Unități de distanță și lungime Convertor de unități de zonă Convertor de unități Join © 2011-2017 Mikhail Dovzhik Copierea materialelor este interzisă. În calculatorul online, puteți utiliza valori în aceleași unități de măsură! Dacă întâmpinați probleme la conversia unităților de măsură, utilizați Convertorul de unități de distanță și lungime și Convertorul de unități de suprafață. Caracteristici suplimentare ale calculatorului de suprafață patrulater

• Vă puteți deplasa între câmpurile de introducere apăsând tastele dreapta și stânga de pe tastatură.

Teorie. Aria unui patrulater Un patrulater este o figură geometrică formată din patru puncte (vârfurile), dintre care trei nu se află pe aceeași linie dreaptă și patru segmente (laturi) care leagă aceste puncte în perechi. Un patrulater se numește convex dacă segmentul care leagă oricare două puncte ale acestui patrulater se va afla în interiorul lui.

Cum să găsiți aria unui poligon?

Formula pentru determinarea ariei se determină luând fiecare muchie a poligonului AB și calculând aria triunghiului ABO cu un vârf la originea O, prin coordonatele vârfurilor. Când mergeți în jurul unui poligon, se formează triunghiuri, inclusiv interiorul poligonului și situate în afara acestuia. Diferența dintre suma acestor zone este aria poligonului în sine.

Prin urmare, formula se numește formula topografului, deoarece „cartograful” se află la origine; dacă parcurge zona în sens invers acelor de ceasornic, zona se adaugă dacă este în stânga și scade dacă este în dreapta în ceea ce privește originea. Formula ariei este valabilă pentru orice poligon (simplu) care nu se intersectează, care poate fi convex sau concav. Conţinut

• 1 Definiție
• 2 Exemple
• 3 Exemplu mai complex
• 4 Explicația numelui
• 5 Vezi

Zona poligonului

Atenţie

Ar putea fi:

• triunghi;
• patrulater;
• cinci sau hexagon și așa mai departe.

O astfel de cifră va fi cu siguranță caracterizată de două poziții:

1. Laturile adiacente nu aparțin aceleiași linii.
2. Cele neadiacente nu au puncte comune, adică nu se intersectează.

Pentru a înțelege ce vârfuri sunt adiacente, trebuie să vedeți dacă aparțin aceleiași părți. Dacă da, atunci vecină. În caz contrar, ele pot fi conectate printr-un segment, care trebuie numit diagonală. Ele pot fi desenate numai în poligoane care au mai mult de trei vârfuri.

Ce fel de ele există? Un poligon cu mai mult de patru colțuri poate fi convex sau concav. Diferența dintre acesta din urmă este că unele dintre vârfurile sale se pot afla pe diferite laturi ale unei linii drepte trasate printr-o latură arbitrară a poligonului.

Cum să găsiți aria unui hexagon regulat și neregulat?

• Cunoscând lungimea laturii, înmulțiți-o cu 6 și obțineți perimetrul hexagonului: 10 cm x 6 \u003d 60 cm
• Înlocuiți rezultatele în formula noastră:
Aria \u003d 1/2 * perimetru * apotemă Suprafață \u003d ½ * 60cm * 5√3 Rezolvați: Acum rămâne să simplificați răspunsul pentru a scăpa de rădăcinile pătrate și să indicați rezultatul în centimetri pătrați: ½ * 60 cm * 5 √3 cm \u003d 30 * 5√3 cm =150 √3 cm =259,8 cm² Video despre cum să găsiți aria unui hexagon obișnuit Există mai multe opțiuni pentru a determina aria unui hexagon neregulat:

• metoda trapezului.
• O metodă pentru calcularea ariei poligoanelor neregulate folosind axa de coordonate.
• O metodă de împărțire a unui hexagon în alte forme.

În funcție de datele inițiale pe care le veți cunoaște, este selectată metoda corespunzătoare.

Important

Unele hexagoane neregulate constau din două paralelograme. Pentru a determina aria unui paralelogram, înmulțiți lungimea acestuia cu lățimea și apoi adăugați cele două zone deja cunoscute. Video despre cum să găsiți aria unui poligon Un hexagon echilateral are șase laturi egale și este un hexagon obișnuit.

