12 zranení na 100 pracovníkov s praxou 3-4 roky a 5-6 rokov), je uvedené sériové číslo o priemerný počet zo súčtu ich poradových čísel.Tieto údaje o počte zranení (12 zranení) v rebríčku by mali obsadiť 2. a 3. miesto, takže priemerný počet je (2 + 3) / 2 = 2,5. ) by mali mať rovnaké poradové čísla – „2,5“ (stĺpec 4).

Určte rozdiel v poradí d = (x - y) - (stĺpec 5)

Umocnenie rozdielu v poradí (d 2) a získanie súčtu druhých mocnín rozdielu v poradí Σ d 2 (stĺpec 6).

Vypočítajte koeficient poradovej korelácie pomocou vzorca:

kde n je počet zhodných párov možností v riadku „x“ a riadku „y“

Fáza 3. Nájdenie vzťahu medzi údajmi

Lineárna korelácia

Poslednou etapou úlohy štúdia vzťahov medzi javmi je posúdenie tesnosti spojenia podľa korelačných ukazovateľov. Táto fáza je veľmi dôležitá pre identifikáciu závislostí medzi faktorom a výslednými znakmi a následne pre možnosť diagnostiky a predpovedania skúmaného javu.

Diagnóza(z gréc. rozpoznávanie diagnózy) - určenie podstaty a znakov stavu objektu alebo javu na základe jeho komplexného štúdia.

Predpoveď(z gréc. prognóza prognóza, predpoveď) - akákoľvek konkrétna predpoveď, úsudok o stave nejakého javu v budúcnosti (predpoveď počasia, výsledok volieb a pod.). Prognóza je vedecky podložená hypotéza o pravdepodobnom budúcom stave skúmaného systému, objektu alebo javu a indikátoroch charakterizujúcich tento stav. Prognóza je vypracovanie prognózy, špeciálnych vedeckých štúdií konkrétnych vyhliadok vývoja javu.

Pripomeňme si definíciu korelácie:

Korelácia- závislosť medzi náhodnými veličinami, vyjadrená v tom, že rozdelenie jednej premennej závisí od hodnoty inej premennej.

Korelácia sa pozoruje nielen medzi kvantitatívnymi, ale aj kvalitatívnymi znakmi. Existovať rôznymi spôsobmi a ukazovatele na hodnotenie blízkosti väzieb. Zameriame sa len na lineárny párový korelačný koeficient , ktorý sa používa, keď medzi náhodnými premennými existuje lineárny vzťah. V praxi sa často stáva nevyhnutnosťou určiť úroveň spojenia medzi náhodnými premennými nerovnakých rozmerov, preto je žiaduce mať nejakú bezrozmernú charakteristiku tohto spojenia. Takouto charakteristikou (mierou súvislosti) je koeficient lineárnej korelácie rxy, ktorý je určený vzorcom

kde , .

Označením a môžete získať nasledujúci výraz na výpočet korelačného koeficientu

.

Ak predstavíme koncept normalizovaná odchýlka , ktorý vyjadruje odchýlku korelovaných hodnôt od priemeru v zlomkoch štandardnej odchýlky:

potom bude mať výraz pre korelačný koeficient tvar

.

Ak sa korelačný koeficient vypočíta na základe konečných hodnôt počiatočných náhodných premenných z výpočtovej tabuľky, potom sa korelačný koeficient môže vypočítať podľa vzorca

.

Vlastnosti lineárneho korelačného koeficientu:

jeden). Korelačný koeficient je bezrozmerná veličina.

2). |r| 1 £ alebo .

3). , a,b= const, - hodnota korelačného koeficientu sa nezmení, ak sú všetky hodnoty náhodných premenných X a Y vynásobené (alebo delené) konštantou.

4). , a,b= const, - hodnota korelačného koeficientu sa nezmení, ak sa všetky hodnoty náhodných premenných X a Y zvýšia (alebo znížia) o konštantu.

