ตั้งแต่สมัยโบราณ งานเกี่ยวกับตัวเลขถูกแบ่งออกเป็นสองด้านที่แตกต่างกัน ด้านหนึ่งเกี่ยวข้องโดยตรงกับคุณสมบัติของตัวเลข และอีกด้านเกี่ยวข้องกับเทคนิคการนับ คำว่า "เลขคณิต" ในหลายประเทศมักหมายถึงสาขาหลังนี้ ซึ่งเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดอย่างไม่ต้องสงสัย

เห็นได้ชัดว่าความยากที่สุดสำหรับเครื่องคิดเลขโบราณคือการทำงานกับเศษส่วน สิ่งนี้สามารถเห็นได้จาก Ahmes Papyrus (หรือที่เรียกว่า Rhind Papyrus) งานคณิตศาสตร์ของชาวอียิปต์โบราณที่มีอายุย้อนกลับไปราวๆ 1,650 ปีก่อนคริสตกาล เศษส่วนทั้งหมดที่กล่าวถึงในกระดาษปาปิรัส ยกเว้น 2/3 จะมีตัวเศษเท่ากับ 1 ความยากในการจัดการเศษส่วนยังสังเกตเห็นได้ชัดเจนเมื่อศึกษาแผ่นจารึกรูปลิ่มของชาวบาบิโลนโบราณ เห็นได้ชัดว่าทั้งชาวอียิปต์โบราณและชาวบาบิโลนทำการคำนวณโดยใช้ลูกคิดบางรูปแบบ ศาสตร์แห่งตัวเลขได้รับการพัฒนาอย่างมีนัยสำคัญในหมู่ชาวกรีกโบราณ โดยเริ่มจากปีทาโกรัส ประมาณ 530 ปีก่อนคริสตกาล สำหรับเทคโนโลยีการคำนวณนั้นชาวกรีกทำได้น้อยกว่ามากในพื้นที่นี้

ในทางกลับกัน ชาวโรมันในยุคหลังแทบไม่มีส่วนสนับสนุนศาสตร์แห่งตัวเลขเลย แต่ตามความต้องการด้านการผลิตและการค้าที่พัฒนาอย่างรวดเร็ว พวกเขาจึงปรับปรุงลูกคิดให้เป็นอุปกรณ์การนับ ไม่ค่อยมีใครรู้เกี่ยวกับต้นกำเนิดของเลขคณิตของอินเดีย มีเพียงไม่กี่งานในเวลาต่อมาเกี่ยวกับทฤษฎีและการปฏิบัติของการดำเนินการจำนวนเท่านั้นที่มาหาเรา ซึ่งเขียนขึ้นหลังจากระบบตำแหน่งของอินเดียได้รับการปรับปรุงโดยรวมศูนย์ไว้ในนั้น เมื่อสิ่งนี้เกิดขึ้นเราไม่ทราบแน่ชัด แต่ตอนนั้นเองที่มีการวางรากฐานสำหรับอัลกอริธึมทางคณิตศาสตร์ที่พบบ่อยที่สุดของเรา

ชาวอาหรับยืมระบบตัวเลขของอินเดียและอัลกอริธึมทางคณิตศาสตร์ชุดแรก หนังสือเรียนเลขคณิตภาษาอาหรับที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่เขียนโดยอัล-ควาริซมี ประมาณปี ค.ศ. 825 หนังสือดังกล่าวมีการใช้และอธิบายตัวเลขอินเดียอย่างกว้างขวาง หนังสือเรียนเล่มนี้ได้รับการแปลเป็นภาษาละตินในเวลาต่อมาและมีอิทธิพลอย่างมากต่อยุโรปตะวันตก ชื่อ al-Khwarizmi ที่บิดเบี้ยวมาหาเราในคำว่า "อัลกอริทึม" ซึ่งเมื่อผสมกับคำภาษากรีกเพิ่มเติม จังหวะกลายเป็นคำว่า "อัลกอริทึม"

เลขคณิตอินโด-อารบิกกลายเป็นที่รู้จักในยุโรปตะวันตก ต้องขอบคุณงานของ L. Fibonacci เป็นหลัก หนังสือลูกคิด (ลิเบอร์ อาบาซี, 1202) วิธีแบบอะบาซิสต์ทำให้ง่ายขึ้นคล้ายกับการใช้ระบบตำแหน่งของเรา อย่างน้อยก็เพื่อการบวกและการคูณ พวก Abacists ถูกแทนที่ด้วยอัลกอริธึมที่ใช้ศูนย์และวิธีการหารและแยกรากที่สองของภาษาอาหรับ หนังสือเรียนเลขคณิตเล่มแรกๆ ที่เราไม่รู้จักผู้เขียนนั้น ได้รับการตีพิมพ์ใน Treviso (อิตาลี) ในปี 1478 โดยเนื้อหาจะเกี่ยวข้องกับการคำนวณเมื่อทำธุรกรรมทางการค้า หนังสือเรียนเล่มนี้กลายเป็นบรรพบุรุษของหนังสือเรียนเลขคณิตหลายเล่มที่ปรากฏในเวลาต่อมา จนกระทั่งต้นศตวรรษที่ 17 หนังสือเรียนดังกล่าวมากกว่าสามร้อยเล่มได้รับการตีพิมพ์ในยุโรป อัลกอริธึมทางคณิตศาสตร์ได้รับการปรับปรุงอย่างมีนัยสำคัญในช่วงเวลานี้ ในศตวรรษที่ 16-17 สัญลักษณ์สำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ปรากฏขึ้น เช่น =, +, -, ґ, ё และ

กลไกของการคำนวณทางคณิตศาสตร์

เมื่อสังคมพัฒนาขึ้น ความต้องการการคำนวณที่รวดเร็วและแม่นยำยิ่งขึ้นก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน ความต้องการนี้ทำให้เกิดสิ่งประดิษฐ์ที่น่าทึ่งสี่ประการ ได้แก่ ตัวเลขอินโดอารบิก ทศนิยม ลอการิทึม และเครื่องคำนวณสมัยใหม่

ในความเป็นจริง อุปกรณ์คำนวณที่ง่ายที่สุดมีอยู่ก่อนการถือกำเนิดของเลขคณิตสมัยใหม่ เนื่องจากในสมัยโบราณมีการใช้ลูกคิดในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เบื้องต้น (ในรัสเซียมีการใช้ลูกคิดเพื่อจุดประสงค์นี้) อุปกรณ์คอมพิวเตอร์สมัยใหม่ที่ง่ายที่สุดถือได้ว่าเป็นกฎสไลด์ซึ่งประกอบด้วยสเกลลอการิทึมสองสเกลที่เลื่อนไปมาซึ่งช่วยให้การคูณและการหารโดยการรวมและการลบส่วนของสเกล B. Pascal (1642) ถือเป็นผู้ประดิษฐ์เครื่องบวกเชิงกลเครื่องแรก ต่อมาในศตวรรษเดียวกัน G. Leibniz (1671) ในเยอรมนีและ S. Moreland (1673) ในอังกฤษได้ประดิษฐ์เครื่องจักรสำหรับการคูณ เครื่องจักรเหล่านี้กลายเป็นอุปกรณ์คอมพิวเตอร์เดสก์ท็อปรุ่นก่อน (เลขคณิต) ของศตวรรษที่ 20 ซึ่งทำให้สามารถดำเนินการบวก ลบ คูณ และหารได้อย่างรวดเร็วและแม่นยำ

ในปี ค.ศ. 1812 นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ C. Babbage เริ่มสร้างการออกแบบเครื่องจักรสำหรับคำนวณตารางทางคณิตศาสตร์ แม้ว่างานในโครงการจะดำเนินต่อไปหลายปี แต่ก็ยังไม่เสร็จ อย่างไรก็ตาม โครงการของ Babbage ทำหน้าที่เป็นแรงจูงใจในการสร้างคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์สมัยใหม่ ตัวอย่างแรกที่ปรากฏราวปี 1944 ความเร็วของเครื่องเหล่านี้น่าทึ่งมาก ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขาในเวลาไม่กี่นาทีหรือชั่วโมงก็สามารถแก้ไขปัญหาที่ต้องใช้ก่อนหน้านี้ได้ การคำนวณต่อเนื่องหลายปีแม้จะใช้การเพิ่มเครื่องจักรก็ตาม

จำนวนเต็มบวก

อนุญาต กและ บีคือเซตจำกัดสองเซตที่ไม่มีองค์ประกอบร่วมกัน และให้ กประกอบด้วย nองค์ประกอบและ บีประกอบด้วย มองค์ประกอบ แล้วมากมาย สประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดของเซต กและ บีเมื่อนำมารวมกันเป็นเซตอันจำกัดที่ประกอบด้วยว่า สองค์ประกอบ ตัวอย่างเช่น ถ้า กประกอบด้วยองค์ประกอบ ( ก, ข, ค), พวงของ ใน– จากองค์ประกอบ ( x, ย) จากนั้นตั้งค่า ส=เอ+บีและประกอบด้วยองค์ประกอบ ( ก, ข, ค, x, ย). ตัวเลข สเรียกว่า จำนวนตัวเลข nและ มและเราเขียนมันแบบนี้: ส = n + ม. ในรายการนี้ตัวเลข nและ มถูกเรียก เงื่อนไขการดำเนินการหาผลรวม – ส่วนที่เพิ่มเข้าไป. สัญลักษณ์การทำงาน "+" อ่านว่า "บวก" พวงของ ปประกอบด้วยคู่ลำดับทั้งหมดซึ่งมีการเลือกองค์ประกอบแรกจากชุด กและอันที่สองมาจากชุด บี, เป็นเซตจำกัดที่ประกอบด้วยว่า พีองค์ประกอบ เช่น ถ้าเหมือนแต่ก่อน ก = {ก, ข, ค}, บี = {x, ย), ที่ พี=กґบี = {(ก,x), (ก,ย), (ข,x), (ข,ย), (ค,x), (ค,ย)). ตัวเลข พีเรียกว่า งานตัวเลข กและ ขและเราเขียนมันแบบนี้: พี = กґขหรือ พี = ก×ข. ตัวเลข กและ ขในงานที่พวกเขาเรียกว่า ตัวคูณ, การดำเนินการค้นหาสินค้า – การคูณ. สัญลักษณ์การทำงาน ґ อ่านว่า “คูณด้วย”

แสดงให้เห็นว่าจากคำจำกัดความเหล่านี้ มีกฎพื้นฐานของการบวกและการคูณจำนวนเต็มดังต่อไปนี้:

– กฎของการบวกสับเปลี่ยน: ก + ข = ข + ก;

– กฎของการบวกแบบเชื่อมโยง: ก + (ข + ค) = (ก + ข) + ค;

– กฎของการคูณการสับเปลี่ยน: กґข = ขґก;

– กฎการเชื่อมโยงของการคูณ: กґ(ขґค) = (กґข)ґค;

– กฎการกระจาย: กґ(ข + ค)= (กґข) + (กґค).

ถ้า กและ ข– จำนวนเต็มบวกสองตัว และ ถ้ามีจำนวนเต็มบวก ค, ดังนั้น ก = ข + คแล้วเราก็พูดอย่างนั้น กมากกว่า ข(ข้อความนี้เขียนไว้ดังนี้: ก>ข), หรืออะไร ขน้อย ก(ข้อความนี้เขียนไว้ดังนี้: ข) สำหรับตัวเลขสองตัวใดๆ กและ ขหนึ่งในสามความสัมพันธ์ถือ: อย่างใดอย่างหนึ่ง ก = ข, หรือ ก>ข, หรือ ก.

กฎพื้นฐานสองข้อแรกกล่าวว่าผลรวมของคำศัพท์ตั้งแต่สองคำขึ้นไปไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการจัดกลุ่มหรือจัดเรียงตามลำดับ ในทำนองเดียวกัน จากกฎข้อที่สามและสี่ ผลคูณของปัจจัยตั้งแต่สองตัวขึ้นไปไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการจัดกลุ่มปัจจัยหรือลำดับของปัจจัยเหล่านั้น ข้อเท็จจริงเหล่านี้เรียกว่า "กฎทั่วไปของการสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยง" ของการบวกและการคูณ ตามมาจากพวกเขาว่าเมื่อเขียนผลรวมของคำศัพท์หลายคำหรือผลคูณของปัจจัยหลายประการ ลำดับของข้อกำหนดและปัจจัยนั้นไม่สำคัญและสามารถละเว้นวงเล็บได้

โดยเฉพาะปริมาณที่ทำซ้ำ ก + ก + ... + กจาก nเงื่อนไขจะเท่ากับ nґก. ทำงานซ้ำ กґกґ ... ґกจาก nเราตกลงที่จะแสดงถึงปัจจัย หนึ่ง; ตัวเลข กเรียกว่า พื้นฐานและหมายเลข n – ตัวบ่งชี้ผลิตภัณฑ์ซ้ำ, งานซ้ำซากนั้นเอง – กำลังที่ nตัวเลข ก. คำจำกัดความเหล่านี้ช่วยให้เราสามารถกำหนดกฎพื้นฐานสำหรับเลขยกกำลังดังต่อไปนี้:

ผลที่ตามมาที่สำคัญอีกประการหนึ่งของคำจำกัดความ: กґ1 = กสำหรับจำนวนเต็มใดๆ กและ 1 เป็นจำนวนเต็มเพียงตัวเดียวที่มีคุณสมบัตินี้ หมายเลข 1 เรียกว่า หน่วย.

ตัวหารของจำนวนเต็ม

ถ้า ก, ข, ค– จำนวนเต็มและ กґข = ค, ที่ กและ ขเป็นตัวหารของจำนวน ค. เพราะ กґ1 = กสำหรับจำนวนเต็มใดๆ กเราสรุปได้ว่า 1 เป็นตัวหารของจำนวนเต็มใดๆ และจำนวนเต็มใดๆ เป็นตัวหารของตัวมันเอง ตัวหารจำนวนเต็มใดๆ กแตกต่างจาก 1 หรือ ก, ได้ชื่อแล้ว ตัวหารที่เหมาะสมตัวเลข ก.

จำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ใช่ 1 และไม่มีตัวหารจะเรียกว่า จำนวนเฉพาะ. (ตัวอย่างจำนวนเฉพาะคือ 7) เรียกจำนวนเต็มที่มีตัวหารเป็นของตัวเอง หมายเลขประกอบ. (เช่น จำนวน 6 เป็นแบบประกอบ เนื่องจาก 2 หาร 6) จากข้างต้น เซตของจำนวนเต็มทั้งหมดจะถูกแบ่งออกเป็น 3 ประเภท ได้แก่ หนึ่ง จำนวนเฉพาะ และจำนวนประกอบ

มีทฤษฎีบทที่สำคัญมากในทฤษฎีจำนวนที่ระบุว่า "จำนวนเต็มใดๆ สามารถแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ และการแสดงค่าดังกล่าวจะไม่ซ้ำกัน ขึ้นอยู่กับลำดับของตัวประกอบ" ทฤษฎีบทนี้เรียกว่า "ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต" มันแสดงให้เห็นว่าจำนวนเฉพาะทำหน้าที่เป็น "ส่วนประกอบ" ซึ่งสามารถสร้างจำนวนเต็มทั้งหมดที่ไม่ใช่จำนวนหนึ่งได้โดยใช้การคูณ

หากระบุจำนวนเต็มชุดใดชุดหนึ่ง จะเรียกว่าจำนวนเต็มที่มากที่สุดซึ่งเป็นตัวหารของแต่ละจำนวนที่อยู่ในชุดนี้ ตัวหารร่วมมากชุดตัวเลขที่กำหนด เรียกจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดซึ่งมีตัวหารเป็นตัวเลขจากชุดที่กำหนด ตัวคูณร่วมน้อยให้ชุดตัวเลข ดังนั้น ตัวหารร่วมมากที่สุดของเลข 12, 18 และ 30 คือ 6 ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเดียวกันคือ 180 ถ้าตัวหารร่วมมากที่สุดของจำนวนเต็มสองตัว กและ ขเท่ากับ 1 แล้วตามด้วยตัวเลข กและ ขถูกเรียก สำคัญซึ่งกันและกัน. ตัวอย่างเช่น เลข 8 และ 9 ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ แม้ว่าจะไม่มีเลขจำนวนใดเลยก็ตาม

จำนวนตรรกยะบวก

ดังที่เราได้เห็นไปแล้ว จำนวนเต็มคือนามธรรมที่เกิดขึ้นจากกระบวนการนับเซตของวัตถุที่มีขอบเขตจำกัด อย่างไรก็ตามจำนวนเต็มยังไม่เพียงพอสำหรับความต้องการในชีวิตประจำวัน ตัวอย่างเช่น เมื่อวัดความยาวของโต๊ะ หน่วยวัดที่นำมาใช้อาจมีขนาดใหญ่เกินไปและไม่พอดีกับความยาวที่วัดได้จำนวนเต็ม เพื่อรับมือกับความยากลำบากด้วยความช่วยเหลือจากสิ่งที่เรียกว่า เศษส่วน(กล่าวคือ ตัวเลข “หัก”) จะใช้หน่วยความยาวที่น้อยกว่า ถ้า ง– จำนวนเต็มตามด้วยหน่วยเศษส่วน 1/ งกำหนดโดยทรัพย์สิน งґ1/ง= 1 และถ้า nเป็นจำนวนเต็มแล้ว nґ1/งเราแค่เขียนมันเป็น n/ง. ตัวเลขใหม่เหล่านี้เรียกว่าเศษส่วน "สามัญ" หรือ "ง่าย" จำนวนเต็ม nเรียกว่า เศษเศษส่วนและตัวเลข ง – ตัวส่วน. ตัวส่วนจะแสดงจำนวนหุ้นที่หน่วยแบ่งออกเป็นเท่าๆ กัน และตัวเศษจะแสดงจำนวนหุ้นดังกล่าวที่ถูกแบ่งไป ถ้า n d เศษส่วนเรียกว่าเหมาะสม ถ้า n = งหรือ ไม่มี>งแล้วมันไม่ถูกต้อง จำนวนเต็มจะถือเป็นเศษส่วนโดยมีตัวส่วนเป็น 1; เช่น 2 = 2/1

ตั้งแต่เศษส่วน n/งสามารถตีความได้ว่าเป็นผลจากการแบ่งแยก nหน่วยต่อ งส่วนที่เท่ากันแล้วเอาส่วนหนึ่งส่วนนั้นมา เศษส่วนก็ถือเป็น "ผลหาร" หรือ "อัตราส่วน" ของจำนวนเต็มสองตัว nและ งและเข้าใจเส้นเศษส่วนว่าเป็นเครื่องหมายหาร ดังนั้นจึงมักเรียกว่าเศษส่วน (รวมถึงจำนวนเต็มเป็นกรณีพิเศษของเศษส่วน) มีเหตุผลตัวเลข (จากอัตราส่วนละติน - อัตราส่วน)

สองเศษส่วน n/งและ ( เคґn)/(เคґง), ที่ไหน เค– จำนวนเต็ม ถือว่าเท่ากัน เช่น 4/6 = 2/3 (ที่นี่ n = 2, ง= 3 และ เค= 2.) สิ่งนี้เรียกว่า “คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน”: ค่าของเศษส่วนใดๆ จะไม่เปลี่ยนแปลงหากตัวเศษและส่วนของเศษส่วนถูกคูณ (หรือหาร) ด้วยจำนวนเดียวกัน จากนั้นเศษส่วนใดๆ ก็สามารถเขียนเป็นอัตราส่วนของจำนวนเฉพาะสองตัวได้

จากการตีความเศษส่วนที่เสนอข้างต้นจะเป็นไปตามผลรวมของเศษส่วนทั้งสอง n/งและ ม/งมีตัวส่วนเท่ากันคุณควรหาเศษส่วน ( n + ม)/ง. เมื่อบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน คุณต้องแปลงเศษส่วนเหล่านั้นก่อนโดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนที่เท่ากันโดยมีตัวส่วนเหมือนกัน (ร่วม) ตัวอย่างเช่น, n 1 /ง 1 = (n 1 ชม ง 2)/(ง 1 ชม ง 2) และ n 2 /ง 2 = (n 2 ชม ง 1)/(ง 1 ชม ง 2) จากที่ไหน

เราสามารถทำมันแตกต่างออกไปได้ และหาตัวคูณร่วมน้อยก่อน, พูด ม, ตัวส่วน ง 1 และ ง 2. แล้วจะมีจำนวนเต็ม เค 1 และ เค 2 เช่นนั้น ม = เค 1 ชม ง 1 = เค 2 ชม ง 2 และเราได้รับ:

ด้วยวิธีนี้จำนวน มมักจะเรียกว่า ตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดสองเศษส่วน ผลลัพธ์ทั้งสองนี้เทียบเท่ากันตามคำจำกัดความของความเท่าเทียมกันของเศษส่วน

ผลคูณของเศษส่วนสองส่วน n 1 /ง 1 และ n 2 /ง 2 นำมาเท่ากับเศษส่วน ( n 1 ชม n 2)/(ง 1 ชม ง 2).

กฎพื้นฐานแปดข้อที่ให้ไว้ข้างต้นสำหรับจำนวนเต็มยังใช้ได้หากภายใต้ ก, ข, คเข้าใจจำนวนตรรกยะบวกตามอำเภอใจ นอกจากนี้ หากให้จำนวนตรรกยะบวกสองตัว n 1 /ง 1 และ n 2 /ง 2 แล้วเราก็ว่าอย่างนั้น n 1 /ง 1 > n 2 /ง 2 ถ้าและถ้าเท่านั้น n 1 ชม ง 2 > n 2 ชม ง 1 .

จำนวนจริงบวก

การใช้ตัวเลขเพื่อวัดความยาวของส่วนของเส้นตรงแสดงให้เห็นว่าสำหรับสองส่วนของเส้นที่กำหนด เอบีและ ซีดีจะต้องมีบางส่วน ยูวีอาจมีขนาดเล็กมาก ซึ่งสามารถเลื่อนออกไปเป็นจำนวนเต็มครั้งในแต่ละส่วนได้ เอบีและ ซีดี. หากเป็นหน่วยความยาวทั่วไป ยูวีมีอยู่ แล้วก็ส่วนต่างๆ เอบีและ ซีดีเรียกว่าสมส่วน ในสมัยโบราณชาวพีทาโกรัสรู้เกี่ยวกับการมีอยู่ของปล้องตรงที่ไม่อาจเทียบได้ ตัวอย่างคลาสสิกคือด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและเส้นทแยงมุม หากเรานำด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นหน่วยความยาว ก็ไม่มีจำนวนตรรกยะใดที่สามารถวัดเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ได้ คุณสามารถตรวจสอบสิ่งนี้ได้ด้วยการโต้แย้งแบบขัดแย้ง แท้จริงแล้ว สมมติว่าเป็นจำนวนตรรกยะ n/งคือการวัดเส้นทแยงมุม แต่แล้วส่วนที่ 1/ งสามารถเลื่อนออกไปได้ nหนึ่งครั้งในแนวทแยงและ งเวลาด้านข้างของจัตุรัส แม้ว่าเส้นทแยงมุมและด้านข้างของจัตุรัสจะเทียบกันไม่ได้ก็ตาม ดังนั้น โดยไม่คำนึงถึงการเลือกหน่วยความยาว ส่วนของเส้นตรงบางเส้นจะมีความยาวที่สามารถแสดงเป็นจำนวนตรรกยะได้ เพื่อให้ส่วนของเส้นทั้งหมดวัดได้ด้วยหน่วยความยาวบางหน่วย จะต้องขยายระบบตัวเลขให้รวมตัวเลขที่แสดงผลการวัดความยาวของส่วนของเส้นที่ไม่สมส่วนกับหน่วยความยาวที่เลือก ตัวเลขใหม่เหล่านี้เรียกว่าบวก ไม่มีเหตุผลตัวเลข หลังร่วมกับจำนวนตรรกยะบวกทำให้เกิดชุดตัวเลขที่กว้างขึ้นซึ่งองค์ประกอบที่เรียกว่าบวก ถูกต้องตัวเลข

ถ้า หรือ– เส้นครึ่งแนวนอนที่เล็ดลอดออกมาจากจุดหนึ่ง โอ, ยู– ชี้ไปที่ หรือแตกต่างจากต้นกำเนิด โอ, และ อู๋จะถูกเลือกเป็นหน่วยแล้วจึงเลือกแต่ละจุด ปบนครึ่งบรรทัด หรือสามารถเชื่อมโยงกับจำนวนจริงบวกเพียงตัวเดียวได้ พีเพื่อแสดงความยาวของส่วน อพ. ด้วยวิธีนี้ เราสร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจำนวนจริงบวกกับจุดอื่นที่ไม่ใช่ โอ, บนครึ่งบรรทัด หรือ. ถ้า พีและ ถาม– จำนวนจริงบวกสองตัวที่ตรงกับจุด ปและ ถามบน หรือแล้วเราก็เขียน พี>คิว,พี = คิวหรือ p ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด ปทางด้านขวาของจุด ถามบน หรือ, ตรงกับ ถามหรือตั้งอยู่ทางด้านซ้ายของ ถาม.

การแนะนำจำนวนอตรรกยะบวกได้ขยายขอบเขตของการบังคับใช้เลขคณิตอย่างมีนัยสำคัญ ตัวอย่างเช่น ถ้า ก– จำนวนจริงบวกใดๆ และ nเป็นจำนวนเต็มใดๆ แล้วจะมีจำนวนจริงบวกเพียงตัวเดียวเท่านั้น ข, ดังนั้น พันล้าน=ก. เบอร์นี้ ขเรียกว่าราก nระดับของ กและเขียนว่า โดยที่สัญลักษณ์ในโครงร่างมีลักษณะคล้ายอักษรละติน รซึ่งคำภาษาละตินขึ้นต้นด้วย ฐานราก(root) และถูกเรียกว่า หัวรุนแรง. ก็สามารถแสดงได้ว่า

ความสัมพันธ์เหล่านี้เรียกว่าคุณสมบัติพื้นฐานของอนุมูล

จากมุมมองเชิงปฏิบัติ สิ่งสำคัญมากคือสามารถประมาณจำนวนอตรรกยะบวกใดๆ ได้อย่างแม่นยำตามต้องการด้วยจำนวนตรรกยะบวก ซึ่งหมายความว่าถ้า รเป็นจำนวนอตรรกยะบวก และ จเป็นจำนวนตรรกยะบวกจำนวนน้อยตามใจชอบ แล้วเราจะหาจำนวนตรรกยะบวกได้ กและ ข, ดังนั้น และ ข. ตัวอย่างเช่น จำนวนเป็นจำนวนอตรรกยะ หากคุณเลือก จ= 0.01 จากนั้น ; ถ้าคุณเลือก จ= 0.001 จากนั้น .

ระบบเลขอินโด-อารบิก

อัลกอริทึมหรือแผนการคำนวณของเลขคณิตขึ้นอยู่กับระบบตัวเลขที่ใช้ ตัวอย่างเช่น เห็นได้ชัดว่าวิธีการคำนวณที่ประดิษฐ์ขึ้นสำหรับระบบเลขโรมันอาจแตกต่างจากอัลกอริทึมที่ประดิษฐ์ขึ้นสำหรับระบบอินโด-อารบิกในปัจจุบัน นอกจากนี้ ระบบตัวเลขบางระบบอาจไม่เหมาะอย่างยิ่งสำหรับการสร้างอัลกอริธึมทางคณิตศาสตร์ ข้อมูลในอดีตแสดงให้เห็นว่าก่อนที่จะนำระบบสัญกรณ์ตัวเลขอินโด-อารบิกมาใช้ ไม่มีอัลกอริทึมเลยที่ทำให้การบวก ลบ คูณ และหารตัวเลขโดยใช้ "ดินสอและกระดาษ" เป็นเรื่องง่าย ตลอดหลายปีที่ผ่านมาของระบบอินโด-อารบิก มีการพัฒนาขั้นตอนอัลกอริธึมจำนวนมากที่ปรับให้เข้ากับระบบเป็นพิเศษ เพื่อให้อัลกอริธึมสมัยใหม่ของเราเป็นผลผลิตจากยุคของการพัฒนาและปรับปรุงทั้งหมด

ในระบบตัวเลขฮินดู-อารบิก แต่ละรายการที่แทนตัวเลขคือชุดของสัญลักษณ์พื้นฐาน 10 ตัว 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 เรียกว่าตัวเลข ตัวอย่างเช่น สัญกรณ์ฮินดู-อารบิกสำหรับตัวเลขสี่ร้อยยี่สิบสามอยู่ในรูปแบบลำดับของตัวเลข 423 ความหมายของตัวเลขในสัญกรณ์ฮินดู-อารบิกของตัวเลขนั้นถูกกำหนดโดยสถานที่หรือตำแหน่ง ในลำดับตัวเลขที่สร้างสัญกรณ์นี้ ในตัวอย่างที่เราให้ไป ตัวเลข 4 หมายถึงสี่ร้อย หมายเลข 2 หมายถึงสองสิบ และหมายเลข 3 หมายถึงสามหน่วย หมายเลข 0 (ศูนย์) ที่ใช้เติมตำแหน่งว่าง มีบทบาทสำคัญมาก เช่น รายการ 403 หมายถึงเลขสี่ร้อยสาม กล่าวคือ หายไปหลายสิบ ถ้า ก, ข, ค, ง, จหมายถึงตัวเลขแต่ละตัว ในระบบอินโด-อารบิก เอบีซีหมายถึงคำย่อของจำนวนเต็ม

เนื่องจากทุกจำนวนเต็มยอมรับการแสดงค่าที่ไม่ซ้ำใครในรูปแบบ

ที่ไหน nเป็นจำนวนเต็ม และ ก 0 , ก 1 ,..., หนึ่ง- ตัวเลข เราสรุปได้ว่าในระบบตัวเลขที่กำหนด จำนวนเต็มแต่ละจำนวนสามารถแสดงได้ด้วยวิธีที่ไม่ซ้ำกัน

ระบบตัวเลขฮินดู-อารบิกช่วยให้คุณเขียนได้กระชับไม่เพียงแต่จำนวนเต็ม แต่ยังรวมถึงจำนวนจริงบวกด้วย ให้เราแนะนำสัญกรณ์ 10 - nสำหรับ 1/10 n, ที่ไหน n– จำนวนเต็มบวกตามใจชอบ จากนั้น ดังที่แสดงแล้ว สามารถแสดงจำนวนจริงบวกใดๆ ในรูปแบบที่ไม่ซ้ำกันได้

บันทึกนี้สามารถบีบอัดได้โดยการเขียนเป็นลำดับตัวเลข

โดยที่เครื่องหมายเรียกว่าจุดทศนิยมอยู่ระหว่างนั้น ก 0 และ ข 1 บ่งชี้ว่าพลังลบของ 10 เริ่มต้นจากจุดใด (ในบางประเทศจะใช้จุดเพื่อจุดประสงค์นี้) วิธีการเขียนจำนวนจริงบวกนี้เรียกว่าการขยายทศนิยม และเศษส่วนที่แสดงอยู่ในรูปของการขยายทศนิยมคือ ทศนิยม.

จะเห็นได้ว่าสำหรับจำนวนตรรกยะบวก การขยายทศนิยมหลังจุดทศนิยมจะแยกออก (เช่น 7/4 = 1.75) หรือซ้ำ (เช่น 6577/1980 = 3.32171717...) หากตัวเลขไม่ลงตัว การขยายทศนิยมจะไม่แยกออกและไม่เกิดซ้ำ หากการขยายทศนิยมของจำนวนอตรรกยะถูกขัดจังหวะด้วยทศนิยมตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่ง เราจะได้ค่าประมาณเหตุผลของมัน ยิ่งไกลออกไปทางขวาของจุดทศนิยมจะมีเครื่องหมายที่เรายุติการขยายทศนิยมเท่าใด การประมาณเหตุผลก็จะยิ่งดีขึ้นเท่านั้น (ข้อผิดพลาดก็จะน้อยลง)

ในระบบฮินดู-อารบิก ตัวเลขเขียนโดยใช้ตัวเลขพื้นฐาน 10 หลัก ความหมายขึ้นอยู่กับตำแหน่งหรือตำแหน่งในสัญลักษณ์ของตัวเลข (ค่าของตัวเลขจะเท่ากับผลคูณของตัวเลขและบางส่วน ยกกำลัง 10) ดังนั้นระบบดังกล่าวจึงเรียกว่าระบบตำแหน่งทศนิยม ระบบตัวเลขตำแหน่งสะดวกมากสำหรับการสร้างอัลกอริธึมทางคณิตศาสตร์ และนี่คือเหตุผลว่าทำไมระบบตัวเลขอินโด-อารบิกจึงแพร่หลายในโลกสมัยใหม่ แม้ว่าสัญลักษณ์ที่แตกต่างกันอาจถูกนำมาใช้เพื่อแสดงถึงตัวเลขแต่ละตัวในประเทศต่างๆ ก็ตาม

ชื่อตัวเลข.

ชื่อของตัวเลขในระบบอินโด-อารบิกเป็นไปตามกฎเกณฑ์บางประการ วิธีการตั้งชื่อตัวเลขที่พบบ่อยที่สุดคือ ตัวเลขนั้นจะถูกแบ่งออกเป็นกลุ่มๆ ละสามหลักจากขวาไปซ้าย กลุ่มเหล่านี้เรียกว่า "ช่วงเวลา" ช่วงแรกเรียกว่าช่วง "หน่วย" ช่วงที่สอง - ช่วง "พัน" ช่วงที่สาม - ช่วง "ล้าน" ฯลฯ ดังที่แสดงในตัวอย่างต่อไปนี้:

แต่ละจุดจะอ่านเหมือนเป็นตัวเลขสามหลัก ตัวอย่างเช่น ระยะเวลา 962 อ่านว่า "เก้าร้อยหกสิบสอง" การอ่านตัวเลขที่ประกอบด้วยหลายช่วง ให้อ่านกลุ่มตัวเลขในแต่ละช่วงโดยเริ่มจากซ้ายสุดแล้วไล่ตามลำดับจากซ้ายไปขวา แต่ละกลุ่มจะตามด้วยชื่องวด ตัวอย่างเช่น จำนวนข้างต้นอ่านว่า "เจ็ดสิบสามล้านล้านแปดร้อยสี่สิบสองพันเก้าร้อยหกสิบสองล้านห้าแสนสามหมื่นสองพันเจ็ดร้อยเก้าสิบแปด" โปรดทราบว่าเมื่ออ่านและเขียนจำนวนเต็ม มักจะไม่ใช้คำเชื่อม “และ” ละเว้นชื่อของหมวดหมู่หน่วย ล้านล้านตามด้วย quadrillions, quintillion, sextillion, septillion, octillion, nonallions และ decillion แต่ละงวดมีค่ามากกว่างวดก่อนหน้า 1,000 เท่า

ในระบบฮินดู-อารบิก เป็นเรื่องปกติที่จะปฏิบัติตามขั้นตอนต่อไปนี้เพื่ออ่านตัวเลขทางด้านขวาของจุดทศนิยม ที่นี่เรียกว่าตำแหน่ง (ตามลำดับจากซ้ายไปขวา): "สิบ", "ร้อย", "พัน", "หมื่น" ฯลฯ ทศนิยมที่ถูกต้องจะอ่านได้เสมือนว่าตัวเลขหลังจุดทศนิยมกลายเป็นจำนวนเต็ม ตามด้วยชื่อตำแหน่งของตัวเลขหลักสุดท้ายทางด้านขวา ตัวอย่างเช่น 0.752 อ่านว่า "เจ็ดร้อยห้าสิบสองพัน" การอ่านทศนิยมแบบผสมโดยการรวมกฎสำหรับการตั้งชื่อจำนวนเต็มกับกฎสำหรับการตั้งชื่อทศนิยมที่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่น 632.752 อ่านว่า "หกร้อยสามสิบสองจุดเจ็ดแสนห้าหมื่นสองพัน" สังเกตคำว่า "จำนวนเต็ม" ก่อนจุดทศนิยม ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา ตัวเลขทศนิยมมีการอ่านง่ายขึ้นมากขึ้น เช่น 3.782 เรียกว่า "สามจุดเจ็ดร้อยแปดสิบสอง"

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป.

ตอนนี้เราพร้อมที่จะวิเคราะห์อัลกอริธึมทางคณิตศาสตร์ที่สอนในโรงเรียนประถมศึกษาแล้ว อัลกอริธึมเหล่านี้จัดการกับการดำเนินการกับจำนวนจริงบวกที่เขียนเป็นการขยายทศนิยม เราถือว่าตารางการบวกและสูตรคูณเบื้องต้นเป็นการเรียนรู้ด้วยหัวใจ

พิจารณาปัญหาการบวก: คำนวณ 279.8 + 5.632 + 27.54:

ขั้นแรก เราสรุปเลขยกกำลังเดียวกันของเลข 10 จำนวน 19MX10 –1 ถูกแบ่งตามกฎการกระจายตัวเป็น 9MX10 –1 และ 10MX10 –1 = 1 เราย้ายหน่วยไปทางซ้ายและเพิ่มเป็น 21 ซึ่ง ให้ 22 ในทางกลับกัน เราแบ่งตัวเลข 22 ออกเป็น 2 และ 20 = 2H10 เราย้ายเลข 2H10 ไปทางซ้ายแล้วบวกเข้ากับ 9H10 ซึ่งให้ 11H10 สุดท้ายเราแบ่ง 11H10 ออกเป็น 1H10 และ 10H10 = 1H10 2 เลื่อน 1H10 2 ไปทางซ้ายแล้วบวกเข้ากับ 2H10 2 ซึ่งให้ 3H10 2 ผลรวมสุดท้ายกลายเป็น 312.972

เป็นที่ชัดเจนว่าการคำนวณที่ดำเนินการสามารถนำเสนอในรูปแบบที่กระชับยิ่งขึ้นในขณะเดียวกันก็ใช้เป็นตัวอย่างของอัลกอริทึมการบวกที่สอนในโรงเรียน ในการทำเช่นนี้ เราเขียนตัวเลขทั้งสามตัวไว้ใต้อีกตัวหนึ่งเพื่อให้จุดทศนิยมอยู่ในแนวตั้งเดียวกัน:

เริ่มจากทางขวา เราพบว่าผลรวมของสัมประสิทธิ์ที่ 10 –3 เท่ากับ 2 ซึ่งเราเขียนในคอลัมน์ที่สอดคล้องกันใต้เส้น ผลรวมของสัมประสิทธิ์ที่ 10 –2 เท่ากับ 7 ซึ่งเขียนไว้ในคอลัมน์ที่เกี่ยวข้องใต้บรรทัดด้วย ผลรวมของสัมประสิทธิ์สำหรับ 10 –1 คือ 19 เราเขียนเลข 9 ไว้ใต้บรรทัด และย้าย 1 ไปยังคอลัมน์ก่อนหน้าซึ่งมีอยู่ เมื่อคำนึงถึงหน่วยนี้ผลรวมของสัมประสิทธิ์ในคอลัมน์นี้จะเท่ากับ 22 เราเขียนหนึ่งสองไว้ใต้บรรทัดและย้ายอีกอันไปยังคอลัมน์ก่อนหน้าโดยที่หลักสิบอยู่ เมื่อพิจารณาถึงสองการถ่ายโอนแล้วผลรวมของสัมประสิทธิ์ในคอลัมน์นี้เท่ากับ 11 เราเขียนหนึ่งหน่วยใต้บรรทัดและโอนอีกหน่วยหนึ่งไปยังคอลัมน์ก่อนหน้าซึ่งมีหลายร้อย ผลรวมของสัมประสิทธิ์ในคอลัมน์นี้จะเท่ากับ 3 ซึ่งเราเขียนไว้ใต้บรรทัด จำนวนเงินที่ต้องการคือ 312.972

การลบ

การลบคือการผกผันของการบวก ถ้าสามจำนวนจริงบวก ก, ข, คเชื่อมต่อกันเช่นนั้น ก+ข=คแล้วเราก็เขียน ก = ค – ขโดยที่สัญลักษณ์ “-” อ่านว่า “ลบ” การหาตัวเลข กตามหมายเลขที่ทราบ ขและ คเรียกว่า "ลบ" ตัวเลข คเรียกว่า minuend หมายเลข ข– “ลบได้” และจำนวน ก- "ความแตกต่าง". เนื่องจากเรากำลังเผชิญกับจำนวนจริงบวก จึงต้องเป็นไปตามเงื่อนไข ค > ข.

ลองดูตัวอย่างการลบ: คำนวณ 453.87 – 82.94

ก่อนอื่น ยืมหน่วยจากทางซ้ายหากจำเป็น เราจะแปลงส่วนขยายของ minuend เพื่อให้สัมประสิทธิ์ของกำลังใดๆ ที่เท่ากับ 10 มากกว่าค่าสัมประสิทธิ์ของ subtrahend สำหรับกำลังเดียวกัน จาก 4H10 2 เรายืม 1H10 2 = 10H10 โดยบวกเลขสุดท้ายเข้ากับเทอมถัดไปในส่วนขยาย ซึ่งให้ 15H10 ในทำนองเดียวกัน เรายืม 1MX10 0 หรือ 10Ч10 –1 และเพิ่มตัวเลขนี้ไปยังระยะสุดท้ายของการขยาย หลังจากนี้ เราจะมีโอกาสลบค่าสัมประสิทธิ์สำหรับเลขยกกำลังเดียวกันของเลข 10 และหาผลต่างของ 370.93 ได้อย่างง่ายดาย

การบันทึกการดำเนินการลบสามารถนำเสนอในรูปแบบที่บีบอัดมากขึ้นและคุณสามารถดูตัวอย่างอัลกอริทึมการลบที่ศึกษาในโรงเรียนได้ เราเขียนเครื่องหมายย่อยไว้ใต้เครื่องหมาย minuend เพื่อให้จุดทศนิยมอยู่ในแนวตั้งเดียวกัน เริ่มจากด้านขวา เราพบว่าส่วนต่างของสัมประสิทธิ์ที่ 10 –2 เท่ากับ 3 และเราเขียนตัวเลขนี้ในคอลัมน์เดียวกันใต้เส้น เนื่องจากในคอลัมน์ถัดไปทางด้านซ้าย เราไม่สามารถลบ 9 จาก 8 ได้ เราจึงเปลี่ยนทั้งสามในตำแหน่งหน่วยของเครื่องหมายลบเป็น 2 และถือว่าตัวเลข 8 ในตำแหน่งที่สิบเป็น 18 หลังจากลบ 9 จาก 18 เราจะได้ 9 เป็นต้น . คือ .

การคูณ

ก่อนอื่นมาพิจารณาสิ่งที่เรียกว่า การคูณแบบ "สั้น" คือการคูณจำนวนจริงบวกด้วยตัวเลขหลักเดียวตัวใดตัวหนึ่ง 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 เช่น 32.67ґ4 การใช้กฎการกระจายตัว เช่นเดียวกับกฎการเชื่อมโยงและการสับเปลี่ยนของการคูณ ทำให้เราได้รับโอกาสในการแยกตัวประกอบออกเป็นส่วนๆ และจัดเรียงพวกมันด้วยวิธีที่สะดวกยิ่งขึ้น ตัวอย่างเช่น,

การคำนวณเหล่านี้สามารถเขียนให้กระชับยิ่งขึ้นได้ดังนี้:

กระบวนการบีบอัดสามารถดำเนินต่อไปได้ เราเขียนตัวประกอบ 4 ไว้ใต้ตัวคูณ 32.67 ตามที่ระบุ:

เนื่องจาก 4ґ7 = 28 เราจึงเขียนเลข 8 ไว้ใต้เส้นและวาง 2 ไว้เหนือเลข 6 ของตัวคูณ ถัดไป 4ґ6 = 24 ซึ่งเมื่อคำนึงถึงสิ่งที่ถ่ายโอนจากคอลัมน์ทางขวา ให้ 26 เราเขียนหมายเลข 6 ใต้บรรทัด และเขียน 2 เหนือหมายเลข 2 ของตัวคูณ จากนั้นเราจะได้4ґ2 = 8 ซึ่งเมื่อรวมกับสองตัวที่โอนมาจะให้ 10 เราเซ็นหมายเลข 0 ใต้บรรทัดและอันที่อยู่เหนือหมายเลข 3 ของตัวคูณ สุดท้าย 4ґ3 = 12 ซึ่งเมื่อคำนึงถึงหน่วยที่โอนแล้ว ให้ 13 หมายเลข 13 เขียนไว้ใต้บรรทัด เมื่อใส่จุดทศนิยมแล้วจะได้คำตอบ: ผลคูณเท่ากับ 130.68

การคูณแบบ "ยาว" เป็นเพียงการคูณแบบ "สั้น" ซ้ำแล้วซ้ำอีก ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาการคูณตัวเลข 32.67 ด้วยจำนวน 72.4 วางตัวคูณไว้ใต้ตัวคูณดังที่ระบุไว้:

ทำการคูณสั้นๆ จากขวาไปซ้าย เราจะได้ผลหารแรกของ 13.068 ตัวที่สองของ 65.34 และตัวที่สามของ 2286.9 ตามกฎการกระจาย สินค้าที่ต้องค้นหาคือผลรวมของผลิตภัณฑ์บางส่วนเหล่านี้ หรือ 2365.308 ในการบันทึกเป็นลายลักษณ์อักษร จุดทศนิยมในผลคูณบางส่วนจะถูกละไว้ แต่จะต้องจัดเรียงอย่างถูกต้องเป็น "ขั้นตอน" เพื่อที่จะนำมารวมกันเพื่อให้ได้ผลิตภัณฑ์ที่สมบูรณ์ จำนวนตำแหน่งทศนิยมในผลคูณเท่ากับผลรวมของจำนวนตำแหน่งทศนิยมในตัวคูณและตัวคูณ

แผนก.

การหารคือการดำเนินการผกผันของการคูณ เช่นเดียวกับการคูณแทนที่การบวกซ้ำ การหารจะแทนที่การลบซ้ำ ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาคำถาม: 3 มีกี่ครั้งใน 14? ทำซ้ำการดำเนินการลบ 3 จาก 14 เราพบว่า 3 "เข้า" 14 สี่ครั้งและหมายเลข 2 "ยังคงอยู่" เช่น

หมายเลข 14 เรียกว่า หารได้หมายเลข 3 – ตัวแบ่งหมายเลข 4 – ส่วนตัวและหมายเลข 2 – ส่วนที่เหลือ. ความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นสามารถแสดงเป็นคำได้ดังนี้:

เงินปันผล = (ตัวหาร ґ ผลหาร) + เศษ

0 Ј ส่วนที่เหลือ

การหาผลหารและเศษของ 1400 หารด้วย 3 ด้วยการลบ 3 ซ้ำๆ จะต้องใช้เวลาและความพยายามอย่างมาก ขั้นตอนนี้อาจเร็วขึ้นอย่างเห็นได้ชัดถ้าเราลบ 300 จาก 1400 ก่อน จากนั้นจึงลบ 30 จากเศษ และสุดท้ายด้วย 3 หลังจากลบ 300 สี่ครั้ง เราจะได้เศษเหลือ 200 หลังจากลบ 30 จาก 200 หกครั้ง ส่วนที่เหลือจะเป็น 20 สุดท้าย หลังจากลบ 3 จาก 20 หกครั้ง เราจะได้เศษ 2 ดังนั้น

ผลหารและเศษที่จะหาได้คือ 466 และ 2 ตามลำดับ สามารถจัดระเบียบการคำนวณแล้วบีบอัดตามลำดับได้ดังนี้

การให้เหตุผลข้างต้นใช้บังคับหากเงินปันผลและตัวหารเป็นจำนวนจริงบวกใดๆ ที่แสดงอยู่ในระบบทศนิยม เรามาอธิบายสิ่งนี้ด้วยตัวอย่างของ 817.65е23.7

ขั้นแรก ต้องแปลงตัวหารให้เป็นจำนวนเต็มโดยใช้การเปลี่ยนจุดทศนิยม ในกรณีนี้ จุดทศนิยมของการจ่ายเงินปันผลจะเลื่อนไปตามจำนวนทศนิยมตำแหน่งที่เท่ากัน ตัวหารและเงินปันผลจัดเรียงดังนี้:

ลองพิจารณาว่ามีตัวหารกี่ครั้งในเลขสามหลัก 817 ซึ่งเป็นส่วนแรกของเงินปันผลที่เราหารด้วยตัวหาร เนื่องจากคาดว่าจะมีอยู่สามครั้ง เราจึงคูณ 237 ด้วย 3 และลบผลคูณของ 711 จาก 817 ผลต่างของ 106 นั้นน้อยกว่าตัวหาร ซึ่งหมายความว่าหมายเลข 237 ปรากฏในการทดลองจ่ายเงินปันผลไม่เกินสามครั้ง เลข 3 ซึ่งเขียนใต้ตัวหารเลข 2 ใต้เส้นแนวนอน คือเลขหลักแรกของผลหารที่ต้องการหา หลังจากที่เราเลื่อนเลขหลักถัดไปของเงินปันผลลงไป เราจะได้เงินปันผลทดลองถัดไปคือ 1,066 และเราต้องพิจารณาว่าตัวหาร 237 ลงตัวกับตัวเลข 1066 กี่ครั้ง สมมุติว่า 4 ครั้ง. เราคูณตัวหารด้วย 4 แล้วได้ผลลัพธ์ 948 ซึ่งเราลบออกจาก 1,066 ผลต่างกลายเป็น 118 ซึ่งหมายความว่าตัวเลขหลักถัดไปของผลหารคือ 4 จากนั้นเราลบตัวเลขถัดไปของเงินปันผลแล้วทำซ้ำขั้นตอนทั้งหมดที่อธิบายไว้ข้างต้น ครั้งนี้ปรากฎว่าเงินปันผลทดลอง 1185 นั้นหารด้วย 237 ลงตัวพอดี (โดยไม่มีเศษเหลือ) (ส่วนที่เหลือของการหารกลายเป็น 0 ในที่สุด) ด้วยการแยกจุดทศนิยมในผลหารด้วยจำนวนหลักเดียวกันกับที่แยกออกจากกันในการจ่ายเงินปันผล (โปรดจำไว้ว่าก่อนหน้านี้เราย้ายจุดทศนิยม) เราจะได้คำตอบ: ผลหารเท่ากับ 34.5

เศษส่วน

การคำนวณเศษส่วน ได้แก่ การบวก การลบ การคูณ การหาร ตลอดจนการลดความซับซ้อนของเศษส่วนเชิงซ้อน

การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากันทำได้โดยการบวกตัวเศษ เช่น

1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16.

หากเศษส่วนมีตัวส่วนต่างกัน จะต้องลดให้เหลือตัวส่วนร่วมก่อน เช่น แปลงเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน ในการทำเช่นนี้ เราจะหาตัวส่วนร่วมที่น้อยที่สุด (ผลคูณที่น้อยที่สุดของตัวส่วนแต่ละตัว) ตัวอย่างเช่น เมื่อบวก 2/3, 1/6 และ 3/5 ตัวส่วนร่วมต่ำสุดคือ 30:

สรุปแล้วเราได้รับ

20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30.

การลบเศษส่วนทำในลักษณะเดียวกับการบวก หากตัวส่วนเท่ากัน การลบจะลงมาเป็นการลบตัวเศษ: 10/13 – 2/13 = 8/13; ถ้าเศษส่วนมีตัวส่วนต่างกัน คุณต้องทำให้เศษส่วนมีตัวส่วนร่วมก่อน:

7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8.

เมื่อคูณเศษส่วน ตัวเศษและส่วนจะถูกคูณแยกกัน ตัวอย่างเช่น,

5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27.

ในการหารเศษส่วนหนึ่งด้วยอีกเศษส่วนหนึ่ง คุณต้องคูณเศษส่วนแรก (ตัวหาร) ด้วยเศษส่วนกลับของตัวที่สอง (ตัวหาร) (เพื่อให้ได้เศษส่วนกลับ คุณต้องสลับตัวเศษและส่วนของเศษส่วนเดิม) เช่น ( n 1 /ง 1)เอ( n 2 /ง 2) = (n 1 ชม ง 2)/(ง 1 ชม n 2). ตัวอย่างเช่น,

3/4е7/8 = 3/4ґ8/7 = 24/28 = 6/7

จำนวนคละคือผลรวม (หรือผลต่าง) ของจำนวนเต็มและเศษส่วน เช่น 4 + 2/3 หรือ 10 – 1/8 เนื่องจากจำนวนเต็มสามารถมองเป็นเศษส่วนได้โดยมีตัวส่วนเป็น 1 จำนวนคละจึงไม่มีอะไรมากไปกว่าผลรวม (หรือผลต่าง) ของเศษส่วนสองส่วน ตัวอย่างเช่น,

4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.

เศษส่วนเชิงซ้อนคือเศษส่วนที่มีเศษส่วนในตัวเศษ ตัวส่วน หรือตัวเศษและตัวส่วน เศษส่วนนี้สามารถแปลงเป็นเศษส่วนอย่างง่ายได้:

รากที่สอง.

ถ้า n ร, ดังนั้น ร 2 = n. ตัวเลข รเรียกว่า รากที่สองจาก nและถูกกำหนดไว้ ที่โรงเรียนจะสอนให้คุณแยกรากที่สองได้สองวิธี

วิธีแรกได้รับความนิยมมากกว่าเพราะใช้ง่ายและง่ายกว่า การคำนวณโดยใช้วิธีนี้สามารถนำไปใช้กับเครื่องคิดเลขบนเดสก์ท็อปได้อย่างง่ายดาย และสรุปในกรณีของรากที่สามและรากที่สูงกว่า วิธีการจะขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าถ้า ร 1 – เข้าใกล้รากแล้ว ร 2 = (1/2)(ร 1 + n/ร 1) – การประมาณรากที่แม่นยำยิ่งขึ้น

เราจะอธิบายขั้นตอนโดยการคำนวณรากที่สองของตัวเลขระหว่าง 1 ถึง 100 เช่น 40 เนื่องจาก 6 2 = 36 และ 7 2 = 49 เราสรุปได้ว่า 6 เป็นการประมาณจำนวนเต็มที่ดีที่สุด การประมาณที่แม่นยำยิ่งขึ้นได้จาก 6 ดังนี้ หาร 40 ด้วย 6 ได้ 6.6 (ปัดเศษเป็นทศนิยมตำแหน่งแรก) สม่ำเสมอจำนวนหนึ่งในสิบ) หากต้องการประมาณวินาที เราจะหาค่าเฉลี่ยของตัวเลข 6 และ 6.6 สองตัว และได้ 6.3 ทำซ้ำขั้นตอนนี้เราจะได้ค่าประมาณที่ดียิ่งขึ้น เมื่อหาร 40 ด้วย 6.3 เราจะได้ตัวเลข 6.350 และการประมาณค่าที่สามจะเป็น (1/2)(6.3 + 6.350) = 6.325 การทำซ้ำอีกครั้งให้ 40е6.325 = 6.3241106 และการประมาณที่สี่กลายเป็น (1/2)(6.325 + 6.3241106) = 6.3245553 กระบวนการนี้สามารถดำเนินต่อไปได้นานเท่าที่ต้องการ โดยทั่วไป การประมาณในภายหลังแต่ละครั้งอาจมีตัวเลขเป็นสองเท่าของตัวเลขก่อนหน้า ดังนั้น ในตัวอย่างของเรา เนื่องจากค่าประมาณแรก จำนวนเต็ม 6 มีเพียงหลักเดียว เราจึงสามารถเก็บตัวเลขสองหลักไว้ในการประมาณค่าที่สอง สี่หลักในสาม และแปดหลักในหลักที่สี่

ถ้าเป็นจำนวน nไม่ได้อยู่ระหว่าง 1 ถึง 100 ดังนั้นคุณต้องหาร (หรือคูณ) ก่อน nยกกำลัง 100 พูดว่า ถึง เค- เพื่อให้ผลคูณอยู่ในช่วง 1 ถึง 100 จากนั้นรากที่สองของผลคูณจะอยู่ในช่วง 1 ถึง 10 และหลังจากแยกออกแล้ว เราก็คูณ (หรือหาร) จำนวนผลลัพธ์ด้วย 10 เคให้ค้นหารากที่สองที่ต้องการ ตัวอย่างเช่น ถ้า n= 400000 จากนั้นเราก่อน แบ่ง 400000 คูณ 100 2 และเราได้ตัวเลข 40 ซึ่งอยู่ในช่วงตั้งแต่ 1 ถึง 100 ดังที่แสดงไว้ด้านบน มีค่าประมาณเท่ากับ 6.3245553 การคูณตัวเลขนี้คูณ 10 2 เราจะได้ 632.45553 เป็นค่าโดยประมาณ และตัวเลข 0.63245553 ทำหน้าที่เป็นค่าโดยประมาณสำหรับ

ขั้นตอนที่สองที่กล่าวถึงข้างต้นขึ้นอยู่กับเอกลักษณ์ทางพีชคณิต ( ก + ข) 2 = ก 2 + (2ก + ข)ข. ในแต่ละขั้นตอน ส่วนที่ได้มาของรากที่สองจะถูกนำมาเป็น กและส่วนที่ยังต้องพิจารณาก็คือ ข.

รากลูกบาศก์

หากต้องการแยกรากที่สามของจำนวนจริงบวก มีอัลกอริทึมคล้ายกับวิธีแยกรากที่สอง เช่น การหารากที่สามของตัวเลข nขั้นแรกเราประมาณรากด้วยตัวเลขจำนวนหนึ่ง ร 1. จากนั้นเราจะสร้างการประมาณที่แม่นยำยิ่งขึ้น ร 2 = (1/3)(2ร 1 + n/ร 1 2) ซึ่งจะทำให้การประมาณค่ามีความแม่นยำมากยิ่งขึ้น ร 3 = (1/3)(2ร 2 + n/ร 2 2) ฯลฯ ขั้นตอนในการสร้างการประมาณค่ารากที่แม่นยำยิ่งขึ้นสามารถดำเนินต่อไปได้อย่างไม่มีกำหนด

ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณรากที่สามของตัวเลขระหว่าง 1 ถึง 1,000 เช่น 200 เนื่องจาก 5 3 = 125 และ 6 3 = 216 เราจึงสรุปได้ว่า 6 เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุดกับรากที่สามของ 200 ดังนั้นเราจึงเลือก ร 1 = 6 และคำนวณตามลำดับ ร 2 = 5,9, ร 3 = 5,85, ร 4 = 5.8480 ในการประมาณแต่ละครั้ง เริ่มต้นจากครั้งที่สาม อนุญาตให้รักษาจำนวนอักขระที่น้อยกว่าสองเท่าของจำนวนอักขระในการประมาณครั้งก่อน หากจำนวนที่คุณต้องการแยกรากที่สามไม่ได้อยู่ระหว่าง 1 ถึง 1,000 คุณต้องหาร (หรือคูณ) ด้วยจำนวนบางส่วนก่อน เช่น เคยกกำลังของเลข 1,000 แล้วจึงนำมาให้อยู่ในช่วงตัวเลขที่ต้องการ รากที่สามของตัวเลขที่ได้รับใหม่อยู่ในช่วงตั้งแต่ 1 ถึง 10 หลังจากคำนวณแล้วจะต้องคูณ (หรือหาร) ด้วย 10 เคเพื่อให้ได้รากที่สามของจำนวนเดิม

อัลกอริทึมที่สองที่ซับซ้อนกว่าสำหรับการค้นหารากที่สามของจำนวนจริงบวกนั้นขึ้นอยู่กับการใช้เอกลักษณ์พีชคณิต ( ก + ข) 3 = ก 3 + (3ก 2 + 3เกี่ยวกับ + ข 2)ข. ปัจจุบัน อัลกอริธึมสำหรับการแยกรากที่สามและรากที่มีกำลังสูงกว่ายังไม่ได้สอนในโรงเรียนมัธยม เนื่องจากหาได้ง่ายกว่าโดยใช้วิธีลอการิทึมหรือพีชคณิต

อัลกอริธึมของยุคลิด

อัลกอริทึมนี้ถูกนำเสนอใน จุดเริ่มต้นยุคลิด (ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล) ใช้ในการคำนวณตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองตัว สำหรับกรณีของจำนวนบวก จะกำหนดเป็นกฎขั้นตอน: “หารค่าที่มากกว่าของตัวเลขที่กำหนดทั้งสองด้วยค่าที่น้อยกว่า จากนั้นให้หารตัวหารด้วยเศษและทำต่อในลักษณะนี้จนกว่าตัวหารสุดท้ายจะหารด้วยเศษสุดท้ายเท่าๆ กัน ตัวหารตัวสุดท้ายจะเป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลขที่กำหนดทั้งสองตัว”

เป็นตัวอย่างเชิงตัวเลข พิจารณาจำนวนเต็มสองตัว 3132 และ 7200 อัลกอริทึมในกรณีนี้มีขั้นตอนต่อไปนี้:

ตัวหารร่วมมากจะเหมือนกับตัวหารตัวสุดท้าย นั่นคือ 36 อธิบายง่ายๆ ในตัวอย่างของเรา เราเห็นจากบรรทัดสุดท้ายว่าเลข 36 หาร 288 จากบรรทัดสุดท้ายตามมาด้วยหมายเลข 36 หาร 324 ดังนั้น เมื่อเลื่อนขึ้นจากบรรทัดหนึ่งไปอีกบรรทัดหนึ่ง เราจึงมั่นใจว่าเลข 36 หาร 936 , 3132 และ 7200 ตอนนี้เราอ้างว่าเลข 36 เป็นตัวหารร่วมของตัวเลข 3132 และ 7200 ให้ กเป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข 3132 และ 7200 เนื่องจาก กหาร 3132 และ 7200 จากบรรทัดแรกตามนั้น กหาร 936 จากบรรทัดที่สองเราสรุปได้ว่า กหาร 324. เมื่อไล่ลงมาจากบรรทัดหนึ่งไปอีกบรรทัดหนึ่ง เราก็มั่นใจอย่างนั้น กหาร 288 กับ 36 และเนื่องจาก 36 เป็นตัวหารร่วมของตัวเลข 3132 และ 7200 และหารด้วยตัวหารร่วมมาก เราจึงสรุปได้ว่า 36 เป็นตัวหารร่วมมากตัวนี้

การตรวจสอบ.

การคำนวณทางคณิตศาสตร์จำเป็นต้องได้รับการดูแลอย่างต่อเนื่อง ดังนั้นจึงมีแนวโน้มที่จะเกิดข้อผิดพลาดได้ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องสำคัญมากที่จะต้องตรวจสอบผลการคำนวณ

1. สามารถตรวจสอบการเพิ่มคอลัมน์ตัวเลขได้โดยการเพิ่มตัวเลขในคอลัมน์ก่อนจากบนลงล่าง จากนั้นจากล่างขึ้นบน เหตุผลสำหรับวิธีการตรวจสอบนี้คือกฎทั่วไปของการสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยงของการบวก

2. ตรวจสอบการลบโดยการบวกส่วนต่างกับส่วนย่อย - ควรได้ค่า minuend เหตุผลสำหรับวิธีการตรวจสอบนี้คือคำจำกัดความของการดำเนินการลบ

3. สามารถตรวจสอบการคูณได้โดยการจัดเรียงตัวคูณและตัวคูณใหม่ เหตุผลสำหรับวิธีการตรวจสอบนี้คือกฎของการคูณการสลับ คุณสามารถตรวจสอบการคูณได้โดยการแบ่งตัวประกอบ (หรือตัวคูณ) ออกเป็นสองเทอม โดยดำเนินการคูณแยกกันสองครั้ง และเพิ่มผลลัพธ์ที่ได้ - คุณควรจะได้ผลลัพธ์ดั้งเดิม

4. ในการตรวจสอบการหาร คุณต้องคูณผลหารด้วยตัวหารแล้วบวกเศษที่เหลือเข้ากับผลคูณ คุณควรได้รับเงินปันผล เหตุผลสำหรับวิธีการตรวจสอบนี้คือคำจำกัดความของการดำเนินการแผนก

5. การตรวจสอบความถูกต้องของการแยกรากสี่เหลี่ยม (หรือลูกบาศก์) ประกอบด้วยการเพิ่มจำนวนผลลัพธ์โดยการยกกำลังสอง (หรือลูกบาศก์) - ควรได้หมายเลขเดิม

วิธีที่ง่ายและน่าเชื่อถือเป็นพิเศษในการตรวจสอบการบวกหรือการคูณจำนวนเต็มคือเทคนิคที่แสดงถึงการเปลี่ยนแปลงไปสู่สิ่งที่เรียกว่า "เปรียบเทียบโมดูโล 9" ให้เราเรียกว่า “ส่วนเกิน” ส่วนที่เหลือของผลรวมของตัวเลขที่ใช้เขียนตัวเลขเมื่อหารด้วย 9 จากนั้น สำหรับ "ส่วนเกิน" สามารถกำหนดทฤษฎีบทได้สองทฤษฎี: "ส่วนที่เกินของผลรวมของจำนวนเต็มเท่ากับส่วนที่เกินของผลรวมของส่วนที่เกินของเทอม" และ "ส่วนที่เกินของผลิตภัณฑ์ของจำนวนเต็มทั้งสองเท่ากับ ส่วนเกินของผลิตภัณฑ์ส่วนเกินของพวกเขา” ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างของการตรวจสอบตามทฤษฎีบทนี้:

วิธีการย้ายไปยังการเปรียบเทียบแบบโมดูโล 9 ยังสามารถนำมาใช้เมื่อทดสอบอัลกอริธึมทางคณิตศาสตร์อื่นๆ แน่นอนว่าการตรวจสอบดังกล่าวไม่มีข้อผิดพลาดเนื่องจากการทำงานกับ "ส่วนเกิน" อาจมีข้อผิดพลาดเช่นกัน แต่สถานการณ์ดังกล่าวไม่น่าเป็นไปได้

ความสนใจ.

เปอร์เซ็นต์คือเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 100 เปอร์เซ็นต์สามารถเขียนได้สามวิธี: เป็นเศษส่วน เป็นทศนิยม หรือใช้สัญลักษณ์เปอร์เซ็นต์พิเศษ % ตัวอย่างเช่น 7 เปอร์เซ็นต์สามารถเขียนเป็น 7/100 เป็น 0.07 หรือเป็น 7%

ตัวอย่างของปัญหาเปอร์เซ็นต์ประเภทที่พบบ่อยที่สุดมีดังต่อไปนี้: “ค้นหา 17% ของ 82” เพื่อแก้ปัญหานี้ คุณต้องคำนวณผลคูณ 0.17ґ82 = 13.94 ในผลิตภัณฑ์ประเภทนี้ 0.17 เรียกว่าอัตรา 82 คือฐาน และ 13.94 คือส่วนแบ่ง แสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ ปริมาณทั้งสามที่กล่าวถึงมีความสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์

อัตรา ґ ฐาน = เปอร์เซ็นต์ส่วนแบ่ง

หากทราบปริมาณสองปริมาณใดๆ ก็สามารถกำหนดปริมาณที่สามได้จากความสัมพันธ์นี้ ดังนั้นเราจึงพบปัญหาสามประเภท "การใช้เปอร์เซ็นต์"

ตัวอย่างที่ 1. จำนวนนักเรียนที่ลงทะเบียนเรียนในโรงเรียนนี้เพิ่มขึ้นจาก 351 เป็น 396 ตัวเลขนี้เพิ่มขึ้นกี่เปอร์เซ็นต์?

เพิ่มขึ้นเป็น 396 – 351 = 45 คน เขียนเศษส่วน 45/351 เป็นเปอร์เซ็นต์ เราจะได้ 45/351 = 0.128 = 12.8%

ตัวอย่างที่ 2. โฆษณาในร้านค้าระหว่างลดราคาระบุว่า “ลด 25% ทุกรายการ” ราคาขายสำหรับสินค้าที่ปกติขายในราคา $3.60 คือเท่าไร?

ราคาที่ลดลง 25% ที่ $3.60 หมายถึงการลดลง 0.25-3.60 = $0.90 ดังนั้น ราคาของสินค้าระหว่างการขายจะอยู่ที่ $3.60 – $0.90 = $2.70

ตัวอย่างที่ 3. เงินที่ฝากในธนาคาร 5% ต่อปีทำให้มีกำไร 40 ดอลลาร์ต่อปี จำนวนเงินที่ฝากเข้าธนาคารคืออะไร?

เนื่องจาก 5% ของจำนวนเงินคือ $40 เช่น จำนวนเงิน 5/100 ґ = $40 หรือ 1/100 ґ จำนวนเงิน = 8 ดอลลาร์ ยอดรวมคือ 800 ดอลลาร์

เลขคณิตของตัวเลขโดยประมาณ

ตัวเลขจำนวนมากที่ใช้ในการคำนวณเกิดขึ้นจากการวัดหรือการประมาณค่า ดังนั้นจึงถือเป็นเพียงการประมาณเท่านั้น เห็นได้ชัดว่าผลลัพธ์ของการคำนวณที่ดำเนินการด้วยตัวเลขโดยประมาณสามารถเป็นตัวเลขโดยประมาณได้เท่านั้น ตัวอย่างเช่น สมมติว่าการวัดพื้นผิวเคาน์เตอร์ให้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้ (ปัดเศษเป็นสิบที่ใกล้ที่สุดของเมตร): กว้าง 1.2 ม. ยาว 3.1 ม. อาจกล่าวได้ว่าพื้นที่เคาน์เตอร์คือ 1.2ґ3.1 = 3.72 ตร.ม. อย่างไรก็ตาม ในความเป็นจริงข้อมูลยังห่างไกลจากความแน่นอนมากนัก เนื่องจากค่า 1.2 ม. บ่งชี้เพียงว่าการวัดความกว้างอยู่ระหว่าง 1.15 ถึง 1.25 ม. และ 3.1 บ่งชี้ว่าการวัดความยาวอยู่ระหว่าง 3.05 ถึง 3.15 ม. เกี่ยวกับพื้นที่เคาน์เตอร์เราบอกได้แค่ว่าควรมากกว่า1.15ґ3.05 = 3.5075 แต่น้อยกว่า 1.25ґ3.15 = 3.9375 ดังนั้นคำตอบเดียวที่สมเหตุสมผลสำหรับคำถามเกี่ยวกับพื้นที่เคาน์เตอร์คือประมาณ 3.7 ม. 2 .

ต่อไปให้เราพิจารณาปัญหาในการบวกผลลัพธ์ของการวัดโดยประมาณ 3.73 ม. 52.1 ม. และ 0.282 ม. ผลบวกอย่างง่ายคือ 56.112 ม. แต่เช่นเดียวกับปัญหาที่แล้ว สิ่งที่บอกได้อย่างแน่ชัดก็คือผลรวมที่แท้จริง ต้องมากกว่า 3.725 + 52.05 + 0.2815 = 56.0565 ม. และน้อยกว่า 3.735 + 52.15 + 0.2825 = 56.1765 ม. ดังนั้น คำตอบเดียวที่สมเหตุสมผลสำหรับคำถามคือบอกว่าผลรวมมีค่าประมาณเท่ากับ 56.1 ม.

สองตัวอย่างข้างต้นแสดงกฎบางอย่างที่เป็นประโยชน์เมื่อทำงานกับตัวเลขโดยประมาณ การปัดเศษตัวเลขมีหลายวิธี หนึ่งในนั้นคือการทิ้งเลขตัวล่างของตัวเลข ยิ่งกว่านั้นถ้าทิ้งหลักแรกเกินห้าก็ต้องเพิ่มหลักสุดท้ายที่เหลืออีกหนึ่งถ้าน้อยกว่าก็ให้หลักสุดท้ายของส่วนที่เหลือยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

หากหลักแรกที่จะทิ้งคือห้าพอดี ดังนั้นหลักสุดท้ายที่จะคงไว้จะเพิ่มขึ้นหนึ่งหลักหากเป็นเลขคี่และยังคงไม่เปลี่ยนแปลงหากเป็นเลขคู่ เช่น เมื่อปัดเศษให้เป็นทศนิยมที่ใกล้ที่สุดจะเป็นตัวเลข 3.14159;17.7682; 28,999; 0.00234; 7.235 และ 7.325 กลายเป็น 3.14; 17.77; 29.00 น. 0.00; 7.24 และ 7.32

การปัดเศษอีกวิธีหนึ่งเกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องตัวเลขที่มีนัยสำคัญ และใช้เมื่อเขียนตัวเลขด้วยเครื่องจักร เลขนัยสำคัญของตัวเลขโดยประมาณคือตัวเลขในเครื่องหมายทศนิยมเรียงจากซ้ายไปขวา โดยเริ่มจากหลักที่ไม่ใช่ศูนย์ตัวแรกและลงท้ายด้วยหลักที่อยู่แทนที่ตำแหน่งทศนิยมที่สัมพันธ์กับข้อผิดพลาด เช่น เลขนัยสำคัญของตัวเลขประมาณ 12.1 คือ ตัวเลข 1, 2, 1; หมายเลขประมาณ 0.072 – หมายเลข 7, 2; จำนวนประมาณ 82000 เขียนเป็นร้อยที่ใกล้ที่สุดคือ 8, 2, 0

ตอนนี้เราจะกำหนดกฎสองข้อสำหรับการใช้งานด้วยตัวเลขโดยประมาณที่กล่าวข้างต้น

ในการบวกและลบตัวเลขโดยประมาณ ควรปัดเศษแต่ละตัวเลขให้เป็นตัวเลขตามหลักสุดท้ายของตัวเลขที่แม่นยำน้อยที่สุด และผลรวมและผลต่างควรปัดเศษให้เป็นจำนวนหลักเดียวกันกับตัวเลขที่แม่นยำน้อยที่สุด เมื่อทำการคูณและหารตัวเลขโดยประมาณ ควรปัดเศษแต่ละตัวเลขลงเครื่องหมายตามหลักนัยสำคัญสุดท้ายของจำนวนที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด และผลิตภัณฑ์และผลหารควรปัดเศษด้วยความแม่นยำเดียวกันกับที่ทราบจำนวนที่แม่นยำน้อยที่สุด

เมื่อกลับไปสู่ปัญหาที่พิจารณาก่อนหน้านี้ เราได้รับ:

1.2ґ3.1 = 3.72 ม. 2 » 3.7 ม. 2

3.73 + 52.1 + 0.28 = 56.11 ม. 2 "56.1 ม.

โดยที่เครื่องหมาย " หมายถึง "ประมาณเท่ากัน"

หนังสือเรียนเลขคณิตบางเล่มมีอัลกอริธึมสำหรับการทำงานกับตัวเลขโดยประมาณ ช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงสัญญาณที่ไม่จำเป็นเมื่อคำนวณ นอกจากนี้พวกเขายังใช้สิ่งที่เรียกว่า บันทึกตัวเลขโดยประมาณ เช่น หมายเลขใด ๆ จะแสดงในรูปแบบ (ตัวเลขในช่วงตั้งแต่ 1 ถึง 10) ґ (ยกกำลัง 10) โดยที่ตัวประกอบแรกมีเพียงเลขนัยสำคัญของตัวเลขเท่านั้น ตัวอย่างเช่น 82000 กม. ซึ่งปัดเศษเป็นร้อยกิโลเมตรที่ใกล้ที่สุด จะเขียนเป็น 8.20ґ10 4 กม. และ 0.00702 ซม. จะเขียนเป็น 7.02ґ10 –3 ซม.

ตัวเลขในตารางทางคณิตศาสตร์ ตารางตรีโกณมิติหรือลอการิทึมเป็นตัวเลขโดยประมาณ โดยเขียนด้วยเครื่องหมายจำนวนหนึ่ง เมื่อทำงานกับตารางดังกล่าวคุณควรปฏิบัติตามกฎสำหรับการคำนวณด้วยตัวเลขโดยประมาณ

ลอการิทึม

เมื่อต้นศตวรรษที่ 17 ความซับซ้อนของปัญหาการประมวลผลแบบประยุกต์เพิ่มขึ้นมากจนไม่สามารถจัดการได้แบบ "ด้วยตนเอง" เนื่องจากต้องใช้แรงงานและเวลามากเกินไป โชคดีที่ประดิษฐ์ขึ้นทันเวลาโดย J. Napier เมื่อต้นศตวรรษที่ 17 ลอการิทึมทำให้สามารถรับมือกับปัญหาที่เกิดขึ้นได้ เนื่องจากทฤษฎีและการประยุกต์ลอการิทึมได้อธิบายไว้อย่างละเอียดในบทความพิเศษ LOGARITHM เราจะจำกัดตัวเองไว้เฉพาะข้อมูลที่จำเป็นที่สุดเท่านั้น

ก็แสดงได้ว่าถ้า nเป็นจำนวนจริงบวก แล้วก็มีจำนวนจริงบวกเฉพาะตัว xเช่นนั้น 10 x = n. ตัวเลข xเรียกว่า (ปกติหรือทศนิยม) ลอการิทึมตัวเลข n; ตามอัตภาพจะเขียนดังนี้: x=บันทึก n. ดังนั้นลอการิทึมจึงเป็นเลขชี้กำลัง และจากกฎการดำเนินการที่มีเลขชี้กำลังเป็นไปตามนั้น

คุณสมบัติเหล่านี้ของลอการิทึมที่อธิบายการใช้อย่างแพร่หลายในเลขคณิต คุณสมบัติที่หนึ่งและที่สองช่วยให้เราลดปัญหาการคูณและการหารให้เหลือปัญหาการบวกและการลบที่ง่ายขึ้น คุณสมบัติที่สามและสี่ทำให้สามารถลดการยกกำลังและการแยกรากไปสู่การดำเนินการที่ง่ายกว่ามาก: การคูณและการหาร

เพื่อความสะดวกในการใช้ลอการิทึม เราได้รวบรวมตารางไว้แล้ว ในการรวบรวมตารางลอการิทึมฐานสิบ ก็เพียงพอที่จะรวมเฉพาะลอการิทึมของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 10 เท่านั้น ตัวอย่างเช่น เนื่องจาก 247.6 = 10 2 ґ2.476 เรามี: log247.6 = log10 2 + log2.476 = 2 + log2.476 และตั้งแต่ 0.02476 = 10 –2 ґ2.476 จากนั้น log0.02476 = log10 –2 + log2.476 = –2 + log2.476 โปรดทราบว่าลอการิทึมฐานสิบของตัวเลขระหว่าง 1 ถึง 10 อยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และสามารถเขียนเป็นทศนิยมได้ ตามมาว่าลอการิทึมทศนิยมของจำนวนใดๆ คือผลรวมของจำนวนเต็มที่เรียกว่าคุณลักษณะของลอการิทึม และเศษส่วนทศนิยมเรียกว่าแมนทิสซาของลอการิทึม ลักษณะของลอการิทึมของจำนวนใด ๆ สามารถพบได้ "ในใจ"; ควรค้นหาแมนทิสซาโดยใช้ตารางลอการิทึม ตัวอย่างเช่น จากตาราง เราพบว่า log2.476 = 0.39375 ดังนั้น log247.63 = 2.39375 ถ้าคุณลักษณะของลอการิทึมเป็นลบ (เมื่อตัวเลขน้อยกว่าหนึ่ง) ก็สะดวกที่จะแทนมันเป็นผลต่างของจำนวนเต็มบวกสองตัว เช่น log0.02476 = –2 + 0.39375 = 8.39375 – 10 ตัวอย่างต่อไปนี้จะอธิบายเทคนิคนี้

วรรณกรรม:

ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ตั้งแต่สมัยโบราณจนถึงต้นศตวรรษที่ 19., ฉบับ. 1–3. ม., 1970–1972.
เซอร์ เจ-พี. หลักสูตรเลขคณิต. ม., 1972
เนเชฟ V.I. ระบบตัวเลข. ม., 1975
ดาน-ดาลเมดิโก เอ., ไพเฟอร์ เจ . เส้นทางและเขาวงกต บทความเกี่ยวกับประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์. ม., 1986
เอนเกลอร์ อี. คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา. ม., 1987



เลขคณิตเป็นส่วนพื้นฐานและเป็นพื้นฐานที่สุดของคณิตศาสตร์ มันมาจากความต้องการของผู้คนในการนับ

คิดเลขในใจ

อะไรที่เรียกว่าการคำนวณทางจิต? การคิดเลขในใจเป็นวิธีการสอนการนับเลขเร็วที่มีมาแต่โบราณ

ปัจจุบันแตกต่างจากครั้งก่อน ครูไม่เพียงแต่พยายามสอนให้เด็ก ๆ รู้จักการนับเท่านั้น แต่ยังพยายามพัฒนาความคิดของพวกเขาด้วย

กระบวนการเรียนรู้นั้นขึ้นอยู่กับการใช้งานและการพัฒนาของสมองทั้งสองซีก สิ่งสำคัญคือสามารถใช้ร่วมกันได้เพราะมันเสริมซึ่งกันและกัน

แท้จริงแล้ว ซีกซ้ายมีหน้าที่รับผิดชอบในเรื่องตรรกะ คำพูด และเหตุผล และซีกขวามีหน้าที่ในเรื่องจินตนาการ

โปรแกรมการฝึกอบรมประกอบด้วยการฝึกอบรมการปฏิบัติงานและการใช้เครื่องมือต่างๆ เช่น ลูกคิด.

ลูกคิดเป็นเครื่องมือหลักในการเรียนรู้เลขในใจ เนื่องจากนักเรียนเรียนรู้ที่จะทำงานกับลูกคิด เคลื่อนย้ายโดมิโน และเข้าใจสาระสำคัญของการคำนวณ เมื่อเวลาผ่านไป ลูกคิดจะกลายเป็นจินตนาการของคุณ และนักเรียนก็จินตนาการ ต่อยอดความรู้นี้และแก้ตัวอย่าง

ความคิดเห็นเกี่ยวกับวิธีการสอนเหล่านี้เป็นบวกมาก มีข้อเสียเปรียบประการหนึ่งคือ - การฝึกอบรมได้รับค่าตอบแทนและไม่ใช่ทุกคนที่สามารถจ่ายได้ ดังนั้นเส้นทางของอัจฉริยะจึงขึ้นอยู่กับสถานะทางการเงินของแต่ละบุคคล

คณิตศาสตร์และเลขคณิต

คณิตศาสตร์และเลขคณิตเป็นแนวคิดที่เกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิด หรือค่อนข้างคณิตศาสตร์เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ทำงานเกี่ยวกับตัวเลขและการคำนวณ (การดำเนินการกับตัวเลข)

เลขคณิตเป็นส่วนหลักและเป็นพื้นฐานของคณิตศาสตร์ พื้นฐานของคณิตศาสตร์คือแนวคิดและการดำเนินการที่สำคัญที่สุดซึ่งเป็นพื้นฐานในการสร้างความรู้ที่ตามมาทั้งหมด การดำเนินการหลัก ได้แก่ การบวก การลบ การคูณ การหาร

เลขคณิตมักจะเรียนที่โรงเรียนตั้งแต่เริ่มต้นการศึกษานั่นคือ ตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 เด็กจะเชี่ยวชาญคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐาน

ส่วนที่เพิ่มเข้าไปคือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ซึ่งมีการบวกตัวเลขสองตัวเข้าด้วยกันและผลลัพธ์ของมันคือตัวเลขใหม่ - ตัวที่สาม

ก+ข=ค.

การลบคือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์โดยนำเลขตัวที่สองมาลบออกจากเลขตัวแรกแล้วผลลัพธ์ที่ได้คือตัวที่สาม

สูตรการบวกแสดงดังนี้: ก - ข = ค.

การคูณคือการกระทำที่เป็นผลรวมของพจน์ที่เหมือนกัน

สูตรสำหรับการกระทำนี้คือ: a1+a2+…+อัน=n*ก.

แผนก- เป็นการหารตัวเลขหรือตัวแปรออกเป็นส่วนๆ เท่าๆ กัน

ลงทะเบียนสำหรับหลักสูตร "เร่งความเร็วเลขในใจ ไม่ใช่เลขในใจ" เพื่อเรียนรู้วิธีบวก ลบ คูณ หาร เลขยกกำลังสอง และแม้แต่แยกรากอย่างรวดเร็วและถูกต้อง ใน 30 วัน คุณจะได้เรียนรู้วิธีใช้เคล็ดลับง่ายๆ เพื่อทำให้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ง่ายขึ้น แต่ละบทเรียนประกอบด้วยเทคนิคใหม่ๆ ตัวอย่างที่ชัดเจน และงานที่เป็นประโยชน์

การสอนเลขคณิต

มีการสอนเลขคณิตภายในกำแพงโรงเรียน ตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 เด็ก ๆ จะเริ่มเรียนวิชาคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานและหลัก - เลขคณิต

การบวกเลข

กฎของเลขคณิต

ลำดับการดำเนินการในนิพจน์มีความสำคัญมาก!

หากตัวอย่างดูเหมือน 2+3-4 ลำดับในตัวอย่างอาจเป็นอะไรก็ได้ที่คุณต้องการ เพราะการดำเนินการบวกและการลบมีลำดับความสำคัญเท่ากัน หากเราบวกก่อน เราจะได้: 5-4=1 และถ้าเราลบก่อนจะได้: 2-1=1 อย่างที่คุณเห็นผลลัพธ์ก็เหมือนกัน

เช่นเดียวกับนิพจน์การคูณและการหาร การดำเนินการคูณและการหารมีลำดับความสำคัญเท่ากัน ตัวอย่างเช่น 2 8:4. มาคูณกันก่อน: 16:4=4 และถ้าหาร: 2 2=4.

ลำดับเหมาะสมเมื่อนิพจน์ผสมการดำเนินการบวกหรือการลบเข้ากับการดำเนินการคูณหรือหาร ตัวอย่างเช่น:

2+22. การกระทำแรกคือการดำเนินการ ทั้งหมดการดำเนินการของการคูณและการหาร แล้วจึงบวกและลบเท่านั้น นั่นคือนิพจน์ 2+2 2 = 2+4=6.

แต่มีวงเล็บในสำนวน วงเล็บมีแนวโน้มที่จะเปลี่ยนลำดับการดำเนินการ ลองพิจารณาตัวอย่างก่อนหน้านี้ เฉพาะวงเล็บเท่านั้น: (2+2)*2 ในกรณีนี้ การดำเนินการภายในวงเล็บจะดำเนินการก่อน จากนั้นจึงดำเนินการนอกวงเล็บตามลำดับ: 1. การคูณและการหาร 2. การบวกและการลบ

ดังนั้น (2+2) 2=4 2=8.

ดังที่คุณเห็นจากตัวอย่าง วงเล็บมีบทบาท และลำดับการดำเนินการก็เหมือนกัน

บทเรียนคณิตศาสตร์

บทเรียนเลขคณิต - บทเรียนในโรงเรียนจนถึงชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 จากนั้นคณิตศาสตร์จะเปิดส่วนต่างๆ ขึ้นมา ได้แก่ เรขาคณิตและพีชคณิต และตรีโกณมิติในเวลาต่อมา

เลขคณิตเกรด 5

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 นักเรียนเริ่มเรียนหัวข้อต่างๆ เช่น เศษส่วนและจำนวนคละ คุณสามารถค้นหาข้อมูลเกี่ยวกับการดำเนินงานด้วยตัวเลขเหล่านี้ได้ในบทความของเราเกี่ยวกับการดำเนินงานที่เกี่ยวข้อง

จำนวนเศษส่วนคืออัตราส่วนของตัวเลขสองตัวต่อกันหรือตัวเศษต่อตัวส่วน จำนวนเศษส่วนสามารถแทนที่ได้ด้วยการหาร เช่น ¼ = 1:4

หมายเลขผสม– นี่เป็นจำนวนเศษส่วน โดยเน้นเฉพาะส่วนจำนวนเต็มเท่านั้น ส่วนจำนวนเต็มจะถูกจัดสรรโดยมีเงื่อนไขว่าตัวเศษมากกว่าตัวส่วน ตัวอย่างเช่น มีเศษส่วน: 5/4 สามารถแปลงได้โดยการเน้นส่วนทั้งหมด: 1 ทั้งหมดและ ¼

ตัวอย่างการฝึกอบรม:

ภารกิจที่ 1:

ภารกิจที่ 2:

เลขคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 6

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 หัวข้อการแปลงเศษส่วนเป็นสัญลักษณ์ตัวพิมพ์เล็กจะปรากฏขึ้น มันหมายความว่าอะไร? ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดเศษส่วน ½ ก็จะเท่ากับ 0.5 ¼ = 0.25

ตัวอย่างสามารถรวบรวมได้ในรูปแบบต่อไปนี้: 0.25+0.73+12/31

ตัวอย่างการฝึกอบรม:

ภารกิจที่ 1:

ภารกิจที่ 2:

เกมพัฒนาเลขในใจและความเร็วในการนับ

มีเกมดีๆ ที่ส่งเสริมการคิดเลข ช่วยพัฒนาทักษะทางคณิตศาสตร์และการคิดทางคณิตศาสตร์ การนับเลขในใจ และความเร็วในการนับ! คุณสามารถเล่นและพัฒนาได้! คุณน่าสนใจ? อ่านบทความสั้น ๆ เกี่ยวกับเกมและอย่าลืมลองด้วยตัวเอง

เกม "นับด่วน"

เกม "นับเร็ว" จะช่วยให้คุณเร่งการนับในใจของคุณ สาระสำคัญของเกมคือในภาพที่นำเสนอให้คุณ คุณจะต้องเลือกคำตอบใช่หรือไม่ใช่สำหรับคำถามที่ว่า “มีผลไม้ที่เหมือนกัน 5 ชิ้นหรือไม่” ทำตามเป้าหมายของคุณและเกมนี้จะช่วยคุณในเรื่องนี้

เกม "การเปรียบเทียบทางคณิตศาสตร์"

เกมเปรียบเทียบทางคณิตศาสตร์จะทำให้คุณต้องเปรียบเทียบตัวเลขสองตัวกับเวลา นั่นคือคุณต้องเลือกหนึ่งในสองตัวเลขโดยเร็วที่สุด โปรดจำไว้ว่าเวลามีจำกัด และยิ่งคุณตอบถูกมากเท่าไร ทักษะทางคณิตศาสตร์ของคุณก็จะพัฒนาดีขึ้นเท่านั้น! เราจะลองไหม?

เกม "การบวกด่วน"

เกม “Quick Addition” เป็นเกมจำลองการนับที่รวดเร็วที่ยอดเยี่ยม สาระสำคัญของเกม: ให้สนาม 4x4 นั่นคือ มีตัวเลข 16 ตัว และเหนือช่องคือตัวเลขที่สิบเจ็ด เป้าหมายของคุณ: ใช้ตัวเลขสิบหก สร้างได้ 17 โดยใช้การดำเนินการบวก ตัวอย่างเช่นเหนือช่องคุณมีเลข 28 เขียนไว้จากนั้นในฟิลด์คุณต้องค้นหาตัวเลข 2 ตัวซึ่งโดยรวมแล้วจะให้เลข 28 คุณพร้อมที่จะลองใช้มือแล้วหรือยัง? ถ้าอย่างนั้นก็ฝึกฝนต่อไป!

การพัฒนาเลขคณิตทางจิตมหัศจรรย์

เราได้ดูเพียงส่วนปลายของภูเขาน้ำแข็งเพื่อทำความเข้าใจคณิตศาสตร์ได้ดีขึ้น - ลงทะเบียนเรียนหลักสูตรของเรา: การเร่งความเร็วของการคำนวณทางจิต - ไม่ใช่การคำนวณทางจิต

จากหลักสูตรนี้ คุณจะไม่เพียงแต่ได้เรียนรู้เทคนิคมากมายสำหรับการคูณ การบวก การคูณ การหาร และการคำนวณเปอร์เซ็นต์แบบง่ายและรวดเร็ว แต่คุณยังจะได้ฝึกฝนในงานพิเศษและเกมการศึกษาอีกด้วย! การคำนวณทางจิตยังต้องอาศัยความสนใจและสมาธิอย่างมากซึ่งได้รับการฝึกฝนอย่างแข็งขันเมื่อแก้ไขปัญหาที่น่าสนใจ

อ่านเร็วใน 30 วัน

เพิ่มความเร็วในการอ่านของคุณ 2-3 เท่าใน 30 วัน ตั้งแต่ 150-200 ถึง 300-600 คำต่อนาที หรือจาก 400 ถึง 800-1200 คำต่อนาที หลักสูตรนี้ใช้แบบฝึกหัดแบบดั้งเดิมในการพัฒนาความเร็วในการอ่าน เทคนิคที่เร่งการทำงานของสมอง วิธีการเพิ่มความเร็วในการอ่านอย่างต่อเนื่อง จิตวิทยาในการอ่านเร็ว และคำถามจากผู้เข้าร่วมหลักสูตร เหมาะสำหรับเด็กและผู้ใหญ่ที่อ่านได้ถึง 5,000 คำต่อนาที

พัฒนาการด้านความจำและความสนใจในเด็กอายุ 5-10 ปี

วัตถุประสงค์ของหลักสูตร: เพื่อพัฒนาความจำและความสนใจของเด็กเพื่อให้เขาเรียนที่โรงเรียนได้ง่ายขึ้นเพื่อให้เขาจดจำได้ดีขึ้น

หลังจากจบหลักสูตรแล้ว เด็กจะสามารถ:

1. จำข้อความ ใบหน้า ตัวเลข คำศัพท์ได้ดีขึ้น 2-5 เท่า
2. เรียนรู้ที่จะจดจำเป็นระยะเวลานานขึ้น
3. ความเร็วในการเรียกคืนข้อมูลที่จำเป็นจะเพิ่มขึ้น

ความคุ้นเคยของเรากับคณิตศาสตร์เริ่มต้นด้วยเลขคณิตซึ่งเป็นศาสตร์แห่งจำนวน หนังสือเรียนเลขคณิตรัสเซียเล่มแรกๆ ที่เขียนโดย L. F. Magnitsky ในปี 1703 เริ่มต้นด้วยคำว่า: “เลขคณิตหรือตัวเศษเป็นศิลปะที่ซื่อสัตย์และไม่มีใครอยากได้ และเข้าใจได้ง่ายสำหรับทุกคน มีประโยชน์มากที่สุดและได้รับการยกย่องอย่างมากจากคนโบราณที่สุด และคนใหม่ล่าสุดซึ่งอาศัยอยู่ในช่วงเวลาที่แตกต่างกันของนักคณิตศาสตร์ที่เก่งที่สุดได้คิดค้นและอธิบาย” ด้วยเลขคณิต เราเข้าสู่ "ประตูแห่งการเรียนรู้" ดังที่ M.V. Lomonosov กล่าว และเริ่มต้นเส้นทางอันยาวนานและยากลำบากแต่น่าหลงใหลในการทำความเข้าใจโลก

คำว่า "เลขคณิต" มาจากเลขคณิตภาษากรีก ซึ่งแปลว่า "ตัวเลข" วิทยาศาสตร์นี้ศึกษาการดำเนินการเกี่ยวกับตัวเลข กฎเกณฑ์ต่างๆ ในการจัดการกับตัวเลข และสอนวิธีแก้ปัญหาที่เกี่ยวกับการบวก ลบ คูณ หารตัวเลข เลขคณิตมักถูกจินตนาการว่าเป็นคณิตศาสตร์ขั้นแรก โดยสามารถศึกษาส่วนที่ซับซ้อนกว่าได้ เช่น พีชคณิต การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ฯลฯ แม้แต่จำนวนเต็มซึ่งเป็นวัตถุหลักของเลขคณิตก็ถูกอ้างอิงถึงเลขคณิตขั้นสูงหรือทฤษฎีจำนวนเมื่อพิจารณาคุณสมบัติและรูปแบบทั่วไปของเลขคณิต แน่นอนว่ามุมมองทางคณิตศาสตร์นี้มีเหตุผล - มันยังคงเป็น "ตัวอักษรของการนับ" จริงๆ แต่ตัวอักษรนั้น "มีประโยชน์ที่สุด" และ "เข้าใจง่าย"

เลขคณิตและเรขาคณิตเป็นเพื่อนของมนุษย์มายาวนาน วิทยาศาสตร์เหล่านี้เกิดขึ้นเมื่อมีความจำเป็นต้องนับสิ่งของ วัดที่ดิน แบ่งทรัพย์สินที่ริบได้ และติดตามเวลา

เลขคณิตมีต้นกำเนิดในประเทศตะวันออกโบราณ: บาบิโลน, จีน, อินเดีย, อียิปต์ ตัวอย่างเช่น กระดาษปาปิรัส Egyptian Rind (ตั้งชื่อตามเจ้าของ G. Rind) มีอายุย้อนไปถึงศตวรรษที่ 20 พ.ศ. ในบรรดาข้อมูลอื่นๆ ประกอบด้วยการสลายตัวของเศษส่วนให้เป็นผลรวมของเศษส่วนโดยมีตัวเศษเท่ากับ 1 ตัวอย่างเช่น

สมบัติของความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่สะสมในประเทศตะวันออกโบราณได้รับการพัฒนาและดำเนินการต่อโดยนักวิทยาศาสตร์ของกรีกโบราณ ประวัติศาสตร์ได้รักษาชื่อนักวิทยาศาสตร์หลายคนที่เกี่ยวข้องกับเลขคณิตในโลกยุคโบราณ ได้แก่ Anaxagoras และ Zeno, Euclid (ดู Euclid และองค์ประกอบของเขา), Archimedes, Eratosthenes และ Diophantus ชื่อของพีธากอรัส (ศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสต์ศักราช) เปล่งประกายราวกับดวงดาวที่สว่างไสวที่นี่ ชาวพีทาโกรัส (นักเรียนและสาวกของพีทาโกรัส) บูชาตัวเลข โดยเชื่อว่าตัวเลขเหล่านี้มีความกลมกลืนของโลก ตัวเลขและคู่ของตัวเลขแต่ละตัวได้รับมอบหมายให้มีคุณสมบัติพิเศษ หมายเลข 7 และ 36 ได้รับการยกย่องอย่างสูง และในขณะเดียวกันก็ให้ความสนใจกับสิ่งที่เรียกว่าหมายเลขสมบูรณ์ หมายเลขที่เป็นมิตร ฯลฯ

ในยุคกลาง การพัฒนาเลขคณิตยังเกี่ยวข้องกับตะวันออก: อินเดีย ประเทศต่างๆ ในโลกอาหรับ และเอเชียกลาง จากชาวอินเดียนแดงมาหาเราถึงตัวเลขที่เราใช้ ศูนย์ และระบบตัวเลขตำแหน่ง จาก al-Kashi (ศตวรรษที่ 15) ซึ่งทำงานที่หอดูดาว Samarkand แห่ง Ulugbek - เศษส่วนทศนิยม

ต้องขอบคุณการพัฒนาการค้าและอิทธิพลของวัฒนธรรมตะวันออกตั้งแต่ศตวรรษที่ 13 ความสนใจในวิชาเลขคณิตก็เพิ่มขึ้นในยุโรปเช่นกัน เป็นสิ่งที่ควรค่าแก่การจดจำชื่อของนักวิทยาศาสตร์ชาวอิตาลี Leonardo of Pisa (Fibonacci) ซึ่งผลงาน "The Book of Abacus" ได้แนะนำให้ชาวยุโรปรู้จักกับความสำเร็จหลักของคณิตศาสตร์ตะวันออกและเป็นจุดเริ่มต้นของการศึกษาทางคณิตศาสตร์และพีชคณิตมากมาย

นอกเหนือจากการประดิษฐ์การพิมพ์ (กลางศตวรรษที่ 15) หนังสือคณิตศาสตร์ฉบับพิมพ์เล่มแรกก็ปรากฏขึ้น หนังสือคณิตศาสตร์เล่มแรกที่ตีพิมพ์ตีพิมพ์ในอิตาลีในปี 1478 ใน "เลขคณิตสมบูรณ์" ของนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน M. Stiefel (ต้นศตวรรษที่ 16) มีตัวเลขติดลบอยู่แล้วและแม้แต่แนวคิดเรื่องลอการิทึม

ตั้งแต่ประมาณศตวรรษที่ 16 การพัฒนาคำถามทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ไหลเข้าสู่กระแสหลักของพีชคณิต - ในฐานะเหตุการณ์สำคัญเราสามารถสังเกตลักษณะที่ปรากฏของผลงานของนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส F. Vieta ซึ่งตัวเลขจะถูกระบุด้วยตัวอักษร นับจากนี้เป็นต้นไป กฎทางคณิตศาสตร์พื้นฐานก็จะเข้าใจได้จากมุมมองของพีชคณิตในที่สุด

วัตถุหลักของเลขคณิตคือตัวเลข จำนวนธรรมชาติ เช่น ตัวเลข 1, 2, 3, 4, ... ฯลฯ เกิดจากการนับวัตถุเฉพาะ หลายพันปีผ่านไปก่อนที่มนุษย์จะรู้ว่าไก่ฟ้าสองตัว สองมือ สองคน ฯลฯ สามารถเรียกด้วยคำเดียวกันว่า "สอง" งานที่สำคัญของเลขคณิตคือการเรียนรู้ที่จะเอาชนะความหมายเฉพาะของชื่อของวัตถุที่กำลังนับ เพื่อเบี่ยงเบนความสนใจจากรูปร่าง ขนาด สี ฯลฯ ฟีโบนัชชีมีหน้าที่อยู่แล้ว: “หญิงชราเจ็ดคนไปโรม แต่ละอันมีล่อ 7 อัน ล่อแต่ละตัวถือ 7 ถุง แต่ละถุงมีขนมปัง 7 ก้อน แต่ละก้อนมีมีด ​​7 เล่ม มีดแต่ละอันมีฝัก 7 เล่ม มีกี่คน?” เพื่อแก้ปัญหานี้ คุณจะต้องรวบรวมหญิงชรา ล่อ กระเป๋า และขนมปังเข้าด้วยกัน

การพัฒนาแนวคิดเรื่องตัวเลข - การปรากฏตัวของจำนวนศูนย์และลบ, เศษส่วนธรรมดาและทศนิยม, วิธีการเขียนตัวเลข (ตัวเลข, สัญลักษณ์, ระบบตัวเลข) - ทั้งหมดนี้มีประวัติอันยาวนานและน่าสนใจ

“ศาสตร์แห่งตัวเลขหมายถึงสองวิทยาศาสตร์: เชิงปฏิบัติและเชิงทฤษฎี ศึกษาตัวเลขเชิงปฏิบัติตราบเท่าที่เรากำลังพูดถึงตัวเลขที่นับได้ วิทยาศาสตร์นี้ใช้ในตลาดและกิจการพลเรือน ศาสตร์ทางทฤษฎีของตัวเลขศึกษาตัวเลขในความหมายสัมบูรณ์ ซึ่งถูกนามธรรมโดยจิตใจจากร่างกายและทุกสิ่งที่สามารถนับได้ในนั้น” อัล-ฟาราบี

ในทางคณิตศาสตร์ ตัวเลขจะถูกบวก ลบ คูณ และหาร ศิลปะของการดำเนินการกับตัวเลขใดๆ อย่างรวดเร็วและแม่นยำถือเป็นงานที่สำคัญที่สุดของเลขคณิตมานานแล้ว ทุกวันนี้ ในหัวของเราหรือบนกระดาษ เราทำเฉพาะการคำนวณที่ง่ายที่สุด โดยมอบหมายงานคำนวณที่ซับซ้อนมากขึ้นให้กับไมโครแคลคูเลเตอร์ ซึ่งค่อยๆ เข้ามาแทนที่อุปกรณ์ต่างๆ เช่น ลูกคิด เครื่องบวก (ดูเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์) และสไลด์ กฎ. อย่างไรก็ตาม การทำงานของคอมพิวเตอร์ทุกเครื่องทั้งแบบเรียบง่ายและซับซ้อนนั้นขึ้นอยู่กับการดำเนินการที่ง่ายที่สุด นั่นคือการบวกจำนวนธรรมชาติ ปรากฎว่าการคำนวณที่ซับซ้อนที่สุดสามารถลดลงเป็นการบวกได้ แต่การดำเนินการนี้ต้องทำหลายล้านครั้ง แต่ที่นี่เรากำลังบุกรุกพื้นที่อื่นของคณิตศาสตร์ซึ่งมีต้นกำเนิดมาจากคณิตศาสตร์ - คณิตศาสตร์เชิงคำนวณ

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลขมีคุณสมบัติที่หลากหลาย คุณสมบัติเหล่านี้สามารถอธิบายได้ด้วยคำพูดเช่น: “ผลรวมไม่เปลี่ยนแปลงโดยการเปลี่ยนตำแหน่งของเงื่อนไข” สามารถเขียนเป็นตัวอักษร: , สามารถแสดงเป็นเงื่อนไขพิเศษได้

ตัวอย่างเช่น สมบัติของการบวกนี้เรียกว่ากฎการสับเปลี่ยนหรือการสับเปลี่ยน เราใช้กฎแห่งคณิตศาสตร์บ่อยครั้งจนเป็นนิสัยโดยที่ไม่รู้ตัว บ่อยครั้งที่นักเรียนที่โรงเรียนถามว่า: “ทำไมต้องเรียนรู้กฎการสับเปลี่ยนและการรวมกันทั้งหมดนี้ ในเมื่อรู้วิธีบวกและคูณตัวเลขชัดเจนอยู่แล้ว” ในศตวรรษที่ 19 คณิตศาสตร์เข้าสู่ขั้นตอนสำคัญ - เริ่มเพิ่มและคูณอย่างเป็นระบบไม่เพียงแต่ตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเวกเตอร์ ฟังก์ชัน การกระจัด ตารางตัวเลข เมทริกซ์ และอื่นๆ อีกมากมาย และแม้แต่ตัวอักษร สัญลักษณ์ โดยไม่สนใจความหมายเฉพาะของมันจริงๆ และปรากฎว่าสิ่งที่สำคัญที่สุดคือสิ่งที่กฎหมายเหล่านี้ปฏิบัติตาม การศึกษาการดำเนินการที่ระบุบนวัตถุตามอำเภอใจ (ไม่จำเป็นต้องเป็นตัวเลข) เป็นสาขาพีชคณิตอยู่แล้ว แม้ว่างานนี้จะขึ้นอยู่กับเลขคณิตและกฎของมันก็ตาม

เลขคณิตมีกฎมากมายสำหรับการแก้ปัญหา ในหนังสือเก่าๆ คุณจะพบปัญหาเกี่ยวกับ "กฎสามประการ", "การแบ่งตามสัดส่วน", "วิธีตาชั่ง", "กฎเท็จ" ฯลฯ กฎเหล่านี้ส่วนใหญ่ล้าสมัยแล้ว แม้ว่าปัญหาที่ได้รับการแก้ไขด้วยความช่วยเหลือจะไม่ถือว่าล้าสมัยก็ตาม ปัญหาที่มีชื่อเสียงเกี่ยวกับสระว่ายน้ำที่เต็มไปด้วยท่อหลายท่อนั้นมีอายุไม่ต่ำกว่าสองพันปีและยังไม่ใช่เรื่องง่ายสำหรับเด็กนักเรียน แต่หากก่อนหน้านี้เพื่อที่จะแก้ไขปัญหานี้จำเป็นต้องรู้กฎพิเศษทุกวันนี้เด็กนักเรียนที่อายุน้อยกว่าได้รับการสอนให้แก้ไขปัญหาดังกล่าวโดยป้อนการกำหนดตัวอักษรของปริมาณที่ต้องการ ดังนั้น ปัญหาทางคณิตศาสตร์จึงจำเป็นต้องแก้สมการ และนี่ก็เป็นปัญหาพีชคณิตอีกครั้ง

พีทากอรัส (ประมาณ 570-c. 500 ปีก่อนคริสตกาล) ไม่มีเอกสารที่เป็นลายลักษณ์อักษรเกี่ยวกับพีทาโกรัสแห่งซามอสเหลืออยู่ และจากหลักฐานในภายหลัง เป็นการยากที่จะสร้างภาพชีวิตและความสำเร็จที่แท้จริงของเขาขึ้นมาใหม่ เป็นที่ทราบกันดีว่าพีทาโกรัสออกจากเกาะซามอสซึ่งเป็นบ้านเกิดของเขาในทะเลอีเจียนนอกชายฝั่งเอเชียไมเนอร์เพื่อเป็นสัญญาณของการประท้วงต่อต้านการกดขี่ของผู้ปกครองและเมื่อเข้าสู่วัยผู้ใหญ่แล้ว (ตามตำนานเมื่ออายุ 40 ปี) เขา ปรากฏในเมืองโครโตเนของกรีกทางตอนใต้ของอิตาลี พีธากอรัสและผู้ติดตามของเขา - ชาวพีทาโกรัส - ก่อตั้งพันธมิตรลับที่มีบทบาทสำคัญในชีวิตของอาณานิคมกรีกในอิตาลี ชาวพีทาโกรัสรู้จักกันและกันด้วยรูปห้าเหลี่ยมรูปดาว - รูปดาวห้าแฉก คำสอนของพีธากอรัสได้รับอิทธิพลอย่างมากจากปรัชญาและศาสนาของตะวันออก เขาเดินทางไปมากในประเทศทางตะวันออก: เขาอยู่ในอียิปต์และบาบิโลน ที่นั่นพีธากอรัสเริ่มคุ้นเคยกับคณิตศาสตร์ตะวันออกด้วย คณิตศาสตร์กลายเป็นส่วนหนึ่งของการสอนของเขาและเป็นส่วนที่สำคัญที่สุด ชาวพีทาโกรัสเชื่อว่าความลับของโลกถูกซ่อนอยู่ในรูปแบบตัวเลข โลกแห่งตัวเลขมีชีวิตที่พิเศษสำหรับชาวพีทาโกรัส ตัวเลขมีความหมายชีวิตพิเศษในตัวเอง ตัวเลขที่เท่ากับผลรวมของตัวหารถูกมองว่าสมบูรณ์ (6, 28, 496, 8128) มิตรคือคู่ของตัวเลข ซึ่งแต่ละคู่มีค่าเท่ากับผลรวมของตัวหารของอีกจำนวนหนึ่ง (เช่น 220 และ 284) พีทาโกรัสเป็นคนแรกที่แบ่งตัวเลขออกเป็นคู่และคี่ ง่ายและประกอบเข้าด้วยกัน และแนะนำแนวคิดเรื่องจำนวนคิด ในโรงเรียนของเขา มีการตรวจสอบเลขธรรมชาติแฝดพีทาโกรัสอย่างละเอียด โดยกำลังสองของหนึ่งเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองตัวที่เหลือ (ดูทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์) พีทาโกรัสได้รับการยกย่องว่า “ทุกสิ่งเป็นตัวเลข” เขาต้องการลดโลกทั้งใบ โดยเฉพาะคณิตศาสตร์ ให้เหลือเพียงตัวเลข (และเขาหมายถึงเพียงตัวเลขธรรมชาติเท่านั้น) แต่ในโรงเรียนของพีทาโกรัสเองก็มีการค้นพบที่ละเมิดความสามัคคีนี้ ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าไม่ใช่จำนวนตรรกยะ เช่น ไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนธรรมชาติได้ โดยธรรมชาติแล้ว เรขาคณิตของพีทาโกรัสอยู่ภายใต้การคำนวณซึ่งแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนในทฤษฎีบทที่เป็นชื่อของเขา และต่อมาได้กลายเป็นพื้นฐานสำหรับการใช้วิธีการเชิงตัวเลขในเรขาคณิต (ต่อมา Euclid ได้นำเรขาคณิตมาสู่แถวหน้าอีกครั้ง โดยมีพีชคณิตรองเข้ามา) เห็นได้ชัดว่าชาวพีทาโกรัสรู้จักของแข็งที่ถูกต้อง ได้แก่ จัตุรมุข ลูกบาศก์ และสิบสองหน้า พีทาโกรัสได้รับการยกย่องจากการนำข้อพิสูจน์มาสู่เรขาคณิตอย่างเป็นระบบ การสร้างแผนผังระนาบของตัวเลขเส้นตรง และหลักคำสอนเรื่องความคล้ายคลึงกัน ชื่อของพีทาโกรัสมีความเกี่ยวข้องกับหลักคำสอนเรื่องสัดส่วนทางคณิตศาสตร์ เรขาคณิต และฮาร์มอนิก ค่าเฉลี่ย ควรสังเกตว่าพีทาโกรัสถือว่าโลกเป็นลูกบอลที่เคลื่อนที่รอบดวงอาทิตย์ เมื่อในศตวรรษที่ 16 คริสตจักรเริ่มข่มเหงคำสอนของโคเปอร์นิคัสอย่างดุเดือด คำสอนนี้เรียกอย่างดื้อรั้นว่าพีทาโกรัส

อาร์คิมีดีส (ประมาณ 287-212 ปีก่อนคริสตกาล) เป็นที่รู้จักเกี่ยวกับอาร์คิมิดีส นักคณิตศาสตร์และช่างเครื่องผู้ยิ่งใหญ่ มากกว่านักวิทยาศาสตร์โบราณคนอื่นๆ ก่อนอื่นปีที่เขาเสียชีวิตนั้นน่าเชื่อถือ - ปีแห่งการล่มสลายของซีราคิวส์เมื่อนักวิทยาศาสตร์เสียชีวิตด้วยน้ำมือของทหารโรมัน อย่างไรก็ตาม นักประวัติศาสตร์สมัยโบราณ Polybius, Livy และ Plutarch แทบไม่ได้กล่าวถึงข้อดีทางคณิตศาสตร์ของเขาเลย จากพวกเขา ข้อมูลเกี่ยวกับสิ่งประดิษฐ์อันมหัศจรรย์ของนักวิทยาศาสตร์ที่เกิดขึ้นระหว่างการรับใช้กับ King Hieron II ก็มาถึงยุคของเราแล้ว มีเรื่องราวอันโด่งดังเกี่ยวกับมงกุฎทองคำของกษัตริย์ อาร์คิมิดีสตรวจสอบความบริสุทธิ์ขององค์ประกอบโดยใช้กฎแรงลอยตัวที่เขาพบ และใช้เครื่องหมายอัศเจรีย์ว่า "ยูเรก้า!" ซึ่งก็คือ "พบ!". อีกตำนานเล่าว่าอาร์คิมิดีสสร้างระบบบล็อกด้วยความช่วยเหลือจากชายคนหนึ่งสามารถปล่อยเรือลำใหญ่ซีราโคเซียได้ คำพูดของอาร์คิมิดีสที่พูดนั้นกลายเป็นเรื่องติดปีก: “ขอจุดศูนย์กลางให้ฉันแล้วฉันจะพลิกโลก” อัจฉริยะด้านวิศวกรรมของอาร์คิมิดีสแสดงออกมาด้วยพลังพิเศษในระหว่างการปิดล้อมเมืองซีราคิวส์ ซึ่งเป็นเมืองการค้าที่มั่งคั่งบนเกาะซิซิลี ทหารของกงสุลโรมัน มาร์เซลลัส ถูกควบคุมตัวเป็นเวลานานที่กำแพงเมืองด้วยเครื่องจักรที่ไม่เคยมีมาก่อน: เครื่องยิงอันทรงพลังมุ่งเป้าไปที่บล็อกหิน เครื่องขว้างถูกติดตั้งในช่องโหว่ ขว้างลูกกระสุนปืนใหญ่ออกไป นกกระเรียนชายฝั่งหันออกไปนอกกำแพงและ โยนหินและบล็อกตะกั่วใส่เรือศัตรู ขอเกี่ยวเรือแล้วโยนลงมาจากที่สูง ระบบกระจกเว้า (ในบางเรื่อง - โล่) ทำให้เรือลุกเป็นไฟ ใน “The History of Marcellus” พลูตาร์คบรรยายถึงความน่าสะพรึงกลัวที่เกิดขึ้นในกลุ่มทหารโรมันว่า “ทันทีที่พวกเขาสังเกตเห็นว่ามีเชือกหรือท่อนไม้ปรากฏขึ้นจากด้านหลังกำแพงป้อมปราการ พวกเขาก็หนีไปพร้อมตะโกนว่าอาร์คิมิดีสเป็นผู้คิดค้น เครื่องจักรใหม่สำหรับการทำลายล้าง” การมีส่วนร่วมของอาร์คิมิดีสในการพัฒนาคณิตศาสตร์ก็ยิ่งใหญ่เช่นกัน เกลียวอาร์คิมิดีส (ดูเกลียว) อธิบายโดยจุดที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมที่หมุนอยู่ แยกออกจากกันท่ามกลางเส้นโค้งต่างๆ มากมายที่คนรุ่นเดียวกันรู้จัก เส้นโค้งที่กำหนดจลน์ถัดไป - ไซโคลิด - ปรากฏในศตวรรษที่ 17 เท่านั้น อาร์คิมิดีสเรียนรู้ที่จะหาเส้นสัมผัสของเกลียวของเขา (และรุ่นก่อนของเขาสามารถวาดแทนเจนต์ได้เฉพาะส่วนที่มีรูปทรงกรวย) พบพื้นที่ของการหมุน เช่นเดียวกับพื้นที่ของวงรี พื้นผิวของกรวยและ ทรงกลม ปริมาตรของทรงกลม และส่วนของทรงกลม เขาภาคภูมิใจเป็นพิเศษกับอัตราส่วนที่เขาค้นพบของปริมาตรของทรงกลมและทรงกระบอกที่ล้อมรอบทรงกลมนั้น ซึ่งเท่ากับ 2:3 (ดูรูปที่จารึกไว้และรูปที่ล้อมรอบไว้) อาร์คิมิดีสยังทำงานอย่างหนักกับปัญหาเรื่องกำลังสองของวงกลม (ดูปัญหาที่มีชื่อเสียงในสมัยโบราณ) นักวิทยาศาสตร์คำนวณอัตราส่วนของเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง (จำนวน) แล้วพบว่าอยู่ระหว่าง และ วิธีการที่เขาสร้างขึ้นเพื่อคำนวณเส้นรอบวงและพื้นที่ของรูปเป็นขั้นตอนสำคัญในการสร้างแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัลซึ่งปรากฏเพียง 2,000 ปีต่อมา อาร์คิมิดีสยังพบผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอันไม่มีที่สิ้นสุดพร้อมตัวส่วน ในทางคณิตศาสตร์ นี่เป็นตัวอย่างแรกของอนุกรมอนันต์ มีบทบาทสำคัญในการพัฒนาคณิตศาสตร์โดยเรียงความของเขา "Psammit" - "เกี่ยวกับจำนวนเม็ดทราย" ซึ่งเขาแสดงให้เห็นว่าการใช้ระบบตัวเลขที่มีอยู่สามารถแสดงตัวเลขจำนวนมากโดยพลการได้อย่างไร โดยพื้นฐานในการให้เหตุผล เขาใช้ปัญหาในการนับจำนวนเม็ดทรายภายในจักรวาลที่มองเห็นได้ ดังนั้นความคิดเห็นที่มีอยู่ในขณะนั้นเกี่ยวกับการมีอยู่ของ "จำนวนมากที่สุด" ที่ลึกลับจึงถูกข้องแวะ

แนวคิดสำคัญที่นำมาใช้ทางคณิตศาสตร์คือสัดส่วนและเปอร์เซ็นต์ แนวคิดและวิธีการทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่มีพื้นฐานมาจากการเปรียบเทียบการพึ่งพาต่างๆ ระหว่างตัวเลข ในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ กระบวนการผสานเลขคณิตและเรขาคณิตเกิดขึ้นมานานหลายศตวรรษ

เราสามารถติดตาม "เรขาคณิต" ของเลขคณิตได้อย่างชัดเจน: กฎและรูปแบบที่ซับซ้อนที่แสดงโดยสูตรจะชัดเจนยิ่งขึ้นหากสามารถพรรณนาในเชิงเรขาคณิตได้ มีบทบาทสำคัญในคณิตศาสตร์และการประยุกต์ของมันเล่นโดยกระบวนการย้อนกลับ - การแปลข้อมูลภาพและเรขาคณิตเป็นภาษาของตัวเลข (ดูการคำนวณแบบกราฟิก) การแปลนี้มีพื้นฐานมาจากแนวคิดของนักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส R. Descartes เกี่ยวกับการกำหนดจุดบนระนาบด้วยพิกัด แน่นอนว่าแนวคิดนี้ได้ถูกนำมาใช้ต่อหน้าเขาแล้ว เช่น ในเรื่องการเดินเรือ เมื่อจำเป็นต้องระบุตำแหน่งของเรือ ตลอดจนในทางดาราศาสตร์และธรณีวิทยา แต่มาจากเดการ์ตและนักเรียนของเขาที่ทำให้การใช้ภาษาของพิกัดในคณิตศาสตร์สม่ำเสมอเกิดขึ้น และในยุคของเรา เมื่อต้องจัดการกระบวนการที่ซับซ้อน (เช่น การบินของยานอวกาศ) พวกเขาชอบที่จะมีข้อมูลทั้งหมดในรูปแบบตัวเลขซึ่งประมวลผลโดยคอมพิวเตอร์ หากจำเป็น เครื่องจะช่วยให้บุคคลแปลข้อมูลตัวเลขที่สะสมเป็นภาษาของการวาด

คุณคงเห็นว่าเมื่อพูดถึงเลขคณิตแล้ว เรามักจะก้าวข้ามขีดจำกัดของมันเสมอ ไปสู่พีชคณิต เรขาคณิต และสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์

เราจะกำหนดขอบเขตของเลขคณิตได้อย่างไร?

คำนี้ใช้ในความหมายใด?

คำว่า "เลขคณิต" สามารถเข้าใจได้ดังนี้:

วิชาวิชาการที่เกี่ยวข้องกับจำนวนตรรกยะ (จำนวนเต็มและเศษส่วน) การดำเนินการเกี่ยวกับจำนวนเหล่านั้น และปัญหาที่แก้ไขได้ด้วยความช่วยเหลือของการดำเนินการเหล่านี้

ส่วนหนึ่งของอาคารประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ซึ่งได้รวบรวมข้อมูลต่างๆ เกี่ยวกับการคำนวณ

“เลขคณิตเชิงทฤษฎี” เป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ที่เกี่ยวข้องกับการสร้างระบบตัวเลขต่างๆ (ธรรมชาติ จำนวนเต็ม ตรรกยะ จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน และลักษณะทั่วไป)

“เลขคณิตแบบเป็นทางการ” เป็นส่วนหนึ่งของตรรกะทางคณิตศาสตร์ (ดู ตรรกะทางคณิตศาสตร์) ซึ่งเกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์ทฤษฎีสัจพจน์ของเลขคณิต

“เลขคณิตขั้นสูง” หรือทฤษฎีจำนวน ซึ่งเป็นส่วนที่พัฒนาอย่างอิสระของคณิตศาสตร์

ทุกสิ่งเกี่ยวกับทุกสิ่ง เล่มที่ 5 ลิคุม อาร์คาดี

ใครเป็นคนคิดค้นเลขคณิต?

ใครเป็นคนคิดค้นเลขคณิต?

เลขคณิตเป็นศาสตร์แห่งตัวเลข โดยเกี่ยวข้องกับความหมายของตัวเลข สัญลักษณ์ และวิธีการทำงานกับตัวเลข ไม่มีใคร "คิดค้น" เลขคณิต มันเกิดขึ้นจากความต้องการของมนุษย์ ในตอนแรกผู้คนดำเนินการตามแนวคิดเรื่องปริมาณเท่านั้น แต่ยังไม่รู้ว่าจะนับอย่างไร ตัวอย่างเช่น คนดึกดำบรรพ์อาจพูดได้ว่าเขาเก็บผลเบอร์รี่ได้เพียงพอแล้ว นายพรานสามารถบอกได้ทันทีว่าเขาสูญเสียหอกไปหนึ่งอัน

แต่เวลาผ่านไป และมนุษย์เริ่มจำเป็นต้องกำหนดปริมาณซึ่งก็คือตัวเลข คนเลี้ยงแกะต้องนับจำนวนสัตว์ เกษตรกรต้องนับถอยหลังการทำงานตามฤดูกาล ดังนั้นเมื่อนานมาแล้วจึงไม่มีใครรู้ว่าเมื่อใดทั้งตัวเลขและชื่อถูกประดิษฐ์ขึ้น เราเรียกตัวเลขเหล่านี้ว่าจำนวนเต็มหรือจำนวนธรรมชาติ ต่อมามนุษย์ต้องการตัวเลขที่น้อยกว่าหนึ่งและตัวเลขระหว่างจำนวนเต็ม เศษส่วนจึงเกิดขึ้นมาเช่นนี้

ต่อมามีการใช้ตัวเลขอื่นๆ มากขึ้น บางอันเป็นลบ เช่น ลบสองหรือลบเจ็ด การนับเลขกลายเป็นพื้นฐานของเลขคณิต จากนั้นมนุษย์ก็เรียนรู้ที่จะดำเนินการเลขคณิตพื้นฐานสี่ประการ ได้แก่ การบวก การลบ การคูณ และการหาร

จากหนังสือ 100 ความลึกลับอันยิ่งใหญ่ของอวกาศ ผู้เขียน สลาวิน สตานิสลาฟ นิโคลาวิช

ใครเป็นผู้คิดค้นรถแลนด์โรเวอร์ดวงจันทร์? เมื่อแพ้การแข่งขันทางจันทรคติ รัฐบาลโซเวียตแสร้งทำเป็นว่าไม่เสียใจกับเรื่องนี้มากนัก พวกเขาบอกว่าตั้งแต่แรกเริ่มเรากำลังมุ่งหน้าสู่การสำรวจเซเลนาด้วยปืนกล และนี่ก็เป็นความจริงบางส่วน หากเพียงเพราะข้อมูลแรกเกี่ยวกับรถแลนด์โรเวอร์ดวงจันทร์คือ

จากหนังสือใครเป็นใครในโลกศิลปะ ผู้เขียน ซิทนิคอฟ วิทาลี ปาฟโลวิช

ใครเป็นผู้คิดค้นเซเรเนด? ตั้งแต่สมัยโบราณนักกวีและนักร้องได้ท่องไปทั่วโลก ในสมัยกรีกโบราณ กวีพเนจรที่สวดมนต์บทกวีของพวกเขาเรียกว่าแรปโซด ประชาชนทางตอนเหนือของยุโรปยกย่องนักกวีอย่างสูง ในเวลาต่อมาผู้คนเดินไปตามเมืองและหมู่บ้านต่างๆ

จากหนังสือโลกรอบตัวเรา ผู้เขียน ซิทนิคอฟ วิทาลี ปาฟโลวิช

ใครเป็นคนคิดนิทานเรื่องนี้ขึ้นมา? นิทานเป็นหนึ่งในวรรณกรรมที่เก่าแก่ที่สุดประเภทหนึ่ง เชื่อกันว่าเช่นเดียวกับตำนาน มันได้กลายเป็นหนึ่งในรูปแบบวรรณกรรมแรกที่สะท้อนความคิดของผู้คนเกี่ยวกับโลก ว่ากันว่าผู้เขียนคนแรกคือทาสอีสปซึ่งมีชื่อเสียงในด้านสติปัญญา มีความเชื่อกันว่า

ผู้เขียน ซิทนิคอฟ วิทาลี ปาฟโลวิช

ใครเป็นผู้คิดค้นการฉีด? ในปี ค.ศ. 1628 นักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษ ดับบลิว. ฮาร์วีย์ ได้ประกาศความเป็นไปได้ในการนำสารยาเข้าสู่ร่างกายผ่านทางผิวหนังเป็นครั้งแรก เขาตีพิมพ์งานพื้นฐานที่เขาพูดถึงการทำงานของระบบไหลเวียนโลหิตของมนุษย์ ฮาร์วีย์แสดงออกมา

จากหนังสือใครเป็นใครในโลกแห่งการค้นพบและสิ่งประดิษฐ์ ผู้เขียน ซิทนิคอฟ วิทาลี ปาฟโลวิช

ใครเป็นผู้คิดค้นสัญญาณไฟจราจร? คุณรู้หรือไม่ว่าการจัดการจราจรเป็นปัญหามานานก่อนที่จะมีรถยนต์เข้ามา? Julius Caesar อาจเป็นผู้ปกครองคนแรกในประวัติศาสตร์ที่ออกกฎหมายจราจร เช่น พระองค์ทรงตรากฎหมายซึ่งผู้หญิงไม่มี

จากหนังสือใครเป็นใครในโลกแห่งการค้นพบและสิ่งประดิษฐ์ ผู้เขียน ซิทนิคอฟ วิทาลี ปาฟโลวิช

ใครเป็นผู้คิดค้นดินสอ? ดินสอสมัยใหม่มีอายุไม่เกิน 200 ปี ประมาณ 500 ปีที่แล้ว กราไฟท์ถูกค้นพบในเหมืองที่คัมเบอร์แลนด์ ประเทศอังกฤษ เชื่อกันว่าดินสอกราไฟท์ก็เริ่มผลิตในเวลาเดียวกัน ในเมืองนูเรมเบิร์ก ประเทศเยอรมนี ตระกูล Faber ที่มีชื่อเสียงมีมาตั้งแต่ปี 1760

จากหนังสือใครเป็นใครในโลกแห่งการค้นพบและสิ่งประดิษฐ์ ผู้เขียน ซิทนิคอฟ วิทาลี ปาฟโลวิช

ใครเป็นผู้คิดค้นปากกา? ด้วยการประดิษฐ์วัสดุเนื้ออ่อนสำหรับการเขียน เช่น แผ่นขี้ผึ้งและกระดาษปาปิรัส ความต้องการจึงเกิดขึ้นในการผลิตอุปกรณ์การเขียนแบบพิเศษ ชาวอียิปต์โบราณเป็นคนแรกที่ประดิษฐ์อุปกรณ์เหล่านี้ พวกเขาเขียนบนแท็บเล็ตเคลือบขี้ผึ้งโดยใช้แท่งเหล็ก -

จากหนังสือใครเป็นใครในโลกแห่งการค้นพบและสิ่งประดิษฐ์ ผู้เขียน ซิทนิคอฟ วิทาลี ปาฟโลวิช

ใครเป็นผู้คิดค้นแบรนด์? คุณเคยอยากรู้ไหมว่าทำไมจึงเรียกว่า "แสตมป์"? เพื่อตอบคำถามนี้ เราต้องย้อนกลับไปในสมัยก่อนที่มีการขนส่งพัสดุและจดหมายไปทั่วประเทศโดยการแข่งขันวิ่งผลัด สถานีที่มีผู้ส่งสารคนหนึ่งส่งจดหมาย

จากหนังสือใครเป็นใครในโลกแห่งการค้นพบและสิ่งประดิษฐ์ ผู้เขียน ซิทนิคอฟ วิทาลี ปาฟโลวิช

ใครเป็นผู้คิดค้นชุดนอน? คำว่า "ชุดนอน" มาจากภาษาอังกฤษ "ชุดนอน" ซึ่งแปลมาจากภาษาอูรดู (หนึ่งในภาษาราชการของอินเดีย) หมายถึงกางเกงขายาวลายทางกว้างที่ทำจากผ้าเนื้อบาง (โดยปกติจะเป็นผ้ามัสลิน) พวกเขาเป็นองค์ประกอบของเสื้อผ้าสตรีซึ่งจำเป็น

จากหนังสือใครเป็นใครในโลกแห่งการค้นพบและสิ่งประดิษฐ์ ผู้เขียน ซิทนิคอฟ วิทาลี ปาฟโลวิช

ใครเป็นผู้คิดค้นเทียน? อุปกรณ์ให้แสงสว่างชิ้นแรกที่มนุษย์ใช้คือแท่งไม้ที่กำลังลุกไหม้ซึ่งหยิบมาจากไฟ ตะเกียงดวงแรกเป็นหินที่มีร่อง เปลือกหอยหรือกะโหลก เต็มไปด้วยน้ำมันสัตว์หรือน้ำมันปลาเป็นเชื้อเพลิงและมี

จากหนังสือใครเป็นใครในโลกแห่งการค้นพบและสิ่งประดิษฐ์ ผู้เขียน ซิทนิคอฟ วิทาลี ปาฟโลวิช

ใครเป็นผู้คิดค้นแซนด์วิช? เอิร์ลแห่งแซนด์วิชถือได้ว่าเป็นผู้ประดิษฐ์แซนด์วิช เขาเป็นนักพนันจนไม่สามารถฉีกตัวเองออกจากไพ่ได้แม้แต่จะกิน ดังนั้นเขาจึงเรียกร้องให้พวกเขานำของว่างเบา ๆ มาเป็นชิ้นขนมปังและเนื้อมาให้เขา เกมทำไม่ได้

จากหนังสือใครเป็นใครในโลกแห่งการค้นพบและสิ่งประดิษฐ์ ผู้เขียน ซิทนิคอฟ วิทาลี ปาฟโลวิช

ใครเป็นผู้คิดค้นโยเกิร์ต? เราเป็นหนี้การประดิษฐ์โยเกิร์ตของนักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซียที่อาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 20 I. I. Mechnikov เขาเป็นคนแรกที่นึกถึงการใช้แบคทีเรียโคไลซึ่งอาศัยอยู่ในลำไส้ของสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมหลายชนิดในการหมักนม ปรากฎว่า สิ่งที่หมักด้วยแบคทีเรียเหล่านี้

จากหนังสือใครเป็นใครในโลกแห่งการค้นพบและสิ่งประดิษฐ์ ผู้เขียน ซิทนิคอฟ วิทาลี ปาฟโลวิช

ใครเป็นผู้คิดค้นโทรศัพท์? โทรศัพท์ที่เรารู้จักในปัจจุบันนี้เป็นผลมาจากพัฒนาการของอเล็กซานเดอร์ เกรแฮม เบลล์ นักวิทยาศาสตร์ชาวสก็อตที่อพยพไปแคนาดาแล้วไปสหรัฐอเมริกา แต่แม้กระทั่งก่อนที่เบลล์ในปี ค.ศ. 1856 ก็มีการทดลองที่มีส่วนช่วยในการประดิษฐ์โทรศัพท์

จากหนังสือใครเป็นใครในโลกแห่งการค้นพบและสิ่งประดิษฐ์ ผู้เขียน ซิทนิคอฟ วิทาลี ปาฟโลวิช

ใครเป็นผู้คิดค้นโทรเลข? สามารถส่งข้อความแบบไร้สายได้หรือไม่? ตอนแรกมันดูมหัศจรรย์มาก แต่ในปี พ.ศ. 2430 นักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน ไฮน์ริช เฮิรตซ์ ค้นพบคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่มองไม่เห็น อย่างไรก็ตาม เพื่อที่จะ "จับ" คลื่นเหล่านั้นได้

จากหนังสือใครเป็นใครในโลกแห่งการค้นพบและสิ่งประดิษฐ์ ผู้เขียน ซิทนิคอฟ วิทาลี ปาฟโลวิช

ใครเป็นผู้คิดค้นร่มชูชีพ? ลองนึกภาพเข้าสู่น่านฟ้าที่ระดับความสูง 5 กิโลเมตรแล้วลงจอดอย่างสงบราวกับว่าคุณกระโดดลงมาจากรั้วสูงสามเมตร คุณทำได้ - ด้วยร่มชูชีพ! ด้วยความช่วยเหลือบุคคลจึงสามารถลงไปในอากาศได้

จากหนังสือใครเป็นใครในโลกแห่งการค้นพบและสิ่งประดิษฐ์ ผู้เขียน ซิทนิคอฟ วิทาลี ปาฟโลวิช

ใครเป็นผู้คิดค้นเข็มทิศ? เข็มทิศรูปแบบที่ง่ายที่สุดคือเข็มแม่เหล็กที่ติดตั้งอยู่บนแกนเพื่อให้สามารถหมุนได้อย่างอิสระในทุกทิศทาง เข็มของเข็มทิศแบบดั้งเดิมชี้ไปที่ "ทิศเหนือ" ซึ่งเราหมายถึงขั้วแม่เหล็กทิศเหนือของโลก

โรงเรียนสถานศึกษาหมายเลข __

เรียงความ

ในหัวข้อ

“ประวัติการดำเนินการทางคณิตศาสตร์”

เสร็จสิ้น: __ แบบฝึกหัดชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 _

______________
คารากันดา, 2015

ชาวอาหรับไม่ได้ลบตัวเลข แต่ขีดฆ่าออกแล้วเขียนตัวเลขใหม่ไว้เหนือตัวเลขที่ขีดฆ่า มันไม่สะดวกมาก จากนั้นนักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับซึ่งใช้วิธีการลบแบบเดียวกันเริ่มดำเนินการจากอันดับต่ำสุดนั่นคือเมื่อพวกเขาทำงานเกี่ยวกับวิธีการลบแบบใหม่ซึ่งคล้ายกับวิธีสมัยใหม่ เพื่อระบุการลบในศตวรรษที่ 3 พ.ศ จ. ในกรีซพวกเขาใช้อักษรกรีกกลับหัว psi (F) นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีใช้ตัวอักษร M ซึ่งเป็นอักษรตัวแรกของคำว่าลบเพื่อแสดงถึงการลบ ในศตวรรษที่ 16 เครื่องหมายเริ่มถูกนำมาใช้เพื่อระบุการลบ เครื่องหมายนี้อาจส่งต่อไปยังคณิตศาสตร์จากการค้าขาย พ่อค้าที่เทไวน์จากถังเพื่อขาย ใช้เส้นชอล์กเพื่อระบุจำนวนปริมาณไวน์ที่ขายได้จากถัง

การคูณ

การคูณเป็นกรณีพิเศษของการบวกจำนวนที่เหมือนกันหลายจำนวน ในสมัยโบราณ ผู้คนเรียนรู้ที่จะคูณเมื่อนับสิ่งของ ดังนั้นเมื่อนับเลข 17, 18, 19, 20 ตามลำดับก็ควรจะเป็นตัวแทน

20 ไม่ใช่แค่เหมือน 10+10 เท่านั้น แต่ยังเหมือนสองสิบด้วย นั่นคือ 2 10;

30 ก็เหมือนสามสิบ คือ ทวนเลขสิบซ้ำสามครั้ง - 3 - 10 - ไปเรื่อยๆ

ผู้คนเริ่มเพิ่มจำนวนช้ากว่าการเพิ่มมาก ชาวอียิปต์ทำการคูณโดยการบวกซ้ำๆ หรือทวีคูณต่อเนื่องกัน ในบาบิโลนเมื่อคูณตัวเลขพวกเขาใช้ตารางสูตรคูณพิเศษ - "บรรพบุรุษ" ของสมัยใหม่ ในอินเดียโบราณพวกเขาใช้วิธีการคูณตัวเลขที่ค่อนข้างใกล้เคียงกับสมัยใหม่เช่นกัน ชาวอินเดียคูณตัวเลขโดยเริ่มจากอันดับสูงสุด ในเวลาเดียวกันพวกเขาลบตัวเลขที่ต้องแทนที่ในระหว่างการกระทำครั้งต่อไปเนื่องจากพวกเขาเพิ่มตัวเลขที่เราจำได้ตอนนี้เมื่อคูณ ดังนั้นนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียจึงจดผลคูณทันทีโดยทำการคำนวณขั้นกลางบนทรายหรือในหัว วิธีการคูณแบบอินเดียถูกส่งต่อไปยังชาวอาหรับ แต่ชาวอาหรับไม่ได้ลบตัวเลข แต่ขีดฆ่าออกแล้วเขียนตัวเลขใหม่ไว้เหนือตัวเลขที่ขีดฆ่า ในยุโรปเป็นเวลานาน ผลคูณเรียกว่าผลรวมของการคูณ ชื่อ "ตัวคูณ" ถูกกล่าวถึงในผลงานของศตวรรษที่ 6 และ "ตัวคูณ" ในศตวรรษที่ 13

ในศตวรรษที่ 17 นักคณิตศาสตร์บางคนเริ่มแทนการคูณด้วยเครื่องหมายกากบาท - x ในขณะที่บางคนใช้จุดในการคูณ ในศตวรรษที่ 16 และ 17 มีการใช้สัญลักษณ์ต่าง ๆ เพื่อบ่งบอกถึงการกระทำ ไม่มีความสม่ำเสมอในการใช้ เฉพาะช่วงปลายศตวรรษที่ 18 เท่านั้นที่นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เริ่มใช้จุดเป็นเครื่องหมายคูณ แต่พวกเขายังอนุญาตให้ใช้กากบาทเฉียงได้ เครื่องหมายคูณ ( , x) และเครื่องหมายเท่ากับ (=) เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปโดยอาศัยอำนาจของนักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวเยอรมัน Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

แผนก

จำนวนธรรมชาติสองตัวใดๆ ก็ตามสามารถบวกและคูณได้เสมอ การลบออกจากจำนวนธรรมชาติสามารถทำได้เฉพาะเมื่อค่าด้านลบน้อยกว่าค่าลบเท่านั้น การหารโดยไม่มีเศษสามารถทำได้เฉพาะบางจำนวนเท่านั้น และเป็นการยากที่จะทราบว่าจำนวนหนึ่งหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งลงตัวหรือไม่ นอกจากนี้ยังมีตัวเลขที่ไม่สามารถหารด้วยตัวเลขอื่นใดนอกจากหนึ่งได้ คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ คุณลักษณะเหล่านี้ของการกระทำมีความซับซ้อนอย่างมากในการทำความเข้าใจเทคนิคการแบ่งส่วน ในอียิปต์โบราณ การแบ่งตัวเลขดำเนินการโดยวิธีทวีคูณและการไกล่เกลี่ย นั่นคือหารด้วยสองแล้วบวกตัวเลขที่เลือก นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียคิดค้นวิธี "หารขึ้น" พวกเขาเขียนตัวหารไว้ใต้เงินปันผล และการคำนวณขั้นกลางทั้งหมดอยู่เหนือเงินปันผล ยิ่งไปกว่านั้น ตัวเลขที่อาจเปลี่ยนแปลงระหว่างการคำนวณขั้นกลางถูกลบโดยชาวอินเดียนแดง และตัวเลขใหม่ก็ถูกเขียนแทน เมื่อยืมวิธีนี้แล้ว ชาวอาหรับก็เริ่มขีดฆ่าตัวเลขในการคำนวณขั้นกลางและเขียนตัวเลขอื่นๆ ทับไว้ นวัตกรรมนี้ทำให้ “การแบ่งแยก” ยากขึ้นมาก วิธีการแบ่งที่ใกล้เคียงกับวิธีสมัยใหม่ปรากฏครั้งแรกในอิตาลีเมื่อศตวรรษที่ 15

เป็นเวลาหลายพันปีที่การกระทำของการแบ่งแยกไม่ได้ถูกระบุด้วยสัญญาณใด ๆ - มันถูกเรียกและเขียนเป็นคำเท่านั้น นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียเป็นคนแรกที่ระบุการหารด้วยอักษรตัวแรกจากชื่อของการกระทำนี้ ชาวอาหรับได้วางเส้นเพื่อแสดงถึงการแบ่งแยก เส้นแบ่งการทำเครื่องหมายถูกนำมาใช้จากชาวอาหรับในศตวรรษที่ 13 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Fibonacci เขาเป็นคนแรกที่ใช้คำว่าส่วนตัว เครื่องหมายโคลอน (:) เพื่อบ่งชี้ถึงการแบ่งแยกเกิดขึ้นในช่วงปลายศตวรรษที่ 17

เครื่องหมายเท่ากับ (=) ถูกนำมาใช้ครั้งแรกโดยครูคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ R. Ricord ในศตวรรษที่ 16 เขาอธิบายว่า “ไม่มีวัตถุสองชิ้นใดจะเท่ากันได้มากไปกว่าเส้นขนานสองเส้น” แต่แม้แต่ในปาปิรุสของอียิปต์ก็มีสัญญาณที่แสดงถึงความเท่าเทียมกันของตัวเลขสองตัวแม้ว่าเครื่องหมายนี้จะแตกต่างไปจากเครื่องหมาย = อย่างสิ้นเชิงก็ตาม