Примери за намаляване на тригонометрията. Формули за отливане. Бързо и лесно

красотата

И още една задача Б11 по същата тема - от реалното УПГ по математика.

Задача. Намерете стойността на израза:

В този кратък видео урок ще научим как да кандидатстваме формули за намаляванеза решаване на реални задачи B11 от изпита по математика. Както можете да видите, имаме два тригонометрични израза пред нас, всеки от които съдържа синуси и косинуси, както и доста брутални числени аргументи.

Преди да решим тези задачи, нека си припомним какво представляват формулите за редукция. Така че, ако имаме изрази като:

Тогава можем да се отървем от първия член (от формата k · π/2) според специални правила. Нека начертаем тригонометрична окръжност, маркираме основните точки върху нея: 0, π/2; π; 3π/2 и 2π. След това разглеждаме първия член под знака на тригонометричната функция. Ние имаме:

Ако терминът, който ни интересува, лежи на вертикалната ос на тригонометричната окръжност (например: 3π / 2; π / 2 и т.н.), тогава първоначалната функция се заменя с кофункция: синусът се заменя с a косинус и косинусът се заменя със синус.
Ако нашият член лежи на хоризонталната ос, тогава първоначалната функция не се променя. Просто премахнете първия член в израза - и това е всичко.

Така получаваме тригонометрична функция, която не съдържа членове от вида k · π/2. Работата с формулите за редукция обаче не свършва дотук. Факт е, че преди нашата нова функция, получена след "отхвърлянето" на първия член, може да има знак плюс или минус. Как да разпознаем този знак? Сега ще разберем.

Представете си, че ъгълът α, който остава вътре в тригонометричната функция след трансформации, има много малка градусна мярка. Но какво означава "малка мярка"? Да предположим, че α ∈ (0; 30°) - това е напълно достатъчно. Да вземем функция като пример:

След това, следвайки нашите допускания, че α ∈ (0; 30°), заключаваме, че ъгълът 3π/2 − α лежи в третия координатен квадрант, т.е. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Припомняме знака на оригиналната функция, т.е. y = sin x на този интервал. Очевидно синусът в третата координатна четвърт е отрицателен, защото по дефиниция синусът е ординатата на края на движещия се радиус (накратко, синусът е y координатата). Добре, у-координатата в долната полуравнина винаги приема отрицателни стойности. Следователно през третото тримесечие y също е отрицателно.

Въз основа на тези съображения можем да напишем крайния израз:

Задача B11 - 1 вариант

Същите тези техники са доста подходящи за решаване на задача B11 от Единния държавен изпит по математика. Единствената разлика е, че в много реални задачи B11, вместо мярка в радиан (т.е. числата π, π/2, 2π и т.н.), се използва мярка в градус (т.е. 90°, 180°, 270° и и т.н.). Нека разгледаме първата задача:

Нека първо се заемем с числителя. cos 41° е стойност извън таблицата, така че не можем да направим нищо с нея. Засега нека го оставим така.

Сега вижте знаменателя:

sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°

Очевидно имаме редукционна формула пред нас, така че синусът е заменен с косинус. Освен това ъгълът 41° лежи върху сегмента (0°; 90°), т.е. в първата координатна четвърт - точно колкото е необходимо за прилагане на формулите за намаляване. Но тогава 90° + 41° е втората координатна четвърт. Първоначалната функция y = sin x е положителна там, поради което поставихме знак плюс пред косинуса на последната стъпка (с други думи, не поставихме нищо).

Остава да се справим с последния елемент:

cos 240° = cos (180° + 60°) = -cos 60° = -0,5

Тук виждаме, че 180° е хоризонталната ос. Следователно самата функция няма да се промени: имаше косинус - и косинусът също ще остане. Но отново възниква въпросът: ще бъде ли плюс или минус пред получения израз cos 60 °? Имайте предвид, че 180° е третият координатен квадрант. Косинусът там е отрицателен, следователно косинусът ще завърши със знак минус. Като цяло получаваме конструкцията -cos 60 ° = -0,5 - това е таблична стойност, така че всичко е лесно за изчисляване.

Сега заместваме получените числа в оригиналната формула и получаваме:

Както можете да видите, числото cos 41 ° в числителя и знаменателя на фракцията лесно се намалява и остава обичайният израз, който е равен на −10. В този случай минусът може или да бъде изваден и поставен пред знака за фракция, или да се „запази“ до втория множител до последната стъпка от изчисленията. Така или иначе, отговорът е -10. Това е всичко, проблем B11 е решен!

Задача B14 - 2-ри вариант

Да преминем към втората задача. Пред нас пак е дроб:

Добре, имаме 27° в първия координатен квадрант, така че няма да променяме нищо тук. Но грях 117 ° трябва да бъде боядисан (засега без квадрат):

sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°

Очевидно отново пред нас формула за намаляване: 90° е вертикалната ос, така че синусът ще се промени на косинус. Освен това ъгълът α = 117° = 90° + 27° лежи във втория координатен квадрант. Първоначалната функция y = sin x е положителна там, следователно преди косинуса след всички трансформации все още остава знакът плюс. С други думи, нищо не се добавя там - оставяме го така: cos 27 °.

Връщаме се към оригиналния израз, който трябва да бъде оценен:

Както можете да видите, след трансформациите основното тригонометрично тъждество се появи в знаменателя: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Общо -4: 1 = -4 - така намерихме отговора на втората задача B11.

Както можете да видите, с помощта на формули за редукция такива задачи от Единния държавен изпит по математика се решават само в няколко реда. Няма синуси на сумата и косинуси на разликата. Всичко, което трябва да запомним, е просто тригонометрична окръжност.

Определение. Формулите за редукция се наричат формули, които ви позволяват да преминете от тригонометрични функции на формата към аргументни функции. С тяхна помощ синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът на произволен ъгъл могат да бъдат намалени до синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл от 0 до 90 градуса (от 0 до радиани). По този начин формулите за намаляване ни позволяват да преминем към работа с ъгли в рамките на 90 градуса, което несъмнено е много удобно.

Формули за гласове:

Има две правила за използване на кастинг формули.

1. Ако ъгълът може да бъде представен като (π/2 ±a) или (3*π/2 ±a), тогава промени в името на функцията sin към cos, cos към sin, tg към ctg, ctg към tg. Ако ъгълът може да бъде представен като (π ±a) или (2*π ±a), тогава името на функцията остава непроменено.

Вижте фигурата по-долу, тя схематично показва кога знакът трябва да се промени и кога не.

2. Знак за намалена функция остава същото. Ако първоначалната функция е имала знак плюс, тогава намалената функция също има знак плюс. Ако първоначалната функция е имала знак минус, тогава намалената функция също има знак минус.

Фигурата по-долу показва знаците на основните тригонометрични функции в зависимост от тримесечието.

Пример:

Изчисли

Нека използваме формулите за намаляване:

Sin(150˚) е във втората четвърт, можем да видим от фигурата, че знакът на sin в тази четвърт е равен на "+". Това означава, че горната функция също ще има знак „+“. Приложихме второто правило.

Сега 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ е π/2. Тоест, имаме работа със случая π / 2 + 60, следователно, според първото правило, променяме функцията от sin на cos. В резултат на това получаваме Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Урок и презентация на тема: "Приложение на формули за редукция при решаване на задачи"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения. Всички материали се проверяват с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазин "Интеграл" за 10 клас
1C: Училище. Интерактивни конструиращи задачи за 7-10 клас
1C: Училище. Решаваме задачи по геометрия. Интерактивни задачи за изграждане в пространството за 10-11 клас

Какво ще изучаваме:
1. Да повторим малко.
2. Правила за редукционни формули.
3. Таблица на трансформациите за редукционни формули.
4. Примери.

Повторение на тригонометрични функции

Момчета, вече сте срещали формули за призраци, но те все още не са наречени така. Къде мислиш?

Вижте нашите рисунки. Правилно, когато въведоха дефинициите на тригонометричните функции.

Правило за редукционни формули

Нека въведем основното правило: Ако знакът на тригонометричната функция съдържа число от вида π×n/2 + t, където n е всяко цяло число, тогава нашата тригонометрична функция може да бъде намалена до по-проста форма, която ще съдържа само аргумента T. Такива формули се наричат призрачни формули.

Нека си припомним някои формули:

sin(t + 2π*k) = sin(t)
cos(t + 2π*k) = cos(t)
sin(t + π) = -sin(t)
cos(t + π) = -cos(t)
sin(t + π/2) = cos(t)
cos(t + π/2) = -sin(t)
tg(t + π*k) = tg(x)
ctg(t + π*k) = ctg(x)

има много призрачни формули, нека направим правило, по което ще определяме нашите тригонометрични функции, когато използваме призрачни формули:

Ако знакът на тригонометричната функция съдържа числа от формата: π + t, π - t, 2π + t и 2π - t, тогава функцията няма да се промени, т.е. например синусът ще остане синус, котангенс ще остане котангенс.
Ако знакът на тригонометричната функция съдържа числа от вида: π/2 + t, π/2 - t,
3π/2 + t и 3π/2 - t, тогава функцията ще се промени на свързана, т.е. синусът ще стане косинус, котангенсът ще стане тангенс.
Преди получената функция трябва да поставите знака, който преобразуваната функция би имала, ако е 0

Тези правила се прилагат и когато аргументът на функцията е в градуси!

Можем също да направим таблица на преобразуването на тригонометрични функции:

Примери за използване на формули за намаляване

1. Нека преобразуваме cos(π + t). Името на функцията остава, т.е. получаваме cos(t). След това да предположим, че π/2

2. Преобразувайте sin(π/2 + t). Променя се името на функцията, т.е. получаваме cos(t). Освен това да предположим, че 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. Нека трансформираме tg(π + t). Името на функцията остава, т.е. получаваме tg(t). Освен това да предположим, че 0

4. Нека трансформираме ctg(270 0 + t). Името на функцията се променя, тоест получаваме tg(t). Освен това да предположим, че 0

Задачи с редукционни формули за самостоятелно решение

Момчета, преобразувайте се, като използвате нашите правила:

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) ctg(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) ctg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) sin(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 - t),
9) sin(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).

Има две правила за използване на кастинг формули.

Вижте фигурата по-долу, тя схематично показва кога знакът трябва да се промени и кога не.

2. Правилото „какъвто си бил, такъв си оставаш“.

Знакът на намалената функция остава същият. Ако първоначалната функция е имала знак плюс, тогава намалената функция също има знак плюс. Ако първоначалната функция е имала знак минус, тогава намалената функция също има знак минус.

Фигурата по-долу показва знаците на основните тригонометрични функции в зависимост от тримесечието.

Изчислете Sin(150˚)

Нека използваме формулите за намаляване:

Sin(150˚) е във втората четвърт, можем да видим от фигурата, че знакът на греха в тази четвърт е +. Това означава, че горната функция също ще има знак плюс. Приложихме второто правило.

Ако желаете, всички формули за намаляване могат да бъдат обобщени в една таблица. Но все пак е по-лесно да запомните тези две правила и да ги използвате.

Нуждаете се от помощ с обучението си?

Предишна тема: