Mouvement en arc. Mouvement circulaire uniforme. Période et fréquence

Mouvement d'un corps en cercle avec une vitesse modulo constante- c'est un mouvement dans lequel le corps décrit les mêmes arcs pendant des intervalles de temps égaux.

La position du corps sur le cercle est déterminée rayon vecteur\(~\vec r\) tiré du centre du cercle. Le module du rayon vecteur est égal au rayon du cercle R(Fig. 1).

Pendant le temps Δ t corps se déplaçant d'un point MAIS exactement À, déplace \(~\Delta \vec r\) égal à la corde UN B, et parcourt un chemin égal à la longueur de l'arc je.

Le rayon vecteur est tourné d'un angle Δ φ . L'angle est exprimé en radians.

La vitesse \(~\vec \upsilon\) du mouvement du corps le long de la trajectoire (cercle) est dirigée le long de la tangente à la trajectoire. On l'appelle vitesse linéaire. Le module de vitesse linéaire est égal au rapport de la longueur de l'arc de cercle jeà l'intervalle de temps Δ t pour lequel cet arc est passé :

\(~\upsilon = \frac(l)(\Delta t).\)

Une quantité physique scalaire numériquement égale au rapport de l'angle de rotation du rayon vecteur à l'intervalle de temps pendant lequel cette rotation s'est produite est appelée vitesse angulaire:

\(~\omega = \frac(\Delta \varphi)(\Delta t).\)

L'unité SI de vitesse angulaire est le radian par seconde (rad/s).

Avec un mouvement uniforme dans un cercle, la vitesse angulaire et le module de vitesse linéaire sont des valeurs constantes : ω = const ; υ = const.

La position du corps peut être déterminée si le module du rayon vecteur \(~\vec r\) et l'angle φ , qu'il compose avec l'axe Bœuf(coordonnée angulaire). Si au temps initial t 0 = 0 la coordonnée angulaire est φ 0 , et au moment t c'est égal à φ , alors l'angle de rotation Δ φ rayon-vecteur en temps \(~\Delta t = t - t_0 = t\) est égal à \(~\Delta \varphi = \varphi - \varphi_0\). Ensuite, à partir de la dernière formule, nous pouvons obtenir équation cinématique du mouvement d'un point matériel le long d'un cercle:

\(~\varphi = \varphi_0 + \omega t.\)

Il vous permet de déterminer la position du corps à tout moment. t. En considérant que \(~\Delta \varphi = \frac(l)(R)\), on obtient\[~\omega = \frac(l)(R \Delta t) = \frac(\upsilon)(R) \Flèche droite\]

\(~\upsilon = \omega R\) - formule pour la relation entre la vitesse linéaire et angulaire.

Intervalle de temps Τ , pendant laquelle le corps fait un tour complet, s'appelle période de rotation:

\(~T = \frac(\Delta t)(N),\)

où N- le nombre de tours effectués par le corps pendant le temps Δ t.

Pendant le temps Δ t = Τ le corps parcourt le chemin \(~l = 2 \pi R\). Par conséquent,

\(~\upsilon = \frac(2 \pi R)(T); \ \omega = \frac(2 \pi)(T) .\)

Évaluer ν , l'inverse de la période, montrant combien de révolutions le corps fait par unité de temps, s'appelle la rapidité:

\(~\nu = \frac(1)(T) = \frac(N)(\Delta t).\)

Par conséquent,

\(~\upsilon = 2 \pi \nu R; \ \omega = 2 \pi \nu .\)

Littérature

Aksenovich L. A. Physique au lycée: Théorie. Tâches. Essais : Proc. Allocation pour les établissements offrant des services généraux. environnements, éducation / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Éd. K. S. Farino. - Mn. : Adukatsiya i vykhavanne, 2004. - C. 18-19.

Le mouvement circulaire est le cas le plus simple de mouvement curviligne d'un corps. Lorsqu'un corps se déplace autour d'un certain point, avec le vecteur de déplacement, il convient d'introduire le déplacement angulaire ∆ φ (l'angle de rotation par rapport au centre du cercle), mesuré en radians.

Connaissant le déplacement angulaire, il est possible de calculer la longueur de l'arc de cercle (chemin) que le corps a parcouru.

∆ l = R ∆ φ

Si l'angle de rotation est petit, alors ∆ l ≈ ∆ s .

Illustrons ce qui a été dit :

Vitesse angulaire

Avec un mouvement curviligne, le concept de vitesse angulaire ω est introduit, c'est-à-dire le taux de variation de l'angle de rotation.

Définition. Vitesse angulaire

La vitesse angulaire en un point donné de la trajectoire est la limite du rapport du déplacement angulaire ∆ φ à l'intervalle de temps ∆ t pendant lequel il s'est produit. ∆t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

L'unité de mesure de la vitesse angulaire est le radian par seconde (r a d s).

Il existe une relation entre les vitesses angulaire et linéaire du corps lorsqu'il se déplace en cercle. Formule pour trouver la vitesse angulaire :

Avec un mouvement uniforme dans un cercle, les vitesses v et ω restent inchangées. Seule la direction du vecteur vitesse linéaire change.

Dans ce cas, un mouvement uniforme le long d'un cercle sur le corps est affecté par une accélération centripète, ou normale, dirigée le long du rayon du cercle vers son centre.

une n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Le module d'accélération centripète peut être calculé par la formule :

une n = v 2 R = ω 2 R

Démontrons ces relations.

Considérons comment le vecteur v → change sur une petite période de temps ∆ t . ∆ v → = v B → - v UNE → .

Aux points A et B, le vecteur vitesse est dirigé tangentiellement au cercle, tandis que les modules de vitesse aux deux points sont les mêmes.

Par définition de l'accélération :

une → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Regardons l'image :

Les triangles OAB et BCD sont similaires. Il en résulte que O A A B = B C C D .

Si la valeur de l'angle ∆ φ est petite, la distance A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . En tenant compte du fait que O A \u003d R et C D \u003d ∆ v pour les triangles similaires considérés ci-dessus, on obtient :

R v ∆ t = v ∆ v ou ∆ v ∆ t = v 2 R

Lorsque ∆ φ → 0 , la direction du vecteur ∆ v → = v B → - v A → se rapproche de la direction vers le centre du cercle. En supposant que ∆ t → 0 , on obtient :

une → = une n → = ∆ v → ∆ t ; ∆t → 0 ; une n → = v 2 R .

Avec un mouvement uniforme le long d'un cercle, le module d'accélération reste constant et la direction du vecteur change avec le temps, tout en maintenant l'orientation vers le centre du cercle. C'est pourquoi cette accélération est dite centripète : le vecteur est à tout instant dirigé vers le centre du cercle.

L'enregistrement de l'accélération centripète sous forme vectorielle est le suivant :

une n → = - ω 2 R → .

Ici R → est le rayon vecteur d'un point sur un cercle avec origine en son centre.

Dans le cas général, l'accélération lors du déplacement le long d'un cercle se compose de deux composants - normal et tangentiel.

Considérons le cas où le corps se déplace le long du cercle de manière non uniforme. Introduisons le concept d'accélération tangentielle (tangentielle). Sa direction coïncide avec la direction de la vitesse linéaire du corps et en chaque point du cercle lui est dirigée tangentiellement.

une τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆t → 0

Ici ∆ v τ \u003d v 2 - v 1 est la variation du module de vitesse sur l'intervalle ∆ t

La direction de l'accélération complète est déterminée par la somme vectorielle des accélérations normale et tangentielle.

Le mouvement circulaire dans un plan peut être décrit à l'aide de deux coordonnées : x et y. A chaque instant du temps, la vitesse du corps peut être décomposée en composantes v x et v y .

Si le mouvement est uniforme, les valeurs v x et v y ainsi que les coordonnées correspondantes vont évoluer dans le temps selon une loi harmonique de période T = 2 π R v = 2 π ω

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Étant donné que la vitesse linéaire change uniformément de direction, le mouvement le long du cercle ne peut pas être qualifié d'uniforme, il est uniformément accéléré.

Vitesse angulaire

Choisissez un point sur le cercle 1 . Construisons un rayon. Pour une unité de temps, le point se déplacera au point 2 . Dans ce cas, le rayon décrit l'angle. La vitesse angulaire est numériquement égale à l'angle de rotation du rayon par unité de temps.

Période et fréquence

Période de rotation J c'est le temps qu'il faut au corps pour faire un tour.

RPM est le nombre de tours par seconde.

La fréquence et la période sont liées par la relation

Relation avec la vitesse angulaire

Vitesse de la ligne

Chaque point du cercle se déplace à une certaine vitesse. Cette vitesse est dite linéaire. La direction du vecteur vitesse linéaire coïncide toujours avec la tangente au cercle. Par exemple, des étincelles sous un broyeur se déplacent en répétant la direction de la vitesse instantanée.

Considérons un point sur un cercle qui fait un tour, le temps passé - c'est la période J.Le chemin que le point surmonte est la circonférence du cercle.

accélération centripète

Lors d'un déplacement le long d'un cercle, le vecteur accélération est toujours perpendiculaire au vecteur vitesse, dirigé vers le centre du cercle.

En utilisant les formules précédentes, nous pouvons déduire les relations suivantes

Les points situés sur la même ligne droite émanant du centre du cercle (par exemple, il peut s'agir de points situés sur le rayon de la roue) auront les mêmes vitesses angulaires, période et fréquence. Autrement dit, ils tourneront de la même manière, mais avec des vitesses linéaires différentes. Plus le point est éloigné du centre, plus il se déplacera rapidement.

La loi d'addition des vitesses est également valable pour le mouvement de rotation. Si le mouvement d'un corps ou d'un référentiel n'est pas uniforme, alors la loi s'applique aux vitesses instantanées. Par exemple, la vitesse d'une personne marchant le long du bord d'un carrousel en rotation est égale à la somme vectorielle de la vitesse linéaire de rotation du bord du carrousel et de la vitesse de la personne.

La Terre participe à deux mouvements de rotation principaux : journalier (autour de son axe) et orbital (autour du Soleil). La période de rotation de la Terre autour du Soleil est de 1 an ou 365 jours. La Terre tourne autour de son axe d'ouest en est, la période de cette rotation est de 1 jour ou 24 heures. La latitude est l'angle entre le plan de l'équateur et la direction du centre de la Terre à un point de sa surface.

Selon la deuxième loi de Newton, la cause de toute accélération est une force. Si un corps en mouvement subit une accélération centripète, la nature des forces qui provoquent cette accélération peut être différente. Par exemple, si un corps se déplace en cercle sur une corde qui lui est attachée, la force agissante est la force élastique.

Si un corps reposant sur un disque tourne avec le disque autour de son axe, alors une telle force est la force de frottement. Si la force cesse d'agir, le corps continuera à se déplacer en ligne droite

Considérez le mouvement d'un point sur un cercle de A à B. La vitesse linéaire est égale à

Passons maintenant à un système fixe relié à la terre. L'accélération totale du point A restera la même en valeur absolue et en direction, puisque l'accélération ne change pas lors du passage d'un référentiel inertiel à un autre. Du point de vue d'un observateur stationnaire, la trajectoire du point A n'est plus un cercle, mais une courbe plus complexe (cycloïde), le long de laquelle le point se déplace de manière inégale.

Parmi les différents types de mouvement curviligne, un intérêt particulier est mouvement uniforme d'un corps dans un cercle. C'est la forme la plus simple de mouvement curviligne. En même temps, tout mouvement curviligne complexe d'un corps dans une section suffisamment petite de sa trajectoire peut être approximativement considéré comme un mouvement uniforme le long d'un cercle.

Un tel mouvement est effectué par des points de roues en rotation, des rotors de turbine, des satellites artificiels tournant sur des orbites, etc. Avec un mouvement uniforme dans un cercle, la valeur numérique de la vitesse reste constante. Cependant, la direction de la vitesse lors d'un tel mouvement change constamment.

La vitesse du corps en tout point de la trajectoire curviligne est dirigée tangentiellement à la trajectoire en ce point. On peut s'en rendre compte en observant le travail d'une meule en forme de disque : en pressant l'extrémité d'une tige d'acier sur une pierre en rotation, on peut voir des particules chaudes se détacher de la pierre. Ces particules volent à la même vitesse qu'elles avaient au moment de la séparation de la pierre. La direction des étincelles coïncide toujours avec la tangente au cercle au point où la tige touche la pierre. Les jets des roues d'une voiture en dérapage se déplacent également tangentiellement au cercle.

Ainsi, la vitesse instantanée du corps en différents points de la trajectoire curviligne a des directions différentes, tandis que le module de vitesse peut soit être le même partout, soit changer d'un point à l'autre. Mais même si le module de vitesse ne change pas, il ne peut toujours pas être considéré comme constant. Après tout, la vitesse est une quantité vectorielle, et pour les quantités vectorielles, le module et la direction sont tout aussi importants. C'est pourquoi le mouvement curviligne est toujours accéléré, même si le module de vitesse est constant.

Le mouvement curviligne peut modifier le module de vitesse et sa direction. Le mouvement curviligne, dans lequel le module de vitesse reste constant, est appelé mouvement curviligne uniforme. L'accélération lors d'un tel mouvement n'est associée qu'à un changement de direction du vecteur vitesse.

Le module et la direction de l'accélération doivent dépendre de la forme de la trajectoire courbe. Cependant, il n'est pas nécessaire de considérer chacune de ses innombrables formes. En représentant chaque section comme un cercle séparé avec un certain rayon, le problème de trouver l'accélération dans un mouvement uniforme curviligne sera réduit à trouver l'accélération dans un mouvement uniforme d'un corps autour d'un cercle.

Le mouvement uniforme dans un cercle est caractérisé par une période et une fréquence de circulation.

Le temps qu'il faut à un corps pour faire un tour s'appelle période de circulation.

Avec un mouvement uniforme dans un cercle, la période de révolution est déterminée en divisant la distance parcourue, c'est-à-dire la circonférence du cercle par la vitesse de déplacement :

L'inverse d'une période s'appelle fréquence de circulation, désigné par la lettre ν . Nombre de tours par unité de temps ν appelé fréquence de circulation:

En raison du changement continu de la direction de la vitesse, un corps se déplaçant dans un cercle a une accélération qui caractérise la vitesse de changement de sa direction, la valeur numérique de la vitesse dans ce cas ne change pas.

Avec un mouvement uniforme d'un corps le long d'un cercle, l'accélération en tout point de celui-ci est toujours dirigée perpendiculairement à la vitesse de déplacement le long du rayon du cercle jusqu'à son centre et s'appelle accélération centripète.

Pour trouver sa valeur, considérons le rapport entre le changement du vecteur vitesse et l'intervalle de temps pendant lequel ce changement s'est produit. Comme l'angle est très petit, on a

Étant donné que la vitesse linéaire change uniformément de direction, le mouvement le long du cercle ne peut pas être qualifié d'uniforme, il est uniformément accéléré.

Vitesse angulaire

Choisissez un point sur le cercle 1 . Construisons un rayon. Pour une unité de temps, le point se déplacera au point 2 . Dans ce cas, le rayon décrit l'angle. La vitesse angulaire est numériquement égale à l'angle de rotation du rayon par unité de temps.

Période et fréquence

Période de rotation J c'est le temps qu'il faut au corps pour faire un tour.

RPM est le nombre de tours par seconde.

La fréquence et la période sont liées par la relation

Relation avec la vitesse angulaire

Vitesse de la ligne

Chaque point du cercle se déplace à une certaine vitesse. Cette vitesse est dite linéaire. La direction du vecteur vitesse linéaire coïncide toujours avec la tangente au cercle. Par exemple, des étincelles sous un broyeur se déplacent en répétant la direction de la vitesse instantanée.

Considérons un point sur un cercle qui fait un tour, le temps passé - c'est la période J. Le chemin parcouru par un point est la circonférence d'un cercle.

accélération centripète

Lors d'un déplacement le long d'un cercle, le vecteur accélération est toujours perpendiculaire au vecteur vitesse, dirigé vers le centre du cercle.

En utilisant les formules précédentes, nous pouvons déduire les relations suivantes

Les points situés sur la même ligne droite émanant du centre du cercle (par exemple, il peut s'agir de points situés sur le rayon de la roue) auront les mêmes vitesses angulaires, période et fréquence. Autrement dit, ils tourneront de la même manière, mais avec des vitesses linéaires différentes. Plus le point est éloigné du centre, plus il se déplacera rapidement.

La loi d'addition des vitesses est également valable pour le mouvement de rotation. Si le mouvement d'un corps ou d'un référentiel n'est pas uniforme, alors la loi s'applique aux vitesses instantanées. Par exemple, la vitesse d'une personne marchant le long du bord d'un carrousel en rotation est égale à la somme vectorielle de la vitesse linéaire de rotation du bord du carrousel et de la vitesse de la personne.

La Terre participe à deux mouvements de rotation principaux : journalier (autour de son axe) et orbital (autour du Soleil). La période de rotation de la Terre autour du Soleil est de 1 an ou 365 jours. La Terre tourne autour de son axe d'ouest en est, la période de cette rotation est de 1 jour ou 24 heures. La latitude est l'angle entre le plan de l'équateur et la direction du centre de la Terre à un point de sa surface.

Selon la deuxième loi de Newton, la cause de toute accélération est une force. Si un corps en mouvement subit une accélération centripète, la nature des forces qui provoquent cette accélération peut être différente. Par exemple, si un corps se déplace en cercle sur une corde qui lui est attachée, la force agissante est la force élastique.

Si un corps reposant sur un disque tourne avec le disque autour de son axe, alors une telle force est la force de frottement. Si la force cesse d'agir, le corps continuera à se déplacer en ligne droite

Considérez le mouvement d'un point sur un cercle de A à B. La vitesse linéaire est égale à v Un et v B respectivement. L'accélération est le changement de vitesse par unité de temps. Trouvons la différence des vecteurs.