5). Existuje vzťah medzi korelačným koeficientom a regresným koeficientom:

Hodnoty korelačných koeficientov možno interpretovať nasledovne:

Kvantitatívne kritériá na hodnotenie blízkosti komunikácie:

Na prognostické účely sa množstvá s |r| > 0,7.

Korelačný koeficient nám umožňuje dospieť k záveru, že medzi dvoma náhodnými premennými existuje lineárny vzťah, ale neudáva, ktorá z premenných spôsobuje zmenu tej druhej. V skutočnosti vzťah medzi dvoma náhodnými premennými môže existovať bez kauzálneho vzťahu medzi samotnými premennými, pretože zmena oboch náhodných veličín môže byť spôsobená zmenou (vplyvom) tretej.

Korelačný koeficient rxy je symetrický vzhľadom na uvažované náhodné premenné X a Y. To znamená, že pre určenie korelačného koeficientu je úplne ľahostajné, ktorá z veličín je nezávislá a ktorá závislá.

Význam korelačného koeficientu

Dokonca aj pre nezávislé veličiny sa korelačný koeficient môže ukázať ako nenulový v dôsledku náhodného rozptylu výsledkov merania alebo v dôsledku malej vzorky náhodných premenných. Preto je potrebné skontrolovať význam korelačného koeficientu.

Významnosť koeficientu lineárnej korelácie je testovaná na základe Študentov t-test :

.

Ak t > t cr(P, č-2), potom je lineárny korelačný koeficient významný, a preto je významný aj štatistický vzťah X a Y.

.

Pre pohodlie výpočtov boli vytvorené tabuľky hodnôt medzí spoľahlivosti korelačných koeficientov pre rôzny počet stupňov voľnosti. f = n–2 (obojstranný test) a rôzne úrovne významnosti a= 0,1; 0,05; 0,01 a 0,001. Za významnú sa považuje korelácia, ak vypočítaný korelačný koeficient prekročí hodnotu hranice spoľahlivosti korelačného koeficientu pre daný f a a.

Pre veľké n a a= 0,01 hodnotu hranice spoľahlivosti korelačného koeficientu možno vypočítať pomocou približného vzorca

.

V štatistike korelačný koeficient (Angličtina Korelačný koeficient) slúži na testovanie hypotézy o existencii vzťahu medzi dvoma náhodnými premennými a zároveň umožňuje vyhodnotiť jej silu. V teórii portfólia sa tento ukazovateľ zvyčajne používa na určenie charakteru a sily vzťahu medzi výnosom cenného papiera (aktíva) a výnosom portfólia. Ak je rozdelenie týchto premenných normálne alebo blízke normálnemu, použite Pearsonov korelačný koeficient, ktorý sa vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:

Štandardná odchýlka výnosu akcií spoločnosti A bude 0,6398, akcií spoločnosti B 0,5241 a portfólia 0,5668. ( Môžete si prečítať o tom, ako sa vypočíta štandardná odchýlka.)

Korelačný koeficient výnosnosti akcií Spoločnosti A a výnosu portfólia bude -0,864 a korelačného koeficientu Spoločnosti B - 0,816.

R A \u003d -0,313 / (0,6389 * 0,5668) \u003d -0,864

R B \u003d 0,242 / (0,5241 * 0,5668) \u003d 0,816

Možno konštatovať, že medzi výnosom portfólia a výnosom akcií Spoločnosti A a Spoločnosti B je pomerne silný vzťah. Zároveň výnosnosť akcií Spoločnosti A vykazuje viacsmerný pohyb s výnosom portfólia. a návratnosť akcií spoločnosti B vykazuje jednosmerný pohyb.

Korelačný koeficient

Korelácia- štatistický vzťah dvoch alebo viacerých náhodných premenných (alebo premenných, ktoré možno za také považovať s určitou prijateľnou mierou presnosti). Zmeny jednej alebo viacerých z týchto veličín zároveň vedú k systematickej zmene druhej alebo iných veličín. Matematickou mierou korelácie dvoch náhodných premenných je korelačný koeficient.

