Mažiausias bendras 8 ir 10 kartotinis. Mažiausias bendras kartotinis (LCM): apibrėžimas, pavyzdžiai ir savybės

Apibrėžimas. Vadinamas didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio skaičiai a ir b dalijasi be liekanos didžiausias bendras daliklis (gcd)šiuos skaičius.

Raskime didžiausią bendras daliklis numeriai 24 ir 35.
24 dalikliai bus skaičiai 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, o dalikliai iš 35 bus skaičiai 1, 5, 7, 35.
Matome, kad skaičiai 24 ir 35 turi tik vieną bendrą daliklį – skaičių 1. Tokie skaičiai vadinami koprime.

Apibrėžimas. Natūralūs skaičiai vadinami koprime jei jų didžiausias bendras daliklis (gcd) yra 1.

Didžiausias bendras daliklis (GCD) galima rasti neišrašant visų pateiktų skaičių daliklių.

Apskaičiavę skaičius 48 ir 36, gauname:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Iš veiksnių, įtrauktų į pirmojo iš šių skaičių išplėtimą, išbraukiame tuos, kurie neįtraukti į antrojo skaičiaus išplėtimą (t. y. du dvejetus).
Lieka koeficientai 2 * 2 * 3. Jų sandauga yra 12. Šis skaičius yra didžiausias skaičių 48 ir 36 bendras daliklis. Taip pat randamas didžiausias trijų ar daugiau skaičių bendras daliklis.

Rasti didžiausias bendras daliklis

2) iš veiksnių, įtrauktų į vieno iš šių skaičių išplėtimą, išbraukti tuos, kurie neįtraukti į kitų skaičių išplėtimą;
3) rasti likusių veiksnių sandaugą.

Jei visi pateikti skaičiai dalijasi iš vieno iš jų, tai šis skaičius yra didžiausias bendras daliklis duotus skaičius.
Pavyzdžiui, didžiausias bendras 15, 45, 75 ir 180 daliklis yra 15, nes jis padalija visus kitus skaičius: 45, 75 ir 180.

Mažiausias kartotinis (LCM)

Apibrėžimas. Mažiausias kartotinis (LCM) natūraliuosius skaičius a ir b yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris yra a ir b kartotinis. Mažiausią skaičių 75 ir 60 kartotinį (LCM) galima rasti neišrašant šių skaičių kartotinių iš eilės. Norėdami tai padaryti, išskaidome 75 ir 60 į paprastus veiksnius: 75 \u003d 3 * 5 * 5 ir 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Išrašome veiksnius, įtrauktus į pirmojo iš šių skaičių išplėtimą, ir pridedame prie jų trūkstamus koeficientus 2 ir 2 iš antrojo skaičiaus išplėtimo (tai yra, sujungiame veiksnius).
Gauname penkis koeficientus 2 * 2 * 3 * 5 * 5, kurių sandauga yra 300. Šis skaičius yra mažiausias bendras skaičių 75 ir 60 kartotinis.

Taip pat suraskite mažiausią bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį.

Į rasti mažiausią bendrą kartotinį kelių natūraliųjų skaičių, jums reikia:
1) išskaidyti juos į pirminius veiksnius;
2) surašykite veiksnius, įtrauktus į vieno iš skaičių išplėtimą;
3) pridėti prie jų trūkstamus veiksnius iš likusių skaičių išplėtimų;
4) rasti gautų veiksnių sandaugą.

Atkreipkite dėmesį, kad jei vienas iš šių skaičių dalijasi iš visų kitų skaičių, tai šis skaičius yra mažiausias bendras šių skaičių kartotinis.
Pavyzdžiui, mažiausias bendras 12, 15, 20 ir 60 kartotinis būtų 60, nes jis dalijasi iš visų nurodytų skaičių.

Pitagoras (VI a. pr. Kr.) ir jo mokiniai nagrinėjo skaičių dalijimosi klausimą. Skaičius, lygus visų jo daliklių sumai (be paties skaičiaus), jie vadino tobulą skaičių. Pavyzdžiui, skaičiai 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) yra tobuli. Kiti tobuli skaičiai yra 496, 8128, 33 550 336. Pitagoriečiai žinojo tik pirmuosius tris tobuluosius skaičius. Ketvirtasis – 8128 – tapo žinomas I a. n. e. Penktasis – 33 550 336 – rastas XV a. 1983 metais jau buvo žinomi 27 tobuli skaičiai. Tačiau iki šiol mokslininkai nežino, ar yra nelyginių tobulųjų skaičių, ar yra didžiausias tobulasis skaičius.
Senovės matematikų susidomėjimas pirminiais skaičiais kyla dėl to, kad bet kuris skaičius yra pirminis arba gali būti pavaizduotas kaip pirminių skaičių sandauga, tai yra, pirminiai skaičiai yra tarsi plytos, iš kurių pastatyti likę natūralieji skaičiai.
Tikriausiai pastebėjote, kad pirminiai skaičiai natūraliųjų skaičių eilutėje atsiranda netolygiai – vienose eilučių dalyse jų daugiau, kitose – mažiau. Tačiau kuo toliau einame skaičių eilėmis, tuo pirminiai skaičiai tampa retesni. Kyla klausimas: ar egzistuoja paskutinis (didžiausias) pirminis skaičius? Senovės graikų matematikas Euklidas (III a. pr. Kr.) savo knygoje „Pradžia“, kuri du tūkstančius metų buvo pagrindinis matematikos vadovėlis, įrodė, kad pirminių skaičių yra be galo daug, tai yra, už kiekvieno pirminio skaičiaus slypi lyginis. didesnis pirminis skaičius.
Pirminiams skaičiams surasti tokį metodą sugalvojo kitas to paties laiko graikų matematikas Eratostenas. Jis surašė visus skaičius nuo 1 iki tam tikro skaičiaus, tada nubraukė vienetą, kuris nėra nei pirminis, nei sudėtinis skaičius, tada per vieną perbraukė visus skaičius po 2 (skaičius, kurie yra 2 kartotiniai, ty 4, 6, 8 ir kt.). Pirmasis likęs skaičius po 2 buvo 3. Tada po dviejų buvo perbraukti visi skaičiai po 3 (skaičiai, kurie yra 3 kartotiniai, t. y. 6, 9, 12 ir t. t.). pabaigoje liko neperbraukti tik pirminiai skaičiai.

Tačiau daugelis natūraliųjų skaičių dalijasi tolygiai iš kitų natūraliųjų skaičių.

Pavyzdžiui:

Skaičius 12 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12;

Skaičius 36 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12, iš 18, iš 36.

Skaičiai, iš kurių skaičius dalijasi (12 yra 1, 2, 3, 4, 6 ir 12), vadinami skaičių dalikliai. Natūralaus skaičiaus daliklis a yra natūralusis skaičius, kuris dalijasi duotas numeris a be pėdsakų. Vadinamas natūralusis skaičius, turintis daugiau nei du veiksnius sudėtinis .

Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 12 ir 36 turi bendrus daliklius. Tai yra skaičiai: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Didžiausias šių skaičių daliklis yra 12. Bendras šių dviejų skaičių daliklis a ir b yra skaičius, iš kurio abu duoti skaičiai dalijasi be liekanos a ir b.

bendras kartotinis keli skaičiai vadinami skaičiumi, kuris dalijasi iš kiekvieno iš šių skaičių. Pavyzdžiui, skaičiai 9, 18 ir 45 turi bendrą 180 kartotinį. Tačiau 90 ir 360 taip pat yra jų bendrieji kartotiniai. Tarp visų jbendrų kartotinių visada yra mažiausias, šiuo atveju jis yra 90. Šis skaičius vadinamas mažiausiaibendrasis kartotinis (LCM).

LCM visada yra natūralusis skaičius, kuris turi būti didesnis už didžiausią skaičių, kuriam jis yra apibrėžtas.

Mažiausias bendras kartotinis (LCM). Savybės.

Komutatyvumas:

Asociatyvumas:

Visų pirma, jei ir yra pirminiai skaičiai , tada:

Mažiausias bendrasis dviejų sveikųjų skaičių kartotinis m ir n yra visų kitų bendrųjų kartotinių daliklis m ir n. Be to, bendrųjų kartotinių rinkinys m,n sutampa su LCM() kartotinių rinkiniu m,n).

Asimptotika gali būti išreikšta kai kuriomis skaičių teorinėmis funkcijomis.

Taigi, Čebyševo funkcija. Taip pat:

Tai išplaukia iš Landau funkcijos apibrėžimo ir savybių g(n).

Kas išplaukia iš pirminių skaičių pasiskirstymo dėsnio.

Mažiausio bendro kartotinio (LCM) radimas.

NOC( a, b) galima apskaičiuoti keliais būdais:

1. Jei žinomas didžiausias bendras daliklis, galite naudoti jo ryšį su LCM:

2. Tebūnie žinomas abiejų skaičių kanoninis išskaidymas į pirminius veiksnius:

kur p 1 ,...,p k yra įvairūs pirminiai skaičiai ir d 1 ,...,d k ir e 1 ,...,ek yra neneigiami sveikieji skaičiai (jie gali būti lygūs nuliui, jei atitinkamo pirminio skaičiaus nėra skaidyme).

Tada LCM ( a,b) apskaičiuojamas pagal formulę:

Kitaip tariant, LCM išplėtimas apima visus pagrindinius veiksnius, kurie yra įtraukti į bent vieną iš plėtinių skaičių. a, b, ir imamas didžiausias iš dviejų šio koeficiento eksponentų.

Pavyzdys:

Kelių skaičių mažiausiojo bendro kartotinio apskaičiavimas gali būti sumažintas iki kelių nuoseklių dviejų skaičių LCM skaičiavimų:

Taisyklė. Norėdami rasti skaičių serijos LCM, jums reikia:

- išskaidyti skaičius į pirminius veiksnius;

- didžiausią išplėtimą perkelkite į norimo produkto veiksnius (didžiausio duotų skaičiaus veiksnių sandaugą), o tada pridėkite veiksnius iš kitų skaičių, kurie nėra pirmame skaičiuje arba yra jame, išplėtimo. mažesnis skaičius kartų;

- gauta pirminių koeficientų sandauga bus nurodytų skaičių LCM.

Bet kurie du ar daugiau natūraliųjų skaičių turi savo LCM. Jei skaičiai nėra vienas kito kartotiniai arba neturi tų pačių plėtimosi faktorių, tai jų LCM yra lygus šių skaičių sandaugai.

Skaičiaus 28 pirminiai koeficientai (2, 2, 7) buvo papildyti koeficientu 3 (skaičiumi 21), gauta sandauga (84) bus mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš 21 ir 28 .

Didžiausio skaičiaus 30 pirminiai koeficientai buvo papildyti skaičiaus 25 koeficientu 5, gauta sandauga 150 yra didesnė už didžiausią skaičių 30 ir dalijasi iš visų pateiktų skaičių be liekanos. Tai mažiausias įmanomas produktas (150, 250, 300...), kurio visi pateikti skaičiai yra kartotiniai.

Skaičiai 2,3,11,37 yra pirminiai, todėl jų LCM yra lygus duotųjų skaičių sandaugai.

taisyklė. Norėdami apskaičiuoti pirminių skaičių LCM, turite padauginti visus šiuos skaičius.

Kitas variantas:

Norėdami rasti mažiausią kelių skaičių bendrąjį kartotinį (LCM), jums reikia:

1) pavaizduokite kiekvieną skaičių kaip jo pirminių veiksnių sandaugą, pavyzdžiui:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) užrašykite visų pirminių veiksnių laipsnius:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) užrašykite visus kiekvieno iš šių skaičių pirminius daliklius (daugiklius);

4) pasirinkti didžiausią kiekvieno iš jų laipsnį, esantį visose šių skaičių plėtiniuose;

5) padauginkite šias galias.

Pavyzdys. Raskite skaičių LCM: 168, 180 ir 3024.

Sprendimas. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Išrašome didžiausius visų pirminių daliklių laipsnius ir padauginame:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Norėdami suprasti, kaip apskaičiuoti LCM, pirmiausia turėtumėte nustatyti termino „daugelis“ reikšmę.

A kartotinis yra natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš A be liekanos. Taigi 15, 20, 25 ir tt gali būti laikomi 5 kartotiniais.

Tam tikro skaičiaus daliklių skaičius gali būti ribotas, tačiau kartotinių yra begalinis skaičius.

Bendrasis natūraliųjų skaičių kartotinis yra skaičius, kuris dalijasi iš jų be liekanos.

Kaip rasti mažiausią bendrą skaičių kartotinį

Mažiausias skaičių kartotinis (LCM) (du, trys ar daugiau) yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris tolygiai dalijasi iš visų šių skaičių.

Norėdami rasti NOC, galite naudoti kelis metodus.

Mažiems skaičiams patogu į eilutę įrašyti visus šių skaičių kartotinius, kol tarp jų bus rastas bendras. Keletai įraše žymimi didžiąja K raide.

Pavyzdžiui, 4 kartotiniai gali būti parašyti taip:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Taigi, matote, kad mažiausias bendras skaičių 4 ir 6 kartotinis yra skaičius 24. Šis įrašas atliekamas taip:

LCM(4, 6) = 24

Jei skaičiai dideli, suraskite bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį, tada LCM apskaičiavimui geriau naudoti kitą būdą.

Norint atlikti užduotį, reikia išskaidyti siūlomus skaičius į pirminius veiksnius.

Pirmiausia turite užrašyti didžiausio iš eilutės skaičių išplėtimą, o po juo - likusius.

Išplečiant kiekvieną skaičių gali būti skirtingų veiksnių.

Pavyzdžiui, suskaičiuokime skaičius 50 ir 20 į pirminius koeficientus.

Išplečiant mažesnį skaičių, reikėtų pabrėžti veiksnius, kurių trūksta pirmojo didžiausio skaičiaus išplėtimui, ir tada juos pridėti prie jo. Pateiktame pavyzdyje trūksta deuce.

Dabar galime apskaičiuoti mažiausią bendrąjį 20 ir 50 kartotinį.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Taigi didesnio skaičiaus pirminių veiksnių ir antrojo skaičiaus veiksnių sandauga, neįtraukta į didesniojo skaičiaus skaidymą, bus mažiausias bendras kartotinis.

Norint rasti trijų ar daugiau skaičių LCM, visi jie turėtų būti išskaidyti į pirminius veiksnius, kaip ir ankstesniu atveju.

Pavyzdžiui, galite rasti mažiausią bendrąjį skaičių 16, 24, 36 kartotinį.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Taigi į didesnio skaičiaus faktorizaciją nebuvo įtrauktos tik du dvylikos iš šešiolikos išskaidymo (vienas yra dvidešimt keturių skaidyme).

Taigi, juos reikia pridėti prie didesnio skaičiaus skaidymo.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Yra ypatingi mažiausiojo bendro kartotinio nustatymo atvejai. Taigi, jei vieną iš skaičių be likučio galima padalyti iš kito, tai didesnis iš šių skaičių bus mažiausias bendras kartotinis.

Pavyzdžiui, dvylikos ir dvidešimt keturių NOC būtų dvidešimt keturi.

Jei reikia rasti mažiausią bendrą kartotinį kopirminių skaičių, kurie neturi tų pačių daliklių, tada jų LCM bus lygus jų sandaugai.

Pavyzdžiui, LCM(10, 11) = 110.

Mažiausias bendras dviejų skaičių kartotinis yra tiesiogiai susijęs su didžiausiu bendruoju tų skaičių dalikliu. Tai ryšys tarp GCD ir NOC apibrėžiamas tokia teorema.

Teorema.

Mažiausias bendras dviejų teigiamų sveikųjų skaičių a ir b kartotinis yra lygus a ir b sandaugai, padalytai iš didžiausio bendro a ir b daliklio, tai yra, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).

Įrodymas.

Leisti M yra tam tikras skaičių a ir b kartotinis. Tai yra, M dalijasi iš a, o pagal dalijimosi apibrėžimą yra koks nors sveikasis skaičius k, kad lygybė M=a·k yra teisinga. Bet M taip pat dalijasi iš b, tada a k dalijasi iš b.

