Algebra je komplexná a zaujímavá veda založená na mnohých funkciách. Pozrime sa, čo je logaritmus a aké sú jeho vlastnosti.

Logaritmus je mocnina, na ktorú sa číslo a musí zvýšiť, aby sa získalo číslo x.

Algebra pozná mnoho typov logaritmov. Najbežnejšie typy logaritmov sú:

• prirodzený so základom e=2,718281, označovaný ln.
  Príklad: ln1=0. lne = 1;
• desatinné číslo so základom 10, označuje sa lg.
  Príklad: lg100=2. log 10 100 = 2, pretože 10 2 = 100;
• binárne, označené lb(b) alebo lb 2 b. Je riešením rovnice 2 x =b.
  Príklad: lb16=4.

Tieto sú široko používané v informatike, teórii informácií, ako aj v mnohých podpoliach diskrétnej matematiky. Logaritmy pomáhajú štatistickým vedcom určiť najdôležitejšie rozdelenia pravdepodobnosti. Používajú sa aj v genetike.

Počítanie pomocou logaritmov

Matematici si už dlho uvedomujú jedinečné vlastnosti logaritmov, ako aj možnosť ich použitia na zjednodušenie zložitých výpočtov. Takže pri prechode na logaritmy:

• násobenie sa ľahko nahradí sčítaním;
• delenie - odčítanie;
• pozdvihnutie k určitej moci alebo zakorenenie sa stáva násobením alebo delením.

Pri počítaní pomocou logaritmov by ste sa mali zbaviť loga. kde:

• Dôvod a argument musia byť kladné;
• Základňa sa musí líšiť od jednej, pretože toto číslo, zvýšené na akúkoľvek mocnosť, zostáva nezmenené.

Logaritmická funkcia

Vo výpočtoch sa používa aj logaritmická funkcia y = loga x (kde a > 0, a ≠ 1). Medzi jeho vlastnosti patrí:

• definičný obor tejto funkcie leží v množine kladných čísel;
• množina funkčných hodnôt je reprezentovaná reálnymi číslami;
• funkcia nemá maximálnu alebo minimálnu hodnotu;
• funkcia patrí do všeobecnej formy, nie je párna alebo nepárna;
• funkcia nie je periodická;
• graf prechádza súradnicovými osami v bode (1;0);
• ak je základ väčší ako jedna, funkcia sa zvyšuje a ak je menší ako jedna, znižuje sa.

Teraz máte predstavu o logaritmoch, ich rozsahu, ako aj vlastnostiach logaritmickej funkcie.

Logaritmus čísla b na základ a je exponent, na ktorý sa musí číslo a zvýšiť, aby sa získalo číslo b.

Ak potom.

Logaritmus - extrém dôležitá matematická veličina pretože logaritmický počet umožňuje nielen riešiť exponenciálne rovnice, ale aj pracovať s exponentmi, diferencovať exponenciálne a logaritmické funkcie, integrovať ich a viesť k prijateľnejšej forme na výpočet.

V kontakte s

Všetky vlastnosti logaritmov priamo súvisia s vlastnosťami exponenciálnych funkcií. Napríklad skutočnosť, že znamená to:

Treba poznamenať, že pri riešení konkrétnych problémov sa vlastnosti logaritmov môžu ukázať ako dôležitejšie a užitočnejšie ako pravidlá pre prácu s mocnosťami.

Predstavme si niektoré identity:

Tu sú základné algebraické výrazy:

;

.

Pozor! môže existovať iba pre x>0, x≠1, y>0.

Pokúsme sa pochopiť otázku, čo sú prirodzené logaritmy. Špeciálny záujem o matematiku predstavujú dva typy- prvý má ako základ číslo „10“ a nazýva sa „desiatkový logaritmus“. Druhý sa nazýva prírodný. Základom prirodzeného logaritmu je číslo „e“. To je to, o čom budeme podrobne hovoriť v tomto článku.

Označenia:

• lg x - desatinné číslo;
• ln x - prirodzené.

Pomocou identity môžeme vidieť, že ln e = 1, ako aj skutočnosť, že lg 10 = 1.

Graf prirodzeného logaritmu

Zostavme graf prirodzeného logaritmu pomocou štandardnej klasickej metódy bod po bode. Ak chcete, môžete skontrolovať, či funkciu zostavujeme správne, preskúmaním funkcie. Má však zmysel naučiť sa ho zostavovať „ručne“, aby ste vedeli, ako správne vypočítať logaritmus.