Aria unui hexagon echilateral este egală cu 6 zone ale triunghiurilor în care este împărțită o figură hexagonală regulată. Toate triunghiurile dintr-un hexagon obișnuit sunt egale, așa că pentru a găsi aria unui astfel de hexagon, va fi suficient să cunoașteți aria a cel puțin unui triunghi. Pentru a găsi aria unui hexagon echilateral, desigur, se folosește formula pentru aria unui hexagon obișnuit, descrisă mai sus.

404 Nu a fost gasit

Decorarea unei locuințe, îmbrăcămintea, desenul de imagini au contribuit la procesul de formare și acumulare a informațiilor din domeniul geometriei, pe care oamenii acelor vremuri le-au obținut empiric, pas cu pas, și le-au transmis din generație în generație. Astăzi, cunoașterea geometriei este necesară pentru un tăietor, un constructor, un arhitect și orice persoană obișnuită din viața de zi cu zi. Prin urmare, trebuie să învățați cum să calculați aria diferitelor cifre și să vă amintiți că fiecare dintre formule poate fi utilă mai târziu în practică, inclusiv formula pentru un hexagon obișnuit.
Un hexagon este o astfel de figură poligonală, al cărui număr total de unghiuri este de șase. Un hexagon regulat este o figură hexagonală care are laturile egale. Unghiurile unui hexagon regulat sunt, de asemenea, egale între ele.
În viața de zi cu zi, putem găsi adesea obiecte care au forma unui hexagon obișnuit.

Calculator de suprafață de poligon neregulat pe laturi

Vei avea nevoie

• - ruleta;
• — telemetru electronic;
• - o coală de hârtie și un creion;
• - calculator.

Instrucțiunea 1 Dacă aveți nevoie de suprafața totală a unui apartament sau a unei camere separate, citiți doar pașaportul tehnic pentru apartament sau casă, acesta arată filmarea fiecărei camere și filmarea totală a apartamentului. 2 Pentru a măsura suprafața unei camere dreptunghiulare sau pătrate, luați o bandă de măsurare sau un telemetru electronic și măsurați lungimea pereților. Când măsurați distanțe cu un telemetru, asigurați-vă că păstrați direcția fasciculului perpendiculară, altfel rezultatele măsurătorii pot fi distorsionate. 3 Apoi înmulțiți lungimea rezultată (în metri) a camerei cu lățimea (în metri). Valoarea rezultată va fi suprafața podelei, se măsoară în metri pătrați.

Formula ariei Gauss

Dacă trebuie să calculați suprafața podelei unei structuri mai complexe, cum ar fi o cameră pentagonală sau o cameră cu un arc rotund, schițați o schiță schematică pe o bucată de hârtie. Apoi împărțiți forma complexă în mai multe forme simple, cum ar fi un pătrat și un triunghi, sau un dreptunghi și un semicerc. Măsurați cu o bandă de măsurare sau cu telemetru dimensiunea tuturor laturilor figurilor rezultate (pentru un cerc trebuie să cunoașteți diametrul) și introduceți rezultatele pe desen.

5 Acum calculați separat aria fiecărei forme. Aria dreptunghiurilor și pătratelor se calculează prin înmulțirea laturilor. Pentru a calcula aria unui cerc, împărțiți diametrul în jumătate și pătrat (înmulțiți-l singur), apoi înmulțiți rezultatul cu 3,14.
Dacă doriți doar jumătate din cerc, împărțiți zona rezultată în jumătate. Pentru a calcula aria unui triunghi, găsiți P împărțind suma tuturor laturilor la 2.

Formula pentru calcularea ariei unui poligon neregulat

Dacă punctele sunt numerotate succesiv în sens invers acelor de ceasornic, atunci determinanții din formula de mai sus sunt pozitivi și modulul din aceasta poate fi omis; dacă sunt numerotate în sensul acelor de ceasornic, determinanții vor fi negativi. Acest lucru se datorează faptului că formula poate fi privită ca un caz special al teoremei lui Green. Pentru a aplica formula, trebuie să cunoașteți coordonatele vârfurilor poligonului în planul cartezian.

De exemplu, să luăm un triunghi cu coordonatele ((2, 1), (4, 5), (7, 8)). Luați prima coordonată x a primului vârf și înmulțiți-o cu coordonata y a celui de-al doilea vârf, apoi înmulțiți coordonata x a celui de-al doilea vârf cu coordonata y a celui de-al treilea. Repetăm ​​această procedură pentru toate vârfurile. Rezultatul poate fi determinat prin următoarea formulă: A tri.

