8 és 10 legkisebb közös többszöröse. Legkisebb közös többszöröse (LCM): meghatározás, példák és tulajdonságok

Meghatározás. Azt a legnagyobb természetes számot nevezzük, amellyel az a és b számok maradék nélkül oszthatók legnagyobb közös osztó (gcd) ezeket a számokat.

Keressük a legnagyobbat közös osztó 24 és 35 számok.
A 24 osztói az 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 számok, a 35 osztói pedig az 1, 5, 7, 35 számok lesznek.
Látjuk, hogy a 24-es és 35-ös számoknak csak egy közös osztója van - az 1-es szám. Az ilyen számokat ún. koprime.

Meghatározás. A természetes számokat nevezzük koprime ha a legnagyobb közös osztójuk (gcd) 1.

Legnagyobb közös osztó (GCD) megtalálható anélkül, hogy kiírnánk az adott számok összes osztóját.

A 48-as és 36-os számokat faktorálva a következőket kapjuk:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Ezen számok közül az első bővítésében szereplő tényezők közül töröljük azokat, amelyek nem szerepelnek a második szám bővítésében (azaz két kettes).
Maradnak a 2 * 2 * 3 tényezők, szorzatuk 12. Ez a szám a 48 és 36 számok legnagyobb közös osztója. Három vagy több szám legnagyobb közös osztója is megtalálható.

Megtalálni legnagyobb közös osztó

2) az egyik ilyen szám bővítésében szereplő tényezők közül húzza ki azokat, amelyek nem szerepelnek más számok bővítésében;
3) keresse meg a fennmaradó tényezők szorzatát.

Ha minden adott szám osztható valamelyikkel, akkor ez a szám legnagyobb közös osztó adott számokat.
Például a 15, 45, 75 és 180 legnagyobb közös osztója a 15, mivel ez osztja az összes többi számot: 45, 75 és 180.

Legkevésbé közös többszörös (LCM)

Meghatározás. Legkevésbé közös többszörös (LCM) természetes számok a és b a legkisebb természetes szám, amely a és b többszöröse. A 75 és 60 számok legkisebb közös többszöröse (LCM) megtalálható anélkül, hogy ezeknek a számoknak a többszöröseit egymás után kiírnánk. Ehhez a 75-öt és a 60-at egyszerű tényezőkre bontjuk: 75 \u003d 3 * 5 * 5 és 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Kiírjuk az első számok bővítésében szereplő tényezőket, és hozzájuk adjuk a második szám bővítéséből hiányzó 2-es és 2-es tényezőket (vagyis a tényezőket összevonjuk).
Öt 2 * 2 * 3 * 5 * 5 tényezőt kapunk, melynek szorzata 300. Ez a szám a 75 és 60 számok legkisebb közös többszöröse.

Keresse meg három vagy több szám legkisebb közös többszörösét is.

Nak nek megtalálni a legkisebb közös többszöröst több természetes számra van szüksége:
1) bontsa fel őket prímtényezőkre;
2) írja ki az egyik szám bővítésében szereplő tényezőket;
3) add hozzá a hiányzó tényezőket a fennmaradó számok bővítéséből;
4) keresse meg a kapott tényezők szorzatát.

Vegye figyelembe, hogy ha ezen számok egyike osztható az összes többi számmal, akkor ez a szám ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse.
Például a 12, 15, 20 és 60 legkisebb közös többszöröse 60 lenne, mivel osztható az összes megadott számmal.

