1. Coupe axiale cylindre est une section du cylindre par un plan passant par son axe. La section transversale axiale du cylindre est rectangle.

2. Coupe d'un cylindre avec un plan parallèle à la base.
Dans ce cas, la section transversale est un cercle égal et parallèle à la base.

Cône

Un cône est un corps géométrique constitué d'un cercle - terrains cône, un point ne se trouvant pas dans le plan de ce cercle, − pics cône et tous les segments reliant le haut du cône aux pointes de la base.

Les segments reliant le sommet du cône aux points du cercle de base sont appelés formant cône

Le cône s'appelle direct, si la droite reliant le sommet du cône au centre de la base est perpendiculaire au plan de la base.

Sur riz. UN) cône droit, b) cône incliné.

Dans ce qui suit nous ne considérerons qu'un cône droit !

S- le sommet du cône.

Cercle avec des centres À PROPOS– la base du cône.

S.A.,C.B., CS– formant des cônes.

Hauteur d’un cône est appelée la perpendiculaire descendant de son sommet jusqu’au plan de la base.

Axe d'un cône est une droite contenant sa hauteur ( DONC).

Propriétés du cône :

Les génératrices du cône sont égales.

Un cône peut être considéré comme un corps obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour de son côté.

Les sections les plus simples d'un cône.

1. Coupe axiale Le cône est une section d'un cône par un plan passant par son axe. La section axiale du cône est Triangle.

2. Section d'un cône avec un plan parallèle à la base.
Dans ce cas, la section transversale est un cercle semblable et parallèle à la base.

Une balle est un corps géométrique composé de tous les points de l'espace situés à une distance non supérieure à une distance donnée d'un point donné.

Ce point ( À PROPOS) est appelé centre balle, et cette distance est rayon balle.

La limite de la balle s'appelle surface sphérique ou sphère.

Tout segment reliant le centre d'une balle à un point de la surface sphérique est appelé rayon balle ( O.D., OB, OA).

Diamètre de la boule est un segment reliant deux points d'une surface sphérique et passant par le centre de la balle ( UN B).

Propriétés de la balle :

Les rayons de la balle sont égaux ;

Les diamètres de la balle sont égaux.

Une balle peut être considérée comme un corps obtenu en faisant tourner un demi-cercle autour de son diamètre.

Les sections les plus simples d'un ballon

1. Section d'une balle par un plan passant par son centre. Dans ce cas, la section est grand cercle.

2. Section d'une balle par un avion Pas passant par son centre. Dans ce cas, la section est cercle.

Surface cylindrique m Une ligne droite m, se déplaçant le long d'une courbe, décrit une surface cylindrique. Si cette courbe est fermée, alors une surface cylindrique fermée est décrite. Si une courbe fermée a la forme d’un cercle, alors un cylindre circulaire est décrit. Si la droite m est perpendiculaire au plan de la courbe, alors un cylindre circulaire droit est décrit. TYPES DE CYLINDRES Cylindre elliptique TYPES DE CYLINDRES Cylindre hyperbolique TYPES DE CYLINDRES Cylindre parabolique 26/07/2014 6 Définition d'un cylindre. Un cylindre est un corps constitué de deux cercles qui ne se trouvent pas dans le même plan et réunis par translation parallèle, et de tous les segments reliant les points correspondants de ces cercles. Cylindre Un cylindre peut être obtenu en faisant tourner un rectangle autour d'une ligne droite contenant l'un de ses côtés. Le rayon d'un cylindre est le rayon de sa base. La hauteur d'un cylindre est la distance entre les plans de ses bases. L'axe d'un cylindre est une droite passant par les centres des bases. Propriétés du cylindre. 1) Les bases sont égales et parallèles. 2) Toutes les génératrices du cylindre sont parallèles et égales entre elles Développement du cylindre La surface latérale du cylindre se développe en un rectangle dont un côté est la hauteur du cylindre et l'autre la longueur de la circonférence de base Un cylindre équilatéral est un cylindre dont la section axiale est la section carrée du cylindre. La section transversale d'un cylindre dont le plan est parallèle à son axe est un rectangle. Ses deux côtés sont des génératrices du cylindre, et les deux autres sont des cordes parallèles des bases. La section du cylindre passant par l’axe du cylindre est appelée section axiale et est également un rectangle. Un plan parallèle au plan de la base du cylindre coupe sa surface latérale selon un cercle égal à la circonférence de la base. Plan tangent Si un plan a une ligne droite commune avec la surface latérale, alors ce plan est appelé plan tangent. La ligne de tangence est la génératrice du cylindre. Les surfaces pleines et latérales du cylindre. La surface latérale du cylindre est un rectangle dont un côté est la hauteur du cylindre et l'autre est la circonférence. La surface complète du cylindre est constituée de deux cercles et d'une surface latérale. L H 2 RH S surface latérale du cylindre et S du cercle R 2 R 2 RH 2 R (R H) 2 S du cercle S latérale S surface totale du cylindre 2 et surface du cylindre 2 et Volume du cylindre Le volume de le cylindre est égal au produit de l'aire de base et de la hauteur du cylindre. V S base V R 2 H H Expliquez ce qu'est un cylindre circulaire droit ? Quels sont le rayon, la hauteur, la génératrice et l'axe du cylindre ? Quelle est la section axiale d'un cylindre ? Quel cylindre est appelé équilatéral ? Quelle est la section d'un cylindre par un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre ? Qu’entend-on par surface latérale et totale du cylindre ? Comment trouver la surface latérale et totale d'un cylindre ? ÉLÉMENTS D'UN CYLINDRE Problème 1. La section axiale d'un cylindre est un carré dont l'aire est Q. Trouvez l'aire de la base du cylindre. Étant donné : cylindre, section axiale - carré Ssection = Q Trouver : Sbas = Cercle Solution : Problème 2. La surface latérale du cylindre se transforme en un carré d'une aire de 4 cm2. Trouvez la surface totale et le volume du cylindre. Supposons 3 N lcircle Étant donné : cylindre Sq = 4 cm2 Trouver : Sp.p., Vcyl. Solution : Laboratoire et travaux pratiques Thème : Cylindre 1. Définition, propriétés. 2. Dessin, dimensions en mm. 3. Calculez : a) l’aire de base b) la surface latérale du cylindre. c) toute la surface du cylindre. d) volume du cylindre. Problèmes La diagonale de la section axiale est de 48 cm. L'angle entre la diagonale et la génératrice du cylindre est de 60°. Trouvez 1) la hauteur du cylindre ; 2) rayon du cylindre ; 3) Sbas La hauteur du cylindre est de 8 cm, le rayon est de 5 cm. Trouvez l'aire de la section transversale d'un plan parallèle à son axe si la distance entre ce plan et l'axe du cylindre est de 3 cm. L'aire de la surface latérale du cylindre est S. Trouvez la transversale axiale. zone de coupe du cylindre. Le cylindre est obtenu en faisant tourner un carré de côté α autour d'un de ses côtés. Trouvez l’aire de : 1) la section axiale du cylindre ; 2) toute la surface du cylindre Cylindre Originalité dans la conception et l'architecture Problème : De combien le volume de la chambre de combustion du moteur de voiture GAZ-53 augmentera-t-il si le diamètre du piston est de 10 cm et la course du piston est de 9 cm ? Solution V=пR2H : V=3,14 52 9=706,5 (cm3) Problème Déterminer la capacité du réservoir d'huile de la pompe de direction assistée de la voiture ZIL130, si son diamètre est de 126 mm et sa hauteur est de 140 mm Solution V=пR2H. =3,14. 3969,140=174477,24

Cylindre (cylindre circulaire droit) est un corps constitué de deux cercles (les bases d'un cylindre), réunis par translation parallèle, et de tous les segments reliant les points correspondants de ces cercles lors d'une translation parallèle. Les segments reliant les points correspondants des cercles de base sont appelés générateurs du cylindre.

Voici une autre définition :

Cylindre- un corps limité par une surface cylindrique à guide fermé et deux plans parallèles coupant les génératrices de cette surface.

Surface cylindrique- une surface formée par le mouvement d'une ligne droite le long d'une certaine courbe. La ligne droite est appelée génératrice de la surface cylindrique et la ligne courbe est appelée le guide de la surface cylindrique.

Surface latérale du cylindre- partie d'une surface cylindrique limitée par des plans parallèles.

Bases de cylindre- des parties de plans parallèles coupées par la surface latérale du cylindre.

Fig.1 mini

Le cylindre s'appelle direct(Cm. Fig. 1), si ses génératrices sont perpendiculaires aux plans des bases. Sinon le cylindre s'appelle incliné.

Cylindre circulaire- un cylindre dont les bases sont des cercles.

Cylindre circulaire droit (juste un cylindre) est un corps obtenu en faisant tourner un rectangle autour d'un de ses côtés. Cm. Fig. 1.

Rayon du cylindre est le rayon de sa base.

Générateur du cylindre- génératrice d'une surface cylindrique.

Hauteur du cylindre est appelée la distance entre les plans des bases. Axe du cylindre appelée ligne droite passant par les centres des bases. La section d'un cylindre par un plan passant par l'axe du cylindre s'appelle coupe axiale.

L'axe du cylindre est parallèle à sa génératrice et est l'axe de symétrie du cylindre.

Un plan passant par la génératrice d'un cylindre droit et perpendiculaire à la section axiale tracée par cette génératrice est appelé plan tangent au cylindre. Cm. Figure 2.

Développement de la surface latérale du cylindre- un rectangle de côtés égaux à la hauteur du cylindre et à la circonférence de la base.

Surface côté cylindre- zone de développement de la surface latérale. $$S_(side)=2\pi\cdot rh$$ , où h est la hauteur du cylindre, et r– rayon de la base.

Surface totale d'un cylindre- l'aire, qui est égale à la somme des aires des deux bases du cylindre et de sa surface latérale, c'est-à-dire est exprimé par la formule : $$S_(full)=2\pi\cdot r^2 + 2\pi\cdot rh = 2\pi\cdot r(r+h)$$ , où h est la hauteur du cylindre, et r– rayon de la base.

Volume de n'importe quel cylindreégal au produit de l'aire de la base et de la hauteur : $$V = S\cdot h$$ Volume d'un cylindre rond: $$V=\pi r^2 \cdot h$$ , où ( r- rayon de base).

Un prisme est un type particulier de cylindre (les génératrices sont parallèles aux nervures latérales ; le guide est un polygone situé à la base). En revanche, un cylindre arbitraire peut être considéré comme un prisme dégénéré (« lissé ») comportant un très grand nombre de faces très étroites. En pratique, un cylindre ne se distingue pas d’un tel prisme. Toutes les propriétés du prisme sont conservées dans le cylindre.

La stéréométrie est une branche de la géométrie dans laquelle sont étudiées les figures de l'espace. Les principales figures de l’espace sont un point, une droite et un plan. En stéréométrie, un nouveau type de disposition relative des lignes apparaît : les lignes qui se croisent. C'est l'une des rares différences significatives entre la stéréométrie et la planimétrie, puisque dans de nombreux cas, les problèmes de stéréométrie sont résolus en considérant divers plans dans lesquels les lois planimétriques sont satisfaites.

Dans la nature qui nous entoure, il existe de nombreux objets qui sont des modèles physiques de cette figure. Par exemple, de nombreuses pièces de machines ont la forme d'un cylindre ou en sont une combinaison, et les majestueuses colonnes des temples et des cathédrales, réalisées en forme de cylindres, soulignent leur harmonie et leur beauté.

grec − kylindros. Un terme ancien. Dans la vie de tous les jours - un rouleau de papyrus, un rouleau, un rouleau (verbe - tordre, rouler).

Pour Euclide, un cylindre est obtenu en faisant tourner un rectangle. Chez Cavalieri - par le mouvement de la génératrice (avec un guide arbitraire - un "cylindre").

Le but de cet essai est de considérer un corps géométrique - un cylindre.

Pour atteindre cet objectif, il est nécessaire de considérer les tâches suivantes :

− donner des définitions d'un cylindre ;

− considérer les éléments du cylindre ;

− étudier les propriétés du cylindre ;

− considérer les types de sections de cylindre ;

− dériver la formule de l'aire d'un cylindre ;

− dériver la formule du volume d'un cylindre ;

− résoudre des problèmes à l'aide d'un cylindre.

1.1. Définition d'un cylindre

Considérons une ligne (courbe, brisée ou mixte) l située dans un plan α, et une droite S coupant ce plan. Par tous les points d'une droite donnée l, nous traçons des droites parallèles à la droite S ; la surface α formée par ces droites est appelée surface cylindrique. La ligne l est appelée le guide de cette surface, les lignes s 1, s 2, s 3,... en sont les génératrices.

Si le guide est cassé, une telle surface cylindrique est constituée d'un certain nombre de bandes plates enfermées entre des paires de lignes droites parallèles et est appelée surface prismatique. Les génératrices passant par les sommets de la ligne brisée guide sont appelées les bords de la surface prismatique, les bandes plates entre elles sont ses faces.

Si nous coupons n'importe quelle surface cylindrique avec un plan arbitraire qui n'est pas parallèle à ses génératrices, nous obtiendrons une ligne qui peut également être prise comme guide pour cette surface. Parmi les guides, celui qui se démarque est celui obtenu en coupant la surface avec un plan perpendiculaire aux génératrices de la surface. Une telle section est appelée section normale et le guide correspondant est appelé guide normal.

Si le guide est une ligne fermée (convexe) (cassée ou courbe), alors la surface correspondante est appelée surface prismatique ou cylindrique fermée (convexe). La plus simple des surfaces cylindriques a un cercle comme guide normal. Disséquons une surface prismatique convexe fermée avec deux plans parallèles entre eux, mais non parallèles aux génératrices.

En sections, nous obtenons des polygones convexes. Or la partie de la surface prismatique comprise entre les plans α et α" et les deux plaques polygonales formées dans ces plans limitent un corps appelé corps prismatique - un prisme.

Corps cylindrique - un cylindre est défini de la même manière qu'un prisme :
Un cylindre est un corps délimité sur les côtés par une surface cylindrique fermée (convexe) et aux extrémités par deux bases plates parallèles. Les deux bases du cylindre sont égales et tous les constituants du cylindre sont également égaux, c'est-à-dire : segments des génératrices d'une surface cylindrique entre les plans des bases.

Un cylindre (plus précisément un cylindre circulaire) est un corps géométrique constitué de deux cercles qui ne se trouvent pas dans le même plan et qui sont combinés par translation parallèle, et de tous les segments reliant les points correspondants de ces cercles (Fig. 1) .

Les cercles sont appelés bases du cylindre, et les segments reliant les points correspondants des circonférences des cercles sont appelés génératrices du cylindre.

Puisque la translation parallèle est un mouvement, les bases du cylindre sont égales.

Puisque lors de la translation parallèle, le plan se transforme en plan parallèle (ou en lui-même), alors les bases du cylindre se trouvent dans des plans parallèles.

Puisque lors de la translation parallèle, les points sont décalés le long de lignes parallèles (ou coïncidantes) de la même distance, alors les génératrices du cylindre sont parallèles et égales.

La surface du cylindre se compose de la base et de la surface latérale. La surface latérale est composée de génératrices.

Un cylindre est dit droit si ses génératrices sont perpendiculaires aux plans des bases.

Un cylindre droit peut être visuellement imaginé comme un corps géométrique qui décrit un rectangle lorsqu'il le fait pivoter autour de son côté en tant qu'axe (Fig. 2).

Riz. 2 − Cylindre droit

Dans ce qui suit, nous considérerons uniquement le cylindre droit, en l’appelant simplement cylindre par souci de concision.

Le rayon d'un cylindre est le rayon de sa base. La hauteur d'un cylindre est la distance entre les plans de ses bases. L'axe d'un cylindre est une droite passant par les centres des bases. Il est parallèle aux générateurs.

Un cylindre est dit équilatéral si sa hauteur est égale au diamètre de la base.

Si les bases du cylindre sont plates (et, par conséquent, les plans qui les contiennent sont parallèles), alors on dit que le cylindre se trouve sur un plan. Si les bases d'un cylindre posé sur un plan sont perpendiculaires à la génératrice, alors le cylindre est dit droit.

En particulier, si la base d'un cylindre posé sur un plan est un cercle, alors on parle de cylindre circulaire (circulaire) ; si c’est une ellipse, alors c’est elliptique.

1. 3. Sections du cylindre

La section transversale d'un cylindre avec un plan parallèle à son axe est un rectangle (Fig. 3, a). Ses deux côtés sont les génératrices du cylindre, et les deux autres sont les cordes parallèles des bases.

UN) b)

V) G)

Riz. 3 – Sections du cylindre

En particulier, le rectangle est la section axiale. Il s'agit d'une section d'un cylindre avec un plan passant par son axe (Fig. 3, b).

La section transversale d'un cylindre avec un plan parallèle à la base est un cercle (Figure 3, c).

La section transversale d'un cylindre dont le plan n'est pas parallèle à la base et dont l'axe est un ovale (Fig. 3d).

Théorème 1. Un plan parallèle au plan de la base du cylindre coupe sa surface latérale le long d'un cercle égal à la circonférence de la base.

Preuve. Soit β un plan parallèle au plan de la base du cylindre. La translation parallèle dans la direction de l'axe du cylindre, combinant le plan β avec le plan de la base du cylindre, combine la section de la surface latérale par le plan β avec la circonférence de la base. Le théorème a été prouvé.

La surface latérale du cylindre.

L'aire de la surface latérale du cylindre est considérée comme la limite vers laquelle tend l'aire de la surface latérale d'un prisme régulier inscrit dans le cylindre lorsque le nombre de côtés de la base de ce prisme augmente indéfiniment.

Théorème 2. L'aire de la surface latérale d'un cylindre est égale au produit de la circonférence de sa base et de sa hauteur (S côté.c = 2πRH, où R est le rayon de la base du cylindre, H est la hauteur du cylindre).

UN) b)
Riz. 4 − Surface latérale du cylindre

Preuve.

Soient P n et H le périmètre de la base et la hauteur d'un prisme n-gonal régulier inscrit dans le cylindre, respectivement (Fig. 4, a). Alors l'aire de la surface latérale de ce prisme est S side.c − P n H. Supposons que le nombre de côtés du polygone inscrit dans la base croît sans limite (Fig. 4, b). Alors le périmètre P n tend vers la circonférence C = 2πR, où R est le rayon de la base du cylindre, et la hauteur H ne change pas. Ainsi, l'aire de la surface latérale du prisme tend vers la limite de 2πRH, c'est-à-dire que l'aire de la surface latérale du cylindre est égale à S côté.c = 2πRH. Le théorème a été prouvé.

La surface totale du cylindre.

La surface totale d'un cylindre est la somme des aires de la surface latérale et des deux bases. L'aire de chaque base du cylindre est égale à πR 2, par conséquent, l'aire de la surface totale du cylindre S total est calculée par la formule S côté.c = 2πRH+ 2πR 2.

r

T1

T

F

F1

F

T

UN)

F

b)

Riz. 5 − Surface totale du cylindre

Si la surface latérale du cylindre est coupée le long de la génératrice FT (Fig. 5, a) et dépliée de manière à ce que toutes les génératrices soient dans le même plan, nous obtenons alors un rectangle FTT1F1, appelé développement du surface latérale du cylindre. Le côté FF1 du rectangle est le développement du cercle de la base du cylindre, donc FF1=2πR, et son côté FT est égal à la génératrice du cylindre, c'est-à-dire FT = H (Fig. 5, b). Ainsi, l'aire FT∙FF1=2πRH du développement du cylindre est égale à l'aire de sa surface latérale.

1.5. Volume du cylindre

Si un corps géométrique est simple, c'est-à-dire qu'il peut être divisé en un nombre fini de pyramides triangulaires, alors son volume est égal à la somme des volumes de ces pyramides. Pour un corps arbitraire, le volume est déterminé comme suit.

Un corps donné a un volume V s'il existe des corps simples qui le contiennent et des corps simples qu'il contient avec des volumes aussi peu différents de V qu'on le souhaite.

Appliquons cette définition à la recherche du volume d'un cylindre de rayon de base R et de hauteur H.

Lors de la dérivation de la formule de l'aire d'un cercle, deux n-gones ont été construits (l'un contenant le cercle, l'autre contenu dans le cercle) de telle sorte que leurs aires, avec une augmentation illimitée de n, se rapprochent de l'aire de le cercle sans limite. Construisons de tels polygones pour le cercle à la base du cylindre. Soit P un polygone contenant un cercle, et P" un polygone contenu dans un cercle (Fig. 6).

Riz. 7 − Cylindre avec un prisme décrit et inscrit dedans

Construisons deux prismes droits de bases P et P" et de hauteur H égale à la hauteur du cylindre. Le premier prisme contient un cylindre, et le deuxième prisme est contenu dans un cylindre. Puisque avec une augmentation illimitée de n, le les aires des bases des prismes se rapprochent de manière illimitée de l'aire de la base du cylindre S, puis leurs volumes se rapprochent indéfiniment de SH Selon la définition, le volume du cylindre.

V = SH = πR 2 H.

Ainsi, le volume d'un cylindre est égal au produit de l'aire de la base et de la hauteur.

Tache 1.

La section axiale du cylindre est un carré d’aire Q.

Trouvez l'aire de la base du cylindre.

Étant donné : cylindre, carré - section axiale du cylindre, S carré = Q.

Trouver : Cylindre principal S

Le côté de la place est . Il est égal au diamètre de la base. L’aire de la base est donc .

Réponse : cylindre principal S. =

Tâche 2.

Un prisme hexagonal régulier est inscrit dans un cylindre. Trouvez l'angle entre la diagonale de sa face latérale et l'axe du cylindre si le rayon de la base est égal à la hauteur du cylindre.

Donné : cylindre, prisme hexagonal régulier inscrit dans le cylindre, rayon de base = hauteur du cylindre.

Trouver : l'angle entre la diagonale de sa face latérale et l'axe du cylindre.

Solution : Les faces latérales du prisme sont des carrés, puisque le côté d'un hexagone régulier inscrit dans un cercle est égal au rayon.

Les bords du prisme sont parallèles à l'axe du cylindre, donc l'angle entre la diagonale de la face et l'axe du cylindre est égal à l'angle entre la diagonale et le bord latéral. Et cet angle est de 45°, puisque les faces sont des carrés.

Réponse : l'angle entre la diagonale de sa face latérale et l'axe du cylindre = 45°.

Tâche 3.

La hauteur du cylindre est de 6 cm, le rayon de la base est de 5 cm.

Trouvez l'aire d'une section tracée parallèlement à l'axe du cylindre à une distance de 4 cm de celui-ci.

Étant donné : H = 6 cm, R = 5 cm, OE = 4 cm.

Trouver : S sec.

S sec. = KM×KS,

OE = 4 cm, KS = 6 cm.

Triangle OKM - isocèle (OK = OM = R = 5 cm),

Le triangle OEK est rectangle.

Du triangle OEK, d'après le théorème de Pythagore :

KM = 2EK = 2×3 = 6,

S sec. = 6×6 = 36 cm2.

Le but de cet essai a été rempli ; un corps géométrique tel qu’un cylindre a été considéré.

Les tâches suivantes sont considérées :

− la définition d'un cylindre est donnée ;

− les éléments du cylindre sont considérés ;

− les propriétés du cylindre ont été étudiées ;

− les types de sections de cylindre sont pris en compte ;

− la formule de l'aire d'un cylindre est dérivée ;

− la formule du volume d'un cylindre est dérivée ;

− résolu des problèmes à l'aide d'un cylindre.

1. Pogorelov A.V. Géométrie : manuel pour les 10e et 11e années des établissements d'enseignement, 1995.

2. Beskin L.N. Stéréométrie. Manuel destiné aux enseignants du secondaire, 1999.

3. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Kiseleva L. S., Poznyak E. G. Géométrie : manuel pour les 10e et 11e années des établissements d'enseignement, 2000.

4. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie : manuel pour les classes 10-11 dans les établissements d'enseignement général, 1998.

5. Kiselev A. P., Rybkin N. A. Géométrie : Stéréométrie : 10e – 11e années : Manuel et cahier de problèmes, 2000.