Formula pentru calcularea ariei unui patrulater neregulat

A) _(\text(tri.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|) unde xi și yi reprezintă coordonatele corespunzătoare. Această formulă poate fi obținută prin deschiderea parantezelor din formula generală pentru cazul n = 3. Folosind această formulă, puteți afla că aria unui triunghi este egală cu jumătate din suma 10 + 32 + 7 - 4 - 35 - 16, care dă 3. Numărul de variabile din formulă depinde de numărul de laturi ale poligonului. De exemplu, formula pentru aria unui pentagon va folosi variabile până la x5 și y5: Un pent. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | (\displaystyle \mathbf (A) _(\text(pent.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4) )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5) )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A pentru un quad - variabile până la x4 și y4: A quad.

Un hexagon sau un hexagon este un poligon regulat ale cărui laturi sunt egale între ele, iar fiecare unghi are exact 120 de grade. Un hexagon se găsește uneori în viața de zi cu zi a omului, așa că poate fi necesar să-i calculezi aria nu numai în problemele școlare, ci și în viața reală.

hexagon convex

Heskagon este un poligon convex regulat, respectiv, toate unghiurile sale sunt egale, toate laturile sunt egale, iar dacă desenați un segment prin două vârfuri adiacente, atunci întreaga figură va fi pe o parte a acestui segment. Ca în orice n-gon obișnuit, un cerc poate fi descris în jurul hexagonului sau înscris în interiorul acestuia. Caracteristica principală a unui hexagon este că lungimea razei cercului circumscris coincide cu lungimea laturii poligonului. Datorită acestei proprietăți, puteți găsi cu ușurință aria unui hexagon folosind formula:

S \u003d 2,59 R 2 \u003d 2,59 a 2.

În plus, raza cercului înscris este legată de latura figurii ca:

Rezultă că aria unui hexagon poate fi calculată folosind una dintre cele trei variabile din care să alegeți.

Hexagrama

Hexagonul regulat stelat apare în fața noastră sub forma unei stele cu șase colțuri. O astfel de figură se formează prin suprapunerea a două triunghiuri echilaterale unul peste altul. Cea mai faimoasă hexagramă reală este Steaua lui David - simbolul poporului evreu.

Numerele hexagonale

În teoria numerelor, există numere figurative asociate cu anumite forme geometrice. Cele mai utilizate sunt numerele triunghiulare și pătrate, precum și numerele tetraedrice și piramidale, cu ajutorul cărora este ușor să așezați forme geometrice folosind obiecte reale. De exemplu, numerele piramidale vă vor spune cum să stivuiți ghiulele într-o piramidă stabilă. Există și numere hexagonale care determină numărul de puncte necesare pentru a construi un hexagon.

Hexagon în realitate

Hexagoanele sunt adesea văzute în viața reală. De exemplu, secțiunile de nuci sau creioane sunt hexagonale, ceea ce asigură o prindere confortabilă a obiectului. Hexagonul este o figură geometrică eficientă capabilă să placă un plan fără goluri sau suprapuneri. De aceea, materialele decorative de finisare, de exemplu, plăci și plăci de pavaj sau panouri de gips-carton, au adesea o formă hexagonală.

Eficiența hexagonului îl face popular și în natură. Fagurii au exact o formă hexagonală, datorită căreia spațiul stupului este umplut fără goluri. Un alt exemplu de placare hexagonală a unui avion este Traseul uriașului, un monument al vieții sălbatice format în timpul unei erupții vulcanice. Cenușa vulcanică a fost comprimată în coloane hexagonale care au pavat suprafața coastei Irlandei de Nord.

Împachetați cercuri într-un avion

Și mai multe despre eficiența hexagonului. Ambalarea bilelor este o problemă clasică de geometrie combinatorie care necesită găsirea celei mai bune modalități de a împacheta bile care nu se intersectează. În practică, această sarcină se transformă într-o problemă logistică de împachetare portocale, mere, ghiule sau orice alt obiect sferic care trebuie împachetat cât mai strâns posibil. Heskagon este soluția la această problemă.

Se știe că cea mai eficientă aranjare a cercurilor în spațiul bidimensional este plasarea centrelor cercurilor pe vârfurile hexagoanelor care umplu planul fără goluri. În realitatea 3D, problema plasării bilelor se rezolvă prin stivuirea obiectelor hexagonal.

Folosind calculatorul nostru, puteți calcula aria unui hexagon obișnuit cunoscând latura lui sau razele cercurilor corespunzătoare. Să încercăm să calculăm ariile hexagoanelor folosind exemple reale.

