Funkcijos y 1 x antidarinys. Skaičiuoklė internete. Apskaičiuokite neapibrėžtą integralą (antidarinį)
Funkcija F(x ) paskambino primityvus už funkciją f(x) tam tikru intervalu, jei visiems x iš šio intervalo lygybė
F"(x ) = f(x ) .
Pavyzdžiui, funkcija F(x) = x 2 f(x ) = 2X , nes
F "(x) \u003d (x 2 )" = 2x = f(x). ◄
Pagrindinė antidarinio savybė
Jeigu F(x) yra funkcijos antidarinys f(x) tam tikru intervalu, tada funkcija f(x) turi be galo daug antidarinių, ir visi šie antidariniai gali būti parašyti kaip F(x) + C, kur NUO yra savavališka konstanta.
Pavyzdžiui. Funkcija F(x) = x 2 + 1 yra funkcijos antidarinys f(x ) = 2X , nes F "(x) \u003d (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x); funkcija F(x) = x 2 - 1 yra funkcijos antidarinys f(x ) = 2X , nes F "(x) \u003d (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; funkcija F(x) = x 2 - 3 yra funkcijos antidarinys f(x) = 2X , nes F "(x) \u003d (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); bet kokia funkcija F(x) = x 2 + NUO , kur NUO yra savavališka konstanta, ir tik tokia funkcija yra funkcijos antidarinė f(x) = 2X . ◄ |
Antidarinių skaičiavimo taisyklės
- Jeigu F(x) - originalus skirtas f(x) , a G(x) - originalus skirtas g(x) , tada F(x) + G(x) - originalus skirtas f(x) + g(x) . Kitaip tariant, sumos antidarinė lygi antidarinių sumai .
- Jeigu F(x) - originalus skirtas f(x) , ir k tada yra pastovus k · F(x) - originalus skirtas k · f(x) . Kitaip tariant, pastovųjį veiksnį galima išimti iš išvestinės ženklo .
- Jeigu F(x) - originalus skirtas f(x) , ir k,b- nuolatinis ir k ≠ 0 , tada 1 / k F( k x + b ) - originalus skirtas f(k x + b) .
Neapibrėžtas integralas
Ne apibrėžtasis integralas nuo funkcijos f(x) vadinama išraiška F(x) + C, tai yra visų pateiktos funkcijos antidarinių aibė f(x) . Neapibrėžtas integralas žymimas taip:
∫ f(x) dx = F(x) + C ,
f(x)- paskambino integrandas ;
f(x) dx- paskambino integrandas ;
x - paskambino integracijos kintamasis ;
F(x) yra vienas iš funkcijos antidarinių f(x) ;
NUO yra savavališka konstanta.
Pavyzdžiui, ∫ 2 x dx =X 2 + NUO , ∫ cosx dx = nuodėmė X + NUO ir taip toliau. ◄
Žodis „integralus“ kilęs iš lotyniško žodžio sveikasis skaičius , o tai reiškia „atkurta“. Atsižvelgiant į neapibrėžtą integralą 2 x, mes tarsi atkuriame funkciją X 2 , kurio išvestinė yra 2 x. Funkcijos atkūrimas iš jos išvestinės arba, kas yra tas pats, neapibrėžto integralo radimas per duotąjį integrandą, vadinamas integracija šią funkciją. Integracija yra atvirkštinis diferenciacijos veiksmas.Norint patikrinti, ar integracija teisinga, pakanka diferencijuoti rezultatą ir gauti integrandą.
Pagrindinės neapibrėžtinio integralo savybės
- Neapibrėžto integralo išvestinė lygi integrandui:
- Integralo pastovųjį koeficientą galima išimti iš integralo ženklo:
- Funkcijų sumos (skirtumo) integralas yra lygus šių funkcijų integralų sumai (skirtumui):
- Jeigu k,b- nuolatinis ir k ≠ 0 , tada
(∫ f(x) dx )" = f(x) .
∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .
∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .
∫ f( k x + b) dx = 1 / k F( k x + b ) + C .