Pythagoras (Kr. e. VI. század) és tanítványai a számok oszthatóságának kérdését tanulmányozták. Egy szám, amely megegyezik az összes osztójának összegével (maga nélkül), tökéletes számnak nevezték. Például a 6 (6 = 1 + 2 + 3), a 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) számok tökéletesek. A következő tökéletes számok a 496, 8128, 33 550 336. A püthagoreusok csak az első három tökéletes számot ismerték. A negyedik - 8128 - az I. században vált ismertté. n. e. Az ötödik - 33 550 336 - a 15. században került elő. 1983-ban már 27 tökéletes számot ismertek. De a tudósok mindeddig nem tudják, hogy léteznek-e páratlan tökéletes számok, hogy létezik-e a legnagyobb tökéletes szám.
Az ókori matematikusok érdeklődése a prímszámok iránt annak köszönhető, hogy bármely szám vagy prímszám, vagy prímszámok szorzataként ábrázolható, vagyis a prímszámok olyanok, mint a tégla, amelyből a többi természetes szám épül.
Valószínűleg észrevette, hogy a természetes számok sorozatában a prímszámok egyenetlenül fordulnak elő - a sorozat egyes részeiben több, máshol kevesebb. De minél tovább haladunk a számsorok mentén, annál ritkábbak a prímszámok. Felmerül a kérdés: létezik-e az utolsó (legnagyobb) prímszám? Az ókori görög matematikus, Eukleidész (Kr. e. III. század) a „Kezdetek” című könyvében, amely kétezer évig a matematika fő tankönyve volt, bebizonyította, hogy végtelenül sok prímszám van, azaz minden prímszám mögött páros áll. nagyobb prímszám.
A prímszámok megtalálására egy másik görög matematikus, Eratoszthenész állt elő egy ilyen módszerrel. Felírta az összes számot 1-től valamilyen számig, majd áthúzta az egységet, amely nem prímszám és nem is összetett szám, majd egyen át áthúzta a 2 utáni összes számot (a 2, azaz a 4 többszörösét, 6, 8 stb.). A 2 utáni első szám 3 volt. Kettő után a 3 utáni összes számot áthúztuk (olyan számok, amelyek 3 többszörösei, azaz 6, 9, 12 stb.). végül csak a prímszámok maradtak áthúzatlanul.

De sok természetes szám egyenletesen osztható más természetes számokkal.

Például:

A 12-es szám osztható 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 12-vel;

A 36-os szám osztható 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 12-vel, 18-mal, 36-tal.

Azokat a számokat, amelyekkel a szám osztható (12 esetén 1, 2, 3, 4, 6 és 12), az ún. számosztók. Természetes szám osztója a az osztó természetes szám adott szám a nyom nélkül. Olyan természetes számot nevezünk, amelynek kettőnél több tényezője van összetett .

Vegye figyelembe, hogy a 12-es és 36-os számoknak közös osztói vannak. Ezek a számok: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ezeknek a számoknak a legnagyobb osztója a 12. A két szám közös osztója aés b az a szám, amellyel mindkét adott szám maradék nélkül osztható aés b.

közös többszörös több számot úgy nevezünk, hogy osztható ezekkel a számokkal. Például, a 9, 18 és 45 számok közös többszöröse 180. De 90 és 360 is a közös többszöröseik. Az összes jközös többszörös között mindig ott van a legkisebb, ebben az esetben ez 90. Ezt a számot ún. legkevésbéközös többszörös (LCM).

Az LCM mindig természetes szám, amelynek nagyobbnak kell lennie azon számok közül a legnagyobbnál, amelyekre meghatározva van.

Legkisebb közös többszörös (LCM). Tulajdonságok.

Kommutativitás:

Aszociativitás:

Konkrétan, ha és koprímszámok , akkor:

Két egész szám legkisebb közös többszöröse més n az összes többi közös többszörös osztója més n. Sőt, a közös többszörösek halmaza m,n egybeesik az LCM() többszöröseinek halmazával m,n).

Az aszimptotikája kifejezhető néhány számelméleti függvénnyel.

Így, Csebisev függvény. Szintén:

Ez a Landau-függvény definíciójából és tulajdonságaiból következik g(n).

Ami a prímszámok eloszlásának törvényéből következik.

A legkisebb közös többszörös megkeresése (LCM).

NEM C( a, b) többféleképpen is kiszámítható:

1. Ha ismert a legnagyobb közös osztó, használhatja a kapcsolatát az LCM-mel:

2. Legyen ismert mindkét szám kanonikus felosztása prímtényezőkre:

ahol p 1 ,...,p k különböző prímszámok, és d 1 ,...,dkés e 1 ,...,ek nem negatív egész számok (ezek nullák is lehetnek, ha a megfelelő prím nem szerepel a bővítésben).

Ezután LCM ( a,b) a következő képlettel számítható ki:

Más szavakkal, az LCM-kiterjesztés tartalmazza az összes olyan elsődleges tényezőt, amely a számkiterjesztések legalább egyikében szerepel. a, b, és ennek a tényezőnek a két kitevője közül a legnagyobbat vesszük.

Példa:

Több szám legkisebb közös többszörösének kiszámítása két szám LCM-jének több egymást követő számítására redukálható:

Szabály. Egy számsorozat LCM-jének megtalálásához a következőkre lesz szüksége:

- a számokat prímtényezőkre bontani;

- a kívánt szorzat tényezőire átvisszük a legnagyobb bővülést (az adottak közül a legtöbb faktor szorzata), majd hozzáadjuk az első számban nem szereplő vagy benne lévő egyéb számok bővítéséből származó tényezőket kevesebb alkalommal;

- a prímtényezők eredő szorzata az adott számok LCM-je lesz.

