Co je aritmetika a jak se liší od matematiky? Význam slova "aritmetický" Hra "Rychlé sčítání"

Těhotenství

Od starověku se práce s čísly dělila do dvou různých oblastí: jedna se týkala přímo vlastností čísel, druhá byla spojena s počítacími technikami. „Aritmetikou“ se v mnoha zemích obvykle míní tento druhý obor, který je nepochybně nejstarším odvětvím matematiky.

Největším problémem starověkých kalkulaček byla zřejmě práce se zlomky. To lze vidět z Ahmesova papyru (také nazývaného Rhindův papyrus), staroegyptské práce o matematice pocházející z doby kolem roku 1650 př.nl. Všechny zlomky uvedené v papyru, s výjimkou 2/3, mají čitatele rovné 1. Obtížnost manipulace se zlomky je patrná i při studiu starobabylonských klínopisných tabulek. Staří Egypťané i Babyloňané zřejmě prováděli výpočty pomocí nějaké formy počítadla. Věda o číslech se významně rozvinula mezi starověkými Řeky počínaje Pythagorasem, kolem roku 530 př.nl. Pokud jde o samotnou technologii výpočtu, mnohem méně toho v této oblasti udělali Řekové.

Pozdější Římané naopak do vědy o číslech prakticky nepřispěli, ale na základě potřeb rychle se rozvíjející výroby a obchodu zdokonalili počítadlo jako počítací zařízení. O původu indické aritmetiky je známo jen velmi málo. Došlo k nám pouze několik pozdějších prací o teorii a praxi číselných operací, které byly napsány poté, co byl indický poziční systém vylepšen přidáním nuly. Kdy přesně k tomu došlo, to nevíme jistě, ale právě tehdy byly položeny základy našich nejběžnějších aritmetických algoritmů.

Indický číselný systém a první aritmetické algoritmy si vypůjčili Arabové. Nejstarší dochovanou učebnici arabské aritmetiky napsal al-Chwarizmi kolem roku 825. Rozsáhle využívá a vysvětluje indické číslice. Tato učebnice byla později přeložena do latiny a měla významný vliv na západní Evropu. Zkomolená verze jména al-Khwarizmi se k nám dostala ve slově „algorismus“, které se po dalším smíchání s řeckým slovem arytmus se stal termínem „algoritmus“.

Indoarabská aritmetika se stala známou v západní Evropě především díky práci L. Fibonacciho Kniha počítadla (Liber abaci, 1202). Metoda Abacist nabízela zjednodušení podobná použití našeho pozičního systému, alespoň pro sčítání a násobení. Abacisty byly nahrazeny algoritmy, které používaly nulu a arabskou metodu dělení a extrakce odmocniny. Jedna z prvních učebnic aritmetiky, jejíž autor je nám neznámý, vyšla v Trevisu (Itálie) v roce 1478. Zabývala se výpočty při provádění obchodních transakcí. Tato učebnice se stala předchůdcem mnoha učebnic aritmetiky, které se objevily později. Do počátku 17. stol. V Evropě vyšlo více než tři sta takových učebnic. Aritmetické algoritmy byly během této doby výrazně vylepšeny. V 16.–17. stol. Objevily se symboly pro aritmetické operace jako =, +, -, ґ, ё a .

Mechanizace aritmetických výpočtů.

S rozvojem společnosti rostla i potřeba rychlejších a přesnějších výpočtů. Tato potřeba dala vzniknout čtyřem pozoruhodným vynálezům: indoarabským číslicím, desetinným číslům, logaritmům a moderním počítačům.

Ve skutečnosti nejjednodušší počítací zařízení existovala před příchodem moderní aritmetiky, protože ve starověku se na počítadle prováděly elementární aritmetické operace (v Rusku se k tomuto účelu používaly počítadla). Za nejjednodušší moderní výpočetní zařízení lze považovat logaritmické pravítko, které se skládá ze dvou logaritmických stupnic klouzajících po sobě, což umožňuje násobení a dělení součtem a odečítáním segmentů stupnic. Za vynálezce prvního mechanického sčítacího stroje je považován B. Pascal (1642). Později ve stejném století G. Leibniz (1671) v Německu a S. Moreland (1673) v Anglii vynalezli stroje pro provádění násobení. Tyto stroje se staly předchůdci stolních počítačů (aritmometrů) 20. století, které umožňovaly rychle a přesně provádět operace sčítání, odčítání, násobení a dělení.

V roce 1812 začal anglický matematik C. Babbage vytvářet návrh stroje na počítání matematických tabulek. Přestože práce na projektu pokračovaly řadu let, zůstal nedokončen. Přesto Babbageho projekt posloužil jako podnět k vytvoření moderních elektronických počítačů, jejichž první příklady se objevily kolem roku 1944. Rychlost těchto strojů byla úžasná: s jejich pomocí bylo možné během minut či hodin vyřešit problémy, které dříve vyžadovaly mnoho let nepřetržitých výpočtů i s využitím sčítacích strojů.

Kladná celá čísla.

Nechat A A B jsou dvě konečné množiny, které nemají žádné společné prvky, a nech A obsahuje n prvky a B obsahuje m Prvky. Pak mnoho S, skládající se ze všech prvků sad A A B, vzato dohromady, je konečná množina obsahující řekněme s Prvky. Například pokud A skládá se z prvků ( A, b, C), spoustu V– z prvků ( X, y), pak sadu S=A+B a skládá se z prvků ( A, b, C, X, y). Číslo s volal množstvíčísla n A m a napíšeme to takto: s = n + m. V tomto záznamu čísla n A m jsou nazývány podmínky, operace zjištění součtu – přidání. Operační symbol "+" se čte jako "plus". hromada P, skládající se ze všech uspořádaných dvojic, ve kterých je vybrán první prvek ze sady A, a druhý je ze sady B, je konečná množina obsahující např. p Prvky. Pokud jako dříve např. A = {A, b, C}, B = {X, y), Že P=AґB = {(A,X), (A,y), (b,X), (b,y), (C,X), (C,y)). Číslo p volal prácečísla A A b a napíšeme to takto: p = aґb nebo p = a×b. Čísla A A b v díle se nazývají multiplikátory, operace vyhledání produktu – násobení. Operační symbol ґ se čte jako „násobeno“.

Lze ukázat, že z těchto definic vyplývají následující základní zákony sčítání a násobení celých čísel:

- zákon komutativního sčítání: a + b = b + a;

– zákon asociativního sčítání: A + (b + C) = (A + b) + C;

- zákon komutativního násobení: Aґb = bґA;

- zákon asociace násobení: Aґ(bґC) = (Aґb)ґC;

- zákon distributivity: Aґ(b + C)= (Aґb) + (AґC).

Li A A b– dvě kladná celá čísla a pokud existuje kladné celé číslo C, takové, že a = b + c, pak to říkáme A více b(je to napsáno takto: a>b), nebo co b méně A(je to napsáno takto: b). Pro libovolná dvě čísla A A b platí jeden ze tří vztahů: buď a = b nebo a>b nebo A.

První dva základní zákony říkají, že součet dvou nebo více členů nezávisí na tom, jak jsou seskupeny nebo v jakém pořadí jsou uspořádány. Podobně ze třetího a čtvrtého zákona vyplývá, že součin dvou nebo více faktorů nezávisí na tom, jak jsou faktory seskupeny nebo jaké je jejich pořadí. Tato fakta jsou známá jako „zobecněné zákony komutativnosti a asociativnosti“ sčítání a násobení. Z nich vyplývá, že při zápisu součtu více členů nebo součinu více činitelů nezáleží na pořadí členů a činitelů a závorky lze vynechat.

Zejména opakované množství a + a + ... + a z n podmínky se rovná nґA. Opakovaná práce AґAґ ... ґA z n Dohodli jsme se na označení faktorů a n; číslo A volal základ a číslo n – indikátor opakování produktu, samotná opakovaná práce – n-tá sílačísla A. Tyto definice nám umožňují stanovit následující základní zákony pro exponenty:

Další důležitý důsledek definic: Aґ1 = A pro libovolné celé číslo A a 1 je jediné celé číslo, které má tuto vlastnost. Volá se číslo 1 jednotka.

Dělitelé celých čísel.

Li A, b, C– celá čísla a Aґb = c, Že A A b jsou dělitelé čísla C. Protože Aґ1 = A pro libovolné celé číslo A, dojdeme k závěru, že 1 je dělitelem libovolného celého čísla a že jakékoli celé číslo je dělitelem sebe sama. Libovolný celočíselný dělitel A, odlišný od 1 resp A, dostal jméno správný dělitelčísla A.

Zavolá se jakékoli celé číslo jiné než 1, které nemá vlastní dělitele prvočíslo. (Příkladem prvočísla je číslo 7.) Volá se celé číslo, které má své vlastní dělitele složené číslo. (Například číslo 6 je složené, protože 2 dělí 6.) Z výše uvedeného vyplývá, že množina všech celých čísel je rozdělena do tří tříd: jednička, prvočísla a složená čísla.

V teorii čísel existuje velmi důležitá věta, která říká, že „jakékoli celé číslo může být reprezentováno jako součin prvočísel a až do pořadí faktorů je taková reprezentace jedinečná“. Tato věta je známá jako „základní aritmetický teorém“. Ukazuje, že prvočísla slouží jako „stavební kameny“, ze kterých lze pomocí násobení sestavit všechna jiná celá čísla než jedna.

Pokud je zadaná určitá množina celých čísel, pak se nazývá největší celé číslo, které je dělitelem každého čísla obsaženého v této množině největší společný dělitel daná množina čísel; nazývá se nejmenší celé číslo, jehož dělitelem je každé číslo z dané množiny nejmenší společný násobek daná sada čísel. Největší společný dělitel čísel 12, 18 a 30 je tedy 6. Nejmenší společný násobek stejných čísel je 180. Jestliže největší společný dělitel dvou celých čísel A A b se rovná 1, pak čísla A A b jsou nazývány vzájemně prvočíslo. Například čísla 8 a 9 jsou relativně prvočísla, i když ani jedno z nich prvočíslo není.

Kladná racionální čísla.

Jak jsme viděli, celá čísla jsou abstrakce, které vznikají z procesu počítání konečných množin objektů. Pro potřeby běžného života však celá čísla nestačí. Například při měření délky desky stolu může být přijatá měrná jednotka příliš velká a nevejde se několikrát do měřené délky. Vyrovnat se s takovou obtíží, s pomocí tzv. zlomkové(tj. doslova „lomená“) čísla, zavádí se menší jednotka délky. Li d– nějaké celé číslo, pak zlomková jednotka 1/ d určeno nemovitostí dґ1/d= 1, a pokud n je tedy celé číslo nґ1/d prostě to napíšeme jako n/d. Tato nová čísla se nazývají „obyčejné“ nebo „jednoduché“ zlomky. Celé číslo n volal čitatel zlomky a čísla d – jmenovatel. Jmenovatel ukazuje, na kolik stejných podílů byla jednotka rozdělena, a čitatel ukazuje, kolik takových podílů bylo vzato. Li n d, zlomek se nazývá vlastní; -li n = d nebo n>d, pak je to nesprávné. S celými čísly se zachází jako se zlomky se jmenovatelem 1; například 2 = 2/1.

Od zlomku n/d lze interpretovat jako výsledek dělení n jednotek za d stejnými částmi a za použití jedné z těchto částí lze zlomek považovat za „podíl“ nebo „poměr“ dvou celých čísel n A d a zlomkovou čáru chápat jako dělicí znaménko. Proto se obvykle nazývají zlomky (včetně celých čísel jako speciálního případu zlomků). Racionálníčísla (z latinského ratio - poměr).

Dva zlomky n/d A ( kґn)/(kґd), kde k– celé číslo, lze považovat za rovné; například 4/6 = 2/3. (Tady n = 2, d= 3 a k= 2.) Toto je známé jako „základní vlastnost zlomku“: hodnota žádného zlomku se nezmění, pokud se čitatel a jmenovatel zlomku vynásobí (nebo vydělí) stejným číslem. Z toho vyplývá, že libovolný zlomek lze zapsat jako podíl dvou relativně prvočísel.

Z výše navrženého výkladu zlomku také vyplývá, že jako součet dvou zlomků n/d A m/d se stejným jmenovatelem byste měli vzít zlomek ( n + m)/d. Při sčítání zlomků s různými jmenovateli je nejprve musíte převést pomocí základní vlastnosti zlomku na ekvivalentní zlomky se stejným (společným) jmenovatelem. Například, n 1 /d 1 = (n 1 H d 2)/(d 1 H d 2) a n 2 /d 2 = (n 2 H d 1)/(d 1 H d 2), odkud

Dalo by se to udělat jinak a nejprve najít nejmenší společný násobek, řekněme m, jmenovatelé d 1 a d 2. Pak jsou celá čísla k 1 a k 2, takový, že m = k 1 H d 1 = k 2 H d 2 a dostaneme:

S touto metodou číslo m obvykle volán nejmenší společný jmenovatel dva zlomky. Tyto dva výsledky jsou ekvivalentní definicí rovnosti zlomků.

Produkt dvou frakcí n 1 /d 1 a n 2 /d 2 se rovná zlomku ( n 1 H n 2)/(d 1 H d 2).

Osm základních zákonů uvedených výše pro celá čísla platí také, pokud, pod A, b, C pochopit libovolná kladná racionální čísla. Také, pokud jsou dána dvě kladná racionální čísla n 1 /d 1 a n 2 /d 2, pak to říkáme n 1 /d 1 > n 2 /d 2 tehdy a jen tehdy n 1 H d 2 > n 2 H d 1 .

Kladná reálná čísla.

Použití čísel k měření délek úseček naznačuje, že pro jakékoli dva dané úsečky AB A CD musí tam být nějaký segment UV, možná velmi malý, který by mohl být v každém ze segmentů odložen vícekrát o celé číslo AB A CD. Pokud taková společná jednotka délky UV existuje, pak segmenty AB A CD se nazývají souměrné. Již ve starověku věděli Pýthagorejci o existenci nesouměřitelných přímých segmentů. Klasickým příkladem je strana čtverce a jeho úhlopříčka. Vezmeme-li stranu čtverce jako jednotku délky, pak neexistuje žádné racionální číslo, které by mohlo být mírou úhlopříčky tohoto čtverce. Můžete si to ověřit argumentací protimluvou. Předpokládejme, že jde o racionální číslo n/d je míra úhlopříčky. Ale pak segment 1/ d mohla být odložena n jednou diagonálně a dčasy na straně náměstí, a to přesto, že úhlopříčka a strana náměstí jsou nesouměřitelné. V důsledku toho, bez ohledu na volbu jednotky délky, ne všechny úsečky mají délky, které lze vyjádřit v racionálních číslech. Aby mohly být všechny úsečky měřeny nějakou délkovou jednotkou, musí být číselný systém rozšířen tak, aby zahrnoval čísla představující výsledky měření délek úseček, které jsou neúměrné zvolené jednotce délky. Tato nová čísla se nazývají kladná iracionálníčísla. Ta spolu s kladnými racionálními čísly tvoří širší množinu čísel, jejichž prvky se nazývají kladné platnýčísla.

Li NEBO– vodorovná polopřímka vycházející z bodu Ó, U– ukaž NEBO, odlišný od původu Ó, A OU je vybrán jako jednotkový segment, pak každý bod P na polopřímce NEBO může být spojeno s jediným kladným reálným číslem p, vyjadřující délku segmentu OP. Tímto způsobem vytvoříme vzájemnou korespondenci mezi kladnými reálnými čísly a body jinými než Ó, na polopřímce NEBO. Li p A q– dvě kladná reálná čísla odpovídající bodům P A Q na NEBO, pak píšeme p>q,p = q nebo p v závislosti na umístění bodu P napravo od bodu Q na NEBO, se shoduje s Q nebo se nachází nalevo od Q.

Zavedení kladných iracionálních čísel výrazně rozšířilo rozsah použitelnosti aritmetiky. Například pokud A– jakékoli kladné reálné číslo a n je libovolné celé číslo, pak existuje pouze jedno kladné reálné číslo b, takové, že bn=a. Tohle číslo b nazývaný kořen n tý stupeň A a píše se jako, kde symbol ve svém obrysu připomíná latinské písmeno r, kterým začíná latinské slovo základ(kořen) a nazývá se radikál. Dá se to ukázat

Tyto vztahy jsou známé jako základní vlastnosti radikálů.

Z praktického hlediska je velmi důležité, že každé kladné iracionální číslo může být aproximováno tak přesně, jak je požadováno, kladným racionálním číslem. To znamená, že pokud r je kladné iracionální číslo a E je libovolně malé kladné racionální číslo, pak můžeme najít kladná racionální čísla A A b, takové, že a b. Například číslo je iracionální. Pokud vyberete E= 0,01, pak ; pokud si vyberete E= 0,001, pak .

Indoarabská číselná soustava.

Algoritmy nebo výpočtová schémata aritmetiky závisí na použitém číselném systému. Je například zcela zřejmé, že metody výpočtu vynalezené pro římský číselný systém se mohou lišit od algoritmů vynalezených pro současný indoarabský systém. Navíc některé číselné systémy mohou být zcela nevhodné pro konstrukci aritmetických algoritmů. Historická data ukazují, že před přijetím indoarabského systému zápisu čísel neexistovaly vůbec žádné algoritmy, které by umožňovaly sčítání, odčítání, násobení a dělení čísel pomocí „tužky a papíru“. Během dlouhých let existence indoarabského systému byly vyvinuty četné algoritmické postupy speciálně pro něj přizpůsobené, takže naše moderní algoritmy jsou produktem celé éry vývoje a zdokonalování.

V hinduisticko-arabském číselném systému je každý záznam reprezentující číslo souborem deseti základních symbolů 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, nazývaných číslice. Například hinduisticko-arabský zápis čísla čtyři sta dvacet tři má podobu posloupnosti číslic 423. Význam číslice v hindu-arabském zápisu čísla je určen jejím místem, respektive pozicí, v posloupnosti číslic, které tvoří tento zápis. V příkladu, který jsme uvedli, číslo 4 znamená čtyři stovky, číslo 2 dvě desítky a číslo 3 tři jednotky. Velmi důležitou roli hraje číslo 0 (nula), používané k vyplnění prázdných pozic; např. záznam 403 znamená číslo čtyři sta tři, tzn. desítky chybí. Li A, b, C, d, E znamenají jednotlivá čísla, pak v indoarabském systému abcde znamená zkratku pro celé číslo

Protože každé celé číslo připouští jedinečnou reprezentaci ve formuláři

Kde n je celé číslo a A 0 , A 1 ,..., a n- čísla, docházíme k závěru, že v dané číselné soustavě může být každé celé číslo reprezentováno jedinečným způsobem.

Hinduisticko-arabská číselná soustava umožňuje výstižně zapisovat nejen celá čísla, ale i libovolná kladná reálná čísla. Představme si označení 10 - n za 1/10 n, Kde n– libovolné kladné celé číslo. Potom, jak lze ukázat, jakékoli kladné reálné číslo může být reprezentováno a jedinečně ve formě

Tento záznam lze zkomprimovat zápisem jako posloupnost čísel

kde je znaménko, nazývané desetinná čárka, mezi A 0 a b 1 označuje, kde začínají záporné mocniny 10 (v některých zemích se pro tento účel používá tečka). Tento způsob zápisu kladného reálného čísla se nazývá desetinný rozvoj a zlomek prezentovaný ve formě jeho desetinného rozvoje je desetinný.

Lze ukázat, že pro kladné racionální číslo se desetinný rozvoj za desetinnou čárkou buď přeruší (například 7/4 = 1,75), nebo se opakuje (například 6577/1980 = 3,32171717...). Pokud je číslo iracionální, pak se jeho desetinný rozvoj neodlomí a neopakuje. Pokud je desetinný rozvoj iracionálního čísla na nějakém desetinném místě přerušen, získáme jeho racionální aproximaci. Čím dále vpravo od desetinné čárky se nachází znaménko, u kterého končíme desetinný rozvoj, tím lepší je racionální aproximace (čím menší chyba).

V hinduisticko-arabském systému se číslo zapisuje pomocí deseti základních číslic, jejichž význam závisí na jejich místě, respektive poloze, v zápisu čísla (hodnota číslice je rovna součinu číslice a některé síla 10). Proto se takové soustavě říká desítková poziční soustava. Poziční číselné systémy jsou velmi vhodné pro konstrukci aritmetických algoritmů, a to je důvod, proč je indoarabský číselný systém v moderním světě tak rozšířený, i když v různých zemích mohou být k označení jednotlivých čísel použity různé symboly.

Názvy čísel.

Názvy čísel v indoarabském systému se řídí určitými pravidly. Nejběžnějším způsobem pojmenování čísel je, že se číslo nejprve rozdělí do skupin po třech číslicích zprava doleva. Tyto skupiny se nazývají „období“. První období se nazývá období „jednotek“, druhé – období „tisíců“, třetí – období „milionů“ atd., jak ukazuje následující příklad:

Každá tečka se čte, jako by to bylo trojmístné číslo. Například období 962 se čte jako „devět set šedesát dva“. Chcete-li číst číslo sestávající z několika teček, je čtena skupina číslic v každé tečce, počínaje tou nejvíce vlevo a poté v pořadí zleva doprava; Za každou skupinou následuje název období. Například výše uvedené číslo zní "sedmdesát tři bilionů osm set čtyřicet dva miliard devět set šedesát dva milionů pět set třicet dva tisíce sedm set devadesát osm." Všimněte si, že při čtení a zápisu celých čísel se spojení „a“ obvykle nepoužívá. Název kategorie jednotek je vynechán. Za biliony následují kvadrilióny, kvintiliony, sextiliony, septilióny, osmibilióny, nealiony a decilióny. Každé období má hodnotu 1000krát větší než předchozí.

V hinduisticko-arabském systému je zvykem při čtení čísel vpravo od desetinné čárky postupovat podle následujícího postupu. Zde se pozice nazývají (v pořadí zleva doprava): „desetiny“, „setiny“, „tisíciny“, „desetitisíciny“ atd. Správné desetinné číslo se čte tak, jako by číslice za desetinnou čárkou tvořily celé číslo, za kterým následuje název pozice poslední číslice vpravo. Například 0,752 se čte jako "sedm set padesát dva tisícin." Smíšené desetinné číslo se čte kombinací pravidla pro pojmenování celých čísel s pravidlem pro pojmenování správných desetinných míst. Například 632.752 zní "šest set třicet dva bodů sedm set padesát dva tisíciny." Všimněte si slova "celá čísla" před desetinnou čárkou. V posledních letech se desetinná čísla stále častěji čtou jednodušeji, například 3,782 jako „tři tečky sedm set osmdesát dva“.

Přidání.

Nyní jsme připraveni analyzovat aritmetické algoritmy, které se vyučují na základní škole. Tyto algoritmy se zabývají operacemi na kladných reálných číslech zapsaných jako desetinné rozšíření. Předpokládáme, že základní tabulky sčítání a násobení jsme se naučili nazpaměť.

Zvažte problém sčítání: vypočítejte 279,8 + 5,632 + 27,54:

Nejprve sečteme stejné mocniny čísla 10. Číslo 19Х10 –1 rozdělíme podle distributivního zákona na 9Х10 –1 a 10Х10 –1 = 1. Jednotku posuneme doleva a přičteme k 21, což dává 22. Číslo 22 rozdělíme na 2 a 20 = 2H10. Číslo 2H10 posuneme doleva a přidáme k 9H10, což dává 11H10. Nakonec rozdělíme 11H10 na 1H10 a 10H10 = 1H102, posuneme 1H102 doleva a přidáme k 2H102, čímž získáme 3H102. Konečný součet je 312,972.

Je zřejmé, že provedené výpočty lze prezentovat ve stručnější podobě a zároveň je použít jako příklad sčítacího algoritmu, který se učí ve škole. Za tímto účelem zapíšeme všechna tři čísla pod sebe tak, aby desetinné čárky byly na stejné svislici:

Začneme-li zprava, zjistíme, že součet koeficientů na 10 –3 je roven 2, což zapíšeme do odpovídajícího sloupce pod řádek. Součet koeficientů při 10 –2 je roven 7, což se také zapíše do odpovídajícího sloupce pod čarou. Součet koeficientů pro 10 –1 je 19. Pod řádek napíšeme číslo 9 a přesuneme 1 do předchozího sloupce, kde jsou jedničky. Vezmeme-li v úvahu tuto jednotku, vyjde nám součet koeficientu v tomto sloupci roven 22. Jednu dvojku napíšeme pod čáru a druhou přesuneme do předchozího sloupce, kde jsou desítky. Při zohlednění přenesených dvou je součet koeficientů v tomto sloupci roven 11. Jednu jednotku zapíšeme pod řádek a druhou přeneseme do předchozího sloupce, kde jsou stovky. Součet koeficientů v tomto sloupci vyjde roven 3, které zapíšeme pod řádek. Požadovaná částka je 312,972.

Odčítání.

Odečítání je inverzní sčítání. Pokud tři kladná reálná čísla A, b, C vzájemně propojeny tak, že a+b=c, pak píšeme a = c – b, kde se symbol „-“ čte jako „mínus“. Hledání čísla A podle známých čísel b A C tzv. „odčítání“. Číslo C volalo minuend, číslo b– „odečítatelné“ a číslo A- "rozdíl". Protože máme co do činění s kladnými reálnými čísly, podmínka musí být splněna c > b.

Podívejme se na příklad odčítání: vypočítejte 453,87 – 82,94.

Nejprve si v případě potřeby vypůjčíme jednotku zleva a transformujeme expanzi minuendu tak, aby jeho koeficient pro libovolnou mocninu 10 byl větší než koeficient podtrahendu pro stejnou mocninu. Z 4H10 2 si vypůjčíme 1H10 2 = 10H10, přičemž poslední číslo přidáme k dalšímu členu v rozšíření, což dává 15H10; podobně si vypůjčíme 1Х10 0 nebo 10Ч10 –1 a toto číslo přidáme k předposlednímu členu rozšíření. Poté dostaneme možnost odečíst koeficienty pro stejné mocniny čísla 10 a snadno najít rozdíl 370,93.

Záznam operací odčítání lze prezentovat v komprimovanější podobě a můžete získat příklad odčítacího algoritmu studovaného ve škole. Subtrahend zapisujeme pod minuend tak, aby jejich desetinné čárky byly na stejné svislici. Začneme-li zprava, zjistíme, že rozdíl koeficientů u 10 –2 je roven 3 a toto číslo zapíšeme do stejného sloupce pod čarou. Protože v dalším sloupci vlevo nemůžeme odečíst 9 od 8, změníme trojku na pozici jednotek minuendu na dvě a s číslem 8 na pozici desetin nakládáme jako s 18. Po odečtení 9 od 18 dostaneme 9 atd. ., tj. .

Násobení.

Podívejme se nejprve na tzv „krátké“ násobení je násobení kladného reálného čísla jedním z jednociferných čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, například 32,67ґ4. Pomocí zákona distributivity, stejně jako zákonů asociativnosti a komutativnosti násobení, získáme příležitost rozdělit faktory na části a uspořádat je pohodlněji. Například,

Tyto výpočty lze zapsat kompaktněji takto:

Proces komprese může pokračovat. Faktor 4 zapíšeme pod multiplikand 32,67, jak je uvedeno:

Protože 4ґ7 = 28, napíšeme číslo 8 pod čáru a 2 umístíme nad číslo 6 násobiče. Dále 4ґ6 = 24, což při zohlednění toho, co se přenese ze sloupce vpravo, dává 26. Číslo 6 napíšeme pod řádek a 2 napíšeme nad číslo 2 násobitele. Pak dostaneme 4ґ2 = 8, což v kombinaci s přenesenou dvojkou dává 10. Pod čáru podepíšeme číslo 0 a číslo nad číslem 3 násobitele. Nakonec 4ґ3 = 12, což při zohlednění přenesené jednotky dává 13; Číslo 13 se píše pod čarou. Vložením desetinné čárky dostaneme odpověď: součin je roven 130,68.

"Dlouhé" násobení je prostě "krátké" násobení opakující se znovu a znovu. Zvažte například vynásobení čísla 32,67 číslem 72,4. Umístíme multiplikátor pod multiplikand, jak je uvedeno:

Krátkým násobením zprava doleva dostaneme první kvocient 13,068, druhý 65,34 a třetí 2286,9. Podle zákona distributivity je součin, který je třeba najít, součtem těchto dílčích součinů neboli 2365,308. V písemném zápisu je desetinná čárka v dílčích součinech vynechána, ale musí být správně uspořádány do „kroků“, aby bylo možné sečíst a získat úplný součin. Počet desetinných míst v součinu se rovná součtu počtu desetinných míst v multiplikandu a násobiteli.

Divize.

Dělení je inverzní operace násobení; stejně jako násobení nahrazuje opakované sčítání, dělení nahrazuje opakované odčítání. Zvažte například otázku: kolikrát je 3 obsaženo ve 14? Opakováním operace odečítání 3 od 14 zjistíme, že 3 čtyřikrát „vstoupí“ do 14 a číslo 2 „zůstane“, tzn.

Volá se číslo 14 dělitelný, číslo 3 – dělič, číslo 4 – soukromé a číslo 2 - zbytek. Výsledný vztah lze vyjádřit slovy takto:

dividenda = (dělitel ґ kvocient) + zbytek,

0 Ј zbytek

Najít podíl a zbytek 1400 děleno 3 opakovaným odečítáním 3 by vyžadovalo hodně času a úsilí. Postup by se dal výrazně urychlit, kdybychom nejprve odečetli 300 od 1400, poté 30 od zbytku a nakonec 3. Po čtyřnásobném odečtení 300 bychom dostali zbytek 200; po šestinásobném odečtení 30 od 200 by byl zbytek 20; nakonec, po šestinásobném odečtení 3 od 20, dostaneme zbytek 2.

Kvocient a zbytek jsou 466 a 2. Výpočty mohou být organizovány a následně sekvenčně komprimovány následovně:

Výše uvedená úvaha platí v případě, že dělenec a dělitel jsou kladná reálná čísla vyjádřená v desítkové soustavě. Ukažme si to na příkladu 817.65÷23.7.

Nejprve musí být dělitel převeden na celé číslo pomocí posunu desetinné čárky. V tomto případě se desetinná čárka dividendy posune o stejný počet desetinných míst. Dělitel a dividenda jsou uspořádány takto:

Určíme, kolikrát je dělitel obsažen v trojciferném čísle 817, první části děliče, kterou dělitelem dělíme. Protože se odhaduje, že obsahuje třikrát, vynásobíme 237 3 a odečteme součin 711 od 817. Rozdíl 106 je menší než dělitel. To znamená, že číslo 237 se ve zkušební dividendě objeví maximálně třikrát. Číslo 3, zapsané pod dělitelem číslo 2 pod vodorovnou čarou, je první číslicí podílu, který je třeba najít. Poté, co se posuneme o další číslici dividendy dolů, dostaneme další zkušební dividendu 1066 a musíme určit, kolikrát se dělitel 237 vejde do čísla 1066; Řekněme 4krát. Dělitele vynásobíme 4 a dostaneme součin 948, který odečteme od 1066; rozdíl je 118, což znamená, že další číslice podílu je 4. Poté odečteme další číslici dividendy a celý postup popsaný výše zopakujeme. Tentokrát se ukáže, že zkušební dividenda 1185 je přesně (beze zbytku) dělitelná 237 (zbytek dělení se nakonec ukáže jako 0). Oddělením desetinné čárky v kvocientu stejného počtu číslic, jako jsou odděleny v dělence (nezapomeňte, že jsme předtím desetinnou čárku posunuli), dostaneme odpověď: podíl je roven 34,5.

Zlomky.

Výpočty se zlomky zahrnují sčítání, odčítání, násobení a dělení, stejně jako zjednodušení složitých zlomků.

Sčítání zlomků se stejným jmenovatelem se provádí sečtením čitatelů, např.

1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16.

Pokud mají zlomky různé jmenovatele, pak je třeba je nejprve zredukovat na společného jmenovatele, tzn. převést na zlomky se stejnými jmenovateli. K tomu najdeme nejmenšího společného jmenovatele (nejmenší násobek každého z daných jmenovatelů). Například při sčítání 2/3, 1/6 a 3/5 je nejnižší společný jmenovatel 30:

Když to shrnu, dostáváme

20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30.

Odečítání zlomků se provádí stejným způsobem jako jejich sčítání. Pokud jsou jmenovatelé stejní, pak se odčítání sníží na odečítání čitatelů: 10/13 – 2/13 = 8/13; Pokud mají zlomky různé jmenovatele, musíte je nejprve přivést ke společnému jmenovateli:

7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8.

Při násobení zlomků se samostatně násobí jejich čitatelia a jmenovatelé. Například,

5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27.

Pro dělení jednoho zlomku druhým je potřeba vynásobit první zlomek (dividenda) převráceným zlomkem druhého (dělitele) (pro získání převráceného zlomku je potřeba prohodit čitatele a jmenovatele původního zlomku), tzn. ( n 1 /d 1) е( n 2 /d 2) = (n 1 H d 2)/(d 1 H n 2). Například,

3/4е7/8 = 3/4ґ8/7 = 24/28 = 6/7.

Smíšené číslo je součet (nebo rozdíl) celého čísla a zlomku, například 4 + 2/3 nebo 10 – 1/8. Protože celé číslo lze považovat za zlomek se jmenovatelem 1, smíšené číslo není nic jiného než součet (nebo rozdíl) dvou zlomků. Například,

4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.

Složený zlomek je zlomek, který má zlomek buď v čitateli, ve jmenovateli, nebo v čitateli a jmenovateli. Tento zlomek lze převést na jednoduchý:

Odmocnina.

Li n r, takové, že r 2 = n. Číslo r volal odmocnina z n a je určeno. Ve škole vás učí získávat druhé odmocniny dvěma způsoby.

První metoda je populárnější, protože je jednodušší a snadněji aplikovatelná; výpočty pomocí této metody se snadno implementují na stolní kalkulačce a zobecňují se na případ krychlových odmocnin a vyšších odmocnin. Metoda je založena na tom, že pokud r 1 – blíží se tedy ke kořenu r 2 = (1/2)(r 1 + n/r 1) – přesnější aproximace kořene.

Ukažme si postup na výpočtu druhé odmocniny nějakého čísla mezi 1 a 100, řekněme číslo 40. Protože 6 2 = 36 a 7 2 = 49, dojdeme k závěru, že 6 je nejlepší aproximace v celých číslech. Přesnější přiblížení k se získá z 6 následovně. Vydělením 40 6 dostaneme 6,6 (zaokrouhleno na jedno desetinné místo) dokoncečísla desetin). Abychom získali druhou aproximaci k , zprůměrujeme dvě čísla 6 a 6,6 a dostaneme 6,3. Opakováním postupu získáme ještě lepší aproximaci. Vydělením 40 6,3 najdeme číslo 6,350 a třetí aproximace se ukáže jako (1/2)(6,3 + 6,350) = 6,325. Další opakování dává 40÷6,325 = 6,3241106 a čtvrtá aproximace se ukáže jako (1/2)(6,325 + 6,3241106) = 6,3245553. Proces může pokračovat tak dlouho, jak je potřeba. Obecně platí, že každá následující aproximace může obsahovat dvakrát tolik číslic než předchozí. Takže v našem příkladu, protože první aproximace, celé číslo 6, obsahuje pouze jednu číslici, můžeme ponechat dvě číslice ve druhé aproximaci, čtyři ve třetí a osm ve čtvrté.

Pokud číslo n neleží mezi 1 a 100, pak musíte nejprve vydělit (nebo vynásobit) n na nějakou mocninu 100, řekněme, na k-tý tak, aby součin byl v rozsahu od 1 do 100. Poté bude druhá odmocnina součinu v rozsahu od 1 do 10 a po jeho vytažení výsledné číslo vynásobíme (nebo vydělíme) 10 k, najděte požadovanou druhou odmocninu. Například pokud n= 400 000, pak nejdříve my rozdělit 400000 na 100 2 a dostaneme číslo 40, které leží v rozsahu od 1 do 100. Jak je uvedeno výše, je přibližně rovno 6,3245553. Násobení toto číslo o 10 2, dostaneme 632,45553 jako přibližnou hodnotu pro a číslo 0,63245553 slouží jako přibližnou hodnotu pro.

Druhý z výše uvedených postupů je založen na algebraické identitě ( A + b) 2 = A 2 + (2A + b)b. V každém kroku se již získaná část odmocniny bere jako A, a část, kterou je třeba ještě určit, je pro b.

Třetí odmocnina.

Pro extrakci druhé odmocniny kladného reálného čísla existují algoritmy podobné těm pro extrakci druhé odmocniny. Chcete-li například najít třetí odmocninu čísla n, nejprve aproximujeme kořen o nějaké číslo r 1. Poté vytvoříme přesnější aproximaci r 2 = (1/3)(2r 1 + n/r 1 2), což zase ustupuje ještě přesnější aproximaci r 3 = (1/3)(2r 2 + n/r 2 2) atd. Postup pro konstrukci stále přesnějších aproximací kořene může pokračovat donekonečna.

Zvažte například výpočet odmocniny čísla mezi 1 a 1000, řekněme čísla 200. Protože 5 3 = 125 a 6 3 = 216, dojdeme k závěru, že 6 je nejbližší celé číslo k odmocnině 200. Proto volíme r 1 = 6 a postupně vypočítejte r 2 = 5,9, r 3 = 5,85, r 4 = 5,8480. V každé aproximaci, počínaje třetí, je povoleno zachovat počet znaků, který je o jeden menší než dvojnásobek počtu znaků v předchozí aproximaci. Pokud číslo, ze kterého chcete extrahovat odmocninu, není mezi 1 a 1000, musíte ho nejprve vydělit (nebo vynásobit), řekněme, k th, mocninu čísla 1000 a tím jej uvést do požadovaného rozsahu čísel. Odmocnina nově získaného čísla leží v rozsahu od 1 do 10. Po jejím výpočtu je nutné ji vynásobit (nebo vydělit) 10 k získat odmocninu původního čísla.

Druhý, složitější, algoritmus pro nalezení třetí odmocniny kladného reálného čísla je založen na použití algebraické identity ( A + b) 3 = A 3 + (3A 2 + 3ab + b 2)b. V současné době se na střední škole nevyučují algoritmy pro extrakci krychlových odmocnin, stejně jako kořenů vyšších mocnin, protože je snazší najít pomocí logaritmů nebo algebraických metod.

Euklidův algoritmus.

Tento algoritmus byl představen v Začátky Euklides (asi 300 př. Kr.). Používá se k výpočtu největšího společného dělitele dvou celých čísel. Pro případ kladných čísel je formulováno jako procedurální pravidlo: „Vydělte větší ze dvou daných čísel menším. Poté dělitele vydělte zbytkem a takto pokračujte, dokud není poslední dělitel rovnoměrně rozdělen posledním zbytkem. Poslední z dělitelů bude největším společným dělitelem dvou daných čísel."

Jako číselný příklad uvažujme dvě celá čísla 3132 a 7200. Algoritmus v tomto případě sestává z následujících kroků:

Největší společný dělitel je stejný jako poslední dělitel – číslo 36. Vysvětlení je jednoduché. V našem příkladu z posledního řádku vidíme, že číslo 36 dělí číslo 288. Z předposledního řádku vyplývá, že číslo 36 dělí 324. Pohybujeme-li se tedy z řádku na řádek, jsme přesvědčeni, že číslo 36 dělí 936 , 3132 a 7200 Nyní tvrdíme, že číslo 36 je společným dělitelem čísel 3132 a 7200. Nechť G je největší společný dělitel čísel 3132 a 7200. Od G dělí 3132 a 7200, z prvního řádku vyplývá, že G dělí 936. Z druhého řádku usuzujeme, že G dělí 324. Takže když půjdeme dolů od řádku k řádku, jsme o tom přesvědčeni G dělí 288 a 36. A protože 36 je společný dělitel čísel 3132 a 7200 a je děleno jejich největším společným dělitelem, docházíme k závěru, že 36 je tento největší společný dělitel.

Zkouška.

Aritmetické výpočty vyžadují neustálou pozornost, a proto jsou náchylné k chybám. Proto je velmi důležité zkontrolovat výsledky výpočtu.

1. Přidání sloupce čísel lze zkontrolovat přidáním čísel ve sloupci nejprve shora dolů a poté zdola nahoru. Opodstatněním tohoto způsobu ověřování je zobecněný zákon komutativnosti a asociativnosti sčítání.

2. Odečítání je kontrolováno přičtením rozdílu k subtrahendu - měl by být získán minuend. Důvodem této ověřovací metody je definice operace odečítání.

3. Násobení lze zkontrolovat přeskupením násobitele a násobitele. Opodstatněním tohoto způsobu ověřování je zákon komutativního násobení. Násobení můžete zkontrolovat rozdělením faktoru (nebo multiplikandu) na dva členy, provedením dvou samostatných operací násobení a přidáním výsledných součinů – měli byste získat původní součin.

4. Pro kontrolu dělení je potřeba vynásobit podíl dělitelem a zbytek přičíst k součinu. Měli byste dostat dividendu. Důvodem této ověřovací metody je definice operace dělení.

5. Kontrola správnosti vyjmutí druhé (nebo kubické) odmocniny spočívá ve zvýšení výsledného čísla pomocí druhé mocniny (nebo krychle) – mělo by se získat původní číslo.

Zvláště jednoduchým a velmi spolehlivým způsobem kontroly sčítání nebo násobení celých čísel je technika, která představuje přechod k tzv. "srovnání modulo 9". Zbytek součtu číslic použitých k zápisu čísla při dělení 9 označme jako „nadbytek“. Pokud jde o „excesy“, lze pak formulovat dvě věty: „přebytek součtu celých čísel se rovná přebytku součtu přebytků členů“ a „přebytek součinu dvou celých čísel se rovná přebytek produktu jejich excesů.“ Níže jsou uvedeny příklady kontrol založených na této větě:

Metodu přechodu na porovnávání modulo 9 lze také použít při testování jiných aritmetických algoritmů. Taková kontrola samozřejmě není neomylná, protože práce s „excesy“ také podléhá chybám, ale taková situace je nepravděpodobná.

Zájem.

Procento je zlomek, jehož jmenovatel je 100; Procenta lze zapsat třemi způsoby: jako zlomek, jako desetinné číslo nebo pomocí speciálního zápisu procent %. Například 7 procent lze zapsat jako 7/100, jako 0,07 nebo jako 7 %.

Příkladem nejběžnějšího typu procentuálního problému je následující: „Najdi 17 % z 82.“ Chcete-li tento problém vyřešit, musíte vypočítat součin 0,17ґ82 = 13,94. U produktů tohoto druhu se 0,17 nazývá sazba, 82 je základ a 13,94 je podíl, vyjádřený v procentech. Uvedené tři veličiny spolu souvisí vztahem

Sazba ґ základ = procentní podíl.

Jsou-li známy jakékoli dvě veličiny, lze z tohoto vztahu určit třetí. V souladu s tím dostáváme tři typy problémů „pomocí procent“.

Příklad 1. Počet studentů zapsaných na této škole se zvýšil z 351 na 396. O kolik procent se toto číslo zvýšilo?

Nárůst byl 396 – 351 = 45 osob. Zapsáním zlomku 45/351 v procentech dostaneme 45/351 = 0,128 = 12,8 %.

Příklad 2. Reklama v obchodě během výprodeje říká „25% sleva na všechny položky“. Jaká je prodejní cena položky, která se běžně prodává za 3,60 $?

25% pokles ceny o 3,60 USD znamená pokles o 0,25-3,60 = 0,90 USD; proto cena položky během prodeje bude 3,60 $ – 0,90 $ = 2,70 $.

Příklad 3. Peníze uložené v bance za 5 % ročně přinesly zisk 40 USD ročně. Jaká částka byla uložena do banky?

Jelikož 5 % z částky je 40 USD, tzn. Částka 5/100 ґ = 40 dolarů nebo částka 1/100 ґ = 8 dolarů, celková částka je 800 dolarů.

Aritmetika přibližných čísel.

Mnoho čísel používaných ve výpočtech pochází buď z měření nebo odhadů, a lze je proto považovat pouze za přibližné. Je zřejmé, že výsledkem výpočtů provedených s přibližnými čísly může být pouze přibližné číslo. Předpokládejme například, že měření protilehlé plochy poskytlo následující výsledky (zaokrouhleno na nejbližší desetinu metru): šířka 1,2 m, délka 3,1 m; dalo by se říci, že plocha pultu je 1,2ґ3,1 = 3,72 m2. Ve skutečnosti však informace zdaleka nejsou tak jisté. Protože hodnota 1,2 m pouze udává, že měření šířky je mezi 1,15 a 1,25 m, a 3,1 udává, že měření délky je mezi 3,05 a 3,15 m, o ploše pultu můžeme říci pouze to, že by měla být větší než 1,15ґ3,05 = 3,5075, ale méně než 1,25ґ3,15 = 3,9375. Na otázku o ploše pultu je tedy jedinou rozumnou odpovědí, že je to přibližně 3,7 m 2 .

Uvažujme dále problém sečtení výsledků přibližných měření 3,73 m, 52,1 m a 0,282 m. Prostý součet je 56,112 m. Ale stejně jako v předchozím problému lze s jistotou říci pouze to, že skutečný součet musí být větší než 3,725 + 52,05 + 0,2815 = 56,0565 m a menší než 3,735 + 52,15 + 0,2825 = 56,1765 m. Jedinou rozumnou odpovědí na otázku je tedy říci, že součet se rovná přibližně 56,1 m.

Dva výše uvedené příklady ilustrují některá pravidla, která jsou užitečná při práci s přibližnými čísly. Čísla lze zaokrouhlit různými způsoby. Jedním z nich je vyřadit spodní číslice čísla. Navíc, je-li první číslice, která má být vyřazena, více než pět, musí být poslední zbývající číslice zvýšena o jednu; pokud je menší, pak poslední číslice zbývající části zůstává nezměněna.

Pokud je první číslice, která má být vyřazena, právě pět, pak se poslední číslice, která má být ponechána, zvýší o jednu, pokud je lichá, a zůstane nezměněna, pokud je sudá. Například při zaokrouhlení na nejbližší setiny číslo 3,14159;17,7682; 28,999; 0,00234; 7,235 a 7,325 se stanou 3,14; 17,77; 29,00; 0,00; 7,24 a 7,32.

Další způsob zaokrouhlování souvisí s pojmem významných číslic a používá se při strojovém zápisu čísla. Významné číslice přibližného čísla jsou číslice v jeho desítkovém zápisu v pořadí zleva doprava, počínaje první nenulovou číslicí a končící číslicí, která stojí na místě desetinného místa odpovídající chybě. Například platné číslice přibližného čísla 12.1 jsou čísla 1, 2, 1; přibližné číslo 0,072 – čísla 7, 2; přibližné číslo 82000, zapsané s přesností na stovky, je 8, 2, 0.

Nyní zformulujeme dvě pravidla pro práci s přibližnými čísly zmíněnými výše.

Při sčítání a odčítání přibližných čísel by mělo být každé číslo zaokrouhleno na číslici následující za poslední číslicí nejméně přesného čísla a výsledný součet a rozdíl by měly být zaokrouhleny na stejný počet číslic jako nejméně přesné číslo. Při násobení a dělení přibližných čísel by mělo být každé číslo zaokrouhleno na znaménko následující za poslední platnou číslicí nejméně významného čísla a součin a podíl by měly být zaokrouhleny se stejnou přesností, jakou známe nejméně přesné číslo.

Vrátíme-li se k dříve zvažovaným problémům, dostaneme:

1,2ґ3,1 = 3,72 m 2 » 3,7 m 2

3,73 + 52,1 + 0,28 = 56,11 m 2 "56,1 m,

kde znak " znamená "přibližně stejný".

Některé učebnice aritmetiky poskytují algoritmy pro práci s přibližnými čísly, což vám umožní vyhnout se zbytečným znaménkům při výpočtu. Kromě toho používají tzv. zaznamenání přibližných čísel, tzn. libovolné číslo je reprezentováno jako (číslo v rozsahu od 1 do 10) ґ (mocnina 10), kde první faktor obsahuje pouze platné číslice čísla. Například 82 000 km zaokrouhlených na nejbližších sto km by bylo zapsáno jako 8,20ґ10 4 km a 0,00702 cm by bylo zapsáno jako 7,02ґ10 –3 cm.

Čísla v matematických tabulkách, trigonometrických nebo logaritmických tabulkách jsou přibližná, zapsaná s určitým počtem znamének. Při práci s takovými tabulkami byste měli dodržovat pravidla pro výpočty s přibližnými čísly.

Logaritmy.

Do počátku 17. stol. Složitost aplikovaných výpočetních problémů vzrostla natolik, že nebylo možné je zvládnout „ručně“ kvůli přílišné pracnosti a času. Naštěstí vynalezl včas J. Napier na počátku 17. století. logaritmy umožnily vyrovnat se s problémem, který vznikl. Protože teorie a aplikace logaritmů jsou podrobně popsány ve speciálním článku LOGARITHM, omezíme se pouze na nejnutnější informace.

Dá se ukázat, že pokud n je kladné reálné číslo, pak existuje jedinečné kladné reálné číslo X tak, že 10 X = n. Číslo X nazývané (běžné nebo desetinné) logaritmusčísla n; běžně se to píše takto: X=log n. Logaritmus je tedy exponent a ze zákonů operací s exponenty to vyplývá

Právě tyto vlastnosti logaritmů vysvětlují jejich široké použití v aritmetice. První a druhá vlastnost nám umožňují zredukovat jakýkoli problém násobení a dělení na jednodušší problém sčítání a odčítání. Třetí a čtvrtá vlastnost umožňuje omezit umocňování a extrakci odmocnin na mnohem jednodušší operace: násobení a dělení.

Pro snadné použití logaritmů byly sestaveny jejich tabulky. K sestavení tabulky dekadických logaritmů stačí zahrnout pouze logaritmy čísel od 1 do 10. Například, protože 247,6 = 10 2 ґ2,476, máme: log247,6 = log10 2 + log2,476 = 2 + log2,476, a protože 0,02476 = 10 –2 ґ2,476, pak log0,02476 = log10 –2 + log2,476 = –2 + log2,476. Všimněte si, že dekadický logaritmus čísla mezi 1 a 10 leží mezi 0 a 1 a lze jej zapsat jako desetinné číslo. Z toho vyplývá, že dekadický logaritmus libovolného čísla je součtem celého čísla, nazývaného charakteristika logaritmu, a desetinného zlomku, nazývaného mantisa logaritmu. Charakteristiku logaritmu libovolného čísla lze nalézt „v mysli“; Mantisa by měla být nalezena pomocí tabulek logaritmů. Například z tabulek zjistíme, že log2,476 = 0,39375, tedy log247,63 = 2,39375. Pokud je charakteristika logaritmu záporná (když je číslo menší než jedna), je vhodné ji vyjádřit jako rozdíl dvou kladných celých čísel, například log0,02476 = –2 + 0,39375 = 8,39375 – 10. následující příklady vysvětlují tuto techniku.

Literatura:

Dějiny matematiky od nejstarších dob do počátku 19. století., sv. 1–3. M., 1970–1972.
Serre J.-P. Aritmetický kurz. M., 1972
Nechaev V.I. Numerické soustavy. M., 1975
Daan-Dalmedico A., Peiffer J . Cesty a labyrinty. Eseje o historii matematiky. M., 1986
Engler E. Elementární matematika. M., 1987

Aritmetika je nejzákladnější, základní část matematiky. Vzniklo z potřeby lidí počítat.

Mentální aritmetika

Co se nazývá mentální aritmetika? Mentální aritmetika je metoda výuky rychlého počítání, která pochází z dávných dob.

V současné době se učitelé na rozdíl od předchozího snaží děti nejen naučit počítat, ale snaží se také rozvíjet jejich myšlení.

Samotný proces učení je založen na využití a rozvoji obou hemisfér mozku. Hlavní je umět je používat společně, protože se vzájemně doplňují.

Ve skutečnosti je levá hemisféra zodpovědná za logiku, řeč a racionalitu a pravá hemisféra je zodpovědná za představivost.

Školicí program zahrnuje školení v obsluze a používání nářadí jako je např počitadlo.

Počítadlo je hlavním nástrojem při výuce mentální aritmetiky, protože se s ním studenti učí pracovat, pohybovat kostkami domina a chápat podstatu výpočtu. Postupem času se počítadlo stane vaší fantazií a studenti si je představují, na těchto znalostech navazují a řeší příklady.

Recenze na tyto vyučovací metody jsou velmi pozitivní. Má to jednu nevýhodu – školení je placené a ne každý si to může dovolit. Cesta génia tedy závisí na finanční situaci.

Matematika a aritmetika

Matematika a aritmetika jsou úzce související pojmy, respektive aritmetika je odvětví matematiky, které pracuje s čísly a výpočty (operace s čísly).

Aritmetika je hlavním oddílem, a tedy základem matematiky. Základem matematiky jsou nejdůležitější pojmy a operace, které tvoří základ, na kterém se budují veškeré následné znalosti. Mezi hlavní operace patří: sčítání, odčítání, násobení, dělení.

Aritmetika se ve škole obvykle studuje od samého začátku vzdělávání, tzn. z první třídy. Děti ovládají základní matematiku.

Přidání je aritmetická operace, při které se sečtou dvě čísla a jejich výsledkem je nové - třetí.

a+b=c.

Odčítání je aritmetická operace, ve které se druhé číslo odečte od prvního čísla a výsledkem je třetí.

Sčítací vzorec je vyjádřen takto: a - b = c.

Násobení je akce, jejímž výsledkem je součet identických pojmů.

Vzorec pro tuto akci je: a1+a2+…+an=n*a.

Divize- Jedná se o rozdělení čísla nebo proměnné na stejné části.

Přihlaste se do kurzu „Zrychlete mentální aritmetiku, NE mentální aritmetiku“, abyste se naučili rychle a správně sčítat, odčítat, násobit, dělit, odmocňovat čísla a dokonce extrahovat odmocniny. Za 30 dní se naučíte používat jednoduché triky ke zjednodušení aritmetických operací. Každá lekce obsahuje nové techniky, jasné příklady a užitečné úkoly.

Výuka aritmetiky

Aritmetika se vyučuje ve zdech školy. Od první třídy se děti začínají učit základní a hlavní úsek matematiky – aritmetiku.

Přidávání čísel

Pravidla aritmetiky

Pořadí operací ve výrazu je velmi důležité!

Pokud příklad vypadá jako 2+3-4, pak pořadí v něm může být libovolné. Protože operace sčítání a odčítání mají stejnou prioritu. Pokud nejprve provedeme sčítání, dostaneme: 5-4=1, a pokud nejprve provedeme odčítání, pak: 2-1=1. Jak vidíte, výsledek je stejný.

Podobně s výrazem pro násobení a dělení. Operace násobení a dělení mají stejnou prioritu. Například 2 8:4. Nejprve provedeme násobení: 16:4=4, a pokud dělení: 2 2=4.

Pořadí má smysl, když výraz kombinuje operace sčítání nebo odčítání s operacemi násobení nebo dělení. Například:

2+22. První akcí je provedení VŠECHNO operace násobení a dělení a teprve potom sčítání a odčítání. Tedy výraz 2+2 2 = 2+4=6.

Ale ve výrazech jsou závorky. Závorky mají tendenci měnit pořadí operací. Uvažujme předchozí příklad pouze se závorkami: (2+2)*2. V tomto případě se nejprve provádějí operace uvnitř závorek a poté mimo závorky v pořadí: 1. Násobení a dělení 2. Sčítání a odčítání.

Takže (2+2) 2=4 2=8.

Jak můžete vidět z příkladů, závorky hrají roli. A pořadí operací je stejné.

Aritmetické lekce

Výuka aritmetiky - školní výuka, do šestého ročníku. Poté matematika otevírá své sekce: geometrii a algebru a později trigonometrii.

Aritmetický stupeň 5

V páté třídě se studenti začnou zabývat tématy, jako jsou zlomky a smíšená čísla. Informace o operacích s těmito čísly najdete v našich článcích o příslušných operacích.

Zlomkové číslo je poměr dvou čísel k sobě navzájem nebo čitatele ke jmenovateli. Zlomkové číslo lze nahradit dělením. Například ¼ = 1:4.

Smíšené číslo– jedná se o zlomkové číslo, pouze se zvýrazněnou celočíselnou částí. Celočíselná část je přidělena za předpokladu, že čitatel je větší než jmenovatel. Například tam byl zlomek: 5/4, lze jej transformovat zvýrazněním celé části: 1 celek a ¼.

Příklady pro školení:

Úkol č. 1:

Úkol č. 2:

Aritmetika 6. třída

V 6. ročníku se objevuje téma převodu zlomků na malý zápis. Co to znamená? Například za předpokladu zlomku ½ se bude rovnat 0,5. ¼ = 0,25.

Příklady lze sestavit v následujícím stylu: 0,25+0,73+12/31.

Příklady pro školení:

Úkol č. 1:

Úkol č. 2:

Hry pro rozvoj mentální aritmetiky a rychlosti počítání

Existují skvělé hry, které podporují počítání, pomáhají rozvíjet matematické dovednosti a matematické myšlení, mentální počítání a rychlost počítání! Můžete hrát a rozvíjet se! Zajímáš se? Přečtěte si krátké články o hrách a určitě to vyzkoušejte.

Hra "Rychlé počítání"

Hra „rychlé počítání“ vám pomůže urychlit vaše duševní počítání. Podstatou hry je, že na obrázku, který vám bude předložen, budete muset vybrat odpověď ano nebo ne na otázku „Existuje 5 stejných druhů ovoce? Jděte za svým cílem a tato hra vám s tím pomůže.

Hra "Matematická srovnání"

Hra Math Comparison bude vyžadovat, abyste porovnali dvě čísla s časem. To znamená, že musíte co nejrychleji vybrat jedno ze dvou čísel. Pamatujte, že čas je omezený, a čím více odpovíte správně, tím lépe se rozvinou vaše matematické dovednosti! Zkusíme to?

Hra "Rychlé přidání"

Hra „Quick Addition“ je vynikající simulátor rychlého počítání. Podstata hry: je dáno pole 4x4, tzn. Existuje 16 čísel a nad polem je sedmnácté číslo. Váš cíl: pomocí šestnácti čísel vytvořte 17 pomocí operace sčítání. Například nad polem máte napsáno číslo 28, pak v poli musíte najít 2 taková čísla, která v součtu dají číslo 28. Jste připraveni vyzkoušet si ruku? Pak jděte do toho a trénujte!

Vývoj fenomenální mentální aritmetiky

Podívali jsme se pouze na špičku ledovce, abychom lépe rozuměli matematice – přihlaste se do našeho kurzu: Zrychlení mentální aritmetiky – NE mentální aritmetiky.

Z kurzu se nejen naučíte desítky technik pro zjednodušené a rychlé násobení, sčítání, násobení, dělení a počítání procent, ale také si je procvičíte ve speciálních úkolech a výukových hrách! Mentální aritmetika také vyžaduje hodně pozornosti a soustředění, které se aktivně trénují při řešení zajímavých problémů.

Rychlé čtení za 30 dní

Zvyšte rychlost čtení 2-3krát za 30 dní. Od 150-200 do 300-600 slov za minutu nebo od 400 do 800-1200 slov za minutu. Kurz využívá tradiční cvičení pro rozvoj rychlého čtení, techniky zrychlující mozkové funkce, metody progresivního zvyšování rychlosti čtení, psychologii rychlého čtení a dotazy účastníků kurzu. Vhodné pro děti i dospělé, kteří čtou až 5000 slov za minutu.

Rozvoj paměti a pozornosti u dítěte ve věku 5-10 let

Účel kurzu: rozvíjet paměť a pozornost dítěte, aby se mu ve škole snáze učilo, aby si lépe pamatovalo.

Po absolvování kurzu bude dítě umět:

2-5krát lépe zapamatovat si texty, obličeje, čísla, slova
Naučte se pamatovat na delší dobu
Zvýší se rychlost vyvolání potřebných informací

Naše seznámení s matematikou začíná aritmetikou, naukou o číslech. Jedna z prvních ruských učebnic aritmetiky, kterou napsal L. F. Magnitsky v roce 1703, začínala slovy: „Aritmetika neboli čitatel je poctivé, nezáviděníhodné umění a pro každého pohodlně srozumitelné, nejužitečnější a velmi chválené, od nejstarších a nejnovější, kteří žili v různých dobách nejspravedlivějších aritmetiků, vynalezli a vysvětlili.“ S aritmetikou vstupujeme, jak řekl M. V. Lomonosov, do „brán učení“ a začínáme dlouhou a obtížnou, ale fascinující cestu porozumění světu.

Slovo „aritmetika“ pochází z řeckého aritmos, což znamená „číslo“. Tato věda studuje operace s čísly, různá pravidla pro manipulaci s nimi a učí, jak řešit problémy, které se scvrkají na sčítání, odčítání, násobení a dělení čísel. Aritmetika je často představována jako jakýsi první stupeň matematiky, na základě kterého lze studovat její složitější úseky – algebru, matematickou analýzu atd. Dokonce i celá čísla - hlavní předmět aritmetiky - se při uvažování jejich obecných vlastností a vzorů odkazují na vyšší aritmetiku nebo teorii čísel. Tento pohled na aritmetiku má samozřejmě své opodstatnění – skutečně zůstává „abecedou počítání“, ale abeceda je „nejužitečnější“ a „snadno pochopitelná“.

Aritmetika a geometrie jsou dlouholetými společníky člověka. Tyto vědy se objevily, když vznikla potřeba počítat předměty, měřit pozemky, rozdělovat kořist a sledovat čas.

Aritmetika pochází ze zemí starověkého východu: Babylon, Čína, Indie, Egypt. Například egyptský Rind papyrus (pojmenovaný po svém majiteli G. Rindovi) pochází z 20. století. PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. Mimo jiné obsahuje rozklady zlomku na součet zlomků s čitatelem rovným jedné, například:

Poklady matematických znalostí nashromážděné v zemích starověkého východu rozvinuli a pokračovali vědci starověkého Řecka. Historie zachovala mnoho jmen vědců, kteří se zabývali aritmetikou ve starověkém světě – Anaxagoras a Zeno, Euklides (viz Euklides a jeho prvky), Archimedes, Eratosthenes a Diophantus. Jméno Pythagoras (VI. století př. n. l.) zde září jako jasná hvězda. Pythagorejci (studenti a následovníci Pythagora) uctívali čísla a věřili, že obsahují veškerou harmonii světa. Jednotlivým číslům a dvojicím čísel byly přiřazeny speciální vlastnosti. Čísla 7 a 36 se těšila velké úctě a zároveň se dbalo na tzv. perfektní čísla, přátelská čísla atp.

Ve středověku byl rozvoj aritmetiky spojen také s Východem: Indií, zeměmi arabského světa a Střední Asií. Od Indů k nám přišla čísla, která používáme, nula a poziční číselný systém; z al-Kashi (XV století), který pracoval na Samarkandské observatoři v Ulugbeku, - desetinné zlomky.

Díky rozvoji obchodu a vlivu orientální kultury již od 13. století. Zájem o aritmetiku roste také v Evropě. Stojí za to připomenout jméno italského vědce Leonarda z Pisy (Fibonacci), jehož dílo „Kniha počítadla“ představilo Evropanům hlavní úspěchy východní matematiky a bylo začátkem mnoha studií aritmetiky a algebry.

Spolu s vynálezem tisku (polovina 15. století) se objevily první tištěné matematické knihy. První tištěná kniha o aritmetice vyšla v Itálii v roce 1478. V „Kompletní aritmetice“ německého matematika M. Stiefela (počátek 16. století) jsou již záporná čísla a dokonce i myšlenka logaritmizace.

Zhruba od 16. stol. vývoj čistě aritmetických otázek přešel do hlavního proudu algebry - jako významný milník lze zaznamenat vzhled prací francouzského vědce F. Viety, v nichž jsou čísla označena písmeny. Od této doby jsou základní aritmetická pravidla konečně chápána z hlediska algebry.

Hlavním předmětem aritmetiky je číslo. Přirozená čísla, tzn. čísla 1, 2, 3, 4, ... atd., vznikla počítáním konkrétních předmětů. Uplynulo mnoho tisíc let, než se člověk dozvěděl, že dva bažanti, dvě ruce, dva lidé atd. lze nazvat stejným slovem „dva“. Důležitým úkolem aritmetiky je naučit se překonávat konkrétní význam názvů počítaných předmětů, odvádět pozornost od jejich tvaru, velikosti, barvy atd. Fibonacci už má úkol: „Sedm starých žen jde do Říma. Každý má 7 mezků, každý mezek nese 7 pytlů, každý pytel obsahuje 7 bochníků, každý bochník obsahuje 7 nožů, každý nůž má 7 pochev. Kolik jich tam je?" K vyřešení problému budete muset dát dohromady staré ženy, muly, tašky a chleba.

Vývoj pojmu číslo - výskyt nulových a záporných čísel, obyčejné a desetinné zlomky, způsoby zápisu čísel (číslice, zápisy, číselné soustavy) - to vše má bohatou a zajímavou historii.

„Věda o číslech se týká dvou věd: praktické a teoretické. Praktické studium čísel, pokud mluvíme o počitatelných číslech. Tato věda se používá v tržních a občanských záležitostech. Teoretická věda o číslech studuje čísla v absolutním smyslu, abstrahovaná myslí od těl a všeho, co se v nich dá spočítat.“ al-Farabi

V aritmetice se čísla sčítají, odčítají, násobí a dělí. Umění rychle a přesně provádět tyto operace na libovolných číslech bylo dlouho považováno za nejdůležitější úkol aritmetiky. V dnešní době si v hlavě nebo na papíře děláme jen ty nejjednodušší výpočty, složitější výpočetní práce stále častěji svěřujeme mikrokalkulátorům, které postupně nahrazují zařízení jako počítadlo, sčítací stroj (viz Výpočetní technika) a skluzavka. pravidlo. Obsluha všech počítačů – jednoduchých i složitých – je však založena na nejjednodušší operaci – sčítání přirozených čísel. Ukazuje se, že nejsložitější výpočty lze zredukovat na sčítání, ale tato operace musí být provedena mnohokrát. Ale tady vstupujeme do další oblasti matematiky, která má původ v aritmetice - výpočetní matematice.

Aritmetické operace s čísly mají různé vlastnosti. Tyto vlastnosti lze popsat slovy, například: „Součet se nemění změnou místa výrazů,“ lze zapsat písmeny: , lze vyjádřit speciálními výrazy.

Například tato vlastnost sčítání se nazývá komutativní nebo komutativní zákon. Aritmetické zákony používáme často ze zvyku, aniž bychom si to uvědomovali. Často se studenti ve škole ptají: "Proč se učit všechny tyto komutativní a kombinační zákony, když už je jasné, jak sčítat a násobit čísla?" V 19. stol matematika udělala důležitý krok – začala systematicky sčítat a násobit nejen čísla, ale i vektory, funkce, posunutí, tabulky čísel, matice a mnoho dalšího, a dokonce jen písmena, symboly, aniž by se skutečně zajímala o jejich konkrétní význam. A zde se ukázalo, že nejdůležitější je, jaké zákony tyto operace dodržují. Studium operací specifikovaných na libovolných objektech (ne nutně na číslech) je již oborem algebry, i když tento úkol je založen na aritmetice a jejích zákonech.

Aritmetika obsahuje mnoho pravidel pro řešení problémů. Ve starých knihách můžete najít problémy na „trojitém pravidle“, na „proporcionálním dělení“, na „metodě vah“, na „falešném pravidle“ atd. Většina těchto pravidel je dnes již zastaralá, i když problémy, které byly s jejich pomocí vyřešeny, nelze v žádném případě považovat za zastaralé. Slavný problém s bazénem naplněným několika trubkami je starý nejméně dva tisíce let a pro školáky to stále není jednoduché. Pokud však dříve k vyřešení tohoto problému bylo nutné znát zvláštní pravidlo, dnes se mladší školáci učí takový problém řešit zadáním písmenného označení požadovaného množství. Aritmetické problémy tedy vedly k nutnosti řešit rovnice, a to je opět problém algebry.

PYTHAGORAS
(asi 570-asi 500 př.n.l.)

O Pythagorovi ze Samosu nezůstaly žádné písemné dokumenty a z pozdějších důkazů je obtížné rekonstruovat skutečný obraz jeho života a úspěchů. Je známo, že Pythagoras opustil rodný ostrov Samos v Egejském moři u pobřeží Malé Asie na znamení protestu proti tyranii panovníka a již v dospělosti (podle legendy ve 40 letech) se objevil v řeckém městě Crotone v jižní Itálii. Pythagoras a jeho stoupenci - Pythagorejci - vytvořili tajné spojenectví, které sehrálo významnou roli v životě řeckých kolonií v Itálii. Pythagorejci se navzájem poznávali podle hvězdicového pětiúhelníku – pentagramu.

Pythagorovo učení bylo značně ovlivněno filozofií a náboženstvím Východu. Hodně cestoval po zemích Východu: byl v Egyptě a Babylóně. Tam se Pythagoras také seznámil s východní matematikou. Matematika se stala součástí jeho výuky a tou nejdůležitější.

Pythagorejci věřili, že tajemství světa se skrývá v číselných vzorcích. Svět čísel žil pro Pythagorejce zvláštním životem, čísla měla svůj zvláštní životní význam. Čísla rovnající se součtu jejich dělitelů byla vnímána jako dokonalá (6, 28, 496, 8128); Přátelské byly dvojice čísel, z nichž každé bylo rovno součtu dělitelů toho druhého (například 220 a 284). Pythagoras jako první rozdělil čísla na sudá a lichá, jednoduchá a složená a zavedl koncept figurovaného čísla. V jeho škole se podrobně zkoumaly pythagorejské trojice přirozených čísel, ve kterých se druhá mocnina jednoho rovnala součtu druhých mocnin zbylých dvou (viz poslední Fermatova věta).

Pythagoras je považován za výrok: "Všechno je číslo." Celý svět a matematiku zvláště chtěl zredukovat na čísla (a myslel tím pouze přirozená čísla). Ale v samotné škole Pythagoras byl učiněn objev, který tuto harmonii porušil.

Bylo prokázáno, že nejde o racionální číslo, tzn. nelze vyjádřit přirozenými čísly.

Pythagorova geometrie byla přirozeně podřízena aritmetice, což se jasně projevilo ve větě, která nese jeho jméno a která se později stala základem pro použití numerických metod v geometrii. (Později Euklides opět vynesl do popředí geometrii a podřadil jí algebru.) Pythagorejci zřejmě znali správná tělesa: čtyřstěn, krychle a dvanáctistěn.

Pythagorasovi se připisuje systematické zavádění důkazů do geometrie, vytvoření planimetrie přímočarých obrazců a doktrína podobnosti.

Jméno Pythagoras je spojeno s doktrínou aritmetických, geometrických a harmonických proporcí, průměrů.

Je třeba poznamenat, že Pythagoras považoval Zemi za kouli pohybující se kolem Slunce. Když v 16. stol Církev začala tvrdě pronásledovat Koperníkovo učení, toto učení se tvrdošíjně nazývalo pythagorejské.

ARCHIMÉDES
(asi 287–212 př. n. l.)

O Archimedovi, velkém matematikovi a mechanikovi, je známo více než o jiných starověkých vědcích. Za prvé je spolehlivý rok jeho smrti - rok pádu Syrakus, kdy vědec zemřel rukou římského vojáka. Starověcí historikové Polybius, Livius a Plutarchos však o jeho matematických přednostech řekli jen málo; z nich se do našich časů dostaly informace o vědcových úžasných vynálezech, které učinil během jeho služby u krále Hierona II. Známý je příběh o zlaté koruně krále. Archimédes ověřil čistotu jeho složení pomocí zákona vztlakové síly, který našel, a jeho zvolání „Eureka!“, tzn. "Nalezeno!". Jiná legenda říká, že Archimedes postavil systém bloků, s jejichž pomocí jeden muž dokázal spustit obrovskou loď Syracosia. Archimédova slova se pak stala okřídlenými: "Dejte mi opěrný bod a já obrátím Zemi."

Inženýrský génius Archimedes se projevil se zvláštní silou během obléhání Syrakus, bohatého obchodního města na ostrově Sicílie.

Vojáci římského konzula Marcella byli dlouhou dobu zadržováni u hradeb města bezprecedentními stroji: silné katapulty mířily na kamenné bloky, ve střílnách byly instalovány vrhací stroje, vyhazující krupobití dělových koulí, pobřežní jeřáby otočené mimo hradby a házeli kamenné a olověné bloky na nepřátelské lodě, háky zvedaly lodě a Shazovaly je z velké výšky, soustavy konkávních zrcadel (v některých příbězích - štíty) zapalovaly lodě. V „Dějinách Marcella“ popisuje Plutarchos hrůzu, která vládla v řadách římských vojáků: „Jakmile si všimli, že se za zdí pevnosti objevuje provaz nebo kláda, dali se na útěk a křičeli, že Archimédes vynalezl nový stroj na jejich zničení.“ .

Obrovský byl i Archimédův příspěvek k rozvoji matematiky. Archimédova spirála (viz Spirály), popsaná bodem pohybujícím se v rotujícím kruhu, stála stranou mezi mnoha křivkami, které znali jeho současníci. Další kinematicky definovaná křivka - cykloida - se objevila až v 17. století. Archimedes se naučil najít tečnu ke své spirále (a jeho předchůdci uměli kreslit tečny pouze ke kuželosečkám), našel oblast jejího otočení, stejně jako oblast elipsy, povrch kužele a koule, objemy koule a kulový segment. Byl obzvláště hrdý na poměr objemu koule a válce opsaného kolem ní, který objevil, který se rovná 2:3 (viz vepsané a opsané obrázky).

Archimedes také hodně pracoval na problému kvadratury kruhu (viz Slavné problémy starověku). Vědec vypočítal poměr obvodu k průměru (číslu) a zjistil, že je mezi a.

Metoda, kterou vytvořil pro výpočet obvodu a plochy obrazce, byla významným krokem k vytvoření diferenciálního a integrálního počtu, který se objevil až o 2000 let později.

Archimedes také našel součet nekonečné geometrické progrese se jmenovatelem . V matematice to byl první příklad nekonečné řady.

Velkou roli ve vývoji matematiky sehrál jeho esej „Psammit“ - „O počtu zrnek písku“, ve kterém ukazuje, jak lze pomocí stávající číselné soustavy vyjádřit libovolně velká čísla. Jako základ pro své úvahy používá problém počítání počtu zrnek písku ve viditelném vesmíru. Tím byl vyvrácen tehdy existující názor na přítomnost záhadných „největších čísel“.

Mezi důležité pojmy, které aritmetika zavedla, patří proporce a procenta. Většina konceptů a metod aritmetiky je založena na porovnávání různých závislostí mezi čísly. V historii matematiky probíhal proces slučování aritmetiky a geometrie po mnoho staletí.

Lze jasně vysledovat „geometrizaci“ aritmetiky: složitá pravidla a vzorce vyjádřené vzorci se stanou jasnějšími, pokud je lze znázornit geometricky. Důležitou roli v samotné matematice a jejích aplikacích hraje zpětný proces - převod vizuální, geometrické informace do řeči čísel (viz Grafické výpočty). Tento překlad je založen na myšlence francouzského filozofa a matematika R. Descartese o definování bodů v rovině pomocí souřadnic. Tato myšlenka se samozřejmě používala již před ním, například v námořních záležitostech, kdy bylo nutné určit polohu lodi, stejně jako v astronomii a geodézii. Ale právě od Descarta a jeho studentů pochází důsledné používání jazyka souřadnic v matematice. A v naší době, kdy řídí složité procesy (například let kosmické lodi), mají raději všechny informace ve formě čísel, které zpracovává počítač. V případě potřeby stroj pomáhá osobě překládat nashromážděné číselné informace do jazyka kreslení.

Vidíte, že když mluvíme o aritmetice, vždy jdeme za její hranice - do algebry, geometrie a dalších odvětví matematiky.

Jak můžeme vymezit hranice samotné aritmetiky?

V jakém smyslu se toto slovo používá?

Slovo "aritmetika" lze chápat jako:

akademický předmět, který se zabývá především racionálními čísly (celými čísly a zlomky), operacemi s nimi a problémy řešenými pomocí těchto operací;

část historické budovy matematiky, která nashromáždila různé informace o výpočtech;

„teoretická aritmetika“ je část moderní matematiky, která se zabývá konstrukcí různých číselných systémů (přirozených, celočíselných, racionálních, reálných, komplexních čísel a jejich zobecnění);

„formální aritmetika“ je součástí matematické logiky (viz Matematická logika), která se zabývá analýzou axiomatické teorie aritmetiky;

„vyšší aritmetika“ neboli teorie čísel, samostatně se rozvíjející část matematiky.

Všechno o všem. Svazek 5 Likum Arkady

Kdo vynalezl aritmetiku?

Aritmetika je věda o číslech. Zabývá se významy čísel, jejich symboly a tím, jak s nimi pracovat. Nikdo „nevynalezl“ aritmetiku. Vznikl z lidských potřeb. Lidé zpočátku operovali pouze s pojmem množství, ale ještě neuměli počítat. Primitivní člověk by například mohl říci, že nasbíral dost bobulí. Lovec na první pohled poznal, že ztratil jedno z kopí.

Jenže čas plynul a člověk začal mít potřebu určovat množství, tedy v číslech. Pastýři museli spočítat počet zvířat. Zemědělci museli odpočítávat načasování sezónních prací. Proto před dlouhou dobou, nikdo neví kdy, byla obě čísla a jejich jména vynalezena. Těmto číslům říkáme celá nebo přirozená čísla. Později člověk potřeboval čísla menší než jedna a čísla mezi celými čísly. Tak vznikly zlomky.

Mnohem později se začala používat jiná čísla. Některé z nich byly negativní, například mínus dva nebo mínus sedm. Základem aritmetiky se stalo číslování a poté se člověk naučil provádět čtyři základní početní operace – sčítání, odčítání, násobení a dělení.

Z knihy 100 velkých záhad kosmonautiky autor Slavín Stanislav Nikolajevič

Kdo vynalezl lunární rover? Poté, co sovětská vláda prohrála měsíční závod, předstírala, že ji to moc netrápí. Říká se, že od samého začátku jsme směřovali k průzkumu Seleny s kulomety. A to byla částečně pravda. Už jen proto, že první informace o lunárních roverech byly

Z knihy Kdo je kdo ve světě umění autor Sitnikov Vitalij Pavlovič

Kdo vynalezl serenádu? Od nepaměti brázdili zemi básníci a zpěváci. Ve starověkém Řecku se potulným básníkům, kteří zpívali své básně, říkali rapsodes. Severské národy Evropy si bardy velmi vážily. V pozdějších dobách lidé chodili po městech a vesnicích

Z knihy Svět kolem nás autor Sitnikov Vitalij Pavlovič

Kdo přišel s bajkou? Bajka je jedním z nejstarších literárních žánrů; Předpokládá se, že se stejně jako mýtus stal jednou z prvních literárních forem, která odrážela představy lidí o světě. Jejím prvním autorem je prý otrok Ezop, proslulý svým vtipem. Věří se, že

autor Sitnikov Vitalij Pavlovič

Kdo vynalezl injekci? Anglický vědec W. Harvey poprvé oznámil v roce 1628 možnost vpravovat do těla léčivé látky kůží, publikoval zásadní dílo, ve kterém hovořil o fungování oběhového systému člověka. Harvey se vyjádřil