सहसंबंध के साथएक विशेषता का समान मान दूसरे के विभिन्न मूल्यों से मेल खाता है। उदाहरण के लिए: ऊंचाई और वजन के बीच, घातक नियोप्लाज्म और उम्र आदि की घटनाओं के बीच एक संबंध है।

सहसंबंध गुणांक की गणना के लिए 2 विधियाँ हैं: वर्गों की विधि (पियर्सन), रैंक की विधि (स्पीयरमैन)।

सबसे सटीक वर्ग विधि (पियर्सन) है, जिसमें सहसंबंध गुणांक सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: , जहां

r xy सांख्यिकीय श्रृंखला X और Y के बीच सहसंबंध गुणांक है।

d x सांख्यिकीय श्रृंखला X की प्रत्येक संख्या का उसके अंकगणितीय माध्य से विचलन है।

d y सांख्यिकीय श्रृंखला Y की प्रत्येक संख्या का उसके अंकगणितीय माध्य से विचलन है।

कनेक्शन की ताकत और उसकी दिशा के आधार पर, सहसंबंध गुणांक 0 से 1 (-1) तक हो सकता है। 0 का सहसंबंध गुणांक कनेक्शन की पूर्ण कमी को इंगित करता है। सहसंबंध गुणांक का स्तर 1 या (-1) के जितना करीब होगा, क्रमशः उतना ही अधिक होगा, इसके द्वारा मापी गई प्रत्यक्ष या प्रतिक्रिया के करीब। 1 या (-1) के बराबर सहसंबंध गुणांक के साथ, कनेक्शन पूर्ण, कार्यात्मक है।

सहसंबंध गुणांक द्वारा सहसंबंध की ताकत का आकलन करने की योजना

कनेक्शन की ताकत	सहसंबंध गुणांक का मान, यदि उपलब्ध हो
	सीधा कनेक्शन (+)	प्रतिक्रिया (-)
कोई कनेक्शन नहीं
संचार छोटा (कमजोर) है	0 से +0.29 . तक	0 से -0.29
संचार औसत (मध्यम)	+0.3 से +0.69	-0.3 से -0.69
संचार बड़ा (मजबूत)	+0.7 से +0.99	-0.7 से -0.99
संचार पूरा हो गया है (कार्यात्मक)

वर्गों की विधि का उपयोग करके सहसंबंध गुणांक की गणना करने के लिए, 7 स्तंभों की एक तालिका संकलित की जाती है। आइए एक उदाहरण का उपयोग करके गणना प्रक्रिया का विश्लेषण करें:

के बीच संबंधों की ताकत और प्रकृति का निर्धारण

	यह समय है- सत्ता गण्डमाला (वी आप )	डी एक्स = वी एक्स –एम एक्स	डी वाई = वी आप –एम आप	डी एक्स डी आप	डी एक्स 2	डी आप 2
				Σ -1345 ,0	Σ 13996 ,0	Σ 313 , 47

1. पानी में आयोडीन की औसत सामग्री (मिलीग्राम / एल में) निर्धारित करें।

मिलीग्राम/ली

2. गण्डमाला की औसत घटना को% में निर्धारित करें।

3. प्रत्येक V x का M x से विचलन ज्ञात कीजिए, अर्थात्। घ एक्स.

201-138=63; 178-138=40 आदि।

4. इसी प्रकार, हम प्रत्येक V y का M y से विचलन ज्ञात करते हैं, अर्थात्। डी

0.2–3.8=-3.6; 0.6-38=-3.2 आदि।

5. हम विचलन के उत्पादों का निर्धारण करते हैं। परिणामी उत्पाद को सारांशित किया जाता है और प्राप्त किया जाता है।

6. हम d x का वर्ग करते हैं और परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं, जो हमें प्राप्त होते हैं।

7. इसी प्रकार, हम d y का वर्ग करते हैं, परिणामों को सारांशित करते हैं, हमें प्राप्त होता है

8. अंत में, हम प्राप्त सभी राशियों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

सहसंबंध गुणांक की विश्वसनीयता के मुद्दे को हल करने के लिए, इसकी औसत त्रुटि सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

(यदि प्रेक्षणों की संख्या 30 से कम है, तो हर n-1 है)।

हमारे उदाहरण में

सहसंबंध गुणांक का मान विश्वसनीय माना जाता है यदि यह अपनी औसत त्रुटि से कम से कम 3 गुना अधिक हो।

हमारे उदाहरण में

इस प्रकार, सहसंबंध गुणांक विश्वसनीय नहीं है, जिससे टिप्पणियों की संख्या में वृद्धि करना आवश्यक हो जाता है।

सहसंबंध गुणांक को कुछ हद तक कम सटीक, लेकिन बहुत आसान तरीके से निर्धारित किया जा सकता है, रैंक विधि (स्पीयरमैन)।

स्पीयरमैन विधि: P=1-(6∑d 2 /n-(n 2 -1))

युग्मित तुलना सुविधाओं की दो पंक्तियाँ बनाएं, क्रमशः पहली और दूसरी पंक्तियों को निर्दिष्ट करते हुए, x और y। उसी समय, विशेषता की पहली पंक्ति को अवरोही या आरोही क्रम में प्रस्तुत करें, और दूसरी पंक्ति के संख्यात्मक मानों को पहली पंक्ति के उन मानों के विपरीत रखें जिनसे वे मेल खाते हैं

प्रत्येक तुलना की गई पंक्तियों में सुविधा के मूल्य को एक क्रमांक (रैंक) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। रैंक, या संख्याएं, पहली और दूसरी पंक्तियों के संकेतकों (मानों) के स्थानों को दर्शाती हैं। जिसमें संख्यात्मक मूल्यदूसरी विशेषता के लिए, रैंकों को उसी क्रम में असाइन किया जाना चाहिए जो उन्हें पहली विशेषता के मानों में वितरित करते समय अपनाया गया था। श्रृंखला में विशेषता के समान मूल्यों के साथ, रैंकों को इन मूल्यों की क्रमिक संख्याओं के योग से औसत संख्या के रूप में निर्धारित किया जाना चाहिए

x और y (d) के बीच रैंक में अंतर निर्धारित करें: d = x - y

परिणामी रैंक अंतर का वर्ग करें (डी 2)

अंतर के वर्गों का योग प्राप्त करें (Σ d 2) और प्राप्त मूल्यों को सूत्र में बदलें:

उदाहरण:वर्षों में सेवा की लंबाई और चोटों की आवृत्ति के बीच संबंध की दिशा और ताकत स्थापित करने के लिए रैंक पद्धति का उपयोग करना, यदि निम्न डेटा प्राप्त किया जाता है:

विधि के चुनाव के लिए तर्क:समस्या को हल करने के लिए, केवल रैंक सहसंबंध विधि को चुना जा सकता है, क्योंकि विशेषता की पहली पंक्ति "वर्षों में कार्य अनुभव" में खुले विकल्प हैं (1 वर्ष और 7 या अधिक वर्षों तक का कार्य अनुभव), जो अधिक सटीक विधि का उपयोग करने की अनुमति नहीं देता है - वर्गों की विधि - के बीच संबंध स्थापित करने के लिए तुलना विशेषताओं।

समाधान. गणना का क्रम पाठ में वर्णित है, परिणाम तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं। 2.

तालिका 2

वर्षों में कार्य अनुभव	चोटों की संख्या	सामान्य संख्या (रैंक)		रैंक अंतर	रैंक अंतर चुकता
				डी (एक्स-वाई)	डी 2

युग्मित संकेतों की प्रत्येक पंक्ति को "x" और "y" (कॉलम 1-2) द्वारा दर्शाया जाता है।

प्रत्येक चिन्ह के मान को एक रैंक (सीरियल) संख्या से बदल दिया जाता है। "X" श्रृंखला में रैंकों के वितरण का क्रम इस प्रकार है: विशेषता का न्यूनतम मूल्य (1 वर्ष तक का अनुभव) को क्रमांक "1" सौंपा गया है, जो क्रमशः विशेषता की उसी श्रृंखला के बाद के संस्करण हैं। , दूसरे, तीसरे, चौथे और पांचवें क्रमांक के बढ़ते क्रम में - रैंक (स्तंभ 3 देखें)। दूसरी विशेषता "y" (स्तंभ 4) में रैंक वितरित करते समय एक समान क्रम देखा जाता है। ऐसे मामलों में जहां एक ही आकार के कई प्रकार होते हैं (उदाहरण के लिए, मानक कार्य में, ये प्रति 100 श्रमिकों पर 12 और 12 चोटें हैं जिनका अनुभव 3-4 साल और 5-6 साल के अनुभव के साथ है), सीरियल नंबर द्वारा दर्शाया गया है उनके सीरियल नंबरों के योग से औसत संख्या। रैंकिंग में चोटों (12 चोटों) की संख्या पर ये डेटा 2 और 3 स्थानों पर कब्जा करना चाहिए, इसलिए उनकी औसत संख्या (2 + 3) / 2 = 2.5 है। ) समान रैंकिंग संख्या वितरित करनी चाहिए - "2.5" (स्तंभ 4)।

रैंकों में अंतर निर्धारित करें d = (x - y) - (स्तंभ 5)

रैंकों में अंतर (डी 2) और रैंक Σ डी 2 (स्तंभ 6) में अंतर के वर्गों का योग प्राप्त करना।

सूत्र का उपयोग करके रैंक सहसंबंध गुणांक की गणना करें:

जहाँ n पंक्ति "x" और पंक्ति "y" में विकल्पों के मिलान जोड़े की संख्या है

चरण 3. डेटा के बीच संबंध ढूँढना

रैखिक सहसंबंध

घटना के बीच संबंधों के अध्ययन के कार्य का अंतिम चरण सहसंबंध संकेतकों के अनुसार कनेक्शन की जकड़न का आकलन है। कारक और परिणामी संकेतों के बीच निर्भरता की पहचान करने के लिए, और, परिणामस्वरूप, अध्ययन के तहत घटना के निदान और भविष्यवाणी की संभावना के लिए यह चरण बहुत महत्वपूर्ण है।

निदान(ग्रीक से। निदान मान्यता) - इसके व्यापक अध्ययन के आधार पर किसी वस्तु या घटना की स्थिति के सार और विशेषताओं का निर्धारण।

भविष्यवाणी(ग्रीक से। पूर्वानुमान दूरदर्शिता, भविष्यवाणी) - कोई विशिष्ट भविष्यवाणी, भविष्य में किसी घटना की स्थिति के बारे में निर्णय (मौसम पूर्वानुमान, चुनाव परिणाम, आदि)। एक पूर्वानुमान एक वैज्ञानिक रूप से प्रमाणित परिकल्पना है जो अध्ययन के तहत प्रणाली, वस्तु या घटना की संभावित भविष्य की स्थिति और इस राज्य की विशेषता वाले संकेतकों के बारे में है। पूर्वानुमान एक पूर्वानुमान का विकास है, किसी घटना के विकास के लिए विशिष्ट संभावनाओं का विशेष वैज्ञानिक अध्ययन।

सहसंबंध की परिभाषा को याद करें:

सह - संबंध- यादृच्छिक चर के बीच निर्भरता, इस तथ्य में व्यक्त की गई कि एक चर का वितरण दूसरे चर के मूल्य पर निर्भर करता है।

सहसंबंध न केवल मात्रात्मक, बल्कि गुणात्मक विशेषताओं के बीच भी देखा जाता है। अस्तित्व विभिन्न तरीकेऔर संबंधों की निकटता का आकलन करने के लिए संकेतक। हम केवल पर ध्यान केंद्रित करेंगे रैखिक जोड़ी सहसंबंध गुणांक , जिसका उपयोग तब किया जाता है जब यादृच्छिक चर के बीच एक रैखिक संबंध होता है। व्यवहार में, असमान आयामों के यादृच्छिक चर के बीच संबंध के स्तर को निर्धारित करना अक्सर आवश्यक हो जाता है, इसलिए इस कनेक्शन की कुछ आयामहीन विशेषता होना वांछनीय है। ऐसी विशेषता (कनेक्शन का माप) रैखिक सहसंबंध का गुणांक है आरएक्सवाई, जो सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

कहाँ पे , .

को निरूपित करने और , आप सहसंबंध गुणांक की गणना के लिए निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त कर सकते हैं

.

अगर हम अवधारणा का परिचय देते हैं सामान्यीकृत विचलन , जो मानक विचलन के अंशों में माध्य से सहसंबद्ध मूल्यों के विचलन को व्यक्त करता है:

तब सहसंबंध गुणांक का व्यंजक रूप लेगा

.

यदि सहसंबंध गुणांक की गणना गणना तालिका से प्रारंभिक यादृच्छिक चर के अंतिम मूल्यों के आधार पर की जाती है, तो सहसंबंध गुणांक की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

.

रैखिक सहसंबंध गुणांक के गुण:

एक)। सहसंबंध गुणांक एक आयामहीन मात्रा है।

2). |आर| £1 या .

3). , ए, बी= स्थिरांक, - यदि यादृच्छिक चर X और Y के सभी मानों को एक स्थिरांक से गुणा (या विभाजित) किया जाता है, तो सहसंबंध गुणांक का मान नहीं बदलेगा।

4). , ए, बी= स्थिरांक, - यदि यादृच्छिक चर X और Y के सभी मान एक स्थिरांक से बढ़ाए (या घटाए गए) हैं तो सहसंबंध गुणांक का मान नहीं बदलेगा।

5). सहसंबंध गुणांक और प्रतिगमन गुणांक के बीच एक संबंध है:

सहसंबंध गुणांक के मूल्यों की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है:

संचार की निकटता का आकलन करने के लिए मात्रात्मक मानदंड:

प्रागैतिहासिक प्रयोजनों के लिए |r| . के साथ मात्राएँ > 0.7.

सहसंबंध गुणांक हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है कि दो यादृच्छिक चर के बीच एक रैखिक संबंध है, लेकिन यह इंगित नहीं करता है कि कौन सा चर दूसरे में परिवर्तन का कारण बनता है। वास्तव में, दो यादृच्छिक चरों के बीच संबंध स्वयं चरों के बीच एक कारण संबंध के बिना मौजूद हो सकता है, क्योंकि दोनों यादृच्छिक चरों में परिवर्तन तीसरे के परिवर्तन (प्रभाव) के कारण हो सकता है।

सहसंबंध गुणांक आरएक्सवाईमाना यादृच्छिक चर के संबंध में सममित है एक्सतथा यू. इसका मतलब यह है कि सहसंबंध गुणांक निर्धारित करने के लिए, यह पूरी तरह से उदासीन है कि कौन सी मात्रा स्वतंत्र है और कौन सी निर्भर है।

सहसंबंध गुणांक का महत्व

स्वतंत्र मात्राओं के लिए भी, माप परिणामों के यादृच्छिक बिखराव के कारण या यादृच्छिक चर के एक छोटे नमूने के कारण सहसंबंध गुणांक गैर-शून्य हो सकता है। इसलिए, सहसंबंध गुणांक के महत्व की जाँच की जानी चाहिए।

रैखिक सहसंबंध गुणांक के महत्व का परीक्षण के आधार पर किया जाता है छात्र का टी-टेस्ट :

.

यदि एक टी > टी क्रे(पी, नहीं-2), तो रैखिक सहसंबंध गुणांक महत्वपूर्ण है, और इसलिए, सांख्यिकीय संबंध भी महत्वपूर्ण है एक्सतथा यू.

.

गणना की सुविधा के लिए, स्वतंत्रता की डिग्री की एक अलग संख्या के लिए सहसंबंध गुणांक की आत्मविश्वास सीमा के मूल्यों की तालिकाएं बनाई गई हैं। एफ = एन-2 (दो-पूंछ परीक्षण) और महत्व के विभिन्न स्तर एक= 0.1; 0.05; 0.01 और 0.001। यह माना जाता है कि सहसंबंध महत्वपूर्ण है यदि गणना किए गए सहसंबंध गुणांक दिए गए के लिए सहसंबंध गुणांक की विश्वास सीमा के मूल्य से अधिक है एफतथा एक।

बड़े के लिए एनतथा एक= 0.01 सहसंबंध गुणांक की विश्वास सीमा के मूल्य की गणना अनुमानित सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

.

आंकड़ों में सहसंबंध गुणांक (अंग्रेज़ी सहसंबंध गुणांक) दो यादृच्छिक चर के बीच संबंध के अस्तित्व के बारे में परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए प्रयोग किया जाता है, और आपको इसकी ताकत का मूल्यांकन करने की भी अनुमति देता है। पोर्टफोलियो सिद्धांत में, इस सूचक का उपयोग आमतौर पर एक सुरक्षा (संपत्ति) पर वापसी और एक पोर्टफोलियो पर वापसी के बीच संबंधों की प्रकृति और ताकत को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। यदि इन चरों का वितरण सामान्य है या सामान्य के करीब है, तो उपयोग करें पियर्सन सहसंबंध गुणांक, जिसकी गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

कंपनी ए के शेयरों पर रिटर्न का मानक विचलन 0.6398, कंपनी बी के शेयर 0.5241 और पोर्टफोलियो 0.5668 होगा। ( आप पढ़ सकते हैं कि मानक विचलन की गणना कैसे की जाती है।)

कंपनी ए के शेयरों पर रिटर्न और पोर्टफोलियो पर रिटर्न का सहसंबंध गुणांक -0.864 होगा, और कंपनी बी का - 0.816 होगा।

आर ए \u003d -0.313 / (0.6389 * 0.5668) \u003d -0.864

आर बी \u003d 0.242 / (0.5241 * 0.5668) \u003d 0.816

यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि कंपनी ए और कंपनी बी के शेयरों पर पोर्टफोलियो रिटर्न और रिटर्न के बीच काफी मजबूत संबंध है। साथ ही, कंपनी ए के शेयरों पर रिटर्न एक बहुआयामी आंदोलन को दर्शाता है जिसमें रिटर्न पर रिटर्न होता है। पोर्टफोलियो, और कंपनी बी के शेयरों पर रिटर्न एक यूनिडायरेक्शनल मूवमेंट को दर्शाता है।

सहसंबंध गुणांक

सह - संबंध- दो या दो से अधिक यादृच्छिक चर का सांख्यिकीय संबंध (या वेरिएबल्स जिन्हें कुछ स्वीकार्य डिग्री सटीकता के साथ माना जा सकता है)। साथ ही, इनमें से एक या अधिक मात्राओं में परिवर्तन से अन्य या अन्य मात्राओं में एक व्यवस्थित परिवर्तन होता है। दो यादृच्छिक चरों के सहसंबंध का गणितीय माप सहसंबंध गुणांक है।

सहसंबंध सकारात्मक और नकारात्मक हो सकता है (यह भी संभव है कि कोई सांख्यिकीय संबंध न हो - उदाहरण के लिए, स्वतंत्र यादृच्छिक चर के लिए)। नकारात्मक सहसंबंध - सहसंबंध, जिसमें एक चर में वृद्धि दूसरे चर में कमी के साथ जुड़ी होती है, जबकि सहसंबंध गुणांक नकारात्मक होता है। सकारात्मक संबंध - एक सहसंबंध जिसमें एक चर में वृद्धि दूसरे चर में वृद्धि के साथ जुड़ी होती है, जबकि सहसंबंध गुणांक सकारात्मक होता है।

ऑटो सहसंबंध - एक ही श्रृंखला से यादृच्छिक चर के बीच सांख्यिकीय संबंध, लेकिन एक बदलाव के साथ लिया गया, उदाहरण के लिए, एक यादृच्छिक प्रक्रिया के लिए - समय में बदलाव के साथ।

होने देना एक्स,यू- एक ही प्रायिकता स्थान पर परिभाषित दो यादृच्छिक चर। तब उनका सहसंबंध गुणांक सूत्र द्वारा दिया जाता है:

,

जहां cov सहप्रसरण को दर्शाता है, और D विचरण या समकक्ष है,

,

जहां प्रतीक गणितीय अपेक्षा के लिए खड़ा है।

इस तरह के संबंध को आलेखीय रूप से दर्शाने के लिए, आप दोनों चरों के संगत अक्षों के साथ एक आयताकार समन्वय प्रणाली का उपयोग कर सकते हैं। मूल्यों की प्रत्येक जोड़ी को एक विशिष्ट प्रतीक के साथ चिह्नित किया जाता है। इस तरह के प्लॉट को "स्कैटरप्लॉट" कहा जाता है।

सहसंबंध गुणांक की गणना करने की विधि उस पैमाने के प्रकार पर निर्भर करती है जिससे चर संदर्भित होते हैं। इसलिए, अंतराल और मात्रात्मक पैमाने के साथ चर को मापने के लिए, पियर्सन सहसंबंध गुणांक (उत्पाद क्षणों का सहसंबंध) का उपयोग करना आवश्यक है। यदि दो चरों में से कम से कम एक का क्रमिक पैमाना है या सामान्य रूप से वितरित नहीं है, तो स्पीयरमैन के रैंक सहसंबंध या केंडल के τ (ताऊ) का उपयोग किया जाना चाहिए। मामले में जब दो चरों में से एक द्विबीजपत्री है, तो एक बिंदु दो-श्रृंखला सहसंबंध का उपयोग किया जाता है, और यदि दोनों चर द्विबीजपत्री हैं, तो चार-क्षेत्र सहसंबंध का उपयोग किया जाता है। दो गैर द्विबीजपत्री चरों के बीच सहसंबंध गुणांक की गणना तभी समझ में आती है जब उनके बीच संबंध रैखिक (यूनिडायरेक्शनल) हो।

केंडल सहसंबंध गुणांक

आपसी विकार को मापने के लिए प्रयोग किया जाता है।

स्पीयरमैन का सहसंबंध गुणांक

सहसंबंध गुणांक के गुण

यदि हम सहप्रसरण को दो यादृच्छिक चरों के अदिश गुणनफल के रूप में लेते हैं, तो यादृच्छिक चर का मान बराबर होगा , और कॉची-बन्याकोवस्की असमानता का परिणाम होगा: . , कहाँ पे । इसके अलावा, इस मामले में संकेत और कमिलान: ।

सहसंबंध विश्लेषण

सहसंबंध विश्लेषण- सांख्यिकीय डेटा को संसाधित करने की विधि, जिसमें गुणांक का अध्ययन करना शामिल है ( सहसंबंध) चर के बीच। इस मामले में, एक जोड़ी या कई जोड़े सुविधाओं के बीच सहसंबंध गुणांक की तुलना उनके बीच सांख्यिकीय संबंध स्थापित करने के लिए की जाती है।

लक्ष्य सहसंबंध विश्लेषण- एक चर के बारे में दूसरे चर की सहायता से कुछ जानकारी प्रदान करें। ऐसे मामलों में जहां लक्ष्य प्राप्त करना संभव है, हम कहते हैं कि चर सहसंबंधी. बहुत में सामान्य दृष्टि सेसहसंबंध की उपस्थिति की परिकल्पना को स्वीकार करने का अर्थ है कि चर A के मान में परिवर्तन B के मान में आनुपातिक परिवर्तन के साथ-साथ होगा: यदि दोनों चर बढ़ते हैं, तो सहसंबंध सकारात्मक हैयदि एक चर बढ़ता है और दूसरा घटता है, सहसंबंध नकारात्मक है.

सहसंबंध केवल मात्राओं की रैखिक निर्भरता को दर्शाता है, लेकिन उनकी कार्यात्मक कनेक्टिविटी को नहीं दर्शाता है। उदाहरण के लिए, यदि हम मानों के बीच सहसंबंध गुणांक की गणना करते हैं ए = एसमैंएन(एक्स) तथा बी = सीहेएस(एक्स) , तो यह शून्य के करीब होगा, यानी मात्राओं के बीच कोई निर्भरता नहीं है। इस बीच, मात्रा ए और बी स्पष्ट रूप से कानून के अनुसार कार्यात्मक रूप से संबंधित हैं एसमैंएन 2 (एक्स) + सीहेएस 2 (एक्स) = 1 .

सहसंबंध विश्लेषण की सीमाएं

उनमें से प्रत्येक के लिए संगत x और y सहसंबंध गुणांक के साथ जोड़े (x,y) के वितरण के ग्राफ़। ध्यान दें कि सहसंबंध गुणांक एक रैखिक संबंध (शीर्ष पंक्ति) को दर्शाता है, लेकिन एक संबंध वक्र (मध्य पंक्ति) का वर्णन नहीं करता है, और जटिल, गैर-रैखिक संबंधों (निचली पंक्ति) का वर्णन करने के लिए बिल्कुल उपयुक्त नहीं है।

1. अध्ययन के लिए पर्याप्त मामले होने पर आवेदन संभव है: एक विशेष प्रकार के सहसंबंध गुणांक के लिए, यह 25 से 100 जोड़े के अवलोकन तक होता है।
2. दूसरी सीमा सहसंबंध विश्लेषण की परिकल्पना से आती है, जिसमें शामिल हैं चर की रैखिक निर्भरता. कई मामलों में, जब यह विश्वसनीय रूप से ज्ञात होता है कि संबंध मौजूद है, तो सहसंबंध विश्लेषण केवल इसलिए परिणाम नहीं दे सकता है क्योंकि संबंध गैर-रैखिक है (व्यक्त, उदाहरण के लिए, एक परवलय के रूप में)।
3. अपने आप में, सहसंबंध का तथ्य यह दावा करने के लिए आधार नहीं देता है कि कौन सा चर पहले या परिवर्तन का कारण बनता है, या कि चर आमतौर पर एक दूसरे से संबंधित हैं, उदाहरण के लिए, तीसरे कारक की कार्रवाई के कारण।

आवेदन क्षेत्र

सांख्यिकीय डेटा को संसाधित करने की यह विधि अर्थशास्त्र और सामाजिक विज्ञान (विशेष रूप से, मनोविज्ञान और समाजशास्त्र में) में बहुत लोकप्रिय है, हालांकि सहसंबंध गुणांक का दायरा व्यापक है: औद्योगिक उत्पादों, धातु विज्ञान, कृषि रसायन विज्ञान, जल विज्ञान, बायोमेट्रिक्स और अन्य का गुणवत्ता नियंत्रण।

विधि की लोकप्रियता दो बिंदुओं के कारण है: सहसंबंध गुणांक की गणना करना अपेक्षाकृत आसान है, उनके आवेदन के लिए विशेष गणितीय प्रशिक्षण की आवश्यकता नहीं होती है। व्याख्या में आसानी के साथ, गुणांक के आवेदन में आसानी ने सांख्यिकीय डेटा विश्लेषण के क्षेत्र में इसका व्यापक उपयोग किया है।

नकली सहसंबंध

सहसंबंध अध्ययन की अक्सर आकर्षक सादगी शोधकर्ता को लक्षणों के जोड़े के बीच एक कारण संबंध की उपस्थिति के बारे में गलत सहज निष्कर्ष निकालने के लिए प्रोत्साहित करती है, जबकि सहसंबंध गुणांक केवल सांख्यिकीय संबंध स्थापित करते हैं।

सामाजिक विज्ञान की आधुनिक मात्रात्मक पद्धति में, वास्तव में, अनुभवजन्य तरीकों द्वारा देखे गए चर के बीच कारण संबंध स्थापित करने के प्रयासों का परित्याग किया गया है। इसलिए, जब सामाजिक विज्ञान के शोधकर्ता उन चरों के बीच संबंध स्थापित करने की बात करते हैं जिनका वे अध्ययन करते हैं, तो या तो एक सामान्य सैद्धांतिक धारणा या एक सांख्यिकीय निर्भरता निहित होती है।

यह सभी देखें

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

देखें कि "सहसंबंध गुणांक" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

सहसंबंध गुणांक- माप की दो श्रृंखलाओं के बीच संबंध की डिग्री का गणितीय प्रतिनिधित्व। +1 का एक कारक एक मजबूत सकारात्मक सहसंबंध को इंगित करता है: एक आयाम पर उच्च स्कोर (जैसे ऊंचाई) दूसरे पर उच्च स्कोर के साथ बिल्कुल सहसंबंधित होता है ... ... महान मनोवैज्ञानिक विश्वकोश

- ρ यादृच्छिक चर X और Y: के बीच एक रैखिक संबंध की ताकत का एक उपाय है, जहां EX, X की अपेक्षा है; DX विचरण X, EY गणितीय अपेक्षा Y; डीवाई विचरण वाई; 1 1. यदि X, Y रैखिक रूप से जुड़े हुए हैं, तो = ± 1. के लिए…… भूवैज्ञानिक विश्वकोश

अंग्रेज़ी गुणांक, सहसंबंध; जर्मन सहसंबंध दो या दो से अधिक चरों के बीच संबंध की निकटता का माप। एंटीनाज़ी। समाजशास्त्र का विश्वकोश, 2009 ... समाजशास्त्र का विश्वकोश

सहसंबंध गुणांक- - जैव प्रौद्योगिकी विषय एन सहसंबंध गुणांक ... तकनीकी अनुवादक की हैंडबुक

सहसंबंध गुणांक- (सहसंबंध गुणांक) सहसंबंध गुणांक दो यादृच्छिक चर की निर्भरता का एक सांख्यिकीय संकेतक है सहसंबंध गुणांक की परिभाषा, सहसंबंध गुणांक के प्रकार, सहसंबंध गुणांक के गुण, गणना और अनुप्रयोग ... ... निवेशक का विश्वकोश

सहसंबंध गुणांक- 1.33। सहसंबंध गुणांक उनके मानक विचलन के उत्पाद के लिए दो यादृच्छिक चर के सहप्रसरण का अनुपात: नोट 1. यह मान हमेशा चरम मूल्यों सहित शून्य से 1 से प्लस 1 तक मान लेगा। 2. यदि दो यादृच्छिक ... ... मानक और तकनीकी दस्तावेज की शर्तों की शब्दकोश-संदर्भ पुस्तक

सहसंबंध गुणांक- (सहसंबंध गुणांक) एक चर के दूसरे के साथ जुड़ाव का एक उपाय। सहसंबंध देखें; पियर्सन व्युत्पन्न मूल्य सहसंबंध गुणांक; स्पीयरमैन का रैंक सहसंबंध गुणांक ... बड़ा व्याख्यात्मक समाजशास्त्रीय शब्दकोश

सहसंबंध गुणांक- सहसंबंध गुणांक दो चर के बीच रैखिक संबंध की डिग्री का एक संकेतक: सहसंबंध गुणांक 1 से 1 तक भिन्न हो सकता है। यदि एक मान के बड़े मान मेल खाते हैं बड़े मूल्यअन्य (और... अर्थशास्त्र पर शब्दकोश-संदर्भ पुस्तक

सबसे महत्वपूर्ण लक्ष्य आंकड़ेघटना के बीच वस्तुनिष्ठ मौजूदा संबंधों का अध्ययन है। इन संबंधों के सांख्यिकीय अध्ययन के दौरान, संकेतकों के बीच कारण संबंधों की पहचान करना आवश्यक है, अर्थात। कुछ संकेतकों में परिवर्तन कैसे अन्य संकेतकों में परिवर्तन पर निर्भर करता है।

निर्भरता की दो श्रेणियां (कार्यात्मक और सहसंबंध) और संकेतों के दो समूह (संकेत-कारक और प्रभावी संकेत) हैं। कार्यात्मक संबंध के विपरीत, जहां कारक और परिणामी विशेषताओं के बीच पूर्ण पत्राचार होता है, सहसंबंध संबंध में ऐसा कोई पूर्ण पत्राचार नहीं होता है।

सह - संबंध- यह एक ऐसा संबंध है जहां वास्तविक डेटा के बड़े पैमाने पर अवलोकन के साथ व्यक्तिगत कारकों का प्रभाव केवल एक प्रवृत्ति (औसतन) के रूप में प्रकट होता है। सहसंबंध निर्भरता के उदाहरण बैंक की संपत्ति के आकार और बैंक के लाभ की मात्रा, श्रम उत्पादकता में वृद्धि और कर्मचारियों की सेवा की लंबाई के बीच निर्भरता हो सकते हैं।

सहसंबंध निर्भरता का सबसे सरल संस्करण युग्म सहसंबंध है, अर्थात। दो संकेतों के बीच निर्भरता (प्रभावी और तथ्यात्मक या दो भाज्य के बीच)। गणितीय रूप से, इस निर्भरता को कारक सूचक x पर प्रभावी संकेतक y की निर्भरता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। कनेक्शन प्रत्यक्ष और विपरीत हो सकते हैं। पहले मामले में, विशेषता x में वृद्धि के साथ, विशेषता y भी बढ़ जाती है; प्रतिक्रिया के साथ, विशेषता x में वृद्धि के साथ, विशेषता y घट जाती है।

सबसे महत्वपूर्ण कार्य समीकरण के मापदंडों की बाद की गणना के साथ कनेक्शन के रूप को निर्धारित करना है, या, दूसरे शब्दों में, कनेक्शन के समीकरण को खोजना ( प्रतिगमन समीकरण).

विभिन्न हो सकते हैं संपर्क प्रपत्र:

सीधा

वक्रीयफॉर्म में: सेकेंड ऑर्डर पैराबोलस (या उच्च ऑर्डर)

अतिशयोक्ति

घातीय कार्य, आदि।

इन सभी युग्मन समीकरणों के पैरामीटर आमतौर पर से निर्धारित होते हैं सामान्य समीकरणों की प्रणाली, जो कम से कम वर्ग विधि (एलएसएम) की आवश्यकता को पूरा करना चाहिए:

यदि संबंध दूसरे क्रम के परवलय द्वारा व्यक्त किया जाता है ( ), तो मापदंडों को खोजने के लिए सामान्य समीकरणों की प्रणाली a0, a1, a2 (इस तरह के कनेक्शन को कई कहा जाता है, क्योंकि यह दो से अधिक कारकों की निर्भरता को दर्शाता है) के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

एक और प्रमुख कार्य है निर्भरता जकड़न माप- संचार के सभी रूपों के लिए अनुभवजन्य सहसंबंध अनुपात की गणना करके हल किया जा सकता है:

जहां - प्रभावी संकेतक के बराबर मूल्यों की एक श्रृंखला में विचरण;

वास्तविक मूल्यों की एक श्रृंखला में फैलाव y.

एक युग्मित रैखिक निर्भरता की जकड़न की डिग्री निर्धारित करने के लिए, रैखिक सहसंबंध गुणांक r, जिसकी गणना, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित दो सूत्रों का उपयोग करके की जा सकती है:

रैखिक सहसंबंध गुणांक -1 से + 1 या मोडुलो 0 से 1 तक के मान ले सकता है। निरपेक्ष मान में यह 1 के जितना करीब होगा, संबंध उतना ही करीब होगा। संकेत कनेक्शन की दिशा को इंगित करता है: "+" - प्रत्यक्ष निर्भरता, "-" व्युत्क्रम निर्भरता के साथ होता है।

सांख्यिकीय अभ्यास में, ऐसे मामले हो सकते हैं जहां कारक की गुणवत्ता और परिणामी विशेषताओं को संख्यात्मक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इसलिए, निर्भरता की निकटता को मापने के लिए, अन्य संकेतकों का उपयोग करना आवश्यक है। इस उद्देश्य के लिए, तथाकथित गैर-पैरामीट्रिक तरीके.

सबसे व्यापक हैं रैंक सहसंबंध गुणांक, जो सांख्यिकीय श्रृंखला के मूल्यों की संख्या के सिद्धांत पर आधारित हैं। रैंकों के सहसंबंध गुणांक का उपयोग करते समय, यह x और y संकेतकों के मान नहीं हैं जो सहसंबद्ध हैं, बल्कि केवल उनके स्थानों की संख्या है जो वे मूल्यों की प्रत्येक श्रृंखला में व्याप्त हैं। इस मामले में, प्रत्येक व्यक्तिगत इकाई की संख्या उसकी रैंक होगी।

के. स्पीयरमैन और एम. केंडल द्वारा क्रमबद्ध पद्धति के उपयोग के आधार पर सहसंबंध गुणांक प्रस्तावित किए गए थे।

स्पीयरमैन रैंक सहसंबंध गुणांक(पी) परिणामी और कारक विशेषताओं के मूल्यों के रैंकों के बीच अंतर पर विचार पर आधारित है और सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है

जहाँ d = Nx - Ny, अर्थात्। x और y मानों के प्रत्येक युग्म की कोटि का अंतर; n प्रेक्षणों की संख्या है।

केंडल रैंक सहसंबंध गुणांक() सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है

जहां एस = पी + क्यू।

गैर-पैरामीट्रिक अनुसंधान विधियों में शामिल हैं संघ गुणांककूस और आकस्मिकता कारक Kkon, जिनका उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, गुणात्मक विशेषताओं के बीच संबंध की निकटता की जांच करना आवश्यक है, जिनमें से प्रत्येक को वैकल्पिक सुविधाओं के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

इन गुणांकों को निर्धारित करने के लिए, एक गणना तालिका ("चार फ़ील्ड" तालिका) बनाई जाती है, जहां सांख्यिकीय विधेय को निम्न रूप में योजनाबद्ध रूप से प्रस्तुत किया जाता है:

लक्षण

यहाँ a, b, c, d दो वैकल्पिक संकेतों के परस्पर संयोजन (संयोजन) की आवृत्तियाँ हैं; n आवृत्तियों का कुल योग है।

उत्पाद आवंटन गुणांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि समान डेटा के लिए, आकस्मिकता गुणांक (-1 से +1 तक भिन्न होता है) हमेशा संबद्धता गुणांक से कम होता है।

यदि वैकल्पिक सुविधाओं के बीच संबंध की निकटता का आकलन करना आवश्यक है जो कि किसी भी संख्या में मूल्य विकल्प ले सकते हैं, तो आवेदन करें पियर्सन का पारस्परिक संयुग्मन गुणांक(केपी)।

इस प्रकार के संबंध का अध्ययन करने के लिए प्राथमिक सांख्यिकीय सूचना को एक तालिका के रूप में रखा गया है:

लक्षण

यहाँ मिज दो गुणकारी विशेषताओं के पारस्परिक संयोजन की आवृत्तियाँ हैं; P प्रेक्षणों के युग्मों की संख्या है।

पियर्सन का पारस्परिक आकस्मिकता गुणांकसूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

माध्य वर्ग संयुग्मता सूचकांक कहाँ है:

पारस्परिक आकस्मिकता गुणांक 0 से 1 तक भिन्न होता है।

अंत में, इसका उल्लेख किया जाना चाहिए फेचनर गुणांक, जो कनेक्शन की निकटता की प्राथमिक डिग्री की विशेषता है, जिसे प्रारंभिक जानकारी की एक छोटी राशि होने पर कनेक्शन के अस्तित्व के तथ्य को स्थापित करने के लिए उपयोग करने की सलाह दी जाती है। यह गुणांक सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

जहां ना उनके अंकगणितीय माध्य से व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन के संकेतों के संयोगों की संख्या है; एनबी - क्रमशः, बेमेल की संख्या।

Fechner गुणांक -1.0 Kf +1.0 के भीतर भिन्न हो सकता है।