Norėdami išspręsti pavyzdžius su trupmenomis, turite mokėti rasti mažiausią bendrą vardiklį. Žemiau yra išsami instrukcija.

Kaip rasti mažiausią bendrą vardiklį – sąvoką

Mažiausias bendras vardiklis (LCD) paprastais žodžiais yra mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš visų šio pavyzdžio trupmenų vardikų. Kitaip tariant, jis vadinamas Mažiausiu bendru keliu (LCM). NOZ naudojamas tik tuo atveju, jei trupmenų vardikliai skiriasi.

Kaip rasti mažiausią bendrą vardiklį – pavyzdžiai

Panagrinėkime NOZ radimo pavyzdžius.

Apskaičiuokite: 3/5 + 2/15.

Sprendimas (veiksmų seka):

• Mes žiūrime į trupmenų vardiklius, įsitikiname, kad jie skiriasi, o išraiškos yra kiek įmanoma sumažintos.
• Randame mažiausią skaičių, kuris dalijasi ir iš 5, ir iš 15. Šis skaičius bus 15. Taigi, 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Mes išsiaiškinome vardiklį. Kas bus skaitiklyje? Papildomas daugiklis padės mums tai išsiaiškinti. Papildomas veiksnys yra skaičius, gautas padalijus NOZ iš tam tikros trupmenos vardiklio. 3/5 papildomas koeficientas yra 3, nes 15/5 = 3. Antrajai trupmenai papildomas koeficientas yra 1, nes 15/15 = 1.
• Išsiaiškinę papildomą koeficientą, padauginame jį iš trupmenų skaitiklių ir sudedame gautas reikšmes. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Atsakymas: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Jei pavyzdyje pridedamos ar atimamos ne 2, o 3 ar daugiau trupmenų, tai NOZ reikia ieškoti tiek trupmenų, kiek duota.

Apskaičiuokite: 1/2 - 5/12 + 3/6

Sprendimas (veiksmų seka):

• Mažiausio bendro vardiklio radimas. Mažiausias skaičius, dalinamas iš 2, 12 ir 6, yra 12.
• Gauname: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Ieškome papildomų multiplikatorių. Už 1/2 - 6; už 5/12 - 1; už 3/6 - 2.
• Padauginame iš skaitiklių ir priskiriame atitinkamus ženklus: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.

Atsakymas: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.

Tačiau daugelis sveikieji skaičiai yra tolygiai dalijami iš kitų natūraliųjų skaičių.

Pavyzdžiui:

Skaičius 12 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12;

Skaičius 36 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12, iš 18, iš 36.

Skaičiai, iš kurių skaičius dalijasi (12 yra 1, 2, 3, 4, 6 ir 12), vadinami skaičių dalikliai. Natūralaus skaičiaus daliklis a yra natūralusis skaičius, dalijantis nurodytą skaičių a be pėdsakų. Vadinamas natūralusis skaičius, turintis daugiau nei du veiksnius sudėtinis .

Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 12 ir 36 turi bendrus daliklius. Tai yra skaičiai: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Didžiausias šių skaičių daliklis yra 12. Bendras šių dviejų skaičių daliklis a ir b yra skaičius, iš kurio abu duoti skaičiai dalijasi be liekanos a ir b.

bendras kartotinis keli skaičiai vadinami skaičiumi, kuris dalijasi iš kiekvieno iš šių skaičių. Pavyzdžiui, skaičiai 9, 18 ir 45 turi bendrą 180 kartotinį. Tačiau 90 ir 360 taip pat yra jų bendrieji kartotiniai. Tarp visų jbendrų kartotinių visada yra mažiausias, šiuo atveju jis yra 90. Šis skaičius vadinamas mažiausiaibendrasis kartotinis (LCM).

LCM visada yra natūralusis skaičius, kuris turi būti didesnis už didžiausią skaičių, kuriam jis yra apibrėžtas.

Mažiausias bendras kartotinis (LCM). Savybės.

Komutatyvumas:

Asociatyvumas:

Visų pirma, jei ir yra pirminiai skaičiai , tada:

Mažiausias bendrasis dviejų sveikųjų skaičių kartotinis m ir n yra visų kitų bendrųjų kartotinių daliklis m ir n. Be to, bendrųjų kartotinių rinkinys m,n sutampa su LCM() kartotinių rinkiniu m,n).

Asimptotika gali būti išreikšta kai kuriomis skaičių teorinėmis funkcijomis.

Taigi, Čebyševo funkcija. Taip pat:

Tai išplaukia iš Landau funkcijos apibrėžimo ir savybių g(n).

Kas išplaukia iš pirminių skaičių pasiskirstymo dėsnio.

Mažiausio bendro kartotinio (LCM) radimas.

NOC( a, b) galima apskaičiuoti keliais būdais:

1. Jei žinomas didžiausias bendras daliklis, galite naudoti jo ryšį su LCM:

2. Tebūnie žinomas abiejų skaičių kanoninis išskaidymas į pirminius veiksnius:

kur p 1 ,...,p k yra įvairūs pirminiai skaičiai ir d 1 ,...,d k ir e 1 ,...,ek yra neneigiami sveikieji skaičiai (jie gali būti lygūs nuliui, jei atitinkamo pirminio skaičiaus nėra plėtinyje).

Tada LCM ( a,b) apskaičiuojamas pagal formulę:

Kitaip tariant, LCM išplėtimas apima visus pagrindinius veiksnius, kurie yra įtraukti į bent vieną iš plėtinių skaičių. a, b, ir imamas didžiausias iš dviejų šio koeficiento eksponentų.

Pavyzdys:

Kelių skaičių mažiausiojo bendro kartotinio apskaičiavimas gali būti sumažintas iki kelių nuoseklių dviejų skaičių LCM skaičiavimų:

Taisyklė. Norėdami rasti skaičių serijos LCM, jums reikia:

- išskaidyti skaičius į pirminius veiksnius;

- didžiausią išplėtimą perkelkite į norimo produkto veiksnius (didžiausio duotų skaičiaus veiksnių sandaugą), o tada pridėkite veiksnius iš kitų skaičių, kurie nėra pirmame skaičiuje arba yra jame, išplėtimo. mažesnis skaičius kartų;

- gauta pirminių koeficientų sandauga bus nurodytų skaičių LCM.

Bet kurie du ar daugiau natūraliųjų skaičių turi savo LCM. Jei skaičiai nėra vienas kito kartotiniai arba neturi tų pačių plėtimosi faktorių, tai jų LCM yra lygus šių skaičių sandaugai.

Skaičiaus 28 pirminiai koeficientai (2, 2, 7) buvo papildyti koeficientu 3 (skaičiumi 21), gauta sandauga (84) bus mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš 21 ir 28 .

Didžiausio skaičiaus 30 pirminiai koeficientai buvo papildyti skaičiaus 25 koeficientu 5, gauta sandauga 150 yra didesnė už didžiausią skaičių 30 ir dalijasi iš visų pateiktų skaičių be liekanos. Tai mažiausias įmanomas produktas (150, 250, 300...), kurio visi pateikti skaičiai yra kartotiniai.

Skaičiai 2,3,11,37 yra pirminiai, todėl jų LCM yra lygus duotųjų skaičių sandaugai.

taisyklė. Norėdami apskaičiuoti pirminių skaičių LCM, turite padauginti visus šiuos skaičius.

Kitas variantas:

Norėdami rasti mažiausią kelių skaičių bendrąjį kartotinį (LCM), jums reikia:

1) pavaizduokite kiekvieną skaičių kaip jo pirminių veiksnių sandaugą, pavyzdžiui:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) užrašykite visų pirminių veiksnių laipsnius:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) užrašykite visus kiekvieno iš šių skaičių pirminius daliklius (daugiklius);

4) pasirinkti didžiausią kiekvieno iš jų laipsnį, esantį visose šių skaičių plėtiniuose;

5) padauginkite šias galias.

Pavyzdys. Raskite skaičių LCM: 168, 180 ir 3024.