Bármely két vagy több természetes számnak saját LCM-je van. Ha a számok nem többszörösei egymásnak, vagy nem ugyanazok a tényezők a bővítésben, akkor LCM-jük egyenlő ezen számok szorzatával.

A 28-as szám prímtényezőit (2, 2, 7) kiegészítettük 3-as faktorral (a 21-es szám), így a kapott szorzat (84) lesz a legkisebb szám, amely osztható 21-gyel és 28-cal.

A legnagyobb 30-as prímtényezőit a 25-ös szám 5-ös tényezőjével egészítettük ki, a kapott 150-es szorzat nagyobb, mint a legnagyobb 30-as szám, és maradék nélkül osztható az összes megadott számmal. Ez a lehető legkisebb szorzat (150, 250, 300...), amelynek minden megadott szám többszöröse.

A 2,3,11,37 számok prímszámok, tehát LCM-jük megegyezik a megadott számok szorzatával.

szabály. A prímszámok LCM-jének kiszámításához ezeket a számokat össze kell szoroznia.

Egy másik lehetőség:

Több szám legkisebb közös többszörösének (LCM) megtalálásához a következőkre van szüksége:

1) ábrázoljon minden számot prímtényezőinek szorzataként, például:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) írja le az összes prímtényező hatványait:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) írja fel az egyes számok összes prímosztóját (szorzóját);

4) válassza ki mindegyik közül a legnagyobb mértéket, amely ezeknek a számoknak az összes kiterjesztésében található;

5) szorozd meg ezeket a hatványokat.

Példa. Keresse meg a 168, 180 és 3024 számok LCM-jét.

Megoldás. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Kiírjuk az összes prímosztó legnagyobb hatványait, és megszorozzuk őket:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Az LCM kiszámításának megértéséhez először meg kell határoznia a "többszörös" kifejezés jelentését.

Az A többszöröse olyan természetes szám, amely maradék nélkül osztható A-val, így a 15, 20, 25 és így tovább 5 többszörösének tekinthető.

Egy adott számnak korlátozott számú osztója lehet, de végtelen számú többszöröse van.

A természetes számok közös többszöröse olyan szám, amely maradék nélkül osztható velük.

Hogyan találjuk meg a számok legkisebb közös többszörösét

A számok legkisebb közös többszöröse (LCM) (kettő, három vagy több) a legkisebb természetes szám, amely egyenlően osztható ezekkel a számokkal.

A NOC megtalálásához többféle módszert is használhat.

Kis számok esetén célszerű egy sorba kiírni ezeknek a számoknak az összes többszörösét, amíg meg nem találjuk közöttük a közös számot. A többszöröseket a rekordban nagy K betűvel jelöljük.

Például a 4 többszörösei így írhatók:

K(4) = (8,12,16,20,24,...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Láthatjuk tehát, hogy a 4 és 6 számok legkisebb közös többszöröse a 24. Ezt a bevitelt a következőképpen hajtjuk végre:

LCM(4; 6) = 24

Ha a számok nagyok, keresse meg három vagy több szám közös többszörösét, akkor jobb, ha más módszert használ az LCM kiszámításához.

A feladat elvégzéséhez a javasolt számokat prímtényezőkre kell bontani.

Először ki kell írnia egy sor legnagyobb számának kiterjesztését, és alatta - a többit.

Az egyes számok bővítésében különböző számú tényező szerepelhet.

Például vegyük az 50-es és 20-as számokat prímtényezőkbe.

A kisebb szám bővítésekor érdemes aláhúzni azokat a tényezőket, amelyek az első legnagyobb szám bővítésében hiányoznak, majd ezeket hozzá kell adni. A bemutatott példában egy kettes hiányzik.

Most kiszámolhatjuk 20 és 50 legkisebb közös többszörösét.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Így a nagyobb szám prímtényezőinek és a második szám azon tényezőinek szorzata, amelyek nem szerepelnek a nagyobb szám dekompozíciójában, lesz a legkisebb közös többszörös.

Három vagy több szám LCM-jének megtalálásához mindegyiket prímtényezőkre kell bontani, mint az előző esetben.

Példaként megtalálhatja a 16, 24, 36 számok legkisebb közös többszörösét.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Így a tizenhat dekompozíciójából csak két kettes nem került bele egy nagyobb szám faktorizálásába (az egyik a huszonnégy felbontásába).

Így ezeket egy nagyobb szám bontásához kell hozzáadni.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

A legkisebb közös többszörös meghatározásának vannak speciális esetei. Tehát, ha az egyik szám maradék nélkül osztható egy másikkal, akkor ezek közül a számok közül a nagyobb lesz a legkisebb közös többszörös.

Például a tizenkét és a huszonnégy fős NOC-ok huszonnégynek számítanak.

Ha meg kell találni azoknak a koprímszámoknak a legkisebb közös többszörösét, amelyeknek nincs ugyanaz az osztója, akkor LCM-jük egyenlő lesz a szorzatukkal.

Például LCM(10, 11) = 110.

Két szám legkisebb közös többszöröse közvetlenül kapcsolódik e számok legnagyobb közös osztójához. Ez kapcsolat a GCD és a NOC között a következő tétel határozza meg.

Tétel.

Két pozitív egész szám a és b legkisebb közös többszöröse egyenlő a és b szorzatával osztva a és b legnagyobb közös osztójával, azaz LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).

Bizonyíték.

Hadd M az a és b számok többszöröse. Azaz M osztható a-val, és az oszthatóság definíciója szerint van olyan k egész szám, amelyre az M=a·k egyenlőség igaz. De M is osztható b-vel, akkor a k osztható b-vel.

Jelölje gcd(a, b)-t d-ként. Ekkor felírhatjuk az a=a 1 ·d és b=b 1 ·d egyenlőségeket, és az a 1 =a:d és b 1 =b:d koprímszámok lesznek. Ezért az előző bekezdésben kapott feltétel, miszerint a k osztható b-vel, így újrafogalmazható: a 1 d k osztható b 1 d -vel, és ez az oszthatóság tulajdonságai miatt ekvivalens azzal a feltétellel, hogy a 1 k osztható b eggyel.

A vizsgált tételből két fontos következményt is le kell írnunk.

Két szám közös többszörösei megegyeznek a legkisebb közös többszörösük többszörösével.

Ez igaz, mivel M szám a és b tetszőleges közös többszörösét az M=LCM(a, b) t egyenlőség határozza meg valamilyen t egész értékre.

A koprím legkisebb közös többszöröse pozitív számok a és b egyenlő a szorzatukkal.

Ennek a ténynek az indoklása teljesen nyilvánvaló. Mivel a és b koprím, akkor gcd(a, b)=1 , ezért LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Három vagy több szám legkisebb közös többszöröse

Három vagy több szám legkisebb közös többszörösének megtalálása redukálható két szám LCM-jének egymás utáni megtalálására. Hogy ez hogyan történik, azt a következő tétel mutatja: a 1 , a 2 , …, a k egybeesnek az m k-1 számok közös többszöröseivel, a k pedig egybeesnek m k többszöröseivel. És mivel az m k szám legkisebb pozitív többszöröse maga az m k szám, akkor az a 1 , a 2 , …, a k számok legkisebb közös többszöröse m k .

Bibliográfia.

• Vilenkin N.Ya. stb. Matematika. 6. évfolyam: tankönyv oktatási intézmények számára.
• Vinogradov I.M. A számelmélet alapjai.
• Mikhelovich Sh.Kh. Számelmélet.
• Kulikov L.Ya. és mások Algebrai és számelméleti feladatgyűjtemény: Tankönyv fiz.-mat. pedagógiai intézetek szakterületei.

Folytassuk a legkisebb közös többszörösről szóló vitát, amelyet az LCM – Legkisebb közös többszörös, meghatározás, példák részben kezdtünk el. Ebben a témában megvizsgáljuk, hogyan lehet megtalálni az LCM-et három vagy több számra, elemezzük azt a kérdést, hogyan lehet megtalálni egy negatív szám LCM-jét.

Yandex.RTB R-A-339285-1

A legkisebb közös többszörös (LCM) kiszámítása a gcd-n keresztül

Már megállapítottuk a kapcsolatot a legkisebb közös többszörös és a legnagyobb közös osztó között. Most pedig tanuljuk meg, hogyan határozzuk meg az LCM-et a GCD-n keresztül. Először is nézzük meg, hogyan kell ezt megtenni pozitív számok esetén.

1. definíció

A legkisebb közös többszöröst a legnagyobb közös osztón keresztül találhatja meg az LCM (a, b) \u003d a b képlet segítségével: GCD (a, b) .

1. példa

Meg kell találni a 126 és 70 számok LCM-jét.

