Čo je aritmetika a ako sa líši od matematiky? Význam slova „aritmetika“ Hra „Rýchle pridávanie“

Tehotenstvo

Od staroveku bola práca s číslami rozdelená do dvoch rôznych oblastí: jedna sa týkala priamo vlastností čísel, druhá bola spojená s technikami počítania. Pod pojmom „aritmetika“ sa v mnohých krajinách zvyčajne myslí práve táto posledná oblasť, ktorá je nepochybne najstarším odvetvím matematiky.

Najväčšou ťažkosťou pre staroveké kalkulačky bola zrejme práca so zlomkami. Vidno to z Ahmesovho papyrusu (nazývaného aj Rhindov papyrus), staroegyptského diela o matematike, ktoré sa datuje okolo roku 1650 pred Kristom. Všetky zlomky uvedené v papyruse, s výnimkou 2/3, majú čitateľa rovnajúci sa 1. Náročnosť manipulácie so zlomkami je badateľná aj pri štúdiu starobabylonských klinových tabuliek. Starovekí Egypťania aj Babylončania zrejme vykonávali výpočty pomocou nejakej formy počítadla. Veda o číslach zaznamenala významný rozvoj medzi starými Grékmi počnúc Pytagorasom, okolo roku 530 pred Kristom. Čo sa týka samotnej technológie výpočtu, v tejto oblasti urobili Gréci oveľa menej.

Neskorší Rimania naopak do vedy o číslach prakticky neprispeli, ale na základe potrieb rýchlo sa rozvíjajúcej výroby a obchodu zdokonalili počítadlo ako počítacie zariadenie. O pôvode indickej aritmetiky je známe veľmi málo. Dosiahlo sa k nám len niekoľko neskorších prác o teórii a praxi číselných operácií, ktoré boli napísané potom, čo bol indický pozičný systém vylepšený zahrnutím nuly. Nevieme s istotou, kedy sa to stalo, ale práve vtedy boli položené základy našich najbežnejších aritmetických algoritmov.

Indický číselný systém a prvé aritmetické algoritmy si požičali Arabi. Najstaršiu existujúcu učebnicu arabskej aritmetiky napísal al-Khwarizmi okolo roku 825. Široko používa a vysvetľuje indické číslice. Táto učebnica bola neskôr preložená do latinčiny a mala výrazný vplyv na západnú Európu. Skomolená verzia mena al-Khwarizmi sa k nám dostala v slove „algorizmus“, ktoré sa po ďalšom zmiešaní s gréckym slovom arytmom sa stal termínom „algoritmus“.

Indoarabská aritmetika sa v západnej Európe stala známou najmä vďaka dielu L. Fibonacciho Kniha počítadla (Liber abaci, 1202). Metóda Abacist ponúkala zjednodušenia podobné použitiu nášho pozičného systému, aspoň pri sčítaní a násobení. Abacisti boli nahradení algoritmami, ktoré používali nulu a arabskú metódu delenia a extrakcie druhej odmocniny. Jedna z prvých učebníc aritmetiky, ktorej autor nám nie je známy, vyšla v Trevise (Taliansko) v roku 1478. Zaoberala sa výpočtami pri uskutočňovaní obchodných transakcií. Táto učebnica sa stala predchodcom mnohých učebníc aritmetiky, ktoré sa objavili neskôr. Do začiatku 17. stor. V Európe vyšlo viac ako tristo takýchto učebníc. Aritmetické algoritmy sa počas tejto doby výrazne zlepšili. V 16.–17. stor. Objavili sa symboly pre aritmetické operácie, ako napríklad =, +, -, ґ, ё a .

Mechanizácia aritmetických výpočtov.

S rozvojom spoločnosti rástla aj potreba rýchlejších a presnejších výpočtov. Z tejto potreby vznikli štyri pozoruhodné vynálezy: indoarabské číslice, desatinné čísla, logaritmy a moderné počítacie stroje.

V skutočnosti najjednoduchšie počítacie zariadenia existovali pred príchodom modernej aritmetiky, pretože v staroveku sa na počítadle vykonávali základné aritmetické operácie (v Rusku sa na tento účel používali počítadlá). Za najjednoduchšie moderné výpočtové zariadenie možno považovať logaritmické pravítko, ktoré pozostáva z dvoch logaritmických stupníc, ktoré sa posúvajú po sebe, čo umožňuje násobenie a delenie sčítavaním a odčítavaním segmentov stupníc. Za vynálezcu prvého mechanického sčítacieho stroja sa považuje B. Pascal (1642). Neskôr v tom istom storočí G. Leibniz (1671) v Nemecku a S. Moreland (1673) v Anglicku vynašli stroje na vykonávanie násobenia. Tieto stroje sa stali predchodcami stolných výpočtových zariadení (aritmometrov) 20. storočia, ktoré umožňovali rýchlo a presne vykonávať operácie sčítania, odčítania, násobenia a delenia.

V roku 1812 začal anglický matematik C. Babbage vytvárať návrh stroja na počítanie matematických tabuliek. Hoci práce na projekte pokračovali dlhé roky, zostal nedokončený. Napriek tomu Babbageov projekt poslúžil ako podnet na vytvorenie moderných elektronických počítačov, ktorých prvé príklady sa objavili okolo roku 1944. Rýchlosť týchto strojov bola úžasná: s ich pomocou bolo v priebehu niekoľkých minút alebo hodín možné vyriešiť problémy, ktoré si predtým vyžadovali mnoho rokov nepretržitých výpočtov aj s použitím sčítacích strojov.

Kladné celé čísla.

Nechaj A A B sú dve konečné množiny, ktoré nemajú spoločné prvky, a nech A obsahuje n prvky a B obsahuje m prvkov. Potom mnohí S, pozostávajúci zo všetkých prvkov zostáv A A B, spolu, je konečná množina obsahujúca, povedzme, s prvkov. Napríklad, ak A pozostáva z prvkov ( a, b, c), kopa IN- z prvkov ( X, r), potom súpravu S=A+B a skladá sa z prvkov ( a, b, c, X, r). číslo s volal čiastkačísla n A m a napíšeme to takto: s = n + m. V tomto zázname čísla n A m sa volajú podmienky, operácia hľadania sumy – prídavok. Operačný symbol „+“ sa číta ako „plus“. Kopa P, pozostávajúci zo všetkých usporiadaných párov, v ktorých je prvý prvok vybraný z množiny A, a druhý je zo sady B, je konečná množina obsahujúca napr. p prvkov. Napríklad, ak ako predtým A = {a, b, c}, B = {X, r), To P=AґB = {(a,X), (a,r), (b,X), (b,r), (c,X), (c,r)). číslo p volal prácačísla a A b a napíšeme to takto: p = aґb alebo p = a×b. čísla a A b v diele sa nazývajú multiplikátory, operácia hľadania produktu – násobenie. Operačný symbol ґ sa číta ako „násobok“.

Dá sa ukázať, že z týchto definícií vyplývajú tieto základné zákony sčítania a násobenia celých čísel:

- zákon komutatívneho sčítania: a + b = b + a;

– zákon o pridružení: a + (b + c) = (a + b) + c;

- zákon komutatívneho násobenia: aґb = bґa;

- zákon asociativity násobenia: aґ(bґc) = (aґb)ґc;

- zákon distribúcie: aґ(b + c)= (aґb) + (aґc).

Ak a A b– dve kladné celé čísla a ak existuje kladné celé číslo c, také že a = b + c, potom to hovoríme a viac b(je to napísané takto: a>b), alebo čo b menej a(je to napísané takto: b). Pre ľubovoľné dve čísla a A b platí jeden z troch vzťahov: buď a = b, alebo a>b, alebo a.

Prvé dva základné zákony hovoria, že súčet dvoch alebo viacerých pojmov nezávisí od toho, ako sú zoskupené alebo v akom poradí sú usporiadané. Podobne z tretieho a štvrtého zákona vyplýva, že súčin dvoch alebo viacerých faktorov nezávisí od toho, ako sú faktory zoskupené alebo aké je ich poradie. Tieto skutočnosti sú známe ako „zovšeobecnené zákony komutácie a asociatívnosti“ sčítania a násobenia. Z nich vyplýva, že pri písaní súčtu viacerých členov alebo súčinu viacerých činiteľov nie je poradie členov a činiteľov dôležité a zátvorky možno vynechať.

Najmä opakovaná suma a + a + ... + a od n podmienky sa rovná nґa. Opakovaná práca aґaґ ... ґa od n Dohodli sme sa na označení faktorov a n; číslo a volal základ a číslo n – indikátor opakovania produktu, samotná opakovaná práca – n-tá mocnosťčísla a. Tieto definície nám umožňujú stanoviť nasledujúce základné zákony pre exponenty:

Ďalší dôležitý dôsledok definícií: aґ1 = a pre akékoľvek celé číslo a a 1 je jediné celé číslo, ktoré má túto vlastnosť. Volá sa číslo 1 jednotka.

Deliče celých čísel.

Ak a, b, c– celé čísla a aґb = c, To a A b sú deliteľmi čísla c. Pretože aґ1 = a pre akékoľvek celé číslo a, dospejeme k záveru, že 1 je deliteľom ľubovoľného celého čísla a že akékoľvek celé číslo je deliteľom samého seba. Ľubovoľný celočíselný deliteľ a, odlišný od 1 resp a, dostal meno správny deliteľčísla a.

Volá sa akékoľvek celé číslo iné ako 1, ktoré nemá vlastných deliteľov prvočíslo. (Príkladom prvočísla je číslo 7.) Volá sa celé číslo, ktoré má vlastných deliteľov zložené číslo. (Napríklad číslo 6 je zložené, keďže 2 delí 6.) Z uvedeného vyplýva, že množina všetkých celých čísel je rozdelená do troch tried: jedna, prvočísla a zložené čísla.

V teórii čísel existuje veľmi dôležitá veta, ktorá hovorí, že „akékoľvek celé číslo môže byť reprezentované ako súčin prvočísel a až do poradia faktorov je takéto zobrazenie jedinečné“. Táto veta je známa ako „základná aritmetická veta“. Ukazuje, že prvočísla slúžia ako „stavebné kamene“, z ktorých možno pomocou násobenia zostrojiť všetky celé čísla iné ako jedna.

Ak je daná určitá množina celých čísel, potom najväčšie celé číslo, ktoré je deliteľom každého čísla zahrnutého v tejto množine, sa nazýva najväčší spoločný deliteľ daný súbor čísel; volá sa najmenšie celé číslo, ktorého deliteľom je každé číslo z danej množiny najmenší spoločný násobok daný súbor čísel. Najväčší spoločný deliteľ čísel 12, 18 a 30 je teda 6. Najmenší spoločný násobok tých istých čísel je 180. Ak najväčší spoločný deliteľ dvoch celých čísel a A b sa rovná 1, potom čísla a A b sa volajú vzájomne prvotriedne. Napríklad čísla 8 a 9 sú relatívne prvočísla, hoci ani jedno z nich nie je prvočíslo.

Kladné racionálne čísla.

Ako sme videli, celé čísla sú abstrakcie, ktoré vznikajú pri procese počítania konečných množín objektov. Pre potreby každodenného života však celé čísla nestačia. Napríklad pri meraní dĺžky dosky stola môže byť prijatá meracia jednotka príliš veľká a nezmestí sa celý počet krát do meranej dĺžky. Na zvládnutie takejto ťažkosti sa pomocou tzv. zlomkové(t. j. doslova „lomené“) čísla, zavádza sa menšia jednotka dĺžky. Ak d– nejaké celé číslo, potom zlomková jednotka 1/ d určená nehnuteľnosťou dґ1/d= 1, a ak n je teda celé číslo nґ1/d jednoducho to napíšeme ako n/d. Tieto nové čísla sa nazývajú „obyčajné“ alebo „jednoduché“ zlomky. Celé číslo n volal čitateľ zlomky a čísla d – menovateľ. Menovateľ ukazuje, na koľko rovnakých podielov bola jednotka rozdelená, a čitateľ ukazuje, na koľko takýchto podielov sa vzalo. Ak n d, zlomok sa nazýva vlastný; ak n = d alebo n>d, potom je to nesprávne. Celé čísla sa považujú za zlomky s menovateľom 1; napríklad 2 = 2/1.

Od zlomku n/d možno interpretovať ako výsledok delenia n jednotky za d rovnaké časti a ak vezmeme jednu z týchto častí, zlomok možno považovať za "podiel" alebo "pomer" dvoch celých čísel n A d a zlomkovú čiaru chápte ako deliaci znak. Preto sa zvyčajne nazývajú zlomky (vrátane celých čísel ako špeciálneho prípadu zlomkov). racionálnyčísla (z latinského ratio - pomer).

Dva zlomky n/d a ( kґn)/(kґd), Kde k– celé číslo, možno považovať za rovnaké; napríklad 4/6 = 2/3. (Tu n = 2, d= 3 a k= 2.) Toto je známe ako „základná vlastnosť zlomku“: hodnota žiadneho zlomku sa nezmení, ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobia (alebo vydelia) rovnakým číslom. Z toho vyplýva, že ľubovoľný zlomok možno zapísať ako podiel dvoch relatívne prvočísel.

Z vyššie navrhnutého výkladu zlomku tiež vyplýva, že ako súčet dvoch zlomkov n/d A m/d s rovnakým menovateľom by ste mali vziať zlomok ( n + m)/d. Pri pridávaní zlomkov s rôznymi menovateľmi ich musíte najskôr previesť pomocou základnej vlastnosti zlomku na ekvivalentné zlomky s rovnakým (spoločným) menovateľom. Napríklad, n 1 /d 1 = (n 1 H d 2)/(d 1 H d 2) a n 2 /d 2 = (n 2 H d 1)/(d 1 H d 2), odkiaľ

Dalo by sa to urobiť inak a najskôr nájsť najmenší spoločný násobok, povedzme m, menovatele d 1 a d 2. Potom sú tu celé čísla k 1 a k 2 tak, že m = k 1 H d 1 = k 2 H d 2 a dostaneme:

Pri tejto metóde číslo m zvyčajne nazývaný najmenší spoločný menovateľ dva zlomky. Tieto dva výsledky sú ekvivalentné definíciou rovnosti zlomkov.

Produkt dvoch frakcií n 1 /d 1 a n 2 /d 2 sa rovná zlomku ( n 1 H n 2)/(d 1 H d 2).

Osem základných zákonov uvedených vyššie pre celé čísla je tiež platných, ak pod a, b, c pochopiť ľubovoľné kladné racionálne čísla. Tiež, ak sú dané dve kladné racionálne čísla n 1 /d 1 a n 2 /d 2, potom to hovoríme n 1 /d 1 > n 2 /d 2 vtedy a len vtedy n 1 H d 2 > n 2 H d 1 .

Pozitívne reálne čísla.

Použitie čísel na meranie dĺžok úsečiek naznačuje, že pre akékoľvek dva dané úsečky AB A CD musí tam byť nejaký segment UV, možno veľmi malý, ktorý by sa dal v každom zo segmentov odložiť o celé číslo AB A CD. Ak taká spoločná jednotka dĺžky UV existuje, potom segmenty AB A CD sa nazývajú úmerné. Už v staroveku Pytagoriáni vedeli o existencii nekombinovateľných priamych segmentov. Klasickým príkladom je strana štvorca a jeho uhlopriečka. Ak zoberieme stranu štvorca ako jednotku dĺžky, potom neexistuje žiadne racionálne číslo, ktoré by mohlo byť mierou uhlopriečky tohto štvorca. Môžete si to overiť argumentáciou protirečením. Predpokladajme, že ide o racionálne číslo n/d je miera uhlopriečky. Ale potom segment 1/ d mohla byť odložená n raz diagonálne a d krát na strane námestia, napriek tomu, že uhlopriečka a strana námestia sú neporovnateľné. V dôsledku toho, bez ohľadu na výber jednotky dĺžky, nie všetky úsečky majú dĺžky, ktoré možno vyjadriť v racionálnych číslach. Aby sa všetky úsečky merali nejakou jednotkou dĺžky, číselný systém sa musí rozšíriť tak, aby zahŕňal čísla predstavujúce výsledky merania dĺžok úsečiek, ktoré sú neúmerné zvolenej jednotke dĺžky. Tieto nové čísla sa nazývajú pozitívne iracionálnyčísla. Tie spolu s kladnými racionálnymi číslami tvoria širšiu množinu čísel, ktorých prvky sa nazývajú kladné platnéčísla.

Ak ALEBO– vodorovná polpriamka vychádzajúca z bodu O, U– ukážte ALEBO, odlišný od pôvodu O, A OU sa vyberie ako jednotkový segment, potom každý bod P na polovičnej čiare ALEBO môžu byť spojené s jedným kladným reálnym číslom p, vyjadrujúce dĺžku segmentu OP. Týmto spôsobom vytvoríme korešpondenciu jedna ku jednej medzi kladnými reálnymi číslami a bodmi inými ako O, na polovičnej čiare ALEBO. Ak p A q– dve kladné reálne čísla zodpovedajúce bodom P A Q na ALEBO, potom píšeme p>q,p = q alebo p v závislosti od umiestnenia bodu P napravo od bodu Q na ALEBO, sa zhoduje s Q alebo umiestnené vľavo od Q.

Zavedenie kladných iracionálnych čísel výrazne rozšírilo rozsah použiteľnosti aritmetiky. Napríklad, ak a– akékoľvek kladné reálne číslo a n je akékoľvek celé číslo, potom existuje iba jedno kladné reálne číslo b, také že bn=a. Toto číslo b nazývaný koreň n tý stupeň a a píše sa ako, kde symbol vo svojom obryse pripomína latinské písmeno r, ktorým sa začína latinské slovo radix(koreň) a je tzv radikálny. Dá sa to ukázať

Tieto vzťahy sú známe ako základné vlastnosti radikálov.

Z praktického hľadiska je veľmi dôležité, že každé kladné iracionálne číslo môže byť aproximované kladným racionálnym číslom tak presne, ako si želáte. To znamená, že ak r je kladné iracionálne číslo a e je ľubovoľne malé kladné racionálne číslo, potom môžeme nájsť kladné racionálne čísla a A b, také že a b. Napríklad číslo je iracionálne. Ak vyberiete e= 0,01, potom ; ak si vyberiete e= 0,001, potom .

Indoarabský číselný systém.

Algoritmy alebo výpočtové schémy aritmetiky závisia od použitého číselného systému. Je napríklad celkom zrejmé, že metódy výpočtu vynájdené pre rímsky číselný systém sa môžu líšiť od algoritmov vynájdených pre súčasný indoarabský systém. Navyše niektoré číselné systémy môžu byť úplne nevhodné na zostavovanie aritmetických algoritmov. Historické údaje ukazujú, že pred prijatím indoarabského systému zápisu čísel neexistovali vôbec žiadne algoritmy, ktoré by dostatočne uľahčili sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie čísel pomocou „ceruzky a papiera“. Počas dlhých rokov existencie indoarabského systému boli vyvinuté početné algoritmické postupy špeciálne prispôsobené tomuto systému, takže naše moderné algoritmy sú produktom celej éry vývoja a zdokonaľovania.

V hinduisticko-arabskom číselnom systéme je každý záznam reprezentujúci číslo súborom desiatich základných symbolov 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, nazývaných číslice. Napríklad hinduisticko-arabský zápis čísla štyristodvadsaťtri má podobu postupnosti číslic 423. Význam číslice v hindu-arabskom zápise čísla je určený jej miestom, alebo pozíciou. v poradí číslic, ktoré tvoria tento zápis. V príklade, ktorý sme uviedli, číslo 4 znamená štyri stovky, číslo 2 znamená dve desiatky a číslo 3 znamená tri jednotky. Veľmi dôležitú úlohu zohráva číslo 0 (nula), ktoré sa používa na vyplnenie prázdnych pozícií; napríklad záznam 403 znamená číslo štyristo tri, t.j. chýbajú desiatky. Ak a, b, c, d, e znamenajú jednotlivé čísla, potom v indoarabskom systéme a B C d e znamená skratku pre celé číslo

Pretože každé celé číslo pripúšťa jedinečnú reprezentáciu vo forme

Kde n je celé číslo a a 0 , a 1 ,..., a n- čísla, dospejeme k záveru, že v danej číselnej sústave môže byť každé celé číslo reprezentované jedinečným spôsobom.

Hindusko-arabský číselný systém umožňuje výstižne zapisovať nielen celé čísla, ale aj akékoľvek kladné reálne čísla. Predstavme si označenie 10 - n za 1/10 n, Kde n– ľubovoľné kladné celé číslo. Potom, ako je možné ukázať, akékoľvek kladné reálne číslo môže byť reprezentované a jedinečne vo forme

Tento záznam je možné skomprimovať zápisom ako postupnosť čísel

kde je znamienko, nazývané desatinná čiarka, medzi a 0 a b 1 označuje, kde začínajú záporné mocniny 10 (v niektorých krajinách sa na tento účel používa bodka). Tento spôsob zápisu kladného reálneho čísla sa nazýva desiatkový rozvoj a zlomok prezentovaný vo forme jeho desiatkového rozšírenia je desiatkový.

Dá sa ukázať, že pre kladné racionálne číslo sa desatinný rozvoj za desatinnou čiarkou buď preruší (napríklad 7/4 = 1,75), alebo sa opakuje (napríklad 6577/1980 = 3,32171717...). Ak je číslo iracionálne, potom sa jeho desatinné rozšírenie neodlomí a neopakuje. Ak sa na niektorom desatinnom mieste preruší desatinný rozvoj iracionálneho čísla, získame jeho racionálnu aproximáciu. Čím ďalej napravo od desatinnej čiarky sa nachádza znamienko, pri ktorom končíme desatinný rozvoj, tým lepšia je racionálna aproximácia (čím menšia chyba).

V hinduisticko-arabskom systéme sa číslo zapisuje pomocou desiatich základných číslic, ktorých význam závisí od ich miesta, prípadne polohy, v zápise čísla (hodnota číslice sa rovná súčinu číslice a niektorých mocnina 10). Preto sa takýto systém nazýva desiatkový polohový systém. Systémy pozičných čísel sú veľmi vhodné na zostavovanie aritmetických algoritmov, a preto je indoarabský číselný systém v modernom svete taký rozšírený, hoci v rôznych krajinách môžu byť na označenie jednotlivých čísel použité rôzne symboly.

Názvy čísel.

Názvy čísel v indoarabskom systéme sa riadia určitými pravidlami. Najbežnejším spôsobom pomenovania čísel je, že číslo sa najprv rozdelí na skupiny po troch čísliciach sprava doľava. Tieto skupiny sa nazývajú „obdobia“. Prvé obdobie sa nazýva obdobie „jednotiek“, druhé – obdobie „tisícov“, tretie – obdobie „miliónov“ atď., Ako je znázornené v nasledujúcom príklade:

Každá bodka sa číta, ako keby to bolo trojmiestne číslo. Napríklad obdobie 962 sa číta ako „deväťstošesťdesiatdva“. Na prečítanie čísla pozostávajúceho z niekoľkých bodiek sa načíta skupina číslic v každej bodke, pričom sa začne od ľavého kraja a potom sa postupuje v poradí zľava doprava; Za každou skupinou nasleduje názov obdobia. Napríklad vyššie uvedené číslo znie „sedemdesiattri biliónov osemsto štyridsaťdva miliárd deväťsto šesťdesiatdva miliónov päťsto tridsaťdvatisíc sedemsto deväťdesiatosem“. Všimnite si, že pri čítaní a písaní celých čísel sa spojenie „a“ zvyčajne nepoužíva. Názov kategórie jednotiek je vynechaný. Po biliónoch nasledujú kvadrilióny, kvintilióny, sextilióny, septilióny, oktilióny, nealióny a decilióny. Každé obdobie má hodnotu 1000-krát väčšiu ako predchádzajúce.

V hinduisticko-arabskom systéme je pri čítaní čísel napravo od desatinnej čiarky zvykom postupovať podľa nasledujúceho postupu. Tu sa pozície nazývajú (v poradí zľava doprava): „desatiny“, „stotiny“, „tisíciny“, „desaťtisíciny“ atď. Správna desatinná čiarka sa číta tak, ako keby číslice za desatinnou čiarkou tvorili celé číslo, za ktorým nasleduje názov pozície poslednej číslice vpravo. Napríklad 0,752 sa číta ako „sedemstopäťdesiatdva tisícin“. Zmiešané desatinné číslo sa číta spojením pravidla pre pomenovanie celých čísel s pravidlom pre pomenovanie správnych desatinných miest. Napríklad 632.752 znie "šesťstotridsaťdva bodových sedemstopäťdesiatdva tisícin." Všimnite si slovo "celé čísla" pred desatinnou čiarkou. V posledných rokoch sa desatinné čísla čoraz viac čítajú jednoduchšie, napríklad 3,782 ako „tri desatinné miesta sedemsto osemdesiat dva“.

Doplnenie.

Teraz sme pripravení analyzovať aritmetické algoritmy, ktoré sa vyučujú na základnej škole. Tieto algoritmy sa zaoberajú operáciami s kladnými reálnymi číslami zapísanými ako desiatkové rozšírenia. Predpokladáme, že základné tabuľky sčítania a násobenia sa naučili naspamäť.

Zvážte problém sčítania: vypočítajte 279,8 + 5,632 + 27,54:

Najprv spočítame rovnaké mocniny čísla 10. Číslo 19Х10 –1 rozdelíme podľa distribučného zákona na 9Х10 –1 a 10Х10 –1 = 1. Jednotku posunieme doľava a pripočítame k 21, čím dáva 22. Číslo 22 zase rozdelíme na 2 a 20 = 2H10. Číslo 2H10 posunieme doľava a pridáme k 9H10, čím dostaneme 11H10. Nakoniec rozdelíme 11H10 na 1H10 a 10H10 = 1H102, posunieme 1H102 doľava a pridáme ho k 2H102, čím získame 3H102. Konečný súčet je 312,972.

Je zrejmé, že vykonané výpočty je možné prezentovať v stručnejšej forme a zároveň ich použiť ako príklad sčítacieho algoritmu, ktorý sa vyučuje v škole. Za týmto účelom napíšeme všetky tri čísla pod seba tak, aby desatinné čiarky boli na rovnakej vertikále:

Počnúc sprava zistíme, že súčet koeficientov pri 10 –3 sa rovná 2, čo zapíšeme do príslušného stĺpca pod čiaru. Súčet koeficientov pri 10 –2 sa rovná 7, čo sa tiež zapíše do príslušného stĺpca pod čiarou. Súčet koeficientov pre 10 –1 je 19. Pod čiaru napíšeme číslo 9 a 1 presunieme do predchádzajúceho stĺpca, kde sú jednotky. Ak vezmeme do úvahy túto jednotku, súčet koeficientu v tomto stĺpci sa rovná 22. Jednu dvojku napíšeme pod čiaru a druhú presunieme do predchádzajúceho stĺpca, kde sú desiatky. Pri zohľadnení prenesených dvoch sa súčet koeficientov v tomto stĺpci rovná 11. Jednu jednotku napíšeme pod čiaru a druhú prenesieme do predchádzajúceho stĺpca, kde sú stovky. Súčet koeficientov v tomto stĺpci sa rovná 3, ktoré zapíšeme pod riadok. Požadovaná suma je 312,972.

Odčítanie.

Odčítanie je opakom sčítania. Ak tri kladné reálne čísla a, b, c vzájomne prepojené tak, že a+b=c, potom píšeme a = c – b, kde symbol „-“ sa číta ako „mínus“. Nájdenie čísla a podľa známych čísel b A c nazývané „odčítanie“. číslo c volaný minuend, číslo b– „odpočítateľné“ a číslo a- "rozdiel". Keďže máme do činenia s kladnými reálnymi číslami, podmienka musí byť splnená c > b.

Pozrime sa na príklad odčítania: vypočítajte 453,87 – 82,94.

Najprv si v prípade potreby požičiame jednotku zľava, transformujeme expanziu minuendu tak, aby jeho koeficient pre akúkoľvek mocninu 10 bol väčší ako koeficient podtrahendu pre rovnakú mocninu. Z 4H10 2 si požičiame 1H10 2 = 10H10, pričom posledné číslo pridáme k ďalšiemu členu v rozšírení, čo dáva 15H10; podobne si požičiame 1Х10 0 alebo 10Ч10 –1 a toto číslo pridáme k predposlednému termínu rozšírenia. Potom dostaneme príležitosť odpočítať koeficienty pre rovnaké mocniny čísla 10 a ľahko nájsť rozdiel 370,93.

Záznam operácií odčítania môže byť prezentovaný v komprimovanejšej forme a môžete získať príklad algoritmu odčítania, ktorý sa študoval v škole. Subtrahend zapisujeme pod minuend tak, aby ich desatinné čiarky boli na rovnakej vertikále. Počnúc sprava zistíme, že rozdiel v koeficientoch pri 10 –2 je rovný 3 a toto číslo zapíšeme do toho istého stĺpca pod čiaru. Keďže v ďalšom stĺpci vľavo nemôžeme od 8 odčítať 9, zmeníme trojku na jednotkovej pozícii minuendu na dvojku a číslo 8 na desatinnej pozícii považujeme za 18. Po odčítaní 9 od 18 dostaneme 9 atď. ., t.j.

Násobenie.

Uvažujme najskôr o tzv „krátke“ násobenie je násobenie kladného reálneho čísla jedným z jednociferných čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, napríklad 32,67ґ4. Pomocou zákona distributivity, ako aj zákonov asociatívnosti a komutatívnosti násobenia, dostávame príležitosť rozdeliť faktory na časti a usporiadať ich pohodlnejšie. Napríklad,

Tieto výpočty možno napísať kompaktnejšie takto:

Proces kompresie môže pokračovať. Faktor 4 zapíšeme pod multiplikand 32,67, ako je uvedené:

Keďže 4ґ7 = 28, napíšeme číslo 8 pod čiaru a 2 umiestnime nad číslo 6 násobiteľa. Ďalej 4ґ6 = 24, čo pri zohľadnení toho, čo sa prenesie zo stĺpca napravo, dáva 26. Číslo 6 napíšeme pod čiaru a číslo 2 napíšeme nad číslo 2 násobilky. Potom dostaneme 4ґ2 = 8, čo v kombinácii s prenesenou dvojkou dáva 10. Pod čiaru podpíšeme číslo 0 a číslo nad číslom 3 násobiteľa. Nakoniec 4ґ3 = 12, čo, berúc do úvahy prenesenú jednotku, dáva 13; Číslo 13 je napísané pod čiarou. Po zadaní desatinnej čiarky dostaneme odpoveď: súčin sa rovná 130,68.

"Dlhé" násobenie je jednoducho "krátke" násobenie opakujúce sa znova a znova. Zvážte napríklad vynásobenie čísla 32,67 číslom 72,4. Umiestnime multiplikátor pod multiplikand, ako je uvedené:

Krátkym násobením sprava doľava dostaneme prvý kvocient 13,068, druhý 65,34 a tretí 2286,9. Podľa zákona distribúcie súčin, ktorý treba nájsť, je súčet týchto čiastkových súčinov alebo 2365,308. V písomnom zápise sa desatinná čiarka v čiastkových produktoch vynecháva, ale musia byť správne usporiadané v „krokoch“, aby sa potom sčítali a získali úplný produkt. Počet desatinných miest v súčine sa rovná súčtu počtu desatinných miest v multiplikáde a multiplikátore.

divízie.

Delenie je inverzná operácia násobenia; tak ako násobenie nahrádza opakované sčítanie, delenie nahrádza opakované odčítanie. Zvážte napríklad otázku: koľkokrát je 3 obsiahnuté v 14? Opakovaním operácie odčítania 3 od 14 zistíme, že 3 „vstúpi“ do 14 štyrikrát a číslo 2 „zostane“, t.j.

Volá sa číslo 14 deliteľné, číslo 3 – rozdeľovač, číslo 4 – súkromné a číslo 2 - zvyšok. Výsledný vzťah možno vyjadriť slovami takto:

dividenda = (deliteľ ґ kvocient) + zvyšok,

0 Ј zvyšok

Nájdenie kvocientu a zvyšku 1400 delené 3 opakovaným odčítaním 3 by vyžadovalo veľa času a úsilia. Postup by sa dal výrazne urýchliť, ak by sme od 1400 najskôr odčítali 300, potom od zvyšku 30 a nakoniec 3. Po štvornásobnom odčítaní 300 by sme dostali zvyšok 200; po šesťnásobnom odčítaní 30 od 200 by zvyšok bol 20; nakoniec po šesťnásobnom odčítaní 3 od 20 dostaneme zvyšok 2. Preto

Kvocient a zvyšok, ktorý sa má nájsť, sú 466 a 2. Výpočty možno usporiadať a následne sekvenčne komprimovať takto:

Vyššie uvedené zdôvodnenie platí, ak dividenda a deliteľ sú akékoľvek kladné reálne čísla vyjadrené v desiatkovej sústave. Ilustrujme to na príklade 817.65е23.7.

Najprv je potrebné previesť deliteľa na celé číslo pomocou posunu desatinnej čiarky. V tomto prípade sa desatinná čiarka dividendy posunie o rovnaký počet desatinných miest. Deliteľ a dividenda sú usporiadané takto:

Určme, koľkokrát je deliteľ obsiahnutý v trojcifernom čísle 817, prvej časti deliteľa, ktorú delíme deliteľom. Keďže sa odhaduje, že obsahuje trikrát, 237 vynásobíme 3 a odpočítame súčin 711 od 817. Rozdiel 106 je menší ako deliteľ. To znamená, že číslo 237 sa v skúšobnej dividende objaví maximálne trikrát. Číslo 3, zapísané pod deliteľom číslo 2 pod vodorovnou čiarou, je prvou číslicou podielu, ktorý je potrebné nájsť. Keď sa posunieme o ďalšiu číslicu dividendy nižšie, dostaneme ďalšiu skúšobnú dividendu 1066 a musíme určiť, koľkokrát sa deliteľ 237 zmestí do čísla 1066; Povedzme 4 krát. Deliteľa vynásobíme 4 a dostaneme súčin 948, ktorý odpočítame od 1066; rozdiel je 118, čo znamená, že ďalšia číslica podielu je 4. Potom odpočítame ďalšiu číslicu dividendy a zopakujeme celý postup popísaný vyššie. Tentokrát sa ukáže, že skúšobná dividenda 1185 je presne (bez zvyšku) deliteľná 237 (zvyšok delenia sa nakoniec ukáže ako 0). Oddelením desatinnej čiarky v kvociente rovnakého počtu číslic, ako sú oddelené v dividende (nezabudnite, že sme predtým posunuli desatinnú čiarku), dostaneme odpoveď: kvocient sa rovná 34,5.

Zlomky.

Výpočty so zlomkami zahŕňajú sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie, ako aj zjednodušenie zložitých zlomkov.

Sčítanie zlomkov s rovnakým menovateľom sa vykonáva sčítaním čitateľov, napr.

1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16.

Ak majú zlomky rôznych menovateľov, tak ich treba najskôr zredukovať na spoločného menovateľa, t.j. previesť na zlomky s rovnakými menovateľmi. Na tento účel nájdeme najmenšieho spoločného menovateľa (najmenší násobok každého z daných menovateľov). Napríklad pri sčítaní 2/3, 1/6 a 3/5 je najnižší spoločný menovateľ 30:

Keď to zhrnieme, dostaneme

20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30.

Odčítanie zlomkov sa vykonáva rovnakým spôsobom ako ich sčítanie. Ak sú menovatelia rovnakí, potom sa odčítanie zníži na odčítanie čitateľov: 10/13 – 2/13 = 8/13; Ak majú zlomky rôznych menovateľov, musíte ich najprv priviesť k spoločnému menovateľovi:

7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8.

Pri násobení zlomkov sa oddelene násobia ich čitatelia a menovatelia. Napríklad,

5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27.

Na delenie jedného zlomku druhým je potrebné vynásobiť prvý zlomok (dividenda) prevráteným zlomkom druhého (deliteľa) (pre získanie prevráteného zlomku je potrebné prehodiť čitateľa a menovateľa pôvodného zlomku), t.j. ( n 1 /d 1) е ( n 2 /d 2) = (n 1 H d 2)/(d 1 H n 2). Napríklad,

3/4е7/8 = 3/4ґ8/7 = 24/28 = 6/7.

Zmiešané číslo je súčet (alebo rozdiel) celého čísla a zlomku, napríklad 4 + 2/3 alebo 10 – 1/8. Keďže celé číslo možno považovať za zlomok s menovateľom 1, zmiešané číslo nie je nič iné ako súčet (alebo rozdiel) dvoch zlomkov. Napríklad,

4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.

Komplexný zlomok je zlomok, ktorý má zlomok buď v čitateli, menovateli, alebo v čitateľovi a menovateli. Tento zlomok možno previesť na jednoduchý:

Odmocnina.

Ak n r, také že r 2 = n. číslo r volal odmocnina od n a je určený. V škole vás učia extrahovať odmocniny dvoma spôsobmi.

Prvá metóda je populárnejšia, pretože je jednoduchšia a ľahšie sa aplikuje; výpočty využívajúce túto metódu sa dajú jednoducho implementovať na stolnej kalkulačke a zovšeobecňujú na prípad odmocniny a vyšších koreňov. Metóda je založená na skutočnosti, že ak r 1 – približovanie sa teda ku koreňu r 2 = (1/2)(r 1 + n/r 1) – presnejšia aproximácia koreňa.

Znázornime postup tak, že vypočítame druhú odmocninu nejakého čísla medzi 1 a 100, povedzme číslo 40. Keďže 6 2 = 36 a 7 2 = 49, usúdime, že 6 je najlepšia aproximácia v celých číslach. Presnejšia aproximácia k sa získa z 6 nasledovne. Vydelením 40 6 dostaneme 6,6 (zaokrúhlené na prvé desatinné miesto) dokoncačísla desatín). Aby sme získali druhú aproximáciu k , spriemerujeme dve čísla 6 a 6,6 a dostaneme 6,3. Opakovaním postupu získame ešte lepšiu aproximáciu. Vydelením 40 6,3 nájdeme číslo 6,350 a tretia aproximácia sa ukáže ako (1/2) (6,3 + 6,350) = 6,325. Ďalšie opakovanie dáva 40е6,325 = 6,3241106 a štvrtá aproximácia sa ukáže ako (1/2) (6,325 + 6,3241106) = 6,3245553. Proces môže pokračovať tak dlho, ako si želáte. Vo všeobecnosti môže každá nasledujúca aproximácia obsahovať dvakrát toľko číslic ako predchádzajúca. Takže v našom príklade, keďže prvá aproximácia, celé číslo 6, obsahuje iba jednu číslicu, môžeme ponechať dve číslice v druhej aproximácii, štyri v tretej a osem vo štvrtej.

Ak číslo n neleží medzi 1 a 100, potom musíte najprv rozdeliť (alebo vynásobiť) n na nejakú mocninu 100, povedzme na k-tý tak, aby súčin bol v rozsahu od 1 do 100. Potom bude druhá odmocnina súčinu v rozsahu od 1 do 10 a po jeho vytiahnutí výsledné číslo vynásobíme (alebo vydelíme) 10 k, nájdite požadovanú druhú odmocninu. Napríklad, ak n= 400 000, potom najprv my rozdeliť 400 000 x 100 2 a dostaneme číslo 40, ktoré leží v rozsahu od 1 do 100. Ako je uvedené vyššie, približne sa rovná 6,3245553. Násobenie toto číslo o 10 2 dostaneme 632,45553 ako približnú hodnotu pre a číslo 0,63245553 slúži ako približnú hodnotu pre.

Druhý z vyššie uvedených postupov je založený na algebraickej identite ( a + b) 2 = a 2 + (2a + b)b. V každom kroku sa už získaná časť odmocniny berie ako a, a časť, ktorú treba ešte určiť, je pre b.

Kockový koreň.

Na extrakciu druhej odmocniny kladného reálneho čísla existujú algoritmy podobné tým na extrakciu druhej odmocniny. Napríklad nájsť odmocninu čísla n, najprv aproximujeme koreň nejakým číslom r 1. Potom vytvoríme presnejšiu aproximáciu r 2 = (1/3)(2r 1 + n/r 1 2), čo zase ustupuje ešte presnejšej aproximácii r 3 = (1/3)(2r 2 + n/r 2 2) atď. Postup konštrukcie čoraz presnejších aproximácií koreňa môže pokračovať donekonečna.

Uvažujme napríklad o výpočte odmocniny čísla medzi 1 a 1000, povedzme čísla 200. Keďže 5 3 = 125 a 6 3 = 216, dospejeme k záveru, že 6 je najbližšie celé číslo k odmocnine z 200. Preto si vyberáme r 1 = 6 a postupne vypočítajte r 2 = 5,9, r 3 = 5,85, r 4 = 5,8480. V každej aproximácii, počnúc treťou, je povolené zachovať počet znakov, ktorý je o jeden menší ako dvojnásobok počtu znakov v predchádzajúcej aproximácii. Ak číslo, z ktorého chcete extrahovať odmocninu, nie je medzi 1 a 1000, musíte ho najprv vydeliť (alebo vynásobiť), povedzme, k th, mocnina čísla 1000 a tým ho dostať do požadovaného rozsahu čísel. Odmocnina z novo získaného čísla leží v rozsahu od 1 do 10. Po výpočte je potrebné ho vynásobiť (alebo vydeliť) 10 k získať odmocninu pôvodného čísla.

Druhý, zložitejší, algoritmus na nájdenie druhej odmocniny kladného reálneho čísla je založený na použití algebraickej identity ( a + b) 3 = a 3 + (3a 2 + 3ab + b 2)b. V súčasnosti sa na strednej škole nevyučujú algoritmy na extrakciu koreňových kociek, ako aj koreňov vyšších mocnín, pretože ich možno ľahšie nájsť pomocou logaritmov alebo algebraických metód.

Euklidov algoritmus.

Tento algoritmus bol predstavený v Začiatky Euklides (asi 300 pred Kr.). Používa sa na výpočet najväčšieho spoločného deliteľa dvoch celých čísel. Pre prípad kladných čísel je to formulované ako procedurálne pravidlo: „Vydeľte väčšie z dvoch daných čísel menším. Potom deliteľa vydeľte zvyškom a pokračujte týmto spôsobom, kým posledný deliteľ nebude rovnomerne rozdelený posledným zvyškom. Posledný z deliteľov bude najväčším spoločným deliteľom dvoch daných čísel."

Ako číselný príklad uvažujme dve celé čísla 3132 a 7200. Algoritmus v tomto prípade pozostáva z nasledujúcich krokov:

Najväčší spoločný deliteľ je rovnaký ako posledný deliteľ – číslo 36. Vysvetlenie je jednoduché. V našom príklade z posledného riadku vidíme, že číslo 36 delí číslo 288. Z predposledného riadku vyplýva, že číslo 36 delí 324. Takže postupujúc nahor z riadku na riadok sme presvedčení, že číslo 36 delí 936 , 3132 a 7200 Teraz tvrdíme, že číslo 36 je spoločným deliteľom čísel 3132 a 7200. Nech g je najväčší spoločný deliteľ čísel 3132 a 7200. Od r g delí 3132 a 7200, z prvého riadku vyplýva, že g delí 936. Z druhého riadku usudzujeme, že g delí 324. Takže pri prechode z riadku na riadok sme presvedčení, že g delí 288 a 36. A keďže 36 je spoločným deliteľom čísel 3132 a 7200 a delí sa ich najväčším spoločným deliteľom, usudzujeme, že 36 je tento najväčší spoločný deliteľ.

Vyšetrenie.

Aritmetické výpočty vyžadujú neustálu pozornosť, a preto sú náchylné na chyby. Preto je veľmi dôležité skontrolovať výsledky výpočtu.

1. Pridanie stĺpca čísel je možné skontrolovať pridaním čísel v stĺpci najprv zhora nadol a potom zdola nahor. Opodstatnením tohto spôsobu overovania je zovšeobecnený zákon komutativnosti a asociatívnosti sčítania.

2. Odčítanie sa kontroluje pripočítaním rozdielu so subtrahendom - mal by sa získať minuend. Základom tejto overovacej metódy je definícia operácie odčítania.

3. Násobenie je možné skontrolovať preskupením násobiteľa a násobiteľa. Opodstatnením tohto spôsobu overovania je zákon komutatívneho násobenia. Násobenie môžete skontrolovať rozdelením faktora (alebo násobiteľa) na dva členy, vykonaním dvoch samostatných operácií násobenia a pridaním výsledných produktov – mali by ste získať pôvodný súčin.

4. Ak chcete skontrolovať delenie, musíte vynásobiť podiel deliteľom a zvyšok pripočítať k súčinu. Mali by ste dostať dividendu. Podstatou tejto metódy overovania je definícia operácie delenia.

5. Kontrola správnosti extrakcie druhej (alebo kubickej) odmocniny pozostáva zo zvýšenia výsledného čísla pomocou druhej mocniny (alebo kocky) – malo by sa získať pôvodné číslo.

