Encyklopedie matematiky. Matematická encyklopedie Axiomy a metody důkazu

Zdraví

Mathematical Encyclopedia - referenční publikace o všech odvětvích matematiky. Encyklopedie je založena na přehledových článcích věnovaných nejdůležitějším oblastem matematiky. Hlavním požadavkem na články tohoto typu je možná úplnost přehledu o současném stavu teorie s maximální dostupností prezentace; Tyto články jsou obecně přístupné starším studentům matematiky, postgraduálním studentům a specialistům v příbuzných oborech matematiky a v určitých případech i specialistům v jiných oborech, kteří ve své práci využívají matematické metody, inženýrům a učitelům matematiky. Dále jsou poskytovány středně velké články o jednotlivých specifických problémech a metodách matematiky; Tyto články jsou určeny užší čtenářské obci, a proto mohou být hůře dostupné. Dalším typem článku jsou stručné odkazy a definice. Na konci posledního svazku Encyklopedie bude věcný rejstřík, který bude obsahovat nejen názvy všech článků, ale také mnoho pojmů, jejichž definice budou uvedeny v článcích prvních dvou typů. jako nejdůležitější výsledky uvedené v článcích. Většina článků Encyklopedie je doplněna bibliografií s pořadovými čísly u každého titulu, což umožňuje jejich citaci v textech článků. Na konci článků (zpravidla) je uveden autor nebo zdroj, pokud byl článek již dříve publikován (především se jedná o články ve Velké sovětské encyklopedii). Jména zahraničních (kromě starověkých) vědců zmíněná v článcích jsou doplněna latinským pravopisem (pokud neexistuje odkaz na seznam literatury).

Stáhněte si a přečtěte si Matematickou encyklopedii, svazek 3, Vinogradov I.M., 1982

Stáhněte si a přečtěte si Matematickou encyklopedii, svazek 2, Vinogradov I.M., 1979

Stáhněte si a přečtěte si Matematickou encyklopedii, svazek 1, Vinogradov I.M., 1977

Algebra byla původně odvětvím matematiky zabývající se řešením rovnic. Na rozdíl od geometrie existovala axiomatická konstrukce algebry až v polovině 19. století, kdy se objevil zásadně nový pohled na předmět a povahu algebry. Výzkum se začal stále více zaměřovat na studium tzv. algebraických struktur. To mělo dvě výhody. Na jedné straně byly objasněny oblasti, pro které jednotlivé věty platí, na druhé straně bylo možné použít stejné důkazy ve zcela jiných oblastech. Toto rozdělení algebry trvalo až do poloviny 20. století a projevilo se ve vzniku dvou názvů: „klasická algebra“ a „moderní algebra“. Ten je lépe charakterizován jiným názvem: „abstraktní algebra“. Faktem je, že tento oddíl – poprvé v matematice – se vyznačoval naprostou abstrakcí.

Stáhněte si a přečtěte si Malá matematická encyklopedie, Fried E., Pastor I., Reiman I., Reves P., Ruzsa I., 1976

„Probability and Mathematical Statistics“ je referenční publikace o teorii pravděpodobnosti, matematické statistice a jejich aplikacích v různých oblastech vědy a techniky. Encyklopedie má dvě části: hlavní obsahuje přehledové články, články věnované jednotlivým konkrétním problémům a metodám, stručné odkazy s definicemi základních pojmů, nejdůležitější věty a vzorce. Značný prostor je věnován aplikované problematice - teorie informace, teorie hromadné obsluhy, teorie spolehlivosti, plánování experimentů a související oblasti - fyzika, geofyzika, genetika, demografie a jednotlivá odvětví techniky. Většina článků je doplněna bibliografií nejvýznamnějších prací k této problematice. Názvy článků jsou uvedeny také v anglickém překladu. Druhá část – „Antologie teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky“ obsahuje články napsané pro tuzemské encyklopedie minulosti i encyklopedické materiály dříve publikované v jiných dílech. Encyklopedie je doprovázena rozsáhlým seznamem časopisů, periodik a pokračujících publikací pokrývajících témata teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky.
Materiál obsažený v Encyklopedii je nezbytný pro vysokoškoláky, postgraduální studenty a badatele v oblasti matematiky a dalších věd, kteří ve svém výzkumu a praktické práci používají pravděpodobnostní metody.

Obsah článku

MATEMATIKA. Matematika je obvykle definována seznamem názvů některých jejích tradičních odvětví. V první řadě je to aritmetika, která se zabývá studiem čísel, vztahů mezi nimi a pravidly pro operativní čísla. Fakta aritmetiky podléhají různým specifickým výkladům; například vztah 2 + 3 = 4 + 1 odpovídá tvrzení, že dvě a tři knihy tvoří tolik knih jako čtyři a jedna. Jakýkoli vztah jako 2 + 3 = 4 + 1, tj. vztah mezi čistě matematickými objekty bez odkazu na jakoukoli interpretaci z fyzického světa se nazývá abstraktní. Abstraktní povaha matematiky umožňuje její použití k řešení široké škály problémů. Například algebra, která se zabývá operacemi s čísly, může řešit problémy, které přesahují aritmetiku. Specifičtějším odvětvím matematiky je geometrie, jejímž hlavním úkolem je studium velikostí a tvarů objektů. Kombinace algebraických metod s geometrickými vede na jedné straně k trigonometrii (původně se věnovala studiu geometrických trojúhelníků a nyní pokrývá mnohem širší okruh problémů) a na druhé straně k analytické geometrii, v níž geometrická tělesa a obrazce jsou studovány algebraickými metodami. Existuje několik odvětví vyšší algebry a geometrie, které mají vyšší stupeň abstrakce a nezabývají se studiem obyčejných čísel a obyčejných geometrických obrazců; nejabstraktnější z geometrických disciplín se nazývá topologie.

Matematická analýza se zabývá studiem veličin, které se mění v prostoru nebo čase, a je založena na dvou základních pojmech – funkci a limitě, které se v elementárnějších odvětvích matematiky nevyskytují. Zpočátku se matematická analýza skládala z diferenciálního a integrálního počtu, ale nyní zahrnuje další sekce.

Existují dvě hlavní odvětví matematiky – čistá matematika, která klade důraz na deduktivní uvažování, a aplikovaná matematika. Termín „aplikovaná matematika“ se někdy vztahuje k těm odvětvím matematiky, která byla vytvořena speciálně k uspokojení potřeb a požadavků vědy, a někdy k těm částem různých věd (fyzika, ekonomie atd.), které používají matematiku jako prostředek řešení jejich úkoly. Mnoho běžných mylných představ o matematice vzniká ze záměny těchto dvou výkladů „aplikované matematiky“. Aritmetika může být příkladem aplikované matematiky v prvním smyslu a účetnictví v druhém smyslu.

Na rozdíl od všeobecného přesvědčení se matematika stále rychle rozvíjí. Časopis Mathematical Review publikuje cca. 8 000 krátkých shrnutí článků obsahujících nejnovější výsledky - nová matematická fakta, nové důkazy starých faktů a dokonce informace o zcela nových oblastech matematiky. Současným trendem ve výuce matematiky je seznamovat studenty s moderními, abstraktnějšími matematickými myšlenkami již dříve ve výuce matematiky. viz také HISTORIE MATEMATIKY. Matematika je jedním ze základních kamenů civilizace, ale jen velmi málo lidí má představu o současném stavu věcí v této vědě.

Matematika prošla za posledních sto let obrovskými změnami, a to jak ve svém předmětu, tak ve svých výzkumných metodách. V tomto článku se pokusíme poskytnout obecnou představu o hlavních fázích vývoje moderní matematiky, za jejichž hlavní výsledky lze na jedné straně považovat zvýšení rozdílu mezi čistou a aplikovanou matematikou a na druhé straně kompletní přehodnocení tradičních oblastí matematiky.

VÝVOJ MATEMATICKÉ METODY

Zrození matematiky.

Kolem roku 2000 př.n.l bylo zjištěno, že v trojúhelníku o stranách 3, 4 a 5 jednotek délky je jeden z úhlů 90° (toto pozorování usnadnilo konstrukci pravého úhlu pro praktické potřeby). Všimli jste si tedy poměru 5 2 = 3 2 + 4 2? O tom nemáme žádné informace. O několik století později bylo objeveno obecné pravidlo: v jakémkoli trojúhelníku ABC s pravým úhlem na vrcholu A a strany b = AC A C = AB, mezi kterými je tento úhel uzavřen, a opačnou stranou A = PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. poměr platí A 2 = b 2 + C 2. Můžeme říci, že věda začíná, když je množství jednotlivých pozorování vysvětleno jedním obecným zákonem; proto lze objev „Pythagorovy věty“ považovat za jeden z prvních známých příkladů skutečně vědeckého úspěchu.

Ale ještě důležitější pro vědu obecně a pro matematiku zvláště je skutečnost, že spolu s formulací obecného zákona se objevují pokusy jej dokázat, tzn. ukazují, že to nutně vyplývá z jiných geometrických vlastností. Jeden z východních „důkazů“ je obzvláště jasný ve své jednoduchosti: čtyři trojúhelníky stejné jako tento jsou vepsány do čtverce. BCDE jak je znázorněno na výkresu. Čtvercová plocha A 2 se ukáže být rozdělen na čtyři stejné trojúhelníky o celkové ploše 2 před naším letopočtem a čtvercový AFGH plocha ( b – C) 2. Tím pádem, A 2 = (b – C) 2 + 2před naším letopočtem = (b 2 + C 2 – 2před naším letopočtem) + 2před naším letopočtem = b 2 + C 2. Je poučné jít ještě o krok dále a přesněji zjistit, jaké „předchozí“ vlastnosti mají být známy. Nejzřejmějším faktem je, že od trojúhelníků BAC A BEF přesně, bez mezer nebo překrývání, „napasované“ po stranách B.A. A B.F., to znamená, že dva vrcholové úhly B A S v trojúhelníku ABC dohromady svírají úhel 90° a proto je součet všech tří jeho úhlů roven 90° + 90° = 180°. Výše uvedený „důkaz“ také používá vzorec ( před naším letopočtem/2) pro oblast trojúhelníku ABC s úhlem 90° na vrcholu A. Ve skutečnosti byly použity i jiné předpoklady, ale to, co bylo řečeno, stačí k tomu, abychom jasně viděli základní mechanismus matematického důkazu - deduktivní uvažování, které umožňuje za použití čistě logických argumentů (na základě správně připraveného materiálu, v našem příkladu - dělení čtverce) vyvodit ze známých výsledků nové vlastnosti zpravidla nevyplývají přímo z dostupných údajů.

Axiomy a metody důkazu.

Jedním ze základních rysů matematické metody je proces vytváření pomocí pečlivě sestavených čistě logických argumentů řetězce výroků, v němž každý následující článek navazuje na předchozí. První poměrně zřejmá úvaha je, že v každém řetězu musí být první článek. Tato okolnost se Řekům stala zřejmou, když začali v 7. století systematizovat soubor matematických argumentů. PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. K realizaci tohoto plánu potřebovali Řekové cca. Před 200 lety a dochované dokumenty poskytují pouze hrubou představu o tom, jak přesně fungovaly. Přesné informace máme pouze o konečném výsledku výzkumu – slavném Začátky Euklides (asi 300 př. Kr.). Euklides začíná vypsáním výchozích pozic, od kterých se čistě logicky odvíjejí všechny ostatní. Tato ustanovení se nazývají axiomy nebo postuláty (pojmy jsou prakticky zaměnitelné); vyjadřují buď velmi obecné a poněkud vágní vlastnosti objektů jakéhokoli druhu, například „celek je větší než část“, nebo některé specifické matematické vlastnosti, například to, že pro libovolné dva body existuje jedinečná přímka, která je spojuje. . Nemáme žádné informace o tom, zda Řekové připisovali „pravdě“ axiomů nějaký hlubší význam nebo význam, i když existují určité náznaky, že o nich Řekové nějakou dobu diskutovali, než přijali určité axiomy. U Eukleida a jeho následovníků jsou axiomy prezentovány pouze jako východiska pro konstrukci matematiky, bez jakéhokoli komentáře k jejich podstatě.

Pokud jde o metody důkazu, ty se zpravidla scvrkávaly na přímé použití dříve dokázaných vět. Někdy se však logika uvažování ukázala jako složitější. Zmíníme zde Euklidovu oblíbenou metodu, která se stala součástí každodenní praxe matematiky – nepřímý důkaz, nebo důkaz kontradikcí. Jako elementární příklad důkazu kontradikcí si ukážeme, že šachovnici, ze které jsou vystřižena dvě rohová pole umístěná na opačných koncích úhlopříčky, nelze pokrýt domino, z nichž každé se rovná dvěma polím. (Předpokládá se, že každé pole šachovnice by mělo být pokryto pouze jednou.) Předpokládejme, že platí opačné („opačné“) tvrzení, tzn. že deska může být pokryta dominou. Každá destička pokrývá jeden černý a jeden bílý čtverec, takže bez ohledu na to, jak jsou kostky domina uspořádány, pokrývají stejný počet černých a bílých čtverců. Protože jsou však odstraněna dvě rohová pole, má šachovnice (která měla původně tolik černých polí jako bílá) o dvě pole jedné barvy více než pole druhé barvy. To znamená, že náš počáteční předpoklad nemůže být pravdivý, protože vede k rozporu. A protože výroky, které si vzájemně odporují, nemohou být zároveň nepravdivé (pokud je jeden z nich nepravdivý, pak platí pravý opak), náš výchozí předpoklad musí být pravdivý, protože předpoklad, který mu odporuje, je nepravdivý; šachovnici se dvěma diagonálně vyříznutými rohovými poli tedy nelze pokrýt dominem. Abychom tedy dokázali určité tvrzení, můžeme předpokládat, že je nepravdivé, a vyvodit z tohoto předpokladu rozpor s nějakým jiným tvrzením, jehož pravdivost je známa.

Vynikajícím příkladem důkazu kontradikcí, který se stal jedním z milníků ve vývoji starořecké matematiky, je důkaz, že není racionálním číslem, tzn. nereprezentovatelné jako zlomek p/q, Kde p A q- celá čísla. Pokud , pak 2 = p 2 /q 2, odkud p 2 = 2q 2. Předpokládejme, že existují dvě celá čísla p A q, pro který p 2 = 2q 2. Jinými slovy, předpokládáme, že existuje celé číslo, jehož druhá mocnina je dvojnásobkem druhé mocniny jiného celého čísla. Pokud některá celá čísla splňují tuto podmínku, pak jedno z nich musí být menší než všechna ostatní. Zaměřme se na nejmenší z těchto čísel. Ať je to číslo p. Od 2 q 2 je sudé číslo a p 2 = 2q 2, pak číslo p 2 musí být sudé. Protože druhé mocniny všech lichých čísel jsou liché, a čtverec p 2 je sudé, což znamená samotné číslo p musí být rovnoměrné. Jinými slovy, číslo p dvakrát větší než nějaké celé číslo r. Protože p = 2r A p 2 = 2q 2, máme: (2 r) 2 = 4r 2 = 2q 2 a q 2 = 2r 2. Poslední rovnost má stejný tvar jako rovnost p 2 = 2q 2, a můžeme opakováním stejné úvahy ukázat, že číslo q je sudé a že existuje takové celé číslo s, Co q = 2s. Ale pak q 2 = (2s) 2 = 4s 2 a od q 2 = 2r 2 docházíme k závěru, že 4 s 2 = 2r 2 nebo r 2 = 2s 2. Získáme tak druhé celé číslo, které splňuje podmínku, že jeho druhá mocnina je dvojnásobkem druhé mocniny druhého celého čísla. Ale pak p nemůže být nejmenším takovým číslem (od r = p/2), i když jsme původně předpokládali, že jde o nejmenší z těchto čísel. Náš počáteční předpoklad je tedy nesprávný, protože vede k rozporu, a proto žádná taková celá čísla neexistují p A q, pro který p 2 = 2q 2 (tedy takové, že ). To znamená, že číslo nemůže být racionální.

Od Euklida do počátku 19. století.

V tomto období se matematika výrazně změnila v důsledku tří inovací.

(1) V procesu vývoje algebry byla vynalezena metoda symbolického zápisu, která umožňovala ve zkrácené formě znázorňovat stále složitější vztahy mezi veličinami. Jako příklad nepříjemností, které by nastaly, kdyby neexistovalo takové „kurzivní psaní“, zkusme slovy vyjádřit vztah ( A + b) 2 = A 2 + 2ab + b 2: „Plocha čtverce se stranou rovnou součtu stran dvou daných čtverců se rovná součtu jejich ploch plus dvojnásobku plochy obdélníku, jehož strany se rovnají stranám dané čtverce."

(2) Tvorba v první polovině 17. století. analytická geometrie, která umožnila zredukovat jakýkoli problém klasické geometrie na nějaký algebraický problém.

(3) Vznik a vývoj infinitezimálního počtu v období 1600 až 1800, který umožnil snadno a systematicky řešit stovky problémů souvisejících s pojmy limita a spojitost, z nichž jen velmi málo bylo vyřešeno velmi obtížně. od starověkých řeckých matematiků. O těchto odvětvích matematiky se podrobněji pojednává v článcích ALGEBRA; ANALYTICKÁ GEOMETRIE; MATEMATICKÁ ANALÝZA ; RECENZE GEOMETRIE.

Od 17. stol. Otázka, která až dosud zůstávala neřešitelná, se postupně vyjasňuje. co je matematika? Před rokem 1800 byla odpověď docela jednoduchá. V té době neexistovaly jasné hranice mezi různými vědami, matematika byla součástí „přírodní filozofie“ – systematického studia přírody pomocí metod navržených velkými reformátory renesance a počátku 17. století. – Galileo (1564–1642), F. Bacon (1561–1626) a R. Descartes (1596–1650). Věřilo se, že matematici mají svůj vlastní obor – čísla a geometrické objekty – a že matematici nepoužívají experimentální metodu. Newton a jeho následovníci však studovali mechaniku a astronomii pomocí axiomatické metody, podobně jako geometrii prezentoval Euklides. Obecněji bylo uznáno, že jakákoli věda, ve které lze výsledky experimentu reprezentovat pomocí čísel nebo číselných soustav, se stává oblastí aplikace matematiky (ve fyzice se tato myšlenka prosadila až v 19. století).

Pole experimentální vědy, které prošly matematickým zpracováním, se často nazývají „aplikovaná matematika“; To je velmi nešťastné jméno, protože ani podle klasických, ani podle moderních standardů v těchto aplikacích existují (v pravém slova smyslu) skutečně matematické argumenty, protože předmětem studia v nich jsou nematematické objekty. Jakmile jsou experimentální data přeložena do řeči čísel nebo rovnic (takovýto „překlad“ často vyžaduje velkou vynalézavost ze strany „aplikovaného“ matematika), je možné široce aplikovat matematické teorémy; výsledek je pak zpětně přeložen a porovnán s pozorováním. Skutečnost, že termín „matematika“ je aplikován na proces tohoto druhu, je jedním ze zdrojů nekonečných nedorozumění. V „klasické“ době, o které nyní mluvíme, tento druh nedorozumění neexistoval, protože stejní lidé byli „aplikovaní“ i „čistí“ matematici, kteří současně pracovali na problémech matematické analýzy nebo teorie čísel a problémech dynamika nebo optika. Zvýšená specializace a tendence oddělovat „čistou“ a „aplikovanou“ matematiku však výrazně oslabily dříve existující tradici univerzality a vědci, kteří stejně jako J. von Neumann (1903–1957) mohli vést aktivní vědeckou práci v obou aplikované a v čisté matematice se staly spíše výjimkou než pravidlem.

Jakou povahu mají matematické objekty – čísla, body, přímky, úhly, plochy atd., jejichž existenci jsme považovali za samozřejmost? Co znamená pojem „pravda“ ve vztahu k takovým objektům? Na tyto otázky byly v klasickém období dány zcela jednoznačné odpovědi. Vědci té doby samozřejmě jasně chápali, že ve světě našich pocitů neexistují věci jako „nekonečně prodloužená přímka“ nebo „bezrozměrný bod“ Euklida, stejně jako neexistují žádné „čisté kovy“, „monochromatické“. světlo“, „tepelně izolované systémy“ atd. .d., které experimentátoři ve svých úvahách provozují. Všechny tyto pojmy jsou „platónské ideje“, tzn. jakési generativní modely empirických konceptů, i když radikálně odlišné povahy. Přesto se mlčky předpokládalo, že fyzické „obrazy“ myšlenek mohou být tak blízké myšlenkám, jak si přejeme. Do té míry, do jaké lze o blízkosti objektů k idejím vůbec něco říci, jsou „ideje“ takříkajíc „omezujícími případy“ fyzických objektů. Z tohoto hlediska vyjadřují Euklidovy axiomy a z nich odvozené věty vlastnosti „ideálních“ objektů, kterým musí odpovídat předvídatelná experimentální fakta. Například měření optickými metodami úhlů trojúhelníku tvořeného třemi body v prostoru by v „ideálním případě“ mělo dát součet rovný 180°. Jinými slovy, axiomy jsou umístěny na stejné úrovni jako fyzikální zákony, a proto je jejich „pravda“ vnímána stejně jako pravda fyzikálních zákonů; těch. logické důsledky axiomů jsou předmětem ověření porovnáním s experimentálními daty. Shody lze samozřejmě dosáhnout pouze v mezích chyby spojené jak s „nedokonalostí“ měřicího přístroje, tak s „nedokonalostí“ měřeného objektu. Vždy se však předpokládá, že pokud jsou zákony „pravdivé“, pak zlepšení v procesech měření mohou v zásadě snížit chybu měření tak, jak je požadováno.

Po celé 18. stol. bylo stále více důkazů, že všechny důsledky získané ze základních axiomů, zejména v astronomii a mechanice, jsou v souladu s experimentálními daty. A protože tyto důsledky byly získány pomocí matematického aparátu, který v té době existoval, dosažené úspěchy přispěly k posílení názoru na pravdivost Euklidových axiomů, která, jak řekl Platón, je „všem jasná“ a není předmětem diskuse.

Pochybnosti a nové naděje.

Neeuklidovská geometrie.

Mezi Eukleidovými postuláty byl jeden tak nezřejmý, že ho i první studenti velkého matematika považovali za slabé místo v systému. Začal. Dotyčný axiom říká, že bodem ležícím mimo danou přímku lze nakreslit pouze jednu přímku rovnoběžnou s danou přímkou. Většina geometrů věřila, že paralelní axiom lze dokázat jinými axiomy a že Euklides formuloval paralelní tvrzení jako postulát jednoduše proto, že nebyl schopen s takovým důkazem přijít. Ale ačkoli se nejlepší matematici snažili vyřešit problém paralel, žádnému z nich se nepodařilo překonat Euklida. Konečně v druhé polovině 18. stol. Byly učiněny pokusy dokázat Euklidův postulát paralel kontradikcí. Bylo navrženo, že paralelní axiom je nepravdivý. A priori by se Euklidův postulát mohl ukázat jako nepravdivý ve dvou případech: pokud není možné nakreslit jedinou rovnoběžnou čáru bodem mimo danou čáru; nebo pokud jím lze protáhnout několik paralelních. Ukázalo se, že první apriorní možnost je vyloučena jinými axiomy. Poté, co matematici přijali nový axiom namísto tradičního axiomu o rovnoběžkách (že bodem vně dané přímky lze vést několik přímek rovnoběžných s danou), pokusili se z něj matematici odvodit tvrzení, které odporovalo jiným axiomům, ale selhalo: ne Jakkoli se snažili vyvodit důsledky z nového „antieuklidovského“ nebo „neeuklidovského“ axiomu, nikdy se neobjevil rozpor. Konečně, nezávisle na sobě, N. I. Lobačevskij (1793–1856) a J. Bolyai (1802–1860) si uvědomili, že Euklidův postulát o paralelách je nedokazatelný, nebo, jinými slovy, v „neeuklidovské geometrii“ se rozpor neobjeví. “

S příchodem neeuklidovské geometrie okamžitě vyvstalo několik filozofických problémů. Vzhledem k tomu, že nárok na apriorní nezbytnost axiomů zmizel, jediným způsobem, jak otestovat jejich „pravdu“, byl experiment. Jak ale později poznamenal A. Poincaré (1854–1912), v popisu jakéhokoli jevu je skryto tolik fyzikálních předpokladů, že ani jeden experiment nemůže poskytnout přesvědčivý důkaz o pravdivosti či nepravdivosti matematického axiomu. Navíc, i když předpokládáme, že náš svět je „neeuklidovský“, vyplývá z toho, že veškerá euklidovská geometrie je nepravdivá? Pokud je známo, žádný matematik se takovou hypotézou nikdy vážně nezabýval. Intuice naznačovala, že euklidovská i neeuklidovská geometrie jsou příklady plnohodnotné matematiky.

Matematické "monstra".

Ke stejným závěrům se nečekaně dospělo z úplně jiného směru – byly objeveny předměty, které šokovaly matematiky 19. století. šokován a nazván „matematickými monstry“. Tento objev přímo souvisí s velmi jemnými problémy matematické analýzy, které se objevily teprve v polovině 19. století. Potíže nastaly při snaze najít přesnou matematickou analogii k experimentálnímu konceptu křivky. Co bylo podstatou konceptu „nepřetržitého pohybu“ (například hrot kreslicího pera pohybující se na listu papíru), podléhalo přesné matematické definici a tohoto cíle bylo dosaženo, když koncept spojitosti získal přísný matematický význam ( cm. Taky KŘIVKA). Intuitivně se zdálo, že „křivka“ v každém ze svých bodů má směr, tzn. v obecném případě se křivka v okolí každého z jejích bodů chová téměř stejně jako přímka. (Na druhou stranu není těžké si představit, že křivka má konečný počet rohových bodů, „uzlů“ jako mnohoúhelník.) Tento požadavek by se dal formulovat matematicky, totiž existence tečny ke křivce byla předpokládal a až do poloviny 19. stol. věřilo se, že „křivka“ má tečnu téměř ve všech svých bodech, snad s výjimkou některých „zvláštních“ bodů. Proto objev „křivek“, které v žádném bodě neměly tečnu, způsobil skutečný skandál ( cm. Taky TEORIE FUNKCE). (Čtenář obeznámený s trigonometrií a analytickou geometrií si může snadno ověřit, že křivka daná rovnicí y = X hřích (1/ X), nemá v počátku tečnu, ale definovat křivku, která nemá tečnu v žádném ze svých bodů, je mnohem obtížnější.)

O něco později byl získán mnohem „patologickější“ výsledek: bylo možné sestrojit příklad křivky, která zcela vyplňuje čtverec. Od té doby byly v rozporu se „zdravým rozumem“ vynalezeny stovky takových „příšer“. Je třeba zdůraznit, že existence takových neobvyklých matematických objektů vyplývá ze základních axiomů stejně striktně a logicky bezchybných jako existence trojúhelníku nebo elipsy. Protože matematická „monstra“ nemohou odpovídat žádnému experimentálnímu objektu a jediným možným závěrem je, že svět matematických „myšlenek“ je mnohem bohatší a neobvyklejší, než by se dalo čekat, a jen velmi málo z nich má shody ve světě našeho pocity. Ale pokud matematická „monstra“ logicky vyplývají z axiomů, mohou být axiomy stále považovány za pravdivé?

Nové objekty.

Výše uvedené výsledky se potvrdily ještě z jedné strany: v matematice, především v algebře, se začaly jeden po druhém objevovat nové matematické objekty, které byly zobecněním pojmu číslo. Obyčejná celá čísla jsou dosti „intuitivní“ a není vůbec těžké dospět k experimentálnímu pojetí zlomku (i když je třeba přiznat, že operace rozdělení jednotky na několik stejných částí a výběr několika z nich je svou povahou odlišná). z procesu počítání). Jakmile se zjistilo, že číslo nelze znázornit zlomkem, byli Řekové nuceni uvažovat iracionální čísla, jejichž správné určení pomocí nekonečné posloupnosti aproximací racionálními čísly patří k nejvyšším výdobytkům lidské mysli. ale sotva odpovídá něčemu skutečnému v našem fyzickém světě (kde je jakékoli měření vždy spojeno s chybami). Přesto k zavedení iracionálních čísel došlo víceméně v duchu „idealizace“ fyzikálních pojmů. Co můžeme říci o záporných číslech, která se pomalu, narážejíc na velký odpor, začala dostávat do vědeckého využití v souvislosti s rozvojem algebry? Se vší jistotou lze konstatovat, že neexistovaly žádné hotové fyzické objekty, z nichž bychom pomocí procesu přímé abstrakce mohli vyvinout koncept záporného čísla, a při výuce kurzu elementární algebry musíme zavést mnoho pomocné a spíše složité příklady (orientované segmenty, teploty, dluhy atd.) pro vysvětlení, co jsou záporná čísla. Tato situace je velmi vzdálená konceptu „každému jasnému“, jak požadoval Platón od myšlenek, které jsou základem matematiky, a často se setkáváme s absolventy vysokých škol, pro které je pravidlo znaků stále záhadou (– A)(–b) = ab. viz takéČÍSLO

Situace je ještě horší u „imaginárních“ nebo „komplexních“ čísel, protože obsahují „číslo“ i, takové, že i 2 = –1, což je jasné porušení pravidla znaménka. Přesto matematici z konce 16. stol. neváhejte provádět výpočty s komplexními čísly, jako by „dávaly smysl“, ačkoli před 200 lety neuměli tyto „objekty“ definovat ani je interpretovat pomocí jakékoli pomocné konstrukce, jako byly například interpretovány pomocí směrovaných segmentů záporných čísel . (Po roce 1800 bylo navrženo několik interpretací komplexních čísel, nejznámější pomocí vektorů v rovině.)

Moderní axiomatika.

Revoluce se odehrála v druhé polovině 19. století. A přestože to nebylo doprovázeno přijetím oficiálních prohlášení, ve skutečnosti šlo o vyhlášení jakési „deklarace nezávislosti“. Přesněji o faktické vyhlášení nezávislosti matematiky na vnějším světě.

Z tohoto pohledu jsou matematické „objekty“, pokud má vůbec smysl o jejich „existenci“ hovořit, čistými výtvory mysli a mají nějaké „souvztažnosti“ a umožňují jakoukoli „interpretaci“ ve fyzickém světě? , pro matematiku je nedůležitá (ačkoli tato otázka je sama o sobě zajímavá).

„Pravdivé“ výroky o takových „objektech“ jsou stejnými logickými důsledky axiomů. Ale nyní by měly být axiomy považovány za zcela libovolné, a proto není třeba, aby byly „zřejmé“ nebo odvoditelné z každodenní zkušenosti prostřednictvím „idealizace“. V praxi je úplná svoboda omezena různými ohledy. „Klasické“ objekty a jejich axiomy samozřejmě zůstávají nezměněny, ale nyní je nelze považovat za jediné objekty a axiomy matematiky a zvyk vyhazovat nebo přepracovávat axiomy se stal součástí každodenní praxe, aby bylo možné používat je různými způsoby, jak tomu bylo při přechodu z euklidovské geometrie na neeuklidovskou. (Tímto způsobem byly získány četné varianty „neeuklidovských“ geometrií, odlišných od euklidovské geometrie a od Lobačevského-Bolyaiovy geometrie; například existují neeuklidovské geometrie, ve kterých nejsou žádné rovnoběžné čáry.)

Chtěl bych zvláště zdůraznit jednu okolnost, která vyplývá z nového přístupu k matematickým „objektům“: všechny důkazy musí být založeny výhradně na axiomech. Pokud si vzpomeneme na definici matematického důkazu, pak se takové tvrzení může zdát opakující se. Nicméně, toto pravidlo bylo zřídka následováno v klasické matematice kvůli "intuitivní" povaze jejích objektů nebo axiomů. Dokonce v Začátky Euklides, přes veškerou jejich zdánlivou „přísnost“, mnoho axiomů není výslovně uvedeno a mnoho vlastností je buď mlčky předpokládáno nebo zavedeno bez dostatečného zdůvodnění. Aby byla euklidovská geometrie postavena na pevný základ, byla nutná kritická revize jejích samotných principů. Sotva stojí za to říkat, že pedantská kontrola nad nejmenšími detaily důkazu je důsledkem výskytu „příšer“, které učily moderní matematiky, aby byli opatrní ve svých závěrech. Nejneškodnější a „samozřejmé“ tvrzení o klasických objektech, například tvrzení, že křivka spojující body umístěné na opačných stranách přímky tuto přímku nutně protíná, vyžaduje v moderní matematice striktní formální důkaz.

Může se zdát paradoxní tvrdit, že právě díky svému dodržování axiomů slouží moderní matematika jako jasný příklad toho, čím by každá věda měla být. Tento přístup však ilustruje charakteristický rys jednoho z nejzákladnějších procesů vědeckého myšlení – získávání přesných informací v situaci neúplného poznání. Vědecké studium určité třídy objektů předpokládá, že rysy, které umožňují odlišit jeden objekt od druhého, jsou záměrně zapomenuty a že jsou zachovány pouze obecné rysy uvažovaných objektů. To, co odlišuje matematiku od obecné škály věd, je přísné dodržování tohoto programu ve všech jeho bodech. Říká se, že matematické objekty jsou zcela určeny axiomy používanými v teorii těchto objektů; nebo, slovy Poincarého, axiomy slouží jako „skryté definice“ objektů, ke kterým se vztahují.

MODERNÍ MATEMATIKA

Ačkoli je teoreticky možná existence jakýchkoli axiomů, dosud bylo navrženo a studováno pouze malé množství axiomů. Obvykle si během vývoje jedné nebo více teorií všimneme, že určité vzory důkazů se opakují za více či méně podobných podmínek. Jakmile jsou vlastnosti používané v obecných důkazních schématech objeveny, jsou formulovány jako axiomy a jejich důsledky jsou zabudovány do obecné teorie, která nemá přímý vztah ke konkrétním kontextům, z nichž byly axiomy abstrahovány. Takto získané obecné věty jsou použitelné pro jakoukoli matematickou situaci, ve které existují systémy objektů, které splňují odpovídající axiomy. Opakování stejných důkazových schémat v různých matematických situacích naznačuje, že máme co do činění s různými specifikacemi téže obecné teorie. To znamená, že po vhodné interpretaci se axiomy této teorie stávají teorémy v každé situaci. Jakákoli vlastnost odvozená z axiomů bude platná ve všech těchto situacích, ale pro každý případ není potřeba samostatný důkaz. V takových případech se říká, že matematické situace sdílejí stejnou matematickou „strukturu“.

Myšlenku struktury používáme na každém kroku v našem každodenním životě. Ukáže-li teploměr 10 °C a předpovědní úřad předpovídá zvýšení teploty o 5 °C, bez jakéhokoli výpočtu očekáváme teplotu 15 °C. Otevřeme-li knihu na straně 10 a budeme požádáni, abychom se podívali o 5 stránek dále , neváháme otevřít na 15. straně, bez počítání mezistránek. V obou případech se domníváme, že sečtením čísel získáte správný výsledek bez ohledu na jejich interpretaci - jako teplotu nebo čísla stránek. Nemusíme se učit jednu aritmetiku pro teploměry a druhou pro čísla stránek (i když při práci s hodinami používáme speciální aritmetiku, ve které je 8 + 5 = 1, protože hodiny mají jinou strukturu než stránky knihy). Struktury, které zajímají matematiky, jsou poněkud složitější, což lze snadno zjistit z příkladů, které jsou diskutovány v následujících dvou částech tohoto článku. Jeden z nich bude hovořit o teorii grup a matematických konceptech struktur a izomorfismů.

Teorie skupin.

Abychom lépe porozuměli výše popsanému procesu, dovolme si nahlédnout do laboratoře moderního matematika a podívat se blíže na jeden z jeho hlavních nástrojů – teorii grup ( cm. Taky ABSTRAKTNÍ ALGEBRA). Skupina je množina (nebo „množina“) objektů G, na kterém je definována operace, která odpovídá libovolným dvěma objektům nebo prvkům A, b z G, převzaté v určeném pořadí (první je prvek A, druhý je prvek b), třetí prvek C z G podle přesně definovaného pravidla. Pro stručnost tento prvek označujeme A*b; Hvězdička (*) označuje operaci skládání dvou prvků. Tato operace, kterou budeme nazývat skupinové násobení, musí splňovat následující podmínky:

(1) pro libovolné tři prvky A, b, C z G vlastnost asociativita platí: A* (b*C) = (A*b) *C;

(2) v G existuje takový prvek E, který pro jakýkoli prvek A z G existuje vztah E*A = A*E = A; tento prvek E nazývaný singulární nebo neutrální prvek skupiny;

(3) pro jakýkoli prvek A z G existuje takový prvek Aў, nazývané reverzní nebo symetrické k prvku A, Co A*Aў = Aў* A = E.

Pokud jsou tyto vlastnosti brány jako axiomy, pak jejich logické důsledky (nezávislé na jakýchkoli jiných axiomech nebo teorémech) společně tvoří to, co se běžně nazývá teorie grup. Odvození těchto důsledků jednou provždy se ukázalo jako velmi užitečné, protože skupiny jsou široce používány ve všech odvětvích matematiky. Z tisíců možných příkladů skupin vybereme jen pár nejjednodušších.

(a) Zlomky p/q, Kde p A q– libovolná celá čísla i1 (s q= 1 dostaneme obyčejná celá čísla). Zlomky p/q vytvořit skupinu pod skupinovým násobením ( p/q) *(r/s) = (pr)/(qs). Vlastnosti (1), (2), (3) vyplývají z axiomů aritmetiky. Opravdu, [( p/q) *(r/s)] *(t/u) = (prt)/(qsu) = (p/q)*[(r/s)*(t/u)]. Jednotkovým prvkem je číslo 1 = 1/1, protože (1/1)*( p/q) = (1H p)/(1H q) = p/q. Nakonec prvek inverzní ke zlomku p/q, je zlomek q/p, protože ( p/q)*(q/p) = (pq)/(pq) = 1.

(b) Považujte za G sada čtyř celých čísel 0, 1, 2, 3 a as A*b- zbytek divize A + b na 4. Výsledky takto zavedené operace jsou uvedeny v tabulce. 1 (prvek A*b stojí na průsečíku čáry A a sloupec b). Je snadné ověřit, že vlastnosti (1)–(3) jsou splněny a prvek identity je číslo 0.

(c) Vyberme jako G sada čísel 1, 2, 3, 4 a as A*b- zbytek divize ab(obyčejný součin) o 5. Výsledkem je tabulka. 2. Je snadné zkontrolovat, zda jsou splněny vlastnosti (1)–(3) a prvek identity je 1.

(d) Čtyři předměty, jako jsou čtyři čísla 1, 2, 3, 4, mohou být uspořádány do řady 24 způsoby. Každé uspořádání lze vizuálně znázornit jako transformaci, která transformuje „přirozené“ uspořádání na dané; například uspořádání 4, 1, 2, 3 vyplývá z transformace

S: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

které lze napsat pohodlnější formou

Pro jakékoli dvě takové transformace S, T určíme S*T jako transformace, která je výsledkem sekvenčního provádění T, a pak S. Například když , tak . S touto definicí tvoří všech 24 možných transformací skupinu; jeho jednotkový prvek je a prvek je inverzní k S, získané nahrazením šipek v definici S k opaku; například pokud , tak .

Je to snadno vidět na prvních třech příkladech A*b = b*A; v takových případech je skupinové nebo skupinové násobení považováno za komutativní. Na druhou stranu v posledním příkladu a proto T*S se liší od S*T.

Skupina z příkladu (d) je speciálním případem tzv. symetrická grupa, jejíž aplikace zahrnují mimo jiné metody řešení algebraických rovnic a chování čar ve spektrech atomů. Skupiny v příkladech (b) a (c) hrají důležitou roli v teorii čísel; v příkladu (b) může být číslo 4 nahrazeno libovolným celým číslem n a čísla od 0 do 3 – čísla od 0 do n– 1 (s n= 12 dostaneme soustavu čísel, která jsou na cifernících hodin, jak jsme uvedli výše); v příkladu (c) může být číslo 5 nahrazeno libovolným prvočíslem R, a čísla od 1 do 4 - čísla od 1 do p – 1.

Struktury a izomorfismus.

Předchozí příklady ukazují, jak různorodá může být povaha objektů, které tvoří skupinu. Ale ve skutečnosti v každém případě všechno sestává ze stejného scénáře: z vlastností množiny objektů bereme v úvahu pouze ty, které z této množiny dělají skupinu (zde je příklad neúplných znalostí!). V takových případech se říká, že uvažujeme o skupinové struktuře dané násobením skupin, které jsme zvolili.

Dalším příkladem struktury je tzv. struktura objednávky. hromada E obdařený strukturou řádu, nebo uspořádaný mezi prvky A è b, patřící E, je dán určitý vztah, který označujeme R (A,b). (Tento vztah musí dávat smysl pro každou dvojici prvků z E, ale obecně je pro některé páry nepravdivé a pro jiné pravdivé, například vztah 7

(1) R (A,A) platí pro všechny A, ve vlastnictví E;

(2) od R (A,b) A R (b,A) to následuje A = b;

(3) od R (A,b) A R (b,C) by měl R (A,C).

Uveďme několik příkladů z velkého množství různorodých uspořádaných sad.

(A) E se skládá ze všech celých čísel R (A,b) – vztah “ A menší nebo stejný b».

(b) E sestává ze všech celých čísel >1, R (A,b) – vztah “ A rozděluje b nebo rovné b».

Jako poslední příklad struktury uveďme strukturu metrického prostoru; taková struktura je definována na množině E, pokud každá dvojice prvků A A b patřící E, můžete číslo porovnat d (A,b) i 0, splňující následující vlastnosti:

(1) d (A,b) = 0 tehdy a jen tehdy A = b;

(2) d (b,A) = d (A,b);

(3) d (A,C) Ј d (A,b) + d (b,C) pro libovolné tři dané prvky A, b, C z E.

Uveďme příklady metrických prostorů:

(a) obyčejný "trojrozměrný" prostor, kde d (A,b) – běžná (nebo „euklidovská“) vzdálenost;

(b) povrch koule, kde d (A,b) – délka nejmenšího oblouku kružnice spojující dva body A A b na kouli;

c) jakýkoli soubor E, pro který d (A,b) = 1 pokud A № b; d (A,A) = 0 pro libovolný prvek A.

Přesná definice pojmu struktura je poměrně obtížná. Aniž bychom zacházeli do podrobností, můžeme to říci o mnoha E struktura určitého typu je specifikována, pokud mezi prvky množiny E(a někdy i jiné objekty, například čísla, která hrají pomocnou roli) jsou specifikovány vztahy, které splňují určitou pevnou sadu axiomů charakterizujících strukturu uvažovaného typu. Výše jsme představili axiomy tří typů struktur. Samozřejmě existuje mnoho dalších typů struktur, jejichž teorie jsou plně rozvinuty.

Mnoho abstraktních konceptů úzce souvisí s konceptem struktury; Jmenujme pouze jeden z nejdůležitějších – koncept izomorfismu. Vzpomeňte si na příklad skupin (b) a (c) uvedený v předchozí části. Je snadné to ověřit z tabulky. 1 ke stolu 2 lze navigovat pomocí párování

0® 1, 1® 2, 2® 4, 3® 3.

V tomto případě říkáme, že tyto grupy jsou izomorfní. Obecně dvě skupiny G A Gў jsou izomorfní, pokud mezi prvky skupiny G a skupinové prvky Gў je možné navázat takovou osobní korespondenci A « Aў, co kdyby C = A*b, Že Cў = Aў* bў pro odpovídající prvky Gў. Jakékoli tvrzení z teorie grup, které platí pro skupinu G, zůstává pro skupinu v platnosti Gў a naopak. Algebraicky grupy G A Gў k nerozeznání.

Čtenář snadno uvidí, že úplně stejným způsobem lze definovat dvě izomorfní uspořádané množiny nebo dva izomorfní metrické prostory. Lze ukázat, že koncept izomorfismu se vztahuje na struktury jakéhokoli typu.

KLASIFIKACE

Staré a nové klasifikace matematiky.

Pojem struktury a další související pojmy zaujaly v moderní matematice ústřední místo, a to jak z čistě „technického“, tak z filozofického a metodologického hlediska. Obecné věty o hlavních typech struktur slouží jako extrémně silné nástroje matematické „techniky“. Kdykoli se matematikovi podaří prokázat, že objekty, které studuje, splňují axiomy určitého typu struktury, dokazuje tím, že všechny teorémy teorie struktury tohoto typu platí pro konkrétní objekty, které studuje (bez těchto obecných teorémů by velmi pravděpodobně minul, ztratil by ze zřetele své konkrétní možnosti nebo by byl nucen zatěžovat své úvahy zbytečnými domněnkami). Podobně, jestliže se prokáže, že dvě struktury jsou izomorfní, pak se počet vět okamžitě zdvojnásobí: každá věta dokázaná pro jednu ze struktur okamžitě dává odpovídající větu pro druhou. Není proto divu, že existují velmi složité a obtížné teorie, například „teorie třídního pole“ v teorii čísel, jejímž hlavním cílem je dokázat izomorfismus struktur.

Z filozofického hlediska ukazuje široké používání struktur a izomorfismů hlavní rys moderní matematiky – skutečnost, že na „povaze“ matematických „objektů“ příliš nezáleží, podstatné jsou pouze vztahy mezi objekty (druh princip neúplných znalostí).

Konečně nelze nezmínit, že koncept struktury umožnil klasifikovat odvětví matematiky novým způsobem. Do poloviny 19. stol. lišily se podle předmětu studie. Aritmetika (nebo teorie čísel) se zabývala celými čísly, geometrie přímkami, úhly, mnohoúhelníky, kružnicemi, plochami atd. Algebra se zabývala téměř výhradně metodami řešení numerických rovnic nebo soustav rovnic, analytická geometrie vyvinula metody pro převod geometrických problémů na ekvivalentní algebraické problémy. Spektrum zájmů dalšího důležitého odvětví matematiky, zvaného „matematická analýza“, zahrnovalo především diferenciální a integrální počet a jejich různé aplikace v geometrii, algebře a teorii sudých čísel. Těchto aplikací přibývalo a rostl i jejich význam, což vedlo k fragmentaci matematické analýzy na podsekce: teorie funkcí, diferenciální rovnice (obyčejné a parciální derivace), diferenciální geometrie, variační počet atd.

Mnohým moderním matematikům tento přístup připomíná historii klasifikace zvířat ranými přírodovědci: kdysi dávno byly mořská želva i tuňák považováni za ryby, protože žili ve vodě a měli podobné rysy. Moderní přístup nás naučil vidět nejen to, co leží na povrchu, ale také se podívat hlouběji a pokusit se rozpoznat základní struktury, které se skrývají za klamným vzhledem matematických objektů. Z tohoto hlediska je důležité studovat nejdůležitější typy konstrukcí. Je nepravděpodobné, že máme k dispozici úplný a definitivní seznam těchto typů; některé z nich byly objeveny v posledních 20 letech a je důvod očekávat v budoucnu nové objevy. Již nyní však rozumíme mnoha základním „abstraktním“ typům struktur. (Jsou „abstraktní“ ve srovnání s „klasickými“ předměty matematiky, i když i ty lze jen stěží nazvat „konkrétními“; jde spíše o míru abstrakce.)

Známé struktury lze klasifikovat podle vztahů, které obsahují, nebo podle jejich složitosti. Na jedné straně je to rozsáhlý blok „algebraických“ struktur, jejichž speciálním případem je např. skupinová struktura; Mezi další algebraické struktury jmenujeme okruhy a pole ( cm. Taky ABSTRAKTNÍ ALGEBRA). Odvětví matematiky zaujaté studiem algebraických struktur se nazývá „moderní algebra“ nebo „algebra abstraktní“, na rozdíl od obyčejné nebo klasické algebry. Do nové algebry byla také zahrnuta významná část euklidovské geometrie, neeuklidovské geometrie a analytické geometrie.

Na stejné úrovni obecnosti jsou další dva bloky struktur. Jedna z nich, nazývaná obecná topologie, zahrnuje teorie typů struktur, jejichž speciálním případem je struktura metrického prostoru ( cm. TOPOLOGIE ; ABSTRAKTNÍ MEZERY). Třetí blok tvoří teorie řádových struktur a jejich rozšíření. „Rozšíření“ struktury spočívá v přidávání nových axiomů ke stávajícím. Pokud například k axiomům grupy přidáme vlastnost komutativnosti jako čtvrtý axiom A*b = b*A, pak dostaneme strukturu komutativní (neboli abelovské) grupy.

Z těchto tří bloků byly poslední dva donedávna v relativně stabilním stavu a blok „moderní algebra“ rychle rostl, někdy neočekávaným směrem (např. se vyvinula celá větev zvaná „homologická algebra“). Mimo tzv Na jiné úrovni leží „čisté“ typy struktur – „smíšené“ struktury, například algebraické a topologické, spolu s novými axiomy, které je spojují. Bylo studováno mnoho takových kombinací, z nichž většina spadá do dvou širokých bloků – „topologická algebra“ a „algebraická topologie“.

Dohromady tyto bloky tvoří velmi podstatnou „abstraktní“ oblast vědy. Mnoho matematiků doufá, že pomocí nových nástrojů lépe porozumí klasickým teoriím a vyřeší obtížné problémy. S patřičnou mírou abstrakce a zobecnění se totiž problémy starověku mohou objevit v novém světle, které umožní nalézt jejich řešení. Obrovské kusy klasického materiálu se dostaly pod vliv nové matematiky a byly transformovány nebo sloučeny s jinými teoriemi. Zůstávají rozsáhlé oblasti, do kterých moderní metody nepronikly tak hluboko. Příklady zahrnují teorii diferenciálních rovnic a hodně z teorie čísel. Je velmi pravděpodobné, že v těchto oblastech bude dosaženo významného pokroku, jakmile budou objeveny a důkladně prostudovány nové typy struktur.

FILOZOFICKÉ OBTÍŽE

Dokonce i staří Řekové jasně chápali, že matematická teorie by měla být bez rozporů. To znamená, že je nemožné odvodit jako logický důsledek z axiomů tvrzení R a jeho popření není P. Protože se však věřilo, že matematické objekty mají korespondence v reálném světě, a axiomy byly „idealizacemi“ přírodních zákonů, nikdo nepochyboval o konzistenci matematiky. Během přechodu od klasické matematiky k moderní matematice nabyl problém konzistence jiného významu. Svoboda volby axiomů jakékoli matematické teorie musí být samozřejmě omezena podmínkou konzistence, ale lze si být jisti, že tato podmínka bude splněna?

Pojem set jsme již zmínili. Tento koncept byl vždy víceméně explicitně používán v matematice a logice. V druhé polovině 19. stol. byla částečně systematizována elementární pravidla pro zacházení s pojmem množina, navíc byly získány některé důležité výsledky, které tvořily obsah tzv. teorie množin ( cm. Taky SET THEORY), která se stala jakoby substrátem všech ostatních matematických teorií. Od starověku do 19. století. panovaly obavy z nekonečných množin, například odrážející se ve slavných paradoxech Zena Eleatského (5. století př. n. l.). Tyto obavy byly částečně metafyzické povahy a částečně způsobené obtížemi spojenými s koncepcí měření veličin (například délky nebo času). Tyto obtíže se podařilo odstranit až po 19. století. základní pojmy matematické analýzy byly přísně definovány. V roce 1895 byly všechny obavy rozptýleny a zdálo se, že matematika spočívá na neotřesitelných základech teorie množin. Ale v příštím desetiletí se objevily nové argumenty, které jakoby ukazovaly na vnitřní nekonzistentnost teorie množin (a zbytku matematiky).

Nové paradoxy byly velmi jednoduché. První z nich, Russellův paradox, lze uvažovat v jednoduché verzi známé jako holičský paradox. V jistém městě holič oholí všechny obyvatele, kteří se neholí sami. Kdo holí sám holič? Pokud se holič oholí sám, oholí nejen ty obyvatele, kteří se neholí sami, ale i jednoho obyvatele, který se holí sám; pokud se neholí on sám, pak neholí všechny obyvatele města, kteří se neholí sami. Paradox tohoto typu vzniká vždy, když se uvažuje o pojmu „množina všech množin“. Ačkoli se tento matematický objekt zdá velmi přirozený, uvažování o něm rychle vede k rozporům.

Berryho paradox je ještě výmluvnější. Zvažte soubor všech ruských frází obsahujících nejvýše sedmnáct slov; Počet slov v ruském jazyce je konečný, takže počet takových frází je konečný. Vyberme z nich ty, které jednoznačně definují nějaké celé číslo, například: „Největší liché číslo menší než deset“. Počet takových frází je také konečný; jimi určená množina celých čísel je tedy konečná. Označme konečnou množinu těchto čísel pomocí D. Z axiomů aritmetiky vyplývá, že existují celá čísla, do kterých nepatří D a že mezi těmito čísly je nejmenší číslo n. Tohle číslo n je jednoznačně definována frází: „Nejmenší celé číslo, které nelze definovat frází skládající se z nejvýše sedmnácti ruských slov.“ Tato fráze ale obsahuje přesně sedmnáct slov. Proto určuje počet n, která by měla patřit D a dostáváme se k paradoxnímu rozporu.

Intuicionisté a formalisté.

Šok způsobený paradoxy teorie množin vyvolal různé reakce. Někteří matematici byli značně odhodlaní a vyslovili názor, že matematika se od samého počátku vyvíjela špatným směrem a měla by být založena na úplně jiném základě. Úhel pohledu takových „intuicionistů“ (jak si začali říkat) není možné přesně popsat, protože odmítli redukovat své názory na čistě logické schéma. Z pohledu intuicionistů je špatné aplikovat logické procesy na intuitivně nereprezentovatelné objekty. Jedinými intuitivně jasnými objekty jsou přirozená čísla 1, 2, 3,... a konečné množiny přirozených čísel, „sestrojené“ podle přesně specifikovaných pravidel. Ale ani na takové předměty intuicionisté nedovolili aplikovat všechny dedukce klasické logiky. To například u žádného výroku neuznali R pravda buď R, nebo ne R. S takto omezenými prostředky se snadno vyhnuli „paradoxům“, ale zároveň hodili přes palubu nejen veškerou moderní matematiku, ale i významnou část výsledků klasické matematiky, a pro ty, které zbyly, bylo nutné najít nové , složitější důkazy.

Naprostá většina moderních matematiků s argumenty intuicionistů nesouhlasila. Neintuicionističtí matematici si všimli, že argumenty používané v paradoxech se výrazně liší od argumentů používaných v běžné matematické práci s teorií množin, a proto by takové argumenty měly být vyloučeny jako nezákonné, aniž by byly ohroženy existující matematické teorie. Dalším pozorováním bylo, že v „naivní“ teorii množin, která existovala před příchodem „paradoxů“, nebyl zpochybňován význam pojmů „množina“, „vlastnost“, „vztah“ – stejně jako v klasické geometrii „intuitivní“ nebyla zpochybňována.povaha běžných geometrických pojmů. V důsledku toho lze jednat stejným způsobem jako v geometrii, totiž odhodit všechny pokusy apelovat na „intuici“ a za výchozí bod teorie množin vzít systém přesně formulovaných axiomů. Není však zřejmé, jak mohou být slova jako „vlastnictví“ nebo „vztah“ zbavena svého běžného významu; přesto to musíme udělat, chceme-li vyloučit takové argumenty, jako je Berryho paradox. Metoda spočívá v upuštění od používání běžného jazyka při formulování axiomů nebo teorémů; pouze výroky konstruované v souladu s explicitním systémem rigidních pravidel jsou v matematice povoleny jako „vlastnosti“ nebo „vztahy“ a vstupují do formulace axiomů. Tento proces se nazývá „formalizace“ matematického jazyka (aby nedocházelo k nedorozuměním plynoucím z nejednoznačností běžného jazyka, doporučuje se jít ještě o krok dále a nahradit samotná slova speciálními symboly ve formalizovaných větách, například nahrazením spojovacího výrazu "a" se symbolem &, spojovacím výrazem "nebo" - se symbolem b, "existuje" se symbolem $ atd.). Matematici, kteří odmítli metody navrhované intuicionisty, začali být nazýváni „formalisty“.

Původní otázka však nebyla nikdy zodpovězena. Je „axiomatická teorie množin“ bez rozporů? Nové pokusy dokázat konzistenci „formalizovaných“ teorií učinil ve 20. letech 20. století D. Hilbert (1862–1943) a jeho škola a byly nazvány „metamathematika“. Metamatematika je v podstatě odvětvím „aplikované matematiky“, kde objekty, na které je aplikováno matematické uvažování, jsou návrhy formalizované teorie a jejich uspořádání v důkazech. Tyto věty je třeba považovat pouze za věcné kombinace symbolů vytvořené podle určitých zavedených pravidel, bez jakéhokoli odkazu na možný „význam“ těchto symbolů (pokud existují). Dobrou analogií je šachová hra: symboly odpovídají figurkám, věty odpovídají různým pozicím na šachovnici a logické závěry odpovídají pravidlům pohybu figurek. Ke stanovení konzistence formalizované teorie postačí ukázat, že v této teorii ani jeden důkaz nekončí tvrzením 0 č. 0. Proti použití matematických argumentů v „metamatematickém“ důkazu však lze vznést námitku. konzistentnosti matematické teorie; pokud by matematika byla nekonzistentní, pak by matematické argumenty ztratily veškerou sílu a ocitli bychom se v situaci začarovaného kruhu. Aby odpověděl na tyto námitky, Hilbert dovolil velmi omezené matematické uvažování typu, který intuicionisté považují za přijatelné pro použití v metamatematice. K. Gödel však brzy ukázal (1931), že konzistentnost aritmetiky nelze takto omezenými prostředky prokázat, pokud je skutečně konzistentní (rozsah tohoto článku nám nedovoluje nastínit důmyslnou metodu, kterou bylo dosaženo tohoto pozoruhodného výsledku, a následná historie metamatematiky).

Shrneme-li současnou problematickou situaci z formalistického hlediska, musíme přiznat, že ještě zdaleka není u konce. Použití konceptu množiny bylo omezeno výhradami, které byly specificky zavedeny, aby se předešlo známým paradoxům, a neexistuje žádná záruka, že v axiomatizované teorii množin nevzniknou nové paradoxy. Nicméně omezení axiomatické teorie množin nezabránila zrodu nových životaschopných teorií.

MATEMATIKA A SKUTEČNÝ SVĚT

Navzdory tvrzením o nezávislosti matematiky nikdo nebude popírat, že matematika a fyzikální svět spolu souvisí. Samozřejmě zůstává v platnosti matematický přístup k řešení problémů klasické fyziky. Je také pravda, že ve velmi důležité oblasti matematiky, konkrétně v teorii diferenciálních rovnic, obyčejných a parciálních derivací, je proces vzájemného obohacování fyziky a matematiky poměrně plodný.

Matematika je užitečná při interpretaci jevů mikrosvěta. Nové „aplikace“ matematiky se však od těch klasických výrazně liší. Jedním z nejdůležitějších nástrojů fyziky se stala teorie pravděpodobnosti, která se dříve využívala především v teorii hazardu a pojišťovnictví. Matematické objekty, které fyzici spojují s „atomovými stavy“ nebo „přechody“, jsou velmi abstraktní povahy a byly zavedeny a studovány matematiky dlouho před příchodem kvantové mechaniky. Nutno dodat, že po prvních úspěších přišly vážné potíže. Stalo se to v době, kdy se fyzici pokoušeli aplikovat matematické myšlenky na jemnější aspekty kvantové teorie; Přesto se mnoho fyziků stále dívá s nadějí na nové matematické teorie a věří, že jim pomohou vyřešit nové problémy.

Je matematika věda nebo umění?

I když do „čisté“ matematiky zahrneme teorii pravděpodobnosti nebo matematickou logiku, ukazuje se, že méně než 50 % známých matematických výsledků je v současnosti využíváno jinými vědami. Co si máme myslet o zbývající polovině? Jinými slovy, jaké jsou motivy těch oblastí matematiky, které nesouvisejí s řešením fyzikálních problémů?

Již jsme zmínili iracionalitu čísla jako typického představitele tohoto druhu vět. Dalším příkladem je věta dokázaná J.-L. Lagrangeem (1736–1813). Není snad matematika, který by to nenazval „důležitým“ nebo „krásným“. Lagrangeův teorém říká, že jakékoli celé číslo větší nebo rovné jedné může být reprezentováno jako součet druhých mocnin nejvýše čtyř čísel; například 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2. Za současného stavu věcí je nepředstavitelné, že by tento výsledek mohl být užitečný při řešení jakéhokoli experimentálního problému. Je pravda, že fyzici se dnes zabývají celými čísly mnohem častěji než v minulosti, ale celá čísla, se kterými operují, jsou vždy omezená (zřídka překročí několik stovek); proto může být teorém jako Lagrangeův „užitečný“ pouze tehdy, pokud je aplikován na celá čísla v rámci nějaké hranice. Jakmile však omezíme formulaci Lagrangeovy věty, okamžitě přestane být pro matematika zajímavá, protože veškerá přitažlivá síla této věty spočívá v její použitelnosti na všechna celá čísla. (Existuje velké množství tvrzení o celých číslech, která mohou být ověřena počítači pro velmi velká čísla; ale protože nebyl nalezen žádný obecný důkaz, zůstávají hypotetická a profesionální matematiky nezajímají.)

Zaměření se na témata vzdálená bezprostředním aplikacím není pro vědce pracující v jakékoli oblasti, ať už jde o astronomii nebo biologii, neobvyklé. Nicméně, zatímco experimentální výsledek může být upřesněn a vylepšen, matematický důkaz je vždy nezvratný. Proto je těžké odolat pokušení považovat matematiku nebo alespoň tu její část, která nemá žádný vztah k „realitě“, za umění. Matematické problémy nejsou vnucovány zvenčí, a pokud se podíváme na moderní hledisko, jsme zcela svobodní ve výběru materiálu. Při hodnocení některých matematických prací nemají matematici „objektivní“ kritéria a jsou nuceni spoléhat se na svůj vlastní „vkus“. Chutě se velmi liší v závislosti na době, zemi, tradicích a jednotlivcích. V moderní matematice existují módy a „školy“. V současné době existují tři takové „školy“, které pro pohodlí budeme nazývat „klasicismus“, „modernismus“ a „abstrakce“. Abychom lépe porozuměli rozdílům mezi nimi, pojďme analyzovat různá kritéria, která matematici používají při hodnocení věty nebo skupiny vět.

(1) Podle obecného mínění by měl být „krásný“ matematický výsledek netriviální, tzn. nemělo by být zřejmým důsledkem axiomů nebo dříve dokázaných teorémů; důkaz musí používat nějaký nový nápad nebo chytře aplikovat staré myšlenky. Jinými slovy, pro matematika není důležitý výsledek samotný, ale proces překonávání obtíží, se kterými se při jeho získávání setkal.

(2) Každý matematický problém má svou vlastní historii, takříkajíc „rodokmen“, který sleduje stejný obecný vzorec, podle kterého se vyvíjejí dějiny jakékoli vědy: po prvních úspěších může uplynout určitý čas, než bude odpověď na otázku položená otázka je nalezena. Když se dostane řešení, příběh tím nekončí, protože začínají známé procesy rozšiřování a zobecňování. Například výše zmíněná Lagrangeova věta vede k otázce reprezentace libovolného celého čísla jako součtu krychlí, čtvrté, páté mocniny atd. Tak vzniká „problém Waring“, který ještě nemá konečné řešení. Navíc, pokud budeme mít štěstí, ukáže se, že problém, který řešíme, souvisí s jednou nebo více základními strukturami, a to zase povede k novým problémům souvisejícím s těmito strukturami. I když původní teorie nakonec zemře, obvykle po sobě zanechá četné živé výhonky. Moderní matematici se potýkají s tak velkým množstvím problémů, že i kdyby byla veškerá komunikace s experimentální vědou přerušena, jejich řešení by trvalo několik dalších století.

(3) Každý matematik bude souhlasit s tím, že když se před ním objeví nový problém, je jeho povinností jej vyřešit všemi možnými prostředky. Pokud se problém týká klasických matematických objektů (klasici se jen zřídka zabývají jinými typy objektů), klasici se jej snaží řešit pouze klasickými prostředky, zatímco jiní matematici zavádějí „abstraktnější“ struktury, aby mohli použít obecné věty relevantní pro daný úkol. Tento rozdíl v přístupu není nový. Od 19. stol. matematici se dělí na „taktiky“, kteří se snaží najít čistě násilné řešení problému, a „stratégy“, kteří jsou náchylní ke kruhovým objezdům, které umožňují rozdrtit nepřítele malými silami.

(4) Podstatným prvkem „krásy“ věty je její jednoduchost. Samozřejmě, že hledání jednoduchosti je charakteristické pro veškeré vědecké myšlení. Ale experimentátoři jsou připraveni smířit se s „ošklivými řešeními“, pokud je vyřešen pouze problém. Stejně tak v matematice se klasicisté a abstrakcionisté příliš nezabývají výskytem „patologických“ výsledků. Na druhé straně modernisté jdou tak daleko, že ve výskytu „patologií“ teorie vidí symptom naznačující nedokonalost základních pojmů.

Mathematical Encyclopedia - referenční publikace o všech odvětvích matematiky. Encyklopedie je založena na přehledových článcích věnovaných nejdůležitějším oblastem matematiky. Hlavním požadavkem na články tohoto typu je možná úplnost přehledu o současném stavu teorie s maximální dostupností prezentace; Tyto články jsou obecně přístupné starším studentům matematiky, postgraduálním studentům a specialistům v příbuzných oborech matematiky a v určitých případech i specialistům v jiných oborech, kteří ve své práci využívají matematické metody, inženýrům a učitelům matematiky. Dále jsou poskytovány středně velké články o jednotlivých specifických problémech a metodách matematiky; Tyto články jsou určeny užší čtenářské obci, a proto mohou být hůře dostupné. Dalším typem článku jsou stručné odkazy a definice. Některé definice jsou uvedeny v prvních dvou typech článků. Většina článků Encyklopedie je doplněna bibliografií s pořadovými čísly u každého titulu, což umožňuje jejich citaci v textech článků. Na konci článků (zpravidla) je uveden autor nebo zdroj, pokud byl článek již dříve publikován (především se jedná o články ve Velké sovětské encyklopedii). Jména zahraničních (kromě starověkých) vědců zmíněná v článcích jsou doplněna latinským pravopisem (pokud neexistuje odkaz na seznam literatury).

Princip řazení článků v Encyklopedii je abecední. Pokud je název článku termínem, který má synonymum, pak se toto synonymum uvádí za hlavním. V mnoha případech se názvy článků skládají ze dvou nebo více slov. V těchto případech jsou termíny uvedeny buď ve své nejběžnější podobě, nebo je na prvním místě uvedeno slovo s nejdůležitějším významem. Pokud název článku obsahuje vlastní jméno, umístí se na první místo (seznam odkazů na takové články zpravidla obsahuje primární zdroj vysvětlující název výrazu). Názvy článků jsou uváděny především v jednotném čísle.

Encyklopedie hojně využívá systém odkazů na další články, kde čtenář najde doplňující informace k uvažovanému tématu. Definice neobsahuje odkaz na termín uvedený v názvu článku.

Aby se ušetřilo místo, články používají obvyklé zkratky některých slov pro encyklopedie.

Pracovalo se na svazku 1

Matematická redakční rada nakladatelství "Sovětská encyklopedie" - V. I. BITYUTSKOV (vedoucí redakce), M. I. VOITSEKHOVSKY (vědecký redaktor), Yu. A. GORBKOV (vědecký redaktor), A. B. IVANOV (hlavní vědecký redaktor), O A. IVANOVA (senior vědecký redaktor), T. Y. POPOVA (vědecký redaktor), S. A. RUKOVA (hlavní vědecký redaktor), E. G. SOBOLEVSKAYA (redaktor), L. V. SOKOLOVA (starší redaktor), L. R. HABIB (starší redaktor).

Pracovníci nakladatelství: E. P. RYABOVÁ (literární redakce). E. I. ZHAROVÁ, A. M. MARTYNOV (bibliografie). A. F. DALKOVSKAYA (přepis). N. A. FEDOROVÁ (oddělení akvizice). 3. A. SUKHOVÁ (edice ilustrací). E. I. ALEXEEVA, N. Y. KRUŽHALOVA (redaktorka slovníku). M. V. AKIMOVÁ, A. F. PROŠKO (korektor). G. V. SMIRNOVA (technické vydání).

Obálka od umělce R.I. MALANICHEV.

Další informace o svazku 1

Nakladatelství "Sovětská encyklopedie"

Encyklopedie, slovníky, příručky

Vědecká a redakční rada nakladatelství

A. M. PROKHOROV (předseda), I. V. ABASHIDZE, P. A. AZIMOV, A. P. ALEXANDROV, V. A. AMBARTSUMYAN, I. I. ARTOBOLEVSKIJ, A. V. ARTSIKHOVSKY, M. S. ASIMOV, M. P. BAZAGOOV, V. V. BAZAHAN. , P. U. BROVKA, Y. V. BROMLEY, B. E. BYKHOVSKY, V. X. VASILENKO , L M. VOLODARSKY, V. V. VOLSKY, B. M. VUL, B. G. GAFUROV, S. R. GERSHBERG, M. S. GILYAROV, V. P. GLUSHKO, V. M. GLUSHKOV, G. N GOLIKOV, D. B. GULIEV, E.ANODeputy, A. V. GUSEV. M. ŽUKOV , A. A. IMSHENETSKY, N. N. INOZEMTSEV, M A. I. KABACHNIK, S. V. KALESNIK, G. A. KARAVAEV, K. K. KARAKEEV, M. K. KARATAEV, B. M. FEDROV, G. V. KELDYSH, V. A. LKOVANTY KIRILLIN., předseda. KONSTANTINOV, V. N. KUDRYAVCEV , M. I. KUZNETSOV (místopředseda), B. V. KUKARKIN, V. G. KULIKOV, I. A. KUTUZOV, P. P. LOBANOV, G. M. LOZA, Y. E. MAKSAREV, P. A. MARKOV, A. I. NAKUŠEVICH, D. D., GOB, Y. IMATINCH.. V. M. POLEVOY, M. A. PROKOFIEV, Y. V. PROCHOROV, N. F. ROSTOVTSEV, A. M. RUMYANTSEV, B. A. RYBAKOV, V. P. SAMSON, M. I. SLADKOVSKIJ, V. I. SMIRNOV, D. N. SOLOVIEV (místopředseda), V. N. A. S., V. S., V. S., V. SURKOV, M. L. TERENTYEV, S. A. TOKAREV, V. A. TRAPEZNIKOV, E. K. FEDOROV, M. B. KHRAPCHENKO, E. I. CHAZOV, V. N. CHERNIGOVSKY, Y. E. SHMUSHKIS, S. I. YUTKEVICH. Tajemník Rady L.V. KIRILLOVA.

Moskva 1977

Matematická encyklopedie. Svazek 1 (A - D)

Odpovědný redaktor I. M. VINOGRADOV

Redakční tým

S. I. ADYAN, P. S. ALEXANDROV, N. S. BAKHVALOV, V. I. BITYUTSKOV (zástupce šéfredaktora), A. V. BITSADZE, L. N. BOLSHEV, A. A. GONCHAR, N. V EFIMOV, V. A. ILYARTS, A. L. A. K. K.. K. MARZHANISHVILI, E. F. MISHCHENKO, S. P. NOVIKOV, E. G. POZNYAK, Y. V. PROKHOROV (zástupce šéfredaktora), A. G. SVESHNIKOV, A. N. TIKHONOV, P. L. ULYANOV, A. I. SHIRSHOV, S. V. YABLONSKY

Matematická encyklopedie. Ed. deska: I. M. Vinogradov (hlavní redaktor) [a další] T. 1 - M., “Sovětská encyklopedie”, 1977

(Encyklopedie. Slovníky. Příručky), díl 1. A - G. 1977. 1152 stb. z iluze.

Předáno k sazbě 9. června 1976. Podepsáno k tisku 18. února 1977. Tisk textu z matric vyrobených v První modelářské tiskárně pojmenované po. A. A. Ždanová. Řád rudého praporu práce nakladatelství "Sovětská encyklopedie". 109817. Moskva, Zh - 28, Pokrovsky Boulevard, 8. T - 02616 Náklad 150 000 výtisků. Obj. č. 418. Tiskový papír č. 1. Formát papíru 84xl08 1/14. Svazek 36 fyzický. p.l. ; 60, 48 konvenční p.l. text. 101, 82 akademických. - ed. l. Cena knihy je 7 rublů. 10 k.

Řád Rudého praporu práce Moskevská tiskárna č. 1 "Sojuzpoligrafproma" pod Státním výborem Rady ministrů SSSR pro vydavatelství, tisk a obchod s knihami, Moskva, I - 85, Prospekt Mira, 105. Objednávka č. 865.

Matematická encyklopedie

Matematická encyklopedie- Sovětská encyklopedická publikace v pěti svazcích věnovaných matematickým tématům. Vydalo v roce 1985 nakladatelství "Sovětská encyklopedie". Odpovědný redaktor: akademik I. M. Vinogradov.

Toto je základní ilustrovaná publikace o všech hlavních odvětvích matematiky. Kniha představuje rozsáhlý materiál k tématu, životopisy slavných matematiků, kresby, grafy, tabulky a schémata.

Celkový objem: cca 3000 stran. Distribuce článků podle objemu:

Svazek 1: Abacus - Huygensův princip, 576 stran.
Svazek 2: D'Alembert operator - Co-op hra, 552 stran.
Svazek 3: Souřadnice - Monomiální, 592 stran.
Svazek 4: Eye of the Theorem - Komplexní funkce, 608 stran.
Svazek 5: Náhodná proměnná - buňka, 623 stran.
Příloha ke svazku 5: rejstřík, seznam zaznamenaných překlepů.

Odkazy

Obecné a speciální příručky a encyklopedie o matematice na portálu „Svět matematických rovnic“, kde si můžete encyklopedii stáhnout v elektronické podobě.

Kategorie:

Knihy v abecedním pořadí
Matematická literatura
Encyklopedie
Knihy z nakladatelství "Sovětská encyklopedie"
Encyklopedie SSSR

Nadace Wikimedia. 2010.

Matematická chemie
Matematické základy kvantové mechaniky

Podívejte se, co je "Matematická encyklopedie" v jiných slovnících:

Matematická logika- (teoretická logika, symbolická logika) obor matematiky, který studuje důkazy a otázky základů matematiky. "Předmět moderní matematické logiky je rozmanitý." Podle definice P. S. Poretského „matematická ... ... Wikipedie

Encyklopedie- (nová latinská encyklopedie (ne dříve než v 16. století) z jiných řeckých ἐγκύκλιος παιδεία „učení v celém kruhu“, κύκλος kruh a παιδεία učení/paideia) zavedená do systému o ... Wikipedia

ENCYKLOPEDIE- (z řeckého enkyklios paideia školení v celém rozsahu znalostí), vědecký. nebo vědecký populární referenční publikace obsahující systematizované informace. soubor znalostí. Materiál v E. je uspořádán abecedně nebo systematicky. princip (podle oborů vědění).... ... Přírodní věda. encyklopedický slovník

MATEMATICKÁ LOGIKA- jedno ze jmen moderní logiky, které se objevilo ve druhém. podlaha. 19 start 20. století nahradit tradiční logiku. Termín symbolická logika se také používá jako jiný název pro moderní etapu vývoje vědy o logice. Definice…… Filosofická encyklopedie

MATEMATICKÉ NEKONEČNO- obecný název pro rozklad. implementace myšlenky nekonečna v matematice. I když mezi významy pojmu M. b. a další významy, ve kterých se termín nekonečno používá, neexistuje žádná tvrdá hranice (protože všechny tyto pojmy nakonec odrážejí velmi ... ... Filosofická encyklopedie

MATEMATICKÁ INDUKCE- úplná matematická indukce (v matematice se často nazývá jednoduše úplná indukce; v tomto případě je třeba tento pojem odlišit od pojmu úplná indukce uvažovaného v nematematické formální logice), - metoda dokazování obecných tvrzení v ... . .. Filosofická encyklopedie

MATEMATICKÁ HYPOTÉZA- předpokládaná změna tvaru, typu, charakteru rovnice vyjadřující zákonitost studované oblasti jevů s cílem rozšířit ji na novou, dosud neprobádanou oblast jako inherentní zákon. M. g. je široce používán v moderní době. teoretické...... Filosofická encyklopedie

MATEMATICKÁ ŠKOLA V POLITICKÉ EKONOMICE- Angličtina matematická škola v politické ekonomii; Němec Matematická škola v politickém regionu Okonomie. Směr v politice, ekonomice, který vznikl v druhé polovině 19. století, udávali představitelé (L. Walras, V. Pareto, O. Jevons aj.) ... ... Encyklopedie sociologie

MATEMATICKÁ ŠKOLA V SOCIOLOGII- Angličtina matematická škola v sociologii; Němec mathematische Schule in der Soziologie. Trend v sociologii, který vznikl v první polovině 20. století, zakladatelé sociologie (A. Zipf, E. Dodd atd.) věřili, že teorie sociologa dosahují úrovně... ... Encyklopedie sociologie

Matematický model budov a konstrukcí- Matematický (počítačový) model budov a konstrukcí - znázornění budov a konstrukcí ve formě diagramu konečných prvků pro provádění numerických výpočtů při řešení souboru problémů vznikajících při navrhování, výstavbě a... ... Encyklopedie pojmů, definic a vysvětlení stavebních materiálů

knihy

Matematická encyklopedie (soubor 5 knih), . Mathematical Encyclopedia - praktická referenční publikace o všech odvětvích matematiky. Encyklopedie je založena na článcích věnovaných nejdůležitějším oblastem matematiky. Princip umístění...

Stáhněte si knihu Matematická encyklopedie v 5 svazcích zcela zdarma.

Chcete-li si zdarma stáhnout knihu ze služeb hostování souborů, klikněte na odkazy bezprostředně za popisem bezplatné knihy.

Vážení čtenáři, pokud vám to nevyšlo

Stáhnout Matematická encyklopedie v 5 svazcích

napište o tom do komentářů a my vám určitě pomůžeme.

Doufáme, že se vám kniha líbila a že jste si ji užili. Jako poděkování můžete zanechat odkaz na naše stránky na fóru nebo blogu :) Elektronická kniha Matematická encyklopedie v 5 svazcích je poskytována pouze k recenzi před zakoupením papírové knihy a není konkurencí tištěných publikací.