Logarithmus der Zahl 8 zur Basis 3. Was ist ein Logarithmus? Beispiele zum Lösen von Logarithmen

Gesundheit

Algebra ist eine komplexe und interessante Wissenschaft, die auf vielen Funktionen basiert. Schauen wir uns an, was ein Logarithmus ist und welche Eigenschaften er hat.

Ein Logarithmus ist die Potenz, mit der die Zahl a erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten.

Die Algebra kennt viele Arten von Logarithmen. Die häufigsten Arten von Logarithmen sind:

natürlich mit Basis e=2,718281, bezeichnet mit ln.
Beispiel: ln1=0. lne=1;
Dezimalzahl mit der Basis 10, bezeichnet mit lg.
Beispiel: lg100=2. log 10 100=2, da 10 2 =100;
binär, bezeichnet mit lb(b) oder lb 2 b. Ist die Lösung der Gleichung 2 x =b.
Beispiel: lb16=4.

Letztere werden häufig in der Informatik, der Informationstheorie sowie in vielen Teilgebieten der diskreten Mathematik verwendet. Logarithmen helfen Statistikern bei der Bestimmung der wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie werden auch in der Genetik eingesetzt.

Zählen mit Logarithmen

Mathematiker sind sich seit langem der einzigartigen Eigenschaften von Logarithmen sowie der Möglichkeit bewusst, sie zur Vereinfachung komplexer Berechnungen zu nutzen. Wenn wir also zu Logarithmen übergehen:

Multiplikation kann leicht durch Addition ersetzt werden;
Division – durch Subtraktion;
Das Erhöhen auf eine bestimmte Potenz oder das Ziehen einer Wurzel wird zur Multiplikation oder Division.

Beim Zählen mit Logarithmen sollten Sie auf das Logarithmuszeichen verzichten. Dabei:

Der Grund und das Argument müssen positiv sein;
Die Basis muss von eins verschieden sein, da diese Zahl, beliebig potenziert, unverändert bleibt.

Logarithmische Funktion

In Berechnungen wird auch die logarithmische Funktion y = loga x (wobei a > 0, a ≠ 1) verwendet. Zu seinen Eigenschaften gehören die folgenden:

der Definitionsbereich dieser Funktion liegt in der Menge der positiven Zahlen;
die Menge der Funktionswerte wird durch reelle Zahlen dargestellt;
die Funktion hat keinen Maximal- oder Minimalwert;
Die Funktion gehört zur allgemeinen Form und ist weder gerade noch ungerade.
die Funktion ist nicht periodisch;
der Graph verläuft durch die Koordinatenachsen im Punkt (1;0);
Ist die Basis größer als eins, nimmt die Funktion zu, ist sie kleiner als eins, nimmt sie ab.

Jetzt haben Sie eine Vorstellung von Logarithmen, ihrem Umfang sowie den Eigenschaften der logarithmischen Funktion.

Der Logarithmus einer Zahl b zur Basis a ist der Exponent, auf den die Zahl a erhöht werden muss, um die Zahl b zu erhalten.

Wenn, dann.

Logarithmus - extrem wichtige mathematische Größe, da die logarithmische Analysis nicht nur die Lösung von Exponentialgleichungen ermöglicht, sondern auch die Arbeit mit Exponenten, die Differenzierung von Exponential- und Logarithmusfunktionen, deren Integration und deren Einführung in eine akzeptablere Berechnungsform.

In Kontakt mit

Alle Eigenschaften von Logarithmen stehen in direktem Zusammenhang mit den Eigenschaften von Exponentialfunktionen. Zum Beispiel die Tatsache, dass bedeutet, dass:

Es ist zu beachten, dass sich bei der Lösung konkreter Probleme die Eigenschaften von Logarithmen als wichtiger und nützlicher erweisen können als die Regeln für die Arbeit mit Potenzen.

Stellen wir einige Identitäten vor:

Hier sind die grundlegenden algebraischen Ausdrücke:

;

Aufmerksamkeit! kann nur für x>0, x≠1, y>0 existieren.

Versuchen wir, die Frage zu verstehen, was natürliche Logarithmen sind. Besonderes Interesse an Mathematik repräsentieren zwei Typen- Der erste hat die Zahl „10“ als Basis und wird „dezimaler Logarithmus“ genannt. Der zweite heißt natürlich. Die Basis des natürlichen Logarithmus ist die Zahl „e“. Darüber werden wir in diesem Artikel ausführlich sprechen.

Bezeichnungen:

lg x - dezimal;
ln x - natürlich.

Anhand der Identität können wir erkennen, dass ln e = 1 ist, sowie die Tatsache, dass lg 10=1.

Natürliches Logarithmusdiagramm

Lassen Sie uns Punkt für Punkt einen Graphen des natürlichen Logarithmus mit der klassischen Standardmethode erstellen. Wenn Sie möchten, können Sie überprüfen, ob wir die Funktion korrekt konstruieren, indem Sie die Funktion untersuchen. Es ist jedoch sinnvoll, den „manuellen Aufbau“ zu erlernen, um zu wissen, wie man den Logarithmus richtig berechnet.

Funktion: y = ln x. Schreiben wir eine Tabelle mit Punkten auf, durch die der Graph verläuft:

Lassen Sie uns erklären, warum wir diese besonderen Werte des Arguments x gewählt haben. Es geht um Identität: . Für den natürlichen Logarithmus sieht diese Identität folgendermaßen aus:

Der Einfachheit halber können wir fünf Referenzpunkte nehmen:

;

Daher ist die Berechnung natürlicher Logarithmen eine ziemlich einfache Aufgabe; darüber hinaus vereinfacht sie die Berechnung von Operationen mit Potenzen und wandelt sie in um gewöhnliche Multiplikation.

Indem wir ein Diagramm Punkt für Punkt zeichnen, erhalten wir ein ungefähres Diagramm:

Der Definitionsbereich des natürlichen Logarithmus (d. h. alle gültigen Werte des Arguments X) umfasst alle Zahlen größer als Null.

Aufmerksamkeit! Der Definitionsbereich des natürlichen Logarithmus umfasst nur positive Zahlen! Der Definitionsbereich umfasst nicht x=0. Dies ist aufgrund der Bedingungen für die Existenz des Logarithmus unmöglich.

Der Wertebereich (also alle gültigen Werte der Funktion y = ln x) umfasst alle Zahlen im Intervall.

Natürliches Protokolllimit

Beim Studium des Diagramms stellt sich die Frage: Wie verhält sich die Funktion bei y?<0.

Offensichtlich tendiert der Graph der Funktion dazu, die y-Achse zu kreuzen, aber er wird dazu nicht in der Lage sein, da der natürliche Logarithmus von x<0 не существует.

Grenze des Natürlichen Protokoll lässt sich so schreiben:

Formel zum Ersetzen der Basis eines Logarithmus

Der Umgang mit einem natürlichen Logarithmus ist viel einfacher als der Umgang mit einem Logarithmus mit willkürlicher Basis. Deshalb werden wir versuchen zu lernen, wie man jeden Logarithmus auf einen natürlichen reduziert oder ihn durch natürliche Logarithmen auf eine beliebige Basis ausdrückt.

Beginnen wir mit der logarithmischen Identität:

Dann kann jede Zahl oder Variable y dargestellt werden als:

Dabei ist x eine beliebige Zahl (positiv gemäß den Eigenschaften des Logarithmus).

Dieser Ausdruck kann auf beiden Seiten logarithmisch genommen werden. Machen wir das mit einer beliebigen Basis z:

Nutzen wir die Eigenschaft (nur statt „c“ haben wir den Ausdruck):

Von hier aus erhalten wir die universelle Formel:

Insbesondere wenn z=e, dann:

Wir konnten einen Logarithmus zu einer beliebigen Basis durch das Verhältnis zweier natürlicher Logarithmen darstellen.

Wir lösen Probleme

Um natürliche Logarithmen besser zu verstehen, schauen wir uns Beispiele für verschiedene Probleme an.

Problem 1. Es ist notwendig, die Gleichung ln x = 3 zu lösen.

Lösung: Mit der Definition des Logarithmus: if , then erhalten wir:

Problem 2. Lösen Sie die Gleichung (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Lösung: Mit der Definition des Logarithmus: if , then erhalten wir:

Verwenden wir noch einmal die Definition eines Logarithmus:

Auf diese Weise:

Sie können die Antwort näherungsweise berechnen oder in dieser Form belassen.

Aufgabe 3. Löse die Gleichung.

Lösung: Machen wir eine Substitution: t = ln x. Dann nimmt die Gleichung die folgende Form an:

Wir haben eine quadratische Gleichung. Finden wir die Diskriminante:

In der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie kommen logarithmische Größen sehr häufig vor. Dies ist nicht überraschend, da die Zahl e häufig die Wachstumsrate exponentieller Größen widerspiegelt.

In der Informatik, Programmierung und Computertheorie findet man Logarithmen recht häufig, beispielsweise um N Bits im Speicher abzulegen.

In den Fraktal- und Dimensionstheorien werden ständig Logarithmen verwendet, da nur mit ihrer Hilfe die Dimensionen von Fraktalen bestimmt werden.

In Mechanik und Physik Es gibt keinen Abschnitt, in dem nicht Logarithmen verwendet wurden. Die barometrische Verteilung, alle Prinzipien der statistischen Thermodynamik, die Tsiolkovsky-Gleichung usw. sind Prozesse, die mathematisch nur mit Logarithmen beschrieben werden können.

In der Chemie werden Logarithmen in Nernst-Gleichungen und Beschreibungen von Redoxprozessen verwendet.

Erstaunlicherweise werden sogar in der Musik Logarithmen verwendet, um die Anzahl der Teile einer Oktave herauszufinden.

Natürlicher Logarithmus Funktion y=ln x seine Eigenschaften

Beweis der Haupteigenschaft des natürlichen Logarithmus

Haupteigenschaften.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

identische Gründe

Log6 4 + log6 9.

Jetzt machen wir die Aufgabe etwas komplizierter.

Beispiele zum Lösen von Logarithmen

Was ist, wenn die Basis oder das Argument eines Logarithmus eine Potenz ist? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnommen werden:

Alle diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn die ODZ des Logarithmus beachtet wird: a > 0, a ≠ 1, x >

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Übergang zu einer neuen Stiftung

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Siehe auch:

Grundlegende Eigenschaften des Logarithmus

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Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Wenn Sie diese Regel kennen, kennen Sie sowohl den genauen Wert des Exponenten als auch das Geburtsdatum von Leo Tolstoi.

Beispiele für Logarithmen

Logarithmische Ausdrücke

Beispiel 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Mit den Eigenschaften 3.5 berechnen wir

4. Wo .

Beispiel 2. Finden Sie x, wenn

Beispiel 3. Der Wert von Logarithmen sei gegeben

Berechnen Sie log(x), wenn

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen können wie alle Zahlen auf jede Art addiert, subtrahiert und transformiert werden. Da es sich bei Logarithmen aber nicht gerade um gewöhnliche Zahlen handelt, gibt es hier Regeln, die man nennt Haupteigenschaften.

Diese Regeln müssen Sie unbedingt kennen – ohne sie lässt sich kein einziges ernstes logarithmisches Problem lösen. Darüber hinaus gibt es nur sehr wenige davon – Sie können alles an einem Tag lernen. Also lasst uns anfangen.

Logarithmen addieren und subtrahieren

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit den gleichen Basen: logax und logay. Dann können sie addiert und subtrahiert werden und:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts und die Differenz ist gleich dem Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist identische Gründe. Wenn die Gründe unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen Ihnen, einen logarithmischen Ausdruck zu berechnen, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion „Was ist ein Logarithmus“). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Da Logarithmen die gleichen Basen haben, verwenden wir die Summenformel:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log2 48 − log2 3.

Die Grundlagen sind die gleichen, wir verwenden die Differenzformel:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log3 135 − log3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus „schlechten“ Logarithmen, die nicht separat berechnet werden. Aber nach den Transformationen erhält man ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, im Einheitlichen Staatsexamen werden prüfungsähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal praktisch ohne Änderungen) angeboten.

Extrahieren des Exponenten aus dem Logarithmus

Es ist leicht zu erkennen, dass die letzte Regel den ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern – in manchen Fällen wird es den Rechenaufwand erheblich reduzieren.

Alle diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn die ODZ des Logarithmus beachtet wird: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt , d.h. Sie können die Zahlen vor dem Logarithmuszeichen in den Logarithmus selbst eingeben. Dies wird am häufigsten benötigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log7 496.

Lassen Sie uns den Grad im Argument loswerden, indem wir die erste Formel verwenden:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner einen Logarithmus enthält, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 24; 49 = 72. Wir haben:

Ich denke, das letzte Beispiel bedarf einer Klarstellung. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner.

Logarithmusformeln. Beispiellösungen für Logarithmen.

Wir stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Potenzen dar und entfernten die Exponenten – wir erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Schauen wir uns nun den Hauptbruch an. Zähler und Nenner enthalten die gleiche Zahl: log2 7. Da log2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch reduzieren – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik lässt sich die Vier auf den Zähler übertragen, was auch geschehen ist. Das Ergebnis war die Antwort: 2.

Übergang zu einer neuen Stiftung

Als ich über die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen sprach, habe ich ausdrücklich betont, dass diese nur mit den gleichen Basen funktionieren. Was ist, wenn die Gründe unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Hier helfen Formeln für den Übergang zu einer neuen Stiftung. Formulieren wir sie in Form eines Theorems:

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Aus der zweiten Formel folgt, dass Basis und Argument des Logarithmus vertauscht werden können, allerdings wird in diesem Fall der gesamte Ausdruck „umgedreht“, also der Logarithmus erscheint im Nenner.

Diese Formeln kommen selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken vor. Wie praktisch sie sind, lässt sich nur bei der Lösung logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen beurteilen.

Es gibt jedoch Probleme, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung gelöst werden können. Schauen wir uns einige davon an:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log5 16 log2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Potenzen enthalten. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Lassen Sie uns nun den zweiten Logarithmus „umkehren“:

Da sich das Produkt beim Umordnen der Faktoren nicht ändert, haben wir in aller Ruhe vier und zwei multipliziert und uns dann mit Logarithmen beschäftigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir das auf und entfernen wir die Indikatoren:

Lassen Sie uns nun den dezimalen Logarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

Grundlegende logarithmische Identität

Im Lösungsprozess ist es oft notwendig, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns folgende Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, da es sich nur um einen Logarithmuswert handelt.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. So heißt es: .

Was passiert eigentlich, wenn die Zahl b so potenziert wird, dass die Potenz von b die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Das Ergebnis ist die gleiche Zahl a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal sorgfältig durch – viele Menschen bleiben dabei hängen.

Wie Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass log25 64 = log5 8 – einfach das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus genommen hat. Unter Berücksichtigung der Regeln zur Potenzmultiplikation mit gleicher Basis erhalten wir:

Falls es jemand nicht weiß, das war eine echte Aufgabe aus dem Einheitlichen Staatsexamen :)

Logarithmische Einheit und logarithmischer Nullpunkt

Abschließend möchte ich zwei Identitäten nennen, die kaum als Eigenschaften bezeichnet werden können – vielmehr sind sie Konsequenzen der Definition des Logarithmus. Sie tauchen ständig in Problemen auf und bereiten überraschenderweise auch „fortgeschrittenen“ Studierenden Probleme.

logaa = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a dieser Basis selbst ist gleich eins.
loga 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins enthält, ist der Logarithmus gleich Null! Denn a0 = 1 ist eine direkte Folge der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt die Umsetzung! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Siehe auch:

Der Logarithmus von b zur Basis a bezeichnet den Ausdruck. Den Logarithmus zu berechnen bedeutet, eine Potenz x() zu finden, bei der die Gleichheit erfüllt ist

Grundlegende Eigenschaften des Logarithmus

Es ist notwendig, die oben genannten Eigenschaften zu kennen, da fast alle Probleme und Beispiele im Zusammenhang mit Logarithmen auf ihrer Grundlage gelöst werden. Der Rest der exotischen Eigenschaften kann durch mathematische Manipulationen mit diesen Formeln abgeleitet werden

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Bei der Berechnung der Formel für die Summe und Differenz von Logarithmen (3.4) stößt man häufig darauf. Der Rest ist etwas komplex, aber bei einer Reihe von Aufgaben sind sie unverzichtbar, um komplexe Ausdrücke zu vereinfachen und ihre Werte zu berechnen.

Häufige Fälle von Logarithmen

Einige der gebräuchlichsten Logarithmen sind solche, bei denen die Basis gerade zehn, exponentiell oder zwei ist.
Der Logarithmus zur Basis zehn wird üblicherweise als dezimaler Logarithmus bezeichnet und einfach mit lg(x) bezeichnet.

Aus der Aufnahme geht klar hervor, dass die Grundlagen in der Aufnahme nicht niedergeschrieben sind. Beispielsweise

Ein natürlicher Logarithmus ist ein Logarithmus, dessen Basis ein Exponent ist (bezeichnet mit ln(x)).

Der Exponent ist 2,718281828…. Um sich den Exponenten zu merken, können Sie die Regel studieren: Der Exponent ist gleich 2,7 und doppelt so groß wie das Geburtsjahr von Leo Nikolajewitsch Tolstoi. Wenn Sie diese Regel kennen, kennen Sie sowohl den genauen Wert des Exponenten als auch das Geburtsdatum von Leo Tolstoi.

Und ein weiterer wichtiger Logarithmus zur Basis zwei wird mit bezeichnet

Die Ableitung des Logarithmus einer Funktion ist gleich eins dividiert durch die Variable

Der Integral- oder Stammlogarithmus wird durch die Beziehung bestimmt

Das bereitgestellte Material reicht aus, um eine breite Klasse von Problemen im Zusammenhang mit Logarithmen und Logarithmen zu lösen. Um Ihnen das Verständnis des Materials zu erleichtern, werde ich nur einige gängige Beispiele aus dem Lehrplan von Schulen und Universitäten nennen.

Beispiele für Logarithmen

Logarithmische Ausdrücke

Beispiel 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Mit den Eigenschaften 3.5 berechnen wir

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Durch die Eigenschaft der Differenz von Logarithmen haben wir

3.
Mit den Eigenschaften 3.5 finden wir

4. Wo .

Ein scheinbar komplexer Ausdruck wird mithilfe einer Reihe von Regeln vereinfacht

Logarithmuswerte finden

Beispiel 2. Finden Sie x, wenn

Lösung. Für die Berechnung beziehen wir uns auf die letzten Laufzeiten 5 und 13

Wir halten es zu Protokoll und trauern

Da die Basen gleich sind, setzen wir die Ausdrücke gleich

Logarithmen. Erste Ebene.

Der Wert von Logarithmen sei gegeben

Berechnen Sie log(x), wenn

Lösung: Nehmen wir einen Logarithmus der Variablen, um den Logarithmus durch die Summe ihrer Terme zu schreiben

Dies ist erst der Anfang unserer Bekanntschaft mit Logarithmen und ihren Eigenschaften. Üben Sie das Rechnen, erweitern Sie Ihre praktischen Fähigkeiten – das erworbene Wissen benötigen Sie schon bald zum Lösen logarithmischer Gleichungen. Nachdem wir die grundlegenden Methoden zur Lösung solcher Gleichungen studiert haben, werden wir Ihr Wissen auf ein weiteres, ebenso wichtiges Thema erweitern – logarithmische Ungleichungen...

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen addieren und subtrahieren

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit den gleichen Basen: logax und logay. Dann können sie addiert und subtrahiert werden und:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log6 4 + log6 9.

Da Logarithmen die gleichen Basen haben, verwenden wir die Summenformel:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log2 48 − log2 3.

Die Grundlagen sind die gleichen, wir verwenden die Differenzformel:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log3 135 − log3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Extrahieren des Exponenten aus dem Logarithmus

Jetzt machen wir die Aufgabe etwas komplizierter. Was ist, wenn die Basis oder das Argument eines Logarithmus eine Potenz ist? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnommen werden:

Es ist leicht zu erkennen, dass die letzte Regel den ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern – in manchen Fällen wird es den Rechenaufwand erheblich reduzieren.

So lösen Sie Logarithmen

Dies wird am häufigsten benötigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log7 496.

Lassen Sie uns den Grad im Argument loswerden, indem wir die erste Formel verwenden:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner einen Logarithmus enthält, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 24; 49 = 72. Wir haben:

Ich denke, das letzte Beispiel bedarf einer Klarstellung. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Wir stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Potenzen dar und entfernten die Exponenten – wir erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Übergang zu einer neuen Stiftung

Hier helfen Formeln für den Übergang zu einer neuen Stiftung. Formulieren wir sie in Form eines Theorems:

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Diese Formeln kommen selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken vor. Wie praktisch sie sind, lässt sich nur bei der Lösung logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen beurteilen.

Es gibt jedoch Probleme, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung gelöst werden können. Schauen wir uns einige davon an:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log5 16 log2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Potenzen enthalten. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Lassen Sie uns nun den zweiten Logarithmus „umkehren“:

Da sich das Produkt beim Umordnen der Faktoren nicht ändert, haben wir in aller Ruhe vier und zwei multipliziert und uns dann mit Logarithmen beschäftigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir das auf und entfernen wir die Indikatoren:

Lassen Sie uns nun den dezimalen Logarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

Grundlegende logarithmische Identität

Im Lösungsprozess ist es oft notwendig, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns folgende Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, da es sich nur um einen Logarithmuswert handelt.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. So heißt es: .

Wie Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Falls es jemand nicht weiß, das war eine echte Aufgabe aus dem Einheitlichen Staatsexamen :)

Logarithmische Einheit und logarithmischer Nullpunkt

logaa = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a dieser Basis selbst ist gleich eins.
loga 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins enthält, ist der Logarithmus gleich Null! Denn a0 = 1 ist eine direkte Folge der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt die Umsetzung! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

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Logarithmus positive Zahl N zur Basis(B> 0, B 1 ) Exponent genannt X , auf die Sie bauen müssen b, um N zu erhalten .

Logarithmus-Notation:

Dieser Eintrag entspricht dem Folgenden:b x = N .

BEISPIELE: Protokoll 3 81 = 4, da 3 4 = 81;

Protokoll 1/3 27 = – 3, da (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

Die obige Definition des Logarithmus kann als Identität geschrieben werden:

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen.

1) Protokoll B= 1 , als B 1 = b.

2) Protokoll 1 = 0 , als B 0 = 1 .

3) Der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren:

Protokoll( ab) = log A+ Protokoll B.

4) Der Logarithmus des Quotienten ist gleich der Differenz zwischen den Logarithmen des Dividenden und des Divisors:

Protokoll( A/B) = log A-Protokoll B.

5) Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus seiner Basis:

Protokoll (B k ) = k Protokoll B.

Die Konsequenz dieser Eigenschaft ist folgende:Logarithmus der Wurzel gleich dem Logarithmus der Wurzelzahl dividiert durch die Potenz der Wurzel:

6) Wenn die Basis des Logarithmus ein Grad ist, dann der Wert der Kehrwert des Exponenten, kann aus dem Logarithmuszeichen entnommen werden Reim:

Die letzten beiden Eigenschaften können zu einer kombiniert werden:

7) Übergangsmodulformel (d. h. e . Übergang von einer BasisLogarithmus zu einer anderen Basis):

Im Sonderfall wann N=a wir haben:

Dezimaler Logarithmus angerufen Basislogarithmus 10. Es ist benannt lg, d.h. Protokoll 10 N = lg N. Logarithmen der Zahlen 10, 100, 1000, ... P Die Zahlen sind jeweils 1, 2, 3, …diese. habe so viel positives

Einheiten, wie viele Nullen gibt es in einer logarithmischen Zahl nach einer? Logarithmen der Zahlen 0,1, 0,01, 0,001, ... P avna bzw. –1, –2, –3, …, d.h. haben so viele negative Einsen wie Nullen vor der Eins in der logarithmischen Zahl ( Zählen und Null-Ganzzahlen). Logarithmen Bei anderen Zahlen wird ein Bruchteil genannt Mantisse. GanzTeil des Logarithmus heißt charakteristisch. Für den praktischen EinsatzDezimale Logarithmen sind am bequemsten.

Natürlicher Logarithmus angerufen Basislogarithmus e. Es ist ausgewiesen ln, d.h. Protokoll eN = ln N. Nummer eist irrational, esungefährer Wert 2,718281828. Es ist die Grenze, zu der die Zahl tendiert(1 + 1 / N) N mit unbegrenzter SteigerungN(cm. erste wunderbare Grenze ).
So seltsam es auch klingen mag, natürliche Logarithmen erwiesen sich bei der Durchführung verschiedener Arten von Operationen im Zusammenhang mit der Analyse von Funktionen als sehr praktisch.Logarithmen zur Basis berechneneviel schneller durchgeführt werden als aus irgendeinem anderen Grund.