Megoldás

Vegyük a = 126 , b = 70 . Helyettesítse be az értékeket a legkisebb közös többszörös kiszámítására szolgáló képletben a legnagyobb közös osztóval LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Megkeresi a 70 és 126 számok GCD-jét. Ehhez szükségünk van az Euklidész algoritmusra: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , ezért gcd (126 , 70) = 14 .

Számítsuk ki az LCM-et: LCM (126,70) = 126:70: GCD (126,70) = 126:70:14 = 630.

Válasz: LCM (126, 70) = 630.

2. példa

Keresse meg a 68 és 34 számok nokját!

Megoldás

A GCD-t ebben az esetben könnyű megtalálni, mivel a 68 osztható 34-gyel. Számítsa ki a legkisebb közös többszöröst a következő képlettel: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Válasz: LCM(68; 34) = 68.

Ebben a példában az a és b pozitív egész számok legkisebb közös többszörösének megtalálására használt szabályt alkalmaztuk: ha az első szám osztható a másodikkal, akkor ezeknek a számoknak az LCM-je egyenlő lesz az első számmal.

Az LCM megkeresése a számok prímtényezőkbe való faktorálásával

Most nézzük meg az LCM megtalálásának módját, amely a számok prímtényezőkre való felosztásán alapul.

2. definíció

A legkisebb közös többszörös megtalálásához néhány egyszerű lépést kell végrehajtanunk:

• megadjuk a számok összes prímtényezőjének szorzatát, amelyekhez meg kell találnunk az LCM-et;
• minden elsődleges tényezőt kizárunk a kapott termékeikből;
• a közös prímtényezők kiszűrése után kapott szorzat egyenlő lesz az adott számok LCM-jével.

A legkisebb közös többszörös megtalálásának ez a módja az LCM (a , b) = a b egyenlőségen alapul: GCD (a , b) . Ha megnézzük a képletet, világossá válik: az a és b számok szorzata egyenlő minden olyan tényező szorzatával, amely részt vesz e két szám bővítésében. Ebben az esetben két szám GCD-je egyenlő az összes prímtényező szorzatával, amelyek egyidejűleg jelen vannak e két szám faktorizálásában.

3. példa

Két számunk van: 75 és 210. Kiszámíthatjuk őket a következőképpen: 75 = 3 5 5és 210 = 2 3 5 7. Ha a két eredeti szám összes tényezőjének szorzatát hozzuk létre, akkor a következőt kapjuk: 2 3 3 5 5 5 7.

Ha kizárjuk a 3-as és az 5-ös szám közös faktorait, akkor a következő alakú szorzatot kapjuk: 2 3 5 5 7 = 1050. Ez a termék lesz a mi LCM-ünk a 75-ös és 210-es számokhoz.

4. példa

Keresse meg a számok LCM-jét 441 és 700 , mindkét számot prímtényezőkre bontva.

Megoldás

Keressük meg a feltételben megadott számok összes prímtényezőjét:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Két számláncot kapunk: 441 = 3 3 7 7 és 700 = 2 2 5 5 7 .

A számok bővülésében részt vevő összes tényező szorzata így fog kinézni: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Keressük a közös tényezőket. Ez a szám 7. Kizárjuk az általános termékből: 2 2 3 3 5 5 7 7. Kiderült, hogy a NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Válasz: LCM (441, 700) = 44 100.

Adjunk még egy megfogalmazást az LCM meghatározására a számok prímtényezőkre történő felosztásával.

3. definíció

Korábban mindkét számra közös faktorszámból kizártuk. Most másképp csináljuk:

• Bontsuk fel mindkét számot prímtényezőkre:
• az első szám prímtényezőinek szorzatához adjuk hozzá a második szám hiányzó tényezőit;
• megkapjuk a szorzatot, ami a két szám kívánt LCM-je lesz.

5. példa

Térjünk vissza a 75-ös és 210-es számokhoz, amelyekhez már az előző példák egyikében kerestük az LCM-et. Bontsuk őket egyszerű tényezőkre: 75 = 3 5 5és 210 = 2 3 5 7. A 3., 5. és faktorok szorzatához 5 75. szám adja hozzá a hiányzó tényezőket 2 és 7 számok 210 . Kapunk: 2 3 5 5 7 . Ez a 75 és 210 számok LCM-je.

6. példa

Ki kell számítani a 84 és 648 számok LCM-jét.