Exemple din viața reală

hexagon uriaș

Hexagonul gigant este un fenomen atmosferic unic pe Saturn, care arată ca un vârtej grandios sub forma unui hexagon obișnuit. Se știe că latura hexagonului gigant are 13.800 km, datorită căruia putem determina zona „norului”. Pentru a face acest lucru, introduceți doar valoarea laturii în formularul calculatorului și obțineți rezultatul:

Astfel, aria vortexului atmosferic de pe Saturn este de aproximativ 494.777.633 de kilometri pătrați. Cu adevărat impresionant.

Sah hexagonal

Cu toții suntem obișnuiți cu câmpul de șah, împărțit în 64 de celule pătrate. Cu toate acestea, există și șah hexagonal, al cărui teren de joc este împărțit în 91 de hexagoane regulate. Să determinăm aria tablei de joc pentru versiunea hexagonală a celebrului joc. Lasă latura celulei să fie de 2 centimetri. Zona unei celule de joc va fi:

Apoi, aria întregii plăci va fi egală cu 91 × 10,39 = 945,49 centimetri pătrați.

Concluzie

Hexagonul se găsește adesea în realitate, deși nu îl observăm. Utilizați calculatorul nostru online pentru a calcula aria hexagoanelor pentru problemele de zi cu zi sau școlare.

Un hexagon este un poligon cu 6 laturi și 6 unghiuri. În funcție de faptul că un hexagon este regulat sau nu, există mai multe metode pentru a-și găsi zona. Vom revizui totul.

Cum să găsiți aria unui hexagon obișnuit

Formule pentru calcularea ariei unui hexagon regulat - un poligon convex cu șase laturi identice.

Lungimea laterală dată:

• Formula ariei: S = (3√3*a²)/2
• Dacă lungimea laturii a este cunoscută, înlocuind-o în formulă, putem găsi cu ușurință aria figurii.
• În caz contrar, lungimea laturii poate fi găsită prin perimetru și apotem.
• Dacă perimetrul este dat, atunci pur și simplu îl împărțim la 6 și obținem lungimea unei laturi. De exemplu, dacă perimetrul este 24, atunci lungimea laturii va fi 24/6 = 4.
• Apotema este o perpendiculară desenată din centru către una dintre laturi. Pentru a găsi lungimea unei laturi, înlocuim lungimea apotemului în formula a = 2*m/√3. Adică, dacă apotema m = 2√3, atunci lungimea laturii a = 2*2√3/√3 = 4.

Dată o apotema:

• Formula ariei: S = 1/2*p*m, unde p este perimetrul, m este apotema.
• Să găsim perimetrul hexagonului prin apotem. În paragraful anterior, am învățat cum să găsim lungimea unei laturi printr-o apotema: a \u003d 2 * m / √3. Rămâne doar să înmulțim acest rezultat cu 6. Obținem formula perimetrului: p \u003d 12 * m / √3.

Având în vedere raza cercului circumscris:

• Raza unui cerc circumscris în jurul unui hexagon regulat este egală cu latura acestui hexagon.
  Formula ariei: S = (3√3*a²)/2

Având în vedere raza cercului înscris:

• Formula ariei: S = 3√3*r², unde r = √3*a/2 (a este una dintre laturile poligonului).

Cum să găsiți aria unui hexagon neregulat

Formule pentru calcularea ariei unui hexagon neregulat - un poligon ale cărui laturi nu sunt egale între ele.

Metoda trapezului:

• Împărțim hexagonul în trapeze arbitrare, calculăm aria fiecăruia dintre ele și le adunăm.
• Formule de bază pentru aria unui trapez: S = 1/2*(a + b)*h, unde a și b sunt bazele trapezului, h este înălțimea.
  S = h*m, unde h este înălțimea, m este linia mediană.

