Encyklopédia matematiky. Matematická encyklopédia Axiómy a metódy dokazovania

Zdravie

Matematická encyklopédia - referenčná publikácia o všetkých odvetviach matematiky. Encyklopédia je založená na prehľadových článkoch venovaných najdôležitejším oblastiam matematiky. Hlavnou požiadavkou na články tohto typu je možná úplnosť prehľadu o súčasnom stave teórie s maximálnou dostupnosťou prezentácie; Tieto články sú všeobecne prístupné starším študentom matematiky, postgraduálnym študentom a odborníkom v príbuzných oblastiach matematiky av určitých prípadoch aj odborníkom v iných oblastiach vedomostí, ktorí vo svojej práci využívajú matematické metódy, inžinierom a učiteľom matematiky. Ďalej sú poskytnuté stredne veľké články o jednotlivých špecifických problémoch a metódach matematiky; Tieto články sú určené pre užšiu čitateľskú obec, a preto môžu byť horšie dostupné. Nakoniec ďalším typom článkov sú stručné odkazy a definície. Na konci posledného zväzku Encyklopédie bude vecný register, ktorý bude obsahovať nielen názvy všetkých článkov, ale aj mnohé pojmy, ktorých definície budú uvedené v článkoch prvých dvoch typov. ako najdôležitejšie výsledky uvedené v článkoch. Väčšina článkov Encyklopédie je doplnená bibliografiou s poradovými číslami každého titulu, čo umožňuje ich citovanie v textoch článkov. Na konci článkov (spravidla) je uvedený autor alebo zdroj, ak bol článok už publikovaný (predovšetkým ide o články vo Veľkej sovietskej encyklopédii). Mená zahraničných (okrem starovekých) vedcov uvedených v článkoch sú doplnené latinským pravopisom (ak neexistuje odkaz na zoznam odkazov).

Stiahnite si a prečítajte si Matematickú encyklopédiu, zväzok 3, Vinogradov I.M., 1982

Stiahnite si a prečítajte si Matematickú encyklopédiu, zväzok 2, Vinogradov I.M., 1979

Stiahnite si a prečítajte si Matematickú encyklopédiu, zväzok 1, Vinogradov I.M., 1977

Algebra bola pôvodne oblasťou matematiky, ktorá sa zaoberala riešením rovníc. Na rozdiel od geometrie axiomatická konštrukcia algebry existovala až v polovici 19. storočia, keď sa objavil zásadne nový pohľad na predmet a povahu algebry. Výskum sa začal čoraz viac zameriavať na štúdium takzvaných algebraických štruktúr. Malo to dve výhody. Na jednej strane sa objasnili oblasti, pre ktoré platia jednotlivé vety, na druhej strane sa umožnilo použiť rovnaké dôkazy v úplne iných oblastiach. Toto rozdelenie algebry trvalo až do polovice 20. storočia a odrazilo sa vo výskyte dvoch názvov: „klasická algebra“ a „moderná algebra“. Ten je lepšie charakterizovaný iným názvom: „abstraktná algebra“. Faktom je, že tento úsek – po prvý raz v matematike – sa vyznačoval úplnou abstrakciou.

Stiahnite si a prečítajte si Malú matematickú encyklopédiu, Fried E., Pastor I., Reiman I., Reves P., Ruzsa I., 1976

„Pravdepodobnosť a matematická štatistika“ je referenčná publikácia o teórii pravdepodobnosti, matematickej štatistike a ich aplikáciách v rôznych oblastiach vedy a techniky. Encyklopédia má dve časti: hlavná obsahuje prehľadové články, články venované jednotlivým špecifickým problémom a metódam, stručné odkazy s definíciami základných pojmov, najdôležitejšie vety a vzorce. Značný priestor je venovaný aplikovanej problematike - teória informácie, teória radenia, teória spoľahlivosti, plánovanie experimentov a príbuzné oblasti - fyzika, geofyzika, genetika, demografia a jednotlivé odvetvia techniky. Väčšina článkov je doplnená bibliografiou najdôležitejších prác s touto problematikou. Názvy článkov sú uvedené aj v anglickom preklade. Druhá časť – „Antológia o teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike“ obsahuje články napísané pre domáce encyklopédie minulosti, ako aj encyklopedické materiály predtým publikované v iných dielach. Encyklopédiu sprevádza rozsiahly zoznam časopisov, periodík a priebežných publikácií pokrývajúcich témy z teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky.
Materiál obsiahnutý v Encyklopédii je potrebný pre vysokoškolákov, postgraduálnych študentov a výskumníkov v oblasti matematiky a iných vied, ktorí vo svojom výskume a praktickej práci využívajú pravdepodobnostné metódy.

Obsah článku

MATEMATIKA. Matematika je zvyčajne definovaná zoznamom názvov niektorých jej tradičných odvetví. V prvom rade je to aritmetika, ktorá sa zaoberá štúdiom čísel, vzťahmi medzi nimi a pravidlami pre prevádzkové čísla. Fakty aritmetiky sú náchylné na rôzne špecifické interpretácie; napríklad vzťah 2 + 3 = 4 + 1 zodpovedá tvrdeniu, že dve a tri knihy tvoria toľko kníh ako štyri a jedna. Akýkoľvek vzťah ako 2 + 3 = 4 + 1, t.j. vzťah medzi čisto matematickými objektmi bez odkazu na akúkoľvek interpretáciu z fyzického sveta sa nazýva abstraktný. Abstraktná povaha matematiky umožňuje jej použitie na riešenie širokej škály problémov. Napríklad algebra, ktorá sa zaoberá operáciami s číslami, dokáže vyriešiť problémy, ktoré presahujú rámec aritmetiky. Špecifickejším odvetvím matematiky je geometria, ktorej hlavnou úlohou je štúdium veľkostí a tvarov predmetov. Kombinácia algebraických metód s geometrickými vedie na jednej strane k trigonometrii (pôvodne sa venovala štúdiu geometrických trojuholníkov a dnes pokrýva oveľa širšiu problematiku) a na druhej strane k analytickej geometrii, v ktorej geometrické telesá a útvary sa študujú algebraickými metódami. Existuje niekoľko odvetví vyššej algebry a geometrie, ktoré majú vyšší stupeň abstrakcie a nezaoberajú sa štúdiom obyčajných čísel a obyčajných geometrických útvarov; najabstraktnejšia z geometrických disciplín sa nazýva topológia.

Matematická analýza sa zaoberá štúdiom veličín, ktoré sa menia v priestore alebo čase, a je založená na dvoch základných pojmoch – funkcii a limite, ktoré sa nenachádzajú v elementárnejších odvetviach matematiky. Spočiatku matematická analýza pozostávala z diferenciálneho a integrálneho počtu, ale teraz zahŕňa ďalšie časti.

Existujú dve hlavné odvetvia matematiky – čistá matematika, ktorá kladie dôraz na deduktívne uvažovanie, a aplikovaná matematika. Termín „aplikovaná matematika“ sa niekedy vzťahuje na tie odvetvia matematiky, ktoré boli vytvorené špeciálne na uspokojenie potrieb a požiadaviek vedy, a niekedy na tie časti rôznych vied (fyzika, ekonómia atď.), ktoré používajú matematiku ako prostriedok riešenia. ich úlohy. Mnoho bežných mylných predstáv o matematike vzniká zo zamieňania týchto dvoch interpretácií „aplikovanej matematiky“. Aritmetika môže byť príkladom aplikovanej matematiky v prvom zmysle a účtovníctva v druhom zmysle.

Na rozdiel od všeobecného presvedčenia, matematika stále rýchlo napreduje. Časopis Mathematical Review publikuje cca. 8 000 krátkych súhrnov článkov obsahujúcich najnovšie výsledky - nové matematické fakty, nové dôkazy starých faktov a dokonca aj informácie o úplne nových oblastiach matematiky. Súčasným trendom vo vzdelávaní matematiky je oboznamovať žiakov s modernými, abstraktnejšími matematickými myšlienkami skôr vo vyučovaní matematiky. pozri tiež HISTÓRIA MATEMATIKY. Matematika je jedným zo základných kameňov civilizácie, ale len veľmi málo ľudí má predstavu o súčasnom stave vecí v tejto vede.

Matematika prešla za posledných sto rokov obrovskými zmenami, a to ako v predmete, tak aj v metódach výskumu. V tomto článku sa pokúsime poskytnúť všeobecnú predstavu o hlavných etapách vývoja modernej matematiky, ktorých hlavné výsledky možno považovať na jednej strane za zvýšenie rozdielu medzi čistou a aplikovanou matematikou a na druhej strane úplné prehodnotenie tradičných oblastí matematiky.

VÝVOJ MATEMATICKEJ METÓDY

Zrod matematiky.

Okolo roku 2000 pred Kr bolo zaznamenané, že v trojuholníku so stranami 3, 4 a 5 jednotiek dĺžky je jeden z uhlov 90° (toto pozorovanie uľahčilo zostrojenie pravého uhla pre praktické potreby). Všimli ste si potom pomer 5 2 = 3 2 + 4 2? V tejto súvislosti nemáme žiadne informácie. O niekoľko storočí neskôr bolo objavené všeobecné pravidlo: v akomkoľvek trojuholníku ABC s pravým uhlom na vrchole A a strany b = AC A c = AB, medzi ktorými je tento uhol uzavretý, a opačnú stranu a = B.C. pomer platí a 2 = b 2 + c 2. Môžeme povedať, že veda začína, keď sa množstvo jednotlivých pozorovaní vysvetľuje jedným všeobecným zákonom; preto možno objav „Pytagorovej vety“ považovať za jeden z prvých známych príkladov skutočne vedeckého úspechu.

Ale ešte dôležitejšie pre vedu všeobecne a pre matematiku zvlášť je to, že popri formulácii všeobecného zákona sa objavujú pokusy ho dokázať, t.j. ukazujú, že to nevyhnutne vyplýva z iných geometrických vlastností. Jeden z východných „dôkazov“ je obzvlášť jasný vo svojej jednoduchosti: štyri trojuholníky rovnaké ako tento sú vpísané do štvorca BCDE ako je znázornené na výkrese. Štvorcová plocha a 2 sa ukáže byť rozdelený na štyri rovnaké trojuholníky s celkovou plochou 2 bc a štvorec AFGH oblasť ( b – c) 2. teda a 2 = (b – c) 2 + 2bc = (b 2 + c 2 – 2bc) + 2bc = b 2 + c 2. Je poučné ísť ešte o krok ďalej a presnejšie zistiť, aké „predchádzajúce“ vlastnosti majú byť známe. Najzrejmejším faktom je, že od trojuholníkov BAC A BEF presne, bez medzier alebo presahov, „nasadené“ po stranách B.A. A B.F., to znamená, že dva vrcholové uhly B A S v trojuholníku ABC spolu zvierajú uhol 90° a preto sa súčet všetkých troch jeho uhlov rovná 90° + 90° = 180°. Vyššie uvedený „dôkaz“ tiež používa vzorec ( bc/2) pre oblasť trojuholníka ABC s uhlom 90° na vrchole A. V skutočnosti boli použité aj iné predpoklady, ale to, čo bolo povedané, stačí na to, aby sme jasne videli základný mechanizmus matematického dôkazu - deduktívne uvažovanie, ktoré umožňuje pomocou čisto logických argumentov (na základe správne pripraveného materiálu, v našom príklade - delením štvorca) odvodiť zo známych výsledkov nové vlastnosti spravidla nevyplývajú priamo z dostupných údajov.

