Логаритъм на числото 8 при основа 3. Какво е логаритъм. Примери за решаване на логаритми

Здраве

Алгебрата е сложна и интересна наука, базирана на много функции. Нека да разгледаме какво е логаритъм и какви са неговите свойства.

Логаритъм е степента, на която трябва да се повиши числото a, за да се получи числото x.

Алгебрата познава много видове логаритми. Най-често срещаните видове логаритми са:

натурален с основа e=2.718281, означен с ln.
Пример: ln1=0. lne=1;
десетична с основа 10, означена с lg.
Пример: lg100=2. log 10 100=2, тъй като 10 2 =100;
двоичен, означен като lb(b) или lb 2 b. Дали решението на уравнението 2 x =b.
Пример: lb16=4.

Последните се използват широко в компютърните науки, теорията на информацията, както и в много подполета на дискретната математика. Логаритмите помагат на статистиците да определят най-важните вероятностни разпределения. Използват се и в генетиката.

Преброяване с помощта на логаритми

Математиците отдавна са наясно с уникалните свойства на логаритмите, както и с възможността да ги използват за опростяване на сложни изчисления. И така, когато преминаваме към логаритми:

умножението лесно се заменя със събиране;
деление – чрез изваждане;
издигането на определена степен или вземането на корен става умножение или деление.

Когато броите с помощта на логаритми, трябва да се отървете от знака за дневник. при което:

Причината и аргументът трябва да са положителни;
Основата трябва да е различна от единица, тъй като това число, повдигнато на произволна степен, остава непроменено.

Логаритмична функция

Логаритмичната функция y = loga x (където a > 0, a ≠ 1) също се използва в изчисленията. Сред неговите свойства са следните:

областта на дефиниране на тази функция е в множеството от положителни числа;
наборът от стойности на функцията е представен от реални числа;
функцията няма максимална или минимална стойност;
функцията принадлежи към общата форма, не е четна или нечетна;
функцията не е периодична;
графиката минава през координатните оси в точка (1;0);
ако основата е по-голяма от единица, функцията нараства, а ако е по-малка от единица, намалява.

Сега имате представа за логаритмите, техния обхват, както и свойствата на логаритмичната функция.

Логаритъмът на число b при основа a е степента, до която трябва да се повдигне числото a, за да се получи числото b.

Ако, тогава.

Логаритъм - екстремен важна математическа величина, тъй като логаритмичното смятане позволява не само решаване на експоненциални уравнения, но и работа с експоненциални показатели, диференциране на експоненциални и логаритмични функции, интегрирането им и довеждането им до по-приемлива форма за изчисляване.

Във връзка с

Всички свойства на логаритмите са пряко свързани със свойствата на експоненциалните функции. Например фактът, че означава, че:

Трябва да се отбележи, че при решаването на конкретни проблеми свойствата на логаритмите могат да се окажат по-важни и полезни от правилата за работа със степените.

Нека представим някои самоличности:

Ето основните алгебрични изрази:

;

внимание!може да съществува само за x>0, x≠1, y>0.

Нека се опитаме да разберем въпроса какво представляват естествените логаритми. Специален интерес към математиката представляват два вида- първият има за основа числото “10” и се нарича “десетичен логаритъм”. Вторият се нарича естествен. Основата на естествения логаритъм е числото "e". За това ще говорим подробно в тази статия.

Обозначения:

lg x - десетична;
ln x - естествено.

Използвайки тъждеството, можем да видим, че ln e = 1, както и факта, че lg 10=1.

Графика на натурален логаритъм

Нека построим графика на натурален логаритъм, използвайки стандартния класически метод точка по точка. Ако желаете, можете да проверите дали конструираме функцията правилно, като разгледате функцията. Въпреки това има смисъл да се научите как да го изграждате „ръчно“, за да знаете как правилно да изчислите логаритъма.

Функция: y = ln x. Нека напишем таблица с точки, през които ще премине графиката:

Нека обясним защо избрахме тези конкретни стойности на аргумента x. Всичко е въпрос на идентичност: . За естествения логаритъм тази идентичност ще изглежда така:

За удобство можем да вземем пет референтни точки:

;

По този начин изчисляването на естествени логаритми е доста проста задача; освен това опростява изчисленията на операции със степени, превръщайки ги в обикновено умножение.

Като начертаем графика точка по точка, получаваме приблизителна графика:

Областта на дефиниране на естествения логаритъм (т.е. всички валидни стойности на аргумента X) са всички числа, по-големи от нула.

внимание!Домейнът на дефиниция на естествения логаритъм включва само положителни числа! Обхватът на дефиницията не включва x=0. Това е невъзможно въз основа на условията за съществуване на логаритъма.

Диапазонът от стойности (т.е. всички валидни стойности на функцията y = ln x) е всички числа в интервала.

Естествен лимит на дневника

Изучавайки графиката, възниква въпросът - как се държи функцията при y<0.

Очевидно графиката на функцията има тенденция да пресича оста y, но няма да може да направи това, тъй като естественият логаритъм от x<0 не существует.

Граница на естественото дневникможе да се напише по следния начин:

Формула за заместване на основата на логаритъм

Работата с натурален логаритъм е много по-лесна от работата с логаритъм, който има произволна основа. Ето защо ще се опитаме да научим как да редуцираме всеки логаритъм до естествен или да го изразим до произволна основа чрез естествени логаритми.

Нека започнем с логаритмичната идентичност:

Тогава всяко число или променлива y може да бъде представено като:

където x е произволно число (положително според свойствата на логаритъма).

Този израз може да се вземе логаритмично от двете страни. Нека направим това с произволна основа z:

Нека използваме свойството (само вместо "c" имаме израза):

От тук получаваме универсалната формула:

По-специално, ако z=e, тогава:

Успяхме да представим логаритъм на произволна основа чрез съотношението на два натурални логаритъма.

Решаваме проблеми

За да разберем по-добре естествените логаритми, нека разгледаме примери за няколко задачи.

Проблем 1. Необходимо е да се реши уравнението ln x = 3.

Решение:Използвайки дефиницията на логаритъма: ако , тогава , получаваме:

Проблем 2. Решете уравнението (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Решение: Използвайки дефиницията на логаритъма: ако , тогава , получаваме:

Нека отново използваме определението за логаритъм:

По този начин:

Можете приблизително да изчислите отговора или можете да го оставите в тази форма.

Задача 3.Решете уравнението.

Решение:Нека направим заместване: t = ln x. Тогава уравнението ще приеме следния вид:

Имаме квадратно уравнение. Нека намерим неговия дискриминант:

В статистиката и теорията на вероятностите логаритмичните величини се срещат много често. Това не е изненадващо, тъй като числото e често отразява скоростта на нарастване на експоненциалните величини.

В компютърните науки, програмирането и компютърната теория логаритмите се срещат доста често, например, за да се съхранят N бита в паметта.

В теориите за фракталите и размерите логаритмите се използват постоянно, тъй като размерите на фракталите се определят само с тяхна помощ.

В механиката и физикатаНяма раздел, в който да не са използвани логаритми. Барометричното разпределение, всички принципи на статистическата термодинамика, уравнението на Циолковски и др. са процеси, които могат да бъдат описани математически само с помощта на логаритми.

В химията логаритмите се използват в уравненията на Нернст и описанията на редокс процесите.

Удивително е, че дори в музиката, за да се намери броят на частите на една октава, се използват логаритми.

Натурален логаритъм Функция y=ln x нейните свойства

Доказателство за основното свойство на естествения логаритъм

основни свойства.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

идентични основания

Log6 4 + log6 9.

Сега нека усложним малко задачата.

Примери за решаване на логаритми

Ами ако основата или аргументът на логаритъм е степен? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва ODZ на логаритъма: a > 0, a ≠ 1, x >

Задача. Намерете значението на израза:

Преход към нова основа

Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

Задача. Намерете значението на израза:

Вижте също:

Основни свойства на логаритъма

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Показателят е 2,718281828…. За да запомните показателя, можете да изучите правилото: показателят е равен на 2,7 и два пъти годината на раждане на Лев Николаевич Толстой.

Основни свойства на логаритмите

Познавайки това правило, вие ще знаете както точната стойност на експонента, така и датата на раждане на Лев Толстой.

Примери за логаритми

Логаритмични изрази

Пример 1.
А). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Използвайки свойства 3.5, изчисляваме

4. Където .

Пример 2. Намерете x if

Пример 3. Нека е дадена стойността на логаритмите

Изчислете log(x), ако

Основни свойства на логаритмите

Логаритмите, като всички числа, могат да се събират, изваждат и трансформират по всякакъв начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук има правила, които се наричат основни свойства.

Определено трябва да знаете тези правила - без тях не може да се реши нито една сериозна логаритмична задача. Освен това има много малко от тях - можете да научите всичко за един ден. Така че да започваме.

Събиране и изваждане на логаритми

Помислете за два логаритма с еднакви основи: logax и logay. След това те могат да се събират и изваждат и:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

И така, сумата от логаритми е равна на логаритъма от произведението, а разликата е равна на логаритъма от частното. Моля, обърнете внимание: ключовият момент тук е идентични основания. Ако причините са различни, тези правила не работят!

Тези формули ще ви помогнат да изчислите логаритмичен израз, дори когато отделните му части не се вземат предвид (вижте урока „Какво е логаритъм“). Разгледайте примерите и вижте:

Тъй като логаритмите имат еднакви основи, ние използваме формулата за сумата:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log2 48 − log2 3.

Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log3 135 − log3 5.

Отново основите са същите, така че имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от „лоши“ логаритми, които не се изчисляват отделно. Но след трансформациите се получават напълно нормални числа. Много тестове се основават на този факт. Да, изрази, подобни на тестове, се предлагат напълно сериозно (понякога почти без промени) на Единния държавен изпит.

Извличане на показателя от логаритъма

Лесно се вижда, че последното правило следва първите две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва ODZ на логаритъма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно , т.е. Можете да въведете числата преди знака за логаритъм в самия логаритъм. Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log7 496.

Нека се отървем от степента в аргумента, използвайки първата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете значението на израза:

Обърнете внимание, че знаменателят съдържа логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 24; 49 = 72. Имаме:

Мисля, че последният пример изисква известно пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя.

Логаритмични формули. Логаритми примерни решения.

Представихме основата и аргумента на логаритъма, който стои там под формата на степени и извадихме показателите - получихме "триетажна" дроб.

Сега нека разгледаме основната фракция. Числителят и знаменателят съдържат едно и също число: log2 7. Тъй като log2 7 ≠ 0, можем да намалим дробта - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката четворката може да се прехвърли в числителя, което и беше направено. Резултатът беше отговорът: 2.

Преход към нова основа

Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с еднакви основи. Ами ако причините са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?

Формулите за преход към нова основа идват на помощ. Нека ги формулираме под формата на теорема:

Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

По-специално, ако зададем c = x, получаваме:

От втората формула следва, че основата и аргументът на логаритъма могат да се разменят, но в този случай целият израз се „обръща“, т.е. логаритъма се появява в знаменателя.

Тези формули рядко се срещат в обикновени числови изрази. Възможно е да се оцени колко са удобни само при решаване на логаритмични уравнения и неравенства.

Има обаче проблеми, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека да разгледаме няколко от тях:

Задача. Намерете стойността на израза: log5 16 log2 25.

Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма съдържат точни степени. Нека извадим индикаторите: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Сега нека "обърнем" втория логаритъм:

Тъй като продуктът не се променя при пренареждане на множителите, ние спокойно умножихме четири и две и след това се справихме с логаритмите.

Задача. Намерете стойността на израза: log9 100 lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека запишем това и да се отървем от индикаторите:

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като преминем към нова основа:

Основно логаритмично тъждество

Често в процеса на решаване е необходимо да се представи число като логаритъм на дадена основа. В този случай ще ни помогнат следните формули:

В първия случай числото n става експонента в аргумента. Числото n може да бъде абсолютно всичко, защото е само логаритъм.

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Така се казва: .

Всъщност, какво се случва, ако числото b се повдигне на такава степен, че числото b на тази степен дава числото a? Точно така: резултатът е същото число a. Прочетете внимателно този параграф отново - много хора се забиват в него.

Подобно на формулите за преминаване към нова база, основното логаритмично тъждество понякога е единственото възможно решение.

Задача. Намерете значението на израза:

Обърнете внимание, че log25 64 = log5 8 - просто взе квадрат от основата и аргумента на логаритъма. Като вземем предвид правилата за умножение на степени с една и съща основа, получаваме:

Ако някой не знае, това беше истинска задача от Единния държавен изпит :)

Логаритмична единица и логаритмична нула

В заключение ще дам две тъждества, които трудно могат да бъдат наречени свойства - по-скоро те са следствия от дефиницията на логаритъма. Те постоянно се появяват в проблеми и, изненадващо, създават проблеми дори за „напреднали“ ученици.

logaa = 1 е. Запомнете веднъж завинаги: логаритъмът при всяка основа а на самата тази основа е равен на едно.
log 1 = 0 е. Основата a може да бъде всякаква, но ако аргументът съдържа единица, логаритъма е равен на нула! Тъй като a0 = 1 е пряко следствие от определението.

Това са всички имоти. Не забравяйте да се упражнявате да ги прилагате на практика! Изтеглете измамника в началото на урока, разпечатайте го и решете задачите.

Вижте също:

Логаритъмът от b при основа а означава израза. Да се изчисли логаритъм означава да се намери степен x (), при която равенството е изпълнено

Основни свойства на логаритъма

Необходимо е да се знаят горните свойства, тъй като почти всички задачи и примери, свързани с логаритми, се решават на тяхна основа. Останалите екзотични свойства могат да бъдат извлечени чрез математически манипулации с тези формули

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Когато изчислявате формулата за сбора и разликата на логаритмите (3.4), срещате доста често. Останалите са малко сложни, но в редица задачи са незаменими за опростяване на сложни изрази и изчисляване на техните стойности.

Често срещани случаи на логаритми

Някои от често срещаните логаритми са тези, при които основата е дори десет, експоненциална или две.
Логаритъмът по основа десет обикновено се нарича десетичен логаритъм и се означава просто с lg(x).

От записа става ясно, че основното не е написано в записа. Например

Натурален логаритъм е логаритъм, чиято основа е показател (обозначен с ln(x)).

Показателят е 2,718281828…. За да запомните показателя, можете да изучите правилото: показателят е равен на 2,7 и два пъти годината на раждане на Лев Николаевич Толстой. Познавайки това правило, вие ще знаете както точната стойност на експонента, така и датата на раждане на Лев Толстой.

И друг важен логаритъм при основа две е означен с

Производната на логаритъма на функция е равна на единица, разделена на променливата

Интегралният или противопроизводният логаритъм се определя от връзката

Даденият материал е достатъчен, за да решите широк клас задачи, свързани с логаритми и логаритми. За да ви помогна да разберете материала, ще дам само няколко общи примера от училищната програма и университетите.

Примери за логаритми

Логаритмични изрази

Пример 1.
А). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Използвайки свойства 3.5, изчисляваме

2.
По свойството разлика на логаритмите имаме

3.
Използвайки свойства 3.5 намираме

4. Където .

Привидно сложен израз се опростява, за да се формира с помощта на редица правила

Намиране на логаритмични стойности

Пример 2. Намерете x if

Решение. За изчисление прилагаме към последния термин 5 и 13 свойства

Записваме го и скърбим

Тъй като основите са равни, приравняваме изразите

Логаритми. Първо ниво.

Нека е дадена стойността на логаритмите

Изчислете log(x), ако

Решение: Нека вземем логаритъм на променливата, за да запишем логаритъма чрез сумата от нейните членове

Това е само началото на нашето запознаване с логаритмите и техните свойства. Практикувайте изчисления, обогатете практическите си умения - скоро ще имате нужда от знанията, които придобивате, за решаване на логаритмични уравнения. След като изучихме основните методи за решаване на такива уравнения, ще разширим знанията ви към друга също толкова важна тема - логаритмичните неравенства...

Основни свойства на логаритмите

Събиране и изваждане на логаритми

Помислете за два логаритма с еднакви основи: logax и logay. След това те могат да се събират и изваждат и:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Задача. Намерете стойността на израза: log6 4 + log6 9.

Тъй като логаритмите имат еднакви основи, ние използваме формулата за сумата:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log2 48 − log2 3.

Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log3 135 − log3 5.

Отново основите са същите, така че имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Извличане на показателя от логаритъма

Сега нека усложним малко задачата. Ами ако основата или аргументът на логаритъм е степен? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Как се решават логаритми

Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log7 496.

Нека се отървем от степента в аргумента, използвайки първата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете значението на израза:

Мисля, че последният пример изисква известно пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя. Представихме основата и аргумента на логаритъма, който стои там под формата на степени и извадихме показателите - получихме "триетажна" дроб.

Преход към нова основа

Формулите за преход към нова основа идват на помощ. Нека ги формулираме под формата на теорема:

Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

По-специално, ако зададем c = x, получаваме:

Задача. Намерете стойността на израза: log5 16 log2 25.

Сега нека "обърнем" втория логаритъм:

Задача. Намерете стойността на израза: log9 100 lg 3.

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като преминем към нова основа:

Основно логаритмично тъждество

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Така се казва: .

Задача. Намерете значението на израза:

Ако някой не знае, това беше истинска задача от Единния държавен изпит :)

Логаритмична единица и логаритмична нула

logaa = 1 е. Запомнете веднъж завинаги: логаритъмът при всяка основа а на самата тази основа е равен на едно.
log 1 = 0 е. Основата a може да бъде всякаква, но ако аргументът съдържа единица, логаритъма е равен на нула! Тъй като a0 = 1 е пряко следствие от определението.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Логаритъм положително число N към основата(b> 0, b 1 ) наречен експонентах , към който трябва да изградите b, за да получите N .

Логаритъм:

Този запис е еквивалентен на следното:b x = N .

ПРИМЕРИ: дневник 3 81 = 4, тъй като 3 4 = 81;

Дневник 1/3 27 = – 3, тъй като (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

Горната дефиниция на логаритъм може да бъде записана като идентичност:

Основни свойства на логаритмите.

1) дневник b= 1 , защото b 1 = б.

2) дневник 1 = 0 , защото b 0 = 1 .

3) Логаритъмът на произведението е равен на сумата от логаритмите на факторите:

дневник( аб) = дневник а+ дневник b.

4) Логаритъмът на частното е равен на разликата между логаритмите на делителя и делителя:

дневник( а/b) = дневник а–дневник b.

5) Логаритъмът на степен е равен на произведението на експонентата и логаритъма на нейната основа:

дневник (b к ) = кдневник b.

Последствието от това свойство е следното:логаритъм от корена равен на логаритъма на радикалното число, разделен на степента на корена:

6) Ако основата на логаритъма е степен, тогава стойността обратната на експонентата, може да бъде извадена от логаритмичния знакрима:

Последните две свойства могат да бъдат комбинирани в едно:

7) Формула на преходния модул (т.е.д . преход от една базалогаритъм към друга основа):

В специалния случай, когато N=aние имаме:

Десетичен логаритъм Наречен основен логаритъм 10. Обозначава се lg, т.е. дневник 10 н = lg н. Логаритми на числата 10, 100, 1000, ...стр числата са съответно 1, 2, 3, …тези. има толкова много положителни

единици, колко нули има в логаритмично число след единица. Логаритми на числата 0.1, 0.01, 0.001, ...стр avna съответно –1, –2, –3, …, т.е. има толкова отрицателни, колкото нули има преди едно в логаритмичното число ( броене и нула цели числа). Логаритми други числа имат дробна част, наречена мантиса. Цялчаст от логаритъма се нарича Характеристика. За практическа употребаДесетичните логаритми са най-удобни.

Натурален логаритъм Наречен основен логаритъм д. Обозначава сев, т.е. дневник дн = вътре н. Номер де ирационално, топриблизителна стойност 2.718281828.То е границата, към която клони числото(1 + 1 / н) н с неограничено увеличениен(см. първата прекрасна граница ).
Колкото и странно да изглежда, естествените логаритми се оказаха много удобни при извършване на различни видове операции, свързани с анализа на функциите.Изчисляване на логаритми по основадсе извършва много по-бързо, отколкото по друга причина.