Coordonatele vârfurilor hexagonului sunt cunoscute:

• Pentru început, să notăm coordonatele punctelor, în plus, plasându-le nu într-o ordine haotică, ci secvențial una după alta. De exemplu:
  A: (-3, -2)
  B: (-1, 4)
  C: (6, 1)
  D: (3, 10)
  E: (-4, 9)
  F: (-5, 6)
• Apoi, cu grijă, înmulțiți coordonatele x a fiecărui punct cu coordonatele y a următorului punct:
  -3*4 = -12
  -1*1 = -1
  6*10 = 60
  3*9 = 27
  -4*6 = -24
  -5*(-2) = 10
  Adunați rezultatele:
  -12 – 1 + 60 + 27 – 24 + 10 = 60
  Apoi, înmulțiți coordonata y a fiecărui punct cu coordonata x a punctului următor.
  -2*(-1) = 2
  4*6 = 24
  1*3 = 3
  10*(-4) = -40
  9*(-5) = -45
  6*(-3) = -18
  Adunați rezultatele:
  2 + 24 + 3 – 40 – 45 – 18 = -74
  Scădeți al doilea din primul rezultat:
  60 -(-74) = 60 + 74 = 134
  Numărul rezultat se împarte la doi:
  134/2 = 67
  Răspuns: 67 de unități pătrate.

• De asemenea, pentru a găsi aria unui hexagon, îl puteți împărți în triunghiuri, pătrate, dreptunghiuri, paralelograme și așa mai departe. Găsiți zonele figurilor sale constitutive și însumați-le.

Deci, metodele de găsire a zonei unui hexagon pentru toate ocaziile au fost studiate. Acum, continuă și aplică ceea ce ai învățat! Mult noroc!

Tema poligoanelor este acoperită în programa școlară, dar nu îi acordă suficientă atenție. Între timp, este interesant și acest lucru este valabil mai ales pentru un hexagon sau hexagon obișnuit - la urma urmei, multe obiecte naturale au această formă. Acestea includ faguri și multe altele. Această formă este foarte bine aplicată în practică.

Definiție și construcție

Un hexagon regulat este o figură plană care are șase laturi egale în lungime și același număr de unghiuri egale.

Dacă ne amintim formula pentru suma unghiurilor unui poligon

se dovedește că în această cifră este egal cu 720 °. Ei bine, deoarece toate unghiurile figurii sunt egale, este ușor de calculat că fiecare dintre ele este egal cu 120 °.

Desenarea unui hexagon este foarte simplă, tot ce ai nevoie este o busolă și o riglă.

Instrucțiunile pas cu pas vor arăta astfel:

Dacă doriți, puteți face fără o linie desenând cinci cercuri de rază egală.

Cifra astfel obținută va fi un hexagon regulat, iar acest lucru poate fi demonstrat mai jos.

Proprietățile sunt simple și interesante

Pentru a înțelege proprietățile unui hexagon obișnuit, este logic să-l împărțim în șase triunghiuri:

Acest lucru va ajuta pe viitor să-și afișeze mai clar proprietățile, dintre care principalele sunt:

1. diametrul cercului circumscris;
2. diametrul cercului înscris;
3. pătrat;
4. perimetru.

Cercul circumscris și posibilitatea construcției

Este posibil să descrii un cerc în jurul unui hexagon și, în plus, doar unul. Deoarece această cifră este corectă, o puteți face destul de simplu: trageți o bisectoare din două unghiuri adiacente în interior. Se intersectează în punctul O, iar împreună cu latura dintre ele formează un triunghi.

Unghiurile dintre latura hexagonului și bisectoare vor fi de 60° fiecare, așa că putem spune cu siguranță că un triunghi, de exemplu, AOB, este isoscel. Și deoarece al treilea unghi va fi, de asemenea, egal cu 60 °, este și echilateral. Rezultă că segmentele OA și OB sunt egale, ceea ce înseamnă că pot servi drept rază a cercului.

După aceea, puteți merge în partea următoare și, de asemenea, puteți desena o bisectoare din unghiul din punctul C. Se va dovedi un alt triunghi echilateral, iar latura AB va fi comună pentru două simultan, iar OS va fi următoarea rază prin care trece același cerc. Vor fi șase astfel de triunghiuri în total și vor avea un vârf comun în punctul O. Se dovedește că va fi posibil să se descrie cercul și este doar unul, iar raza lui este egală cu latura hexagonului :

De aceea, este posibil să construiți această figură cu ajutorul unei busole și a unei rigle.

Ei bine, zona acestui cerc va fi standard:

Cerc înscris

Centrul cercului circumscris coincide cu centrul celui înscris. Pentru a verifica acest lucru, putem desena perpendiculare din punctul O spre laturile hexagonului. Ele vor fi înălțimile acelor triunghiuri care alcătuiesc hexagonul. Și într-un triunghi isoscel, înălțimea este mediana față de latura pe care se sprijină. Astfel, această înălțime nu este altceva decât bisectoarea perpendiculară, care este raza cercului înscris.