Pažymėkite gcd(a, b) kaip d . Tada galime užrašyti lygybes a=a 1 ·d ir b=b 1 ·d, o a 1 =a:d ir b 1 =b:d bus pirminiai skaičiai. Todėl ankstesnėje pastraipoje gautą sąlygą, kad a k dalijasi iš b, galima performuluoti taip: a 1 d k dalijasi iš b 1 d , ir tai dėl dalumo savybių yra lygiavertė sąlygai, kad a 1 k dalijasi iš b vieneto.

Taip pat turime užrašyti dvi svarbias nagrinėjamos teoremos pasekmes.

Dviejų skaičių bendrieji kartotiniai yra tokie patys kaip jų mažiausio bendro kartotiniai.

Tai tiesa, nes bet kuris bendras M skaičių a ir b kartotinis apibrėžiamas lygybe M=LCM(a, b) t kai kuriai sveikojo skaičiaus reikšmei t .

Mažiausias koprime bendras kartotinis teigiami skaičiai a ir b yra lygūs jų sandaugai.

Šio fakto priežastis yra gana akivaizdi. Kadangi a ir b yra pirminiai, tada gcd(a, b)=1 , todėl LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Mažiausias bendras trijų ar daugiau skaičių kartotinis

Mažiausio trijų ar daugiau skaičių bendro kartotinio radimas gali būti sumažintas iki dviejų skaičių LCM iš eilės. Kaip tai daroma, parodyta sekančioje teoremoje: a 1 , a 2 , …, a k sutampa su bendraisiais skaičių m k-1 kartotiniais, o a k , todėl sutampa su m k kartotiniais. O kadangi mažiausias teigiamas skaičiaus m k kartotinis yra pats skaičius m k, tai skaičių a 1 , a 2 , …, a k mažiausias bendras kartotinis yra m k .

Bibliografija.

• Vilenkinas N.Ya. ir tt Matematika. 6 klasė: vadovėlis ugdymo įstaigoms.
• Vinogradovas I.M. Skaičių teorijos pagrindai.
• Mikhelovičius Sh.Kh. Skaičių teorija.
• Kulikovas L.Ya. ir kt.. Algebros ir skaičių teorijos uždavinių rinkinys: Vadovėlis fiz.-mat. pedagoginių institutų specialybės.

Tęskime diskusiją apie mažiausią bendrąjį kartotinį, kurį pradėjome skyriuje LCM – Mažiausias bendrasis kartotinis, Apibrėžimas, Pavyzdžiai. Šioje temoje apžvelgsime būdus, kaip rasti trijų ar daugiau skaičių LCM, analizuosime klausimą, kaip rasti neigiamo skaičiaus LCM.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mažiausio bendro kartotinio (LCM) apskaičiavimas per gcd

Mes jau nustatėme ryšį tarp mažiausio bendro kartotinio ir didžiausio bendro daliklio. Dabar sužinokime, kaip apibrėžti LCM per GCD. Pirmiausia išsiaiškinkime, kaip tai padaryti teigiamiems skaičiams.

1 apibrėžimas

Mažiausią bendrą kartotinį galite rasti per didžiausią bendrą daliklį naudodami formulę LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

1 pavyzdys

Būtina rasti skaičių 126 ir 70 LCM.

Sprendimas

Paimkime a = 126 , b = 70 . Pakeiskite reikšmes formulėje, kad apskaičiuotumėte mažiausią bendrą kartotinį per didžiausią bendrą daliklį LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Suranda skaičių 70 ir 126 GCD. Tam mums reikia Euklido algoritmo: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , taigi gcd (126 , 70) = 14 .

Apskaičiuokime LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Atsakymas: LCM (126, 70) = 630.

2 pavyzdys

Raskite skaičių 68 ir 34 nok.

Sprendimas

GCD šiuo atveju lengva rasti, nes 68 dalijasi iš 34. Apskaičiuokite mažiausią bendrą kartotinį naudodami formulę: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Atsakymas: LCM(68, 34) = 68.

Šiame pavyzdyje naudojome taisyklę, leidžiančią rasti mažiausią bendrą teigiamų sveikųjų skaičių a ir b kartotinį: jei pirmasis skaičius dalijasi iš antrojo, tada šių skaičių LCM bus lygus pirmajam skaičiui.