Sprendimas. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Išrašome didžiausius visų pirminių daliklių laipsnius ir padauginame:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Žemiau pateikta medžiaga yra logiškas teorijos tęsinys iš straipsnio antraštėje LCM – mažiausias kartotinis, apibrėžimas, pavyzdžiai, ryšys tarp LCM ir GCD. Čia mes kalbėsime apie rasti mažiausią bendrą kartotinį (LCM), ir Ypatingas dėmesys Pažvelkime į pavyzdžius. Pirmiausia parodykime, kaip apskaičiuojamas dviejų skaičių LCM pagal šių skaičių GCD. Tada apsvarstykite galimybę rasti mažiausią bendrą kartotinį, įtraukdami skaičius į pirminius veiksnius. Po to mes sutelksime dėmesį į trijų ar daugiau skaičių LCM suradimą, taip pat atkreipsime dėmesį į neigiamų skaičių LCM apskaičiavimą.

Puslapio naršymas.

Mažiausio bendro kartotinio (LCM) apskaičiavimas per gcd

Vienas iš būdų rasti mažiausią bendrą kartotinį yra pagrįstas LCM ir GCD ryšiu. Esamas ryšys tarp LCM ir GCD leidžia apskaičiuoti mažiausią bendrą dviejų teigiamų sveikųjų skaičių kartotinį per žinomą didžiausią bendras daliklis. Atitinkama formulė turi formą LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Apsvarstykite pavyzdžius, kaip rasti LCM pagal aukščiau pateiktą formulę.

Pavyzdys.

Raskite mažiausią bendrąjį dviejų skaičių 126 ir 70 kartotinį.

Sprendimas.

Šiame pavyzdyje a=126 , b=70 . Naudokime formule išreikštą ryšį tarp LCM ir GCD LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Tai yra, pirmiausia turime rasti didžiausią skaičių 70 ir 126 bendrąjį daliklį, po kurio pagal parašytą formulę galime apskaičiuoti šių skaičių LCM.

Raskite gcd(126, 70) naudodami Euklido algoritmą: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , taigi gcd(126, 70)=14 .

Dabar randame reikalingą mažiausią bendrąjį kartotinį: LCM(126, 70) = 126 70: GCM(126, 70) = 126 70:14=630 .

Atsakymas:

LCM(126, 70)=630 .

Pavyzdys.

Kas yra LCM(68, 34)?

Sprendimas.

Nes 68 tolygiai dalijasi iš 34 , tada gcd(68, 34)=34 . Dabar apskaičiuojame mažiausią bendrąjį kartotinį: LCM(68, 34) = 68 34: LCM(68, 34) = 68 34:34=68 .

Atsakymas:

LCM(68, 34) = 68 .

Atkreipkite dėmesį, kad ankstesnis pavyzdys atitinka šią taisyklę, kaip rasti teigiamų sveikųjų skaičių a ir b LCM: jei skaičius a dalijasi iš b , tada mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra a .

LCM radimas faktorinuojant skaičius į pirminius veiksnius

Kitas būdas rasti mažiausią bendrą kartotinį yra pagrįstas skaičių padalijus į pirminius veiksnius. Jei padarysime visų pirminių šių skaičių sandaugą, po kurios iš šios sandaugos išskirsime visus bendruosius pirminius veiksnius, kurie yra šių skaičių plėtiniuose, tada gauta sandauga bus lygi mažiausiam bendrajam šių skaičių kartotiniui.

Paskelbta LCM radimo taisyklė išplaukia iš lygybės LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Iš tikrųjų skaičių a ir b sandauga yra lygi visų veiksnių, dalyvaujančių skaičių a ir b plėtime, sandaugai. Savo ruožtu gcd(a, b) yra lygus visų pirminių faktorių sandaugai, kurie vienu metu yra skaičių a ir b plėtiniuose (kuris aprašytas skyriuje apie gcd radimą naudojant skaičių skaidymą į pirminius veiksnius ).

Paimkime pavyzdį. Žinokime, kad 75=3 5 5 ir 210=2 3 5 7 . Sudarykite visų šių plėtimų faktorių sandaugą: 2 3 3 5 5 5 7 . Dabar iš šio produkto pašaliname visus veiksnius, kurie yra tiek išplečiant skaičių 75, tiek išplečiant skaičių 210 (tokie veiksniai yra 3 ir 5), tada produktas įgis 2 3 5 5 7 formą. Šio sandaugos vertė yra lygi mažiausiam skaičių 75 ir 210 bendrajam kartotiniui, ty LCM(75; 210) = 2 3 5 5 7 = 1 050.