Înălțimea unui triunghi echilateral se calculează simplu:

h²=a²-(a/2)²= a²3/4, h=a(√3)/2

Și deoarece R=a și r=h, se dovedește că

r=R(√3)/2.

Astfel, cercul înscris trece prin centrele laturilor unui hexagon regulat.

Zona sa va fi:

S=3πa²/4,

adică trei sferturi din cea descrisă.

Perimetrul si zona

Totul este clar cu perimetrul, aceasta este suma lungimilor laturilor:

P=6a, sau P=6R

Dar aria va fi egală cu suma tuturor celor șase triunghiuri în care poate fi împărțit hexagonul. Deoarece aria unui triunghi este calculată ca jumătate din produsul bazei și al înălțimii, atunci:

S \u003d 6 (a / 2) (a (√3) / 2) \u003d 6a² (√3) / 4 \u003d 3a² (√3) / 2 sau

S=3R²(√3)/2

Cei care doresc să calculeze această zonă prin raza cercului înscris se pot face astfel:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Construcții distractive

Un triunghi poate fi înscris într-un hexagon, ale cărui laturi vor lega vârfurile printr-unul:

Vor fi doi în total, iar impunerea lor unul asupra celuilalt va da Steaua lui David. Fiecare dintre aceste triunghiuri este echilateral. Acest lucru este ușor de verificat. Dacă te uiți la partea AC, atunci aparține la două triunghiuri simultan - BAC și AEC. Dacă în primul dintre ele AB \u003d BC și unghiul dintre ele este de 120 °, atunci fiecare dintre cele rămase va fi de 30 °. De aici putem trage concluzii logice:

1. Înălțimea lui ABC de la vârful B va fi egală cu jumătate din latura hexagonului, deoarece sin30°=1/2. Cei care doresc să verifice acest lucru pot fi sfătuiți să recalculeze conform teoremei lui Pitagora, aceasta se potrivește perfect aici.
2. Latura AC va fi egală cu două raze ale cercului înscris, care se calculează din nou folosind aceeași teoremă. Adică AC=2(a(√3)/2)=а(√3).
3. Triunghiurile ABC, CDE și AEF sunt egale în două laturi și unghiul dintre ele și, prin urmare, urmează egalitatea laturilor AC, CE și EA.

Intersectându-se unele cu altele, triunghiurile formează un nou hexagon și este, de asemenea, regulat. Este ușor de dovedit:

Astfel, figura îndeplinește semnele unui hexagon obișnuit - are șase laturi și unghiuri egale. Din egalitatea triunghiurilor de la vârfuri, este ușor să deducem lungimea laturii noului hexagon:

d=а(√3)/3

Va fi, de asemenea, raza cercului descris în jurul lui. Raza înscrisului va fi jumătate din latura hexagonului mare, ceea ce a fost dovedit luând în considerare triunghiul ABC. Înălțimea sa este exact jumătate din latură, prin urmare, a doua jumătate este raza cercului înscris în hexagonul mic:

r₂=а/2

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

Se pare că aria hexagonului din interiorul stelei lui David este de trei ori mai mică decât cea a celui mare în care este înscrisă steaua.

De la teorie la practică

Proprietățile hexagonului sunt foarte activ utilizate atât în ​​natură, cât și în diverse domenii ale activității umane. În primul rând, acest lucru se aplică șuruburilor și piulițelor - pălăriile primului și celui de-al doilea nu sunt altceva decât un hexagon obișnuit, dacă nu țineți cont de teșituri. Mărimea cheilor corespunde diametrului cercului înscris - adică distanța dintre fețele opuse.

Și-a găsit aplicația și plăcile hexagonale. Este mult mai puțin obișnuit decât unul patruunghiular, dar este mai convenabil să îl așezi: trei plăci se întâlnesc la un moment dat, nu patru. Compozițiile pot fi foarte interesante:

Sunt produse și plăci de pavaj din beton.

Prevalența hexagonului în natură este explicată simplu. Astfel, cel mai ușor este să potriviți cercuri și bile strâns pe un plan dacă au același diametru. Din această cauză, fagurii au o astfel de formă.

Proprietăți matematice

O caracteristică a unui hexagon regulat este egalitatea laturii sale și raza cercului circumscris, deoarece

Toate unghiurile sunt de 120°.

