फलन y 1 x के लिए प्रतिअवकलन। कैलकुलेटर ऑनलाइन। अनिश्चितकालीन अभिन्न (एंटीडेरिवेटिव) की गणना करें
समारोह एफ(एक्स ) बुलाया प्राचीन समारोह के लिए एफ(एक्स) किसी दिए गए अंतराल पर, यदि सभी के लिए एक्स इस अंतराल से समानता
एफ"(एक्स ) = एफ(एक्स ) .
उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन एफ (एक्स) = एक्स 2 एफ(एक्स ) = 2एक्स , इसलिये
एफ "(एक्स) \u003d (एक्स .) 2 )" = 2एक्स = एफ (एक्स)। ◄
एंटीडेरिवेटिव की मुख्य संपत्ति
यदि एक एफ (एक्स) फंक्शन के लिए एंटीडेरिवेटिव है एफ (एक्स) दिए गए अंतराल पर, फिर फलन एफ (एक्स) अपरिमित रूप से अनेक अवकलज हैं, और इन सभी अवकलजों को इस प्रकार लिखा जा सकता है एफ (एक्स) + सी, कहाँ पे से एक मनमाना स्थिरांक है।
उदाहरण के लिए। समारोह एफ (एक्स) = एक्स 2 + 1 फंक्शन के लिए एंटीडेरिवेटिव है एफ(एक्स ) = 2एक्स , इसलिये एफ "(एक्स) \u003d (एक्स 2 + 1 )" = 2 एक्स = एफ (एक्स); समारोह एफ (एक्स) = एक्स 2 - 1 फंक्शन के लिए एंटीडेरिवेटिव है एफ(एक्स ) = 2एक्स , इसलिये एफ "(एक्स) \u003d (एक्स .) 2 - 1)" = 2एक्स = एफ (एक्स) ; समारोह एफ (एक्स) = एक्स 2 - 3 फंक्शन के लिए एंटीडेरिवेटिव है एफ(एक्स) = 2एक्स , इसलिये एफ "(एक्स) \u003d (एक्स .) 2 - 3)" = 2 एक्स = एफ (एक्स); कोई समारोह एफ (एक्स) = एक्स 2 + से , कहाँ पे से एक मनमाना स्थिरांक है, और केवल ऐसा फलन ही फलन के लिए प्रतिअवकलज है एफ(एक्स) = 2एक्स . ◄ |
एंटीडेरिवेटिव्स की गणना के नियम
- यदि एक एफ (एक्स) - मूल के लिए एफ (एक्स) , एक जी (एक्स) - मूल के लिए जी (एक्स) , फिर एफ (एक्स) + जी (एक्स) - मूल के लिए एफ (एक्स) + जी (एक्स) . दूसरे शब्दों में, योग का प्रतिअवकलज, प्रतिअवकलजों के योग के बराबर होता है .
- यदि एक एफ (एक्स) - मूल के लिए एफ (एक्स) , तथा क स्थिर है, तो क · एफ (एक्स) - मूल के लिए क · एफ (एक्स) . दूसरे शब्दों में, अचर गुणनखंड को व्युत्पन्न के चिह्न से निकाला जा सकता है .
- यदि एक एफ (एक्स) - मूल के लिए एफ (एक्स) , तथा क,बी- स्थायी, और कश्मीर 0 , फिर 1 / क एफ(क एक्स +बी ) - मूल के लिए एफ(क एक्स + बी) .
अनिश्चितकालीन अभिन्न
नहीं समाकलन परिभाषित करें समारोह से एफ (एक्स) अभिव्यक्ति कहा जाता है एफ (एक्स) + सी, अर्थात्, दिए गए फ़ंक्शन के सभी प्रतिपदार्थों का समुच्चय एफ (एक्स) . अनिश्चितकालीन अभिन्न को निम्नानुसार दर्शाया गया है:
∫ एफ (एक्स) डीएक्स = एफ (एक्स) + सी ,
एफ (एक्स)- बुलाया एकीकृत ;
एफ (एक्स) डीएक्स- बुलाया एकीकृत ;
एक्स - बुलाया एकीकरण चर ;
एफ (एक्स) फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव्स में से एक है एफ (एक्स) ;
से एक मनमाना स्थिरांक है।
उदाहरण के लिए, ∫ 2 एक्स डीएक्स =एक्स 2 + से , ∫ क्योंकिएक्स डीएक्स =पाप एक्स + से और इसी तरह। ◄
शब्द "अभिन्न" लैटिन शब्द से आया है पूर्णांक , जिसका अर्थ है "पुनर्स्थापित"। के अनिश्चितकालीन अभिन्न को ध्यान में रखते हुए 2 एक्स, हम फ़ंक्शन को पुनर्स्थापित करते हैं एक्स 2 , जिसका व्युत्पन्न है 2 एक्स. किसी फलन को उसके व्युत्पन्न से पुनर्स्थापित करना, या, जो समान है, किसी दिए गए समाकलन पर अनिश्चितकालीन समाकल ज्ञात करना कहलाता है एकीकरण यह समारोह। एकीकरण भेदभाव का उलटा संचालन है। यह जांचने के लिए कि क्या एकीकरण सही ढंग से किया गया है, यह परिणाम को अलग करने और एकीकृत प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है।
अनिश्चितकालीन अभिन्न के मूल गुण
- अनिश्चितकालीन समाकल का अवकलज समाकलन के बराबर होता है:
- समाकलन के अचर गुणनखंड को समाकल चिह्न से निकाला जा सकता है:
- कार्यों के योग (अंतर) का समाकलन इन फलनों के समाकलों के योग (अंतर) के बराबर होता है:
- यदि एक क,बी- स्थायी, और कश्मीर 0 , फिर
(∫ एफ (एक्स) डीएक्स )" = एफ (एक्स) .
∫ क · एफ (एक्स) डीएक्स = क · ∫ एफ (एक्स) डीएक्स .
∫ ( एफ (एक्स) ± जी (एक्स ) ) डीएक्स = ∫ एफ (एक्स) डीएक्स ± ∫ जी (एक्स ) डीएक्स .
∫ एफ( क एक्स + बी) डीएक्स = 1 / क एफ(क एक्स +बी ) + सी .
प्रतिअवकलन और अनिश्चित समाकलों की तालिका
| एफ (एक्स)
| एफ (एक्स) + सी
| ∫
एफ (एक्स) डीएक्स = एफ (एक्स) + सी
|
|
| मैं। | $$0$$ | $$सी$$ | $$\int 0dx=C$$ |
| द्वितीय. | $$k$$ | $$केएक्स+सी$$ | $$\int kdx=kx+C$$ |
| III. | $$x^n~(n\neq-1)$$ | $$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ | $$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ |
| चतुर्थ। | $$\frac(1)(x)$$ | $$\ln |x|+सी$$ | $$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$ |
| वी | $$\पाप x$$ | $$-\cos x+C$$ | $$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$ |
| VI. | $$\cos x$$ | $$\sin x+C$$ | $$\int\cos x~dx=\sin x+C$$ |
| सातवीं। | $$\frac(1)(\cos^2x)$$ | $$\textrm(tg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$ |
| आठवीं। | $$\frac(1)(\sin^2x)$$ | $$-\textrm(ctg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$ |
| IX. | $$ई^x$$ | $$ई^एक्स+सी$$ | $$\int e^xdx=e^x+C$$ |
| एक्स। | $$a^x$$ | $$\frac(a^x)(\ln a)+C$$ | $$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$ |
| ग्यारहवीं। | $$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$ | $$\arcsin x +C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$ |
| बारहवीं। | $$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$ | $$\arcsin \frac(x)(a)+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$ |
| तेरहवीं। | $$\frac(1)(1+x^2)$$ | $$\textrm(arctg) ~x+C$$ | $$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$ |
| XIV. | $$\frac(1)(a^2+x^2)$$ | $$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ | $$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ |
| XV. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$ | $$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ |
| XVI. | $$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$ | $$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$ | $$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ सी$$ |
| XVII। | $$\textrm(tg) ~x$$ | $$-\ln |\cos x|+C$$ | $$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$ |
| XVIII। | $$\textrm(ctg) ~x$$ | $$\ln |\sin x|+C$$ | $$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$ |
| XIX. | $$ \frac(1)(\sin x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ |
| एक्सएक्स। | $$ \frac(1)(\cos x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$ |
| इस तालिका में दिए गए आदिम और अनिश्चित समाकलों को आमतौर पर कहा जाता है सारणीबद्ध आदिम
तथा टेबल इंटीग्रल
. |
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समाकलन परिभाषित करें
बीच में चलो [एक; बी] एक सतत कार्य दिया वाई = एफ (एक्स) , फिर a से b तक निश्चित समाकलन कार्यों एफ (एक्स) आदिम की वृद्धि कहा जाता है एफ (एक्स) यह फ़ंक्शन, अर्थात्
$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$
नंबर एकतथा बीक्रमशः कहा जाता है निचला तथा ऊपर एकीकरण सीमा।
निश्चित अभिन्न की गणना के लिए बुनियादी नियम
1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);
2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);
3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) कहा पे क - लगातार;
4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) जी (एक्स) डीएक्स \);
5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);
6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), कहा पे एफ (एक्स) एक समान कार्य है;
7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), कहा पे एफ (एक्स) एक विषम कार्य है।
टिप्पणी . सभी मामलों में, यह माना जाता है कि समाकलन संख्यात्मक अंतरालों पर एकीकृत होते हैं जिनकी सीमाएँ एकीकरण की सीमाएँ होती हैं।
निश्चित अभिन्न का ज्यामितीय और भौतिक अर्थ
| ज्यामितीय अर्थ समाकलन परिभाषित करें | भौतिक अर्थ
समाकलन परिभाषित करें |
 |  |
वर्ग एसवक्रीय समलम्ब चतुर्भुज (अंतराल पर निरंतर धनात्मक के ग्राफ़ द्वारा परिबद्ध एक आकृति) [एक; बी] कार्यों एफ (एक्स) , एक्सिस बैल और प्रत्यक्ष एक्स = ए , एक्स = बी ) सूत्र द्वारा गणना की जाती है $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$ | रास्ता एस, जिसे भौतिक बिंदु ने पार कर लिया है, एक सीधी रेखा में गति के साथ चलती है जो कानून के अनुसार बदलती है वी (टी)
, एक समय अंतराल के लिए a ;
बी], फिर इन कार्यों के रेखांकन और सीधी रेखाओं से घिरे आकृति का क्षेत्र एक्स = ए
, एक्स = बी
, सूत्र द्वारा गणना की जाती है $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$ |
 | उदाहरण के लिए। आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें रेखाओं से घिरा हुआ वाई = एक्स 2 तथा वाई = 2-एक्स . हम इन कार्यों के रेखांकन को योजनाबद्ध रूप से चित्रित करेंगे और उस आकृति को उजागर करेंगे जिसका क्षेत्र एक अलग रंग में पाया जाना चाहिए। एकीकरण की सीमा ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को हल करते हैं: एक्स 2 = 2-एक्स ; एक्स 2 + एक्स- 2 = 0 ; एक्स 1 = -2, एक्स 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$ |
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2)। $$ ◄ |
|
क्रांति के शरीर का आयतन
 | यदि पिण्ड अक्ष के परितः घूमने के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है बैल वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज अंतराल पर निरंतर और गैर-ऋणात्मक के ग्राफ से घिरा हुआ है [एक; बी] कार्यों वाई = एफ (एक्स) और प्रत्यक्ष एक्स = एतथा एक्स = बी , तो इसे कहा जाता है क्रांति का शरीर . क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जाती है $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ यदि फ़ंक्शन ग्राफ़ द्वारा ऊपर और नीचे की ओर बंधी हुई आकृति के रोटेशन के परिणामस्वरूप क्रांति का शरीर प्राप्त होता है वाई = एफ (एक्स) तथा वाई = जी (एक्स) , क्रमशः, तब $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$ |
 | उदाहरण के लिए। एक त्रिज्या के साथ एक शंकु की मात्रा की गणना करें आर
और ऊंचाई एच
. आइए हम शंकु को एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रखें ताकि इसकी धुरी अक्ष के साथ मेल खाए बैल
, और आधार का केंद्र निर्देशांक के मूल में स्थित था। जेनरेटर रोटेशन अबएक शंकु को परिभाषित करता है। समीकरण के बाद से अब $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$ |
| और शंकु के आयतन के लिए हमारे पास है $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\बाएं (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄ |
|
हमने देखा है कि व्युत्पन्न के कई अनुप्रयोग हैं: व्युत्पन्न गति की गति है (या, अधिक सामान्यतः, किसी भी प्रक्रिया की गति); व्युत्पन्न फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का ढलान है; व्युत्पन्न का उपयोग करके, आप एकरसता और एक्स्ट्रेमा के लिए फ़ंक्शन की जांच कर सकते हैं; व्युत्पन्न अनुकूलन समस्याओं को हल करने में मदद करता है।
लेकीन मे वास्तविक जीवनप्रतिलोम समस्याओं को भी हल करना होगा: उदाहरण के लिए, गति के ज्ञात नियम से गति ज्ञात करने की समस्या के साथ-साथ गति के नियम को ज्ञात गति से पुनर्स्थापित करने की समस्या भी है। आइए इनमें से एक समस्या पर विचार करें।
उदाहरण 1एक भौतिक बिंदु एक सीधी रेखा के साथ चलता है, समय t पर इसकी गति की गति सूत्र u = tg द्वारा दी जाती है। गति का नियम ज्ञात कीजिए।
समाधान।मान लीजिए s = s(t) गति का वांछित नियम है। यह ज्ञात है कि s"(t) = u"(t). इसलिए, समस्या को हल करने के लिए, हमें चुनना होगा समारोह s = s(t), जिसका अवकलज tg के बराबर है। यह अनुमान लगाना आसान है
हम तुरंत ध्यान दें कि उदाहरण सही ढंग से हल किया गया है, लेकिन अपूर्ण रूप से। हमने प्राप्त किया है कि वास्तव में, समस्या के असीम रूप से कई समाधान हैं: रूप का कोई भी कार्य 
मनमाना स्थिरांक, गति के नियम के रूप में कार्य कर सकता है, क्योंकि
कार्य को और अधिक विशिष्ट बनाने के लिए, हमें प्रारंभिक स्थिति को ठीक करना था: किसी बिंदु पर चलती बिंदु के समन्वय को इंगित करें, उदाहरण के लिए, टी = 0 पर। यदि, कहते हैं, s (0) \u003d s 0, तो समानता से हम s (0) \u003d 0 + C, अर्थात S 0 \u003d C प्राप्त करते हैं। अब गति का नियम विशिष्ट रूप से परिभाषित है:
गणित में, पारस्परिक संचालन असाइन किए जाते हैं अलग-अलग नाम, विशेष अंकन के साथ आएं: उदाहरण के लिए, वर्ग (x 2) और निकालना वर्गमूलसाइन (sinx) और आर्कसिन(आर्क्सिन एक्स), आदि। किसी दिए गए फ़ंक्शन के संबंध में व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया को विभेदन कहा जाता है, और व्युत्क्रम संक्रिया, अर्थात। किसी दिए गए व्युत्पन्न द्वारा एक फ़ंक्शन खोजने की प्रक्रिया - एकीकरण द्वारा।
"व्युत्पन्न" शब्द को "सांसारिक तरीके से" उचित ठहराया जा सकता है: फ़ंक्शन y - f (x) एक नया फ़ंक्शन y "= f" (x) फ़ंक्शन y \u003d f (x) के रूप में कार्य करता है जैसे कि एक "माता-पिता" के रूप में, लेकिन गणितज्ञ, निश्चित रूप से, इसे "माता-पिता" या "निर्माता" नहीं कहते हैं, वे कहते हैं कि यह फ़ंक्शन y "= f" (x), प्राथमिक छवि, या के संबंध में है, संक्षेप में, विरोधी व्युत्पन्न।
परिभाषा 1.फ़ंक्शन y \u003d F (x) को दिए गए अंतराल X पर फ़ंक्शन y \u003d f (x) के लिए एंटीडेरिवेटिव कहा जाता है, यदि X से सभी x के लिए समानता F "(x) \u003d f (x) सत्य है .
व्यवहार में, अंतराल X आमतौर पर इंगित नहीं किया जाता है, लेकिन निहित होता है (जैसा कि) प्राकृतिक क्षेत्रफ़ंक्शन परिभाषाएँ)।
यहाँ कुछ उदाहरण हैं:
1) फ़ंक्शन y \u003d x 2 फ़ंक्शन y \u003d 2x के लिए एक प्रतिपक्षी है, क्योंकि सभी x के लिए समानता (x 2) "\u003d 2x सत्य है।
2) फ़ंक्शन y - x 3 फ़ंक्शन y-3x 2 के लिए प्रतिपक्षी है, क्योंकि सभी x के लिए समानता (x 3)" \u003d 3x 2 सत्य है।
3) फलन y-sinx फलन y=cosx के लिए एक प्रतिअवकलन है, क्योंकि सभी x के लिए समानता (sinx) "=cosx मान्य है।
4) फलन अंतराल पर फलन के लिए अवकलज विरोधी है क्योंकि सभी x > 0 के लिए समानता सत्य है
सामान्य तौर पर, डेरिवेटिव खोजने के लिए सूत्रों को जानने के लिए, एंटीडेरिवेटिव खोजने के लिए सूत्रों की एक तालिका संकलित करना मुश्किल नहीं है।
हमें उम्मीद है कि आप समझ गए होंगे कि यह तालिका कैसे बनाई गई है: दूसरे कॉलम में लिखे गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पहले कॉलम की संबंधित पंक्ति में लिखे गए फ़ंक्शन के बराबर है (इसे जांचें, आलसी मत बनो, यह है बहुत उपयोगी)। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y \u003d x 5 के लिए, एंटीडेरिवेटिव, जैसा कि आप स्थापित करते हैं, फ़ंक्शन है (तालिका की चौथी पंक्ति देखें)।
टिप्पणियाँ: 1. नीचे हम इस प्रमेय को सिद्ध करते हैं कि यदि y = F(x) एक फलन y = f(x) के लिए एक प्रतिअवकलन है, तो फलन y = f(x) में अपरिमित रूप से कई प्रतिअवकलन होते हैं और उन सभी का रूप y = F होता है। (x) + C. इसलिए, तालिका के दूसरे कॉलम में हर जगह सी शब्द जोड़ना अधिक सही होगा, जहां सी एक मनमानी वास्तविक संख्या है।
2. संक्षिप्तता के लिए, कभी-कभी वाक्यांश के बजाय "फ़ंक्शन y = F(x) फ़ंक्शन y = f(x)" के लिए प्रतिअवकलन है, वे कहते हैं कि F(x) f(x) के लिए प्रतिअवकलन है ".
2. प्रतिपदार्थ ज्ञात करने के नियम
एंटीडेरिवेटिव की खोज करते समय, साथ ही डेरिवेटिव की खोज करते समय, न केवल सूत्रों का उपयोग किया जाता है (वे पृष्ठ 196 पर तालिका में सूचीबद्ध हैं), बल्कि कुछ नियम भी हैं। वे डेरिवेटिव की गणना के लिए संबंधित नियमों से सीधे संबंधित हैं।
हम जानते हैं कि किसी योग का अवकलज व्युत्पन्नों के योग के बराबर होता है। यह नियम एंटीडेरिवेटिव खोजने के लिए संबंधित नियम उत्पन्न करता है।
नियम 1किसी योग का प्रतिअवकलज प्रतिअवकलजों के योग के बराबर होता है।
हम आपका ध्यान इस शब्दांकन के कुछ "हल्केपन" की ओर आकर्षित करते हैं। वास्तव में, एक प्रमेय तैयार करना आवश्यक होगा: यदि फलन y = f(x) और y=g(x) के अंतराल X पर क्रमशः y-F(x) और y-G(x) प्रतिअवकलन हैं, तो योगफल फलन y = f(x) + g(x) का अंतराल X पर एक प्रतिअवकलन है और यह प्रतिअवकलन फलन y = F(x) + G(x) है। लेकिन आमतौर पर, नियम बनाते समय (और प्रमेय नहीं), कोई केवल छोड़ देता है कीवर्ड- इसलिए नियम को व्यवहार में लागू करना अधिक सुविधाजनक है
उदाहरण 2फलन y = 2x + cos x के लिए प्रतिअवकलन ज्ञात कीजिए।
समाधान। 2x के लिए प्रतिअवकलन x "है; cosx का प्रतिअवकलन sin x है। इसलिए, फलन y \u003d 2x + cos x के लिए प्रतिअवकलन फलन y \u003d x 2 + sin x (और सामान्य रूप से किसी भी फलन फॉर्म Y \u003d x 1 + sinx + C) ।
हम जानते हैं कि अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है। यह नियम एंटीडेरिवेटिव खोजने के लिए एक समान नियम उत्पन्न करता है।
नियम 2अचर गुणनखंड को अवकलज-विरोधी चिह्न से निकाला जा सकता है।
उदाहरण 3
समाधान। a) sin x का प्रतिअवकलज -cos x है; इसलिए, फ़ंक्शन y \u003d 5 sin x के लिए, एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन y \u003d -5 cos x होगा।
b) cos x का प्रतिअवकलज sin x है; इसलिए, प्रतिअवकलन फलन के लिए एक फलन होगा
c) x 3 के लिए प्रतिअवकलन x के लिए प्रतिअवकलन है, फलन y \u003d 1 के लिए प्रतिअवकलन है, फलन y \u003d x है। एंटीडेरिवेटिव खोजने के लिए पहले और दूसरे नियमों का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि फ़ंक्शन y \u003d 12x 3 + 8x-1 के लिए एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन है
टिप्पणी।जैसा कि आप जानते हैं, किसी उत्पाद का व्युत्पन्न डेरिवेटिव के उत्पाद के बराबर नहीं है (किसी उत्पाद को अलग करने का नियम अधिक जटिल है) और भागफल का व्युत्पन्न डेरिवेटिव के भागफल के बराबर नहीं है। इसलिए, उत्पाद के व्युत्पन्न या दो कार्यों के भागफल के प्रतिपक्षी को खोजने के लिए कोई नियम नहीं हैं। ध्यान से!
हमें प्रतिअवकलन ज्ञात करने के लिए एक और नियम प्राप्त होता है। हम जानते हैं कि फ़ंक्शन y \u003d f (kx + m) के व्युत्पन्न की गणना सूत्र द्वारा की जाती है
यह नियम एंटीडेरिवेटिव खोजने के लिए एक समान नियम उत्पन्न करता है।
नियम 3यदि y \u003d F (x) फ़ंक्शन y \u003d f (x) के लिए प्रतिपक्षी है, तो फ़ंक्शन y \u003d f (kx + m) के लिए प्रतिपक्षी कार्य है
वास्तव में,
इसका मतलब है कि यह फ़ंक्शन y \u003d f (kx + m) के लिए एक प्रतिपक्षी है।
तीसरे नियम का अर्थ इस प्रकार है। यदि आप जानते हैं कि फ़ंक्शन y \u003d f (x) के लिए एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन y \u003d F (x) है, और आपको फ़ंक्शन y \u003d f (kx + m) के एंटीडेरिवेटिव को खोजने की आवश्यकता है, तो आगे बढ़ें निम्नानुसार है: समान फ़ंक्शन F लें, लेकिन तर्क x के बजाय, व्यंजक xx+m को प्रतिस्थापित करें; इसके अलावा, फ़ंक्शन के संकेत से पहले "सुधार कारक" लिखना न भूलें
उदाहरण 4दिए गए कार्यों के लिए एंटीडेरिवेटिव खोजें:
समाधान, a) sin x का प्रतिअवकलज -cos x है; इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन y \u003d sin2x के लिए, एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन होगा
b) cos x का प्रतिअवकलज sin x है; इसलिए, प्रतिअवकलन फलन के लिए एक फलन होगा
c) x 7 के लिए प्रतिअवकलन इसलिए है, फलन y \u003d (4-5x) 7 के लिए, प्रतिअवकलन फलन होगा
3. अनिश्चितकालीन अभिन्न
हम पहले ही ऊपर नोट कर चुके हैं कि दिए गए फलन y = f(x) के लिए प्रतिअवकलन ज्ञात करने की समस्या के एक से अधिक हल हैं। आइए इस मुद्दे पर अधिक विस्तार से चर्चा करें।
सबूत। 1. मान लें कि y \u003d F (x) अंतराल X पर फ़ंक्शन y \u003d f (x) के लिए प्रतिपक्षी है। इसका मतलब है कि X से सभी x के लिए समानता x "(x) \u003d f (x) है सत्य। फॉर्म y \u003d F (x) + C के किसी भी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
(एफ (एक्स) + सी) \u003d एफ "(एक्स) + सी \u003d एफ (एक्स) + 0 \u003d एफ (एक्स)।
तो, (एफ(एक्स)+सी) = एफ(एक्स)। इसका अर्थ है कि y \u003d F (x) + C फ़ंक्शन y \u003d f (x) के लिए एक प्रतिअवकलन है।
इस प्रकार, हमने यह साबित कर दिया है कि यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) में एक एंटीडेरिवेटिव y \u003d F (x) है, तो फ़ंक्शन (f \u003d f (x) में असीम रूप से कई एंटीडेरिवेटिव हैं, उदाहरण के लिए, का कोई भी फ़ंक्शन फॉर्म y \u003d F (x) +C प्रतिअवकलन है।
2. आइए अब हम सिद्ध करें कि एंटीडेरिवेटिव का पूरा सेट संकेतित प्रकार के कार्यों से समाप्त हो गया है।
मान लीजिए y=F 1 (x) और y=F(x) अंतराल X पर फलन Y = f(x) के लिए दो अवकलज हैं। इसका अर्थ है कि अंतराल X से सभी x के लिए निम्नलिखित संबंध हैं: F^( एक्स) = एफ (एक्स); एफ "(एक्स) \u003d एफ (एक्स)।
फ़ंक्शन y \u003d F 1 (x) -.F (x) पर विचार करें और इसका व्युत्पन्न खोजें: (F, (x) -F (x)) "\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (एक्स) - एफ (एक्स) = 0।
यह ज्ञात है कि यदि अंतराल X पर किसी फलन का अवकलज समान रूप से शून्य के बराबर है, तो फलन अंतराल X पर स्थिर रहता है (§ 35 में प्रमेय 3 देखें)। इसलिए, एफ 1 (एक्स) -एफ (एक्स) \u003d सी, यानी। एफएक्स) \u003d एफ (एक्स) + सी।
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
उदाहरण 5समय से गति परिवर्तन का नियम v=-5sin2t निर्धारित है। गति का नियम s = s(t) ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि उस समय t=0 बिंदु का निर्देशांक संख्या 1.5 (अर्थात s(t) = 1.5) के बराबर था।
समाधान।चूंकि गति समय के एक फलन के रूप में निर्देशांक का व्युत्पन्न है, इसलिए हमें सबसे पहले गति के प्रतिअवकलन ज्ञात करने की आवश्यकता है, अर्थात्। फलन v = -5sin2t के लिए प्रतिअवकलन। इस तरह के एंटीडेरिवेटिव्स में से एक फंक्शन है, और सभी एंटीडेरिवेटिव्स के सेट का रूप है:
अचर C का एक विशिष्ट मान ज्ञात करने के लिए, हम प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करते हैं, जिसके अनुसार, s(0) = 1.5. सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर (1) मान t=0, S = 1.5, हम प्राप्त करते हैं:
प्राप्त मान C को सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करते हुए, हमें ब्याज की गति का नियम प्राप्त होता है:
परिभाषा 2.यदि किसी फलन y = f(x) में अंतराल X पर एक प्रतिअवकलन y = F(x) है, तो सभी प्रतिअवकलजों का समुच्चय, अर्थात् फॉर्म y \u003d F (x) + C के कार्यों के सेट को फ़ंक्शन y \u003d f (x) का अनिश्चितकालीन अभिन्न कहा जाता है और निरूपित किया जाता है:
(वे पढ़ते हैं: "x de x का अनिश्चितकालीन अभिन्न ef")।
अगले भाग में हम जानेंगे कि इस संकेतन का छिपा हुआ अर्थ क्या है।
इस पैराग्राफ में उपलब्ध एंटीडेरिवेटिव्स की तालिका के आधार पर, हम बुनियादी अनिश्चित इंटीग्रल की एक तालिका संकलित करेंगे:
एंटीडेरिवेटिव खोजने के लिए उपरोक्त तीन नियमों के आधार पर, हम संबंधित एकीकरण नियम बना सकते हैं।
नियम 1कार्यों के योग का समाकलन इन कार्यों के समाकलों के योग के बराबर होता है:
नियम 2अचर गुणनखंड को समाकल चिह्न से निकाला जा सकता है:
नियम 3यदि एक
उदाहरण 6अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:
समाधान, ए) पहले और दूसरे एकीकरण नियमों का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:
अब हम तीसरे और चौथे एकीकरण फ़ार्मुलों का उपयोग करते हैं:
परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:
बी) तीसरे एकीकरण नियम और सूत्र 8 का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:
ग) दिए गए समाकल के प्रत्यक्ष निर्धारण के लिए हमारे पास न तो संगत सूत्र है और न ही संगत नियम। ऐसे मामलों में, अभिन्न संकेत के तहत निहित अभिव्यक्ति के प्रारंभिक समान परिवर्तन कभी-कभी मदद करते हैं।
आइए उपयोग करें त्रिकोणमितीय सूत्रडाउनग्रेडिंग:
फिर क्रमिक रूप से हम पाते हैं:
ए.जी. मोर्दकोविच बीजगणित ग्रेड 10
गणित में कैलेंडर-विषयगत योजना, वीडियोगणित में ऑनलाइन, स्कूल में गणित
antiderivative
परिभाषा विरोधी व्युत्पन्न कार्य
- समारोह वाई = एफ (एक्स)फ़ंक्शन के लिए एंटीडेरिवेटिव कहा जाता है वाई = एफ (एक्स)एक निश्चित अंतराल पर एक्स,अगर सभी के लिए एक्स ∈एक्ससमानता रखती है: एफ′(एक्स) = एफ(एक्स)
इसे दो तरह से पढ़ा जा सकता है:
- एफ फ़ंक्शन व्युत्पन्न एफ
- एफ समारोह के लिए विरोधी व्युत्पन्न एफ
एंटीडेरिवेटिव्स की संपत्ति
- यदि एक एफ (एक्स)- समारोह के लिए विरोधी व्युत्पन्न एफ (एक्स)दिए गए अंतराल पर, तब फलन f(x) में अपरिमित रूप से कई प्रतिअवकलन होते हैं, और इन सभी प्रतिअवकलजों को इस प्रकार लिखा जा सकता है एफ (एक्स) + सी, जहां C एक मनमाना स्थिरांक है।
ज्यामितीय व्याख्या
- किसी दिए गए फ़ंक्शन के सभी एंटीडेरिवेटिव के ग्राफ़ एफ (एक्स) O अक्ष के साथ समानांतर स्थानान्तरण द्वारा किसी एक प्रतिअवकलन के ग्राफ से प्राप्त किए जाते हैं पर.
एंटीडेरिवेटिव्स की गणना के नियम
- योग का प्रतिअवकलज, प्रतिअवकलजों के योग के बराबर होता है. यदि एक एफ (एक्स)- आदिम के लिए एफ (एक्स), और G(x) के लिए प्रतिअवकलन है जी (एक्स), फिर एफ (एक्स) + जी (एक्स)- आदिम के लिए एफ (एक्स) + जी (एक्स).
- अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है. यदि एक एफ (एक्स)- आदिम के लिए एफ (एक्स), तथा कस्थिर है, तो केएफ (एक्स)- आदिम के लिए के एफ (एक्स).
- यदि एक एफ (एक्स)- आदिम के लिए एफ (एक्स), तथा कश्मीर, बी- स्थायी, और कश्मीर 0, फिर 1/के एफ (केएक्स + बी)- आदिम के लिए एफ (केएक्स + बी).
याद है!
कोई भी समारोह एफ (एक्स) \u003d एक्स 2 + सी , जहां C एक मनमाना स्थिरांक है, और केवल ऐसा फलन ही फलन के लिए एक प्रतिअवकलन है एफ (एक्स) = 2x.
- उदाहरण के लिए:
एफ "(एक्स) \u003d (एक्स 2 + 1)" \u003d 2x \u003d एफ (एक्स);
एफ (एक्स) = 2x,इसलिये एफ "(एक्स) \u003d (एक्स 2 - 1)" \u003d 2x \u003d एफ (एक्स);
एफ (एक्स) = 2x,इसलिये एफ "(एक्स) \u003d (एक्स 2 -3)" \u003d 2x \u003d एफ (एक्स);
किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ और उसके प्रतिअवकलन के बीच संबंध:
- यदि फ़ंक्शन का ग्राफ एफ (एक्स)> 0 एफ (एक्स)इस अंतराल में बढ़ता है।
- यदि फ़ंक्शन का ग्राफ एफ (एक्स)<0 अंतराल पर, फिर इसके प्रतिपदार्थ का ग्राफ एफ (एक्स)इस अंतराल में घट जाती है।
- यदि एक च (एक्स) = 0, तो इसके प्रतिअवकलन का आलेख एफ (एक्स)इस बिंदु पर वृद्धि से घटते (या इसके विपरीत) में परिवर्तन होता है।
प्रतिअवकलन को निरूपित करने के लिए, अनिश्चित समाकलन के चिह्न का प्रयोग किया जाता है, अर्थात् समाकलन की सीमाओं को इंगित किए बिना समाकलन।
अनिश्चितकालीन अभिन्न
परिभाषा:
- फलन f(x) का अनिश्चित समाकलन व्यंजक F(x) + C है, अर्थात् दिए गए फलन f(x) के सभी प्रतिअवकलजों का समुच्चय। अनिश्चित समाकल को इस प्रकार दर्शाया गया है: \int f(x) dx = F(x) + C
- एफ (एक्स)एकीकृत कहा जाता है;
- एफ (एक्स) डीएक्स- इंटीग्रैंड कहा जाता है;
- एक्स- एकीकरण का चर कहा जाता है;
- एफ (एक्स)- फलन f(x) के प्रतिअवकलजों में से एक;
- सेएक मनमाना स्थिरांक है।
अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण
- अनिश्चितकालीन समाकल का अवकलज समाकलन के बराबर होता है: (\int f(x) dx)\prime= f(x) ।
- समाकलन के अचर गुणनखंड को समाकल चिह्न से निकाला जा सकता है: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
- कार्यों के योग (अंतर) का समाकलन इन फलनों के समाकलों के योग (अंतर) के बराबर होता है: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
- यदि एक कश्मीर, बीअचर हैं, और k 0, तब \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.
प्रतिपदार्थों और अनिश्चित समाकलों की तालिका
| समारोह एफ (एक्स) | antiderivative एफ (एक्स) + सी | अनिश्चितकालीन अभिन्न \int f(x) dx = F(x) + C |
| 0 | सी | \int 0 डीएक्स = सी |
| एफ (एक्स) = के | एफ (एक्स) = केएक्स + सी | \int केडीएक्स = केएक्स + सी |
| f(x) = x^m, m\not = -1 | F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C | \int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C |
| f(x) = \frac(1)(x) | F(x) = l n \lvert x \rvert + C | \int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C |
| एफ (एक्स) = ई ^ एक्स | एफ(एक्स) = ई^एक्स + सी | \int e(^x )dx = e^x + C |
| f(x) = a^x | F(x) = \frac(a^x)(l na) + C | \int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C |
| f(x) = \sin x | F(x) = -\cos x + C | \int \sin x dx = -\cos x + C |
| f(x) = \cos x | एफ(एक्स)=\sin एक्स + सी | \int \cos x dx = \sin x + C |
| f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x) | एफ(एक्स) = -\ctg एक्स + सी | \int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C |
| f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x) | एफ (एक्स) = \ टीजी एक्स + सी | \int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C |
| f(x) = \sqrt(x) | F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C | |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(x)) | F(x) =2\sqrt(x) + C | |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2)) | F(x)=\arcsin x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2)) | एफ(एक्स)=\arctg एक्स + सी | \int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2)) | F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2)) | एफ(एक्स)=\arctg \frac (एक्स)(ए)+ सी | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C |
| f(x) =\frac(1)( 1+x^2) | एफ(एक्स)=\arctg + सी | \int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0) | F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C | \int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C |
| एफ(एक्स)=\टीजी एक्स | F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C | \int \tg x dx =-l n \lvert \cos x \rvert + C |
| एफ(एक्स)=\सीटीजी एक्स | F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C | \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\sinx) | F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C | \int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\cos x) | F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C | \int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C |
न्यूटन-लीबनिज सूत्र
होने देना एफ (एक्स)यह समारोह, एफइसकी मनमानी आदिम।
\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= एफ (बी) - एफ (ए)
कहाँ पे एफ (एक्स)- आदिम के लिए एफ (एक्स)
यानी फंक्शन का इंटीग्रल एफ (एक्स)अंतराल पर बिंदुओं पर प्रतिपदार्थों के अंतर के बराबर है बीतथा एक.
एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल
वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज एक खंड पर एक गैर-ऋणात्मक और निरंतर कार्य के ग्राफ से घिरा हुआ आंकड़ा कहलाता है एफ, अक्ष ऑक्स और सीधी रेखाएं एक्स = एतथा एक्स = बी.
न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके एक वक्रीय समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात किया जाता है:
एस= \int_(a)^(b) f(x) dx
एक सीधी रेखा के अनुदिश एक बिंदु की गति पर विचार करें। समय दें टीआंदोलन की शुरुआत से, बिंदु पथ से गुजर चुका है अनुसूचित जनजाति)।फिर तात्कालिक गति वी (टी)फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर अनुसूचित जनजाति),वह है वी (टी) = एस "(टी)।
व्यवहार में, एक व्युत्क्रम समस्या होती है: एक बिंदु की गति की दी गई गति के लिए वी (टी)उसका रास्ता खोजें अनुसूचित जनजाति), अर्थात्, इस तरह के एक समारोह को खोजने के लिए अनुसूचित जनजाति),जिसका व्युत्पन्न है वी (टी). समारोह अनुसूचित जनजाति),ऐसा है कि एस" (टी) = वी (टी), को फ़ंक्शन का व्युत्पन्नी कहा जाता है वी (टी)।
उदाहरण के लिए, यदि वी (टी) = पर, कहाँ पे एकदी गई संख्या है, तो फलन
एस (टी) = (2 पर) / 2वी (टी),इसलिये
एस "(टी) \u003d ((2 पर) / 2) " \u003d पर \u003d वी (टी)।
समारोह एफ (एक्स)प्रतिअवकलन फलन कहलाता है एफ (एक्स)कुछ अंतराल पर, यदि सभी के लिए एक्सइस अंतराल से एफ"(एक्स) = एफ(एक्स)।
उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन एफ (एक्स) = पाप एक्सफ़ंक्शन का प्रतिपक्षी है एफ (एक्स) = कॉस एक्स,इसलिये (पाप x)" = क्योंकि x; समारोह एफ (एक्स) \u003d एक्स 4 / 4फ़ंक्शन का प्रतिपक्षी है एफ (एक्स) = एक्स 3, इसलिये (x 4 / 4)" \u003d x 3।
आइए समस्या पर विचार करें।
एक कार्य.
सिद्ध कीजिए कि फलन x 3 /3, x 3/3 + 1, x 3/3 - 4 एक ही फलन f (x) \u003d x 2 के प्रतिअवकलन हैं।
समाधान.
1) एफ 1 (एक्स) \u003d एक्स 3 / 3, फिर एफ "1 (एक्स) \u003d 3 (एक्स 2 / 3) \u003d एक्स 2 \u003d एफ (एक्स) को निरूपित करें।
2) एफ 2 (एक्स) \u003d एक्स 3 / 3 + 1, एफ "2 (एक्स) \u003d (एक्स 3 / 3 + 1)" \u003d (एक्स 3 / 3) "+ (1)" \u003d एक्स 2 \u003d च ( एक्स)।
3) एफ 3 (एक्स) \u003d एक्स 3 / 3 - 4, एफ "3 (एक्स) \u003d (एक्स 3 / 3 - 4)" \u003d एक्स 2 \u003d एफ (एक्स)।
सामान्य तौर पर, कोई भी फलन x 3/3 + C, जहाँ C एक स्थिरांक है, फलन x 2 का प्रतिअवकलन है। यह इस तथ्य से निकलता है कि स्थिरांक का व्युत्पन्न शून्य है। इस उदाहरण से पता चलता है कि किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए, इसके एंटीडेरिवेटिव को विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया गया है।
मान लीजिए F 1 (x) और F 2 (x) एक ही फलन f(x) के दो अवकलज हैं।
फिर एफ 1 "(एक्स) = एफ (एक्स) और एफ" 2 (एक्स) = एफ (एक्स)।
उनके अंतर का व्युत्पन्न g (x) \u003d F 1 (x) - F 2 (x) शून्य के बराबर है, क्योंकि g "(x) \u003d F" 1 (x) - F "2 (x) \u003d एफ (एक्स) - एफ (एक्स) = 0।
यदि एक निश्चित अंतराल पर g "(x) \u003d 0, तो इस अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर फ़ंक्शन y \u003d g (x) के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर है। इसलिए, फ़ंक्शन का ग्राफ़ y \u003d g (x) ऑक्स अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है, अर्थात। g (x) \u003d C, जहाँ C कुछ स्थिर है, समानता से g (x) \u003d C, g (x) \u003d F 1 (एक्स) - एफ 2 (एक्स) यह इस प्रकार है कि एफ 1 (एक्स) \u003d एफ 2 (एक्स) + सी।
इसलिए, यदि फलन F(x) किसी अंतराल पर एक प्रतिअवकलन फलन f(x) है, तो सभी प्रतिअवकलन फलन f(x) को F(x) + के रूप में लिखा जाता है, जहां एक मनमाना स्थिरांक है।
दिए गए फलन f(x) के सभी अवकलजों के आलेखों पर विचार कीजिए। यदि F(x) फलन f(x) के प्रतिअवकलजों में से एक है, तो इस फलन का कोई भी प्रतिअवकलन F(x) में कुछ स्थिरांक जोड़कर प्राप्त किया जाता है: F(x) + C. फलन y = के आलेख F(x) + C ग्राफ y = F(x) से Oy अक्ष के अनुदिश एक शिफ्ट द्वारा प्राप्त किया जाता है। C को चुनकर, यह सुनिश्चित किया जा सकता है कि प्रतिअवकलन का आलेख किसी दिए गए बिंदु से होकर गुजरता है।
आइए हम आदिम खोजने के नियमों पर ध्यान दें।
याद रखें कि किसी दिए गए फलन के लिए अवकलज ज्ञात करने की संक्रिया कहलाती है भेदभाव. किसी दिए गए फलन के लिए प्रतिअवकलन ज्ञात करने की व्युत्क्रम संक्रिया कहलाती है एकीकरण(लैटिन शब्द . से "पुनर्स्थापित करना").
एंटीडेरिवेटिव्स की तालिकाकुछ कार्यों के लिए डेरिवेटिव की एक तालिका का उपयोग करके संकलित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह जानकर कि (कॉस एक्स)" = -सिन एक्स,हम पाते हैं (-cos x)" = पाप x, जहां से यह इस प्रकार है कि सभी विरोधी व्युत्पन्न कार्य पाप xरूप में लिखा है -कॉस एक्स + सी, कहाँ पे से- लगातार।
आइए एंटीडेरिवेटिव के कुछ मूल्यों पर विचार करें।
1) समारोह: एक्स पी, पी ≠ -1. एंटिडेरिवेटिव: (एक्स पी + 1) / (पी + 1) + सी।
2) समारोह: 1/एक्स, एक्स > 0.एंटिडेरिवेटिव: एलएनएक्स + सी।
3) समारोह: एक्स पी, पी ≠ -1. एंटिडेरिवेटिव: (एक्स पी + 1) / (पी + 1) + सी।
4) समारोह: भूतपूर्व. एंटिडेरिवेटिव: ई एक्स + सी।
5) समारोह: पाप x. एंटिडेरिवेटिव: -कॉस एक्स + सी।
6) समारोह: (केएक्स + बी) पी , पी ≠ -1, के ≠ 0।एंटिडेरिवेटिव: (((केएक्स + बी) पी+1) / के(पी+1)) + सी।
7) समारोह: 1/(केएक्स + बी), के 0. एंटिडेरिवेटिव: (1/के) एलएन (केएक्स + बी) + ।
8) समारोह: ई केएक्स + बी, के 0. एंटिडेरिवेटिव: (1/के) ई केएक्स + बी + सी।
9) समारोह: पाप (केएक्स + बी), के 0. एंटिडेरिवेटिव: (-1/के) क्योंकि (केएक्स + बी).
10)
समारोह: कॉस (केएक्स + बी), के 0।एंटिडेरिवेटिव: (1/के) पाप (केएक्स + बी)। 
एकीकरण नियमका उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है भेदभाव नियम. आइए कुछ नियमों को देखें।
होने देना एफ (एक्स)तथा जी (एक्स)कार्यों के क्रमशः, विरोधी हैं एफ (एक्स)तथा जी (एक्स)कुछ अंतराल पर। फिर:
1) समारोह एफ (एक्स) ± जी (एक्स)फ़ंक्शन का प्रतिपक्षी है एफ (एक्स) ± जी (एक्स);
2) समारोह एएफ (एक्स)फ़ंक्शन का प्रतिपक्षी है एएफ (एक्स)।
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