LCM radimas faktorinuojant skaičius į pirminius veiksnius

Dabar pažiūrėkime, kaip rasti LCM, kuris yra pagrįstas skaičių skaidymu į pirminius veiksnius.

2 apibrėžimas

Norėdami rasti mažiausią bendrąjį kartotinį, turime atlikti kelis paprastus veiksmus:

• sudarome visų pirminių skaičių, kuriems reikia rasti LCM, sandaugą;
• iš jų gautų produktų neįtraukiame visų pagrindinių veiksnių;
• sandauga, gauta pašalinus bendruosius pirminius veiksnius, bus lygi duotųjų skaičių LCM.

Šis mažiausiojo bendro kartotinio radimo būdas pagrįstas lygybe LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Jei pažvelgsite į formulę, paaiškės: skaičių a ir b sandauga yra lygi visų veiksnių, kurie dalyvauja šių dviejų skaičių plėtime, sandaugai. Šiuo atveju dviejų skaičių GCD yra lygus visų pirminių faktorių, vienu metu esančių šių dviejų skaičių faktoriuose, sandaugai.

3 pavyzdys

Turime du skaičius 75 ir 210 . Mes galime juos išskirti taip: 75 = 3 5 5 ir 210 = 2 3 5 7. Jei padarysite visų dviejų pradinių skaičių koeficientų sandaugą, gausite: 2 3 3 5 5 5 7.

Jei neįtrauksime faktorių, bendrų skaičiams 3 ir 5, gausime tokios formos sandaugą: 2 3 5 5 7 = 1050. Šis produktas bus mūsų LCM numeriams 75 ir 210.

4 pavyzdys

Raskite skaičių LCM 441 ir 700 , išskaidydami abu skaičius į pirminius veiksnius.

Sprendimas

Raskime visus pirminius skaičių, pateiktų sąlygoje, veiksnius:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Gauname dvi skaičių grandines: 441 = 3 3 7 7 ir 700 = 2 2 5 5 7 .

Visų veiksnių, dalyvavusių didinant šiuos skaičius, sandauga atrodys taip: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Raskime bendrus veiksnius. Šis skaičius yra 7. Mes išskiriame jį iš bendro produkto: 2 2 3 3 5 5 7 7. Pasirodo, NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Atsakymas: LCM (441, 700) = 44 100.

Pateiksime dar vieną metodo formuluotę, kaip rasti LCM, išskaidant skaičius į pirminius veiksnius.

3 apibrėžimas

Anksčiau iš bendro veiksnių, bendrų abiem skaičiams, skaičiaus neįtraukėme. Dabar darysime kitaip:

• Išskaidykime abu skaičius į pirminius veiksnius:
• prie pirmojo skaičiaus pirminių koeficientų sandaugos pridėkite trūkstamus antrojo skaičiaus koeficientus;
• gauname sandaugą, kuri bus norimas dviejų skaičių LCM.

5 pavyzdys

Grįžkime prie skaičių 75 ir 210 , kurių LCM jau ieškojome viename iš ankstesnių pavyzdžių. Suskirstykime juos į paprastus veiksnius: 75 = 3 5 5 ir 210 = 2 3 5 7. Į koeficientų sandaugą 3 , 5 ir 5 skaičius 75 pridėkite trūkstamus veiksnius 2 ir 7 skaičiai 210 . Mes gauname: 2 3 5 5 7 . Tai yra skaičių 75 ir 210 LCM.

6 pavyzdys

Būtina apskaičiuoti skaičių 84 ir 648 LCM.

Sprendimas

Išskaidykime skaičius iš sąlygos į pirminius veiksnius: 84 = 2 2 3 7 ir 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Prie koeficientų sandaugos pridėkite 2 , 2 , 3 ir 7 skaičiai 84 trūksta koeficientų 2 , 3 , 3 ir
3 numeriai 648 . Gauname prekę 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Tai mažiausias bendras 84 ir 648 kartotinis.

Atsakymas: LCM (84 648) = 4536.