Raza cercului înscris este:

Perimetrul unui hexagon regulat este:

Aria unui hexagon obișnuit se calculează prin formulele:

Hexagoane care plac planul, adică pot umple planul fără goluri și suprapuneri, formând așa-numitul parchet.

Parchet hexagonal (parchet hexagonal)- teselare a planului cu hexagoane regulate egale situate unul în celălalt.

Parchetul hexagonal este dual cu parchet triunghiular: dacă conectați centrele hexagoanelor adiacente, atunci segmentele desenate vor da un parchet triunghiular. Simbolul Schläfli al unui parchet hexagonal este (6,3), ceea ce înseamnă că trei hexagoane converg la fiecare vârf al parchetului.

Parchetul hexagonal este cel mai dens pachet de cercuri din plan. În spațiul euclidian bidimensional, cea mai bună umplere este plasarea centrelor cercurilor la vârfurile unui parchet format din hexagoane regulate, în care fiecare cerc este înconjurat de alți șase. Densitatea acestui ambalaj este de . În 1940, s-a dovedit că acest ambalaj este cel mai dens.

Un hexagon obișnuit cu o latură este un capac universal, adică orice set de diametru poate fi acoperit de un hexagon obișnuit cu o latură (lema lui Pal).

Un hexagon obișnuit poate fi construit folosind o busolă și o linie dreaptă. Mai jos este metoda de construcție propusă de Euclid în Elementele, Cartea IV, Teorema 15.

Hexagon obișnuit în natură, tehnologie și cultură

arată împărțirea avionului în hexagoane regulate. Forma hexagonală mai mult decât celelalte vă permite să economisiți pe pereți, adică mai puțină ceară va fi cheltuită pe fagurii cu astfel de celule.

Unele cristale și molecule complexe, cum ar fi grafitul, au o rețea cristalină hexagonală.

Se formează atunci când picăturile microscopice de apă din nori sunt atrase de particulele de praf și îngheață. Cristalele de gheață care apar în acest caz, care la început nu depășesc 0,1 mm în diametru, cad și cresc ca urmare a condensului umidității din aer pe ele. În acest caz, se formează forme cristaline cu șase vârfuri. Datorită structurii moleculelor de apă, între razele cristalului sunt posibile doar unghiuri de 60° și 120°. Cristalul principal de apă are forma unui hexagon regulat în plan. Pe vârfurile unui astfel de hexagon sunt apoi depuse cristale noi, pe ele se depun altele noi și astfel se obțin diverse forme de stele fulgi de nea.

Oamenii de știință de la Universitatea Oxford au reușit să simuleze apariția unui astfel de hexagon în laborator. Pentru a afla cum se produce o astfel de formațiune, cercetătorii au plasat o sticlă de apă de 30 de litri pe o placă turnantă. Ea a modelat atmosfera lui Saturn și rotația sa obișnuită. În interior, oamenii de știință au plasat inele mici care se rotesc mai repede decât recipientul. Acest lucru a generat vârtejuri și jeturi în miniatură, pe care experimentatorii le-au vizualizat cu vopsea verde. Cu cât inelul s-a rotit mai repede, cu atât vârtejurile deveneau mai mari, ceea ce face ca fluxul din apropiere să devieze de la o formă circulară. Astfel, autorii experimentului au reușit să obțină diverse forme – ovale, triunghiuri, pătrate și, bineînțeles, hexagonul dorit.

Un monument natural de aproximativ 40.000 de coloane bazaltice (mai rar andezitice) interconectate, format ca urmare a unei erupții vulcanice antice. Situat în nord-estul Irlandei de Nord, la 3 km nord de orașul Bushmills.

Vârfurile coloanelor formează un fel de trambulină, care începe de la poalele stâncii și dispare sub suprafața mării. Majoritatea coloanelor sunt hexagonale, deși unele au patru, cinci, șapte sau opt colțuri. Cea mai înaltă coloană are aproximativ 12 metri înălțime.

Cu aproximativ 50-60 de milioane de ani în urmă, în timpul perioadei Paleogene, situl Antrim a fost supus unei activități vulcanice intense atunci când bazaltul topit a pătruns prin depozite, formând platouri extinse de lavă. Odată cu răcirea rapidă, volumul substanței a scăzut (acest lucru se observă atunci când noroiul se usucă). Comprimarea orizontală a dus la structura caracteristică a stâlpilor hexagonali.

Secțiunea transversală a piuliței are forma unui hexagon regulat.