ในการแก้ตัวอย่างที่มีเศษส่วน คุณต้องสามารถหาตัวส่วนร่วมที่เล็กที่สุดได้ ด้านล่างนี้เป็นคำแนะนำโดยละเอียด

วิธีหาตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด - แนวคิด

ตัวหารร่วมน้อย (LCD) ด้วยคำพูดง่ายๆคือจำนวนขั้นต่ำที่หารด้วยตัวส่วนของเศษส่วนทั้งหมดในตัวอย่างนี้ เรียกว่าตัวคูณร่วมน้อย (LCM) NOZ จะใช้ก็ต่อเมื่อตัวส่วนของเศษส่วนต่างกันเท่านั้น

วิธีหาตัวหารร่วมที่ต่ำที่สุด - ตัวอย่าง

ลองพิจารณาตัวอย่างการค้นหา NOZ

คำนวณ: 3/5 + 2/15

วิธีแก้ไข (ลำดับของการกระทำ):

• เราดูที่ตัวส่วนของเศษส่วน ตรวจสอบให้แน่ใจว่าพวกมันต่างกันและนิพจน์จะลดลงให้มากที่สุด
• เราพบจำนวนที่น้อยที่สุดซึ่งหารด้วยทั้ง 5 และ 15 ลงตัว จำนวนนี้จะเป็น 15 ดังนั้น 3/5 + 2/15 = ?/15
• เราหาตัวส่วนได้แล้ว อะไรจะเป็นตัวเศษ? ตัวคูณเพิ่มเติมจะช่วยเราคิดออก ปัจจัยเพิ่มเติมคือจำนวนที่ได้จากการหาร NOZ ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนเฉพาะ สำหรับ 3/5 ตัวประกอบเพิ่มเติมคือ 3 เนื่องจาก 15/5 = 3 สำหรับเศษส่วนที่สอง ตัวประกอบเพิ่มเติมคือ 1 เนื่องจาก 15/15 = 1
• เมื่อทราบปัจจัยเพิ่มเติมแล้ว เราจะคูณด้วยตัวเศษของเศษส่วนและเพิ่มค่าผลลัพธ์ 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15

คำตอบ: 3/5 + 2/15 = 11/15

หากในตัวอย่างไม่ใช่ 2 แต่มีการเพิ่มหรือลบเศษส่วนตั้งแต่ 3 เศษขึ้นไป จะต้องค้นหา NOZ เพื่อหาเศษส่วนเท่าที่กำหนด

คำนวณ: 1/2 - 5/12 + 3/6

วิธีแก้ไข (ลำดับของการกระทำ):

• การหาตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด จำนวนขั้นต่ำที่หารด้วย 2, 12 และ 6 ลงตัวคือ 12
• เราได้: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12
• เรากำลังมองหาตัวคูณเพิ่มเติม สำหรับ 1/2 - 6; สำหรับ 5/12 - 1; สำหรับ 3/6 - 2
• เราคูณด้วยตัวเศษและกำหนดเครื่องหมายที่เกี่ยวข้อง: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12

คำตอบ: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12

แต่หลายคน จำนวนเต็มหารด้วยจำนวนธรรมชาติอื่นได้ลงตัว

ตัวอย่างเช่น:

เลข 12 หารด้วย 1, 2, 3, 4, 6, 12;

เลข 36 หารด้วย 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36 ลงตัว

ตัวเลขที่จำนวนหารลงตัว (สำหรับ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12) เรียกว่า ตัวหารจำนวน. ตัวหารของจำนวนธรรมชาติ กคือจำนวนธรรมชาติที่หารจำนวนที่กำหนด กอย่างไร้ร่องรอย จำนวนธรรมชาติที่มีตัวประกอบมากกว่าสองตัวเรียกว่า คอมโพสิต .

โปรดทราบว่าหมายเลข 12 และ 36 มีตัวหารร่วมกัน ตัวเลขเหล่านี้คือ: 1, 2, 3, 4, 6, 12 ตัวหารที่ใหญ่ที่สุดของตัวเลขเหล่านี้คือ 12 ตัวหารร่วมของตัวเลขสองตัวนี้ กและ ขคือจำนวนที่หารด้วยจำนวนที่กำหนดทั้งสองโดยไม่มีเศษเหลือ กและ ข.

ตัวคูณร่วมจำนวนหลายตัวเรียกว่าจำนวนที่หารด้วยแต่ละจำนวนเหล่านี้ลงตัว ตัวอย่างเช่นตัวเลข 9, 18 และ 45 มีผลคูณร่วมของ 180 แต่ 90 และ 360 ก็เป็นตัวคูณร่วมเช่นกัน ในบรรดาผลคูณ jcommon ทั้งหมด จะมีตัวที่น้อยที่สุดเสมอ ในกรณีนี้คือ 90 ตัวเลขนี้เรียกว่า น้อยที่สุดตัวคูณร่วม (LCM).

LCM เป็นจำนวนธรรมชาติเสมอ ซึ่งต้องมากกว่าจำนวนที่มากที่สุดที่กำหนดไว้

ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) คุณสมบัติ.

การสับเปลี่ยน:

ความเชื่อมโยง:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า และ เป็นจำนวนโคไพรม์ แล้ว:

ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มสองจำนวน มและ นเป็นตัวหารของตัวคูณร่วมอื่นๆ ทั้งหมด มและ น. นอกจากนี้ เซตของตัวคูณร่วม มตรงกับชุดของผลคูณสำหรับ LCM( ม).

เส้นกำกับสำหรับสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันทางทฤษฎีจำนวนได้

ดังนั้น, ฟังก์ชันเชบีเชฟ. และ:

สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความและคุณสมบัติของฟังก์ชัน Landau กรัม(n).

สิ่งที่ตามมาจากกฎการกระจายของจำนวนเฉพาะ

การหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM)

NOC( ก ข) สามารถคำนวณได้หลายวิธี:

1. หากทราบตัวหารร่วมมาก คุณสามารถใช้ความสัมพันธ์กับ LCM:

2. ให้ทราบการสลายตัวตามรูปแบบบัญญัติของตัวเลขทั้งสองเป็นตัวประกอบเฉพาะ:

ที่ไหน หน้า 1 ,...,หน้า kเป็นจำนวนเฉพาะต่าง ๆ และ d 1 ,...,d kและ จ 1 ,...,เอกเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ (สามารถเป็นศูนย์ได้หากจำนวนเฉพาะที่สอดคล้องกันไม่ได้อยู่ในส่วนขยาย)

จากนั้น LCM ( ก,ข) คำนวณโดยสูตร:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง การขยาย LCM มีปัจจัยสำคัญทั้งหมดที่รวมอยู่ในการขยายจำนวนอย่างน้อยหนึ่งรายการ ก ขและนำเลขยกกำลังที่ใหญ่ที่สุดในสองของปัจจัยนี้

ตัวอย่าง:

การคำนวณตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขหลายตัวสามารถลดลงเป็นการคำนวณต่อเนื่องของ LCM ของตัวเลขสองตัว:

กฎ.หากต้องการค้นหา LCM ของชุดตัวเลข คุณต้อง:

- แยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ

- ถ่ายโอนการขยายตัวที่ใหญ่ที่สุดไปยังปัจจัยของผลิตภัณฑ์ที่ต้องการ (ผลคูณของปัจจัยของจำนวนที่มากที่สุดที่กำหนด) จากนั้นเพิ่มปัจจัยจากการขยายตัวของตัวเลขอื่น ๆ ที่ไม่ได้เกิดขึ้นในหมายเลขแรกหรืออยู่ในนั้น จำนวนครั้งน้อยกว่า

- ผลคูณของปัจจัยเฉพาะจะเป็น LCM ของตัวเลขที่กำหนด

จำนวนธรรมชาติตั้งแต่สองตัวขึ้นไปจะมี LCM เป็นของตัวเอง หากตัวเลขไม่คูณกันหรือไม่มีตัวประกอบที่เหมือนกันในการขยาย ดังนั้น LCM ของพวกมันจะเท่ากับผลคูณของตัวเลขเหล่านี้

ตัวประกอบเฉพาะของเลข 28 (2, 2, 7) ถูกเสริมด้วยตัวประกอบของ 3 (เลข 21) ผลลัพธ์ที่ได้ (84) จะเป็น จำนวนที่น้อยที่สุดซึ่งหารด้วย 21 และ 28 ลงตัว

ตัวประกอบเฉพาะของจำนวนที่มากที่สุด 30 ถูกเสริมด้วยตัวประกอบ 5 ของจำนวน 25 ผลลัพธ์ที่ได้คือ 150 มากกว่าจำนวนที่มากที่สุด 30 และหารด้วยจำนวนที่กำหนดทั้งหมดโดยไม่มีเศษเหลือ นี่คือผลคูณที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ (150, 250, 300...) ที่จำนวนที่ระบุทั้งหมดเป็นผลคูณของ

ตัวเลข 2,3,11,37 เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น LCM ของพวกมันจึงเท่ากับผลคูณของตัวเลขที่กำหนด

กฎ. ในการคำนวณ LCM ของจำนวนเฉพาะ คุณต้องคูณจำนวนเหล่านี้เข้าด้วยกัน

ตัวเลือกอื่น:

หากต้องการหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของจำนวนหลายจำนวน คุณต้อง:

1) แทนตัวเลขแต่ละตัวเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ เช่น

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) เขียนพลังของปัจจัยสำคัญทั้งหมด:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1

3) เขียนตัวหารหลักทั้งหมด (ตัวคูณ) ของแต่ละตัวเลขเหล่านี้

4) เลือกระดับที่ใหญ่ที่สุดของแต่ละคน ซึ่งพบได้ในการขยายทั้งหมดของตัวเลขเหล่านี้

5) ทวีคูณพลังเหล่านี้

ตัวอย่าง. ค้นหา LCM ของตัวเลข: 168, 180 และ 3024

สารละลาย. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

เราเขียนเลขยกกำลังที่ใหญ่ที่สุดของตัวหารหลักทั้งหมดแล้วคูณ:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120

เนื้อหาที่แสดงด้านล่างเป็นความต่อเนื่องเชิงตรรกะของทฤษฎีจากบทความภายใต้หัวข้อ LCM - ตัวคูณร่วมน้อย, คำจำกัดความ, ตัวอย่าง, ความสัมพันธ์ระหว่าง LCM และ GCD ในที่นี้จะกล่าวถึง การหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM), และ ความสนใจเป็นพิเศษลองมาดูตัวอย่างกัน ก่อนอื่นให้เราแสดงวิธีคำนวณ LCM ของตัวเลขสองตัวในแง่ของ GCD ของตัวเลขเหล่านี้ ต่อไป ให้พิจารณาหาตัวคูณร่วมน้อยโดยแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะ หลังจากนั้นเราจะมุ่งเน้นไปที่การค้นหา LCM ของตัวเลขสามตัวขึ้นไปและให้ความสนใจกับการคำนวณ LCM ของตัวเลขเชิงลบ

การนำทางหน้า

การคำนวณตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ผ่าน gcd

วิธีหนึ่งในการหาตัวคูณร่วมน้อยขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่าง LCM และ GCD ความสัมพันธ์ที่มีอยู่ระหว่าง LCM และ GCD ช่วยให้คุณสามารถคำนวณตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวกสองตัวผ่านตัวหารร่วมมากที่รู้จัก สูตรที่เกี่ยวข้องมีรูปแบบ LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . พิจารณาตัวอย่างการหา LCM ตามสูตรข้างต้น

ตัวอย่าง.

หาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนสองตัว 126 และ 70

สารละลาย.

ในตัวอย่างนี้ a=126 , b=70 . ให้เราใช้ความสัมพันธ์ระหว่าง LCM และ GCD ที่แสดงโดยสูตร LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). นั่นคือ ก่อนอื่นเราต้องหาตัวหารร่วมมากของตัวเลข 70 และ 126 หลังจากนั้นเราสามารถคำนวณ LCM ของตัวเลขเหล่านี้ตามสูตรที่เขียนไว้

ค้นหา gcd(126, 70) โดยใช้อัลกอริทึมของ Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 ดังนั้น gcd(126, 70)=14

ตอนนี้เราพบตัวคูณร่วมน้อยที่จำเป็น: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

คำตอบ:

LCM(126, 70)=630 .

ตัวอย่าง.

LCM(68, 34) คืออะไร ?

สารละลาย.

เพราะ 68 หารด้วย 34 ลงตัวแล้ว gcd(68, 34)=34 ตอนนี้เราคำนวณตัวคูณร่วมน้อย: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

คำตอบ:

LCM(68, 34)=68 .

โปรดทราบว่าตัวอย่างก่อนหน้านี้ตรงกับกฎต่อไปนี้สำหรับการค้นหา LCM สำหรับจำนวนเต็มบวก a และ b : ถ้าจำนวน a หารด้วย b ลงตัว ดังนั้นตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเหล่านี้คือ a

การหา LCM โดยการแยกตัวประกอบตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะ

อีกวิธีในการหาตัวคูณร่วมน้อยคือการแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะ หากเราสร้างผลคูณของตัวประกอบเฉพาะของตัวเลขเหล่านี้ หลังจากนั้นเราไม่รวมตัวประกอบเฉพาะทั่วไปทั้งหมดที่มีอยู่ในการขยายของตัวเลขเหล่านี้ออกจากผลิตภัณฑ์นี้ ผลคูณที่ได้จะเท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเหล่านี้

กฎที่ประกาศสำหรับการค้นหา LCM ต่อจากความเท่าเทียมกัน LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). อันที่จริง ผลคูณของจำนวน a และ b เท่ากับผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่เกี่ยวข้องในการขยายจำนวน a และ b ในทางกลับกัน gcd(a, b) จะเท่ากับผลคูณของปัจจัยเฉพาะทั้งหมดที่มีอยู่พร้อมกันในการขยายของตัวเลข a และ b (ซึ่งอธิบายไว้ในส่วนการค้นหา gcd โดยใช้การสลายตัวเลขให้เป็นปัจจัยเฉพาะ ).

ลองมาเป็นตัวอย่าง ให้เรารู้ว่า 75=3 5 5 และ 210=2 3 5 7 . ประกอบผลคูณของปัจจัยทั้งหมดของส่วนขยายเหล่านี้: 2 3 3 5 5 5 7 . ตอนนี้เราแยกปัจจัยทั้งหมดที่มีอยู่ออกจากผลิตภัณฑ์นี้ทั้งในการขยายหมายเลข 75 และในการขยายหมายเลข 210 (ปัจจัยดังกล่าวคือ 3 และ 5) จากนั้นผลิตภัณฑ์จะอยู่ในรูปแบบ 2 3 5 5 7 . มูลค่าของผลิตภัณฑ์นี้เท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของจำนวน 75 และ 210 นั่นคือ LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

ตัวอย่าง.

หลังจากแยกตัวประกอบของจำนวน 441 และ 700 เป็นตัวประกอบเฉพาะแล้ว ให้หาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเหล่านี้

สารละลาย.

มาแยกย่อยตัวเลข 441 และ 700 เป็นตัวประกอบเฉพาะ:

เราได้ 441=3 3 7 7 และ 700=2 2 5 5 7 .

ทีนี้มาสร้างผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการขยายตัวเลขเหล่านี้: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 7 ให้เราแยกปัจจัยทั้งหมดที่มีอยู่พร้อมกันในส่วนขยายทั้งสองออกจากผลิตภัณฑ์นี้ (มีเพียงปัจจัยเดียวเท่านั้น - นี่คือหมายเลข 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . ดังนั้น, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

คำตอบ:

LCM(441, 700)= 44 100 .

กฎสำหรับการค้นหา LCM โดยใช้การสลายตัวของตัวเลขให้เป็นปัจจัยสำคัญสามารถกำหนดแตกต่างกันเล็กน้อย ถ้าเราบวกตัวประกอบที่หายไปจากการขยายจำนวน b เข้ากับตัวประกอบจากการขยายจำนวน a ค่าของผลิตภัณฑ์ที่ได้จะเท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของจำนวน a และ b.

ตัวอย่างเช่น ลองใช้ตัวเลขเดียวกันทั้งหมด 75 และ 210 การขยายเป็นปัจจัยเฉพาะมีดังนี้: 75=3 5 5 และ 210=2 3 5 7 . สำหรับปัจจัย 3, 5 และ 5 จากการสลายตัวของหมายเลข 75 เราเพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไป 2 และ 7 จากการสลายตัวของตัวเลข 210 เราได้ผลิตภัณฑ์ 2 3 5 5 7 ค่าที่เป็น LCM(75 , 210) .

ตัวอย่าง.

หาตัวคูณร่วมน้อยของ 84 และ 648

สารละลาย.

อันดับแรก เราได้รับการแยกย่อยของตัวเลข 84 และ 648 เป็นตัวประกอบเฉพาะ พวกมันดูเหมือน 84=2 2 3 7 และ 648=2 2 2 3 3 3 3 สำหรับปัจจัย 2 , 2 , 3 และ 7 จากการสลายตัวของหมายเลข 84 เราได้เพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไป 2 , 3 , 3 และ 3 จากการสลายตัวของหมายเลข 648 เราได้ผลิตภัณฑ์ 2 2 2 3 3 3 3 7 , ซึ่งเท่ากับ 4 536 . ดังนั้น ตัวคูณร่วมน้อยที่ต้องการของจำนวน 84 และ 648 คือ 4536

คำตอบ:

LCM(84, 648)=4 536 .

การหา LCM ของตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไป

ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนตั้งแต่สามจำนวนขึ้นไปสามารถหาได้โดยการหา LCM ของจำนวนสองจำนวนอย่างต่อเนื่อง ระลึกถึงทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้อง ซึ่งให้วิธีค้นหา LCM ของตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไป

ทฤษฎีบท.

ให้จำนวนเต็มได้รับ ตัวเลขที่เป็นบวก a 1 , a 2 , …, a k , ตัวคูณร่วมน้อย m k ของจำนวนเหล่านี้หาได้จากการคำนวณตามลำดับ m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , …, m k = LCM ( m k−1 , a k) .

พิจารณาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทนี้กับตัวอย่างการหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนสี่จำนวน

ตัวอย่าง.

ค้นหา LCM ของสี่หมายเลข 140 , 9 , 54 และ 250

สารละลาย.

ในตัวอย่างนี้ a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250

ก่อนอื่นเราพบ ม. 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). ในการทำเช่นนี้ โดยใช้อัลกอริทึมยุคลิด เรากำหนด gcd(140, 9) เรามี 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 ดังนั้น gcd( 140, 9)=1 มาจากไหน LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . นั่นคือ ม.2 =1 260 .

ตอนนี้เราพบ ม. 3 \u003d LCM (ม. 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). ลองคำนวณผ่าน gcd(1 260, 54) ซึ่งกำหนดโดยอัลกอริทึมยุคลิดเช่นกัน: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 จากนั้น gcd(1 260, 54)=18 ดังนั้น LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 นั่นคือ ม. 3 \u003d 3 780

ซ้ายเพื่อค้นหา ม. 4 \u003d LCM (ม. 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). ในการทำเช่นนี้ เราพบ GCD(3 780, 250) โดยใช้อัลกอริทึมยุคลิด: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . ดังนั้น gcd(3 780, 250)=10 ดังนั้น gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . นั่นคือ ม. 4 \u003d 94 500

ดังนั้นตัวคูณร่วมน้อยของสี่จำนวนเดิมคือ 94,500

คำตอบ:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

ในหลายกรณี ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนตั้งแต่สามจำนวนขึ้นไปหาได้สะดวกโดยใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนที่กำหนด ในกรณีนี้ควรปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้ ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนหลายจำนวนมีค่าเท่ากับผลคูณ ประกอบด้วย ตัวประกอบที่ขาดจากการขยายจำนวนที่สองบวกเข้ากับตัวประกอบทั้งหมดจากการขยายจำนวนที่หนึ่ง, ตัวประกอบที่หายไปจากการขยายของ ตัวเลขที่สามจะถูกเพิ่มเข้าไปในปัจจัยที่ได้รับ และอื่น ๆ

พิจารณาตัวอย่างการหาตัวคูณร่วมน้อยโดยใช้การแยกจำนวนออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ

ตัวอย่าง.

หาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนห้าจำนวน 84 , 6 , 48 , 7 , 143

สารละลาย.

อันดับแรก เราได้รับการขยายของตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะ: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 ตัวประกอบเฉพาะ) และ 143=11 13

ในการค้นหา LCM ของตัวเลขเหล่านี้ คุณต้องเพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไปจากการขยายของตัวเลขที่สองไปยังตัวประกอบของตัวเลขตัวแรก (คือ 2 , 2 , 3 และ 7 ) การขยายหมายเลข 6 ไม่มีปัจจัยที่ขาดหายไป เนื่องจากทั้ง 2 และ 3 มีอยู่แล้วในการขยายหมายเลขแรก 84 . นอกเหนือจากปัจจัย 2 , 2 , 3 และ 7 เราเพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไป 2 และ 2 จากการสลายตัวของหมายเลขที่สาม 48 เราจะได้ชุดของปัจจัย 2 , 2 , 2 , 2 , 3 และ 7 . ไม่จำเป็นต้องเพิ่มปัจจัยให้กับชุดนี้ในขั้นตอนถัดไป เนื่องจากมี 7 อยู่ในนั้นแล้ว สุดท้าย ปัจจัย 2 , 2 , 2 , 2 , 3 และ 7 เราบวกปัจจัยที่ขาดหายไป 11 และ 13 จากการขยายจำนวน 143 เราได้ผลิตภัณฑ์ 2 2 2 2 3 7 11 13 ซึ่งเท่ากับ 48 048 .

ตัวหารร่วมมาก

คำจำกัดความ 2

ถ้าจำนวนธรรมชาติ a หารด้วยจำนวนธรรมชาติ $b$ ดังนั้น $b$ จะเรียกว่าตัวหารของ $a$ และจำนวน $a$ เรียกว่าผลคูณของ $b$

ให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติ จำนวน $c$ เรียกว่าตัวหารร่วมสำหรับทั้ง $a$ และ $b$

ชุดของตัวหารร่วมของจำนวน $a$ และ $b$ นั้นมีค่าจำกัด เนื่องจากไม่มีตัวหารใดที่มากกว่า $a$ ได้ ซึ่งหมายความว่าในบรรดาตัวหารเหล่านี้มีตัวหารที่ใหญ่ที่สุด ซึ่งเรียกว่าตัวหารร่วมมากของจำนวน $a$ และ $b$ และสัญกรณ์ใช้เพื่อแสดงว่า:

$gcd \ (a;b) \ ​​หรือ \ D \ (a;b)$

ในการหาตัวหารร่วมมากของสองจำนวน:

1. ค้นหาผลคูณของตัวเลขที่พบในขั้นตอนที่ 2 จำนวนผลลัพธ์จะเป็นตัวหารร่วมมากที่ต้องการ

ตัวอย่างที่ 1

หา gcd ของตัวเลข $121$ และ $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

เลือกหมายเลขที่รวมอยู่ในการขยายหมายเลขเหล่านี้

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

ค้นหาผลคูณของตัวเลขที่พบในขั้นตอนที่ 2 จำนวนผลลัพธ์จะเป็นตัวหารร่วมมากที่ต้องการ

$gcd=2\cdot 11=22$

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหา GCD ของ monomials $63$ และ $81$

เราจะพบตามอัลกอริทึมที่นำเสนอ สำหรับสิ่งนี้:

มาแยกย่อยตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะกัน

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

เราเลือกหมายเลขที่รวมอยู่ในการขยายหมายเลขเหล่านี้

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

ลองหาผลคูณของตัวเลขในขั้นตอนที่ 2 กัน ตัวเลขที่ได้จะเป็นตัวหารร่วมมากที่ต้องการ

$gcd=3\cdot 3=9$

คุณสามารถค้นหา GCD ของตัวเลขสองตัวด้วยวิธีอื่น โดยใช้ชุดตัวหารของตัวเลข

ตัวอย่างที่ 3

หา gcd ของตัวเลข $48$ และ $60$

สารละลาย:

หาตัวหารของ $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

ทีนี้มาหาเซตตัวหารของ $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

มาหาจุดตัดของชุดเหล่านี้กัน: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ชุดนี้จะกำหนดชุดของตัวหารร่วมของตัวเลข $48$ และ $60 $. องค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดในชุดนี้คือตัวเลข $12$ ดังนั้นตัวหารร่วมมากของ $48$ และ $60$ คือ $12$

ความหมายของ NOC

นิยาม 3

ตัวคูณร่วมของจำนวนธรรมชาติ$a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติที่เป็นผลคูณของทั้ง $a$ และ $b$

ตัวคูณร่วมของจำนวนคือจำนวนที่หารด้วยจำนวนเดิมโดยไม่มีเศษเหลือ ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวเลข $25$ และ $50$ ตัวคูณร่วมจะเป็นตัวเลข $50,100,150,200$ เป็นต้น

ตัวคูณร่วมน้อยจะเรียกว่าตัวคูณร่วมน้อยและเขียนแทนด้วย LCM$(a;b)$ หรือ K$(a;b).$

หากต้องการค้นหา LCM ของตัวเลขสองตัว คุณต้อง:

1. แยกย่อยตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ
2. เขียนตัวประกอบที่เป็นส่วนหนึ่งของตัวเลขตัวแรกและเพิ่มตัวประกอบที่เป็นส่วนหนึ่งของตัวที่สองและอย่าไปที่ตัวแรก

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหา LCM ของตัวเลข $99$ และ $77$

เราจะพบตามอัลกอริทึมที่นำเสนอ สำหรับสิ่งนี้

แยกย่อยตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

$99=3\cdot 3\cdot 11$

จดปัจจัยที่รวมอยู่ในข้อแรก

เพิ่มปัจจัยที่เป็นส่วนหนึ่งของปัจจัยที่สองและอย่าไปที่ปัจจัยแรก

ค้นหาผลคูณของจำนวนที่พบในขั้นตอนที่ 2 จำนวนที่ได้จะเป็นตัวคูณร่วมน้อยที่ต้องการ

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

การรวบรวมรายการตัวหารของตัวเลขมักจะใช้เวลานานมาก มีวิธีค้นหา GCD ที่เรียกว่าอัลกอริทึมของ Euclid

ข้อความที่อิงตามอัลกอริทึมของ Euclid:

ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติ และ $a\vdots b$ ดังนั้น $D(a;b)=b$

ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติที่ $b

การใช้ $D(a;b)= D(a-b;b)$ เราสามารถลดจำนวนที่กำลังพิจารณาได้เรื่อยๆ จนกว่าจะถึงคู่ของตัวเลขเพื่อให้หนึ่งในจำนวนนั้นหารด้วยอีกจำนวนหนึ่ง จากนั้นตัวเลขที่น้อยกว่าจะเป็นตัวหารร่วมมากที่ต้องการสำหรับตัวเลข $a$ และ $b$

คุณสมบัติของ GCD และ LCM

1. ตัวคูณร่วมใดๆ ของ $a$ และ $b$ หารด้วย K$(a;b)$
2. ถ้า $a\vdots b$ แล้ว K$(a;b)=a$

ถ้า K$(a;b)=k$ และ $m$-จำนวนธรรมชาติ ดังนั้น K$(am;bm)=km$

ถ้า $d$ เป็นตัวหารร่วมของ $a$ และ $b$ ดังนั้น K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

ถ้า $a\vdots c$ และ $b\vdots c$ แล้ว $\frac(ab)(c)$ เป็นตัวคูณร่วมของ $a$ และ $b$

สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ $a$ และ $b$ ความเท่าเทียมกัน

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

ตัวหารร่วมใดๆ ของ $a$ และ $b$ คือตัวหารของ $D(a;b)$

พิจารณาสามวิธีในการหาตัวคูณร่วมน้อย

การหาโดยการแยกตัวประกอบ

วิธีแรกคือการหาตัวคูณร่วมน้อยโดยการแยกตัวประกอบของตัวเลขที่กำหนดเป็นตัวประกอบเฉพาะ

สมมติว่าเราต้องการหา LCM ของตัวเลข: 99, 30 และ 28 ในการทำเช่นนี้ เราจะแยกตัวเลขเหล่านี้ออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ:

เพื่อให้จำนวนที่ต้องการหารด้วย 99, 30 และ 28 ลงตัว มีความจำเป็นและเพียงพอที่รวมตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดของตัวหารเหล่านี้ ในการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องนำปัจจัยเฉพาะทั้งหมดของตัวเลขเหล่านี้ไปหากำลังที่เกิดขึ้นสูงสุดและคูณเข้าด้วยกัน:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

ดังนั้น LCM (99, 30, 28) = 13,860 ไม่มีจำนวนอื่นใดที่น้อยกว่า 13,860 ที่หารด้วย 99, 30 หรือ 28 ลงตัว

ในการหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนที่กำหนด คุณต้องแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะ จากนั้นนำตัวประกอบเฉพาะแต่ละตัวที่มีเลขชี้กำลังมากที่สุดมาคูณตัวประกอบเหล่านี้เข้าด้วยกัน

เนื่องจากจำนวนโคไพรม์ไม่มีตัวประกอบเฉพาะร่วมกัน ตัวคูณร่วมน้อยของพวกมันจึงเท่ากับผลคูณของจำนวนเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น ตัวเลขสามตัว: 20, 49 และ 33 เป็นโคไพรม์ นั่นเป็นเหตุผล

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340

ควรทำเช่นเดียวกันเมื่อค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเฉพาะต่างๆ ตัวอย่างเช่น LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231

การหาโดยการเลือก

วิธีที่สองคือการหาตัวคูณร่วมน้อยโดยการลงตัว

ตัวอย่างที่ 1 เมื่อจำนวนที่กำหนดให้หารด้วยจำนวนอื่นๆ ลงตัว LCM ของจำนวนเหล่านี้จะเท่ากับจำนวนที่มากกว่า ตัวอย่างเช่น ให้ตัวเลขสี่ตัว: 60, 30, 10 และ 6 แต่ละตัวเลขหารด้วย 60 ดังนั้น:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

ในกรณีอื่นๆ ในการค้นหาตัวคูณร่วมน้อย จะใช้ขั้นตอนต่อไปนี้:

1. กำหนดจำนวนที่มากที่สุดจากจำนวนที่กำหนด
2. ต่อไป เราจะหาตัวเลขที่เป็นผลคูณของจำนวนที่มากที่สุด คูณด้วยจำนวนธรรมชาติในลำดับจากน้อยไปมาก และตรวจสอบว่าจำนวนที่เหลือนั้นหารด้วยผลคูณที่ได้หรือไม่

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดสามหมายเลข 24, 3 และ 18 กำหนดจำนวนที่มากที่สุด - นี่คือหมายเลข 24 จากนั้นค้นหาผลคูณของ 24 โดยตรวจสอบว่าแต่ละค่าหารด้วย 18 และ 3 ลงตัวหรือไม่:

24 1 = 24 หารด้วย 3 ลงตัว แต่หารด้วย 18 ไม่ลงตัว

24 2 = 48 - หารด้วย 3 ลงตัว แต่หารด้วย 18 ไม่ลงตัว

24 3 \u003d 72 - หารด้วย 3 และ 18 ลงตัว

ดังนั้น LCM(24, 3, 18) = 72

การค้นหาตามลำดับการหา LCM

วิธีที่สามคือการหาตัวคูณร่วมน้อยโดยการค้นหา LCM อย่างต่อเนื่อง

LCM ของตัวเลขที่กำหนดสองตัวจะเท่ากับผลคูณของตัวเลขเหล่านี้หารด้วยตัวหารร่วมมาก

ตัวอย่างที่ 1 หา LCM ของตัวเลขสองตัว: 12 และ 8 หาตัวหารร่วมมาก: GCD (12, 8) = 4 คูณตัวเลขเหล่านี้:

เราแบ่งผลิตภัณฑ์ออกเป็น GCD:

ดังนั้น LCM(12, 8) = 24

หากต้องการค้นหา LCM ของตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไป จะใช้ขั้นตอนต่อไปนี้:

1. ขั้นแรก ให้หา LCM ของตัวเลขที่กำหนดสองตัว
2. จากนั้น LCM ของตัวคูณร่วมน้อยที่พบและตัวที่สาม หมายเลขที่กำหนด.
3. จากนั้น LCM ของตัวคูณร่วมน้อยที่เป็นผลลัพธ์และจำนวนที่สี่ เป็นต้น
4. ดังนั้นการค้นหา LCM จะดำเนินต่อไปตราบเท่าที่มีตัวเลขอยู่

ตัวอย่างที่ 2 ลองหา LCM ของตัวเลขที่กำหนดสามตัว: 12, 8 และ 9 เราพบ LCM ของตัวเลข 12 และ 8 ในตัวอย่างก่อนหน้าแล้ว (นี่คือหมายเลข 24) ยังคงต้องหาตัวคูณร่วมน้อยของ 24 และจำนวนที่สามที่กำหนด - 9 กำหนดตัวหารร่วมมาก: gcd (24, 9) = 3 คูณ LCM ด้วยเลข 9:

เราแบ่งผลิตภัณฑ์ออกเป็น GCD:

ดังนั้น LCM(12, 8, 9) = 72