Axiómy a metódy dokazovania.

Jednou zo základných čŕt matematickej metódy je proces vytvárania, pomocou starostlivo zostavených, čisto logických argumentov, reťazca výrokov, v ktorom je každý nasledujúci odkaz spojený s predchádzajúcimi. Prvá pomerne zrejmá úvaha je, že v každom reťazci musí byť prvý článok. Táto okolnosť sa Grékom stala zrejmou, keď začali v 7. storočí systematizovať súbor matematických argumentov. BC. Na realizáciu tohto plánu potrebovali Gréci cca. Pred 200 rokmi a zachované dokumenty poskytujú len približnú predstavu o tom, ako presne fungovali. Presné informácie máme len o konečnom výsledku výskumu – slávnom Začiatky Euklides (asi 300 pred Kr.). Euklides začína vymenovaním počiatočných pozícií, z ktorých sa čisto logicky odvíjajú všetky ostatné. Tieto ustanovenia sa nazývajú axiómy alebo postuláty (výrazy sú prakticky zameniteľné); vyjadrujú buď veľmi všeobecné a trochu vágne vlastnosti objektov akéhokoľvek druhu, napríklad „celok je väčší ako časť“, alebo niektoré špecifické matematické vlastnosti, napríklad, že pre akékoľvek dva body existuje jedinečná priamka, ktorá ich spája. . Nemáme žiadne informácie o tom, či Gréci pripisovali „pravde“ axióm nejaký hlbší význam alebo význam, hoci existujú náznaky, že Gréci o nich nejaký čas diskutovali predtým, ako prijali určité axiómy. V Euklidovi a jeho nasledovníkoch sú axiómy prezentované len ako východiská pre konštrukciu matematiky, bez akéhokoľvek komentára k ich podstate.

Pokiaľ ide o metódy dôkazu, spravidla sa scvrkli na priame použitie predtým osvedčených teorémov. Niekedy sa však logika uvažovania ukázala ako zložitejšia. Spomenieme tu Euklidovu obľúbenú metódu, ktorá sa stala súčasťou každodennej praxe matematiky – nepriamy dôkaz alebo dôkaz protirečením. Ako elementárny príklad dôkazu protirečenia si ukážeme, že šachovnicu, z ktorej sú vyrezané dve rohové polia, ktoré sa nachádzajú na opačných koncoch uhlopriečky, nemožno obložiť kockou domina, z ktorých každé sa rovná dvom poliam. (Predpokladá sa, že každé pole šachovnice by malo byť prekryté len raz.) Predpokladajme, že platí opačné („opačné“) tvrdenie, t.j. že doska môže byť pokrytá dominou. Každá dlaždica pokrýva jeden čierny a jeden biely štvorec, takže bez ohľadu na to, ako sú kocky domina usporiadané, pokrývajú rovnaký počet čiernych a bielych štvorcov. Pretože sú však odstránené dve rohové polia, šachovnica (ktorá mala pôvodne toľko čiernych polí ako biela) má o dve polia jednej farby viac ako polia druhej farby. To znamená, že náš počiatočný predpoklad nemôže byť pravdivý, pretože vedie k rozporu. A keďže tvrdenia, ktoré si navzájom protirečia, nemôžu byť zároveň nepravdivé (ak je jeden z nich nepravdivý, potom je pravdou opak), náš počiatočný predpoklad musí byť pravdivý, pretože predpoklad, ktorý mu odporuje, je nepravdivý; šachovnicu s dvomi šikmo vyrezanými rohovými políčkami preto nemožno obložiť dominou. Aby sme teda dokázali určité tvrdenie, môžeme predpokladať, že je nepravdivé, a vyvodiť z tohto predpokladu rozpor s nejakým iným tvrdením, ktorého pravdivosť je známa.

Vynikajúcim príkladom dôkazu protirečením, ktorý sa stal jedným z míľnikov vo vývoji starogréckej matematiky, je dôkaz, ktorý nie je racionálnym číslom, t.j. nereprezentovateľné ako zlomok p/q, Kde p A q- celé čísla. Ak , potom 2 = p 2 /q 2, odkiaľ p 2 = 2q 2. Predpokladajme, že existujú dve celé čísla p A q, pre ktoré p 2 = 2q 2. Inými slovami, predpokladáme, že existuje celé číslo, ktorého druhá mocnina je dvojnásobkom druhej mocniny iného celého čísla. Ak niektoré celé čísla spĺňajú túto podmienku, potom jedno z nich musí byť menšie ako všetky ostatné. Zamerajme sa na najmenšie z týchto čísel. Nech je to číslo p. Od 2 q 2 je párne číslo a p 2 = 2q 2, potom číslo p 2 musí byť párne. Pretože druhé mocniny všetkých nepárnych čísel sú nepárne, a štvorec p 2 je párne, čo znamená samotné číslo p musí byť rovnomerné. Inými slovami, číslo p dvojnásobok veľkosti nejakého celého čísla r. Pretože p = 2r A p 2 = 2q 2, máme: (2 r) 2 = 4r 2 = 2q 2 a q 2 = 2r 2. Posledná rovnosť má rovnakú formu ako rovnosť p 2 = 2q 2, a môžeme, opakujúc rovnakú úvahu, ukázať, že číslo q je párne a že existuje také celé číslo s, Čo q = 2s. Ale potom q 2 = (2s) 2 = 4s 2 a od r q 2 = 2r 2 sme dospeli k záveru, že 4 s 2 = 2r 2 alebo r 2 = 2s 2. Získame tak druhé celé číslo, ktoré spĺňa podmienku, že jeho druhá mocnina je dvojnásobkom druhej mocniny druhého celého čísla. Ale potom p nemôže byť najmenšie takéto číslo (od r = p/2), aj keď sme pôvodne predpokladali, že ide o najmenšie z takýchto čísel. Preto je náš počiatočný predpoklad nepravdivý, pretože vedie k rozporu, a preto neexistujú žiadne takéto celé čísla p A q, pre ktoré p 2 = 2q 2 (t. j. taký, že ). To znamená, že číslo nemôže byť racionálne.

Od Euklida do začiatku 19. storočia.

V tomto období sa matematika výrazne zmenila v dôsledku troch inovácií.

(1) V procese rozvoja algebry bola vynájdená metóda symbolického zápisu, ktorá umožnila v skrátenej forme reprezentovať čoraz zložitejšie vzťahy medzi veličinami. Ako príklad nepríjemností, ktoré by vznikli, keby neexistovalo takéto „kurzívne písanie“, skúsme slovami vyjadriť vzťah ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2: „Plocha štvorca so stranou rovnajúcou sa súčtu strán dvoch daných štvorcov sa rovná súčtu ich plôch plus dvojnásobok plochy obdĺžnika, ktorého strany sa rovnajú stranám dané štvorce.“

(2) Tvorba v prvej polovici 17. storočia. analytická geometria, ktorá umožnila zredukovať akýkoľvek problém klasickej geometrie na nejaký algebraický problém.

(3) Vznik a vývoj v rokoch 1600 až 1800 infinitezimálneho počtu, ktorý umožnil ľahko a systematicky riešiť stovky problémov súvisiacich s pojmami limita a spojitosť, z ktorých len veľmi málo bolo vyriešených veľmi ťažko. starogréckymi matematikmi. O týchto odvetviach matematiky sa podrobnejšie hovorí v článkoch ALGEBRA; ANALYTICKÁ GEOMETRIA; MATEMATICKÁ ANALÝZA ; PREHĽAD GEOMETRIE.

Od 17. stor. Otázka, ktorá bola doteraz neriešiteľná, sa postupne vyjasňuje. čo je matematika? Pred rokom 1800 bola odpoveď celkom jednoduchá. V tom čase neexistovali jasné hranice medzi rôznymi vedami, matematika bola súčasťou „prírodnej filozofie“ - systematického štúdia prírody pomocou metód navrhnutých veľkými reformátormi renesancie a začiatku 17. storočia. – Galileo (1564–1642), F. Bacon (1561–1626) a R. Descartes (1596–1650). Verilo sa, že matematici majú svoj vlastný študijný odbor – čísla a geometrické objekty – a že matematici nepoužívajú experimentálnu metódu. Newton a jeho nasledovníci však študovali mechaniku a astronómiu pomocou axiomatickej metódy, podobne ako geometriu prezentoval Euklides. Všeobecnejšie sa uznávalo, že každá veda, v ktorej možno výsledky experimentu reprezentovať pomocou čísel alebo číselných sústav, sa stáva oblasťou aplikácie matematiky (vo fyzike sa táto myšlienka presadila až v 19. storočí).

Oblasti experimentálnej vedy, ktoré prešli matematickým spracovaním, sa často nazývajú „aplikovaná matematika“; Toto je veľmi nešťastné pomenovanie, keďže ani podľa klasických, ani podľa moderných štandardov v týchto aplikáciách neexistujú (v užšom zmysle) skutočne matematické argumenty, keďže predmetom ich štúdia sú nematematické objekty. Akonáhle sú experimentálne údaje preložené do jazyka čísel alebo rovníc (takýto „preklad“ si často vyžaduje veľkú vynaliezavosť zo strany „aplikovaného“ matematika), je možné široko aplikovať matematické vety; výsledok sa potom spätne preloží a porovná s pozorovaniami. Skutočnosť, že pojem „matematika“ sa používa na proces tohto druhu, je jedným zo zdrojov nekonečných nedorozumení. V „klasických“ časoch, o ktorých teraz hovoríme, tento druh nedorozumenia neexistoval, pretože tí istí ľudia boli „aplikovaní“ aj „čistí“ matematici, ktorí súčasne pracovali na problémoch matematickej analýzy alebo teórie čísel a problémoch dynamika alebo optika. Zvýšená špecializácia a tendencia oddeľovať „čistú“ a „aplikovanú“ matematiku však výrazne oslabila predtým existujúcu tradíciu univerzality a vedci, ktorí podobne ako J. von Neumann (1903–1957) mohli viesť aktívnu vedeckú prácu v oboch aplikované a v čistej matematike sa stali skôr výnimkou ako pravidlom.

Akú povahu majú matematické objekty – čísla, body, čiary, uhly, plochy atď., ktorých existenciu sme považovali za samozrejmosť? Čo znamená pojem „pravda“ vo vzťahu k takýmto objektom? Na tieto otázky boli v klasickom období dané celkom jednoznačné odpovede. Samozrejme, vedci tej doby jasne pochopili, že vo svete našich pocitov neexistujú veci ako „nekonečne predĺžená priamka“ alebo „bezrozmerný bod“ Euklida, rovnako ako neexistujú „čisté kovy“, „monochromatické“. svetlo“, „tepelne izolované systémy“ atď., s ktorými experimentátori operujú vo svojich úvahách. Všetky tieto pojmy sú „platónske idey“, t.j. akési generatívne modely empirických konceptov, aj keď radikálne odlišného charakteru. Napriek tomu sa mlčky predpokladalo, že fyzické „obrazy“ myšlienok môžu byť tak blízko, ako si želajú, k myšlienkam samotným. Do tej miery, do akej sa dá vôbec niečo povedať o blízkosti predmetov k myšlienkam, o „ideách“ sa hovorí, že sú takpovediac „obmedzujúcimi prípadmi“ fyzických objektov. Z tohto hľadiska Euklidove axiómy a z nich odvodené vety vyjadrujú vlastnosti „ideálnych“ objektov, ktorým musia zodpovedať predvídateľné experimentálne fakty. Napríklad meranie optickými metódami uhlov trojuholníka tvoreného tromi bodmi v priestore by v „ideálnom prípade“ malo dať súčet rovný 180°. Inými slovami, axiómy sú umiestnené na rovnakej úrovni ako fyzikálne zákony, a preto ich „pravda“ je vnímaná rovnako ako pravda fyzikálnych zákonov; tie. logické dôsledky axióm sú predmetom overenia porovnaním s experimentálnymi údajmi. Samozrejme, zhodu možno dosiahnuť len v medziach chyby spojenej s „nedokonalosťou“ meracieho prístroja a „nedokonalosťou“ meraného objektu. Vždy sa však predpokladá, že ak sú zákony „pravdivé“, potom zlepšenia v meracích procesoch môžu v zásade spôsobiť, že chyba merania bude taká malá, ako si želáte.

Počas celého 18. storočia. bolo stále viac dôkazov, že všetky dôsledky získané zo základných axióm, najmä v astronómii a mechanike, sú v súlade s experimentálnymi údajmi. A keďže tieto dôsledky boli získané pomocou matematického aparátu, ktorý v tom čase existoval, dosiahnuté úspechy prispeli k posilneniu názoru na pravdivosť Euklidových axióm, ktoré, ako povedal Platón, sú „každému jasné“ a nie sú predmetom diskusie.

Pochybnosti a nové nádeje.

Neeuklidovská geometria.

Spomedzi Euklidovych postulátov bol jeden taký nezrejmý, že ho aj prví študenti veľkého matematika považovali za slabé miesto v systéme. Začal. Predmetná axióma hovorí, že cez bod ležiaci mimo danej priamky možno nakresliť len jednu priamku rovnobežnú s danou priamkou. Väčšina geometrov verila, že paralelná axióma môže byť dokázaná inými axiómami a že Euklides formuloval paralelné tvrdenie ako postulát jednoducho preto, že nebol schopný prísť s takýmto dôkazom. Ale aj keď sa najlepší matematici pokúsili vyriešiť problém paralel, žiadnemu z nich sa nepodarilo prekonať Euklida. Napokon v druhej polovici 18. stor. Boli urobené pokusy dokázať Euklidov postulát paralel protirečením. Bolo navrhnuté, že paralelná axióma je nepravdivá. A priori sa Euklidov postulát môže ukázať ako nepravdivý v dvoch prípadoch: ak nie je možné nakresliť jedinú rovnobežnú priamku cez bod mimo danej priamky; alebo ak sa cez ňu dá pretiahnuť niekoľko paralelných. Ukázalo sa, že prvú apriórnu možnosť iné axiómy vylučujú. Keď matematici prijali novú axiómu namiesto tradičnej axiómy o rovnobežkách (že cez bod mimo danej priamky je možné nakresliť niekoľko priamok rovnobežných s danou), pokúsili sa z nej matematici odvodiť tvrdenie, ktoré bolo v rozpore s inými axiómami, ale nepodarilo sa im to: nie Akokoľvek sa snažili vyvodiť dôsledky z novej „antieuklidovskej“ alebo „neeuklidovskej“ axiómy, rozpor sa nikdy neobjavil. Napokon, nezávisle od seba, N. I. Lobačevskij (1793 – 1856) a J. Bolyai (1802 – 1860) si uvedomili, že Euklidov postulát o paralelách je nedokázateľný, alebo, inými slovami, v „neeuklidovskej geometrii“ sa rozpor neobjaví. “

S príchodom neeuklidovskej geometrie sa okamžite objavilo niekoľko filozofických problémov. Keďže nárok na apriórnu nevyhnutnosť axióm zmizol, jediný spôsob, ako otestovať ich „pravdivosť“, bol experiment. Ale ako neskôr poznamenal A. Poincaré (1854–1912), v popise akéhokoľvek javu je skrytých toľko fyzikálnych predpokladov, že ani jeden experiment nemôže poskytnúť presvedčivý dôkaz o pravdivosti alebo nepravdivosti matematickej axiómy. Navyše, aj keď predpokladáme, že náš svet je „neeuklidovský“, vyplýva z toho, že celá euklidovská geometria je falošná? Pokiaľ je známe, žiadny matematik sa takouto hypotézou nikdy vážne nezaoberal. Intuícia naznačovala, že euklidovská aj neeuklidovská geometria sú príkladmi plnohodnotnej matematiky.

Matematické „monštrá“.

K rovnakým záverom sa nečakane dospelo z úplne iného smeru – boli objavené predmety, ktoré šokovali matematikov 19. storočia. šokovaný a nazvaný „matematické monštrá“. Tento objav priamo súvisí s veľmi jemnými problémami matematickej analýzy, ktoré sa objavili až v polovici 19. storočia. Ťažkosti nastali pri pokuse nájsť presnú matematickú analógiu k experimentálnej koncepcii krivky. To, čo bolo podstatou pojmu „kontinuálny pohyb“ (napríklad bod kresliaceho pera pohybujúceho sa po hárku papiera), podliehalo presnej matematickej definícii a tento cieľ bol dosiahnutý, keď pojem kontinuity nadobudol prísny matematický význam ( cm. Tiež KRIVKA). Intuitívne sa zdalo, že „krivka“ v každom z jej bodov má smer, t.j. vo všeobecnom prípade sa krivka v okolí každého z jej bodov správa takmer rovnako ako priamka. (Na druhej strane nie je ťažké si predstaviť, že krivka má konečný počet rohových bodov, „lomov“ ako mnohouholník.) Táto požiadavka by mohla byť formulovaná matematicky, konkrétne existencia dotyčnice ku krivke bola predpokladal a do polovice 19. stor. verilo sa, že „krivka“ má tangens takmer vo všetkých svojich bodoch, snáď s výnimkou niektorých „špeciálnych“ bodov. Preto objav „kriviek“, ktoré v žiadnom bode nemali dotyčnicu, spôsobil skutočný škandál ( cm. Tiež TEÓRIA FUNKCIE). (Čitateľ oboznámený s trigonometriou a analytickou geometriou môže ľahko overiť, že krivka daná rovnicou r = X hriech (1/ X), nemá v počiatku tangens, ale definovať krivku, ktorá nemá tangens v žiadnom zo svojich bodov, je oveľa zložitejšie.)

O niečo neskôr sa získal oveľa „patologickejší“ výsledok: bolo možné skonštruovať príklad krivky, ktorá úplne vypĺňa štvorec. Odvtedy boli vynájdené stovky takýchto „príšer“, v rozpore so „zdravým rozumom“. Treba zdôrazniť, že existencia takýchto nezvyčajných matematických objektov vyplýva zo základných axióm tak striktne a logicky bezchybne ako existencia trojuholníka alebo elipsy. Pretože matematické „monštrá“ nemôžu zodpovedať žiadnemu experimentálnemu objektu a jediným možným záverom je, že svet matematických „nápadov“ je oveľa bohatší a nezvyčajnejší, než by sa dalo očakávať, a len veľmi málo z nich má korešpondenciu vo svete nášho pocity. Ale ak matematické „monštrá“ logicky vyplývajú z axióm, potom možno tieto axiómy stále považovať za pravdivé?

Nové objekty.

Vyššie uvedené výsledky sa potvrdili ešte z jednej strany: v matematike, najmä v algebre, sa jeden po druhom začali objavovať nové matematické objekty, ktoré boli zovšeobecnením pojmu číslo. Obyčajné celé čísla sú dosť „intuitívne“ a nie je vôbec ťažké dospieť k experimentálnemu konceptu zlomku (hoci treba priznať, že operácia rozdelenia jednotky na niekoľko rovnakých častí a výber niekoľkých z nich má iný charakter. z procesu počítania). Keď sa zistilo, že číslo nemožno znázorniť ako zlomok, Gréci boli nútení uvažovať o iracionálnych číslach, ktorých správne určenie pomocou nekonečnej postupnosti aproximácií racionálnymi číslami patrí k najvyšším výdobytkom ľudskej mysle, ale sotva zodpovedá niečomu skutočnému v našom fyzickom svete (kde každé meranie je vždy spojené s chybami). Napriek tomu k zavedeniu iracionálnych čísel došlo viac-menej v duchu „idealizácie“ fyzikálnych pojmov. Čo môžeme povedať o záporných číslach, ktoré sa pomaly, narážajúc na veľký odpor, začali dostávať do vedeckého využitia v súvislosti s rozvojom algebry? So všetkou istotou možno konštatovať, že neexistovali žiadne hotové fyzikálne objekty, z ktorých by sme pomocou procesu priamej abstrakcie mohli rozvinúť pojem záporného čísla a pri výučbe kurzu elementárnej algebry musíme zaviesť mnohé pomocné a pomerne zložité príklady (orientované segmenty, teploty, dlhy atď.) na vysvetlenie, čo sú záporné čísla. Táto situácia je veľmi vzdialená od konceptu „jasného každému“, ako požadoval Platón od myšlienok, ktoré sú základom matematiky, a často sa stretávame s absolventmi vysokých škôl, pre ktorých je pravidlo znakov stále záhadou (– a)(–b) = ab. pozri tiež NUMBER .

Situácia je ešte horšia s „imaginárnymi“ alebo „komplexnými“ číslami, pretože obsahujú „číslo“ i, také že i 2 = –1, čo je jasné porušenie pravidla znamenia. Napriek tomu matematici z konca 16. stor. neváhajte vykonávať výpočty s komplexnými číslami, akoby „dávali zmysel“, hoci pred 200 rokmi nevedeli tieto „objekty“ definovať ani ich interpretovať pomocou žiadnej pomocnej konštrukcie, ako boli napríklad interpretované pomocou smerovaných segmentov záporných čísel . (Po roku 1800 bolo navrhnutých niekoľko interpretácií komplexných čísel, najznámejšie s použitím vektorov v rovine.)