Funkcia: y = ln x. Napíšme si tabuľku bodov, cez ktoré bude graf prechádzať:

Vysvetlime, prečo sme vybrali tieto konkrétne hodnoty argumentu x. Všetko je to o identite: . Pre prirodzený logaritmus bude táto identita vyzerať takto:

Pre pohodlie si môžeme vziať päť referenčných bodov:

;

;

.

;

.

Výpočet prirodzených logaritmov je teda pomerne jednoduchá úloha, navyše zjednodušuje výpočty operácií s mocninami a premieňa ich na obyčajné násobenie.

Vykreslením grafu bod po bode dostaneme približný graf:

Oblasť definície prirodzeného logaritmu (t. j. všetky platné hodnoty argumentu X) sú všetky čísla väčšie ako nula.

Pozor! Oblasť definície prirodzeného logaritmu zahŕňa iba kladné čísla! Rozsah definície nezahŕňa x=0. To je nemožné vzhľadom na podmienky existencie logaritmu.

Rozsah hodnôt (t. j. všetky platné hodnoty funkcie y = ln x) sú všetky čísla v intervale.

Prirodzený log limit

Pri štúdiu grafu vyvstáva otázka - ako sa funkcia správa pri y<0.

Je zrejmé, že graf funkcie má tendenciu krížiť os y, ale nebude to môcť urobiť, pretože prirodzený logaritmus x<0 не существует.

Hranica prirodzeného log možno napísať takto:

Vzorec na nahradenie základne logaritmu

Zaobchádzanie s prirodzeným logaritmom je oveľa jednoduchšie ako s logaritmom, ktorý má ľubovoľný základ. Preto sa pokúsime naučiť, ako ľubovoľný logaritmus zredukovať na prirodzený, alebo ho vyjadriť na ľubovoľný základ prostredníctvom prirodzených logaritmov.

Začnime logaritmickou identitou:

Potom akékoľvek číslo alebo premenná y môže byť reprezentovaná ako:

kde x je ľubovoľné číslo (kladné podľa vlastností logaritmu).

Tento výraz možno brať logaritmicky na oboch stranách. Urobme to pomocou ľubovoľného základu z:

Použime vlastnosť (iba namiesto „c“ máme výraz):

Odtiaľ dostaneme univerzálny vzorec:

.

Konkrétne, ak z=e, potom:

.

Podarilo sa nám znázorniť logaritmus na ľubovoľnú základňu prostredníctvom pomeru dvoch prirodzených logaritmov.

Riešime problémy

Aby sme lepšie porozumeli prirodzeným logaritmom, pozrime sa na príklady niekoľkých problémov.

Problém 1. Je potrebné vyriešiť rovnicu ln x = 3.

Riešenie: Pomocou definície logaritmu: if , then , dostaneme:

Problém 2. Vyriešte rovnicu (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Riešenie: Pomocou definície logaritmu: if , then , dostaneme:

.

Opäť použijeme definíciu logaritmu:

.

takto:

.

Odpoveď si môžete približne vypočítať, alebo ju môžete nechať v tomto tvare.

Úloha 3. Vyriešte rovnicu.

Riešenie: Urobme substitúciu: t = ln x. Potom bude mať rovnica nasledujúci tvar:

.

Máme kvadratickú rovnicu. Nájdime jeho diskriminant:

V štatistike a teórii pravdepodobnosti sa logaritmické veličiny vyskytujú veľmi často. To nie je prekvapujúce, pretože číslo e často odráža rýchlosť rastu exponenciálnych veličín.

V informatike, programovaní a počítačovej teórii sa logaritmy vyskytujú pomerne často, napríklad na uloženie N bitov do pamäte.

V teóriách fraktálov a dimenzií sa neustále používajú logaritmy, pretože rozmery fraktálov sa určujú iba s ich pomocou.

V mechanike a fyzike Neexistuje žiadna sekcia, kde by sa nepoužívali logaritmy. Barometrické rozdelenie, všetky princípy štatistickej termodynamiky, Ciolkovského rovnica atď. sú procesy, ktoré možno matematicky popísať iba pomocou logaritmov.

V chémii sa logaritmy používajú v Nernstových rovniciach a popisoch redoxných procesov.

Je úžasné, že aj v hudbe sa na zistenie počtu častí oktávy používajú logaritmy.

Prirodzený logaritmus Funkcia y=ln x jej vlastnosti

Dôkaz hlavnej vlastnosti prirodzeného logaritmu

hlavné vlastnosti.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

rovnaké dôvody

Log6 4 + Log6 9.

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme.

Príklady riešenia logaritmov

Čo ak je základom alebo argumentom logaritmu mocnina? Potom môže byť exponent tohto stupňa vyňatý zo znamienka logaritmu podľa nasledujúcich pravidiel:

Samozrejme, všetky tieto pravidlá dávajú zmysel, ak je dodržaná ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, x >

Úloha. Nájdite význam výrazu:

Prechod na nový základ

Nech je daný logaritmus logax. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:

Úloha. Nájdite význam výrazu:

Pozri tiež:

Základné vlastnosti logaritmu

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Exponent je 2,718281828…. Aby ste si zapamätali exponent, môžete si preštudovať pravidlo: exponent sa rovná 2,7 a dvojnásobku roku narodenia Leva Nikolajeviča Tolstého.

Základné vlastnosti logaritmov

Keď poznáte toto pravidlo, budete poznať presnú hodnotu exponenta aj dátum narodenia Leva Tolstého.

Príklady pre logaritmy

Logaritmické výrazy

Príklad 1
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Pomocou vlastností 3.5 vypočítame

2.

3.

4. Kde .

Príklad 2. Nájdite x ak

Príklad 3. Nech je uvedená hodnota logaritmov

Vypočítajte log(x), ak

Základné vlastnosti logaritmov

Logaritmy, ako všetky čísla, sa dajú sčítať, odčítať a transformovať všetkými spôsobmi. Ale keďže logaritmy nie sú úplne obyčajné čísla, existujú tu pravidlá, ktoré sa nazývajú hlavné vlastnosti.

Tieto pravidlá určite musíte poznať – bez nich sa nedá vyriešiť ani jeden vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.

Sčítanie a odčítanie logaritmov

Zvážte dva logaritmy s rovnakými základňami: logax a logay. Potom ich možno sčítať a odčítať a:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel sa rovná logaritmu kvocientu. Poznámka: tu je kľúčový bod rovnaké dôvody. Ak sú dôvody iné, tieto pravidlá nefungujú!

Tieto vzorce vám pomôžu vypočítať logaritmický výraz, aj keď sa neberú do úvahy jeho jednotlivé časti (pozri lekciu „Čo je to logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:

Keďže logaritmy majú rovnaké základy, použijeme súčtový vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log2 48 − log2 3.

Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log3 135 − log3 5.

Základy sú opäť rovnaké, takže máme:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré nie sú vypočítané samostatne. Ale po transformáciách sa získajú úplne normálne čísla. Mnohé testy sú založené na tejto skutočnosti. Áno, na Jednotnej štátnej skúške sa so všetkou vážnosťou (niekedy prakticky bez zmien) ponúkajú výrazy podobné testom.

Extrahovanie exponentu z logaritmu

Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje prvé dve. Je však lepšie si to zapamätať - v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.

Samozrejme, všetky tieto pravidlá dávajú zmysel, ak je dodržaná ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ešte jedna vec: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak , t.j. Čísla pred znamienkom logaritmu môžete zadať do samotného logaritmu. To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log7 496.

Zbavme sa stupňa v argumente pomocou prvého vzorca:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Úloha. Nájdite význam výrazu:

Všimnite si, že menovateľ obsahuje logaritmus, ktorého základom a argumentom sú presné mocniny: 16 = 24; 49 = 72. Máme:

Myslím, že posledný príklad si vyžaduje určité objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chvíle pracujeme len s menovateľom.

Logaritmické vzorce. Logaritmické riešenia príkladov.

Základ a argument tam stojaceho logaritmu sme prezentovali vo forme mocnin a vyňali exponenty - dostali sme „trojposchodový“ zlomok.

Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ aj menovateľ obsahujú rovnaké číslo: log2 7. Keďže log2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa aj stalo. Výsledkom bola odpoveď: 2.

Prechod na nový základ

Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Čo ak sú dôvody iné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?

Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na nový základ. Sformulujme ich vo forme vety:

Nech je daný logaritmus logax. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:

Konkrétne, ak nastavíme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorca vyplýva, že základ a argument logaritmu možno zameniť, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus sa objaví v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka nachádzajú v bežných číselných výrazoch. Ich vhodnosť je možné vyhodnotiť len pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc.

Sú však problémy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do novej nadácie. Pozrime sa na pár z nich:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log5 16 log2 25.

Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov obsahujú presné mocniny. Vyberme ukazovatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Teraz „otočme“ druhý logaritmus:

Keďže sa súčin pri preskupovaní faktorov nemení, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme sa zaoberali logaritmami.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log9 100 lg 3.

Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:

Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:

Základná logaritmická identita

V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danému základu. V tomto prípade nám pomôžu nasledujúce vzorce:

V prvom prípade sa číslo n stane exponentom v argumente. Číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len logaritmická hodnota.

Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. Tak sa to volá: .

Čo sa vlastne stane, ak sa číslo b zvýši na takú mocninu, že číslo b s touto mocninou dáva číslo a? Správne: výsledkom je rovnaké číslo a. Ešte raz si pozorne prečítajte tento odsek – veľa ľudí sa na ňom zasekne.

Rovnako ako vzorce na prechod na novú základňu, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením.

Úloha. Nájdite význam výrazu:

Všimnite si, že log25 64 = log5 8 - jednoducho vzal druhú mocninu zo základu a argumentu logaritmu. Ak vezmeme do úvahy pravidlá pre násobenie právomocí s rovnakým základom, dostaneme:

Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha z Jednotnej štátnej skúšky :)

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na záver uvediem dve identity, ktoré možno len ťažko nazvať vlastnosťami – sú skôr dôsledkom definície logaritmu. Neustále sa objavujú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.

1. logaa = 1 je. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus k ľubovoľnej základni a tejto samotnej základne sa rovná jednej.
2. loga 1 = 0 je. Základom a môže byť čokoľvek, ale ak argument obsahuje jednotku, logaritmus sa rovná nule! Pretože a0 = 1 je priamym dôsledkom definície.

To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.

Pozri tiež:

Logaritmus b na základ a označuje výraz. Vypočítať logaritmus znamená nájsť mocninu x (), pri ktorej je splnená rovnosť

Základné vlastnosti logaritmu

Je potrebné poznať vyššie uvedené vlastnosti, pretože takmer všetky problémy a príklady súvisiace s logaritmami sú riešené na ich základe. Zvyšok exotických vlastností možno odvodiť matematickými manipuláciami s týmito vzorcami

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Pri výpočte vzorca pre súčet a rozdiel logaritmov (3.4) narazíte pomerne často. Ostatné sú trochu zložité, ale v mnohých úlohách sú nevyhnutné na zjednodušenie zložitých výrazov a výpočet ich hodnôt.

Bežné prípady logaritmov

Niektoré z bežných logaritmov sú tie, v ktorých je základ dokonca desať, exponenciálny alebo dva.
Logaritmus so základom desať sa zvyčajne nazýva desiatkový logaritmus a jednoducho sa označuje lg(x).

Z nahrávky je zrejmé, že základy nie sú napísané v nahrávke. Napríklad

Prirodzený logaritmus je logaritmus, ktorého základom je exponent (označený ln(x)).

Exponent je 2,718281828…. Aby ste si zapamätali exponent, môžete si preštudovať pravidlo: exponent sa rovná 2,7 a dvojnásobku roku narodenia Leva Nikolajeviča Tolstého. Keď poznáte toto pravidlo, budete poznať presnú hodnotu exponenta aj dátum narodenia Leva Tolstého.

A ďalší dôležitý logaritmus k základu dva je označený

Derivácia logaritmu funkcie sa rovná jednej delenej premennou

Integrálny alebo primitívny logaritmus je určený vzťahom

Daný materiál vám postačí na riešenie širokej triedy problémov súvisiacich s logaritmami a logaritmami. Aby ste látku pochopili, uvediem len niekoľko bežných príkladov zo školských osnov a univerzít.

Príklady pre logaritmy

Logaritmické výrazy

Príklad 1
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Pomocou vlastností 3.5 vypočítame

2.
Vlastnosťou rozdielu logaritmov máme

3.
Pomocou vlastností 3.5 nájdeme

4. Kde .

Zdanlivo zložitý výraz je zjednodušený na formu pomocou množstva pravidiel

Nájdenie hodnôt logaritmu

Príklad 2. Nájdite x ak

Riešenie. Pre výpočet použijeme na posledný termín 5 a 13 nehnuteľností

Dáme to na záznam a smútime

Keďže základy sú rovnaké, dávame rovnítko medzi výrazy

Logaritmy. Prvá úroveň.

Nech je uvedená hodnota logaritmov

Vypočítajte log(x), ak

Riešenie: Zoberme si logaritmus premennej na zápis logaritmu cez súčet jej členov

Toto je len začiatok nášho oboznámenia sa s logaritmami a ich vlastnosťami. Precvičte si výpočty, obohaťte svoje praktické zručnosti – vedomosti, ktoré získate, budete čoskoro potrebovať na riešenie logaritmických rovníc. Po preštudovaní základných metód riešenia takýchto rovníc rozšírime vaše vedomosti o ďalšiu rovnako dôležitú tému - logaritmické nerovnosti...

Základné vlastnosti logaritmov

Logaritmy, ako všetky čísla, sa dajú sčítať, odčítať a transformovať všetkými spôsobmi. Ale keďže logaritmy nie sú úplne obyčajné čísla, existujú tu pravidlá, ktoré sa nazývajú hlavné vlastnosti.

Tieto pravidlá určite musíte poznať – bez nich sa nedá vyriešiť ani jeden vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.

Sčítanie a odčítanie logaritmov

Zvážte dva logaritmy s rovnakými základňami: logax a logay. Potom ich možno sčítať a odčítať a:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel sa rovná logaritmu kvocientu. Poznámka: tu je kľúčový bod rovnaké dôvody. Ak sú dôvody iné, tieto pravidlá nefungujú!

Tieto vzorce vám pomôžu vypočítať logaritmický výraz, aj keď sa neberú do úvahy jeho jednotlivé časti (pozri lekciu „Čo je to logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log6 4 + log6 9.

Keďže logaritmy majú rovnaké základy, použijeme súčtový vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log2 48 − log2 3.

Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log3 135 − log3 5.

Základy sú opäť rovnaké, takže máme:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré nie sú vypočítané samostatne. Ale po transformáciách sa získajú úplne normálne čísla. Mnohé testy sú založené na tejto skutočnosti. Áno, na Jednotnej štátnej skúške sa so všetkou vážnosťou (niekedy prakticky bez zmien) ponúkajú výrazy podobné testom.

Extrahovanie exponentu z logaritmu

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme. Čo ak je základom alebo argumentom logaritmu mocnina? Potom môže byť exponent tohto stupňa vyňatý zo znamienka logaritmu podľa nasledujúcich pravidiel:

Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje prvé dve. Je však lepšie si to zapamätať - v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.

Samozrejme, všetky tieto pravidlá dávajú zmysel, ak je dodržaná ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ešte jedna vec: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak , t.j. Čísla pred znamienkom logaritmu môžete zadať do samotného logaritmu.

Ako riešiť logaritmy

To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log7 496.

Zbavme sa stupňa v argumente pomocou prvého vzorca:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Úloha. Nájdite význam výrazu:

Všimnite si, že menovateľ obsahuje logaritmus, ktorého základom a argumentom sú presné mocniny: 16 = 24; 49 = 72. Máme:

Myslím, že posledný príklad si vyžaduje určité objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chvíle pracujeme len s menovateľom. Základ a argument tam stojaceho logaritmu sme prezentovali vo forme mocnin a vyňali exponenty - dostali sme „trojposchodový“ zlomok.

Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ aj menovateľ obsahujú rovnaké číslo: log2 7. Keďže log2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa aj stalo. Výsledkom bola odpoveď: 2.

Prechod na nový základ

Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Čo ak sú dôvody iné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?

Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na nový základ. Sformulujme ich vo forme vety:

Nech je daný logaritmus logax. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:

Konkrétne, ak nastavíme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorca vyplýva, že základ a argument logaritmu možno zameniť, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus sa objaví v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka nachádzajú v bežných číselných výrazoch. Ich vhodnosť je možné vyhodnotiť len pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc.

Sú však problémy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do novej nadácie. Pozrime sa na pár z nich:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log5 16 log2 25.

Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov obsahujú presné mocniny. Vyberme ukazovatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Teraz „otočme“ druhý logaritmus:

Keďže sa súčin pri preskupovaní faktorov nemení, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme sa zaoberali logaritmami.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log9 100 lg 3.

Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:

Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:

Základná logaritmická identita

V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danému základu. V tomto prípade nám pomôžu nasledujúce vzorce:

V prvom prípade sa číslo n stane exponentom v argumente. Číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len logaritmická hodnota.

Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. Tak sa to volá: .

Čo sa vlastne stane, ak sa číslo b zvýši na takú mocninu, že číslo b s touto mocninou dáva číslo a? Správne: výsledkom je rovnaké číslo a. Ešte raz si pozorne prečítajte tento odsek – veľa ľudí sa na ňom zasekne.

Rovnako ako vzorce na prechod na novú základňu, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením.

Úloha. Nájdite význam výrazu:

Všimnite si, že log25 64 = log5 8 - jednoducho vzal druhú mocninu zo základu a argumentu logaritmu. Ak vezmeme do úvahy pravidlá pre násobenie právomocí s rovnakým základom, dostaneme:

Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha z Jednotnej štátnej skúšky :)

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na záver uvediem dve identity, ktoré možno len ťažko nazvať vlastnosťami – sú skôr dôsledkom definície logaritmu. Neustále sa objavujú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.

1. logaa = 1 je. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus k ľubovoľnej základni a tejto samotnej základne sa rovná jednej.
2. loga 1 = 0 je. Základom a môže byť čokoľvek, ale ak argument obsahuje jednotku, logaritmus sa rovná nule! Pretože a0 = 1 je priamym dôsledkom definície.

To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov v Ruskej federácii – poskytnúť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je nevyhnutné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Logaritmus kladné číslo N k základni(b> 0, b 1 ) nazývaný exponent X , ku ktorému je potrebné postaviť b získať N .

Logaritmický zápis:

Tento záznam je ekvivalentný nasledujúcemu:b x = N .

PRÍKLADY: denník 3 81 = 4, pretože 3 4 = 81;

Log 1/3 27 = – 3, pretože (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

Vyššie uvedená definícia logaritmu môže byť napísaná ako identita:

Základné vlastnosti logaritmov.

1) log b= 1 , pretože b 1 = b.

b

2) denník 1 = 0 , pretože b 0 = 1 .

b

3) Logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov faktorov:

log( ab) = log a+ denník b.

4) Logaritmus podielu sa rovná rozdielu medzi logaritmami dividendy a deliteľa:

log( a/b) = log a–log b.

5) Logaritmus mocniny sa rovná súčinu exponentu a logaritmu jeho základu:

log (b k ) = k log b.

Dôsledkom tejto vlastnosti je nasledovné:logaritmus koreňa rovná sa logaritmu radikálneho čísla deleného mocninou odmocniny:

6) Ak je základom logaritmu stupeň, potom hodnota prevrátená hodnota exponentu môže byť vyňatá zo znaku log rým:

Posledné dve vlastnosti je možné spojiť do jednej:

7) Vzorec prechodového modulu (tj. e . prechod z jednej základnelogaritmus na inú základňu):

V špeciálnom prípade, keď N=a máme:

Desatinný logaritmus volal základný logaritmus 10. Je určený lg, t.j. denník 10 N = lg N. Logaritmy čísel 10, 100, 1000, ... p čísla sú 1, 2, 3, ...tie. mať veľa pozitívnych

jednotiek, koľko núl je v logaritmickom čísle po jednotke. Logaritmy čísel 0,1, 0,01, 0,001, ... p avna, respektíve –1, –2, –3, …, t.j. mať toľko záporných jednotiek, koľko je núl pred jednotkou v logaritmickom čísle ( počítanie a nula celých čísel). Logaritmy ostatné čísla majú nazývanú zlomkovú časť mantisa. Celýčasť logaritmu sa nazýva charakteristický. Na praktické použitieNajpohodlnejšie sú desiatkové logaritmy.

Prirodzený logaritmus volal základný logaritmus e. Je určený ln, t.j. log eN = ln N. číslo eje iracionálne, topribližná hodnota 2,718281828. to je hranica, ku ktorej číslo smeruje(1 + 1 / n) n s neobmedzeným nárastomn(cm. prvá úžasná limitka ).
Akokoľvek sa to môže zdať zvláštne, prirodzené logaritmy sa ukázali ako veľmi vhodné pri vykonávaní rôznych typov operácií súvisiacich s analýzou funkcií.Výpočet logaritmov so základňouevykonaná oveľa rýchlejšie ako z akéhokoľvek iného dôvodu.