Pavyzdys.

Suskaičiavę skaičius 441 ir 700 į pirminius koeficientus, raskite mažiausią bendrą šių skaičių kartotinį.

Sprendimas.

Išskaidykime skaičius 441 ir 700 į pirminius koeficientus:

Gauname 441=3 3 7 7 ir 700=2 2 5 5 7 .

Dabar padarykime sandaugą iš visų veiksnių, susijusių su šių skaičių išplėtimu: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Išskirkime iš šio produkto visus veiksnius, kurie vienu metu yra abiejuose plėtiniuose (tokių yra tik vienas - tai skaičius 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Šiuo būdu, LCM(441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Atsakymas:

LCM(441; 700) = 44 100 .

Taisyklė, kaip rasti LCM naudojant skaičių skaidymą į pirminius veiksnius, gali būti suformuluota šiek tiek kitaip. Jei trūkstamus koeficientus iš skaičiaus b išplėtimo pridėsime prie faktorių iš skaičiaus a išplėtimo, tada gautos sandaugos reikšmė bus lygi mažiausiam skaičių a ir b bendrajam kartotiniui..

Pavyzdžiui, paimkime visus tuos pačius skaičius 75 ir 210, jų išplėtimai į pirminius koeficientus yra tokie: 75=3 5 5 ir 210=2 3 5 7 . Prie faktorių 3, 5 ir 5 iš skaičiaus 75 skaidymo pridedame trūkstamus koeficientus 2 ir 7 iš skaičiaus 210 skaidymo, gauname sandaugą 2 3 5 5 7 , kurios reikšmė LCM(75 , 210).

Pavyzdys.

Raskite mažiausią bendrą skaičių 84 ir 648 kartotinį.

Sprendimas.

Pirmiausia gauname skaičių 84 ir 648 išskaidymą į pirminius veiksnius. Jie atrodo taip: 84=2 2 3 7 ir 648=2 2 2 3 3 3 3. Prie faktorių 2 , 2 , 3 ir 7 iš skaičiaus 84 skaidymo pridedame trūkstamus koeficientus 2 , 3 , 3 ir 3 iš skaičiaus 648 skaidymo , gauname sandaugą 2 2 2 3 3 3 3 7 , kuri lygi 4 536 . Taigi norimas mažiausias bendras skaičių 84 ir 648 kartotinis yra 4536.

Atsakymas:

LCM(84, 648) = 4 536 .

Raskite trijų ar daugiau skaičių LCM

Mažiausią bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį galima rasti paeiliui suradus dviejų skaičių LCM. Prisiminkite atitinkamą teoremą, kuri leidžia rasti trijų ar daugiau skaičių LCM.

Teorema.

Tegu pateikiami sveikieji skaičiai teigiami skaičiai a 1 , a 2 , …, a k , šių skaičių mažiausias bendras kartotinis m k randamas nuosekliai skaičiuojant m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , …, m k = LCM ( m k−1 , a k) .

Apsvarstykite šios teoremos taikymą pavyzdyje, kaip rasti mažiausią bendrą keturių skaičių kartotinį.

Pavyzdys.

Raskite keturių skaičių 140, 9, 54 ir 250 LCM.

Sprendimas.

Šiame pavyzdyje a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Pirmiausia randame m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Norėdami tai padaryti, naudodami Euklido algoritmą, nustatome gcd(140, 9) , turime 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , todėl gcd( 140, 9) = 1 , iš kur LCM(140, 9) = 140 9: LCM(140, 9) = 140 9:1 = 1 260 . Tai yra, m 2 =1 260 .

Dabar randame m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Apskaičiuokime jį per gcd(1 260, 54) , kuris taip pat nustatomas pagal Euklido algoritmą: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tada gcd(1 260, 54) = 18 , iš kur LCM(1 260, 54) = 1 260 54: gcd(1 260, 54) = 1 260 54:18 = 3 780 . Tai yra, m 3 \u003d 3 780.

Liko surasti m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Norėdami tai padaryti, randame GCD(3 780, 250) naudodami Euklido algoritmą: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Todėl gcd(3 780, 250)=10, iš kur gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10 = 94 500 . Tai yra, m 4 \u003d 94 500.