Raskite trijų ar daugiau skaičių LCM

Nepriklausomai nuo to, su kiek skaičių turime reikalų, mūsų veiksmų algoritmas visada bus toks pat: nuosekliai rasime dviejų skaičių LCM. Šiuo atveju yra teorema.

1 teorema

Tarkime, kad turime sveikuosius skaičius a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k iš šių skaičių randama nuosekliai apskaičiuojant m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k).

Dabar pažiūrėkime, kaip teorema gali būti taikoma konkrečioms problemoms spręsti.

7 pavyzdys

Turite apskaičiuoti mažiausią bendrą kartotinį iš keturių skaičių 140 , 9 , 54 ir 250 .

Sprendimas

Įveskime žymėjimą: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Pradėkime nuo apskaičiavimo m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Skaičių 140 ir 9 GCD apskaičiuokime naudodami Euklido algoritmą: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Gauname: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Todėl m 2 = 1 260 .

Dabar apskaičiuokime pagal tą patį algoritmą m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Skaičiuodami gauname m 3 = 3 780.

Mums belieka apskaičiuoti m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Mes veikiame pagal tą patį algoritmą. Gauname m 4 \u003d 94 500.

Keturių skaičių LCM iš pavyzdinės sąlygos yra 94500 .

Atsakymas: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Kaip matote, skaičiavimai yra paprasti, bet gana sudėtingi. Norėdami sutaupyti laiko, galite eiti kitu keliu.

4 apibrėžimas

Siūlome tokį veiksmų algoritmą:

• išskaidyti visus skaičius į pirminius veiksnius;
• prie pirmojo skaičiaus koeficientų sandaugos pridėkite trūkstamus veiksnius iš antrojo skaičiaus sandaugos;
• pridėti trūkstamus trečiojo skaičiaus koeficientus į ankstesniame etape gautą sandaugą ir pan.;
• gauta sandauga bus mažiausias bendrasis visų skaičių iš sąlygos kartotinis.

8 pavyzdys

Reikia rasti penkių skaičių 84, 6, 48, 7, 143 LCM.

Sprendimas

Išskaidykime visus penkis skaičius į pirminius koeficientus: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Pirminiai skaičiai, kurie yra skaičius 7, negali būti įtraukti į pirminius veiksnius. Tokie skaičiai sutampa su jų išskaidymu į pirminius veiksnius.

Dabar paimkime skaičiaus 84 pirminių koeficientų 2, 2, 3 ir 7 sandaugą ir pridėkime prie jų trūkstamus antrojo skaičiaus koeficientus. Mes išskaidėme skaičių 6 į 2 ir 3. Šie veiksniai jau yra pirmojo skaičiaus sandaugoje. Todėl mes juos praleidžiame.

Toliau pridedame trūkstamus daugiklius. Mes kreipiamės į skaičių 48, iš kurių pirminių koeficientų sandaugos paimame 2 ir 2. Tada pridedame paprastą koeficientą 7 iš ketvirto skaičiaus ir koeficientus 11 ir 13 iš penktojo skaičiaus. Gauname: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Tai yra mažiausias bendras penkių pradinių skaičių kartotinis.

Atsakymas: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Raskite mažiausią bendrą neigiamų skaičių kartotinį

Norėdami rasti mažiausią bendrą kartotinį neigiami skaičiai, šie skaičiai pirmiausia turi būti pakeisti skaičiais su priešingu ženklu, o tada skaičiavimai turi būti atlikti pagal aukščiau pateiktus algoritmus.

9 pavyzdys

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) ir LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Tokie veiksmai yra leistini dėl to, kad jeigu būtų priimta, kad a ir − a- priešingi skaičiai
tada kartotinių aibė a sutampa su skaičiaus kartotinių aibe − a.

10 pavyzdys

Būtina apskaičiuoti neigiamų skaičių LCM − 145 ir − 45 .

Sprendimas

Pakeiskime skaičius − 145 ir − 45 į priešingus jų skaičius 145 ir 45 . Dabar, naudodami algoritmą, apskaičiuojame LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305, prieš tai nustatę GCD naudodami Euklido algoritmą.

Gauname, kad skaičių LCM − 145 ir − 45 lygus 1 305 .

Atsakymas: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter