Fläche eines krummlinigen Trapezes. Online-Rechner Berechnen Sie ein bestimmtes Integral (Fläche eines krummlinigen Trapezes)

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Quadrat krummliniges Trapez ist numerisch gleich dem bestimmten Integral

Jedes bestimmte Integral (das existiert) hat eine sehr gute geometrische Bedeutung. Im Unterricht habe ich gesagt, dass ein bestimmtes Integral eine Zahl ist. Und jetzt ist es an der Zeit, eine weitere nützliche Tatsache anzugeben. Aus geometrischer Sicht ist das bestimmte Integral die FLÄCHE.

Also, Das bestimmte Integral (falls vorhanden) entspricht geometrisch der Fläche einer Figur. Betrachten Sie zum Beispiel das bestimmte Integral . Der Integrand definiert eine bestimmte Kurve in der Ebene (sie kann auf Wunsch immer gezeichnet werden), und das bestimmte Integral selbst ist numerisch gleich der Fläche des entsprechenden krummlinigen Trapezes.

Beispiel 1

Dies ist eine typische Aufgabenstellung. Zuerst und wichtiger Punkt Lösungen - Zeichnen. Außerdem muss die Zeichnung gebaut werden RECHTS.

Dort finden Sie auch Material, das in Bezug auf unsere Lektion sehr nützlich ist - wie man schnell eine Parabel baut.

Bei diesem Problem könnte die Lösung so aussehen.
Machen wir eine Zeichnung (beachten Sie, dass die Gleichung die Achse definiert):

Ich werde kein krummliniges Trapez schraffieren, es ist offensichtlich, von welchem Bereich wir hier sprechen. Die Lösung geht so weiter:

Auf dem Segment befindet sich der Graph der Funktion über Achse, deshalb:

Antworten:

Wer hat Schwierigkeiten, das bestimmte Integral zu berechnen und die Newton-Leibniz-Formel anzuwenden , siehe Vorlesung Bestimmtes Integral. Lösungsbeispiele.

Nachdem die Aufgabe erledigt ist, ist es immer hilfreich, sich die Zeichnung anzusehen und herauszufinden, ob die Antwort echt ist. In diesem Fall zählen wir „mit dem Auge“ die Anzahl der Zellen in der Zeichnung - nun, ungefähr 9 werden eingegeben, es scheint wahr zu sein. Es ist ganz klar, wenn wir die Antwort beispielsweise 20 Quadrateinheiten hätten, dann wurde offensichtlich irgendwo ein Fehler gemacht - 20 Zellen passen offensichtlich nicht in die betreffende Zahl, höchstens ein Dutzend. Fällt die Antwort negativ aus, wurde die Aufgabe auch falsch gelöst.

Beispiel 2

Berechnen Sie die Fläche der Figur durch Linien begrenzt, , und Achse

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Was tun, wenn sich das krummlinige Trapez befindet unter der Achse?

Beispiel 3

Berechnen Sie die durch Linien und Koordinatenachsen begrenzte Fläche der Figur.

Lösung: Machen wir eine Zeichnung:

Wenn ein krummliniges Trapez komplett unter der Achse, dann kann seine Fläche durch die Formel gefunden werden:
In diesem Fall:

Aufmerksamkeit! Die beiden Arten von Aufgaben sollten nicht verwechselt werden:

1) Wenn Sie nur ein bestimmtes Integral ohne geometrische Bedeutung lösen sollen, kann es negativ sein.

2) Wenn Sie aufgefordert werden, die Fläche einer Figur mithilfe eines bestimmten Integrals zu finden, dann ist die Fläche immer positiv! Deshalb kommt in der eben betrachteten Formel das Minus vor.

In der Praxis befindet sich die Figur meistens sowohl in der oberen als auch in der unteren Halbebene, und daher gehen wir von den einfachsten Schulproblemen zu aussagekräftigeren Beispielen über.

Beispiel 4

Finden Sie die Fläche einer flachen Figur, die durch Linien begrenzt ist.

Lösung: Zuerst müssen Sie eine Zeichnung machen. Im Allgemeinen sind wir beim Erstellen einer Zeichnung in Flächenproblemen am meisten an den Schnittpunkten von Linien interessiert. Lassen Sie uns die Schnittpunkte der Parabel und der Linie finden. Dies kann auf zwei Arten erfolgen. Der erste Weg ist der analytische. Wir lösen die Gleichung:

Daher die untere Integrationsgrenze, die obere Integrationsgrenze.
Es ist besser, diese Methode möglichst nicht zu verwenden.

Es ist viel rentabler und schneller, die Linien Punkt für Punkt zu bauen, während die Integrationsgrenzen wie „von selbst“ herausgefunden werden. Die Punkt-für-Punkt-Konstruktionstechnik für verschiedene Diagramme wird ausführlich in der Hilfe besprochen Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen. Trotzdem muss die analytische Methode der Grenzfindung manchmal immer noch angewendet werden, wenn beispielsweise der Graph groß genug ist oder die Thread-Konstruktion die Integrationsgrenzen nicht offenbart hat (sie können gebrochen oder irrational sein). Und wir werden auch ein solches Beispiel betrachten.

Wir kehren zu unserer Aufgabe zurück: Es ist vernünftiger, zuerst eine Gerade und dann erst eine Parabel zu konstruieren. Machen wir eine Zeichnung:

Ich wiederhole, dass bei der punktweisen Konstruktion die Integrationsgrenzen meistens „automatisch“ herausgefunden werden.

Und jetzt die Arbeitsformel: Wenn auf einem Segment eine kontinuierliche Funktion größer als oder gleich eine kontinuierliche Funktion, dann kann die Fläche der entsprechenden Figur durch die Formel gefunden werden:

Hier muss nicht mehr darüber nachgedacht werden, wo sich die Figur befindet - über der Achse oder unter der Achse und grob gesagt Es ist wichtig, welches Diagramm OBEN ist(relativ zu einem anderen Diagramm), und welches ist UNTEN.

In dem betrachteten Beispiel ist es offensichtlich, dass sich die Parabel auf dem Segment über der geraden Linie befindet und daher abgezogen werden muss

Die Fertigstellung der Lösung könnte so aussehen:

Die gewünschte Figur wird von oben durch eine Parabel und von unten durch eine Gerade begrenzt.
Auf dem Segment nach der entsprechenden Formel:

Antworten:

Tatsächlich ist die Schulformel für die Fläche eines krummlinigen Trapezes in der unteren Halbebene (siehe einfaches Beispiel Nr. 3) ein Sonderfall der Formel . Da die Achse durch die Gleichung gegeben ist und sich der Graph der Funktion unter der Achse befindet, dann

Und jetzt ein paar Beispiele für eine eigenständige Lösung

Beispiel 5

Beispiel 6

Finden Sie den Bereich der Figur, der von den Linien , umschlossen ist.

Bei der Lösung von Problemen zur Berechnung der Fläche mit einem bestimmten Integral passiert manchmal ein lustiger Vorfall. Die Zeichnung wurde korrekt erstellt, die Berechnungen waren korrekt, aber aufgrund von Unaufmerksamkeit ... fand den Bereich der falschen Figur, so hat es dein gehorsamer Diener mehrfach vermasselt. Hier echter Fall vom Leben:

Beispiel 7

Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien , , , begrenzt wird.

Zeichnen wir zuerst:

Die Figur, deren Fläche wir finden müssen, ist blau schattiert.(Beachten Sie genau den Zustand - wie begrenzt die Figur ist!). In der Praxis kommt es jedoch häufig vor, dass Sie aufgrund von Unaufmerksamkeit den schattierten Bereich der Figur finden müssen in grün!

Dieses Beispiel ist auch insofern nützlich, als darin die Fläche der Figur mit zwei bestimmten Integralen berechnet wird. Wirklich:

1) Auf dem Segment über der Achse befindet sich ein gerader Liniengraph;

2) Auf dem Segment über der Achse befindet sich ein Hyperbeldiagramm.

Es ist ziemlich offensichtlich, dass die Bereiche hinzugefügt werden können (und sollten), daher:

Antworten:

Beispiel 8

Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur,
Lassen Sie uns die Gleichungen in einer "Schul" -Form präsentieren und eine Punkt-für-Punkt-Zeichnung durchführen:

Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass unsere Obergrenze „gut“ ist: .
Aber was ist die untere Grenze? Es ist klar, dass dies keine ganze Zahl ist, aber was? Kann sein ? Aber wo ist die Garantie, dass die Zeichnung mit perfekter Genauigkeit gemacht wird, das kann sich durchaus herausstellen. Oder rooten. Was wäre, wenn wir die Grafik überhaupt nicht richtig hinbekommen hätten?

In solchen Fällen muss man zusätzliche Zeit aufwenden und die Integrationsgrenzen analytisch verfeinern.

Lassen Sie uns die Schnittpunkte der Linie und der Parabel finden.
Dazu lösen wir die Gleichung:

Folglich, .

Die weitere Lösung ist trivial, Hauptsache nicht in Substitutionen und Vorzeichen verwechseln, die Berechnungen hier sind nicht die einfachsten.

Auf dem Segment , nach der entsprechenden Formel:

Antworten:

Nun, zum Abschluss der Lektion werden wir zwei Aufgaben als schwieriger betrachten.

Beispiel 9

Berechnen Sie die Fläche der durch Linien begrenzten Figur , ,

Lösung: Zeichne diese Figur in die Zeichnung ein.

Für das Punkt-für-Punkt-Zeichnen müssen Sie es wissen Aussehen Sinuskurven (und im Allgemeinen ist es nützlich zu wissen Graphen aller elementaren Funktionen) sowie einige Sinuswerte, in denen sie zu finden sind trigonometrische Tabelle. In einigen Fällen (wie in diesem Fall) ist es erlaubt, eine schematische Zeichnung zu erstellen, auf der Graphen und Integrationsgrenzen grundsätzlich korrekt dargestellt werden müssen.

Hier gibt es keine Probleme mit den Integrationsgrenzen, sie folgen direkt aus der Bedingung: - „x“ wechselt von Null auf „pi“. Wir treffen eine weitere Entscheidung:

Auf dem Segment befindet sich der Graph der Funktion über der Achse, daher:

(1) Wie Sinus und Cosinus in ungerade Potenzen integriert werden, ist in der Lektion zu sehen Integrale trigonometrischer Funktionen. Dies ist eine typische Technik, wir klemmen einen Sinus ab.

(2) Wir verwenden die grundlegende trigonometrische Identität in der Form

(3) Ändern wir die Variable , dann:

Neue Umverteilungen der Integration:

Wer wirklich schlechte Geschäfte mit Auswechslungen macht, bitte zum Unterricht gehen Ersetzungsverfahren im unbestimmten Integral. Für diejenigen, die sich über den Ersetzungsalgorithmus in einem bestimmten Integral nicht ganz im Klaren sind, besuchen Sie die Seite Bestimmtes Integral. Lösungsbeispiele.

Bestimmtes Integral. Wie man die Fläche einer Figur berechnet

Wir wenden uns nun der Betrachtung von Anwendungen der Integralrechnung zu. In dieser Lektion analysieren wir eine typische und häufigste Aufgabe. Wie man ein bestimmtes Integral verwendet, um die Fläche einer ebenen Figur zu berechnen. Schließlich diejenigen, die in der höheren Mathematik nach Sinn suchen – mögen sie ihn finden. Man weiß nie. Wir müssen uns im Leben näher kommen Landhausgebiet Elementarfunktionen und finden Sie ihre Fläche mit einem bestimmten Integral.

Um das Material erfolgreich zu beherrschen, müssen Sie:

1) Verstehen Sie das unbestimmte Integral zumindest auf einem mittleren Niveau. Daher sollten Dummies zuerst die Lektion lesen Nicht.

2) Die Newton-Leibniz-Formel anwenden und das bestimmte Integral berechnen können. Warm schmieden freundschaftliche Beziehungen mit bestimmten Integralen finden Sie auf der Seite Bestimmtes Integral. Lösungsbeispiele.

Tatsächlich benötigen Sie nicht so viel Wissen über das unbestimmte und bestimmte Integral, um den Bereich einer Figur zu finden. Die Aufgabe "Fläche mit einem bestimmten Integral berechnen" beinhaltet immer das Erstellen einer Zeichnung, so viel mehr aktuelles Thema werden Ihr Wissen und Ihre zeichnerischen Fähigkeiten sein. In dieser Hinsicht ist es nützlich, die Erinnerung an die Graphen der wichtigsten Elementarfunktionen aufzufrischen und zumindest eine Gerade, eine Parabel und eine Hyperbel bilden zu können. Dies kann (viele Notwendigkeit) mit Hilfe von durchgeführt werden methodisches Material und Artikel über geometrische Transformationen von Graphen.

Eigentlich kennt jeder das Problem, den Bereich mit einem bestimmten Integral zu finden, seit der Schule, und wir gehen dem Schullehrplan ein wenig voraus. Dieser Artikel existiert vielleicht überhaupt nicht, aber Tatsache ist, dass das Problem in 99 von 100 Fällen auftritt, wenn ein Student von einem verhassten Turm mit Begeisterung gequält wird, um einen Kurs in höherer Mathematik zu meistern.

Die Materialien dieses Workshops werden einfach, detailliert und mit einem Minimum an Theorie präsentiert.

Beginnen wir mit einem krummlinigen Trapez.

Krummliniges Trapez wird eine flache Figur genannt, die durch die Achse begrenzt wird, gerade Linien und der Graph einer Funktion, die auf einem Segment stetig ist, das in diesem Intervall das Vorzeichen nicht ändert. Lassen Sie diese Figur lokalisieren nicht weniger Abszisse:

Dann Die Fläche eines krummlinigen Trapezes ist numerisch gleich einem bestimmten Integral. Jedes bestimmte Integral (das existiert) hat eine sehr gute geometrische Bedeutung. Im Unterricht Bestimmtes Integral. Lösungsbeispiele Ich sagte, dass ein bestimmtes Integral eine Zahl ist. Und jetzt ist es an der Zeit, eine weitere nützliche Tatsache anzugeben. Aus geometrischer Sicht ist das bestimmte Integral die FLÄCHE.

Also, Das bestimmte Integral (falls vorhanden) entspricht geometrisch der Fläche einer Figur. Betrachten Sie zum Beispiel das bestimmte Integral . Der Integrand definiert eine Kurve in der Ebene, die sich über der Achse befindet (wer möchte, kann die Zeichnung vervollständigen), und das bestimmte Integral selbst ist numerisch gleich der Fläche des entsprechenden krummlinigen Trapezes.

Beispiel 1

Dies ist eine typische Aufgabenstellung. Der erste und wichtigste Moment der Entscheidung ist die Konstruktion einer Zeichnung. Außerdem muss die Zeichnung gebaut werden RECHTS.

Beim Erstellen einer Blaupause empfehle ich die folgende Reihenfolge: Erste es ist besser, alle Linien (falls vorhanden) und nur zu konstruieren nach- Parabeln, Hyperbeln, Graphen anderer Funktionen. Funktionsgraphen sind rentabler zu erstellen Punkt für Punkt, mit der Technik der punktweisen Konstruktion finden Sie im Referenzmaterial Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen. Dort finden Sie auch Material, das in Bezug auf unsere Lektion sehr nützlich ist - wie man schnell eine Parabel baut.

Bei diesem Problem könnte die Lösung so aussehen.
Machen wir eine Zeichnung (beachten Sie, dass die Gleichung die Achse definiert):

Ich werde kein krummliniges Trapez schraffieren, es ist offensichtlich, von welchem Bereich wir hier sprechen. Die Lösung geht so weiter:

Auf dem Segment befindet sich der Graph der Funktion über Achse, deshalb:

Antworten:

Wer hat Schwierigkeiten, das bestimmte Integral zu berechnen und die Newton-Leibniz-Formel anzuwenden , siehe Vorlesung Bestimmtes Integral. Lösungsbeispiele.

Beispiel 2

Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien , , und die Achse begrenzt wird

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Was tun, wenn sich das krummlinige Trapez befindet unter der Achse?

Beispiel 3

Berechnen Sie die durch Linien und Koordinatenachsen begrenzte Fläche der Figur.

Lösung: Machen wir eine Zeichnung:

Wenn das krummlinige Trapez lokalisiert ist unter Achse(oder zumindest nicht höher gegebene Achse), dann kann seine Fläche durch die Formel gefunden werden:
In diesem Fall:

Aufmerksamkeit! Verwechseln Sie die beiden Arten von Aufgaben nicht:

1) Wenn Sie nur ein bestimmtes Integral ohne geometrische Bedeutung lösen sollen, kann es negativ sein.

In der Praxis befindet sich die Figur meistens sowohl in der oberen als auch in der unteren Halbebene, und daher gehen wir von den einfachsten Schulproblemen zu aussagekräftigeren Beispielen über.

Beispiel 4

Finden Sie die Fläche einer flachen Figur, die durch Linien begrenzt ist.

Lösung: Zuerst müssen Sie die Zeichnung vervollständigen. Im Allgemeinen sind wir beim Erstellen einer Zeichnung in Flächenproblemen am meisten an den Schnittpunkten von Linien interessiert. Lassen Sie uns die Schnittpunkte der Parabel und der Linie finden. Dies kann auf zwei Arten erfolgen. Der erste Weg ist der analytische. Wir lösen die Gleichung:

Daher die untere Integrationsgrenze, die obere Integrationsgrenze.
Es ist am besten, diese Methode nach Möglichkeit nicht zu verwenden..

Und jetzt die Arbeitsformel: Wenn es eine kontinuierliche Funktion im Intervall gibt größer als oder gleich eine kontinuierliche Funktion, dann kann die Fläche der Figur, die durch die Graphen dieser Funktionen und geraden Linien begrenzt ist, durch die Formel gefunden werden:

In dem betrachteten Beispiel ist es offensichtlich, dass sich die Parabel auf dem Segment über der geraden Linie befindet und daher abgezogen werden muss

Die Fertigstellung der Lösung könnte so aussehen:

Die gewünschte Figur wird von oben durch eine Parabel und von unten durch eine Gerade begrenzt.
Auf dem Segment nach der entsprechenden Formel:

Antworten:

Tatsächlich ist die Schulformel für die Fläche eines krummlinigen Trapezes in der unteren Halbebene (siehe einfaches Beispiel Nr. 3) ein Sonderfall der Formel . Da die Achse durch die Gleichung gegeben ist, befindet sich auch der Graph der Funktion nicht höher Achsen, dann

Und jetzt ein paar Beispiele für eine eigenständige Lösung

Beispiel 5

Beispiel 6

Finden Sie den Bereich der Figur, der von den Linien , umschlossen ist.

Beispiel 7

Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien , , , begrenzt wird.

Lösung: Machen wir zuerst eine Zeichnung:

…Eh, die Zeichnung ist Mist geworden, aber alles scheint lesbar zu sein.

Die Figur, deren Fläche wir finden müssen, ist blau schattiert.(Beachten Sie genau den Zustand - wie begrenzt die Figur ist!). In der Praxis tritt jedoch aufgrund von Unaufmerksamkeit häufig ein „Fehler“ auf, bei dem Sie den grün schattierten Bereich der Figur finden müssen!

Dieses Beispiel ist auch insofern nützlich, als darin die Fläche der Figur mit zwei bestimmten Integralen berechnet wird. Wirklich:

1) Auf dem Segment über der Achse befindet sich ein gerader Liniengraph;

2) Auf dem Segment über der Achse befindet sich ein Hyperbeldiagramm.

Es ist ziemlich offensichtlich, dass die Bereiche hinzugefügt werden können (und sollten), daher:

Antworten:

Kommen wir zu einer weiteren sinnvollen Aufgabe.

Beispiel 8

In solchen Fällen muss man zusätzliche Zeit aufwenden und die Integrationsgrenzen analytisch verfeinern.

Lassen Sie uns die Schnittpunkte der Linie und der Parabel finden.
Dazu lösen wir die Gleichung:

,

Wirklich, .

Die weitere Lösung ist trivial, Hauptsache nicht in Substitutionen und Vorzeichen verwechseln, die Berechnungen hier sind nicht die einfachsten.

Auf dem Segment , nach der entsprechenden Formel:

Antworten:

Nun, zum Abschluss der Lektion werden wir zwei Aufgaben als schwieriger betrachten.

Beispiel 9

Berechnen Sie die Fläche der durch Linien begrenzten Figur , ,

Lösung: Zeichne diese Figur in die Zeichnung ein.

Verdammt, ich habe vergessen, den Zeitplan zu unterschreiben und das Bild neu zu machen, sorry, nicht Hotz. Keine Zeichnung, kurz gesagt, heute ist der Tag =)

Für eine Punkt-für-Punkt-Konstruktion ist es notwendig, das Aussehen der Sinuskurve zu kennen (und im Allgemeinen ist es nützlich zu wissen Graphen aller elementaren Funktionen) sowie einige Sinuswerte, in denen sie zu finden sind trigonometrische Tabelle. In einigen Fällen (wie in diesem Fall) ist es erlaubt, eine schematische Zeichnung zu erstellen, auf der Graphen und Integrationsgrenzen grundsätzlich korrekt dargestellt werden müssen.

Hier gibt es keine Probleme mit den Integrationsgrenzen, sie folgen direkt aus der Bedingung: - „x“ wechselt von Null auf „pi“. Wir treffen eine weitere Entscheidung:

Auf dem Segment befindet sich der Graph der Funktion über der Achse, daher:

Aufgabe 1(über die Berechnung der Fläche eines krummlinigen Trapezes).

Im kartesischen rechteckigen Koordinatensystem xOy ist eine Figur angegeben (siehe Abbildung), begrenzt durch die x-Achse, gerade Linien x \u003d a, x \u003d b (ein krummliniges Trapez. Es ist erforderlich, die Fläche von \ zu berechnen. u200b\u200bdas krummlinige Trapez.
Lösung. Die Geometrie gibt uns Rezepte zur Berechnung der Flächen von Polygonen und einigen Teilen eines Kreises (Sektor, Segment). Unter Verwendung geometrischer Überlegungen können wir nur einen ungefähren Wert der erforderlichen Fläche finden, wenn wir wie folgt argumentieren.

Teilen wir das Segment [a; b] (Basis eines krummlinigen Trapezes) in n gleiche Teile; diese Aufteilung ist mit Hilfe der Punkte x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 machbar. Lassen Sie uns Linien durch diese Punkte parallel zur y-Achse ziehen. Dann wird das gegebene krummlinige Trapez in n Teile, in n schmale Spalten unterteilt. Die Fläche des gesamten Trapezes ist gleich der Summe der Flächen der Säulen.

Betrachten Sie separat die k-te Spalte, d.h. krummliniges Trapez, dessen Basis ein Segment ist. Ersetzen wir es durch ein Rechteck mit derselben Basis und Höhe gleich f(x k) (siehe Abbildung). Die Fläche des Rechtecks ist $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, wobei $\Delta x_k $ die Länge des Segments ist; Es ist natürlich, das zusammengestellte Produkt als ungefähren Wert der Fläche der k-ten Spalte zu betrachten.

Wenn wir nun dasselbe mit allen anderen Säulen machen, dann kommen wir zu folgendem Ergebnis: Die Fläche S eines gegebenen krummlinigen Trapezes ist ungefähr gleich der Fläche S n einer Stufenfigur aus n Rechtecken (siehe Abbildung):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Hier gehen wir aus Gründen der Einheitlichkeit der Notation davon aus, dass a \u003d x 0, b \u003d x n; $\Delta x_0 $ - Segmentlänge , $\Delta x_1 $ - Segmentlänge usw.; während, wie oben vereinbart, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Also $S \approx S_n $, und diese ungefähre Gleichheit ist umso genauer, je größer n ist.
Per Definition wird angenommen, dass die gewünschte Fläche des krummlinigen Trapezes gleich der Grenze der Folge (S n) ist:
$$ S = \lim_(n \bis \infty) S_n $$

Aufgabe 2(über das Verschieben eines Punktes)
Ein materieller Punkt bewegt sich auf einer geraden Linie. Die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit wird durch die Formel v = v(t) ausgedrückt. Finden Sie die Verschiebung eines Punktes über das Zeitintervall [a; b].
Lösung. Wäre die Bewegung gleichförmig, dann wäre das Problem ganz einfach gelöst: s = vt, d.h. s = v(b-a). Für ungleichmäßige Bewegungen muss man die gleichen Ideen verwenden, auf denen die Lösung des vorherigen Problems basierte.
1) Teilen Sie das Zeitintervall [a; b] in n gleiche Teile.
2) Betrachten Sie ein Zeitintervall und nehmen Sie an, dass während dieses Zeitintervalls die Geschwindigkeit konstant war, wie zum Beispiel zum Zeitpunkt t k . Wir nehmen also an, dass v = v(t k).
3) Finden Sie den Näherungswert der Punktverschiebung über das Zeitintervall , dieser Näherungswert wird mit sk bezeichnet
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Finden Sie den ungefähren Wert der Verschiebung s:
$s \approx S_n $ wobei
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Updelta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Updelta t_(n-1) $
5) Die erforderliche Verschiebung ist gleich der Grenze der Folge (S n):
$$ s = \lim_(n \bis \infty) S_n $$

Fassen wir zusammen. Lösungen mehrere Aufgaben auf dasselbe mathematische Modell reduziert. Viele Probleme aus verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technik führen im Lösungsprozess zum gleichen Modell. Daher sollte dieses mathematische Modell speziell untersucht werden.

Der Begriff eines bestimmten Integrals

Lassen Sie uns eine mathematische Beschreibung des Modells geben, das in den drei betrachteten Problemen für die stetige (aber nicht notwendigerweise nicht negative, wie in den betrachteten Problemen angenommene) Funktion y = f(x) auf der Strecke [ a; b]:
1) Splitte das Segment [a; b] in n gleiche Teile;
2) Summe $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) berechne $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Im Laufe der mathematischen Analyse wurde bewiesen, dass diese Grenze im Fall einer stetigen (oder stückweise stetigen) Funktion existiert. Er heißt ein bestimmtes Integral der Funktion y = f(x) über die Strecke [a; b] und werden so bezeichnet:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Die Zahlen a und b heißen Integrationsgrenzen (untere bzw. obere).

Kehren wir zu den oben besprochenen Aufgaben zurück. Die in Aufgabe 1 gegebene Flächendefinition kann nun wie folgt umgeschrieben werden:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
hier ist S die Fläche des in der obigen Abbildung gezeigten krummlinigen Trapezes. Das ist was geometrische Bedeutung des bestimmten Integrals.

Die in Aufgabe 2 gegebene Definition der Verschiebung s eines Punktes, der sich geradlinig mit der Geschwindigkeit v = v(t) über das Zeitintervall von t = a bis t = b bewegt, lässt sich wie folgt umschreiben:

Newton - Leibniz-Formel

Lassen Sie uns zunächst die Frage beantworten: Welche Beziehung besteht zwischen einem bestimmten Integral und einer Stammfunktion?

Die Antwort findet sich in Aufgabe 2. Zum einen wird die Verschiebung s eines Punktes, der sich entlang einer Geraden mit der Geschwindigkeit v = v(t) über ein Zeitintervall von t = a bis t = b bewegt, berechnet und berechnet sich aus die Formel
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Andererseits ist die Koordinate des sich bewegenden Punktes die Stammfunktion für die Geschwindigkeit – nennen wir sie s(t); daher wird die Verschiebung s durch die Formel s = s(b) - s(a) ausgedrückt. Als Ergebnis erhalten wir:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
wobei s(t) die Stammfunktion für v(t) ist.

Der folgende Satz wurde im Laufe der mathematischen Analyse bewiesen.
Satz. Ist die Funktion y = f(x) auf der Strecke [a; b], dann die Formel
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
wobei F(x) die Stammfunktion für f(x) ist.

Diese Formel wird normalerweise aufgerufen Newton-Leibniz-Formel zu Ehren des englischen Physikers Isaac Newton (1643-1727) und des deutschen Philosophen Gottfried Leibniz (1646-1716), die es unabhängig voneinander und nahezu gleichzeitig erhielten.

In der Praxis verwenden sie, anstatt F(b) - F(a) zu schreiben, die Notation $\left. F(x)\right|_a^b $ (manchmal auch genannt doppelte Substitution) und dementsprechend die Newton-Leibniz-Formel in dieser Form umschreiben:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

Berechnen Sie ein bestimmtes Integral, finden Sie zuerst die Stammfunktion und führen Sie dann eine doppelte Substitution durch.

Basierend auf der Newton-Leibniz-Formel kann man zwei Eigenschaften eines bestimmten Integrals erhalten.

Eigentum 1. Das Integral der Summe der Funktionen ist gleich der Summe der Integrale:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Eigenschaft 2. Der konstante Faktor kann aus dem Integralzeichen herausgenommen werden:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Berechnung der Flächeninhalte ebener Figuren mit einem bestimmten Integral

Mit dem Integral können Sie die Fläche nicht nur von krummlinigen Trapezen berechnen, sondern auch von komplexeren ebenen Figuren, wie der in der Abbildung gezeigten. Die Figur P wird durch Geraden x = a, x = b und Graphen stetiger Funktionen y = f(x), y = g(x) begrenzt und auf der Strecke [a; b] gilt die Ungleichung $g(x)\leq f(x)$. Um die Fläche S einer solchen Figur zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Also, die Fläche S der Figur, begrenzt durch die geraden Linien x = a, x = b und die Graphen der Funktionen y = f(x), y = g(x), stetig auf dem Segment und so, dass für jedes x von das Segment [a; b] die Ungleichung $g(x) \leq f(x) $ erfüllt ist, wird durch die Formel berechnet
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tabelle der unbestimmten Integrale (Stammfunktionen) einiger Funktionen

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C$$

Beispiel 1 . Berechnen Sie die Fläche der durch Linien begrenzten Figur: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 und x = 2

Lassen Sie uns eine Figur bauen (siehe Abb.). Wir bauen eine gerade Linie x + 2y - 4 \u003d 0 entlang zweier Punkte A (4; 0) und B (0; 2). Wenn wir y in x ausdrücken, erhalten wir y \u003d -0,5x + 2. Gemäß Formel (1), wobei f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, wir finden

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 sq. Einheiten

Beispiel 2 Berechnen Sie die Fläche der durch Linien begrenzten Figur: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 und y \u003d 0.

Lösung. Lass uns eine Figur bauen.

Lassen Sie uns eine gerade Linie x - 2y + 4 = 0 bilden: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Konstruieren wir eine Gerade x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Finden Sie den Schnittpunkt der Linien, indem Sie das Gleichungssystem lösen:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Um die benötigte Fläche zu berechnen, teilen wir das AMC-Dreieck in zwei Dreiecke AMN und NMC, denn wenn x von A nach N wechselt, wird die Fläche durch eine Gerade begrenzt, und wenn x von N nach C wechselt, ist es eine Gerade

Für das Dreieck AMN gilt: ; y \u003d 0,5x + 2, d.h. f (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

Für das NMC-Dreieck gilt: y = - x + 5, also f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Wenn wir die Fläche jedes Dreiecks berechnen und die Ergebnisse addieren, finden wir:

sq. Einheiten

9 + 4, 5 = 13,5 qm Einheiten Prüfen: = 0,5 AC = 0,5 sq. Einheiten

Beispiel 3 Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

In diesem Fall muss die Fläche eines krummlinigen Trapezes berechnet werden, das durch eine Parabel y = x begrenzt ist 2 , gerade Linien x \u003d 2 und x \u003d 3 und die Ox-Achse (siehe Abb.) Gemäß Formel (1) finden wir die Fläche eines krummlinigen Trapezes

= = 6 kV. Einheiten

Beispiel 4 Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur: y \u003d - x 2 + 4 und y = 0

Lass uns eine Figur bauen. Der gewünschte Bereich ist zwischen der Parabel y \u003d - x eingeschlossen 2 + 4 und Achse Oh.

Finde die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse. Unter der Annahme von y \u003d 0 finden wir x \u003d Da diese Figur symmetrisch zur Oy-Achse ist, berechnen wir die Fläche der Figur rechts von der Oy-Achse und verdoppeln das Ergebnis: \u003d + 4x] sq. Einheiten 2 = 2 qm Einheiten

Beispiel 5 Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Hier ist es erforderlich, die Fläche des krummlinigen Trapezes zu berechnen, die vom oberen Ast der Parabel y begrenzt wird 2 \u003d x, die Ochsenachse und gerade Linien x \u003d 1x \u003d 4 (siehe Abb.)

Gemäß Formel (1), wo f(x) = a = 1 und b = 4, haben wir = (= Quadrateinheiten

Beispiel 6 . Berechnen Sie die Fläche der durch Linien begrenzten Figur: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Der gewünschte Bereich wird durch eine Halbwellensinuskurve und die Ox-Achse begrenzt (siehe Abb.).

Wir haben - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 Quadratmeter. Einheiten

Beispiel 7 Berechnen Sie die durch Linien begrenzte Fläche der Figur: y \u003d - 6x, y \u003d 0 und x \u003d 4.

Die Figur befindet sich unter der Ochsenachse (siehe Abb.).

Daher wird seine Fläche durch die Formel (3) gefunden

= =

Beispiel 8 Berechnen Sie die Fläche der durch die Linien begrenzten Figur: y \u003d und x \u003d 2. Wir werden die Kurve y \u003d durch Punkte erstellen (siehe Abbildung). Somit wird die Fläche der Figur durch die Formel (4) ermittelt.

Beispiel 9 .

X 2 + j 2 = r 2 .

Hier müssen Sie die durch den Kreis x begrenzte Fläche berechnen 2 + j 2 = r 2 , d.h. die Fläche eines Kreises mit Radius r, der im Ursprung zentriert ist. Lassen Sie uns den vierten Teil dieses Bereichs finden, indem wir die Integrationsgrenzen von 0 nehmen

dor; wir haben: 1 = = [

Folglich, 1 =

Beispiel 10 Berechnen Sie die durch Linien begrenzte Fläche der Figur: y \u003d x 2 und y = 2x

Diese Zahl wird durch die Parabel y \u003d x begrenzt 2 und gerade Linie y \u003d 2x (siehe Abb.) Um die Schnittpunkte der gegebenen Linien zu bestimmen, lösen wir das Gleichungssystem: x 2 – 2x = 0 x = 0 und x = 2

Unter Verwendung von Formel (5), um die Fläche zu finden, erhalten wir

= }