Taigi mažiausias bendras pradinių keturių skaičių kartotinis yra 94 500.

Atsakymas:

LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.

Daugeliu atvejų mažiausias bendras trijų ar daugiau skaičių kartotinis yra patogiai randamas naudojant nurodytų skaičių pirminius faktorius. Tokiu atveju reikia laikytis šios taisyklės. Mažiausias kelių skaičių bendras kartotinis yra lygus sandaugai, kuri sudaryta taip: trūkstami veiksniai iš antrojo skaičiaus išplėtimo pridedami prie visų faktorių iš pirmojo skaičiaus išplėtimo, trūkstami veiksniai iš plėtimosi iš antrojo skaičiaus. prie gautų faktorių pridedamas trečiasis skaičius ir pan.

Apsvarstykite pavyzdį, kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį, naudojant skaičių skaidymą į pirminius veiksnius.

Pavyzdys.

Raskite mažiausią bendrą penkių skaičių 84, 6, 48, 7, 143 kartotinį.

Sprendimas.

Pirmiausia gauname šių skaičių išplėtimus į pirminius veiksnius: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 pirminiai koeficientai) ir 143=11 13 .

Norint rasti šių skaičių LCM, prie pirmojo skaičiaus 84 faktorių (jie yra 2 , 2 , 3 ir 7 ) reikia pridėti trūkstamus veiksnius iš antrojo skaičiaus 6 išplėtimo. Skaičiaus 6 išplėtimas neturi trūkstamų veiksnių, nes tiek 2, tiek 3 jau yra pirmojo skaičiaus 84 išplėtime. Be faktorių 2 , 2 , 3 ir 7 pridedame trūkstamus koeficientus 2 ir 2 iš trečiojo skaičiaus 48 išplėtimo , gauname aibę faktorių 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ir 7 . Kitame veiksme prie šio rinkinio nereikia pridėti veiksnių, nes 7 jau yra jame. Galiausiai prie faktorių 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ir 7 pridedame trūkstamus koeficientus 11 ir 13 iš skaičiaus 143 išplėtimo. Gauname sandaugą 2 2 2 2 3 7 11 13, kuri yra lygi 48 048.

Didžiausias bendras daliklis

2 apibrėžimas

Jei natūralusis skaičius a dalijasi iš natūraliojo skaičiaus $b$, tai $b$ vadinamas $a$ dalikliu, o skaičius $a$ vadinamas $b$ kartotiniu.

Tegul $a$ ir $b$ yra natūralieji skaičiai. Skaičius $c$ vadinamas bendruoju ir $a$, ir $b$ dalikliu.

Skaičių $a$ ir $b$ bendrųjų daliklių aibė yra baigtinė, nes nė vienas iš šių daliklių negali būti didesnis už $a$. Tai reiškia, kad tarp šių daliklių yra didžiausias, kuris vadinamas didžiausiu skaičių $a$ ir $b$ bendruoju dalikliu ir jam žymėti naudojamas užrašas:

$gcd \ (a; b) \ ​​arba \ D \ (a; b) $

Norėdami rasti didžiausią bendrą dviejų skaičių daliklį:

1. Raskite skaičių sandaugą, rastą 2 veiksme. Gautas skaičius bus norimas didžiausias bendras daliklis.

1 pavyzdys

Raskite skaičių $121$ ir $132.$ gcd

242 USD=2\cdot 11\cdot 11$

132 USD=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Pasirinkite skaičius, kurie yra įtraukti į šių skaičių išplėtimą

242 USD=2\cdot 11\cdot 11$

132 USD=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Raskite skaičių sandaugą, rastą 2 veiksme. Gautas skaičius bus norimas didžiausias bendras daliklis.

$gcd=2\cdot 11=22$

2 pavyzdys

Raskite monomijų GCD 63 USD ir 81 USD.

Rasime pagal pateiktą algoritmą. Už tai:

Išskaidykime skaičius į pirminius veiksnius

63 USD=3\cdot 3\cdot 7$

81 USD=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Mes pasirenkame skaičius, kurie yra įtraukti į šių skaičių išplėtimą

63 USD=3\cdot 3\cdot 7$

81 USD=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Raskime 2 veiksme rastų skaičių sandaugą. Gautas skaičius bus norimas didžiausias bendras daliklis.