Antidarinių ir neapibrėžtųjų integralų lentelė
| f(x)
| F(x) + C
| ∫
f(x) dx = F(x) + C
|
|
| aš. | $$0$$ | $$C$$ | $$\int 0dx=C$$ |
| II. | $$k$$ | $$kx+C$$ | $$\int kdx=kx+C$$ |
| III. | $$x^n~(n\neq-1)$$ | $$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ | $$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ |
| IV. | $$\frac(1)(x)$$ | $$\ln |x|+C$$ | $$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$ |
| v. | $$\sin x$$ | $$-\cos x+C$$ | $$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$ |
| VI. | $$\cos x$$ | $$\sin x+C$$ | $$\int\cos x~dx=\sin x+C$$ |
| VII. | $$\frac(1)(\cos^2x)$$ | $$\textrm(tg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$ |
| VIII. | $$\frac(1)(\sin^2x)$$ | $$-\textrm(ctg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$ |
| IX. | $$e^x$$ | $$e^x+C$$ | $$\int e^xdx=e^x+C$$ |
| x. | $$a^x$$ | $$\frac(a^x)(\ln a)+C$$ | $$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$ |
| XI. | $$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$ | $$\arcsin x +C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$ |
| XII. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$ | $$\arcsin \frac(x)(a)+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$ |
| XIII. | $$\frac(1)(1+x^2)$$ | $$\textrm(arctg) ~x+C$$ | $$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$ |
| XIV. | $$\frac(1)(a^2+x^2)$$ | $$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ | $$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ |
| XV. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$ | $$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ |
| XVI. | $$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$ | $$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$ | $$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$ |
| XVII. | $$\textrm(tg) ~x$$ | $$-\ln |\cos x|+C$$ | $$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$ |
| XVIII. | $$\textrm(ctg) ~x$$ | $$\ln |\sin x|+C$$ | $$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$ |
| XIX. | $$ \frac(1)(\sin x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ |
| XX. | $$ \frac(1)(\cos x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$ |
| Šioje lentelėje pateikti primityvieji ir neapibrėžtieji integralai paprastai vadinami lentelių primityvai
ir lentelės integralai
. |
|||
Apibrėžtasis integralas
Įsileiskite tarp [a; b] suteikta nuolatinė funkcija y = f(x) , tada apibrėžtasis integralas nuo a iki b funkcijas f(x) vadinamas primityvumo prieaugiu F(x) ši funkcija, tai yra
$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$
Skaičiai a ir b vadinami atitinkamai žemesnė ir viršuje integracijos ribos.
Pagrindinės apibrėžtojo integralo skaičiavimo taisyklės
1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);
2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);
3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) kur k - pastovus;
4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x) dx \);
5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);
6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), kur f(x) yra lygi funkcija;
7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), kur f(x) yra nelyginė funkcija.
komentuoti . Visais atvejais daroma prielaida, kad integrandai yra integruojami skaitiniais intervalais, kurių ribos yra integravimo ribos.
Geometrinė ir fizinė apibrėžtojo integralo reikšmė
| geometrine prasme apibrėžtasis integralas | fizinę reikšmę
apibrėžtasis integralas |
 |  |
Kvadratas S kreivinė trapecija (skaičius, apribotas nuolatinio teigiamo intervalo grafiku [a; b] funkcijas f(x) , ašis Jautis ir tiesioginis x=a , x=b ) apskaičiuojamas pagal formulę $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$ | Kelias s, kurį materialusis taškas įveikė, judėdamas tiesia linija greičiu, kuris kinta pagal dėsnį v(t)
, laiko intervalui a ;
b], tada figūros plotas, kurį riboja šių funkcijų grafikai ir tiesės x = a
, x = b
, apskaičiuojamas pagal formulę $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$ |
 | Pavyzdžiui. Apskaičiuokite figūros plotą apribotas linijomis y=x 2 ir y= 2-x . Schematiškai pavaizduosime šių funkcijų grafikus ir paryškinsime figūrą, kurios sritį reikia rasti kita spalva. Norėdami rasti integracijos ribas, išsprendžiame lygtį: x 2 = 2-x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$ |
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄ |
|
Revoliucijos kūno tūris
 | Jei kūnas gaunamas sukimosi apie ašį rezultatas Jautis kreivinė trapecija, apribota tolydžio ir neneigiamo intervalo grafiku [a; b] funkcijas y = f(x) ir tiesioginis x = a ir x = b , tada jis vadinamas revoliucijos kūnas . Apsisukimo kūno tūris apskaičiuojamas pagal formulę $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Jei apsisukimo kūnas gaunamas sukant figūrą, kurią virš ir apriboja funkcijų grafikai y = f(x) ir y = g(x) , atitinkamai, tada $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$ |
 | Pavyzdžiui. Apskaičiuokite spindulį turinčio kūgio tūrį r
ir aukštis h
. Įstatykime kūgį į stačiakampę koordinačių sistemą taip, kad jo ašis sutaptų su ašimi Jautis
, o pagrindo centras buvo koordinačių pradžioje. Generatoriaus sukimasis AB apibrėžia kūgį. Kadangi lygtis AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$ |
| o mūsų turimam kūgio tūriui $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄ |
|
Matėme, kad išvestis turi daugybę pritaikymų: išvestinė yra judėjimo greitis (arba, apskritai, bet kurio proceso greitis); išvestinė yra funkcijos grafiko liestinės nuolydis; naudojant išvestinę, galite ištirti monotoniškumo ir ekstremalumo funkciją; Išvestinė padeda išspręsti optimizavimo problemas.