Korelácia môže byť pozitívna a negatívna (je tiež možné, že neexistuje štatistický vzťah - napríklad pre nezávislé náhodné premenné). negatívna korelácia - korelácia, pri ktorej je nárast jednej premennej spojený s poklesom inej premennej, pričom korelačný koeficient je negatívny. pozitívna korelácia - korelácia, pri ktorej je nárast jednej premennej spojený so zvýšením inej premennej, pričom korelačný koeficient je kladný.

autokorelácia - štatistický vzťah medzi náhodnými premennými z rovnakého radu, ale braný s posunom, napríklad pre náhodný proces - s posunom v čase.

Nechaj X,Y- dve náhodné premenné definované na rovnakom pravdepodobnostnom priestore. Potom je ich korelačný koeficient daný vzorcom:

,

kde cov označuje kovarianciu a D je rozptyl alebo ekvivalent,

,

kde symbol znamená matematické očakávanie.

Na grafické znázornenie takéhoto vzťahu môžete použiť pravouhlý súradnicový systém s osami, ktoré zodpovedajú obom premenným. Každá dvojica hodnôt je označená špecifickým symbolom. Takáto zápletka sa nazýva „rozptyl“.

Spôsob výpočtu korelačného koeficientu závisí od typu stupnice, na ktorú sa premenné vzťahujú. Takže na meranie premenných s intervalovými a kvantitatívnymi škálami je potrebné použiť Pearsonov korelačný koeficient (korelácia momentov súčinu). Ak aspoň jedna z dvoch premenných má ordinálnu stupnicu alebo nie je normálne rozložená, musí sa použiť Spearmanova rank korelácia alebo Kendalovo τ (tau). V prípade, že jedna z dvoch premenných je dichotomická, použije sa bodová dvojsériová korelácia a ak sú obe premenné dichotomické, použije sa štvorpoľová korelácia. Výpočet korelačného koeficientu medzi dvoma nedichotomickými premennými má zmysel len vtedy, ak je vzťah medzi nimi lineárny (jednosmerný).

Kendellov korelačný koeficient

Používa sa na meranie vzájomného neporiadku.

Spearmanov korelačný koeficient

Vlastnosti korelačného koeficientu

ak vezmeme kovarianciu ako skalárny súčin dvoch náhodných premenných, potom sa norma náhodnej premennej bude rovnať , a dôsledkom Cauchyho-Bunyakovského nerovnosti bude: . , kde . Navyše v tomto prípade znaky a k zápas: .

Korelačná analýza

Korelačná analýza- spôsob spracovania štatistických údajov, ktorý spočíva v štúdiu koeficientov ( korelácie) medzi premennými. V tomto prípade sa porovnávajú korelačné koeficienty medzi jedným párom alebo viacerými pármi znakov, aby sa medzi nimi stanovili štatistické vzťahy.

Cieľ korelačná analýza- poskytnúť nejaké informácie o jednej premennej pomocou inej premennej. V prípadoch, keď je možné dosiahnuť cieľ, hovoríme, že premenné korelovať. Vo veľmi všeobecný pohľad prijatie hypotézy o prítomnosti korelácie znamená, že zmena hodnoty premennej A nastane súčasne s proporcionálnou zmenou hodnoty B: ak obe premenné rastú, potom korelácia je pozitívna ak jedna premenná rastie a druhá klesá, korelácia je negatívna.

Korelácia odráža len lineárnu závislosť veličín, ale neodráža ich funkčnú súvislosť. Napríklad, ak vypočítame korelačný koeficient medzi hodnotami A = sin(X) a B = cos(X) , potom sa bude blížiť k nule, t.j. medzi veličinami nie je žiadna závislosť. Medzitým sú veličiny A a B zjavne funkčne spojené podľa zákona sin 2 (X) + cos 2 (X) = 1 .

Obmedzenia korelačnej analýzy

Grafy rozdelenia párov (x,y) so zodpovedajúcimi x a y korelačnými koeficientmi pre každý z nich. Všimnite si, že korelačný koeficient odráža lineárny vzťah (horný riadok), ale neopisuje krivku vzťahu (stredný riadok) a vôbec nie je vhodný na opis zložitých, nelineárnych vzťahov (spodný riadok).

1. Aplikácia je možná, ak existuje dostatočný počet prípadov na štúdium: pre konkrétny typ korelačného koeficientu sa pohybuje od 25 do 100 párov pozorovaní.
2. Druhé obmedzenie vyplýva z hypotézy korelačnej analýzy, ktorá zahŕňa lineárna závislosť premenných. V mnohých prípadoch, keď je spoľahlivo známe, že závislosť existuje, korelačná analýza nemusí poskytnúť výsledky jednoducho preto, že závislosť je nelineárna (vyjadrená napríklad ako parabola).
3. Fakt korelácie sám osebe neodôvodňuje tvrdenie, ktorá z premenných predchádza alebo spôsobuje zmeny, alebo že premenné sú vo všeobecnosti navzájom kauzálne spojené, napríklad v dôsledku pôsobenia tretieho faktora.

Oblasť použitia

Táto metóda spracovania štatistických údajov je veľmi populárna v ekonómii a spoločenských vedách (najmä v psychológii a sociológii), hoci rozsah korelačných koeficientov je rozsiahly: kontrola kvality priemyselných výrobkov, metalurgia, poľnohospodárska chémia, hydrobiológia, biometria a iné.

Obľúbenosť metódy je spôsobená dvoma bodmi: korelačné koeficienty sa dajú pomerne ľahko vypočítať, ich aplikácia si nevyžaduje špeciálne matematické školenie. V kombinácii s jednoduchosťou interpretácie viedla jednoduchosť aplikácie koeficientu k jeho širokému použitiu v oblasti štatistickej analýzy údajov.

falošná korelácia

Často lákavá jednoduchosť korelačnej štúdie povzbudzuje výskumníka, aby vyvodil falošné intuitívne závery o prítomnosti kauzálneho vzťahu medzi pármi znakov, zatiaľ čo korelačné koeficienty stanovujú iba štatistické vzťahy.

V modernej kvantitatívnej metodológii sociálnych vied sa v skutočnosti upustilo od pokusov o stanovenie kauzálnych vzťahov medzi pozorovanými premennými empirickými metódami. Preto, keď výskumníci v sociálnych vedách hovoria o vytváraní vzťahov medzi premennými, ktoré študujú, znamená to buď všeobecný teoretický predpoklad alebo štatistickú závislosť.

pozri tiež

Nadácia Wikimedia. 2010.

Pozrite sa, čo je „koeficient korelácie“ v iných slovníkoch:

Korelačný koeficient- Matematické znázornenie stupňa vzťahu medzi dvoma sériami meraní. Faktor +1 označuje silnú pozitívnu koreláciu: vysoké skóre v jednej dimenzii (napríklad výška) presne koreluje s vysokým skóre v inej... ... Veľká psychologická encyklopédia

- ρ je miera sily lineárneho vzťahu medzi náhodnými premennými X a Y: , kde EX je očakávanie X; DX rozptyl X, EY matematické očakávanie Y; DY rozptyl Y; 1 ≤ ρ ≤ 1. Ak sú X, Y lineárne spojené, potom ρ = ± 1. Pre… … Geologická encyklopédia

Angličtina koeficient, korelácia; nemecký Korelačný efekt. Miera blízkosti vzťahu medzi dvoma alebo viacerými premennými. antinacistický. Encyklopédia sociológie, 2009 ... Encyklopédia sociológie

korelačný koeficient- — Biotechnologické témy EN korelačný koeficient … Technická príručka prekladateľa

Korelačný koeficient- (Korelačný koeficient) Korelačný koeficient je štatistický ukazovateľ závislosti dvoch náhodných veličín Definícia korelačného koeficientu, typy korelačných koeficientov, vlastnosti korelačného koeficientu, výpočet a aplikácia ... ... Encyklopédia investora

korelačný koeficient- 1,33. korelačný koeficient Pomer kovariancie dvoch náhodných premenných k súčinu ich štandardných odchýlok: Poznámky 1. Táto hodnota bude vždy nadobúdať hodnoty od mínus 1 do plus 1 vrátane extrémnych hodnôt. 2. Ak sú dvaja náhodní ...... Slovník-príručka termínov normatívnej a technickej dokumentácie

KORELAČNÝ KOEFICIENT- (korelačný koeficient) miera asociácie jednej premennej s druhou. Pozri koreláciu; Pearsonov odvodený korelačný koeficient hodnôt; Spearmanov koeficient poradovej korelácie… Veľký výkladový sociologický slovník

Korelačný koeficient- KORELAČNÝ KOEFICIENT Ukazovateľ stupňa lineárneho vzťahu medzi dvoma premennými: Korelačný koeficient sa môže meniť od 1 do 1. Ak korešpondujú veľké hodnoty jednej hodnoty veľké hodnoty iné (a ...... Slovník-príručka o ekonómii

Najdôležitejší cieľ štatistiky je náuka o objektívne existujúcich vzťahoch medzi javmi. V priebehu štatistického skúmania týchto vzťahov je potrebné identifikovať kauzálne vzťahy medzi ukazovateľmi, t.j. ako zmena niektorých ukazovateľov závisí od zmeny iných ukazovateľov.

Existujú dve kategórie závislostí (funkčné a korelačné) a dve skupiny znakov (znaky-faktory a efektívne znaky). Na rozdiel od funkčného vzťahu, kde existuje úplná zhoda medzi faktorom a výslednými charakteristikami, vo vzťahu korelácie takáto úplná zhoda neexistuje.

korelácia- ide o vzťah, kde sa vplyv jednotlivých faktorov javí len ako trend (v priemere) pri hromadnom sledovaní aktuálnych údajov. Príkladom korelačnej závislosti môže byť závislosť medzi veľkosťou aktív banky a výškou zisku banky, rastom produktivity práce a dĺžkou služby zamestnancov.

Najjednoduchšou verziou korelačnej závislosti je párová korelácia, t.j. závislosť medzi dvoma znakmi (efektívnym a faktoriálnym alebo medzi dvoma faktoriálnymi). Matematicky možno túto závislosť vyjadriť ako závislosť efektívneho ukazovateľa y od faktorového ukazovateľa x. Spojenia môžu byť priame a reverzné. V prvom prípade s nárastom atribútu x rastie aj atribút y, so spätnou väzbou s nárastom atribútu x atribút y klesá.

Najdôležitejšou úlohou je určiť formu spojenia s následným výpočtom parametrov rovnice, alebo inak povedané nájsť rovnicu spojenia ( regresných rovníc).

Môžu existovať rôzne kontaktné formuláre:

priamočiary

krivočiary vo forme: paraboly druhého rádu (alebo vyššie rády)

hyperbola

exponenciálna funkcia atď.

Parametre pre všetky tieto väzbové rovnice sa zvyčajne určujú z sústavy normálnych rovníc, ktorý musí spĺňať požiadavku metódy najmenších štvorcov (LSM):

Ak je vzťah vyjadrený parabolou druhého rádu ( ), potom systém normálnych rovníc na nájdenie parametrov a0, a1, a2 (takéto spojenie sa nazýva násobok, pretože znamená závislosť viac ako dvoch faktorov) môže byť reprezentovaný ako

Ďalšou hlavnou úlohou je meranie tesnosti závislosti- pre všetky formy komunikácie možno vyriešiť výpočtom empirického korelačného pomeru:

kde - rozptyl v sérii vyrovnaných hodnôt efektívneho ukazovateľa;

Rozptyl v rade skutočných hodnôt y.

Na určenie stupňa tesnosti párovej lineárnej závislosti lineárny korelačný koeficient r, ktorý možno vypočítať napríklad pomocou nasledujúcich dvoch vzorcov:

Koeficient lineárnej korelácie môže nadobúdať hodnoty v rozmedzí od -1 do + 1 alebo modulo od 0 do 1. Čím bližšie je k 1 v absolútnej hodnote, tým je vzťah užší. Znamienko udáva smer spojenia: "+" - priama závislosť, "-" prebieha s inverznou závislosťou.

V štatistickej praxi môžu nastať prípady, keď kvalitu faktora a výsledné znaky nemožno vyjadriť číselne. Preto na meranie blízkosti závislosti je potrebné použiť iné ukazovatele. Na tento účel sa používajú tzv neparametrické metódy.

Najrozšírenejšie sú poradové korelačné koeficienty, ktoré sú založené na princípe číslovania hodnôt štatistického radu. Pri použití korelačných koeficientov poradí nie sú korelované hodnoty ukazovateľov x a y, ale iba počty ich miest, ktoré zaberajú v každej sérii hodnôt. V tomto prípade bude číslom každej jednotlivej jednotky jej hodnosť.

Korelačné koeficienty založené na použití ranked metódy navrhli K. Spearman a M. Kendall.

Spearmanov koeficient poradovej korelácie p) je založený na zohľadnení rozdielu medzi hodnotami výsledných a faktorových charakteristík a možno ho vypočítať podľa vzorca

kde d = Nx - Ny, t.j. rozdiel v poradí každej dvojice hodnôt x a y; n je počet pozorovaní.

Kendalov koeficient poradovej korelácie() možno určiť podľa vzorca

kde S = P + Q.

Neparametrické metódy výskumu zahŕňajú asociačný koeficient Cus a kontingenčný faktor Kkon, ktoré sa používajú, ak je napríklad potrebné skúmať blízkosť vzťahu medzi kvalitatívnymi znakmi, z ktorých každý je prezentovaný vo forme alternatívnych znakov.

Na určenie týchto koeficientov sa vytvorí výpočtová tabuľka (tabuľka „štyri polia“), kde je štatistický predikát schematicky znázornený v nasledujúcom tvare:

znamenia

Tu a, b, c, d sú frekvencie vzájomnej kombinácie (kombinácie) dvoch alternatívnych znakov; n je celkový súčet frekvencií.

Koeficient pridelenia produktu sa vypočíta podľa vzorca

Treba mať na pamäti, že pre tie isté údaje je koeficient kontingencie (varí sa od -1 do +1) vždy menší ako koeficient asociácie.

Ak je potrebné posúdiť blízkosť vzťahu medzi alternatívnymi znakmi, ktoré môžu nadobudnúť ľubovoľný počet hodnotových možností, aplikujte Pearsonov koeficient vzájomnej konjugácie(KP).

Na štúdium tohto druhu vzťahu sú primárne štatistické informácie umiestnené vo forme tabuľky:

znamenia

Tu sú mij frekvencie vzájomnej kombinácie dvoch atribútových znakov; P je počet párov pozorovaní.

Pearsonov koeficient vzájomnej podmienenosti sa určuje podľa vzorca

kde je priemerný štvorcový index konjugácie:

Koeficient vzájomnej kontingencie sa pohybuje od 0 do 1.

Nakoniec treba spomenúť Fechnerov koeficient, ktorý charakterizuje elementárny stupeň blízkosti spojenia, ktorý je vhodné použiť na zistenie skutočnosti existencie spojenia pri malom množstve prvotných informácií. Tento koeficient je určený vzorcom

kde na je počet zhôd znakov odchýlok jednotlivých hodnôt od ich aritmetického priemeru; nb - počet nezhôd.

Fechnerov koeficient sa môže pohybovať v rozmedzí -1,0 Kf + 1,0.