$gcd=3\cdot 3=9$

Dviejų skaičių GCD galite rasti kitu būdu, naudodami skaičių daliklių rinkinį.

3 pavyzdys

Raskite skaičių $48$ ir $60$ gcd.

Sprendimas:

Raskite $48$ daliklių rinkinį: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Dabar suraskime $60$ daliklių rinkinį:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Raskime šių aibių sankirtą: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ – šis rinkinys nustatys skaičių $48$ ir $60 bendrųjų daliklių aibę $. Didžiausias šio rinkinio elementas bus skaičius $12$. Taigi didžiausias bendras 48 USD ir 60 USD daliklis yra 12 USD.

NOC apibrėžimas

3 apibrėžimas

bendrasis natūraliųjų skaičių kartotinis$a$ ir $b$ yra natūralusis skaičius, kuris yra $a$ ir $b$ kartotinis.

Bendrieji skaičių kartotiniai yra skaičiai, kurie dalijasi iš pradinio skaičiaus be liekanos. Pavyzdžiui, skaičių $25$ ir $50$ bendrieji kartotiniai bus skaičiai $50,100,150,200 $ ir kt.

Mažiausias bendras kartotinis bus vadinamas mažiausiu bendruoju kartotiniu ir žymimas LCM$(a;b)$ arba K$(a;b).$

Norėdami rasti dviejų skaičių LCM, jums reikia:

1. Išskaidykite skaičius į pirminius veiksnius
2. Užrašykite veiksnius, kurie yra pirmojo skaičiaus dalis, ir pridėkite prie jų veiksnius, kurie yra antrojo skaičiaus dalis, o ne pirmajame

4 pavyzdys

Raskite skaičių $99 ir $77 LCM.

Rasime pagal pateiktą algoritmą. Už tai

Išskaidykite skaičius į pirminius veiksnius

99 USD=3\cdot 3\cdot 11$

Užrašykite veiksnius, įtrauktus į pirmąjį

pridėti prie jų veiksnius, kurie yra antrojo dalis, o ne pirmajame

Raskite skaičių sandaugą, rastą 2 veiksme. Gautas skaičius bus norimas mažiausias bendras kartotinis

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Skaičių daliklių sąrašų sudarymas dažnai užima daug laiko. Yra būdas rasti GCD, vadinamas Euklido algoritmu.

Teiginiai, kuriais grindžiamas Euklido algoritmas:

Jei $a$ ir $b$ yra natūralūs skaičiai, o $a\vdots b$, tai $D(a;b)=b$

Jei $a$ ir $b$ yra natūralūs skaičiai, tokie, kad $b

Naudodami $D(a;b)= D(a-b;b)$, galime nuosekliai mažinti nagrinėjamus skaičius, kol pasieksime skaičių porą, kad vienas iš jų dalytųsi iš kito. Tada mažesnis iš šių skaičių bus pageidaujamas didžiausias skaičių $a$ ir $b$ bendras daliklis.

GCD ir LCM savybės

1. Bet kuris bendras $a$ ir $b$ kartotinis dalijasi iš K$(a;b)$
2. Jei $a\vdots b$ , tai K$(a;b)=a$

Jei K$(a;b)=k$ ir $m$-natūralus skaičius, tai K$(am;bm)=km$

Jei $d$ yra bendras $a$ ir $b$ daliklis, tai K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Jei $a\vdots c$ ir $b\vdots c$ , tai $\frac(ab)(c)$ yra bendras $a$ ir $b$ kartotinis

Bet kurių natūraliųjų skaičių $a$ ir $b$ lygybė

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Bet kuris bendras $a$ ir $b$ daliklis yra $D(a;b)$ daliklis

Apsvarstykite tris būdus, kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį.

Faktoringo nustatymas

Pirmasis būdas yra rasti mažiausią bendrąjį kartotinį, įtraukiant pateiktus skaičius į pirminius veiksnius.

Tarkime, kad turime rasti skaičių LCM: 99, 30 ir 28. Norėdami tai padaryti, kiekvieną iš šių skaičių išskaidome į pirminius veiksnius:

Kad norimas skaičius dalytųsi iš 99, 30 ir 28, būtina ir pakanka, kad į jį būtų įtraukti visi pirminiai šių daliklių koeficientai. Norėdami tai padaryti, turime paimti visus pirminius šių skaičių veiksnius iki didžiausios galios ir padauginti juos kartu:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Taigi LCM (99, 30, 28) = 13 860. Joks kitas skaičius, mažesnis nei 13 860, nėra tolygiai dalijamas iš 99, 30 arba 28.

Norėdami rasti mažiausią bendrąjį nurodytų skaičių kartotinį, turite įtraukti juos į pirminius veiksnius, tada paimti kiekvieną pirminį koeficientą su didžiausiu rodikliu, su kuriuo jis atsiranda, ir padauginti šiuos veiksnius kartu.

Kadangi pirminiai skaičiai neturi bendrų pirminių koeficientų, jų mažiausias bendras kartotinis yra lygus šių skaičių sandaugai. Pavyzdžiui, trys skaičiai: 20, 49 ir ​​33 yra pirminiai. Štai kodėl

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Tą patį reikėtų daryti ir ieškant mažiausiojo bendro įvairių pirminių skaičių kartotinio. Pavyzdžiui, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Rasti atrankos būdu

Antrasis būdas – derinant surasti mažiausią bendrą kartotinį.

1 pavyzdys. Kai didžiausias iš pateiktų skaičių tolygiai dalijasi iš kitų duotųjų skaičių, tai šių skaičių LCM yra lygus didesniajam iš jų. Pavyzdžiui, duoti keturi skaičiai: 60, 30, 10 ir 6. Kiekvienas iš jų dalijasi iš 60, todėl:

NOC(60; 30; 10; 6) = 60

Kitais atvejais, norint rasti mažiausią bendrą kartotinį, naudojama tokia procedūra:

1. Iš pateiktų skaičių nustatykite didžiausią skaičių.
2. Toliau randame skaičius, kurie yra didžiausio skaičiaus kartotiniai, padauginame jį iš natūraliųjų skaičių didėjančia tvarka ir patikriname, ar likę pateikti skaičiai dalijasi iš gautos sandaugos.

2 pavyzdys. Duoti trys skaičiai 24, 3 ir 18. Nustatykite didžiausią iš jų – tai skaičius 24. Tada raskite 24 kartotinius, patikrindami, ar kiekvienas iš jų dalijasi iš 18 ir iš 3:

24 1 = 24 dalijasi iš 3, bet nesidalija iš 18.

24 2 = 48 – dalijasi iš 3, bet nesidali iš 18.

24 3 \u003d 72 - dalijasi iš 3 ir 18.

Taigi LCM(24, 3, 18) = 72.

Ieškoti pagal nuoseklųjį radinį LCM

Trečias būdas yra rasti mažiausią bendrą kartotinį, paeiliui surandant LCM.

Dviejų pateiktų skaičių LCM yra lygi šių skaičių sandaugai, padalytai iš didžiausio bendro daliklio.

1 pavyzdys. Raskite dviejų nurodytų skaičių LCM: 12 ir 8. Nustatykite jų didžiausią bendrą daliklį: GCD (12, 8) = 4. Padauginkite šiuos skaičius:

Mes suskirstome produktą į jų GCD:

Taigi LCM(12, 8) = 24.

Norint rasti trijų ar daugiau skaičių LCM, naudojama tokia procedūra:

1. Pirmiausia randamas bet kurių dviejų nurodytų skaičių LCM.
2. Tada rasto mažiausio bendro kartotinio ir trečiojo LCM duotas numeris.
3. Tada gauto mažiausio bendro kartotinio ir ketvirtojo skaičiaus LCM ir pan.
4. Taigi LCM paieška tęsiasi tol, kol yra skaičių.

2 pavyzdys. Raskime trijų pateiktų skaičių LCM: 12, 8 ir 9. Skaičių 12 ir 8 LCM jau radome ankstesniame pavyzdyje (tai skaičius 24). Belieka rasti mažiausią bendrą 24 kartotinį ir trečiąjį duotąjį skaičių – 9. Nustatykite didžiausią jų bendrą daliklį: gcd (24, 9) = 3. LCM padauginkite iš 9:

Mes suskirstome produktą į jų GCD:

Taigi LCM(12, 8, 9) = 72.