Megoldás

Bontsuk fel a feltételből származó számokat prímtényezőkre: 84 = 2 2 3 7és 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Adjuk hozzá a 2 , 2 , 3 és tényezők szorzatához 7 számok 84 hiányzó tényezők 2 , 3 , 3 és
3 számok 648 . Megkapjuk a terméket 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Ez a 84 és 648 legkisebb közös többszöröse.

Válasz: LCM (84, 648) = 4536.

Három vagy több szám LCM-jének megkeresése

Függetlenül attól, hogy hány számmal van dolgunk, cselekvéseink algoritmusa mindig ugyanaz lesz: következetesen két szám LCM-jét fogjuk megtalálni. Erre az esetre van egy tétel.

1. tétel

Tegyük fel, hogy egész számaink vannak a 1 , a 2 , … , a k. NEM C m k ezek közül a számok a szekvenciális számításban találhatók m 2 = LCM (a 1, a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3) , … , m k = LCM (m k − 1, a k).

Most nézzük meg, hogyan alkalmazható a tétel konkrét problémákra.

7. példa

Ki kell számítania a négy szám legkisebb közös többszörösét: 140 , 9 , 54 és 250 .

Megoldás

Vezessük be a jelölést: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Kezdjük azzal, hogy kiszámoljuk m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Használjuk az euklideszi algoritmust a 140 és 9 számok GCD-jének kiszámításához: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . A következőt kapjuk: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Ezért m 2 = 1 260 .

Most ugyanezzel az algoritmussal számoljunk m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . A számítások során m 3 = 3 780-at kapunk.

Továbbra is ki kell számítanunk az m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) értéket. Ugyanaz az algoritmus szerint járunk el. Azt kapjuk, hogy m 4 \u003d 94 500.

A példafeltételből származó négy szám LCM-je 94500 .

Válasz: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Amint látja, a számítások egyszerűek, de meglehetősen fáradságosak. Időt takaríthat meg, választhat a másik irányba.

4. definíció

A következő műveleti algoritmust kínáljuk Önnek:

• az összes számot prímtényezőkre bontani;
• az első szám tényezőinek szorzatához add hozzá a hiányzó tényezőket a második szám szorzatából;
• add hozzá a harmadik szám hiányzó tényezőit az előző szakaszban kapott szorzathoz stb.;
• a kapott szorzat a feltétel összes számának legkisebb közös többszöröse lesz.

8. példa

Meg kell találni öt szám 84, 6, 48, 7, 143 LCM-jét.

Megoldás

Bontsuk fel mind az öt számot prímtényezőkre: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . A prímszámok, ami a 7-es szám, nem vehetők figyelembe a prímtényezőkbe. Az ilyen számok egybeesnek a prímtényezőkre való felosztásukkal.

Most vegyük a 84-es szám 2-es, 2-es, 3-as és 7-es prímtényezőinek szorzatát, és adjuk hozzá a második szám hiányzó tényezőit. A 6-os számot 2-re és 3-ra bontottuk. Ezek a tényezők már benne vannak az első szám szorzatában. Ezért ezeket mellőzzük.

Folytatjuk a hiányzó szorzók összeadását. Rátérünk a 48-as számra, amelynek prímtényezőinek szorzatából 2-t és 2-t veszünk. Ezután a negyedik számból hozzáadunk egy egyszerű 7-es tényezőt, valamint az ötödik szám 11-es és 13-as tényezőit. A következőt kapjuk: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Ez az öt eredeti szám legkisebb közös többszöröse.

Válasz: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

A negatív számok legkevésbé gyakori többszörösének megkeresése

Megtalálni a legkisebb közös többszöröst negatív számok, ezeket a számokat először ellentétes előjelű számokra kell cserélni, majd a számításokat a fenti algoritmusok szerint kell elvégezni.

9. példa

LCM(54, -34) = LCM(54, 34) és LCM(-622, -46, -54, -888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Az ilyen cselekmények azért megengedettek, mert ha elfogadják, az aés − a- ellentétes számok
majd a többszörösek halmaza a egybeesik egy szám többszöröseinek halmazával − a.

10. példa

Ki kell számítani a negatív számok LCM-jét − 145 és − 45 .

Megoldás

Változtassuk meg a számokat − 145 és − 45 ellentétes számukra 145 és 45 . Most az algoritmus segítségével kiszámítjuk az LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 értéket, miután előzőleg meghatároztuk a GCD-t az Euklidész algoritmussal.

Azt kapjuk, hogy a számok LCM-je − 145 és − 45 egyenlő 1 305 .

Válasz: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt