ลอการิทึมของตัวเลข 8 ถึงฐาน 3 ลอการิทึมคืออะไร ตัวอย่างของการแก้ลอการิทึม

สุขภาพ

พีชคณิตเป็นวิทยาศาสตร์ที่ซับซ้อนและน่าสนใจซึ่งมีพื้นฐานมาจากฟังก์ชันต่างๆ มากมาย มาดูกันว่าลอการิทึมคืออะไรและคุณสมบัติของมันคืออะไร

ลอการิทึมคือกำลังที่ต้องยกจำนวน a เพื่อให้ได้จำนวน x

พีชคณิตรู้จักลอการิทึมหลายประเภท ประเภทของลอการิทึมที่พบบ่อยที่สุดคือ:

โดยธรรมชาติ มีฐาน e=2.718281 เขียนแทนด้วย ln
ตัวอย่าง: ln1=0 lne=1;
ทศนิยมที่มีฐาน 10 แทน lg
ตัวอย่าง: lg100=2 บันทึก 10 100=2 เนื่องจาก 10 2 =100;
ไบนารี ระบุเป็น lb(b) หรือ lb 2 b เป็นการแก้สมการ 2 x =b
ตัวอย่าง: ปอนด์16=4

อย่างหลังนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในวิทยาการคอมพิวเตอร์ ทฤษฎีสารสนเทศ และสาขาย่อยอื่นๆ ของคณิตศาสตร์แยกส่วน ลอการิทึมช่วยให้นักวิทยาศาสตร์ทางสถิติพิจารณาการแจกแจงความน่าจะเป็นที่สำคัญที่สุด พวกมันยังใช้ในพันธุศาสตร์ด้วย

การนับโดยใช้ลอการิทึม

นักคณิตศาสตร์ทราบมานานแล้วถึงคุณสมบัติเฉพาะของลอการิทึม รวมถึงความเป็นไปได้ที่จะใช้คุณสมบัติเหล่านี้เพื่อทำให้การคำนวณที่ซับซ้อนง่ายขึ้น ดังนั้น เมื่อเปลี่ยนเป็นลอการิทึม:

การคูณจะถูกแทนที่ด้วยการบวกอย่างง่ายดาย
การหาร - โดยการลบ;
การยกกำลังขึ้นหรือหยั่งรากกลายเป็นการคูณหรือการหาร

เมื่อนับโดยใช้ลอการิทึม คุณควรกำจัดเครื่องหมายบันทึกออก โดยที่:

เหตุผลและการโต้แย้งจะต้องเป็นบวก
ฐานจะต้องแตกต่างจากฐาน เนื่องจากตัวเลขนี้เมื่อยกกำลังใดๆ ก็ตาม ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

ฟังก์ชันลอการิทึม

ฟังก์ชันลอการิทึม y = loga x (โดยที่ a > 0, a ≠ 1) ก็ใช้ในการคำนวณเช่นกัน ในบรรดาคุณสมบัติของมันมีดังต่อไปนี้:

ขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้อยู่ในเซตของจำนวนบวก
ชุดของค่าฟังก์ชันแสดงด้วยจำนวนจริง
ฟังก์ชันไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด
ฟังก์ชันอยู่ในรูปแบบทั่วไป ไม่เป็นคู่หรือคี่
ฟังก์ชั่นไม่เป็นระยะ
กราฟเคลื่อนผ่านแกนพิกัดที่จุด (1;0)
ถ้าฐานมากกว่าหนึ่ง ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น และถ้าน้อยกว่าหนึ่ง ฟังก์ชันจะลดลง

ตอนนี้คุณมีแนวคิดเกี่ยวกับลอการิทึมขอบเขตและคุณสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมแล้ว

ลอการิทึมของตัวเลข b ถึงฐาน a คือเลขชี้กำลังที่ต้องยกจำนวน a เพื่อให้ได้เลข b

ถ้าอย่างนั้น.

ลอการิทึม - สุดขีด ปริมาณทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญเนื่องจากแคลคูลัสลอการิทึมไม่เพียงแต่ช่วยให้แก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลเท่านั้น แต่ยังช่วยดำเนินการกับเลขยกกำลังด้วย ทำให้เกิดความแตกต่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม รวมเข้าด้วยกันและนำไปสู่รูปแบบที่ยอมรับได้มากขึ้นในการคำนวณ

ติดต่อกับ

คุณสมบัติทั้งหมดของลอการิทึมเกี่ยวข้องโดยตรงกับคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ยกตัวอย่างข้อเท็จจริงที่ว่า หมายความว่า:

ควรสังเกตว่าเมื่อแก้ไขปัญหาเฉพาะคุณสมบัติของลอการิทึมอาจมีความสำคัญและมีประโยชน์มากกว่ากฎสำหรับการทำงานกับกำลัง

ให้เรานำเสนอตัวตนบางอย่าง:

ต่อไปนี้เป็นนิพจน์พีชคณิตพื้นฐาน:

;

ความสนใจ!สามารถมีอยู่ได้เฉพาะสำหรับ x>0, x≠1, y>0

ลองทำความเข้าใจคำถามว่าลอการิทึมธรรมชาติคืออะไร มีความสนใจเป็นพิเศษในด้านคณิตศาสตร์ เป็นตัวแทนสองประเภท- อันแรกมีเลข “10” เป็นฐาน และเรียกว่า “ลอการิทึมทศนิยม” ประการที่สองเรียกว่าธรรมชาติ ฐานของลอการิทึมธรรมชาติคือตัวเลข “e” นี่คือสิ่งที่เราจะพูดถึงโดยละเอียดในบทความนี้

การกำหนด:

lg x - ทศนิยม;
ln x - โดยธรรมชาติ

เมื่อใช้เอกลักษณ์ เราจะเห็นว่า ln e = 1 เช่นเดียวกับข้อเท็จจริงที่ว่า lg 10=1

กราฟลอการิทึมธรรมชาติ

เรามาสร้างกราฟของลอการิทึมธรรมชาติโดยใช้วิธีมาตรฐานแบบคลาสสิกทีละจุดกันดีกว่า หากต้องการ คุณสามารถตรวจสอบได้ว่าเรากำลังสร้างฟังก์ชันอย่างถูกต้องหรือไม่โดยการตรวจสอบฟังก์ชัน อย่างไรก็ตาม การเรียนรู้วิธีสร้างลอการิทึมด้วยตนเองจึงเป็นเรื่องสมเหตุสมผล เพื่อที่จะรู้วิธีคำนวณลอการิทึมอย่างถูกต้อง

ฟังก์ชัน: y = ln x มาเขียนตารางจุดที่กราฟจะผ่านไป:

ให้เราอธิบายว่าทำไมเราถึงเลือกค่าเฉพาะเหล่านี้ของอาร์กิวเมนต์ x มันคือทั้งหมดที่เกี่ยวกับตัวตน: . สำหรับลอการิทึมธรรมชาติ เอกลักษณ์นี้จะมีลักษณะดังนี้:

เพื่อความสะดวก เราสามารถใช้จุดอ้างอิงได้ 5 จุด:

;

ดังนั้น การคำนวณลอการิทึมธรรมชาติจึงเป็นงานที่ค่อนข้างง่าย นอกจากนี้ ยังช่วยลดความยุ่งยากในการคำนวณการดำเนินการด้วยกำลัง โดยเปลี่ยนให้เป็น การคูณสามัญ

เมื่อวาดกราฟทีละจุด เราจะได้กราฟโดยประมาณ:

โดเมนของคำจำกัดความของลอการิทึมธรรมชาติ (เช่น ค่าที่ถูกต้องทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ X) คือตัวเลขทั้งหมดที่มากกว่าศูนย์

ความสนใจ!ขอบเขตของคำจำกัดความของลอการิทึมธรรมชาติมีเพียงจำนวนบวกเท่านั้น! ขอบเขตของคำจำกัดความไม่รวม x=0 สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ตามเงื่อนไขของการมีอยู่ของลอการิทึม

ช่วงของค่า (เช่น ค่าที่ถูกต้องทั้งหมดของฟังก์ชัน y = ln x) คือตัวเลขทั้งหมดในช่วงเวลา

ขีดจำกัดบันทึกธรรมชาติ

จากการศึกษากราฟคำถามก็เกิดขึ้น - ฟังก์ชันมีพฤติกรรมอย่างไรที่ y<0.

แน่นอนว่ากราฟของฟังก์ชันมีแนวโน้มที่จะข้ามแกน y แต่จะไม่สามารถทำเช่นนี้ได้ เนื่องจากลอการิทึมธรรมชาติของ x<0 не существует.

ขีดจำกัดของธรรมชาติ บันทึกสามารถเขียนได้ดังนี้:

สูตรการแทนที่ฐานของลอการิทึม

การจัดการกับลอการิทึมธรรมชาตินั้นง่ายกว่าการจัดการกับลอการิทึมที่มีฐานที่กำหนดเองมาก นั่นคือเหตุผลที่เราจะพยายามเรียนรู้วิธีลดลอการิทึมใดๆ ให้เป็นลอการิทึมธรรมชาติ หรือแสดงมันเป็นฐานใดก็ได้ผ่านลอการิทึมธรรมชาติ

เริ่มจากเอกลักษณ์ลอการิทึมกันก่อน:

จากนั้นตัวเลขหรือตัวแปร y ใดๆ ก็สามารถแสดงเป็น:

โดยที่ x คือตัวเลขใดๆ (บวกตามคุณสมบัติของลอการิทึม)

นิพจน์นี้สามารถหาได้ทางลอการิทึมทั้งสองด้าน ลองทำสิ่งนี้โดยใช้ฐานใดก็ได้ z:

ลองใช้คุณสมบัติกัน (แทนที่จะเป็น "c" เท่านั้นที่เรามีนิพจน์):

จากที่นี่เราจะได้สูตรสากล:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า z=e แล้ว:

เราสามารถแสดงลอการิทึมเป็นฐานใดก็ได้ผ่านอัตราส่วนของลอการิทึมธรรมชาติสองตัว

เราแก้ปัญหา

เพื่อให้เข้าใจลอการิทึมธรรมชาติได้ดีขึ้น เรามาดูตัวอย่างปัญหาต่างๆ กัน

ปัญหาที่ 1. จำเป็นต้องแก้สมการ ln x = 3

สารละลาย:ใช้คำจำกัดความของลอการิทึม: ถ้า แล้ว เราได้รับ:

ปัญหาที่ 2. แก้สมการ (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3

วิธีแก้ปัญหา: การใช้คำจำกัดความของลอการิทึม: ถ้า แล้ว เราได้รับ:

ลองใช้คำจำกัดความของลอการิทึมอีกครั้ง:

ดังนั้น:

คุณสามารถคำนวณคำตอบโดยประมาณหรือจะทิ้งไว้ในแบบฟอร์มนี้ก็ได้

ภารกิจที่ 3แก้สมการ

สารละลาย:มาทดแทนกัน: t = ln x จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

เรามีสมการกำลังสอง เรามาค้นหาความแตกต่างกัน:

ในสถิติและทฤษฎีความน่าจะเป็น ปริมาณลอการิทึมมักพบบ่อยมาก ซึ่งไม่ใช่เรื่องน่าแปลกใจ เพราะตัวเลข e มักจะสะท้อนถึงอัตราการเติบโตของปริมาณเอ็กซ์โพเนนเชียล

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ การเขียนโปรแกรม และทฤษฎีคอมพิวเตอร์ มักพบลอการิทึมเพื่อเก็บ N บิตในหน่วยความจำ

ในทฤษฎีเศษส่วนและมิติ ลอการิทึมถูกนำมาใช้อย่างต่อเนื่อง เนื่องจากมิติของแฟร็กทัลจะถูกกำหนดด้วยความช่วยเหลือเท่านั้น

ในกลศาสตร์และฟิสิกส์ไม่มีส่วนที่ไม่ใช้ลอการิทึม การกระจายของบรรยากาศ หลักการทั้งหมดของอุณหพลศาสตร์ทางสถิติ สมการซิโอลคอฟสกี้ ฯลฯ เป็นกระบวนการที่สามารถอธิบายทางคณิตศาสตร์ได้โดยใช้ลอการิทึมเท่านั้น

ในวิชาเคมี ลอการิทึมใช้ในสมการ Nernst และคำอธิบายของกระบวนการรีดอกซ์

น่าประหลาดใจที่แม้แต่ในดนตรี เพื่อที่จะหาจำนวนส่วนของอ็อกเทฟ ก็มีการใช้ลอการิทึม

ฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ y=ln x คุณสมบัติ

การพิสูจน์คุณสมบัติหลักของลอการิทึมธรรมชาติ

คุณสมบัติหลัก.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y)

บริเวณที่เหมือนกัน

ล็อก6 4 + ล็อก6 9.

ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย

ตัวอย่างของการแก้ลอการิทึม

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:

แน่นอนว่า กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x >

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

ให้ลอการิทึม logax ถูกกำหนดไว้ ดังนั้น สำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่ากันจะเป็นจริง:

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

ดูสิ่งนี้ด้วย:

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

เลขชี้กำลังคือ 2.718281828…. หากต้องการจำเลขชี้กำลัง คุณสามารถศึกษากฎได้: เลขชี้กำลังเท่ากับ 2.7 และสองเท่าของปีเกิดของ Leo Nikolaevich Tolstoy

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

เมื่อรู้กฎนี้ คุณจะรู้ทั้งค่าที่แน่นอนของเลขชี้กำลังและวันเดือนปีเกิดของลีโอ ตอลสตอย

ตัวอย่างลอการิทึม

นิพจน์ลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 1
ก) x=10ac^2 (a>0,c>0)

เราคำนวณโดยใช้คุณสมบัติ 3.5

4. ที่ไหน .

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา x ถ้า

ตัวอย่างที่ 3 ให้ค่าลอการิทึมได้รับ

คำนวณบันทึก (x) ถ้า

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถบวก ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดาเสียทีเดียว จึงมีกฎที่เรียกว่า คุณสมบัติหลัก.

คุณจำเป็นต้องรู้กฎเหล่านี้อย่างแน่นอน - หากไม่มีกฎเหล่านี้ ปัญหาลอการิทึมร้ายแรงสักข้อเดียวก็ไม่สามารถแก้ไขได้ นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - คุณสามารถเรียนรู้ทุกสิ่งได้ภายในวันเดียว มาเริ่มกันเลย

การบวกและการลบลอการิทึม

พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: logax และ logay จากนั้นจึงสามารถบวกและลบได้ และ:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y)

ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างเท่ากับลอการิทึมของผลหาร โปรดทราบ: ประเด็นสำคัญที่นี่คือ บริเวณที่เหมือนกัน. หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!

สูตรเหล่านี้จะช่วยคุณคำนวณนิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าจะไม่ได้พิจารณาแต่ละส่วนก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ดูตัวอย่างและดู:

เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log2 48 − log2 3

ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log3 135 − log3 5

ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3

อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการแปลงจะได้ตัวเลขปกติโดยสมบูรณ์ การทดสอบจำนวนมากขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงนี้ ใช่ สำนวนที่เหมือนการทดสอบมีการนำเสนออย่างจริงจังทุกประการ (บางครั้งแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ) ในการสอบ Unified State

แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

จะเห็นได้ง่ายว่ากฎข้อสุดท้ายเป็นไปตามสองข้อแรก แต่ยังไงก็ดีกว่าที่จะจำไว้ - ในบางกรณีมันจะลดจำนวนการคำนวณลงอย่างมาก

แน่นอนว่า กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x > 0 และอีกอย่างหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมดไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวาเท่านั้น แต่ยังในทางกลับกันอีกด้วย , เช่น. คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนที่ลอการิทึมจะลงชื่อเข้าใช้ลอการิทึมได้ นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log7 496

กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

โปรดทราบว่าตัวส่วนประกอบด้วยลอการิทึม ซึ่งฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 24; 49 = 72 เรามี:

ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้ายที่เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น

สูตรลอการิทึม โซลูชันตัวอย่างลอการิทึม

เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"

ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและตัวส่วนมีจำนวนเท่ากัน: log2 7 เนื่องจาก log2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตแล้วทั้งสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งเป็นสิ่งที่ทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นย้ำเป็นพิเศษว่ากฎเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น จะทำอย่างไรถ้าเหตุผลต่างกัน? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่เลขยกกำลังที่เท่ากัน?

สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้รากฐานใหม่มาช่วยเหลือ ให้เรากำหนดพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราตั้งค่า c = x เราจะได้:

จากสูตรที่สองเป็นไปตามว่าสามารถสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะ "พลิกกลับ" เช่น ลอการิทึมจะปรากฏในตัวส่วน

สูตรเหล่านี้ไม่ค่อยพบในนิพจน์ตัวเลขทั่วไป มีความเป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการเท่านั้น

แต่มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลยนอกจากการย้ายฐานรากใหม่ ลองดูสองสามสิ่งเหล่านี้:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log5 16 log2 25

โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองมีกำลังที่แน่นอน มาดูตัวบ่งชี้กัน: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; ล็อก2 25 = ล็อก2 52 = 2ล็อก2 5;

ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:

เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ เราจึงคูณสี่และสองอย่างใจเย็น จากนั้นจึงจัดการกับลอการิทึม

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log9 100 lg 3

ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกคือกำลังที่แน่นอน มาเขียนสิ่งนี้และกำจัดตัวบ่งชี้:

ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้สูตรต่อไปนี้จะช่วยเรา:

ในกรณีแรก ตัวเลข n จะกลายเป็นเลขชี้กำลังในอาร์กิวเมนต์ จำนวน n สามารถเป็นอะไรก็ได้ เพราะมันเป็นเพียงค่าลอการิทึม

สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: .

อันที่จริง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเลข b ยกกำลังจนเลข b ยกกำลังนี้ให้เลข a? ถูกต้อง: ผลลัพธ์คือเลข a เดียวกัน อ่านย่อหน้านี้อย่างละเอียดอีกครั้ง หลายๆ คนอาจติดอยู่กับเรื่องนี้

เช่นเดียวกับสูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานก็เป็นวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

โปรดทราบว่า log25 64 = log5 8 - แค่เอากำลังสองจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม เมื่อคำนึงถึงกฎในการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้รับ:

ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

โดยสรุป ฉันจะให้สองตัวตนที่แทบจะเรียกได้ว่าเป็นคุณสมบัติไม่ได้ - แต่เป็นผลสืบเนื่องมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม สิ่งเหล่านี้มักเกิดปัญหาอยู่เสมอ และน่าประหลาดใจที่ยังสร้างปัญหาให้กับนักเรียน "ขั้นสูง" อีกด้วย

logaa = 1 คือ จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ a ของฐานนั้นจะเท่ากับ 1
โลกา 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีหนึ่งค่า ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ a0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากนิยาม

นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนการนำไปปฏิบัติ! ดาวน์โหลดเอกสารสรุปตอนต้นบทเรียน พิมพ์ออกมา และแก้ไขปัญหา

ดูสิ่งนี้ด้วย:

ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a แสดงถึงนิพจน์ การคำนวณลอการิทึมหมายถึงการค้นหากำลัง x () ที่ทำให้ได้ความเท่าเทียมกัน

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

จำเป็นต้องทราบคุณสมบัติข้างต้นเนื่องจากปัญหาและตัวอย่างเกือบทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมได้รับการแก้ไขบนพื้นฐานของปัญหาเหล่านี้ คุณสมบัติแปลกใหม่ที่เหลือสามารถได้มาจากการปรุงแต่งทางคณิตศาสตร์ด้วยสูตรเหล่านี้

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

เมื่อคำนวณสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของลอการิทึม (3.4) คุณมักจะพบบ่อยมาก ส่วนที่เหลือค่อนข้างซับซ้อน แต่ในงานจำนวนหนึ่งสิ่งเหล่านี้ขาดไม่ได้ในการลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อนและคำนวณค่าของพวกเขา

กรณีทั่วไปของลอการิทึม

ลอการิทึมทั่วไปบางตัวเป็นลอการิทึมที่มีฐานเป็นสิบเลขยกกำลังหรือสอง
ลอการิทึมถึงฐานสิบมักเรียกว่าลอการิทึมทศนิยม และเขียนแทนด้วย lg(x)

จากการบันทึกก็ชัดเจนว่าพื้นฐานไม่ได้ถูกเขียนไว้ในการบันทึก ตัวอย่างเช่น

ลอการิทึมธรรมชาติคือลอการิทึมที่มีฐานเป็นเลขชี้กำลัง (แสดงโดย ln(x))

เลขชี้กำลังคือ 2.718281828…. หากต้องการจำเลขชี้กำลัง คุณสามารถศึกษากฎได้: เลขชี้กำลังเท่ากับ 2.7 และสองเท่าของปีเกิดของ Leo Nikolaevich Tolstoy เมื่อรู้กฎนี้ คุณจะรู้ทั้งค่าที่แน่นอนของเลขชี้กำลังและวันเดือนปีเกิดของลีโอ ตอลสตอย

และลอการิทึมสำคัญอีกตัวหนึ่งของฐานสองเขียนแทนด้วย

อนุพันธ์ของลอการิทึมของฟังก์ชันเท่ากับค่าหนึ่งหารด้วยตัวแปร

ลอการิทึมอินทิกรัลหรือแอนติเดริเวทีฟถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์

เนื้อหาที่ให้มานั้นเพียงพอสำหรับคุณในการแก้ปัญหาหลายประเภทที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมและลอการิทึม เพื่อช่วยให้คุณเข้าใจเนื้อหา ฉันจะยกตัวอย่างทั่วไปบางส่วนจากหลักสูตรของโรงเรียนและมหาวิทยาลัย

ตัวอย่างลอการิทึม

นิพจน์ลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 1
ก) x=10ac^2 (a>0,c>0)

เราคำนวณโดยใช้คุณสมบัติ 3.5

2.
โดยคุณสมบัติของผลต่างของลอการิทึมที่เรามี

3.
เราพบโดยใช้คุณสมบัติ 3.5

4. ที่ไหน .

นิพจน์ที่ดูเหมือนซับซ้อนจะถูกทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้กฎหลายข้อ

การค้นหาค่าลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา x ถ้า

สารละลาย. สำหรับการคำนวณ เราใช้กับคุณสมบัติ 5 และ 13 เทอมสุดท้าย

เราบันทึกไว้และไว้อาลัย

เนื่องจากฐานเท่ากัน เราจึงจัดนิพจน์ให้เท่ากัน

ลอการิทึม ระดับแรก.

ให้ค่าลอการิทึมได้รับ

คำนวณบันทึก (x) ถ้า

วิธีแก้: ลองใช้ลอการิทึมของตัวแปรเพื่อเขียนลอการิทึมผ่านผลรวมของพจน์ของมัน

นี่เป็นเพียงจุดเริ่มต้นของความคุ้นเคยกับลอการิทึมและคุณสมบัติของพวกมัน ฝึกฝนการคำนวณ เสริมสร้างทักษะการปฏิบัติของคุณ - ในไม่ช้าคุณจะต้องมีความรู้ที่ได้รับในการแก้สมการลอการิทึม หลังจากศึกษาวิธีการพื้นฐานในการแก้สมการดังกล่าวแล้ว เราจะขยายความรู้ของคุณไปยังหัวข้ออื่นที่สำคัญไม่แพ้กัน - อสมการลอการิทึม...

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

การบวกและการลบลอการิทึม

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y)

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log6 4 + log6 9

เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log2 48 − log2 3

ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log3 135 − log3 5

ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3

แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:

วิธีแก้ลอการิทึม

นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log7 496

กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้ายที่เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราตั้งค่า c = x เราจะได้:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log5 16 log2 25

ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log9 100 lg 3

ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: .

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

logaa = 1 คือ จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ a ของฐานนั้นจะเท่ากับ 1
โลกา 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีหนึ่งค่า ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ a0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากนิยาม

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อรับข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

ลอการิทึม จำนวนบวก N ถึงฐาน(ข> 0, ข 1 ) เรียกว่าเลขชี้กำลัง x ที่คุณต้องสร้าง b เพื่อรับ N .

สัญกรณ์ลอการิทึม:

รายการนี้เทียบเท่ากับสิ่งต่อไปนี้:ขx = ยังไม่มีข้อความ .

ตัวอย่าง: บันทึก 3 81 = 4 เนื่องจาก 3 4 = 81;

ล็อก 1/3 27 = – 3 เนื่องจาก (1/3) - 3 = 3 3 = 27

คำจำกัดความของลอการิทึมข้างต้นสามารถเขียนได้เป็นเอกลักษณ์:

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

1) บันทึก ข= 1 , เพราะ ข 1 = ข.

ข

2) บันทึก 1 = 0 , เพราะ ข 0 = 1 .

ข

3) ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึมของปัจจัย:

บันทึก( เกี่ยวกับ) = บันทึก ก+ บันทึก ข.

4) ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างระหว่างลอการิทึมของเงินปันผลและตัวหาร:

บันทึก( ก/ข) = บันทึก ก-บันทึก ข.

5) ลอการิทึมของกำลังเท่ากับผลคูณของเลขชี้กำลังและลอการิทึมของฐาน:

บันทึก (ข เค ) = เคบันทึก ข.

ผลที่ตามมาของทรัพย์สินนี้คือ:ลอการิทึมของราก เท่ากับลอการิทึมของจำนวนรากหารด้วยกำลังของราก:

6) ถ้าฐานของลอการิทึมเป็นองศา ก็จะเป็นค่านั้น ส่วนผกผันของเลขชี้กำลังสามารถนำออกจากเครื่องหมายบันทึกได้สัมผัส:

คุณสมบัติสองรายการสุดท้ายสามารถรวมกันเป็นหนึ่งเดียว:

7) สูตรโมดูลัสการเปลี่ยนผ่าน (เช่นจ . การเปลี่ยนผ่านจากฐานเดียวลอการิทึมไปยังฐานอื่น):

ในกรณีพิเศษเมื่อ ยังไม่มีข้อความ=กเรามี:

ลอการิทึมทศนิยม เรียกว่า ลอการิทึมฐาน 10. มีการกำหนดไว้แอลจี เช่น บันทึก 10 เอ็น = แอลจี เอ็น. ลอการิทึมของตัวเลข 10, 100, 1,000, ...พี ตัวเลขคือ 1, 2, 3, … ตามลำดับเหล่านั้น. มีแง่บวกมากมาย

หน่วย มีเลขศูนย์กี่ตัวในเลขลอการิทึมหลังหนึ่ง ลอการิทึมของตัวเลข 0.1, 0.01, 0.001, ...พี อาฟนา ตามลำดับ –1, –2, –3, …, เช่น มีค่าลบมากเท่ากับจำนวนศูนย์ที่อยู่หน้าค่าลอการิทึม ( การนับและจำนวนเต็มศูนย์). ลอการิทึม จำนวนอื่น ๆ มีส่วนที่เรียกว่าเศษส่วน แมนทิสซา. ทั้งหมดส่วนหนึ่งของลอการิทึมเรียกว่า ลักษณะเฉพาะ. เพื่อการใช้งานจริงลอการิทึมทศนิยมจะสะดวกที่สุด

ลอการิทึมธรรมชาติ เรียกว่า ลอการิทึมฐาน จ. มันถูกกำหนดไว้ฉันคือ บันทึก จเอ็น = ln เอ็น. ตัวเลข จมันไม่มีเหตุผลค่าประมาณ 2.718281828.มัน คือขีดจำกัดที่จำนวนมีแนวโน้ม(1 + 1 / n) n โดยเพิ่มขึ้นไม่จำกัดn(ซม. ขีดจำกัดอันมหัศจรรย์ครั้งแรก ).
อาจดูแปลก แต่ลอการิทึมธรรมชาติกลับกลายเป็นว่าสะดวกมากเมื่อดำเนินการประเภทต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์ฟังก์ชันการคำนวณลอการิทึมเป็นฐานจดำเนินการได้เร็วกว่าเหตุผลอื่นมาก