Bet į Tikras gyvenimas Taip pat turi būti išspręstos atvirkštinės problemos: pavyzdžiui, kartu su greičio nustatymo pagal žinomą judėjimo dėsnį problema yra ir judėjimo dėsnio atkūrimo iš žinomo greičio problema. Panagrinėkime vieną iš šių problemų.
1 pavyzdys Materialus taškas juda tiesia linija, jo judėjimo greitis momentu t apskaičiuojamas pagal formulę u = tg. Raskite judėjimo dėsnį.
Sprendimas. Tegu s = s(t) yra norimas judėjimo dėsnis. Yra žinoma, kad s"(t) = u"(t). Taigi, norėdami išspręsti problemą, turime pasirinkti funkcija s = s(t), kurios išvestinė lygi tg. Tai lengva atspėti
Iš karto pažymime, kad pavyzdys išspręstas teisingai, bet nepilnai. Gavome, kad Tiesą sakant, problema turi be galo daug sprendimų: bet kuri formos funkcija 
savavališka konstanta, gali tarnauti kaip judėjimo dėsnis, nes
Kad užduotis būtų konkretesnė, turėjome pataisyti pradinę situaciją: nurodyti judančio taško koordinatę tam tikru laiko momentu, pavyzdžiui, t=0. Jei, tarkime, s (0) \u003d s 0, tada iš lygybės gauname s (0) \u003d 0 + C, ty S 0 \u003d C. Dabar judėjimo dėsnis yra vienareikšmiškai apibrėžtas:
Matematikoje priskiriami abipusiai veiksmai skirtingi vardai, sugalvokite specialų žymėjimą: pavyzdžiui, kvadratas (x 2) ir ištraukimas kvadratinė šaknis sinusas (sinx) ir arcsine(arcsin x) ir kt. Išvestinės suradimo tam tikros funkcijos atžvilgiu procesas vadinamas diferenciacija, o atvirkštine operacija, t.y. funkcijos radimo pagal duotąją išvestinę procesas – integruojant.
Pats terminas „darinys“ gali būti pateisinamas „pasauliniu būdu“: funkcija y - f (x) „gamina pasauliui“ naują funkciją y „= f“ (x) Funkcija y \u003d f (x) elgiasi kaip "tėvas" , bet matematikai, žinoma, nevadina to "tėvu" ar "gamintojas", jie sako, kad funkcijos y "=f" (x) atžvilgiu tai yra pagrindinis vaizdas. , arba, trumpai tariant, antiderivatas.
1 apibrėžimas. Funkcija y \u003d F (x) vadinama funkcijos y \u003d f (x) antidariniu tam tikrame intervale X, jei visiems x iš X lygybė F "(x) \u003d f (x) yra teisinga .
Praktikoje intervalas X paprastai nenurodomas, bet yra numanomas (kaip gamtos zona funkcijų apibrėžimai).
Štai keletas pavyzdžių:
1) Funkcija y \u003d x 2 yra funkcijos y \u003d 2x antidarinė, nes visiems x lygybė (x 2) "\u003d 2x yra teisinga.
2) funkcija y - x 3 yra funkcijos y-3x 2 antidarinė, nes visiems x lygybė (x 3)" \u003d 3x 2 yra teisinga.
3) Funkcija y-sinx yra funkcijos y=cosx priešišvestinė, nes visiems x lygybė (sinx) "=cosx yra teisinga.
4) Funkcija yra intervalo funkcijos antiderivinė, nes visiems x > 0 lygybė yra teisinga
Apskritai, žinant darinių radimo formules, nesunku sudaryti antidarinių radimo formulių lentelę.
Tikimės, kad supratote, kaip sudaryta ši lentelė: antrame stulpelyje įrašytos funkcijos išvestinė yra lygi funkcijai, įrašytai atitinkamoje pirmojo stulpelio eilutėje (pažiūrėkite, nepatingėkite, tai labai naudingas). Pavyzdžiui, funkcijai y \u003d x 5 antidarinė, kaip jūs nustatote, yra funkcija (žr. ketvirtą lentelės eilutę).
Pastabos: 1. Toliau įrodome teoremą, kad jei y = F(x) yra funkcijos y = f(x) antidarinė, tai funkcija y = f(x) turi be galo daug antidarinių ir jie visi turi formą y = F (x ) + C. Todėl teisingiau būtų pridėti terminą C visur antrame lentelės stulpelyje, kur C yra savavališkas realusis skaičius.
2. Trumpumo dėlei kartais vietoj frazės „funkcija y = F(x) yra funkcijos y = f(x) antidarinė“, sakoma, kad F(x) yra f(x) antidarinė. “.
2. Antidarinių radimo taisyklės
Ieškant antidarinių, kaip ir ieškant išvestinių, naudojamos ne tik formulės (jos nurodytos lentelėje 196 p.), bet ir kai kurios taisyklės. Jos yra tiesiogiai susijusios su atitinkamomis išvestinių finansinių priemonių skaičiavimo taisyklėmis.
Žinome, kad sumos išvestinė yra lygi išvestinių sumai. Ši taisyklė sukuria atitinkamą antidarinių radimo taisyklę.
1 taisyklė Sumos antidarinė lygi antidarinių sumai.
Atkreipiame jūsų dėmesį į tam tikrą šios formuluotės „lengvumą“. Tiesą sakant, reikėtų suformuluoti teoremą: jei funkcijos y = f(x) ir y=g(x) turi antidarinius intervale X, atitinkamai y-F(x) ir y-G(x), tada suma funkcijų y = f(x) + g(x) turi antidarinį intervale X, o ši antidarinė yra funkcija y = F(x) + G(x). Tačiau dažniausiai formuluojant taisykles (o ne teoremas) tik paliekama raktinius žodžius– taigi taisyklę patogiau taikyti praktiškai
2 pavyzdys Raskite funkcijos y = 2x + cos x antidarinį.
Sprendimas. 2x antidarinė yra x "; cosx antidarinė yra sin x. Taigi funkcijos y \u003d 2x + cos x antidarinė bus funkcija y \u003d x 2 + sin x (ir apskritai bet kuri funkcijos funkcija forma Y \u003d x 1 + sinx + C) .
Žinome, kad pastovųjį veiksnį galima išimti iš išvestinės ženklo. Ši taisyklė sukuria atitinkamą antidarinių radimo taisyklę.
2 taisyklė Iš antidarinio ženklo galima išimti pastovų faktorių.
3 pavyzdys
Sprendimas. a) Sin x antidarinys yra -cos x; vadinasi, funkcijos y \u003d 5 sin x antidarinė bus funkcija y \u003d -5 cos x.
b) cos x antidarinys yra sin x; vadinasi, antiderivatinei funkcijai bus funkcija
c) x 3 antidarinys yra x antidarinys yra funkcijos y \u003d 1 yra funkcija y \u003d x. Naudodami pirmąją ir antrąją antidarinių radimo taisykles, gauname, kad funkcijos y \u003d 12x 3 + 8x-1 antidarinys yra funkcija
komentuoti. Kaip žinote, sandaugos išvestinė nėra lygi išvestinių sandaugai (produkto diferencijavimo taisyklė sudėtingesnė), o dalinio išvestinė nelygi išvestinių sandaugai. Todėl nėra taisyklių, kaip rasti produkto antidarinį arba dviejų funkcijų koeficiento antidarinį. Būk atsargus!
Gauname dar vieną taisyklę, kaip rasti antidarinius. Žinome, kad funkcijos y \u003d f (kx + m) išvestinė apskaičiuojama pagal formulę
Ši taisyklė sukuria atitinkamą antidarinių radimo taisyklę.
3 taisyklė Jei y \u003d F (x) yra funkcijos y \u003d f (x) antidarinė, tada funkcijos y \u003d f (kx + m) antidarinė yra funkcija
Iš tikrųjų,
Tai reiškia, kad tai yra funkcijos y \u003d f (kx + m) antidarinys.
Trečios taisyklės prasmė yra tokia. Jei žinote, kad funkcijos y \u003d f (x) antidarinė yra funkcija y \u003d F (x), ir jums reikia rasti funkcijos y \u003d f (kx + m) antidarinį, tada atlikite taip. taip: paimkite tą pačią funkciją F, bet vietoj argumento x pakeiskite išraišką xx+m; be to, nepamirškite prieš funkcijos ženklą parašyti „pataisos koeficientą“.
4 pavyzdys Raskite pateiktų funkcijų antidarinius:
Sprendimas, a) Sin x antidarinys yra -cos x; tai reiškia, kad funkcijai y \u003d sin2x antidarinė bus funkcija
b) cos x antidarinys yra sin x; vadinasi, antiderivatinei funkcijai bus funkcija
c) Todėl x 7 antidarinė yra funkcija y \u003d (4-5x) 7, antidarinė bus funkcija
3. Neapibrėžtas integralas
Aukščiau jau pažymėjome, kad uždavinys rasti tam tikros funkcijos y = f(x) antidarinį turi daugiau nei vieną sprendimą. Pakalbėkime apie šią problemą išsamiau.
Įrodymas. 1. Tegul y \u003d F (x) yra funkcijos y \u003d f (x) antidarinė intervale X. Tai reiškia, kad visiems x iš X lygybė x "(x) \u003d f (x) yra tiesa. Raskite bet kurios funkcijos, kurios formos y \u003d F (x) + C, išvestinę:
(F (x) + C) \u003d F "(x) + C \u003d f (x) + 0 \u003d f (x).
Taigi, (F(x)+C) = f(x). Tai reiškia, kad y \u003d F (x) + C yra funkcijos y \u003d f (x) antidarinys.
Taigi, mes įrodėme, kad jei funkcija y \u003d f (x) turi antidarinį y \u003d F (x), tai funkcija (f \u003d f (x) turi be galo daug antidarinių, pavyzdžiui, bet kurią išvestinę funkciją. forma y \u003d F (x) +C yra antidarinė.
2. Dabar įrodykime, kad visas antidarinių rinkinys yra išnaudotas nurodyto tipo funkcijų.
Tegul y=F 1 (x) ir y=F(x) yra dvi funkcijos Y = f(x) antidarinės intervale X. Tai reiškia, kad visiems x iš intervalo X galioja šie ryšiai: F^( x) = f (X); F "(x) \u003d f (x).
Apsvarstykite funkciją y \u003d F 1 (x) -.F (x) ir raskite jos išvestinę: (F, (x) -F (x)) "\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (x) – f(x) = 0.
Yra žinoma, kad jei funkcijos išvestinė intervale X yra identiškai lygi nuliui, tai funkcija yra pastovi intervale X (žr. 3 teoremą § 35). Vadinasi, F 1 (x) -F (x) \u003d C, t.y. Fx) \u003d F (x) + C.
Teorema įrodyta.
5 pavyzdys Nustatomas greičio kitimo nuo laiko dėsnis v = -5sin2t. Raskite judėjimo dėsnį s = s(t), jei žinoma, kad momentu t=0 taško koordinatė buvo lygi skaičiui 1,5 (t. y. s(t) = 1,5).
Sprendimas. Kadangi greitis yra koordinatės išvestinė kaip laiko funkcija, pirmiausia reikia rasti greičio antidarinį, t.y. funkcijos v = -5sin2t antidarinys. Vienas iš tokių antidarinių yra funkcija, o visų antidarinių rinkinys turi tokią formą:
Norėdami rasti konkrečią konstantos C reikšmę, naudojame pradines sąlygas, pagal kurias s(0) = 1,5. Formulėje (1) pakeitę reikšmes t=0, S = 1,5, gauname:
Rastą reikšmę C pakeitę į formulę (1), gauname mus dominantį judėjimo dėsnį:
2 apibrėžimas. Jei funkcija y = f(x) intervale X turi antidarinį y = F(x), tai visų antidarinių aibė, t.y. y \u003d F (x) + C formos funkcijų rinkinys vadinamas neapibrėžtu funkcijos y \u003d f (x) integralu ir žymimas:
(jie skaito: „neapibrėžtas integralas ef iš x de x“).
Kitame skyriuje išsiaiškinsime, kokia yra paslėpta šio žymėjimo prasmė.
Remdamiesi šioje pastraipoje pateikta antidarinių lentele, sudarysime pagrindinių neapibrėžtų integralų lentelę:
Remdamiesi aukščiau pateiktomis trimis taisyklėmis, kaip rasti antidarinius, galime suformuluoti atitinkamas integravimo taisykles.
1 taisyklė Funkcijų sumos integralas yra lygus šių funkcijų integralų sumai:
2 taisyklė Iš integralo ženklo galima išimti pastovų koeficientą:
3 taisyklė Jeigu
6 pavyzdys Raskite neapibrėžtus integralus:
Sprendimas, a) Naudodami pirmą ir antrą integravimo taisykles gauname:
Dabar naudojame 3 ir 4 integravimo formules:
Dėl to gauname:
b) Naudodami trečiąją integravimo taisyklę ir 8 formulę, gauname:
c) Tiesioginiam duotajam integralui nustatyti neturime nei atitinkamos formulės, nei atitinkamos taisyklės. Tokiais atvejais kartais padeda išankstinės identiškos išraiškos, esančios po integralo ženklu, transformacijos.
Naudokimės trigonometrinė formulė pažeminimas:
Tada iš eilės randame:
A.G. Mordkovičiaus algebra 10 klasė
Kalendorinis teminis planavimas matematikoje, vaizdo įrašą matematika internete , Matematika mokykloje
antidarinis
Apibrėžimas antiderivatinė funkcija
- Funkcija y=F(x) vadinamas funkcijos antidariniu y=f(x) tam tikru intervalu X, jei už visus X ∈X lygybė galioja: F′(x) = f(x)
Jį galima skaityti dviem būdais:
- f funkcijos išvestinė F
- F antidarinys funkcijai užtikrinti f
antidarinių savybė
- Jeigu F(x)- funkcijos antidarinys f(x) duotame intervale, tada funkcija f(x) turi be galo daug antidarinių ir visos šios antidarinės gali būti parašytos kaip F(x) + C, kur C yra savavališka konstanta.
Geometrinė interpretacija
- Visų tam tikros funkcijos antidarinių grafikai f(x) gaunami iš bet kurios vienos antidarinės grafiko lygiagrečiai perkeliant išilgai O ašies adresu.
Antidarinių skaičiavimo taisyklės
- Sumos antiderivatinė lygi antidarinių sumai. Jeigu F(x)- primityvus už f(x), o G(x) yra antidarinys g(x), tada F(x) + G(x)- primityvus už f(x) + g(x).
- Pastovų koeficientą galima išimti iš išvestinės ženklo. Jeigu F(x)- primityvus už f(x), ir k tada yra pastovus kF(x)- primityvus už kf(x).
- Jeigu F(x)- primityvus už f(x), ir k,b- nuolatinis ir k ≠ 0, tada 1/k F(kx + b)- primityvus už f(kx + b).
Prisiminti!
Bet kokia funkcija F (x) \u003d x 2 + C , kur C yra savavališka konstanta, ir tik tokia funkcija yra funkcijos antidarinys f(x) = 2x.
- Pavyzdžiui:
F "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x);
f(x) = 2x, nes F "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x);
f(x) = 2x, nes F "(x) \u003d (x 2 -3)" \u003d 2x \u003d f (x);
Ryšys tarp funkcijos grafikų ir jos antidarinės:
- Jei funkcijos grafikas f(x)>0 F(x) per šį intervalą didėja.
- Jei funkcijos grafikas f(x)<0 intervale, tada jo antidarinės grafikas F(x) per šį intervalą mažėja.
- Jeigu f(x)=0, tada jo antidarinės grafikas F(x)šiuo metu keičiasi nuo didėjančio iki mažėjančio (arba atvirkščiai).
Antidariniui žymėti naudojamas neapibrėžtinio integralo ženklas, tai yra integralas, nenurodant integravimo ribų.
Neapibrėžtas integralas
Apibrėžimas:
- Funkcijos f(x) neapibrėžtasis integralas yra išraiška F(x) + C, tai yra visų duotosios funkcijos f(x) antidarinių aibė. Neapibrėžtas integralas žymimas taip: \int f(x) dx = F(x) + C
- f(x) vadinamas integrandu;
- f(x) dx- vadinamas integrandu;
- x- vadinamas integracijos kintamuoju;
- F(x)- vienas iš funkcijos f(x) antidarinių;
- NUO yra savavališka konstanta.
Neapibrėžtinio integralo savybės
- Neapibrėžtinio integralo išvestinė lygi integrandui: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
- Integralo pastovųjį koeficientą galima išimti iš integralo ženklo: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
- Funkcijų sumos (skirtumo) integralas yra lygus šių funkcijų integralų sumai (skirtumui): \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
- Jeigu k,b yra konstantos, o k ≠ 0, tada \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.
Antidarinių ir neapibrėžtųjų integralų lentelė
| Funkcija f(x) | antidarinis F(x) + C | Neapibrėžti integralai \int f(x) dx = F(x) + C |
| 0 | C | \int 0 dx = C |
| f(x) = k | F(x) = kx + C | \int kdx = kx + C |
| f(x) = x^m, m\not =-1 | F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C | \int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C |
| f(x) = \frac(1)(x) | F(x) = l n \lvert x \rvert + C | \int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C |
| f(x) = e^x | F(x) = e^x + C | \int e(^x )dx = e^x + C |
| f(x) = a^x | F(x) = \frac(a^x)(l na) + C | \int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C |
| f(x) = \sin x | F(x) = -\cos x + C | \int \sin x dx = -\cos x + C |
| f(x) = \cos x | F(x)=\sin x + C | \int \cos x dx = \sin x + C |
| f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x) | F(x) = -\ctg x + C | \int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C |
| f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x) | F(x) = \tg x + C | \int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C |
| f(x) = \sqrt(x) | F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C | |
| f(x) =\frac(1)(\sqrt(x)) | F(x) =2\sqrt(x) + C | |
| f(x) =\frac(1)(\sqrt(1-x^2)) | F(x)=\arcsin x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C |
| f(x) =\frac(1)(\sqrt(1+x^2)) | F(x)=\arctg x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C |
| f(x)=\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2)) | F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C |
| f(x)=\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2)) | F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C |
| f(x) =\frac(1)(1+x^2) | F(x)=\arctg + C | \int \frac(dx)(1+x^2)=\arctg + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0) | F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C | \int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C |
| f(x)=\tg x | F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C | \int \tg x dx =-l n \lvert \cos x \rvert + C |
| f(x)=\ctg x | F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C | \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\sinx) | F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C | \int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\cos x) | F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C | \int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C |
Niutono – Leibnizo formulė
Leisti f(x)šią funkciją, F jo savavališkas primityvus.
\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) – F(a)
kur F(x)- primityvus už f(x)
Tai yra, funkcijos integralas f(x) ant intervalo yra lygus antidarinių skirtumui taškuose b ir a.
Kreivinės trapecijos plotas
Kreivinė trapecija vadinama figūra, apribota atkarpos neneigiamos ir tolydžios funkcijos grafiku f, ašis Ox ir tiesios linijos x = a ir x = b.
Kreivinės trapecijos plotas randamas naudojant Niutono-Leibnizo formulę:
S= \int_(a)^(b) f(x) dx
Apsvarstykite taško judėjimą tiesia linija. Leisk laikui t nuo judesio pradžios taškas praėjo kelią s(t). Tada momentinis greitis v(t) lygus funkcijos išvestinei s(t), tai yra v(t) = s"(t).
Praktikoje yra atvirkštinė problema: esant tam tikram taško judėjimo greičiui v(t) rasti jos kelią s(t), tai yra rasti tokią funkciją s(t), kurio išvestinė yra v(t). Funkcija s(t), toks kad s"(t) = v(t), vadinamas funkcijos antidariniu v(t).
Pavyzdžiui, jei v(t) = at, kur a yra duotas skaičius, tada funkcija
s(t) = (prie 2) / 2v(t), nes
s "(t) \u003d ((at 2) / 2) " \u003d at \u003d v (t).
Funkcija F(x) vadinama antiderivatine funkcija f(x) tam tikru intervalu, jei visiems X nuo šio intervalo F"(x) = f(x).
Pavyzdžiui, funkcija F(x) = sin x yra funkcijos antidarinys f(x) = cos x, nes (sin x)" = cos x; funkcija F (x) \u003d x 4/4 yra funkcijos antidarinys f(x) = x 3, nes (x 4 / 4)" \u003d x 3.
Panagrinėkime problemą.
Užduotis.
Įrodykite, kad funkcijos x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 - 4 yra tos pačios funkcijos f (x) \u003d x 2 antidarinė.
Sprendimas.
1) Pažymėkite F 1 (x) \u003d x 3/3, tada F "1 (x) \u003d 3 ∙ (x 2 / 3) \u003d x 2 \u003d f (x).
2) F 2 (x) \u003d x 3 / 3 + 1, F "2 (x) \u003d (x 3 / 3 + 1)" \u003d (x 3 / 3) "+ (1)" \u003d x 2 \u003d f (x).
3) F 3 (x) \u003d x 3/3 - 4, F "3 (x) \u003d (x 3 / 3 - 4)" \u003d x 2 \u003d f (x).
Apskritai bet kuri funkcija x 3 / 3 + C, kur C yra konstanta, yra funkcijos x 2 antidarinė. Tai išplaukia iš to, kad konstantos išvestinė lygi nuliui. Šis pavyzdys rodo, kad tam tikrai funkcijai jos antidarinė nėra vienareikšmiškai apibrėžta.
Tegul F 1 (x) ir F 2 (x) yra du tos pačios funkcijos f(x) antidariniai.
Tada F 1 "(x) = f(x) ir F" 2 (x) = f(x).
Jų skirtumo g (x) \u003d F 1 (x) - F 2 (x) išvestinė yra lygi nuliui, nes g "(x) \u003d F" 1 (x) - F "2 (x) \u003d f (x) – f (x) = 0.
Jei g "(x) \u003d 0 tam tikrame intervale, tada funkcijos y \u003d g (x) grafiko liestinė kiekviename šio intervalo taške yra lygiagreti Ox ašiai. Todėl funkcijos grafikas y \u003d g (x) yra tiesė, lygiagreti Ox ašiai, t. y. g (x) \u003d C, kur C yra tam tikra konstanta Iš lygybių g (x) \u003d C, g (x) \u003d F 1 (x) - F 2 (x) iš to išplaukia, kad F 1 (x) \u003d F 2 (x) + C.
Taigi, jei funkcija F(x) yra f(x) antidarinė tam tikrame intervale, tada visos f(x) antidarinės užrašomos kaip F(x) + С, kur С yra savavališka konstanta.
Apsvarstykite visų duotosios funkcijos f(x) antidarinių grafikus. Jei F(x) yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių, tai bet kuri šios funkcijos antidarinė gaunama prie F(x) pridėjus kokią nors konstantą: F(x) + C. Funkcijų y = grafikai F(x) + C gaunami iš grafiko y = F(x) poslinkio išilgai Oy ašies. Pasirinkus C, galima užtikrinti, kad antidarinės grafikas eina per tam tikrą tašką.
Atkreipkime dėmesį į primityvų paieškos taisykles.
Prisiminkite, kad vadinama duotosios funkcijos išvestinės radimo operacija diferenciacija. Vadinamas atvirkštinis tam tikros funkcijos antidarinės radimo veiksmas integracija(iš lotyniško žodžio "atkurti").
Antidarinių lentelė kai kurioms funkcijoms galima sudaryti naudojant išvestinių lentelę. Pavyzdžiui, žinant tai (cos x)" = -sin x, mes gauname (-cos x)" = sin x, iš kur išplaukia, kad visos antidarinės funkcijos nuodėmė x yra parašyti formoje -cos x + C, kur NUO- pastovus.
Panagrinėkime kai kurias antidarinių vertes.
1) Funkcija: x p, p ≠ -1. Antidarinis: (x p + 1) / (p + 1) + C.
2) Funkcija: 1/x, x > 0. Antidarinis: lnx + C.
3) Funkcija: x p, p ≠ -1. Antidarinis: (x p + 1) / (p + 1) + C.
4) Funkcija: e x. Antidarinis: e x + C.
5) Funkcija: nuodėmė x. Antidarinis: -cos x + C.
6) Funkcija: (kx + b) p , p ≠ -1, k ≠ 0. Antidarinis: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.
7) Funkcija: 1/(kx + b), k ≠ 0. Antidarinis: (1/k) ln (kx + b) + C.
8) Funkcija: e kx + b , k ≠ 0. Antidarinis: (1/k) e kx + b + C.
9) Funkcija: sin (kx + b), k ≠ 0. Antidarinis: (-1/k) cos (kx + b).
10)
Funkcija: cos (kx + b), k ≠ 0. Antidarinis: (1/k) sin (kx + b). 
Integracijos taisyklės galima gauti naudojant diferenciacijos taisyklės. Pažvelkime į kai kurias taisykles.
Leisti F(x) ir G(x) yra atitinkamai funkcijų antidariniai f(x) ir g(x) tam tikru intervalu. Tada:
1) funkcija F(x) ± G(x) yra funkcijos antidarinys f(x) ± g(x);
2) funkcija aF(x) yra funkcijos antidarinys af(x).
svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.