Moderná axiomatika.

Revolúcia sa odohrala v druhej polovici 19. storočia. A hoci to nesprevádzalo prijatie oficiálnych vyhlásení, v skutočnosti išlo o vyhlásenie akejsi „deklarácie nezávislosti“. Presnejšie, o de facto vyhlásení nezávislosti matematiky od okolitého sveta.

Z tohto hľadiska sú matematické „objekty“, ak má vôbec zmysel hovoriť o ich „existencii“, čistými výtvormi mysle a majú nejaké „korešpondencie“ a umožňujú akúkoľvek „interpretáciu“ vo fyzickom svete? , pre matematiku je nepodstatná (aj keď táto otázka je sama o sebe zaujímavá).

„Pravdivé“ tvrdenia o takýchto „objektoch“ sú rovnakými logickými dôsledkami axióm. Ale teraz by sa axiómy mali považovať za úplne ľubovoľné, a preto nie je potrebné, aby boli „zrejmé“ alebo odvoditeľné z každodennej skúsenosti prostredníctvom „idealizácie“. V praxi je úplná sloboda obmedzená rôznymi úvahami. Samozrejme, že „klasické“ predmety a ich axiómy zostávajú nezmenené, ale teraz ich nemožno považovať za jediné predmety a axiómy matematiky a zvyk vyhadzovať alebo prerábať axiómy sa stal súčasťou každodennej praxe, aby bolo možné použiť ich rôznymi spôsobmi, ako sa to stalo počas prechodu z euklidovskej geometrie na neeuklidovskú. (Práve týmto spôsobom sa získali mnohé varianty „neeuklidovských“ geometrií, ktoré sa líšia od euklidovskej geometrie a od Lobačevského-Bolyaiho geometrie; napríklad existujú neeuklidovské geometrie, v ktorých nie sú žiadne rovnobežné čiary.)

Osobitne by som chcel zdôrazniť jednu okolnosť, ktorá vyplýva z nového prístupu k matematickým „objektom“: všetky dôkazy musia byť založené výlučne na axiómach. Ak si spomenieme na definíciu matematického dôkazu, potom sa takéto tvrdenie môže zdať opakujúce sa. Toto pravidlo sa však v klasickej matematike len zriedka dodržiavalo kvôli „intuitívnosti“ jej predmetov alebo axióm. A to aj v Začiatky Euklides, napriek všetkej ich zjavnej „prísnosti“, mnohé axiómy nie sú výslovne uvedené a mnohé vlastnosti sú buď mlčky predpokladané, alebo zavedené bez dostatočného zdôvodnenia. Aby sa euklidovská geometria postavila na pevný základ, bola potrebná kritická revízia jej samotných princípov. Sotva stojí za to povedať, že pedantská kontrola nad najmenšími detailmi dôkazu je dôsledkom objavenia sa „príšer“, ktoré učili moderných matematikov, aby boli opatrní vo svojich záveroch. Najneškodnejšie a „samozrejmé“ tvrdenie o klasických objektoch, napríklad tvrdenie, že krivka spájajúca body umiestnené na opačných stranách priamky túto priamku nevyhnutne pretína, vyžaduje v modernej matematike prísne formálne dôkazy.

Môže sa zdať paradoxné povedať, že práve vďaka dodržiavaniu axióm slúži moderná matematika ako jasný príklad toho, čím by mala byť každá veda. Napriek tomu tento prístup ilustruje charakteristickú črtu jedného z najzákladnejších procesov vedeckého myslenia – získavanie presných informácií v situácii neúplného poznania. Vedecké štúdium určitej triedy objektov predpokladá, že znaky, ktoré umožňujú rozlíšiť jeden objekt od druhého, sú zámerne odložené do zabudnutia a zachovávajú sa iba všeobecné znaky posudzovaných objektov. To, čo odlišuje matematiku od všeobecného spektra vied, je prísne dodržiavanie tohto programu vo všetkých jeho bodoch. Hovorí sa, že matematické objekty sú úplne určené axiómami používanými v teórii týchto objektov; alebo, povedané Poincarého, axiómy slúžia ako „skryté definície“ predmetov, na ktoré sa vzťahujú.

MODERNÁ MATEMATIKA

Hoci existencia akýchkoľvek axióm je teoreticky možná, doteraz bolo navrhnutých a študovaných len malý počet axióm. Zvyčajne sa počas vývoja jednej alebo viacerých teórií zistí, že určité vzory dôkazov sa opakujú za viac-menej podobných podmienok. Akonáhle sú vlastnosti používané vo všeobecných dôkazových schémach objavené, sú formulované ako axiómy a ich dôsledky sú zabudované do všeobecnej teórie, ktorá nemá priamy vzťah k špecifickým kontextom, z ktorých boli axiómy abstrahované. Takto získané všeobecné teorémy sú aplikovateľné na akúkoľvek matematickú situáciu, v ktorej existujú systémy objektov, ktoré spĺňajú zodpovedajúce axiómy. Opakovanie rovnakých dôkazových schém v rôznych matematických situáciách naznačuje, že máme do činenia s rôznymi špecifikáciami tej istej všeobecnej teórie. To znamená, že po vhodnej interpretácii sa axiómy tejto teórie stávajú teorémami v každej situácii. Akákoľvek vlastnosť odvodená z axióm bude platná vo všetkých týchto situáciách, ale nie je potrebný samostatný dôkaz pre každý prípad. V takýchto prípadoch sa hovorí, že matematické situácie zdieľajú rovnakú matematickú „štruktúru“.

Myšlienku štruktúry používame na každom kroku v našom každodennom živote. Ak teplomer ukazuje 10 ° C a predpovedná kancelária predpovedá zvýšenie teploty o 5 ° C, bez akéhokoľvek výpočtu očakávame teplotu 15 ° C. Ak otvoríme knihu na strane 10 a požiadame o 5 strán ďalej , neváhame ho otvoriť na 15. strane, bez započítania medzistrán. V oboch prípadoch sa domnievame, že sčítanie čísel dáva správny výsledok bez ohľadu na ich interpretáciu - ako teplotu alebo čísla strán. Nepotrebujeme sa učiť jednu aritmetiku pre teplomery a druhú pre čísla strán (hoci pri práci s hodinami používame špeciálnu aritmetiku, v ktorej je 8 + 5 = 1, pretože hodiny majú inú štruktúru ako stránky knihy). Štruktúry, ktoré zaujímajú matematikov, sú o niečo zložitejšie, čo je ľahké vidieť z príkladov, o ktorých sa hovorí v nasledujúcich dvoch častiach tohto článku. Jeden z nich bude hovoriť o teórii grúp a matematických konceptoch štruktúr a izomorfizmov.

Teória skupín.

Aby sme lepšie pochopili proces načrtnutý vyššie, dovoľme si nahliadnuť do laboratória moderného matematika a bližšie sa pozrieť na jeden z jeho hlavných nástrojov – teóriu grúp ( cm. Tiež ABSTRAKTNÁ ALGEBRA). Skupina je množina (alebo „množina“) objektov G, na ktorom je definovaná operácia, ktorá zodpovedá ľubovoľným dvom objektom alebo prvkom a, b od G, prevzaté v určenom poradí (prvý je prvok a, druhý je prvok b), tretí prvok c od G podľa prísne definovaného pravidla. Pre stručnosť tento prvok označujeme a*b; Hviezdička (*) označuje operáciu zloženia dvoch prvkov. Táto operácia, ktorú budeme nazývať skupinové násobenie, musí spĺňať nasledujúce podmienky:

(1) pre akékoľvek tri prvky a, b, c od G vlastnosť asociatívnosti platí: a* (b*c) = (a*b) *c;

(2) v G existuje taký prvok e, ktorý pre akýkoľvek prvok a od G existuje vzťah e*a = a*e = a; tento prvok e nazývaný singulárny alebo neutrálny prvok skupiny;

(3) pre akýkoľvek prvok a od G existuje taký prvok aў, nazývané reverzné alebo symetrické k prvku a, Čo a*aў = aў* a = e.

Ak sa tieto vlastnosti vezmú ako axiómy, potom ich logické dôsledky (nezávisle na akýchkoľvek iných axiómach alebo teorémoch) spolu tvoria to, čo sa bežne nazýva teória skupín. Odvodenie týchto dôsledkov raz a navždy sa ukázalo ako veľmi užitočné, pretože skupiny sú široko používané vo všetkých odvetviach matematiky. Z tisícok možných príkladov skupín vyberieme len niekoľko najjednoduchších.

a) Zlomky p/q, Kde p A q– ľubovoľné celé čísla i1 (s q= 1 dostaneme obyčajné celé čísla). Zlomky p/q vytvorte skupinu pod násobením skupiny ( p/q) *(r/s) = (pr)/(qs). Vlastnosti (1), (2), (3) vyplývajú z axióm aritmetiky. Naozaj, [( p/q) *(r/s)] *(t/u) = (prt)/(qsu) = (p/q)*[(r/s)*(t/u)]. Prvok jednotky je číslo 1 = 1/1, pretože (1/1)*( p/q) = (1H p)/(1H q) = p/q. Nakoniec prvok inverzný k zlomku p/q, je zlomok q/p, pretože ( p/q)*(q/p) = (pq)/(pq) = 1.

(b) Považujte za G množina štyroch celých čísel 0, 1, 2, 3 a as a*b- zvyšok divízie a + b na 4. Výsledky takto zavedenej operácie sú uvedené v tabuľke. 1 (prvok a*b stojí na priesečníku čiary a a stĺpec b). Je ľahké overiť, že vlastnosti (1) – (3) sú splnené a prvok identity je číslo 0.

(c) Vyberme si ako G množina čísel 1, 2, 3, 4 a as a*b- zvyšok divízie ab(obyčajný súčin) o 5. Výsledkom je tabuľka. 2. Je ľahké skontrolovať, či sú splnené vlastnosti (1) – (3) a prvok identity je 1.

(d) Štyri predmety, ako napríklad štyri čísla 1, 2, 3, 4, môžu byť usporiadané do radu 24 spôsobmi. Každé usporiadanie možno vizuálne znázorniť ako transformáciu, ktorá premieňa „prirodzené“ usporiadanie na dané; napríklad usporiadanie 4, 1, 2, 3 vyplýva z transformácie

S: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

ktoré možno napísať v pohodlnejšej forme

Pre akékoľvek dve takéto transformácie S, T určíme S*T ako transformácia, ktorá je výsledkom postupného vykonávania T, a potom S. Napríklad, ak , potom . S touto definíciou všetkých 24 možných transformácií tvorí skupinu; jeho jednotkový prvok je a prvok je inverzný k S, získané nahradením šípok v definícii S k opaku; napríklad ak , tak .

Je ľahké to vidieť na prvých troch príkladoch a*b = b*a; v takýchto prípadoch sa skupinové alebo skupinové násobenie považuje za komutatívne. Na druhej strane v poslednom príklade a preto T*S sa líši od S*T.

Skupina z príkladu (d) je špeciálnym prípadom tzv. symetrická grupa, ktorej aplikácie zahŕňajú okrem iného metódy riešenia algebraických rovníc a správanie sa čiar v spektrách atómov. Skupiny v príkladoch (b) a (c) hrajú dôležitú úlohu v teórii čísel; v príklade b) možno číslo 4 nahradiť akýmkoľvek celým číslom n, a čísla od 0 do 3 – čísla od 0 do n– 1 (s n= 12 dostaneme systém čísel, ktoré sú na ciferníkoch hodín, ako sme uviedli vyššie); v príklade c) možno číslo 5 nahradiť ľubovoľným prvočíslom R, a čísla od 1 do 4 - čísla od 1 do p – 1.

Štruktúry a izomorfizmus.

Predchádzajúce príklady ukazujú, aká rôznorodá môže byť povaha objektov, ktoré tvoria skupinu. V skutočnosti však v každom prípade všetko vychádza z rovnakého scenára: z vlastností množiny objektov berieme do úvahy iba tie, ktoré túto množinu menia na skupinu (tu je príklad neúplných znalostí!). V takýchto prípadoch sa hovorí, že zvažujeme štruktúru skupiny danú nami zvoleným násobením skupiny.

Ďalším príkladom štruktúry je tzv. štruktúru objednávky. Kopa E obdarený štruktúrou poriadku, alebo usporiadaný, ak medzi prvkami a è b, patriaci E, je daný určitý vzťah, ktorý označujeme R (a,b). (Tento vzťah musí mať zmysel pre každú dvojicu prvkov z E, ale vo všeobecnosti je pre niektoré páry nepravdivé a pre iné pravdivé, napríklad vzťah 7

(1) R (a,a) platí pre každého A, vo vlastníctve E;

(2) od R (a,b) A R (b,a) z toho vyplýva a = b;

(3) od R (a,b) A R (b,c) by mal R (a,c).

Uveďme niekoľko príkladov z veľkého množstva rôznorodých objednaných sád.

(A) E pozostáva zo všetkých celých čísel R (a,b) – vzťah “ A menšie alebo rovnaké b».

(b) E pozostáva zo všetkých celých čísel >1, R (a,b) – vzťah “ A rozdeľuje b alebo rovný b».

Ako posledný príklad štruktúry spomeňme štruktúru metrického priestoru; takáto štruktúra je definovaná na množine E, ak každá dvojica prvkov a A b patriaci E, môžete číslo porovnať d (a,b) i 0, ktoré spĺňajú nasledujúce vlastnosti:

(1) d (a,b) = 0 vtedy a len vtedy a = b;

(2) d (b,a) = d (a,b);

(3) d (a,c) Ј d (a,b) + d (b,c) pre akékoľvek tri dané prvky a, b, c od E.

Uveďme príklady metrických priestorov:

a) obyčajný "trojrozmerný" priestor, kde d (a,b) – obyčajná (alebo „euklidovská“) vzdialenosť;

b) povrch gule, kde d (a,b) – dĺžka najmenšieho oblúka kružnice spájajúcej dva body a A b na guli;

c) akýkoľvek súbor E, pre ktoré d (a,b) = 1 ak a № b; d (a,a) = 0 pre ľubovoľný prvok a.

Presná definícia pojmu štruktúra je dosť náročná. Bez toho, aby sme zachádzali do detailov, to môžeme povedať o mnohých Eštruktúra určitého typu je špecifikovaná, ak medzi prvkami množiny E(a niekedy aj iné objekty, napríklad čísla, ktoré hrajú pomocnú úlohu) sú špecifikované vzťahy, ktoré spĺňajú určitý pevný súbor axióm charakterizujúcich štruktúru uvažovaného typu. Vyššie sme predstavili axiómy troch typov štruktúr. Samozrejme, existuje mnoho ďalších typov štruktúr, ktorých teórie sú plne rozvinuté.

Mnohé abstraktné pojmy úzko súvisia s pojmom štruktúra; Spomeňme len jeden z najdôležitejších – koncept izomorfizmu. Spomeňte si na príklad skupín (b) a (c) uvedený v predchádzajúcej časti. Dá sa to ľahko overiť z tabuľky. 1 k tabuľke 2 je možné navigovať pomocou párovania

0® 1, 1® 2, 2® 4, 3® 3.

V tomto prípade hovoríme, že tieto skupiny sú izomorfné. Vo všeobecnosti dve skupiny G A Gў sú izomorfné, ak medzi prvkami skupiny G a skupinové prvky Gў je možné vytvoriť takúto individuálnu korešpondenciu a « aў, čo ak c = a*b, To cў = aў* bў pre príslušné prvky Gў. Akékoľvek tvrdenie z teórie grup, ktoré je platné pre skupinu G, zostáva pre skupinu v platnosti Gў a naopak. Algebraicky grupy G A Gў na nerozoznanie.

Čitateľ môže ľahko vidieť, že presne rovnakým spôsobom je možné definovať dve izomorfné usporiadané množiny alebo dva izomorfné metrické priestory. Dá sa ukázať, že koncept izomorfizmu sa rozširuje na štruktúry akéhokoľvek typu.

KLASIFIKÁCIA

Staré a nové klasifikácie matematiky.

Koncept štruktúry a ďalšie súvisiace pojmy zaujali v modernej matematike ústredné miesto, a to tak z čisto „technického“, ako aj z filozofického a metodologického hľadiska. Všeobecné vety o hlavných typoch štruktúr slúžia ako mimoriadne silné nástroje matematickej „techniky“. Kedykoľvek sa matematikovi podarí preukázať, že objekty, ktoré študuje, spĺňajú axiómy určitého typu štruktúry, dokáže tým, že všetky vety teórie štruktúry tohto typu platia pre konkrétne objekty, ktoré študuje (bez týchto všeobecných teórií by veľmi pravdepodobne premeškali, stratili by zo zreteľa svoje konkrétne možnosti alebo by boli nútení zaťažovať moje úvahy zbytočnými domnienkami). Podobne, ak sa preukáže, že dve štruktúry sú izomorfné, potom sa počet viet okamžite zdvojnásobí: každá veta dokázaná pre jednu zo štruktúr okamžite dáva zodpovedajúcu vetu pre druhú. Nie je preto prekvapujúce, že existujú veľmi zložité a zložité teórie, napríklad „teória triedneho poľa“ v teórii čísel, ktorej hlavným cieľom je dokázať izomorfizmus štruktúr.

Z filozofického hľadiska rozšírené používanie štruktúr a izomorfizmov demonštruje hlavnú črtu modernej matematiky - skutočnosť, že na „povahe“ matematických „objektov“ príliš nezáleží, významné sú iba vzťahy medzi objektmi (druh princíp neúplného poznania).

Nakoniec nemožno nespomenúť, že koncept štruktúry umožnil klasifikovať odvetvia matematiky novým spôsobom. Do polovice 19. stor. sa líšili podľa predmetu štúdie. Aritmetika (alebo teória čísel) sa zaoberala celými číslami, geometria sa zaoberala priamkami, uhlami, polygónmi, kruhmi, plochami atď. Algebra sa zaoberala takmer výlučne metódami riešenia numerických rovníc alebo systémov rovníc, analytická geometria vyvinula metódy na prevod geometrických problémov na ekvivalentné algebraické problémy. Rozsah záujmov ďalšieho dôležitého odvetvia matematiky, nazývaného „matematická analýza“, zahŕňal najmä diferenciálny a integrálny počet a ich rôzne aplikácie v geometrii, algebre a teórii párnych čísel. Počet týchto aplikácií sa zvýšil a zvýšil sa aj ich význam, čo viedlo k fragmentácii matematickej analýzy na podsekcie: teória funkcií, diferenciálne rovnice (obyčajné a parciálne derivácie), diferenciálna geometria, variačný počet atď.

Pre mnohých moderných matematikov tento prístup pripomína históriu klasifikácie zvierat ranými prírodovedcami: kedysi boli morské korytnačky aj tuniak považované za ryby, pretože žili vo vode a mali podobné črty. Moderný prístup nás naučil vidieť nielen to, čo leží na povrchu, ale aj pozrieť sa hlbšie a pokúsiť sa rozpoznať základné štruktúry, ktoré sa skrývajú za klamlivým vzhľadom matematických objektov. Z tohto hľadiska je dôležité študovať najdôležitejšie typy štruktúr. Je nepravdepodobné, že máme k dispozícii úplný a definitívny zoznam týchto typov; niektoré z nich boli objavené za posledných 20 rokov a je dôvod očakávať v budúcnosti nové objavy. Mnohé základné „abstraktné“ typy štruktúr však už chápeme. (Sú „abstraktné“ v porovnaní s „klasickými“ predmetmi matematiky, hoci aj tie možno len ťažko nazvať „konkrétnymi“, ide skôr o mieru abstrakcie.)

Známe štruktúry možno klasifikovať podľa vzťahov, ktoré obsahujú, alebo podľa ich zložitosti. Na jednej strane je to rozsiahly blok „algebraických“ štruktúr, ktorých špeciálnym prípadom je napríklad skupinová štruktúra; Medzi ďalšie algebraické štruktúry menujeme okruhy a polia ( cm. Tiež ABSTRAKTNÁ ALGEBRA). Odvetvie matematiky, ktoré sa zaoberá štúdiom algebraických štruktúr, sa nazýva "moderná algebra" alebo "abstraktná algebra", na rozdiel od bežnej alebo klasickej algebry. Do novej algebry bola zahrnutá aj významná časť euklidovskej geometrie, neeuklidovskej geometrie a analytickej geometrie.

Na rovnakej úrovni všeobecnosti sú ďalšie dva bloky štruktúr. Jedna z nich, nazývaná všeobecná topológia, zahŕňa teórie typov štruktúr, ktorých špeciálnym prípadom je štruktúra metrického priestoru ( cm. TOPOLÓGIA ; ABSTRAKTNÉ MIERY). Tretí blok tvoria teórie rádových štruktúr a ich rozšírenia. „Rozšírenie“ štruktúry pozostáva z pridávania nových axióm k existujúcim. Napríklad, ak k axiómam grupy pridáme vlastnosť komutativity ako štvrtú axiómu a*b = b*a, potom dostaneme štruktúru komutatívnej (alebo abelovskej) grupy.

Z týchto troch blokov boli posledné dva donedávna v relatívne stabilnom stave a blok „moderná algebra“ rýchlo rástol, niekedy neočakávaným smerom (napríklad sa vyvinula celá vetva nazývaná „homologická algebra“). Mimo tzv Na inej úrovni sú „čisté“ typy štruktúr – „zmiešané“ štruktúry, napríklad algebraické a topologické, spolu s novými axiómami, ktoré ich spájajú. Bolo študovaných veľa takýchto kombinácií, z ktorých väčšina spadá do dvoch širokých blokov - „topologická algebra“ a „algebraická topológia“.

Celkovo tieto bloky tvoria veľmi významnú „abstraktnú“ oblasť vedy. Mnohí matematici dúfajú, že pomocou nových nástrojov lepšie pochopia klasické teórie a vyriešia zložité problémy. Pri vhodnej úrovni abstrakcie a zovšeobecňovania sa totiž problémy staroveku môžu objaviť v novom svetle, ktoré umožní nájsť ich riešenia. Obrovské kusy klasického materiálu sa dostali pod vplyv novej matematiky a boli transformované alebo zlúčené s inými teóriami. Zostávajú obrovské oblasti, do ktorých moderné metódy neprenikli tak hlboko. Príklady zahŕňajú teóriu diferenciálnych rovníc a veľkú časť teórie čísel. Je veľmi pravdepodobné, že po objavení a dôkladnom preštudovaní nových typov štruktúr sa v týchto oblastiach dosiahne významný pokrok.

FILOZOFICKÉ ŤAŽKOSTI

Dokonca aj starí Gréci jasne chápali, že matematická teória by mala byť bez rozporov. To znamená, že je nemožné odvodiť ako logický dôsledok z axióm výrok R a jeho popieranie nie je P. Keďže sa však verilo, že matematické objekty majú korešpondenciu v reálnom svete a axiómy boli „idealizáciou“ zákonov prírody, nikto nepochyboval o konzistencii matematiky. Počas prechodu od klasickej matematiky k modernej matematike nadobudol problém konzistencie iný význam. Sloboda výberu axióm akejkoľvek matematickej teórie musí byť zjavne obmedzená podmienkou konzistentnosti, ale môže si byť istý, že táto podmienka bude splnená?

Pojem set sme už spomenuli. Tento pojem sa vždy viac-menej explicitne používal v matematike a logike. V druhej polovici 19. stor. elementárne pravidlá narábania s pojmom množina boli čiastočne systematizované, okrem toho sa získali niektoré dôležité výsledky, ktoré tvorili obsah tzv. teória množín ( cm. Tiež SET THEORY), ktorý sa stal akoby substrátom všetkých ostatných matematických teórií. Od staroveku po 19. storočie. existovali obavy z nekonečných množín, napríklad odzrkadlené v slávnych paradoxoch Zena Eleatského (5. storočie pred Kristom). Tieto obavy boli čiastočne metafyzickej povahy a čiastočne spôsobené ťažkosťami spojenými s koncepciou merania veličín (napríklad dĺžky alebo času). Tieto ťažkosti sa podarilo odstrániť až po 19. storočí. základné pojmy matematickej analýzy boli prísne definované. V roku 1895 boli všetky obavy rozptýlené a zdalo sa, že matematika spočíva na neotrasiteľnom základe teórie množín. Ale v nasledujúcom desaťročí sa objavili nové argumenty, ktoré akoby poukazovali na vnútornú nekonzistentnosť teórie množín (a zvyšku matematiky).

Nové paradoxy boli veľmi jednoduché. Prvý z nich, Russellov paradox, môžeme považovať v jednoduchej verzii známej ako holičský paradox. V istom meste holič oholí všetkých obyvateľov, ktorí sa neholia. Kto holí samotného holiča? Ak sa holič oholí, oholí nielen tých obyvateľov, ktorí sa neholia sami, ale aj jedného obyvateľa, ktorý sa oholí sám; ak sa sám neholí, tak neoholí všetkých obyvateľov mesta, ktorí sa neholia. Paradox tohto typu vzniká vždy, keď sa uvažuje o koncepte „množiny všetkých množín“. Hoci sa tento matematický objekt zdá veľmi prirodzený, uvažovanie o ňom rýchlo vedie k rozporom.

Berryho paradox je ešte výrečnejší. Zvážte súbor všetkých ruských fráz, ktoré neobsahujú viac ako sedemnásť slov; Počet slov v ruskom jazyku je konečný, takže počet takýchto fráz je konečný. Vyberme si z nich tie, ktoré jednoznačne definujú nejaké celé číslo, napríklad: „Najväčšie nepárne číslo menšie ako desať“. Počet takýchto fráz je tiež konečný; teda nimi určená množina celých čísel je konečná. Označme konečnú množinu týchto čísel pomocou D. Z axióm aritmetiky vyplýva, že existujú celé čísla, do ktorých nepatria D a že medzi týmito číslami je najmenšie číslo n. Toto číslo n je jednoznačne definovaná vetou: „Najmenšie celé číslo, ktoré nemožno definovať frázou pozostávajúcou z najviac sedemnástich ruských slov“. Ale táto fráza obsahuje presne sedemnásť slov. Preto určuje počet n, ktorý by mal patriť D, a dostávame sa k paradoxnému rozporu.

Intuicionisti a formalisti.

Šok spôsobený paradoxmi teórie množín vyvolal rôzne reakcie. Niektorí matematici boli dosť odhodlaní a vyjadrili názor, že matematika sa od začiatku vyvíjala nesprávnym smerom a mala by byť založená na úplne inom základe. Uhol pohľadu takýchto „intuicionistov“ (ako sa začali nazývať) nie je možné presne opísať, pretože odmietli zredukovať svoje názory na čisto logickú schému. Z pohľadu intuicionistov je nesprávne aplikovať logické procesy na intuitívne nereprezentovateľné objekty. Jedinými intuitívne jasnými objektmi sú prirodzené čísla 1, 2, 3,... a konečné množiny prirodzených čísel, „zostavané“ podľa presne špecifikovaných pravidiel. Ale ani na takéto predmety intuicionisti nedovolili aplikovať všetky dedukcie klasickej logiky. To napríklad pri žiadnom výroku neuznali R pravda buď R, alebo nie R. S takými obmedzenými prostriedkami sa ľahko vyhli „paradoxom“, no zároveň hodili cez palubu nielen celú modernú matematiku, ale aj významnú časť výsledkov klasickej matematiky a pre tie, ktoré zostali, bolo potrebné nájsť nové. , zložitejšie dôkazy.

Prevažná väčšina moderných matematikov nesúhlasila s argumentmi intuicionistov. Neintuicionistickí matematici si všimli, že argumenty používané v paradoxoch sa výrazne líšia od argumentov používaných v bežnej matematickej práci s teóriou množín, a preto by takéto argumenty mali byť vylúčené ako nezákonné bez ohrozenia existujúcich matematických teórií. Ďalším postrehom bolo, že v „naivnej“ teórii množín, ktorá existovala pred príchodom „paradoxov“, sa význam pojmov „množina“, „vlastnosť“, „vzťah“ nespochybňoval – rovnako ako v klasickej geometrii „intuitívne“ nebol spochybnený.povaha bežných geometrických pojmov. V dôsledku toho možno konať rovnakým spôsobom, ako to bolo v geometrii, teda zahodiť všetky pokusy odvolávať sa na „intuíciu“ a za východiskový bod teórie množín vziať systém presne formulovaných axióm. Nie je však zrejmé, ako môžu byť slová ako „vlastníctvo“ alebo „vzťah“ zbavené svojho bežného významu; toto však musíme urobiť, ak chceme vylúčiť také argumenty, ako je Berryho paradox. Metóda spočíva v upustení od používania bežného jazyka pri formulovaní axióm alebo teorémov; ako „vlastnosti“ alebo „vzťahy“ v matematike sú povolené iba výroky skonštruované v súlade s explicitným systémom pevných pravidiel a vstupujú do formulácie axióm. Tento proces sa nazýva „formalizácia“ matematického jazyka (aby sa predišlo nedorozumeniam vyplývajúcim z nejednoznačností bežného jazyka, odporúča sa ísť ešte o krok ďalej a nahradiť samotné slová špeciálnymi symbolmi vo formalizovaných vetách, napríklad nahradiť spojku "a" so symbolom &, spojovacie "alebo" - so symbolom b, "existuje" so symbolom $ atď.). Matematici, ktorí odmietali metódy navrhované intuicionistami, sa začali nazývať „formalisti“.

Pôvodná otázka však nebola nikdy zodpovedaná. Je „axiomatická teória množín“ bez rozporov? Nové pokusy dokázať konzistentnosť „formalizovaných“ teórií uskutočnil v 20. rokoch 20. storočia D. Hilbert (1862 – 1943) a jeho škola a nazývali sa „metamathematika“. Metamatematika je v podstate odvetvím „aplikovanej matematiky“, kde objekty, na ktoré sa aplikuje matematické uvažovanie, sú návrhy formalizovanej teórie a ich usporiadanie v rámci dôkazov. Tieto vety je potrebné považovať len za vecné kombinácie symbolov vytvorené podľa určitých stanovených pravidiel, bez akéhokoľvek odkazu na možný „význam“ týchto symbolov (ak existujú). Dobrou analógiou je šachová hra: symboly zodpovedajú figúrkam, vety zodpovedajú rôznym pozíciám na šachovnici a logické závery zodpovedajú pravidlám pohybu figúrok. Na stanovenie konzistencie formalizovanej teórie stačí ukázať, že v tejto teórii ani jeden dôkaz nekončí tvrdením 0 č. 0. Proti použitiu matematických argumentov v „metamatematickom“ dôkaze však možno namietať. konzistentnosti matematickej teórie; ak by bola matematika nekonzistentná, potom by matematické argumenty stratili všetku silu a ocitli by sme sa v situácii začarovaného kruhu. Aby Hilbert odpovedal na tieto námietky, umožnil veľmi obmedzené matematické uvažovanie typu, ktorý intuicionisti považujú za prijateľné na použitie v metamatematike. K. Gödel však čoskoro ukázal (1931), že konzistentnosť aritmetiky nemožno dokázať takýmito obmedzenými prostriedkami, ak je skutočne konzistentná (rozsah tohto článku nám neumožňuje načrtnúť dômyselnú metódu, ktorou bol tento pozoruhodný výsledok získaný, a následná história metamatematiky).

Ak zhrnieme súčasnú problematickú situáciu z formalistického hľadiska, musíme priznať, že ani zďaleka nie je ukončená. Použitie konceptu množiny bolo obmedzené výhradami, ktoré boli špecificky zavedené, aby sa vyhli známym paradoxom, a neexistuje žiadna záruka, že v axiomatizovanej teórii množín nevzniknú nové paradoxy. Obmedzenia axiomatickej teórie množín však nezabránili zrodu nových životaschopných teórií.

MATEMATIKA A SKUTOČNÝ SVET

Napriek tvrdeniam o nezávislosti matematiky nikto nebude popierať, že matematika a fyzikálny svet sú navzájom prepojené. Samozrejme, matematický prístup k riešeniu problémov klasickej fyziky zostáva v platnosti. Je tiež pravda, že vo veľmi dôležitej oblasti matematiky, a to v teórii diferenciálnych rovníc, obyčajných a parciálnych derivácií, je proces vzájomného obohacovania fyziky a matematiky pomerne plodný.

Matematika je užitočná pri interpretácii javov mikrosveta. Nové „aplikácie“ matematiky sa však od tých klasických výrazne líšia. Jedným z najdôležitejších nástrojov fyziky sa stala teória pravdepodobnosti, ktorá sa predtým používala najmä v teórii hazardných hier a poisťovníctva. Matematické objekty, ktoré fyzici spájajú s „atómovými stavmi“ alebo „prechodmi“, sú svojou povahou veľmi abstraktné a matematici ich zaviedli a študovali dávno pred príchodom kvantovej mechaniky. Treba dodať, že po prvých úspechoch nastali vážne ťažkosti. Stalo sa to v čase, keď sa fyzici pokúšali aplikovať matematické myšlienky na jemnejšie aspekty kvantovej teórie; Napriek tomu sa mnohí fyzici stále pozerajú s nádejou na nové matematické teórie a veria, že im pomôžu vyriešiť nové problémy.

Je matematika veda alebo umenie?

Aj keď do „čistej“ matematiky zahrnieme teóriu pravdepodobnosti alebo matematickú logiku, ukazuje sa, že menej ako 50 % známych matematických výsledkov v súčasnosti využívajú iné vedy. Čo si máme myslieť o zvyšnej polovici? Inými slovami, aké sú motívy tých oblastí matematiky, ktoré nesúvisia s riešením fyzikálnych problémov?

Ako typického predstaviteľa tohto druhu viet sme už spomenuli iracionalitu čísla. Ďalším príkladom je teorém, ktorý dokázal J.-L. Lagrange (1736–1813). Sotva existuje matematik, ktorý by to nenazval „dôležitým“ alebo „krásnym“. Lagrangeova veta hovorí, že každé celé číslo väčšie alebo rovné jednej môže byť vyjadrené ako súčet druhých mocnín najviac štyroch čísel; napríklad 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2. Za súčasného stavu vecí je nepredstaviteľné, že by tento výsledok mohol byť užitočný pri riešení akéhokoľvek experimentálneho problému. Je pravda, že fyzici sa dnes zaoberajú celými číslami oveľa častejšie ako v minulosti, ale celé čísla, s ktorými pracujú, sú vždy obmedzené (málokedy presahujú niekoľko stoviek); preto môže byť veta ako Lagrangeova „užitočná“ len vtedy, ak sa aplikuje na celé čísla v rámci nejakej hranice. Akonáhle však obmedzíme formuláciu Lagrangeovej vety, pre matematika to okamžite prestane byť zaujímavé, pretože celá príťažlivá sila tejto vety spočíva v jej použiteľnosti na všetky celé čísla. (Existuje veľké množstvo tvrdení o celých číslach, ktoré môžu byť overené počítačmi pre veľmi veľké čísla; ale keďže sa nenašiel žiadny všeobecný dôkaz, zostávajú hypotetické a nezaujímajú profesionálnych matematikov.)

Zameranie sa na témy vzdialené od bezprostredných aplikácií nie je nezvyčajné pre vedcov pracujúcich v akejkoľvek oblasti, či už ide o astronómiu alebo biológiu. Avšak, zatiaľ čo experimentálny výsledok možno spresniť a zlepšiť, matematický dôkaz je vždy presvedčivý. Preto je ťažké odolať pokušeniu považovať matematiku alebo aspoň tú jej časť, ktorá nemá žiadny vzťah k „realite“, za umenie. Matematické problémy nie sú vnucované zvonku, a ak vezmeme moderné hľadisko, môžeme si vybrať materiál úplne slobodne. Pri hodnotení niektorých matematických prác matematici nemajú „objektívne“ kritériá a sú nútení spoliehať sa na svoj vlastný „vkus“. Chute sa značne líšia v závislosti od času, krajiny, tradícií a jednotlivcov. V modernej matematike existujú módy a „školy“. V súčasnosti existujú tri takéto „školy“, ktoré pre pohodlie budeme nazývať „klasicizmus“, „modernizmus“ a „abstrakcionizmus“. Aby sme lepšie pochopili rozdiely medzi nimi, analyzujme rôzne kritériá, ktoré matematici používajú pri hodnotení vety alebo skupiny viet.

(1) Podľa všeobecného názoru má byť „krásny“ matematický výsledok netriviálny, t.j. by nemalo byť zjavným dôsledkom axióm alebo predtým overených teorémov; dôkaz musí použiť nejaký nový nápad alebo šikovne použiť staré myšlienky. Inými slovami, pre matematika nie je dôležitý samotný výsledok, ale proces prekonávania ťažkostí, s ktorými sa pri jeho získavaní stretol.

(2) Každý matematický problém má svoju vlastnú históriu, takpovediac „rodokmeň“, ktorý sleduje rovnaký všeobecný vzorec, podľa ktorého sa vyvíjajú dejiny akejkoľvek vedy: po prvých úspechoch môže uplynúť určitý čas, kým sa dostane odpoveď na otázku. nachádza sa položená otázka. Keď sa nájde riešenie, príbeh tam nekončí, pretože začínajú známe procesy rozširovania a zovšeobecňovania. Napríklad vyššie uvedená Lagrangeova veta vedie k otázke reprezentovať akékoľvek celé číslo ako súčet kociek, štvrtej, piatej mocniny atď. Takto vzniká „problém Waring“, ktorý ešte nedostal konečné riešenie. Navyše, ak budeme mať šťastie, ukáže sa, že problém, ktorý riešime, súvisí s jednou alebo viacerými základnými štruktúrami, a to zase povedie k novým problémom súvisiacim s týmito štruktúrami. Aj keď pôvodná teória nakoniec zomrie, zvyčajne zanechá početné živé výhonky. Moderní matematici čelia takému obrovskému množstvu problémov, že aj keby sa prerušila všetka komunikácia s experimentálnou vedou, ich riešenie by trvalo ešte niekoľko storočí.

(3) Každý matematik bude súhlasiť s tým, že keď sa pred ním objaví nový problém, je jeho povinnosťou vyriešiť ho všetkými možnými prostriedkami. Keď sa problém týka klasických matematických objektov (klasici sa zriedkavo zaoberajú inými typmi objektov), klasici sa ho snažia vyriešiť iba klasickými prostriedkami, zatiaľ čo iní matematici zavádzajú „abstraktnejšie“ štruktúry, aby použili všeobecné vety relevantné pre danú úlohu. Tento rozdiel v prístupe nie je nový. Od 19. storočia. matematici sa delia na „takticov“, ktorí sa snažia nájsť čisto silové riešenie problému, a „stratégov“, ktorí sú náchylní na manévre v kruhovom objazde, ktoré umožňujú rozdrviť nepriateľa malými silami.

(4) Základným prvkom „krásy“ vety je jej jednoduchosť. Samozrejme, hľadanie jednoduchosti je charakteristické pre všetky vedecké myšlienky. Ale experimentátori sú pripravení zmieriť sa s „škaredými riešeniami“, ak sa vyrieši iba problém. Podobne v matematike sa klasici a abstrakcionisti veľmi nezaujímajú o výskyt „patologických“ výsledkov. Na druhej strane modernisti zachádzajú tak ďaleko, že vo výskyte „patológií“ teórie vidia symptóm naznačujúci nedokonalosť základných pojmov.

Matematická encyklopédia - referenčná publikácia o všetkých odvetviach matematiky. Encyklopédia je založená na prehľadových článkoch venovaných najdôležitejším oblastiam matematiky. Hlavnou požiadavkou na články tohto typu je možná úplnosť prehľadu o súčasnom stave teórie s maximálnou dostupnosťou prezentácie; Tieto články sú všeobecne prístupné starším študentom matematiky, postgraduálnym študentom a odborníkom v príbuzných oblastiach matematiky av určitých prípadoch aj odborníkom v iných oblastiach vedomostí, ktorí vo svojej práci využívajú matematické metódy, inžinierom a učiteľom matematiky. Ďalej sú poskytnuté stredne veľké články o jednotlivých špecifických problémoch a metódach matematiky; Tieto články sú určené pre užšiu čitateľskú obec, a preto môžu byť horšie dostupné. Nakoniec ďalším typom článkov sú stručné odkazy a definície. Niektoré definície sú uvedené v prvých dvoch typoch článkov. Väčšina článkov Encyklopédie je doplnená bibliografiou s poradovými číslami každého titulu, čo umožňuje ich citovanie v textoch článkov. Na konci článkov (spravidla) je uvedený autor alebo zdroj, ak bol článok už publikovaný (predovšetkým ide o články vo Veľkej sovietskej encyklopédii). Mená zahraničných (okrem starovekých) vedcov uvedených v článkoch sú doplnené latinským pravopisom (ak neexistuje odkaz na zoznam odkazov).

Princíp usporiadania článkov v encyklopédii je abecedný. Ak je názov článku výrazom, ktorý má synonymum, potom sa toto synonymum uvádza za hlavným. V mnohých prípadoch sa názvy článkov skladajú z dvoch alebo viacerých slov. V týchto prípadoch sa výrazy uvádzajú buď v ich najbežnejšom tvare, alebo je na prvom mieste slovo s najdôležitejším významom. Ak názov článku obsahuje vlastný názov, umiestni sa na prvé miesto (zoznam odkazov na takéto články spravidla obsahuje primárny zdroj vysvetľujúci názov výrazu). Názvy článkov sa uvádzajú predovšetkým v jednotnom čísle.

Encyklopédia hojne využíva systém odkazov na ďalšie články, kde čitateľ nájde doplňujúce informácie k zvažovanej téme. Definícia neobsahuje odkaz na pojem uvedený v názve článku.

V rámci šetrenia miesta sa v článkoch používajú zaužívané skratky niektorých slov pre encyklopédie.

Pracovalo sa na zväzku 1

Matematická redakčná rada Vydavateľstva "Sovietska encyklopédia" - V. I. BITYUTSKOV (vedúci redakcie), M. I. VOITSEKHOVSKY (vedecký redaktor), Yu. A. GORBKOV (vedecký redaktor), A. B. IVANOV (hlavný vedecký redaktor), O A. IVANOVA (senior vedecká redaktorka), T. Y. POPOVA (vedecká redaktorka), S. A. RUKOVA (hlavná vedecká redaktorka), E. G. SOBOLEVSKAYA (redaktorka), L. V. SOKOLOVÁ (staršia redaktorka), L. R. HABIB (staršia redaktorka).

Pracovníci vydavateľstva: E. P. RYABOVÁ (literárna redakcia). E. I. ZHAROVÁ, A. M. MARTYNOV (bibliografia). A. F. DALKOVSKAYA (prepis). N. A. FEDOROVA (oddelenie akvizície). 3. A. SUKHOVA (edícia ilustrácií). E. I. ALEXEEVA, N. Y. KRUŽHALOVA (redaktorka slovníka). M. V. AKIMOVÁ, A. F. PROŠKO (korektor). G. V. SMIRNOVA (technické vydanie).

Obálka od umelca R.I. MALANICHEVA.

Ďalšie informácie o zväzku 1

Vydavateľstvo "Sovietska encyklopédia"

Encyklopédie, slovníky, príručky

Vedecká a redakčná rada vydavateľstva

A. M. PROKHOROV (predseda), I. V. ABASHIDZE, P. A. AZIMOV, A. P. ALEXANDROV, V. A. AMBARTSUMYAN, I. I. ARTOBOLEVSKY, A. V. ARTSIKHOVSKY, M. S. ASIMOV, M. P. N. BAZAGOV, V. BAAZHAN.. UBOV, P. U. BROVKA, Y. V. BROMLEY, B. E. BYKHOVSKY, V. X. VASILENKO , L M. VOLODÁRSKY, V. V. VOLSKÝ, B. M. VUL, B. G. GAFUROV, S. R. GERSHBERG, M. S. GILYAROV, V. P. GLUSHKO, V. M. GLUSHKOV, G. N GOLIKOV, D. B. GULIEV ( E. M. Deputy, V. V. V. GUSEV.), predseda. E. M. ŽUKOV , A. A. IMSHENETSKY, N. N. INOZEMTSEV, M A. I. KABACHNIK, S. V. KALESNIK, G. A. KARAVAEV, K. K. KARAKEEV, M. K. KARATAEV, B. M. KEDROV, G. V. KELDYSH, V. A. LKOVNY KIRILLIN., predseda V. KONSTANTINOV, V. N. KUDRYAVCEV , M. I. KUZNETSOV (podpredseda), B. V. KUKARKIN, V. G. KULIKOV, I. A. KUTUZOV, P. P. LOBANOV, G. M. LOZA, Y. E. MAKSAREV, P. A. MARKOV, A. I. MARKUSHEVICH, D.. G. Y. Y. PAMATINK. TON, V. M. POLEVOY, M. A. PROKOFIEV, Y. V. PROCHOROV, N. F. ROSTOVTSEV, A. M. RUMYANTSEV, B. A. RYBAKOV, V. P. SAMSON, M. I. SLADKOVSKÝ, V. I. SMIRNOV, D. N. SOLOVIEV (podpredseda), V. N. A. S., S., S., S., V. A. SURKOV, M. L. TERENTYEV, S. A. TOKAREV, V. A. TRAPEZNIKOV, E. K. FEDOROV, M. B. KHRAPCHENKO, E. I. CHAZOV, V. N. CHERNIGOVSKY, Y. E. SHMUSHKIS, S. I. YUTKEVICH. Tajomníčka rady L.V. KIRILLOVA.

Moskva 1977

Matematická encyklopédia. Zväzok 1 (A - D)

Šéfredaktor I. M. VINOGRADOV

Redakčný tím

S. I. ADYAN, P. S. ALEXANDROV, N. S. BAKHVALOV, V. I. BITYUTSKOV (zástupca šéfredaktora), A. V. BITSADZE, L. N. BOLSHEV, A. A. GONCHAR, N. V EFIMOV, V. A. ILYARTS, A. L. A. K. K. K. MARZHANISHVILI, E. F. MISHCHENKO, S. P. NOVIKOV, E. G. POZNYAK, Y. V. PROKHOROV (zástupca šéfredaktora), A. G. SVESHNIKOV, A. N. TIKHONOV, P. L. ULYANOV, A. I. SHIRSHOV, S. V. YABLONSKY

Matematická encyklopédia. Ed. rada: I. M. Vinogradov (hlavný redaktor) [a ďalší] T. 1 - M., “Soviet Encyclopedia”, 1977

(Encyklopédie. Slovníky. Príručky), zväzok 1. A - G. 1977. 1152 stb. z ilúzie.

Odoslané na sadzbu 9. júna 1976. Do tlače podpísané 18. februára 1977. Tlač textu z matrík vyrobených v Prvej modelárskej tlačiarni pomenovanej po. A. A. Ždanová. Vydavateľstvo Rádu Červeného praporu práce "Sovietska encyklopédia". 109817. Moskva, Zh - 28, Pokrovsky Boulevard, 8. T - 02616 Náklad 150 000 kópií. Obj.č.418. Papier do tlače č.1. Formát papiera 84xl08 1/14. Zväzok 36 fyzický. p.l. ; 60, 48 konvenčné p.l. text. 101, 82 akademických. - vyd. l. Cena knihy je 7 rubľov. 10 k.

Poriadok Červeného praporu práce Moskovská tlačiareň číslo 1 "Soyuzpoligrafproma" pod Štátnym výborom Rady ministrov ZSSR pre vydavateľstvo, tlač a obchod s knihami, Moskva, I - 85, Prospekt Mira, 105. Rozkaz č. 865.

Matematická encyklopédia

Matematická encyklopédia- Sovietska encyklopedická publikácia v piatich zväzkoch venovaná matematickým témam. Vydané v roku 1985 vo vydavateľstve "Sovietska encyklopédia". Šéfredaktor: akademik I. M. Vinogradov.

Toto je základná ilustrovaná publikácia o všetkých hlavných odvetviach matematiky. Kniha predstavuje rozsiahly materiál na danú tému, životopisy slávnych matematikov, kresby, grafy, tabuľky a schémy.

Celkový objem: cca 3000 strán. Distribúcia článkov podľa objemu:

Zväzok 1: Abacus - Huygensov princíp, 576 s.
Zväzok 2: D'Alembert operator - Co-op hra, 552 strán.
Zväzok 3: Súradnice - Monomické, 592 s.
Zväzok 4: Eye of the Theorem - Komplexná funkcia, 608 s.
Zväzok 5: Náhodná premenná - bunka, 623 s.
Príloha k zväzku 5: register, zoznam zaznamenaných preklepov.

Odkazy

Všeobecné a špeciálne príručky a encyklopédie z matematiky na portáli „Svet matematických rovníc“, kde si môžete stiahnuť encyklopédiu v elektronickej podobe.

Kategórie:

Knihy v abecednom poradí
Matematická literatúra
Encyklopédie
Knihy z vydavateľstva "Sovietska encyklopédia"
Encyklopédie ZSSR

Nadácia Wikimedia. 2010.

Matematická chémia
Matematické základy kvantovej mechaniky

Pozrite si, čo je „Matematická encyklopédia“ v iných slovníkoch:

Matematická logika- (teoretická logika, symbolická logika) odvetvie matematiky, ktoré študuje dôkazy a otázky základov matematiky. "Téma modernej matematickej logiky je rôznorodá." Podľa definície P. S. Poretského „matematická ... ... Wikipedia

Encyklopédia- (nová latinská encyklopédia (nie skôr ako v 16. storočí) z iných gréckych ἐγκύκλιος παιδεία „učenie v celom kruhu“, κύκλος kruh a παιδεία učenie/paideia) prinesená do systému o ... Wikipedia

ENCYKLOPÉDIA- (z gréckeho enkyklios paideia školenie v celom rozsahu vedomostí), vedecký. alebo vedecké populárna referenčná publikácia obsahujúca systematizované informácie. súbor vedomostí. Materiál v E. je usporiadaný abecedne alebo systematicky. princíp (podľa odborov poznania).... ... Prírodná veda. encyklopedický slovník

MATEMATICKÁ LOGIKA- jedno z mien modernej logiky, ktoré prišlo v druhom. poschodie. 19 štart 20. storočie nahradiť tradičnú logiku. Termín symbolická logika sa používa aj ako iný názov pre modernú etapu vývoja vedy o logike. Definícia…… Filozofická encyklopédia

MATEMATICKÉ NEKONEČNO- všeobecný názov pre rozklad. implementácia myšlienky nekonečna v matematike. Hoci medzi významami pojmu M. b. a iných významoch, v ktorých sa používa pojem nekonečno, neexistuje žiadna tvrdá hranica (keďže všetky tieto pojmy v konečnom dôsledku odrážajú veľmi ... ... Filozofická encyklopédia

MATEMATICKÁ INDUKCIA- úplná matematická indukcia (v matematike sa často nazýva jednoducho úplná indukcia; v tomto prípade treba tento pojem odlíšiť od pojmu úplná indukcia uvažovaného v nematematickej formálnej logike), - metóda dokazovania všeobecných tvrdení v ... . .. Filozofická encyklopédia

MATEMATICKÁ HYPOTÉZA- pravdepodobná zmena formy, typu, charakteru rovnice vyjadrujúcej zákonitosť skúmanej oblasti javov s cieľom jej rozšírenia na novú, zatiaľ neprebádanú oblasť ako inherentný zákon. M. g. je v modernej dobe široko používaný. teoreticky...... Filozofická encyklopédia

MATEMATICKÁ ŠKOLA V POLITICKEJ EKONOMIKE- Angličtina matematická škola v politickej ekonómii; nemecký mathematische Schule in der politischen Okonomie. Smer v politike, hospodárstve, ktorý vznikol v druhej polovici 19. storočia, udávali predstavitelia (L. Walras, V. Pareto, O. Jevons atď.) ... ... Encyklopédia sociológie

MATEMATICKÁ ŠKOLA V SOCIOLÓGII- Angličtina matematická škola v sociológii; nemecký mathematische Schule in der Soziologie. Trend v sociológii, ktorý vznikol v prvej polovici 20. storočia, zakladatelia sociológie (A. Zipf, E. Dodd atď.) verili, že teórie sociológa dosahujú úroveň... ... Encyklopédia sociológie

Matematický model budov a stavieb- Matematický (počítačový) model budov a stavieb - znázornenie budov a stavieb vo forme diagramu konečných prvkov na vykonávanie numerických výpočtov pri riešení súboru problémov vznikajúcich pri projektovaní, výstavbe a... ... Encyklopédia pojmov, definícií a vysvetlení stavebných materiálov

knihy

Matematická encyklopédia (súbor 5 kníh), . Matematická encyklopédia - pohodlná referenčná publikácia o všetkých odvetviach matematiky. Encyklopédia je založená na článkoch venovaných najdôležitejším oblastiam matematiky. Princíp umiestnenia...

Stiahnite si knihu Matematická encyklopédia v 5 zväzkochúplne zadarmo.

Ak si chcete bezplatne stiahnuť knihu zo služieb hostenia súborov, kliknite na odkazy hneď za popisom bezplatnej knihy.

Vážení čitatelia, ak vám to nevyšlo

stiahnuť matematickú encyklopédiu v 5 zväzkoch

napíšte o tom do komentárov a my vám určite pomôžeme.

Dúfame, že sa vám kniha páčila a že ste si ju užili. Ako poďakovanie nám môžete zanechať odkaz na našu stránku na fóre alebo blogu :) Elektronická kniha Matematická encyklopédia v 5 zväzkoch je poskytovaná výhradne na recenziu pred zakúpením papierovej knihy a nie je konkurentom tlačených publikácií.