Seit der Antike wurde die Arbeit mit Zahlen in zwei unterschiedliche Bereiche unterteilt: Der eine betraf direkt die Eigenschaften von Zahlen, der andere war mit Zähltechniken verbunden. Mit „Arithmetik“ ist in vielen Ländern meist das letztgenannte Fachgebiet gemeint, das zweifellos der älteste Zweig der Mathematik ist.

Offensichtlich bestand die größte Schwierigkeit für antike Rechner darin, mit Brüchen zu arbeiten. Dies geht aus dem Ahmes-Papyrus (auch Rhind-Papyrus genannt) hervor, einem altägyptischen Werk über Mathematik aus der Zeit um 1650 v. Chr. Alle im Papyrus erwähnten Brüche, mit Ausnahme von 2/3, haben den Zähler 1. Die Schwierigkeit, mit Brüchen umzugehen, macht sich auch beim Studium alter babylonischer Keilschrifttafeln bemerkbar. Sowohl die alten Ägypter als auch die Babylonier führten ihre Berechnungen offenbar mit einer Art Abakus durch. Die Wissenschaft der Zahlen erlebte bei den alten Griechen eine bedeutende Entwicklung, beginnend mit Pythagoras um 530 v. Chr. Was die Berechnungstechnologie selbst betrifft, so haben die Griechen auf diesem Gebiet viel weniger getan.

Die späteren Römer hingegen leisteten praktisch keinen Beitrag zur Zahlenwissenschaft, verbesserten jedoch aufgrund der Bedürfnisse der sich schnell entwickelnden Produktion und des Handels den Abakus als Zählgerät. Über die Ursprünge der indischen Arithmetik ist sehr wenig bekannt. Nur wenige spätere Arbeiten zur Theorie und Praxis von Zahlenoperationen sind uns überliefert, die verfasst wurden, nachdem das indische Positionssystem durch die Einbeziehung der Null verbessert wurde. Wann genau dies geschah, wissen wir nicht genau, aber damals wurden die Grundlagen für unsere gebräuchlichsten Rechenalgorithmen gelegt.

Das indische Zahlensystem und die ersten Rechenalgorithmen wurden von den Arabern übernommen. Das früheste erhaltene arabische Arithmetiklehrbuch wurde um 825 von al-Khwarizmi verfasst. Es verwendet und erklärt ausführlich indische Ziffern. Dieses Lehrbuch wurde später ins Lateinische übersetzt und hatte einen erheblichen Einfluss auf Westeuropa. Eine verzerrte Version des Namens al-Khwarizmi ist in dem Wort „Algorismus“ überliefert, das bei weiterer Vermischung mit dem griechischen Wort „Algorismus“ verwendet wird Arrhythmien wurde der Begriff „Algorithmus“.

Die indoarabische Arithmetik wurde in Westeuropa vor allem durch die Arbeit von L. Fibonacci bekannt Buch des Abakus (Liber abaci, 1202). Die Abacist-Methode bot ähnliche Vereinfachungen wie die Verwendung unseres Positionssystems, zumindest für Addition und Multiplikation. Die Abacisten wurden durch Algorithmen ersetzt, die Null und die arabische Methode der Division und Quadratwurzelextraktion verwendeten. Eines der ersten Rechenlehrbücher, dessen Autor uns unbekannt ist, wurde 1478 in Treviso (Italien) veröffentlicht. Es befasste sich mit Berechnungen bei der Abwicklung von Handelsgeschäften. Dieses Lehrbuch wurde zum Vorgänger vieler später erschienener Rechenlehrbücher. Bis zum Beginn des 17. Jahrhunderts. In Europa wurden mehr als dreihundert solcher Lehrbücher veröffentlicht. Arithmetische Algorithmen wurden in dieser Zeit erheblich verbessert. Im 16.–17. Jahrhundert. Es erschienen Symbole für arithmetische Operationen wie =, +, -, ґ, ё und .

Mechanisierung arithmetischer Berechnungen.

Mit der Weiterentwicklung der Gesellschaft stieg auch der Bedarf an schnelleren und genaueren Berechnungen. Aus diesem Bedürfnis heraus entstanden vier bemerkenswerte Erfindungen: indoarabische Ziffern, Dezimalzahlen, Logarithmen und moderne Rechenmaschinen.

Tatsächlich gab es die einfachsten Rechengeräte bereits vor dem Aufkommen der modernen Arithmetik, denn in der Antike wurden elementare Rechenoperationen auf dem Abakus durchgeführt (in Russland wurden hierfür Abakusse verwendet). Das einfachste moderne Computergerät kann als Rechenschieber betrachtet werden, der aus zwei aneinander gleitenden logarithmischen Skalen besteht, die Multiplikation und Division durch Summieren und Subtrahieren von Skalensegmenten ermöglichen. B. Pascal (1642) gilt als Erfinder der ersten mechanischen Addiermaschine. Später im selben Jahrhundert erfanden G. Leibniz (1671) in Deutschland und S. Moreland (1673) in England Maschinen zur Durchführung der Multiplikation. Diese Maschinen wurden zu den Vorgängern der Desktop-Computergeräte (Arithmometer) des 20. Jahrhunderts, die es ermöglichten, Additions-, Subtraktions-, Multiplikations- und Divisionsoperationen schnell und genau durchzuführen.

Im Jahr 1812 begann der englische Mathematiker C. Babbage mit der Entwicklung eines Entwurfs für eine Maschine zur Berechnung mathematischer Tabellen. Obwohl die Arbeit an dem Projekt viele Jahre dauerte, blieb es unvollendet. Dennoch diente Babbages Projekt als Anstoß für die Entwicklung moderner elektronischer Computer, deren erste Exemplare um 1944 auftauchten. Die Geschwindigkeit dieser Maschinen war erstaunlich: Mit ihrer Hilfe war es in Minuten oder Stunden möglich, Probleme zu lösen, die zuvor erforderlich waren viele Jahre kontinuierliche Berechnungen, auch unter Verwendung von Addiermaschinen.

Positive ganze Zahlen.

Lassen A Und B sind zwei endliche Mengen, die keine gemeinsamen Elemente haben, und sei A enthält N Elemente und B enthält M Elemente. Dann viele S, bestehend aus allen Elementen der Mengen A Und B, zusammengenommen, ist eine endliche Menge, die beispielsweise enthält: S Elemente. Zum Beispiel, wenn A besteht aus Elementen ( A, B, C), ein Haufen IN– aus Elementen ( X, j), dann die Menge S=A+B und besteht aus Elementen ( A, B, C, X, j). Nummer S angerufen Menge Zahlen N Und M, und wir schreiben es so: s = n + m. In diesem Eintrag die Zahlen N Und M werden genannt Bedingungen, die Operation, die Summe zu finden – Zusatz. Das Operationssymbol „+“ wird als „Plus“ gelesen. Ein Haufen P, bestehend aus allen geordneten Paaren, in denen das erste Element aus der Menge ausgewählt wird A, und der zweite ist aus dem Set B, ist eine endliche Menge, die beispielsweise enthält: P Elemente. Wenn z.B., wie bisher, A = {A, B, C}, B = {X, j), Das P=AґB = {(A,X), (A,j), (B,X), (B,j), (C,X), (C,j)). Nummer P angerufen arbeiten Zahlen A Und B, und wir schreiben es so: p = aґB oder p = a×b. Zahlen A Und B im Werk werden sie genannt Multiplikatoren, der Vorgang des Findens des Produkts – Multiplikation. Das Operationssymbol ґ wird als „multipliziert mit“ gelesen.

Es kann gezeigt werden, dass sich aus diesen Definitionen die folgenden Grundgesetze der Addition und Multiplikation ganzer Zahlen ergeben:

– das Gesetz der kommutativen Addition: a + b = b + a;

– Gesetz der assoziativen Addition: A + (B + C) = (A + B) + C;

– das Gesetz der kommutativen Multiplikation: Aґb = bґA;

– Gesetz der Assoziativität der Multiplikation: Aґ(BґC) = (AґB)ґC;

– Verteilungsgesetz: Aґ(B + C)= (AґB) + (AґC).

Wenn A Und B– zwei positive ganze Zahlen und ob es eine positive ganze Zahl gibt C, so dass a = b + c, dann sagen wir das A mehr B(das ist so geschrieben: a>b), oder was B weniger A(das ist so geschrieben: B). Für zwei beliebige Zahlen A Und B Eine von drei Beziehungen gilt: entweder a = b, oder a>b, oder A.

Die ersten beiden Grundgesetze besagen, dass die Summe zweier oder mehrerer Terme nicht davon abhängt, wie sie gruppiert oder in welcher Reihenfolge sie angeordnet sind. Ebenso folgt aus dem dritten und vierten Hauptsatz, dass das Produkt von zwei oder mehr Faktoren nicht davon abhängt, wie die Faktoren gruppiert sind oder in welcher Reihenfolge sie sind. Diese Tatsachen sind als „verallgemeinerte Gesetze der Kommutativität und Assoziativität“ der Addition und Multiplikation bekannt. Daraus folgt, dass beim Schreiben der Summe mehrerer Terme oder des Produkts mehrerer Faktoren die Reihenfolge der Terme und Faktoren keine Rolle spielt und die Klammern weggelassen werden können.

Insbesondere die wiederholte Menge a + a + ... + a aus N Begriffe ist gleich NґA. Wiederholte Arbeit AґAґ ... ґA aus N Wir haben vereinbart, die Faktoren zu bezeichnen ein; Nummer A angerufen Basis, und die Zahl N – Produktanzeige wiederholen, das wiederholte Werk selbst – n-te Potenz Zahlen A. Diese Definitionen ermöglichen es uns, die folgenden Grundgesetze für Exponenten aufzustellen:

Eine weitere wichtige Konsequenz der Definitionen: Aґ1 = A für jede ganze Zahl A und 1 ist die einzige ganze Zahl, die diese Eigenschaft hat. Die Nummer 1 wird aufgerufen Einheit.

Teiler von ganzen Zahlen.

Wenn A, B, C– ganze Zahlen und Aґb = c, Das A Und B sind Teiler einer Zahl C. Als Aґ1 = A für jede ganze Zahl A Wir schließen daraus, dass 1 ein Teiler jeder ganzen Zahl ist und dass jede ganze Zahl ein Teiler von sich selbst ist. Jeder ganzzahlige Teiler A, verschieden von 1 oder A, habe den Namen richtiger Teiler Zahlen A.

Jede ganze Zahl außer 1, die keinen eigenen Teiler hat, wird aufgerufen Primzahl. (Ein Beispiel für eine Primzahl ist die Zahl 7.) Eine ganze Zahl, die ihre eigenen Teiler hat, heißt zusammengesetzte Zahl. (Zum Beispiel ist die Zahl 6 zusammengesetzt, da 2 6 teilt.) Aus dem oben Gesagten folgt, dass die Menge aller ganzen Zahlen in drei Klassen unterteilt ist: Eins, Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen.

In der Zahlentheorie gibt es einen sehr wichtigen Satz, der besagt: „Jede ganze Zahl kann als Produkt von Primzahlen dargestellt werden, und bis auf die Reihenfolge der Faktoren ist eine solche Darstellung eindeutig.“ Dieser Satz ist als „Grundsatz der Arithmetik“ bekannt. Es zeigt, dass Primzahlen als „Bausteine“ dienen, aus denen alle ganzen Zahlen außer eins durch Multiplikation konstruiert werden können.

Wenn eine bestimmte Menge von ganzen Zahlen angegeben ist, wird die größte ganze Zahl aufgerufen, die ein Teiler jeder in dieser Menge enthaltenen Zahl ist größter gemeinsamer Teiler gegebene Zahlenmenge; Die kleinste ganze Zahl, deren Teiler jede Zahl aus einer gegebenen Menge ist, wird aufgerufen kleinstes gemeinsames Vielfaches gegebene Zahlenmenge. Somit ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 12, 18 und 30 6. Das kleinste gemeinsame Vielfache derselben Zahlen ist 180. Ist der größte gemeinsame Teiler zweier ganzen Zahlen A Und B gleich 1 ist, dann sind die Zahlen A Und B werden genannt gegenseitig prim. Beispielsweise sind die Zahlen 8 und 9 relativ prim, obwohl keine von ihnen eine Primzahl ist.

Positive rationale Zahlen.

Wie wir gesehen haben, sind ganze Zahlen Abstraktionen, die beim Zählen endlicher Mengen von Objekten entstehen. Für die Bedürfnisse des Alltags reichen ganze Zahlen jedoch nicht aus. Wenn Sie beispielsweise die Länge einer Tischplatte messen, ist die verwendete Maßeinheit möglicherweise zu groß und passt nicht mehrmals in die gemessene Länge. Um eine solche Schwierigkeit mit Hilfe der sogenannten zu bewältigen. gebrochen(d. h. wörtlich „gebrochene“) Zahlen, wird eine kleinere Längeneinheit eingeführt. Wenn D– eine ganze Zahl, dann die Brucheinheit 1/ D durch die Immobilie bestimmt Dґ1/D= 1, und wenn N ist dann eine ganze Zahl Nґ1/D wir schreiben es einfach als N/D. Diese neuen Zahlen werden „gewöhnliche“ oder „einfache“ Brüche genannt. Ganze Zahl N angerufen Zähler Brüche und Zahlen D – Nenner. Der Nenner gibt an, in wie viele gleiche Anteile die Einheit aufgeteilt wurde, und der Zähler gibt an, wie viele solcher Anteile genommen wurden. Wenn N d, der Bruch heißt eigentlich; Wenn n = d oder n>d, dann ist es falsch. Ganze Zahlen werden als Brüche mit dem Nenner 1 behandelt; zum Beispiel 2 = 2/1.

Da der Bruch N/D kann als Ergebnis einer Teilung interpretiert werden N Einheiten pro D Besteht man aus gleichen Teilen und nimmt man einen dieser Teile, so kann man sich einen Bruch als „Quotient“ oder „Verhältnis“ zweier ganzer Zahlen vorstellen N Und D, und verstehen Sie den Bruchstrich als Divisionszeichen. Daher werden üblicherweise Brüche (einschließlich ganzer Zahlen als Sonderfall von Brüchen) genannt rational Zahlen (vom lateinischen Verhältnis - Verhältnis).

Zwei Brüche N/D Und ( kґN)/(kґD), Wo k– eine ganze Zahl, kann als gleich betrachtet werden; zum Beispiel 4/6 = 2/3. (Hier N = 2, D= 3 und k= 2.) Dies ist als „grundlegende Eigenschaft eines Bruchs“ bekannt: Der Wert eines Bruchs ändert sich nicht, wenn Zähler und Nenner des Bruchs mit derselben Zahl multipliziert (oder dividiert) werden. Daraus folgt, dass jeder Bruch als Verhältnis zweier relativ erster Zahlen geschrieben werden kann.

Aus der oben vorgeschlagenen Interpretation des Bruchs ergibt sich auch, dass er die Summe zweier Brüche ist N/D Und M/D Da der Nenner gleich ist, nehmen Sie den Bruch ( N + M)/D. Wenn Sie Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren, müssen Sie diese zunächst mithilfe der Grundeigenschaft eines Bruchs in äquivalente Brüche mit demselben (gemeinsamen) Nenner umwandeln. Zum Beispiel, N 1 /D 1 = (N 1 H D 2)/(D 1 H D 2 und N 2 /D 2 = (N 2 H D 1)/(D 1 H D 2), von wo

Man könnte es auch anders machen und beispielsweise zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache ermitteln M, Nenner D 1 und D 2. Dann gibt es ganze Zahlen k 1 und k 2 , so dass m = k 1 H D 1 = k 2 H D 2 und wir erhalten:

Mit dieser Methode die Nummer M normalerweise aufgerufen kleinster gemeinsamer Nenner zwei Brüche. Diese beiden Ergebnisse sind nach der Definition der Bruchgleichheit äquivalent.

Produkt aus zwei Brüchen N 1 /D 1 und N 2 /D 2 wird gleich dem Bruch genommen ( N 1 H N 2)/(D 1 H D 2).

Die oben angegebenen acht Grundgesetze für ganze Zahlen gelten auch, wenn unter A, B, C beliebige positive rationale Zahlen verstehen. Auch wenn zwei positive rationale Zahlen gegeben sind N 1 /D 1 und N 2 /D 2, dann sagen wir das N 1 /D 1 > N 2 /D 2 genau dann, wenn N 1 H D 2 > N 2 H D 1 .

Positive reelle Zahlen.

Die Verwendung von Zahlen zur Messung der Länge von Liniensegmenten legt nahe, dass dies für zwei beliebige gegebene Liniensegmente gilt AB Und CD Es muss ein Segment geben UV, vielleicht sehr klein, was in jedem der Segmente um eine ganze Zahl verschoben werden könnte AB Und CD. Wenn so eine gemeinsame Längeneinheit UV existiert, dann die Segmente AB Und CD werden als angemessen bezeichnet. Bereits in der Antike wussten die Pythagoräer um die Existenz inkommensurabler Geradensegmente. Ein klassisches Beispiel ist die Seite eines Quadrats und seine Diagonale. Wenn wir die Seite eines Quadrats als Längeneinheit nehmen, dann gibt es keine rationale Zahl, die ein Maß für die Diagonale dieses Quadrats sein könnte. Sie können dies überprüfen, indem Sie durch Widerspruch argumentieren. Nehmen wir tatsächlich an, dass die rationale Zahl N/D ist das Maß der Diagonale. Aber dann Segment 1/ D könnte verschoben werden N einmal diagonal und D mal auf der Seite des Quadrats, obwohl die Diagonale und die Seite des Quadrats inkommensurabel sind. Folglich haben unabhängig von der Wahl der Längeneinheit nicht alle Liniensegmente Längen, die in rationalen Zahlen ausgedrückt werden können. Damit alle Liniensegmente in einer Längeneinheit gemessen werden können, muss das Zahlensystem um Zahlen erweitert werden, die die Ergebnisse der Messung der Längen von Liniensegmenten darstellen, die nicht mit der gewählten Längeneinheit übereinstimmen. Diese neuen Zahlen werden positiv genannt irrational Zahlen. Letztere bilden zusammen mit positiven rationalen Zahlen eine größere Menge von Zahlen, deren Elemente positiv genannt werden gültig Zahlen.

Wenn ODER– horizontale Halblinie, die von einem Punkt ausgeht Ö, U– Punkt drauf ODER, anders als der Ursprung Ö, Und OU wird als Einheitssegment gewählt, dann jeder Punkt P auf einer Halbzeile ODER kann einer einzelnen positiven reellen Zahl zugeordnet werden P, was die Länge des Segments ausdrückt OP. Auf diese Weise stellen wir eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen positiven reellen Zahlen und anderen Punkten als her Ö, auf einer Halbzeile ODER. Wenn P Und Q– zwei positive reelle Zahlen, die Punkten entsprechen P Und Q An ODER, dann schreiben wir p>q,p = q oder p abhängig von der Lage des Punktes P rechts vom Punkt Q An ODER, fällt zusammen mit Q oder befindet sich links davon Q.

Die Einführung positiver irrationaler Zahlen erweiterte den Anwendungsbereich der Arithmetik erheblich. Zum Beispiel, wenn A– jede positive reelle Zahl und N eine beliebige ganze Zahl ist, dann gibt es nur eine positive reelle Zahl B, so dass bn=a. Diese Nummer B Wurzel genannt N Grad der A und wird geschrieben als, wobei das Symbol in seinem Umriss einem lateinischen Buchstaben ähnelt R, womit das lateinische Wort beginnt Wurzel(root) und heißt Radikale. Das lässt sich zeigen

Diese Beziehungen werden als Grundeigenschaften von Radikalen bezeichnet.

Aus praktischer Sicht ist es sehr wichtig, dass jede positive irrationale Zahl durch eine positive rationale Zahl so genau wie gewünscht angenähert werden kann. Das bedeutet, wenn R ist eine positive irrationale Zahl und e eine beliebig kleine positive rationale Zahl ist, dann können wir positive rationale Zahlen finden A Und B, so dass ein und B. Beispielsweise ist eine Zahl irrational. Wenn Sie auswählen e= 0,01, dann ; wenn du wählst e= 0,001, dann .

Indo-arabisches Zahlensystem.

Algorithmen bzw. Rechenschemata der Arithmetik hängen vom verwendeten Zahlensystem ab. Es liegt beispielsweise auf der Hand, dass die für das römische Zahlensystem erfundenen Berechnungsmethoden von den für das aktuelle indoarabische System erfundenen Algorithmen abweichen können. Darüber hinaus sind einige Zahlensysteme möglicherweise für die Konstruktion arithmetischer Algorithmen völlig ungeeignet. Historische Daten zeigen, dass es vor der Einführung des indisch-arabischen Zahlenschreibsystems überhaupt keine Algorithmen gab, die es einfach genug machten, Zahlen mit „Bleistift und Papier“ zu addieren, zu subtrahieren, zu multiplizieren und zu dividieren. Im Laufe der langen Jahre der Existenz des indisch-arabischen Systems wurden zahlreiche speziell darauf angepasste algorithmische Verfahren entwickelt, sodass unsere modernen Algorithmen das Produkt einer ganzen Ära der Entwicklung und Verbesserung sind.

Im hindu-arabischen Zahlensystem besteht jeder Eintrag, der eine Zahl darstellt, aus einem Satz von zehn Grundsymbolen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, die als Ziffern bezeichnet werden. Beispielsweise hat die hindu-arabische Notation für die Zahl vierhundertdreiundzwanzig die Form der Ziffernfolge 423. Die Bedeutung einer Ziffer in der hindu-arabischen Notation einer Zahl wird durch ihren Ort oder ihre Position bestimmt. in der Ziffernfolge, die diese Notation bildet. In unserem Beispiel bedeutet die Zahl 4 vier Hunderter, die Zahl 2 zwei Zehner und die Zahl 3 drei Einsen. Eine sehr wichtige Rolle spielt die Zahl 0 (Null), die zum Auffüllen leerer Stellen verwendet wird; Beispielsweise bedeutet der Eintrag 403 die Zahl vierhundertdrei, d. h. Zehner fehlen. Wenn A, B, C, D, e bedeuten einzelne Zahlen, dann im indoarabischen System abcde bedeutet eine Abkürzung für eine ganze Zahl

Da jede ganze Zahl eine eindeutige Darstellung in der Form zulässt

Wo N ist eine ganze Zahl und A 0 , A 1 ,..., ein- Zahlen, daraus schließen wir, dass in einem gegebenen Zahlensystem jede ganze Zahl auf einzigartige Weise dargestellt werden kann.

Mit dem hindu-arabischen Zahlensystem können Sie nicht nur ganze Zahlen, sondern auch beliebige positive reelle Zahlen prägnant schreiben. Lassen Sie uns die Notation 10 einführen - N für 1/10 N, Wo N– eine beliebige positive ganze Zahl. Dann lässt sich zeigen, dass jede positive reelle Zahl in der Form eindeutig dargestellt werden kann

Dieser Datensatz kann komprimiert werden, indem man ihn als Zahlenfolge schreibt

Wo ist das Vorzeichen, das Dezimalkomma genannt wird, dazwischen? A 0 und B Die 1 gibt an, wo die negativen Zehnerpotenzen beginnen (in manchen Ländern wird zu diesem Zweck ein Punkt verwendet). Diese Methode zum Schreiben einer positiven reellen Zahl wird Dezimalentwicklung genannt, und ein Bruch wird in Form seiner Dezimalentwicklung dargestellt Dezimal.

Es kann gezeigt werden, dass für eine positive rationale Zahl die Dezimalentwicklung nach dem Komma entweder abbricht (z. B. 7/4 = 1,75) oder wiederholt wird (z. B. 6577/1980 = 3,32171717...). Wenn eine Zahl irrational ist, bricht ihre Dezimalentwicklung nicht ab und wiederholt sich nicht. Wenn die Dezimalentwicklung einer irrationalen Zahl an einer Dezimalstelle unterbrochen wird, erhalten wir deren rationale Näherung. Je weiter rechts vom Dezimalpunkt das Vorzeichen liegt, bei dem wir die Dezimalentwicklung beenden, desto besser ist die rationale Näherung (desto kleiner der Fehler).

Im hindu-arabischen System wird eine Zahl mit zehn Grundziffern geschrieben, deren Bedeutung von ihrer Stelle oder Position in der Notation der Zahl abhängt (der Wert einer Ziffer ist gleich dem Produkt aus der Ziffer und einigen). Potenz von 10). Daher wird ein solches System als dezimales Stellensystem bezeichnet. Positionszahlensysteme eignen sich sehr gut für die Konstruktion arithmetischer Algorithmen. Aus diesem Grund ist das indoarabische Zahlensystem in der modernen Welt so weit verbreitet, obwohl in verschiedenen Ländern unterschiedliche Symbole zur Bezeichnung einzelner Zahlen verwendet werden können.

Namen von Zahlen.

Die Namen von Zahlen im indoarabischen System folgen bestimmten Regeln. Die gebräuchlichste Art, Zahlen zu benennen, besteht darin, dass die Zahl zunächst von rechts nach links in Gruppen von drei Ziffern unterteilt wird. Diese Gruppen werden „Perioden“ genannt. Die erste Periode wird die Periode der „Einheiten“ genannt, die zweite die Periode der „Tausender“, die dritte die Periode der „Millionen“ usw., wie im folgenden Beispiel gezeigt:

Jeder Punkt wird so gelesen, als wäre er eine dreistellige Zahl. Beispielsweise wird die Periode 962 als „neunhundertzweiundsechzig“ gelesen. Um eine Zahl zu lesen, die aus mehreren Perioden besteht, wird die Zifferngruppe in jeder Periode gelesen, beginnend mit der Ziffer ganz links und dann der Reihe nach von links nach rechts. Auf jede Gruppe folgt der Name des Zeitraums. Die obige Zahl lautet beispielsweise „dreiundsiebzig Billionen achthundertzweiundvierzig Milliarden neunhundertzweiundsechzig Millionen fünfhundertzweiunddreißigtausendsiebenhundertachtundneunzig“. Beachten Sie, dass beim Lesen und Schreiben von ganzen Zahlen die Konjunktion „und“ normalerweise nicht verwendet wird. Der Name der Einheitenkategorie wird weggelassen. Auf Billionen folgen Billiarden, Trillionen, Sextillionen, Septillionen, Oktillionen, Nonallionen und Dezillionen. Jede Periode hat einen Wert, der 1000-mal größer ist als die vorherige.

Im hindu-arabischen System ist es üblich, zum Ablesen der Zahlen rechts vom Dezimalpunkt das folgende Verfahren zu befolgen. Hier werden die Positionen (in der Reihenfolge von links nach rechts) genannt: „Zehntel“, „Hundertstel“, „Tausendstel“, „Zehntausendstel“ usw. Eine echte Dezimalzahl wird so gelesen, als ob die Ziffern nach dem Dezimalpunkt eine ganze Zahl bilden würden, gefolgt vom Namen der Position der letzten Ziffer rechts davon. Beispielsweise wird 0,752 als „siebenhundertzweiundfünfzig Tausendstel“ gelesen. Eine gemischte Dezimalzahl wird gelesen, indem die Regel zur Benennung ganzer Zahlen mit der Regel zur Benennung echter Dezimalzahlen kombiniert wird. Beispielsweise lautet 632.752 „sechshundertzweiunddreißig Komma siebenhundertzweiundfünfzig Tausendstel“. Beachten Sie das Wort „Ganzzahlen“ vor dem Dezimalpunkt. In den letzten Jahren werden Dezimalzahlen zunehmend einfacher gelesen, beispielsweise 3,782 als „drei Komma siebenhundertzweiundachtzig“.

Zusatz.

Jetzt sind wir bereit, die arithmetischen Algorithmen zu analysieren, die in der Grundschule gelehrt werden. Diese Algorithmen befassen sich mit Operationen an positiven reellen Zahlen, die als Dezimalentwicklungen geschrieben sind. Wir gehen davon aus, dass elementare Additions- und Multiplikationstabellen auswendig gelernt wurden.

Betrachten Sie das Additionsproblem: Berechnen Sie 279,8 + 5,632 + 27,54:

Zuerst summieren wir die gleichen Potenzen der Zahl 10. Die Zahl 19Х10 –1 wird nach dem Distributivgesetz in 9Х10 –1 und 10Х10 –1 = 1 geteilt. Wir verschieben die Einheit nach links und addieren sie zu 21, was ergibt 22. Im Gegenzug teilen wir die Zahl 22 in 2 und 20 = 2H10 auf. Wir verschieben die Zahl 2H10 nach links und addieren sie zu 9H10, was 11H10 ergibt. Schließlich teilen wir 11H10 in 1H10 und 10H10 = 1H10 2, verschieben 1H10 2 nach links und addieren es zu 2H10 2, was 3H10 2 ergibt. Die Endsumme beträgt 312.972.

Es ist klar, dass die durchgeführten Berechnungen in prägnanterer Form dargestellt werden können und gleichzeitig als Beispiel für den Additionsalgorithmus dienen, der in der Schule gelehrt wird. Dazu schreiben wir alle drei Zahlen so untereinander, dass die Dezimalpunkte auf derselben Senkrechten liegen:

Von rechts beginnend stellen wir fest, dass die Summe der Koeffizienten bei 10 –3 gleich 2 ist, was wir in die entsprechende Spalte unter der Zeile schreiben. Die Summe der Koeffizienten bei 10 –2 beträgt 7, was auch in der entsprechenden Spalte unter der Zeile steht. Die Summe der Koeffizienten für 10 –1 ist 19. Wir schreiben die Zahl 9 unter die Zeile und verschieben 1 in die vorherige Spalte, wo die Einsen stehen. Unter Berücksichtigung dieser Einheit beträgt die Summe der Koeffizienten in dieser Spalte 22. Wir schreiben eine Zwei unter die Zeile und verschieben die andere in die vorherige Spalte, in der sich die Zehner befinden. Unter Berücksichtigung der übertragenen beiden beträgt die Summe der Koeffizienten in dieser Spalte 11. Wir schreiben eine Einheit unter die Zeile und übertragen die andere in die vorherige Spalte, wo Hunderte stehen. Die Summe der Koeffizienten in dieser Spalte beträgt 3, was wir unter die Zeile schreiben. Der erforderliche Betrag beträgt 312.972.

Subtraktion.

Subtraktion ist die Umkehrung der Addition. Wenn drei positive reelle Zahlen A, B, C so miteinander verbunden, dass a+b=c, dann schreiben wir a = c – b, wobei das Symbol „-“ als „Minus“ gelesen wird. Eine Nummer finden A nach bekannten Zahlen B Und C„Subtraktion“ genannt. Nummer C namens Minuend, Zahl B– „subtrahierbar“ und die Zahl A- "Unterschied". Da es sich um positive reelle Zahlen handelt, muss die Bedingung erfüllt sein c > b.

Schauen wir uns ein Beispiel für eine Subtraktion an: Berechnen Sie 453,87 – 82,94.

Zunächst leihen wir bei Bedarf eine Einheit von der linken Seite aus und transformieren die Entwicklung des Minuenden so, dass sein Koeffizient für jede Potenz von 10 größer ist als der Koeffizient des Subtrahenden für dieselbe Potenz. Aus 4H10 2 entlehnen wir 1H10 2 = 10H10, indem wir die letzte Zahl zum nächsten Term in der Erweiterung hinzufügen, was 15H10 ergibt; In ähnlicher Weise leihen wir 1Х10 0 oder 10Ч10 –1 aus und addieren diese Zahl zum vorletzten Term der Entwicklung. Danach haben wir die Möglichkeit, die Koeffizienten für die gleichen Potenzen der Zahl 10 zu subtrahieren und leicht die Differenz von 370,93 zu ermitteln.

Die Aufzeichnung von Subtraktionsoperationen kann in komprimierterer Form dargestellt werden und Sie erhalten ein Beispiel für einen in der Schule erlernten Subtraktionsalgorithmus. Wir schreiben den Subtrahend so unter den Minuenden, dass ihre Dezimalpunkte auf derselben Vertikalen liegen. Von rechts beginnend stellen wir fest, dass die Differenz der Koeffizienten bei 10 –2 gleich 3 ist, und schreiben diese Zahl in dieselbe Spalte unter der Zeile. Da wir in der nächsten Spalte links nicht 9 von 8 subtrahieren können, ändern wir die Drei an der Einerstelle des Minuenden in zwei und behandeln die Zahl 8 an der Zehntelstelle als 18. Nachdem wir 9 von 18 subtrahiert haben, erhalten wir 9 usw ., also .

Multiplikation.

Betrachten wir zunächst das sogenannte „kurze“ Multiplikation ist die Multiplikation einer positiven reellen Zahl mit einer der einstelligen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, zum Beispiel 32,67ґ4. Mithilfe des Distributivitätsgesetzes sowie der Assoziativitäts- und Kommutativitätsgesetze der Multiplikation erhalten wir die Möglichkeit, Faktoren in Teile zu zerlegen und sie bequemer anzuordnen. Zum Beispiel,

Diese Berechnungen können kompakter wie folgt geschrieben werden:

Der Komprimierungsvorgang kann fortgesetzt werden. Wir schreiben den Faktor 4 unter den Multiplikanden 32,67, wie angegeben:

Da 4ґ7 = 28, schreiben wir die Zahl 8 unter den Strich und setzen 2 über die Zahl 6 des Multiplikanden. Als nächstes ist 4ґ6 = 24, was unter Berücksichtigung dessen, was aus der rechten Spalte übertragen wird, 26 ergibt. Wir schreiben die Zahl 6 unter die Zeile und schreiben 2 über die Zahl 2 des Multiplikanden. Dann erhalten wir 4ґ2 = 8, was in Kombination mit den übertragenen beiden 10 ergibt. Wir unterschreiben die Zahl 0 unter dem Strich und die Zahl darüber die Zahl 3 des Multiplikanden. Schließlich ist 4ґ3 = 12, was unter Berücksichtigung der übertragenen Einheit 13 ergibt; Unterhalb der Zeile steht die Zahl 13. Wenn wir einen Dezimalpunkt setzen, erhalten wir die Antwort: Das Produkt ist gleich 130,68.

Eine „lange“ Multiplikation ist einfach eine „kurze“ Multiplikation, die immer wieder wiederholt wird. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, die Zahl 32,67 mit der Zahl 72,4 zu multiplizieren. Platzieren wir den Multiplikator wie angegeben unter dem Multiplikanden:

Wenn wir eine kurze Multiplikation von rechts nach links durchführen, erhalten wir den ersten Quotienten von 13,068, den zweiten von 65,34 und den dritten von 2286,9. Nach dem Distributivitätsgesetz ist das zu findende Produkt die Summe dieser Teilprodukte, also 2365,308. In der schriftlichen Schreibweise entfällt bei Teilprodukten der Dezimalpunkt, sie müssen aber korrekt in „Schritten“ angeordnet werden, um dann aufsummiert das vollständige Produkt zu erhalten. Die Anzahl der Dezimalstellen im Produkt ist gleich der Summe der Anzahl der Dezimalstellen im Multiplikanden und im Multiplikator.

Aufteilung.

Division ist die Umkehroperation der Multiplikation; So wie die Multiplikation die wiederholte Addition ersetzt, ersetzt die Division die wiederholte Subtraktion. Betrachten Sie zum Beispiel die folgende Frage: Wie oft ist 3 in 14 enthalten? Wenn wir den Vorgang des Subtrahierens von 3 von 14 wiederholen, stellen wir fest, dass 3 viermal in 14 „eintritt“ und die Zahl 2 „bleibt“, d. h.

Die Nummer 14 wird aufgerufen teilbar, Nummer 3 - Teiler, Nummer 4 - Privat und Nummer 2 – der Rest. Der resultierende Zusammenhang lässt sich in Worten wie folgt ausdrücken:

Dividende = (Divisor ґ Quotient) + Rest,

0 Ј Rest

Den Quotienten und Rest von 1400 dividiert durch 3 durch wiederholtes Subtrahieren von 3 zu ermitteln, würde viel Zeit und Mühe erfordern. Der Vorgang könnte erheblich beschleunigt werden, wenn wir zuerst 300 von 1400, dann 30 vom Rest und schließlich 3 subtrahieren. Nach viermaliger Subtraktion von 300 würden wir einen Rest von 200 erhalten; nach sechsmaligem Subtrahieren von 30 von 200 wäre der Rest 20; Nachdem wir schließlich sechs Mal 3 von 20 subtrahiert haben, erhalten wir den Rest 2. Daher gilt:

Der zu ermittelnde Quotient und Rest beträgt 466 bzw. 2. Die Berechnungen können wie folgt organisiert und dann sequentiell komprimiert werden:

Die obige Argumentation gilt, wenn Dividend und Divisor positive reelle Zahlen im Dezimalsystem sind. Lassen Sie uns dies am Beispiel von 817.65е23.7 veranschaulichen.

Zunächst muss der Divisor mithilfe einer Dezimalpunktverschiebung in eine ganze Zahl umgewandelt werden. In diesem Fall wird der Dezimalpunkt des Dividenden um die gleiche Anzahl Dezimalstellen verschoben. Der Divisor und der Dividend sind wie folgt angeordnet:

Bestimmen wir, wie oft der Divisor in der dreistelligen Zahl 817 enthalten ist, dem ersten Teil des Dividenden, den wir durch den Divisor dividieren. Da es schätzungsweise dreimal enthalten ist, multiplizieren wir 237 mit 3 und subtrahieren das Produkt von 711 von 817. Die Differenz von 106 ist kleiner als der Teiler. Dies bedeutet, dass die Zahl 237 in der Probedividende höchstens dreimal vorkommt. Die Zahl 3, geschrieben unter dem Teiler der Zahl 2 unterhalb der horizontalen Linie, ist die erste Ziffer des Quotienten, die gefunden werden muss. Nachdem wir die nächste Ziffer des Dividenden nach unten verschoben haben, erhalten wir den nächsten Testdividenden 1066 und müssen bestimmen, wie oft der Divisor 237 in die Zahl 1066 passt; Sagen wir viermal. Wir multiplizieren den Divisor mit 4 und erhalten das Produkt 948, das wir von 1066 subtrahieren; Die Differenz beträgt 118, was bedeutet, dass die nächste Ziffer des Quotienten 4 ist. Anschließend subtrahieren wir die nächste Ziffer des Dividenden und wiederholen den gesamten oben beschriebenen Vorgang. Diesmal stellt sich heraus, dass die Probedividende 1185 genau (ohne Rest) durch 237 teilbar ist (der Rest der Division ergibt schließlich 0). Indem wir im Quotienten die gleiche Anzahl an Stellen wie im Dividenden durch einen Dezimalpunkt trennen (denken Sie daran, dass wir zuvor den Dezimalpunkt verschoben haben), erhalten wir die Antwort: Der Quotient ist gleich 34,5.

Brüche.

Zu den Berechnungen mit Brüchen gehören Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division sowie die Vereinfachung komplexer Brüche.

Das Addieren von Brüchen mit demselben Nenner erfolgt durch Addition der Zähler, zum Beispiel:

1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16.

Wenn Brüche unterschiedliche Nenner haben, müssen sie zunächst auf einen gemeinsamen Nenner reduziert werden, d. h. in Brüche mit gleichem Nenner umwandeln. Dazu ermitteln wir den kleinsten gemeinsamen Nenner (das kleinste Vielfache jedes der angegebenen Nenner). Wenn man beispielsweise 2/3, 1/6 und 3/5 addiert, ist der kleinste gemeinsame Nenner 30:

Zusammenfassend erhalten wir

20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30.

Das Subtrahieren von Brüchen erfolgt auf die gleiche Weise wie das Addieren. Wenn die Nenner gleich sind, läuft die Subtraktion auf die Subtraktion der Zähler hinaus: 10/13 – 2/13 = 8/13; Wenn Brüche unterschiedliche Nenner haben, müssen Sie sie zunächst auf einen gemeinsamen Nenner bringen:

7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8.

Bei der Multiplikation von Brüchen werden deren Zähler und Nenner getrennt multipliziert. Zum Beispiel,

5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27.

Um einen Bruch durch einen anderen zu dividieren, müssen Sie den ersten Bruch (Dividende) mit dem reziproken Bruch des zweiten (Divisor) multiplizieren (um den reziproken Bruch zu erhalten, müssen Sie Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs vertauschen), d. h. ( N 1 /D 1)е( N 2 /D 2) = (N 1 H D 2)/(D 1 H N 2). Zum Beispiel,

3/4е7/8 = 3/4ґ8/7 = 24/28 = 6/7.

Eine gemischte Zahl ist die Summe (oder Differenz) einer ganzen Zahl und eines Bruchs, beispielsweise 4 + 2/3 oder 10 – 1/8. Da man sich eine ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 vorstellen kann, ist eine gemischte Zahl nichts anderes als die Summe (oder Differenz) zweier Brüche. Zum Beispiel,

4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.

Ein komplexer Bruch ist ein Bruch, der entweder im Zähler, im Nenner oder im Zähler und Nenner einen Bruch hat. Dieser Bruch kann in einen einfachen umgewandelt werden:

Quadratwurzel.

Wenn N R, so dass R 2 = N. Nummer R angerufen Quadratwurzel aus N und wird bezeichnet. In der Schule lernt man, Quadratwurzeln auf zwei Arten zu ziehen.

Die erste Methode ist beliebter, weil sie einfacher und einfacher anzuwenden ist; Berechnungen mit dieser Methode lassen sich leicht auf einem Tischrechner umsetzen und auf den Fall von Kubikwurzeln und höheren Wurzeln verallgemeinern. Die Methode basiert auf der Tatsache, dass if R 1 – wir nähern uns also der Wurzel R 2 = (1/2)(R 1 + N/R 1) – genauere Näherung der Wurzel.

Lassen Sie uns das Verfahren veranschaulichen, indem wir die Quadratwurzel einer Zahl zwischen 1 und 100 berechnen, beispielsweise der Zahl 40. Da 6 2 = 36 und 7 2 = 49, schließen wir, dass 6 die beste Näherung für ganze Zahlen ist. Eine genauere Annäherung an erhält man aus 6 wie folgt. Die Division von 40 durch 6 ergibt 6,6 (auf die erste Dezimalstelle gerundet) sogar Zehntelzahlen). Um eine zweite Näherung zu erhalten, mitteln wir die beiden Zahlen 6 und 6,6 und erhalten 6,3. Durch Wiederholen des Vorgangs erhalten wir eine noch bessere Näherung. Wenn wir 40 durch 6,3 dividieren, erhalten wir die Zahl 6,350, und die dritte Näherung ergibt (1/2)(6,3 + 6,350) = 6,325. Eine weitere Wiederholung ergibt 40е6,325 = 6,3241106, und die vierte Näherung ergibt (1/2)(6,325 + 6,3241106) = 6,3245553. Der Vorgang kann beliebig lange fortgesetzt werden. Im Allgemeinen kann jede nachfolgende Näherung doppelt so viele Ziffern enthalten wie die vorherige. Da also in unserem Beispiel die erste Näherung, die ganze Zahl 6, nur eine Ziffer enthält, können wir in der zweiten Näherung zwei Ziffern beibehalten, in der dritten vier und in der vierten acht.

Wenn die Nummer N liegt nicht zwischen 1 und 100, dann müssen Sie zunächst dividieren (oder multiplizieren) N zu einer Potenz von 100, sagen wir, zu k-th, sodass das Produkt im Bereich von 1 bis 100 liegt. Dann liegt die Quadratwurzel des Produkts im Bereich von 1 bis 10, und nachdem sie extrahiert wurde, multiplizieren (oder dividieren) wir die resultierende Zahl mit 10 k, finden Sie die erforderliche Quadratwurzel. Zum Beispiel, wenn N= 400000, dann wir zuerst teilen 400000 mal 100 2 und wir erhalten die Zahl 40, die im Bereich von 1 bis 100 liegt. Wie oben gezeigt, entspricht sie ungefähr 6,3245553. Multiplizieren Wenn wir diese Zahl mit 10 2 multiplizieren, erhalten wir 632,45553 als Näherungswert für, und die Zahl 0,63245553 dient als Näherungswert für.

Das zweite der oben genannten Verfahren basiert auf der algebraischen Identität ( A + B) 2 = A 2 + (2A + B)B. Bei jedem Schritt wird der bereits erhaltene Teil der Quadratwurzel als genommen A, und der Teil, der noch bestimmt werden muss, ist für B.

Kubikwurzel.

Um die Kubikwurzel einer positiven reellen Zahl zu extrahieren, gibt es Algorithmen, die denen zum Extrahieren der Quadratwurzel ähneln. Zum Beispiel, um die Kubikwurzel einer Zahl zu finden N, nähern wir uns zunächst der Wurzel durch eine Zahl an R 1 . Dann erstellen wir eine genauere Näherung R 2 = (1/3)(2R 1 + N/R 1 2), was wiederum einer noch genaueren Näherung Platz macht R 3 = (1/3)(2R 2 + N/R 2 2) usw. Das Verfahren zur Konstruktion immer genauerer Näherungen der Wurzel kann auf unbestimmte Zeit fortgesetzt werden.

Betrachten Sie zum Beispiel die Berechnung der Kubikwurzel einer Zahl zwischen 1 und 1000, beispielsweise der Zahl 200. Da 5 3 = 125 und 6 3 = 216, schließen wir, dass 6 die ganze Zahl ist, die der Kubikwurzel von 200 am nächsten kommt. Deshalb wählen wir R 1 = 6 und nacheinander berechnen R 2 = 5,9, R 3 = 5,85, R 4 = 5,8480. In jeder Näherung, beginnend mit der dritten, ist es zulässig, eine Anzahl von Zeichen beizubehalten, die eins weniger als das Doppelte der Anzahl von Zeichen in der vorherigen Näherung beträgt. Wenn die Zahl, aus der Sie die Kubikwurzel ziehen möchten, nicht zwischen 1 und 1000 liegt, müssen Sie sie zunächst durch etwas dividieren (oder multiplizieren), beispielsweise durch k Potenz der Zahl 1000 und bringen Sie diese dadurch in den gewünschten Zahlenbereich. Die Kubikwurzel der neu erhaltenen Zahl liegt im Bereich von 1 bis 10. Nach der Berechnung muss sie mit 10 multipliziert (oder dividiert) werden k um die Kubikwurzel der ursprünglichen Zahl zu erhalten.

Der zweite, komplexere Algorithmus zum Finden der Kubikwurzel einer positiven reellen Zahl basiert auf der Verwendung der algebraischen Identität ( A + B) 3 = A 3 + (3A 2 + 3ab + B 2)B. Derzeit werden Algorithmen zum Extrahieren von Kubikwurzeln sowie Wurzeln höherer Potenzen im Gymnasium nicht gelehrt, da sie mit Logarithmen oder algebraischen Methoden leichter zu finden sind.

Euklids Algorithmus.

Dieser Algorithmus wurde in vorgestellt Anfänge Euklid (ca. 300 v. Chr.). Es wird verwendet, um den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzen Zahlen zu berechnen. Für den Fall positiver Zahlen wird als Verfahrensregel formuliert: „Dividiere die größere der beiden gegebenen Zahlen durch die kleinere.“ Teilen Sie dann den Divisor durch den Rest und fahren Sie auf diese Weise fort, bis der letzte Divisor gleichmäßig durch den letzten Rest geteilt ist. Der letzte Teiler ist der größte gemeinsame Teiler der beiden gegebenen Zahlen.“

Betrachten Sie als numerisches Beispiel die beiden Ganzzahlen 3132 und 7200. Der Algorithmus besteht in diesem Fall aus den folgenden Schritten:

Der größte gemeinsame Teiler ist derselbe wie der letzte Teiler – die Zahl 36. Die Erklärung ist einfach. In unserem Beispiel sehen wir aus der letzten Zeile, dass die Zahl 36 die Zahl 288 teilt. Aus der vorletzten Zeile folgt, dass die Zahl 36 324 teilt. Wenn wir also von Zeile zu Zeile nach oben gehen, sind wir überzeugt, dass die Zahl 36 936 teilt , 3132 und 7200 Wir behaupten nun, dass die Zahl 36 ein gemeinsamer Teiler der Zahlen 3132 und 7200 ist. Let G ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 3132 und 7200. Seit G dividiert 3132 und 7200, aus der ersten Zeile ergibt sich daraus G teilt 936. Aus der zweiten Zeile schließen wir das G teilt 324. Wenn wir also von Zeile zu Zeile nach unten gehen, sind wir davon überzeugt G dividiert 288 und 36. Und da 36 ein gemeinsamer Teiler der Zahlen 3132 und 7200 ist und durch ihren größten gemeinsamen Teiler geteilt wird, schließen wir, dass 36 dieser größte gemeinsame Teiler ist.

Untersuchung.

Arithmetische Berechnungen erfordern ständige Aufmerksamkeit und sind daher fehleranfällig. Daher ist es sehr wichtig, die Berechnungsergebnisse zu überprüfen.

1. Das Hinzufügen einer Zahlenspalte kann überprüft werden, indem die Zahlen in der Spalte zunächst von oben nach unten und dann von unten nach oben addiert werden. Die Begründung für diese Verifizierungsmethode ist das verallgemeinerte Gesetz der Kommutativität und Assoziativität der Addition.

2. Die Subtraktion wird überprüft, indem die Differenz mit dem Subtrahend addiert wird – der Minuend sollte erhalten werden. Der Grund für diese Überprüfungsmethode ist die Definition der Subtraktionsoperation.

3. Die Multiplikation kann überprüft werden, indem der Multiplikand und der Multiplikator neu angeordnet werden. Die Begründung für diese Verifizierungsmethode ist das Gesetz der kommutativen Multiplikation. Sie können die Multiplikation überprüfen, indem Sie den Faktor (oder Multiplikanden) in zwei Terme zerlegen, zwei separate Multiplikationsoperationen durchführen und die resultierenden Produkte addieren – Sie sollten das Originalprodukt erhalten.

4. Um die Division zu überprüfen, müssen Sie den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren und den Rest zum Produkt addieren. Sie sollten die Dividende erhalten. Der Grund für diese Überprüfungsmethode ist die Definition der Divisionsoperation.

5. Die Überprüfung der Korrektheit des Ziehens einer Quadratwurzel (oder Kubikwurzel) besteht darin, die resultierende Zahl durch Quadrieren (oder Kubieren) zu erhöhen – die ursprüngliche Zahl sollte erhalten werden.

Eine besonders einfache und sehr zuverlässige Möglichkeit, die Addition oder Multiplikation ganzer Zahlen zu überprüfen, ist eine Technik, die einen Übergang zu den sogenannten darstellt. „Vergleiche Modulo 9“. Als „Überschuss“ bezeichnen wir den Rest der Summe der Ziffern, die zum Schreiben der Zahl bei Division durch 9 verwendet werden. Dann können bezüglich „Überschüsse“ zwei Sätze formuliert werden: „Der Überschuss der Summe der ganzen Zahlen ist gleich dem Überschuss der Summe der Überschüsse der Terme“ und „der Überschuss des Produkts zweier ganzen Zahlen ist gleich dem.“ Überschuss des Produkts ihrer Überschüsse.“ Nachfolgend finden Sie Beispiele für Prüfungen, die auf diesem Theorem basieren:

Die Methode des Übergangs zu Vergleichen Modulo 9 kann auch beim Testen anderer arithmetischer Algorithmen verwendet werden. Natürlich ist eine solche Prüfung nicht unfehlbar, da auch die Arbeit mit „Überschüssen“ fehlerbehaftet ist, aber eine solche Situation ist unwahrscheinlich.

Interesse.

Ein Prozentsatz ist ein Bruch, dessen Nenner 100 ist; Prozente können auf drei Arten geschrieben werden: als Bruch, als Dezimalzahl oder in der speziellen Prozentschreibweise %. Beispielsweise können 7 Prozent als 7/100, als 0,07 oder als 7 % geschrieben werden.

Ein Beispiel für die häufigste Art von Prozentproblem ist das Folgende: „Finden Sie 17 % von 82.“ Um dieses Problem zu lösen, müssen Sie das Produkt 0,17ґ82 = 13,94 berechnen. Bei Produkten dieser Art wird 0,17 als Rate, 82 als Basis und 13,94 als Anteil, ausgedrückt in Prozent, bezeichnet. Die drei genannten Größen stehen durch die Relation zueinander in Beziehung

Rate ґ Basis = prozentualer Anteil.

Sind zwei beliebige Größen bekannt, kann aus dieser Beziehung die dritte ermittelt werden. Dementsprechend erhalten wir drei Arten von Problemen „mit Prozentsätzen“.

Beispiel 1. Die Zahl der an dieser Schule eingeschriebenen Schüler stieg von 351 auf 396. Um wie viel Prozent ist diese Zahl gestiegen?

Der Zuwachs betrug 396 – 351 = 45 Personen. Wenn wir den Bruch 45/351 als Prozentsatz schreiben, erhalten wir 45/351 = 0,128 = 12,8 %.

Beispiel 2. Während eines Ausverkaufs steht in einer Anzeige im Laden: „25 % Rabatt auf alle Artikel.“ Wie hoch ist der Verkaufspreis für einen Artikel, der normalerweise für 3,60 $ verkauft wird?

Ein Preisrückgang um 25 % um 3,60 $ bedeutet einen Rückgang um 0,25-3,60 = 0,90 $; Daher beträgt der Preis des Artikels während des Verkaufs 3,60 $ – 0,90 $ = 2,70 $.

Beispiel 3. Geld, das zu 5 % pro Jahr bei der Bank eingezahlt wurde, brachte einen Gewinn von 40 $ pro Jahr. Welcher Betrag wurde bei der Bank eingezahlt?

Da 5 % des Betrags 40 $ sind, d. h. 5/100 Betrag = 40 $ oder 1/100 Betrag = 8 Dollar, der Gesamtbetrag beträgt 800 Dollar.

Arithmetik von Näherungszahlen.

Viele in Berechnungen verwendete Zahlen stammen entweder aus Messungen oder Schätzungen und können daher nur als Näherungswerte betrachtet werden. Es ist offensichtlich, dass das Ergebnis von Berechnungen, die mit Näherungszahlen durchgeführt werden, nur eine Näherungszahl sein kann. Nehmen wir beispielsweise an, dass Messungen der Arbeitsfläche die folgenden Ergebnisse ergeben (gerundet auf das nächste Zehntel eines Meters): Breite 1,2 m, Länge 3,1 m; Man könnte sagen, dass die Fläche der Theke 1,2 x 3,1 = 3,72 m2 beträgt. In Wirklichkeit sind die Informationen jedoch bei weitem nicht so sicher. Da der Wert 1,2 m nur angibt, dass das Breitenmaß zwischen 1,15 und 1,25 m liegt, und 3,1 angibt, dass das Längenmaß zwischen 3,05 und 3,15 m liegt, können wir über die Thekenfläche nur sagen, dass sie größer als 1,15–3,05 sein sollte = 3,5075, aber weniger als 1,25 - 3,15 = 3,9375. Daher ist die einzig vernünftige Antwort auf die Frage nach der Fläche der Theke, dass sie etwa 3,7 m 2 beträgt.

Betrachten wir als nächstes das Problem der Addition der Ergebnisse der Näherungsmessungen von 3,73 m, 52,1 m und 0,282 m. Die einfache Summe beträgt 56,112 m. Aber wie bei der vorherigen Aufgabe kann nur mit Sicherheit gesagt werden, dass es sich um die wahre Summe handelt muss größer als 3,725 + 52,05 + 0,2815 = 56,0565 m und kleiner als 3,735 + 52,15 + 0,2825 = 56,1765 m sein. Daher ist die einzig vernünftige Antwort auf die Frage, dass die Summe ungefähr 56,1 m entspricht.

Die beiden obigen Beispiele veranschaulichen einige Regeln, die beim Arbeiten mit Näherungszahlen nützlich sind. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Zahlen zu runden. Eine davon besteht darin, die unteren Ziffern der Zahl zu verwerfen. Ist außerdem die erste zu verwerfende Ziffer größer als fünf, muss die letzte verbleibende Ziffer um eins erhöht werden; ist sie kleiner, bleibt die letzte Ziffer des verbleibenden Teils unverändert.

Wenn die erste zu verwerfende Ziffer genau fünf ist, wird die letzte zu behaltende Ziffer um eins erhöht, wenn sie ungerade ist, und bleibt unverändert, wenn sie gerade ist. Wenn Sie beispielsweise auf das nächste Hundertstel runden, ergibt sich die Zahl 3,14159;17,7682; 28.999; 0,00234; 7,235 und 7,325 werden zu 3,14; 17,77; 29.00; 0,00; 7.24 und 7.32.

Eine weitere Rundungsmethode ist mit dem Konzept der signifikanten Zahlen verbunden und wird beim maschinellen Schreiben einer Zahl verwendet. Die signifikanten Ziffern einer Näherungszahl sind die Ziffern in ihrer Dezimalschreibweise in der Reihenfolge von links nach rechts, beginnend mit der ersten Ziffer ungleich Null und endend mit der Ziffer, die an der Stelle der Dezimalstelle steht, die dem Fehler entspricht. Beispielsweise sind die signifikanten Ziffern der ungefähren Zahl 12,1 die Zahlen 1, 2, 1; ungefähre Zahl 0,072 – Zahlen 7, 2; Die ungefähre Zahl 82000, auf die nächsten Hundert geschrieben, ist 8, 2, 0.

Nun formulieren wir die beiden oben genannten Regeln für das Arbeiten mit Näherungszahlen.

Beim Addieren und Subtrahieren von Näherungszahlen sollte jede Zahl auf die Ziffer gerundet werden, die auf die letzte Ziffer der ungenauesten Zahl folgt, und die resultierende Summe und Differenz sollte auf die gleiche Anzahl von Ziffern wie die ungenaueste Zahl gerundet werden. Beim Multiplizieren und Dividieren von Näherungszahlen sollte jede Zahl auf das Vorzeichen gerundet werden, das auf die letzte signifikante Ziffer der niedrigstwertigen Zahl folgt, und das Produkt und der Quotient sollten mit der gleichen Genauigkeit gerundet werden, wie die ungenaueste Zahl bekannt ist.

Kehren wir zu den zuvor betrachteten Problemen zurück, erhalten wir:

1,2ґ3,1 = 3,72 m 2 » 3,7 m 2

3,73 + 52,1 + 0,28 = 56,11 m 2 "56,1 m,

wobei das Zeichen „ungefähr gleich“ bedeutet.

Einige Arithmetiklehrbücher bieten Algorithmen zum Arbeiten mit Näherungszahlen, sodass Sie beim Rechnen unnötige Vorzeichen vermeiden können. Darüber hinaus nutzen sie das sogenannte. Aufzeichnen von ungefähren Zahlen, d. h. Jede Zahl wird in der Form (eine Zahl im Bereich von 1 bis 10) ґ (Zehnerpotenz) dargestellt, wobei der erste Faktor nur die signifikanten Ziffern der Zahl enthält. Beispielsweise würde 82.000 km, auf die nächsten Hundert km gerundet, als 8,20 x 10 4 km und 0,00702 cm als 7,02 x 10 –3 cm geschrieben.

Zahlen in mathematischen Tabellen, trigonometrischen oder logarithmischen Tabellen sind Näherungswerte und werden mit einer bestimmten Anzahl von Vorzeichen geschrieben. Bei der Arbeit mit solchen Tabellen sollten Sie die Regeln für das Rechnen mit Näherungszahlen beachten.

Logarithmen.

Zu Beginn des 17. Jahrhunderts. Die Komplexität angewandter Rechenprobleme hat so stark zugenommen, dass es aufgrund zu großen Arbeits- und Zeitaufwands nicht mehr möglich war, sie „manuell“ zu bewältigen. Glücklicherweise wurde es rechtzeitig von J. Napier zu Beginn des 17. Jahrhunderts erfunden. Logarithmen ermöglichten die Bewältigung des aufgetretenen Problems. Da die Theorie und Anwendungen von Logarithmen in einem speziellen Artikel LOGARITHMUS ausführlich beschrieben werden, beschränken wir uns auf die notwendigsten Informationen.

Es kann gezeigt werden, dass wenn N eine positive reelle Zahl ist, dann gibt es eine eindeutige positive reelle Zahl X, so dass 10 X = N. Nummer X genannt (regulär oder dezimal) Logarithmus Zahlen N; Herkömmlicherweise wird es so geschrieben: X=log N. Somit ist der Logarithmus ein Exponent, und aus den Gesetzen der Operationen mit Exponenten folgt dies

Es sind diese Eigenschaften von Logarithmen, die ihre weit verbreitete Verwendung in der Arithmetik erklären. Die erste und zweite Eigenschaft ermöglichen es uns, jedes Multiplikations- und Divisionsproblem auf ein einfacheres Additions- und Subtraktionsproblem zu reduzieren. Die dritte und vierte Eigenschaft ermöglichen es, Potenzierung und Wurzelziehen auf viel einfachere Operationen zu reduzieren: Multiplikation und Division.

Um die Verwendung von Logarithmen zu erleichtern, wurden ihre Tabellen zusammengestellt. Um eine Tabelle mit dezimalen Logarithmen zu erstellen, reicht es aus, nur Logarithmen von Zahlen von 1 bis 10 aufzunehmen. Da beispielsweise 247,6 = 10 2 ґ2,476 ist, gilt: log247,6 = log10 2 + log2,476 = 2 + log2,476, und da 0,02476 = 10 –2 ґ2,476, dann log0,02476 = log10 –2 + log2,476 = –2 + log2,476. Beachten Sie, dass der dezimale Logarithmus einer Zahl zwischen 1 und 10 zwischen 0 und 1 liegt und als Dezimalzahl geschrieben werden kann. Daraus folgt, dass der dezimale Logarithmus einer beliebigen Zahl die Summe einer ganzen Zahl, die als Charakteristik des Logarithmus bezeichnet wird, und eines Dezimalbruchs, der als Mantisse des Logarithmus bezeichnet wird, ist. Die Charakteristik des Logarithmus einer beliebigen Zahl kann „im Kopf“ gefunden werden; Die Mantisse sollte mithilfe von Logarithmentabellen ermittelt werden. Aus den Tabellen geht beispielsweise hervor, dass log2,476 = 0,39375, also log247,63 = 2,39375. Wenn die Charakteristik des Logarithmus negativ ist (wenn die Zahl kleiner als eins ist), ist es praktisch, sie als Differenz zweier positiver Ganzzahlen darzustellen, zum Beispiel log0,02476 = –2 + 0,39375 = 8,39375 – 10. Die Die folgenden Beispiele erläutern diese Technik.

Literatur:

Geschichte der Mathematik von der Antike bis zum Beginn des 19. Jahrhunderts., Bd. 1–3. M., 1970–1972.
Serre J.-P. Rechenkurs. M., 1972
Netschajew V.I. Numerische Systeme. M., 1975
Daan-Dalmedico A., Peiffer J . Wege und Labyrinthe. Aufsätze zur Geschichte der Mathematik. M., 1986
Engler E. Elementare Mathematik. M., 1987



Arithmetik ist der grundlegendste Teil der Mathematik. Es entstand aus dem Bedürfnis der Menschen nach Zählen.

Kopfrechnen

Was nennt man Kopfrechnen? Kopfrechnen ist eine Methode zum Erlernen des schnellen Zählens, die aus der Antike stammt.

Im Gegensatz zum vorherigen versuchen die Lehrer derzeit, den Kindern nicht nur das Zählen beizubringen, sondern auch ihr Denken zu entwickeln.

Der Lernprozess selbst basiert auf der Nutzung und Entwicklung beider Gehirnhälften. Die Hauptsache ist, sie gemeinsam verwenden zu können, denn sie ergänzen sich.

Tatsächlich ist die linke Hemisphäre für Logik, Sprache und Rationalität verantwortlich, und die rechte Hemisphäre ist für die Vorstellungskraft verantwortlich.

Das Schulungsprogramm umfasst Schulungen zur Bedienung und Verwendung von Werkzeugen wie z Abakus.

Der Abakus ist das wichtigste Werkzeug beim Erlernen des Kopfrechnens, denn die Schüler lernen, mit ihm zu arbeiten, die Dominosteine ​​zu bewegen und das Wesentliche der Berechnung zu verstehen. Mit der Zeit wird der Abakus zu Ihrer Fantasie, und die Schüler stellen sich ihn vor, bauen auf diesem Wissen auf und lösen Beispiele.

Die Bewertungen dieser Lehrmethoden sind sehr positiv. Es gibt einen Nachteil: Die Ausbildung wird bezahlt und nicht jeder kann sie sich leisten. Daher hängt der Weg eines Genies von der finanziellen Situation ab.

Mathematik und Arithmetik

Mathematik und Arithmetik sind eng verwandte Konzepte bzw. Arithmetik ist ein Zweig der Mathematik, der mit Zahlen und Berechnungen (Operationen mit Zahlen) arbeitet.

Die Arithmetik ist der Hauptteil und damit die Grundlage der Mathematik. Die Grundlage der Mathematik sind die wichtigsten Konzepte und Operationen, die die Grundlage bilden, auf der alles nachfolgende Wissen aufbaut. Zu den Hauptoperationen gehören: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division.

Das heißt, Arithmetik wird in der Schule normalerweise von Anfang an gelernt. ab der ersten Klasse. Kinder beherrschen grundlegende Mathematik.

Zusatz ist eine arithmetische Operation, bei der zwei Zahlen addiert werden und das Ergebnis eine neue ist – die dritte.

a+b=c.

Subtraktion ist eine arithmetische Operation, bei der die zweite Zahl von der ersten Zahl subtrahiert wird und das Ergebnis die dritte ist.

Die Additionsformel lautet wie folgt: a - b = c.

Multiplikation ist eine Aktion, die zur Summe identischer Terme führt.

Die Formel für diese Aktion lautet: a1+a2+…+an=n*a.

Aufteilung- Dies ist die Division einer Zahl oder Variablen in gleiche Teile.

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Rechnen unterrichten

Rechnen wird innerhalb der Schulmauern unterrichtet. Ab der ersten Klasse beginnen die Kinder mit dem Studium des Grund- und Hauptteils der Mathematik – der Arithmetik.

Zahlen hinzufügen

Regeln der Arithmetik

Die Reihenfolge der Operationen in einem Ausdruck ist sehr wichtig!

Wenn das Beispiel wie 2+3-4 aussieht, kann die Reihenfolge darin beliebig sein. Denn Additions- und Subtraktionsoperationen haben die gleiche Priorität. Wenn wir zuerst die Addition durchführen, erhalten wir: 5-4=1, und wenn wir zuerst die Subtraktion durchführen, erhalten wir: 2-1=1. Wie Sie sehen, ist das Ergebnis das gleiche.

Ähnlich verhält es sich mit dem Ausdruck für Multiplikation und Division. Multiplikations- und Divisionsoperationen haben die gleiche Priorität. Zum Beispiel 2 8:4. Machen wir zuerst die Multiplikation: 16:4=4, und bei Division: 2 2=4.

Die Reihenfolge ist sinnvoll, wenn ein Ausdruck Additions- oder Subtraktionsoperationen mit Multiplikations- oder Divisionsoperationen mischt. Zum Beispiel:

2+22. Die erste Aktion ist die Durchführung ALLE Operationen der Multiplikation und Division und erst dann Addition und Subtraktion. Das heißt, der Ausdruck 2+2 2 = 2+4=6.

Aber es gibt Klammern in den Ausdrücken. Klammern neigen dazu, die Reihenfolge der Operationen zu ändern. Betrachten wir das vorherige Beispiel, nur mit Klammern: (2+2)*2. In diesem Fall werden zuerst die Operationen innerhalb der Klammern und dann außerhalb der Klammern in der folgenden Reihenfolge ausgeführt: 1. Multiplikation und Division 2. Addition und Subtraktion.

Also, (2+2) 2=4 2=8.

Wie Sie anhand der Beispiele sehen können, spielen Klammern eine Rolle. Und die Reihenfolge der Operationen ist dieselbe.

Arithmetikunterricht

Rechenunterricht – Schulunterricht, bis zur sechsten Klasse. Dann eröffnet die Mathematik ihre Abschnitte: Geometrie und Algebra und später Trigonometrie.

Arithmetik Klasse 5

In der fünften Klasse beginnen die Schüler, sich mit Themen wie Brüchen und gemischten Zahlen zu befassen. Informationen zu Vorgängen mit diesen Nummern finden Sie in unseren Artikeln zu den entsprechenden Vorgängen.

Eine Bruchzahl ist das Verhältnis zweier Zahlen zueinander oder des Zählers zum Nenner. Eine Bruchzahl kann durch Division ersetzt werden. Zum Beispiel ¼ = 1:4.

Gemischte Zahl– Dies ist eine Bruchzahl, wobei nur der ganzzahlige Teil hervorgehoben ist. Der ganzzahlige Teil wird zugewiesen, sofern der Zähler größer als der Nenner ist. Zum Beispiel gab es einen Bruch: 5/4, er kann umgewandelt werden, indem man den ganzen Teil hervorhebt: 1 ganz und ¼.

Beispiele für Schulungen:

Aufgabe Nr. 1:

Aufgabe Nr. 2:

Arithmetik 6. Klasse

In der 6. Klasse taucht das Thema der Umwandlung von Brüchen in Kleinbuchstaben auf. Was bedeutet das? Bei einem Bruchteil von ½ ergibt sich beispielsweise der Wert 0,5. ¼ = 0,25.

Beispiele können im folgenden Stil zusammengestellt werden: 0,25+0,73+12/31.

Beispiele für Schulungen:

Aufgabe Nr. 1:

Aufgabe Nr. 2:

Spiele zur Entwicklung der Kopfrechen- und Zählgeschwindigkeit

Es gibt tolle Spiele, die das Rechnen fördern und dabei helfen, mathematische Fähigkeiten und mathematisches Denken, mentales Zählen und Zählgeschwindigkeit zu entwickeln! Sie können spielen und sich weiterentwickeln! Du interessierst dich? Lesen Sie kurze Artikel über Spiele und probieren Sie es unbedingt selbst aus.

Spiel „Schnelles Zählen“

Das Spiel „Schnelles Zählen“ wird Ihnen helfen, Ihr mentales Zählen zu beschleunigen. Der Kern des Spiels besteht darin, dass Sie auf dem Ihnen präsentierten Bild eine Ja- oder Nein-Antwort auf die Frage „Gibt es 5 identische Früchte?“ wählen müssen. Verfolgen Sie Ihr Ziel und dieses Spiel wird Ihnen dabei helfen.

Spiel "Mathematische Vergleiche"

Beim Mathe-Vergleichsspiel müssen Sie zwei Zahlen mit der Uhr vergleichen. Das heißt, Sie müssen so schnell wie möglich eine von zwei Zahlen auswählen. Denken Sie daran, dass die Zeit begrenzt ist und je mehr Sie richtig antworten, desto besser werden sich Ihre mathematischen Fähigkeiten entwickeln! Sollen wir es probieren?

Spiel „Schnelle Zugabe“

Das Spiel „Quick Addition“ ist ein hervorragender Schnellzählsimulator. Die Essenz des Spiels: Es ist ein 4x4-Feld vorgegeben. Es gibt 16 Zahlen und über dem Feld befindet sich die siebzehnte Zahl. Ihr Ziel: Aus sechzehn Zahlen durch Addition 17 ergeben. Über dem Feld steht zum Beispiel die Zahl 28, dann müssen Sie im Feld zwei solcher Zahlen finden, die insgesamt die Zahl 28 ergeben. Sind Sie bereit, es zu versuchen? Dann mach weiter und trainiere!

Entwicklung phänomenaler Kopfrechnen

Wir haben uns nur die Spitze des Eisbergs angeschaut, um Mathematik besser zu verstehen – melden Sie sich für unseren Kurs an: Kopfrechnen beschleunigen – NICHT Kopfrechnen.

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Entwicklung von Gedächtnis und Aufmerksamkeit bei einem Kind im Alter von 5 bis 10 Jahren

Der Zweck des Kurses besteht darin, das Gedächtnis und die Aufmerksamkeit des Kindes zu entwickeln, damit es ihm leichter fällt, in der Schule zu lernen und sich besser erinnern zu können.

Nach Abschluss des Kurses ist das Kind in der Lage:

1. 2–5 Mal besser, sich Texte, Gesichter, Zahlen und Wörter zu merken
2. Lernen Sie, sich über einen längeren Zeitraum zu erinnern
3. Die Geschwindigkeit, mit der die notwendigen Informationen abgerufen werden, wird erhöht

Unsere Bekanntschaft mit der Mathematik beginnt mit der Arithmetik, der Wissenschaft der Zahlen. Eines der ersten russischen Arithmetiklehrbücher, geschrieben von L. F. Magnitsky im Jahr 1703, begann mit den Worten: „Arithmetik oder der Zähler ist eine ehrliche, wenig beneidenswerte Kunst und für jedermann bequem verständlich, äußerst nützlich und viel gelobt, seit der Antike.“ und die neuesten, die zu verschiedenen Zeiten lebten, wurden von den schönsten Arithmetikern erfunden und dargelegt.“ Mit der Arithmetik betreten wir, wie M. V. Lomonosov sagte, die „Pforten des Lernens“ und beginnen unseren langen und schwierigen, aber faszinierenden Weg, die Welt zu verstehen.

Das Wort „Arithmetik“ kommt vom griechischen arithmos, was „Zahl“ bedeutet. Diese Wissenschaft untersucht Operationen mit Zahlen, verschiedene Regeln für deren Handhabung und lehrt, wie man Probleme löst, die auf Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Zahlen hinauslaufen. Arithmetik wird oft als eine Art erste Stufe der Mathematik vorgestellt, auf deren Grundlage man ihre komplexeren Abschnitte studieren kann – Algebra, mathematische Analyse usw. Sogar ganze Zahlen – das Hauptobjekt der Arithmetik – werden, wenn ihre allgemeinen Eigenschaften und Muster betrachtet werden, der höheren Arithmetik oder Zahlentheorie zugeordnet. Diese Sichtweise der Arithmetik hat natürlich ihre Berechtigung – sie bleibt tatsächlich das „Alphabet des Zählens“, aber das Alphabet ist „am nützlichsten“ und „leicht zu verstehen“.

Arithmetik und Geometrie sind langjährige Begleiter des Menschen. Diese Wissenschaften entstanden, als die Notwendigkeit entstand, Gegenstände zu zählen, Grundstücke zu vermessen, Beute aufzuteilen und die Zeit im Auge zu behalten.

Die Arithmetik hat ihren Ursprung in den Ländern des Alten Ostens: Babylon, China, Indien, Ägypten. Beispielsweise stammt der ägyptische Rind-Papyrus (benannt nach seinem Besitzer G. Rind) aus dem 20. Jahrhundert. Chr. Es enthält unter anderem Zerlegungen eines Bruchs in eine Summe von Brüchen mit einem Zähler gleich eins, zum Beispiel:

Die in den Ländern des Alten Ostens angesammelten Schätze mathematischen Wissens wurden von den Wissenschaftlern des antiken Griechenlands weiterentwickelt und weitergeführt. Die Geschichte hat viele Namen von Wissenschaftlern bewahrt, die sich in der Antike mit Arithmetik beschäftigten – Anaxagoras und Zeno, Euklid (siehe Euklid und seine Elemente), Archimedes, Eratosthenes und Diophantus. Der Name Pythagoras (VI. Jahrhundert v. Chr.) funkelt hier wie ein heller Stern. Die Pythagoräer (Schüler und Anhänger des Pythagoras) verehrten Zahlen und glaubten, dass sie die ganze Harmonie der Welt enthielten. Einzelnen Zahlen und Zahlenpaaren wurden besondere Eigenschaften zugewiesen. Die Zahlen 7 und 36 wurden hoch geschätzt, gleichzeitig wurde auf die sogenannten perfekten Zahlen, freundlichen Zahlen usw. geachtet.

Im Mittelalter war die Entwicklung der Arithmetik auch mit dem Osten verbunden: Indien, den Ländern der arabischen Welt und Zentralasien. Von den Indianern kamen die von uns verwendeten Zahlen, die Null und das Positionszahlensystem; von al-Kashi (XV. Jahrhundert), der am Samarkand-Observatorium von Ulugbek arbeitete, - Dezimalbrüche.

Dank der Entwicklung des Handels und des Einflusses der orientalischen Kultur seit dem 13. Jahrhundert. Auch in Europa nimmt das Interesse an der Arithmetik zu. Es lohnt sich, an den Namen des italienischen Wissenschaftlers Leonardo von Pisa (Fibonacci) zu erinnern, dessen Werk „Das Buch des Abakus“ die Europäer in die wichtigsten Errungenschaften der östlichen Mathematik einführte und den Beginn vieler Studien in Arithmetik und Algebra darstellte.

Mit der Erfindung des Buchdrucks (Mitte des 15. Jahrhunderts) erschienen auch die ersten gedruckten Mathematikbücher. Das erste gedruckte Buch über Arithmetik erschien 1478 in Italien. In der „Vollständigen Arithmetik“ des deutschen Mathematikers M. Stiefel (Anfang des 16. Jahrhunderts) gibt es bereits negative Zahlen und sogar die Idee der Logarithmierung.

Ab etwa dem 16. Jahrhundert. die Entwicklung rein arithmetischer Fragen floss in den Mainstream der Algebra ein – als bedeutender Meilenstein ist das Erscheinen der Werke des französischen Wissenschaftlers F. Vieta zu nennen, in denen Zahlen durch Buchstaben gekennzeichnet sind. Ab diesem Zeitpunkt werden die Grundrechenregeln endlich aus der Sicht der Algebra verstanden.

Der Hauptgegenstand der Arithmetik ist die Zahl. Natürliche Zahlen, d.h. die Zahlen 1, 2, 3, 4, ... usw. entstanden durch das Zählen bestimmter Gegenstände. Viele tausend Jahre vergingen, bis der Mensch erfuhr, dass zwei Fasane, zwei Hände, zwei Menschen usw. kann mit dem gleichen Wort „zwei“ genannt werden. Eine wichtige Aufgabe der Arithmetik besteht darin, zu lernen, die spezifische Bedeutung der Namen der gezählten Objekte zu überwinden, von deren Form, Größe, Farbe usw. abzulenken. Fibonacci hat bereits eine Aufgabe: „Sieben alte Frauen gehen nach Rom. Jeder hat 7 Maultiere, jedes Maultier trägt 7 Beutel, jeder Beutel enthält 7 Brote, jeder Laib enthält 7 Messer, jedes Messer hat 7 Scheiden. Wie viele sind es?" Um das Problem zu lösen, müssen Sie alte Frauen, Maultiere, Taschen und Brot zusammenstellen.

Die Entwicklung des Zahlenbegriffs – das Auftreten von Null- und negativen Zahlen, gewöhnlichen und Dezimalbrüchen, Schreibweisen von Zahlen (Ziffern, Notationen, Zahlensysteme) – all dies hat eine reiche und interessante Geschichte.

„Die Wissenschaft der Zahlen bezieht sich auf zwei Wissenschaften: praktische und theoretische. Praktische Studien Zahlen insofern es sich um abzählbare Zahlen handelt. Diese Wissenschaft wird in Markt- und Zivilangelegenheiten eingesetzt. Die theoretische Wissenschaft der Zahlen untersucht Zahlen im absoluten Sinne, abstrahiert durch den Geist von Körpern und allem, was in ihnen gezählt werden kann.“ al-Farabi

In der Arithmetik werden Zahlen addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert. Die Kunst, diese Operationen mit beliebigen Zahlen schnell und genau durchzuführen, galt lange Zeit als die wichtigste Aufgabe der Arithmetik. Heutzutage führen wir in unseren Köpfen oder auf einem Blatt Papier nur die einfachsten Berechnungen durch und vertrauen zunehmend komplexere Rechenarbeiten Mikrorechnern an, die nach und nach Geräte wie einen Abakus, eine Rechenmaschine (siehe Computertechnik) und einen Schieber ersetzen Regel. Die Funktionsweise aller Computer – ob einfach oder komplex – basiert jedoch auf der einfachsten Operation – der Addition natürlicher Zahlen. Es stellt sich heraus, dass die komplexesten Berechnungen auf die Addition reduziert werden können, diese Operation muss jedoch viele Millionen Mal durchgeführt werden. Aber hier dringen wir in einen anderen Bereich der Mathematik ein, der seinen Ursprung in der Arithmetik hat – die Computermathematik.

Arithmetische Operationen mit Zahlen haben unterschiedliche Eigenschaften. Diese Eigenschaften können in Worten beschrieben werden, zum Beispiel: „Die Summe ändert sich nicht, wenn man die Stellen der Terme ändert“, kann in Buchstaben geschrieben werden: , kann in speziellen Begriffen ausgedrückt werden.

Diese Additionseigenschaft wird beispielsweise Kommutativ- oder Kommutativgesetz genannt. Wir wenden die Gesetze der Arithmetik oft aus Gewohnheit an, ohne es zu merken. Oft fragen Schüler in der Schule: „Warum all diese kommutativen und kombinatorischen Gesetze lernen, wenn doch schon klar ist, wie man Zahlen addiert und multipliziert?“ Im 19. Jahrhundert Die Mathematik machte einen wichtigen Schritt: Sie begann, nicht nur Zahlen, sondern auch Vektoren, Funktionen, Verschiebungen, Zahlentabellen, Matrizen und vieles mehr und sogar nur Buchstaben und Symbole systematisch zu addieren und zu multiplizieren, ohne sich wirklich um ihre spezifische Bedeutung zu kümmern. Und hier stellte sich heraus, dass es am wichtigsten ist, welchen Gesetzen diese Operationen gehorchen. Das Studium von Operationen, die auf beliebigen Objekten (nicht unbedingt auf Zahlen) spezifiziert werden, ist bereits das Gebiet der Algebra, obwohl diese Aufgabe auf der Arithmetik und ihren Gesetzen basiert.

Die Arithmetik enthält viele Regeln zur Lösung von Problemen. In alten Büchern findet man Probleme zur „Dreifachregel“, zur „proportionalen Division“, zur „Methode der Skalen“, zur „falschen Regel“ usw. Die meisten dieser Regeln sind mittlerweile veraltet, obwohl die Probleme, die mit ihrer Hilfe gelöst wurden, keineswegs als veraltet gelten können. Das berühmte Problem mit einem mit mehreren Rohren gefüllten Schwimmbad ist mindestens zweitausend Jahre alt und für Schulkinder immer noch nicht einfach. War es jedoch früher zur Lösung dieses Problems notwendig, eine Sonderregel zu kennen, wird heute jüngeren Schulkindern beigebracht, ein solches Problem durch Eingabe der Buchstabenbezeichnung der gewünschten Menge zu lösen. Arithmetische Probleme führten also dazu, dass Gleichungen gelöst werden mussten, und dies ist wiederum ein algebraisches Problem.

PYTHAGORAS (ca. 570-ca. 500 v. Chr.) Über Pythagoras von Samos gibt es keine schriftlichen Dokumente mehr, und aus späteren Beweisen ist es schwierig, das wahre Bild seines Lebens und seiner Leistungen zu rekonstruieren. Es ist bekannt, dass Pythagoras als Zeichen des Protests gegen die Tyrannei des Herrschers seine Heimatinsel Samos in der Ägäis vor der Küste Kleinasiens verließ und dies bereits im Erwachsenenalter (der Legende nach im Alter von 40 Jahren) tat erschien in der griechischen Stadt Crotone in Süditalien. Pythagoras und seine Anhänger – die Pythagoräer – bildeten ein geheimes Bündnis, das eine bedeutende Rolle im Leben der griechischen Kolonien in Italien spielte. Die Pythagoräer erkannten einander an einem sternförmigen Fünfeck – einem Pentagramm. Die Lehren des Pythagoras waren stark von der Philosophie und Religion des Ostens beeinflusst. Er reiste viel in die Länder des Ostens: Er war in Ägypten und Babylon. Dort lernte Pythagoras auch die östliche Mathematik kennen. Mathematik wurde Teil seines Unterrichts, und zwar der wichtigste Teil. Die Pythagoräer glaubten, dass das Geheimnis der Welt in Zahlenmustern verborgen sei. Die Welt der Zahlen führte für den Pythagoräer ein besonderes Leben; Zahlen hatten ihre eigene besondere Lebensbedeutung. Zahlen, die der Summe ihrer Teiler entsprachen, wurden als perfekt angesehen (6, 28, 496, 8128); Freundlich waren Zahlenpaare, von denen jedes der Summe der Teiler des anderen entsprach (z. B. 220 und 284). Pythagoras war der erste, der Zahlen in gerade und ungerade, einfache und zusammengesetzte Zahlen einteilte und das Konzept einer figuralen Zahl einführte. In seiner Schule wurden pythagoräische Tripel natürlicher Zahlen eingehend untersucht, bei denen das Quadrat der einen gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen war (siehe Fermats letzter Satz). Pythagoras wird der Ausspruch zugeschrieben: „Alles ist eine Zahl.“ Er wollte die ganze Welt und insbesondere die Mathematik auf Zahlen reduzieren (und er meinte nur natürliche Zahlen). Doch in der Schule des Pythagoras selbst wurde eine Entdeckung gemacht, die diese Harmonie verletzte. Es ist erwiesen, dass es sich nicht um eine rationale Zahl handelt, d. h. kann nicht durch natürliche Zahlen ausgedrückt werden. Natürlich war die Geometrie des Pythagoras der Arithmetik untergeordnet; dies zeigte sich deutlich in dem nach ihm benannten Satz, der später zur Grundlage für die Anwendung numerischer Methoden in der Geometrie wurde. (Später rückte Euklid die Geometrie erneut in den Vordergrund und ordnete ihr die Algebra unter.) Anscheinend kannten die Pythagoräer die richtigen Körper: Tetraeder, Würfel und Dodekaeder. Pythagoras wird die systematische Einführung von Beweisen in die Geometrie, die Schaffung der Planimetrie geradliniger Figuren und die Ähnlichkeitslehre zugeschrieben. Der Name Pythagoras ist mit der Lehre von arithmetischen, geometrischen und harmonischen Proportionen und Durchschnittswerten verbunden. Es sei darauf hingewiesen, dass Pythagoras die Erde als eine Kugel betrachtete, die sich um die Sonne bewegt. Als im 16. Jahrhundert Die Kirche begann, die Lehren des Kopernikus heftig zu verfolgen; diese Lehre wurde hartnäckig Pythagoras genannt.

ARCHIMEDES (ca. 287-212 v. Chr.) Über Archimedes, den großen Mathematiker und Mechaniker, ist mehr bekannt als über andere antike Wissenschaftler. Zunächst einmal ist das Jahr seines Todes zuverlässig – das Jahr des Falls von Syrakus, als der Wissenschaftler durch die Hand eines römischen Soldaten starb. Die antiken Historiker Polybios, Livius und Plutarch sagten jedoch wenig über seine mathematischen Verdienste; von ihnen gelangten Informationen über die wunderbaren Erfindungen des Wissenschaftlers, die er während seines Dienstes bei König Hieron II. machte, bis in unsere Zeit. Es gibt eine bekannte Geschichte über die goldene Krone des Königs. Archimedes überprüfte die Reinheit seiner Zusammensetzung anhand des von ihm gefundenen Gesetzes der Auftriebskraft und seines Ausrufs „Heureka!“, d. h. "Gefunden!". Einer anderen Legende zufolge baute Archimedes ein Blocksystem, mit dessen Hilfe ein Mann das riesige Schiff Syracosia zu Wasser lassen konnte. Die damals gesprochenen Worte von Archimedes bekamen Flügel: „Gib mir einen Drehpunkt, und ich werde die Erde drehen.“ Das Ingenieursgenie von Archimedes zeigte sich besonders deutlich bei der Belagerung von Syrakus, einer wohlhabenden Handelsstadt auf der Insel Sizilien. Die Soldaten des römischen Konsuls Marcellus wurden lange Zeit von beispiellosen Maschinen an den Mauern der Stadt festgehalten: Mächtige Katapulte zielten auf Steinblöcke, in den Schießscharten waren Wurfmaschinen installiert, die Kanonenkugeln ausschleuderten, Küstenkräne drehten sich außerhalb der Mauern usw warf Stein- und Bleiblöcke auf feindliche Schiffe, Haken hoben Schiffe auf und warfen sie aus großer Höhe herunter, Systeme von Hohlspiegeln (in manchen Geschichten - Schilde) setzten die Schiffe in Brand. In „Die Geschichte des Marcellus“ beschreibt Plutarch den Schrecken, der in den Reihen der römischen Soldaten herrschte: „Sobald sie bemerkten, dass hinter der Festungsmauer ein Seil oder ein Baumstamm auftauchte, flohen sie und riefen, Archimedes habe es erfunden.“ eine neue Maschine für ihre Zerstörung.“ . Auch der Beitrag von Archimedes zur Entwicklung der Mathematik war enorm. Die Archimedes-Spirale (siehe Spiralen), die durch einen Punkt beschrieben wird, der sich in einem rotierenden Kreis bewegt, ragte unter den vielen Kurven, die seine Zeitgenossen kannten, heraus. Die nächste kinematisch definierte Kurve – die Zykloide – erschien erst im 17. Jahrhundert. Archimedes lernte, eine Tangente an seine Spirale zu finden (und seine Vorgänger konnten Tangenten nur an Kegelschnitte zeichnen), fand die Fläche ihrer Drehung sowie die Fläche einer Ellipse, die Oberfläche eines Kegels und eine Kugel, die Volumina einer Kugel und ein Kugelsegment. Besonders stolz war er auf das von ihm entdeckte Verhältnis des Volumens einer Kugel und eines umschriebenen Zylinders von 2:3 (siehe Eingeschriebene und umschriebene Figuren). Archimedes beschäftigte sich auch intensiv mit dem Problem der Quadratur des Kreises (siehe Berühmte Probleme der Antike). Der Wissenschaftler berechnete das Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser (Zahl) und stellte fest, dass es zwischen und lag. Die von ihm entwickelte Methode zur Berechnung des Umfangs und der Fläche einer Figur war ein bedeutender Schritt zur Schaffung der Differential- und Integralrechnung, die erst 2000 Jahre später erschien. Archimedes fand auch die Summe einer unendlichen geometrischen Folge mit dem Nenner. In der Mathematik war dies das erste Beispiel einer unendlichen Reihe. Eine wichtige Rolle in der Entwicklung der Mathematik spielte sein Aufsatz „Psammit“ – „Über die Anzahl der Sandkörner“, in dem er zeigt, wie man mit dem bestehenden Zahlensystem beliebig große Zahlen ausdrücken kann. Als Grundlage für seine Überlegungen nutzt er das Problem, die Anzahl der Sandkörner im sichtbaren Universum zu zählen. Damit wurde die damals bestehende Meinung über das Vorhandensein mysteriöser „größter Zahlen“ widerlegt.

Zu den wichtigen Konzepten, die die Arithmetik eingeführt hat, gehören Proportionen und Prozentsätze. Die meisten Konzepte und Methoden der Arithmetik basieren auf dem Vergleich verschiedener Abhängigkeiten zwischen Zahlen. In der Geschichte der Mathematik vollzog sich der Prozess der Verschmelzung von Arithmetik und Geometrie über viele Jahrhunderte.

Man kann die „Geometrisierung“ der Arithmetik deutlich erkennen: Komplexe Regeln und Muster, die in Formeln ausgedrückt werden, werden klarer, wenn sie geometrisch dargestellt werden können. Eine wichtige Rolle in der Mathematik selbst und ihren Anwendungen spielt der umgekehrte Prozess – die Übersetzung visueller, geometrischer Informationen in die Sprache der Zahlen (siehe Grafische Berechnungen). Diese Übersetzung basiert auf der Idee des französischen Philosophen und Mathematikers R. Descartes, Punkte auf einer Ebene durch Koordinaten zu definieren. Natürlich wurde diese Idee bereits vor ihm genutzt, beispielsweise in maritimen Angelegenheiten, wenn es darum ging, den Standort eines Schiffes zu bestimmen, sowie in der Astronomie und Geodäsie. Doch die konsequente Verwendung der Koordinatensprache in der Mathematik geht auf Descartes und seine Schüler zurück. Und in unserer Zeit, wenn man komplexe Prozesse steuert (zum Beispiel den Flug eines Raumfahrzeugs), bevorzugt man alle Informationen in Form von Zahlen, die von einem Computer verarbeitet werden. Bei Bedarf hilft die Maschine einer Person, die gesammelten numerischen Informationen in die Zeichensprache zu übersetzen.

Sie sehen, wenn wir über Arithmetik sprechen, gehen wir immer über ihre Grenzen hinaus – in die Algebra, die Geometrie und andere Zweige der Mathematik.

Wie können wir die Grenzen der Arithmetik selbst abgrenzen?

In welchem ​​Sinne wird dieses Wort verwendet?

Das Wort „Arithmetik“ kann wie folgt verstanden werden:

ein akademisches Fach, das sich hauptsächlich mit rationalen Zahlen (ganze Zahlen und Brüche), Operationen auf ihnen und mit Hilfe dieser Operationen gelösten Problemen befasst;

Teil des historischen Gebäudes der Mathematik, das verschiedene Informationen über Berechnungen gesammelt hat;

„Theoretische Arithmetik“ ist ein Teilgebiet der modernen Mathematik, das sich mit der Konstruktion verschiedener Zahlensysteme (natürliche, ganze, rationale, reelle, komplexe Zahlen und deren Verallgemeinerungen) beschäftigt;

„formale Arithmetik“ ist ein Teil der mathematischen Logik (siehe Mathematische Logik), der sich mit der Analyse der axiomatischen Theorie der Arithmetik befasst;

„Höhere Arithmetik“ oder Zahlentheorie, ein sich unabhängig entwickelnder Teil der Mathematik.

Alles über alles. Band 5 Likum Arkady

Wer hat die Arithmetik erfunden?

Wer hat die Arithmetik erfunden?

Arithmetik ist die Wissenschaft der Zahlen. Es geht um die Bedeutung von Zahlen, ihre Symbole und den Umgang mit ihnen. Niemand hat die Arithmetik „erfunden“. Es entstand aus menschlichen Bedürfnissen. Anfangs operierte man nur mit dem Begriff der Menge, wusste aber noch nicht, wie man zählt. Ein primitiver Mensch könnte zum Beispiel sagen, dass er genügend Beeren gesammelt habe. Der Jäger konnte auf den ersten Blick erkennen, dass er einen der Speere verloren hatte.

Aber die Zeit verging und der Mensch begann, die Quantität, also die Zahl, bestimmen zu müssen. Hirten mussten die Anzahl der Tiere zählen. Die Landwirte mussten den Zeitpunkt der Saisonarbeit herunterzählen. Deshalb wurden vor langer Zeit, niemand weiß, wann, sowohl Zahlen als auch ihre Namen erfunden. Wir nennen diese Zahlen ganze oder natürliche Zahlen. Später brauchte der Mensch Zahlen kleiner als eins und Zahlen zwischen ganzen Zahlen. So entstanden Brüche.

Viel später kamen andere Zahlen in Gebrauch. Einige davon waren negativ, zum Beispiel minus zwei oder minus sieben. Die Nummerierung wurde zur Grundlage der Arithmetik, und dann lernte der Mensch, die vier Grundrechenarten durchzuführen – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

Aus dem Buch 100 große Geheimnisse der Astronautik Autor Slavin Stanislav Nikolaevich

Wer hat den Mondrover erfunden? Nachdem sie das Mondrennen verloren hatte, tat die Sowjetregierung so, als wäre sie darüber nicht sehr verärgert. Man sagt, dass wir von Anfang an mit Maschinengewehren auf dem Weg waren, Selena zu erkunden. Und das stimmte zum Teil. Schon allein deshalb, weil es die ersten Informationen über Mondrover gab

Aus dem Buch „Who is Who in the Art World“. Autor Sitnikov Vitaly Pavlovich

Wer hat die Serenade erfunden? Seit jeher bevölkern Dichter und Sänger die Erde. Im antiken Griechenland wurden wandernde Dichter, die ihre Gedichte sangen, Rhapsoden genannt. Die nördlichen Völker Europas schätzten Barden sehr. In späteren Zeiten wanderten die Menschen durch Städte und Dörfer

Aus dem Buch Die Welt um uns herum Autor Sitnikov Vitaly Pavlovich

Wer hat sich die Fabel ausgedacht? Fabel ist eines der ältesten Genres der Literatur; Es wird angenommen, dass es wie der Mythos zu einer der ersten literarischen Formen wurde, die die Vorstellungen der Menschen über die Welt widerspiegelte. Sein erster Autor soll der für seinen Witz berühmte Sklave Aesop sein. Es wird angenommen, dass

Autor Sitnikov Vitaly Pavlovich

Wer hat die Injektion erfunden? Im Jahr 1628 kündigte der englische Wissenschaftler W. Harvey erstmals die Möglichkeit an, medizinische Substanzen über die Haut in den Körper einzuführen. Er veröffentlichte ein grundlegendes Werk, in dem er über die Funktionsweise des menschlichen Kreislaufsystems sprach. Harvey äußerte sich

Aus dem Buch „Who is Who in der Welt der Entdeckungen und Erfindungen“. Autor Sitnikov Vitaly Pavlovich

Wer hat die Ampel erfunden? Wussten Sie, dass Verkehrsmanagement schon lange vor dem Aufkommen des Autos ein Problem war? Julius Cäsar war wahrscheinlich der erste Herrscher der Geschichte, der Verkehrsregeln einführte. Beispielsweise erließ er ein Gesetz, nach dem es Frauen nicht gestattet war

Aus dem Buch „Who is Who in der Welt der Entdeckungen und Erfindungen“. Autor Sitnikov Vitaly Pavlovich

Wer hat den Bleistift erfunden? Moderne Bleistifte sind nicht älter als 200 Jahre. Vor etwa 500 Jahren wurde Graphit in den Minen von Cumberland, England, entdeckt. Es wird angenommen, dass zur gleichen Zeit auch mit der Herstellung von Graphitstiften begonnen wurde. In der deutschen Stadt Nürnberg gibt es die berühmte Familie Faber seit 1760

Aus dem Buch „Who is Who in der Welt der Entdeckungen und Erfindungen“. Autor Sitnikov Vitaly Pavlovich

Wer hat den Stift erfunden? Mit der Erfindung weicher Materialien zum Schreiben: Wachstafeln und Papyrus, entstand die Notwendigkeit, spezielle Schreibgeräte herzustellen. Die alten Ägypter waren die ersten, die sie herstellten. Sie schrieben mit einem Stahlstab auf eine mit Wachs beschichtete Tafel -

Aus dem Buch „Who is Who in der Welt der Entdeckungen und Erfindungen“. Autor Sitnikov Vitaly Pavlovich

Wer hat die Marken erfunden? Wollten Sie schon immer wissen, warum sie „Briefmarken“ heißen? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir in die alten Zeiten zurückkehren, als Pakete und Briefe per Staffellauf durch das Land transportiert wurden. Stationen, an denen ein Bote Post beförderte

Aus dem Buch „Who is Who in der Welt der Entdeckungen und Erfindungen“. Autor Sitnikov Vitaly Pavlovich

Wer hat den Pyjama erfunden? Das Wort „Pyjamas“ kommt vom englischen „Pyjamas“, was wiederum, übersetzt aus Urdu (einer der Amtssprachen Indiens), weit gestreifte Hosen aus leichtem Stoff (meist Musselin) bedeutete. Sie waren ein obligatorisches Element der Damenbekleidung

Aus dem Buch „Who is Who in der Welt der Entdeckungen und Erfindungen“. Autor Sitnikov Vitaly Pavlovich

Wer hat die Kerze erfunden? Das erste Beleuchtungsgerät, das der Mensch benutzte, war ein brennender Holzstab, der aus einem Feuer genommen wurde. Die erste Lampe war ein Stein mit einer Vertiefung, einer Muschel oder einem Totenkopf, gefüllt mit Tier- oder Fischöl als Brennstoff und mit

Aus dem Buch „Who is Who in der Welt der Entdeckungen und Erfindungen“. Autor Sitnikov Vitaly Pavlovich

Wer hat das Sandwich erfunden? Der Earl of Sandwich kann als Erfinder des Sandwiches angesehen werden. Er war so ein Spieler, dass er sich nicht einmal zum Essen von den Karten lösen konnte. Deshalb verlangte er, dass man ihm einen leichten Snack in Form von Brot- und Fleischstücken bringe. Das Spiel konnte nicht

Aus dem Buch „Who is Who in der Welt der Entdeckungen und Erfindungen“. Autor Sitnikov Vitaly Pavlovich

Wer hat Joghurt erfunden? Die Erfindung des Joghurts verdanken wir einem russischen Wissenschaftler, der im 20. Jahrhundert lebte, I. I. Mechnikov. Er war der erste, der daran dachte, das Bakterium Coli, das im Darm vieler Säugetiere lebt, zur Fermentierung von Milch zu nutzen. Es stellte sich heraus, dass das, was mit diesen Bakterien fermentiert wurde, verwendet wurde

Aus dem Buch „Who is Who in der Welt der Entdeckungen und Erfindungen“. Autor Sitnikov Vitaly Pavlovich

Wer hat das Telefon erfunden? Das Telefon, wie wir es heute kennen, ist das Ergebnis der Entwicklungen von Alexander Graham Bell, einem schottischen Wissenschaftler, der nach Kanada und dann in die Vereinigten Staaten auswanderte. Doch bereits vor Bell im Jahr 1856 fanden Experimente statt, die zur Erfindung des Telefons beitrugen

Aus dem Buch „Who is Who in der Welt der Entdeckungen und Erfindungen“. Autor Sitnikov Vitaly Pavlovich

Wer hat den Telegraphen erfunden? Ist es möglich, Nachrichten drahtlos zu übermitteln? Zuerst schien es fantastisch. Doch 1887 entdeckte der deutsche Physiker Heinrich Hertz unsichtbare elektromagnetische Wellen. Um sie zu „fangen“, waren jedoch hohe Antennen nötig, die aus ihnen emporstiegen

Aus dem Buch „Who is Who in der Welt der Entdeckungen und Erfindungen“. Autor Sitnikov Vitaly Pavlovich

Wer hat den Fallschirm erfunden? Stellen Sie sich vor, Sie betreten den Luftraum in einer Höhe von 5 Kilometern und landen dann ruhig, als wären Sie von einem drei Meter hohen Zaun gesprungen. Das könntest du schaffen – mit einem Fallschirm! Mit seiner Hilfe kann eine Person in die Luft sinken

Aus dem Buch „Who is Who in der Welt der Entdeckungen und Erfindungen“. Autor Sitnikov Vitaly Pavlovich

Wer hat den Kompass erfunden? Die einfachste Form eines Kompasses ist eine Magnetnadel, die auf einer Stange montiert ist, sodass sie sich frei in alle Richtungen drehen kann. Die Nadel eines solchen primitiven Kompasses zeigt nach „Norden“, womit wir den magnetischen Nordpol der Erde meinen.

Schul-Lyzeum Nr. __

Aufsatz

zum Thema

„Die Geschichte der arithmetischen Operationen“

Abgeschlossen: __ Übungen der 5. Klasse

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Karaganda, 2015

Die Araber haben Zahlen nicht gelöscht, sondern durchgestrichen und eine neue Zahl über die durchgestrichene geschrieben. Es war sehr unbequem. Dann begannen die arabischen Mathematiker, die dieselbe Subtraktionsmethode verwendeten, die Aktion von den untersten Rängen aus zu beginnen, d. h. nachdem sie an einer neuen Subtraktionsmethode gearbeitet hatten, die der modernen ähnelte. Um die Subtraktion im 3. Jahrhundert anzuzeigen. Chr e. in Griechenland verwendete man den umgekehrten griechischen Buchstaben psi (F). Italienische Mathematiker verwendeten den Buchstaben M, den Anfangsbuchstaben des Wortes Minus, zur Bezeichnung der Subtraktion. Im 16. Jahrhundert begann man, das Zeichen - zur Angabe der Subtraktion zu verwenden. Dieses Zeichen gelangte vermutlich aus dem Handel in die Mathematik. Händler, die Wein aus Fässern zum Verkauf ausschenkten, markierten mit einem Kreidestrich die Anzahl der Maß Wein, die aus dem Fass verkauft wurden.

Multiplikation

Die Multiplikation ist ein Sonderfall der Addition mehrerer identischer Zahlen. In der Antike lernten die Menschen, beim Zählen von Gegenständen zu multiplizieren. Zählt man also die Zahlen 17, 18, 19, 20 der Reihe nach, sollten sie das darstellen

20 ist nicht nur wie 10+10, sondern auch wie zwei Zehner, also 2 · 10;

30 ist wie drei Zehner, das heißt, man wiederholt den Zehner dreimal – 3 – 10 – und so weiter

Die Menschen begannen viel später mit der Vermehrung als mit der Addition. Die Ägypter führten die Multiplikation durch wiederholte Addition oder aufeinanderfolgende Verdoppelungen durch. In Babylon verwendeten sie beim Multiplizieren von Zahlen spezielle Multiplikationstabellen – die „Vorfahren“ der modernen. Im alten Indien verwendeten sie eine Methode zur Multiplikation von Zahlen, die der modernen ebenfalls recht nahe kam. Die Indianer vervielfachten ihre Zahlen ausgehend von den höchsten Rängen. Gleichzeitig löschten sie die Zahlen, die bei späteren Aktionen ersetzt werden mussten, indem sie ihnen die Zahl hinzufügten, an die wir uns jetzt beim Multiplizieren erinnern. So schrieben indische Mathematiker das Produkt sofort auf und führten Zwischenberechnungen im Sand oder im Kopf durch. Die indische Multiplikationsmethode wurde an die Araber weitergegeben. Aber die Araber haben die Zahlen nicht gelöscht, sondern durchgestrichen und eine neue Zahl über die durchgestrichene geschrieben. In Europa wurde das Produkt lange Zeit als Summe der Multiplikation bezeichnet. Der Name „Multiplikator“ wird in Werken des 6. Jahrhunderts und „Multiplikand“ im 13. Jahrhundert erwähnt.

Im 17. Jahrhundert begannen einige Mathematiker, die Multiplikation mit einem schrägen Kreuz – x – zu bezeichnen, während andere dafür einen Punkt verwendeten. Zur Kennzeichnung von Handlungen wurden im 16. und 17. Jahrhundert verschiedene Symbole verwendet, deren Verwendung nicht einheitlich war. Erst Ende des 18. Jahrhunderts begannen die meisten Mathematiker, einen Punkt als Multiplikationszeichen zu verwenden, erlaubten aber auch die Verwendung eines schrägen Kreuzes. Multiplikationszeichen ( , x) und das Gleichheitszeichen (=) wurden dank der Autorität des berühmten deutschen Mathematikers Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) allgemein akzeptiert.

Aufteilung

Es können immer zwei beliebige natürliche Zahlen addiert und auch multipliziert werden. Eine Subtraktion von einer natürlichen Zahl kann nur durchgeführt werden, wenn der Subtrahend kleiner als der Minuend ist. Eine Division ohne Rest ist nur für einige Zahlen möglich, und es ist schwierig herauszufinden, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist. Darüber hinaus gibt es Zahlen, die nicht durch eine andere Zahl als eins geteilt werden können. Eine Division durch Null ist nicht möglich. Diese Merkmale der Aktion erschwerten den Weg zum Verständnis der Teilungstechniken erheblich. Im alten Ägypten erfolgte die Division von Zahlen durch die Methode der Verdoppelung und Mediation, also der Division durch zwei und der anschließenden Addition der ausgewählten Zahlen. Indische Mathematiker erfanden die Methode der „Aufwärtsdivision“. Sie schrieben den Divisor unterhalb der Dividende und alle Zwischenberechnungen oberhalb der Dividende. Darüber hinaus wurden die Zahlen, die sich während der Zwischenberechnungen ändern konnten, von den Indianern gelöscht und an ihrer Stelle durch neue geschrieben. Nachdem sie diese Methode übernommen hatten, begannen die Araber, Zahlen in Zwischenberechnungen durchzustreichen und andere darüber zu schreiben. Diese Neuerung machte die „Aufteilung“ deutlich schwieriger. Eine der modernen Methode nahe kommende Teilungsmethode tauchte erstmals im 15. Jahrhundert in Italien auf.

Über Jahrtausende hinweg wurde die Aktion der Teilung nicht durch irgendein Zeichen angezeigt – sie wurde lediglich als Wort benannt und niedergeschrieben. Indische Mathematiker waren die ersten, die die Division mit dem Anfangsbuchstaben des Namens dieser Aktion bezeichneten. Die Araber führten eine Linie ein, um die Teilung zu kennzeichnen. Die Linie zur Markierung der Teilung wurde im 13. Jahrhundert vom italienischen Mathematiker Fibonacci von den Arabern übernommen. Er war der erste, der den Begriff privat verwendete. Das Doppelpunktzeichen (:) zur Angabe der Teilung wurde im späten 17. Jahrhundert verwendet.

Das Gleichheitszeichen (=) wurde erstmals im 16. Jahrhundert vom englischen Mathematiklehrer R. Ricorrd eingeführt. Er erklärte: „Keine zwei Objekte können einander gleicher sein als zwei parallele Linien.“ Aber auch in ägyptischen Papyri gibt es ein Zeichen, das die Gleichheit zweier Zahlen bezeichnet, obwohl sich dieses Zeichen völlig vom =-Zeichen unterscheidet.