Obzvlášť jednoduchým a veľmi spoľahlivým spôsobom kontroly sčítania alebo násobenia celých čísel je technika, ktorá predstavuje prechod na tzv. "porovnania modulo 9". Nazvime „nadbytok“ zvyšok súčtu číslic použitých na zapísanie čísla pri delení 9. Potom, pokiaľ ide o „excesy“, možno formulovať dve vety: „prebytok súčtu celých čísel sa rovná prebytku súčtu prebytkov členov“ a „prebytok súčinu dvoch celých čísel sa rovná prebytok produktu ich excesov.“ Nižšie sú uvedené príklady kontrol založených na tejto vete:

Metódu prechodu na porovnávacie modulo 9 možno použiť aj pri testovaní iných aritmetických algoritmov. Takáto kontrola samozrejme nie je neomylná, pretože aj práca s „excesmi“ podlieha chybám, ale takáto situácia je nepravdepodobná.

Záujem.

Percento je zlomok, ktorého menovateľ je 100; Percentá možno zapísať tromi spôsobmi: zlomkom, desatinným číslom alebo špeciálnym percentom %. Napríklad 7 percent možno zapísať ako 7/100, ako 0,07 alebo ako 7 %.

Príklad najbežnejšieho typu percentuálneho problému je nasledujúci: „Nájdi 17 % z 82.“ Na vyriešenie tohto problému musíte vypočítať súčin 0,17ґ82 = 13,94. V produktoch tohto druhu sa 0,17 nazýva sadzba, 82 je základ a 13,94 je podiel vyjadrený v percentách. Uvedené tri veličiny spolu súvisia vzťahom

Sadzba ґ základ = percentuálny podiel.

Ak sú známe akékoľvek dve veličiny, tretiu možno určiť z tohto vzťahu. Podľa toho dostávame tri typy problémov „pomocou percent“.

Príklad 1. Počet zapísaných žiakov na tejto škole sa zvýšil z 351 na 396. O koľko percent sa toto číslo zvýšilo?

Nárast bol 396 – 351 = 45 osôb. Zapísaním zlomku 45/351 v percentách dostaneme 45/351 = 0,128 = 12,8 %.

Príklad 2. Reklama v obchode počas výpredaja hovorí „25 % zľava na všetky položky“. Aká je predajná cena položky, ktorá sa bežne predáva za 3,60 USD?

25% pokles ceny o 3,60 USD znamená pokles o 0,25-3,60 = 0,90 USD; preto cena položky počas predaja bude 3,60 – 0,90 USD = 2,70 USD.

Príklad 3. Peniaze uložené v banke za 5 % ročne priniesli zisk 40 dolárov ročne. Aká suma bola vložená do banky?

Keďže 5% zo sumy je 40 dolárov, t.j. 5/100 ґ suma = 40 dolárov alebo 1/100 ґ suma = 8 dolárov, celková suma je 800 dolárov.

Aritmetika približných čísel.

Mnohé čísla používané vo výpočtoch pochádzajú buď z meraní alebo odhadov, a preto ich možno považovať len za približné. Je zrejmé, že výsledkom výpočtov vykonaných s približnými číslami môže byť iba približné číslo. Predpokladajme napríklad, že merania protiľahlej plochy priniesli nasledujúce výsledky (zaokrúhlené na najbližšiu desatinu metra): šírka 1,2 m, dĺžka 3,1 m; dalo by sa povedať, že plocha pultu je 1,2ґ3,1 = 3,72 m2. V skutočnosti však informácie zďaleka nie sú také isté. Keďže hodnota 1,2 m znamená iba to, že nameraná šírka je medzi 1,15 a 1,25 m, a 3,1 udáva, že dĺžka je medzi 3,05 a 3,15 m, o ploche počítadla môžeme povedať len to, že by mala byť väčšia ako 1,15ґ3,05 = 3,5075, ale menej ako 1,25ґ3,15 = 3,9375. Preto jedinou rozumnou odpoveďou na otázku o ploche pultu je povedať, že je to približne 3,7 m 2 .

Uvažujme ďalej o probléme sčítania výsledkov približných meraní 3,73 m, 52,1 m a 0,282 m. Jednoduchý súčet je 56,112 m. Ale rovnako ako v predchádzajúcej úlohe možno s istotou povedať len to, že skutočný súčet musí byť väčšia ako 3,725 + 52,05 + 0,2815 = 56,0565 m a menšia ako 3,735 + 52,15 + 0,2825 = 56,1765 m. Jedinou rozumnou odpoveďou na otázku je teda povedať, že súčet sa rovná približne 56,1 m.

Dva vyššie uvedené príklady ilustrujú niektoré pravidlá, ktoré sú užitočné pri práci s približnými číslami. Existujú rôzne spôsoby zaokrúhľovania čísel. Jedným z nich je vyradiť spodné číslice čísla. Okrem toho, ak je prvá číslica, ktorá sa má vyradiť, väčšia ako päť, posledná zostávajúca číslica sa musí zvýšiť o jednu; ak je menšia, posledná číslica zostávajúcej časti zostane nezmenená.

Ak je prvá číslica, ktorá sa má vyradiť, presne päť, potom posledná číslica, ktorá sa má ponechať, sa zvýši o jednu, ak je nepárna, a zostane nezmenená, ak je párna. Napríklad pri zaokrúhľovaní na stotiny číslo 3,14159;17,7682; 28 999; 0,00234; 7,235 a 7,325 sa stanú 3,14; 17,77; 29,00; 0,00; 7,24 a 7,32.

Ďalší spôsob zaokrúhľovania je spojený s pojmom významné číslice a používa sa pri strojovom zápise čísla. Významné číslice približného čísla sú číslice v jeho desatinnom zápise v poradí zľava doprava, počnúc prvou nenulovou číslicou a končiac číslicou, ktorá stojí na mieste desatinného miesta zodpovedajúceho chybe. Napríklad platné číslice približného čísla 12.1 sú čísla 1, 2, 1; približné číslo 0,072 – čísla 7, 2; približné číslo 82 000 zapísané s presnosťou na stovky je 8, 2, 0.

Teraz sformulujeme dve pravidlá pre prácu s približnými číslami uvedenými vyššie.

Pri sčítaní a odčítaní približných čísel treba každé číslo zaokrúhliť na číslicu nasledujúcu po poslednej číslici najmenej presného čísla a výsledný súčet a rozdiel zaokrúhliť na rovnaký počet číslic ako najmenej presné číslo. Pri násobení a delení približných čísel by sa malo každé číslo zaokrúhliť na znamienko nasledujúce po poslednej platnej číslici najmenej významného čísla a súčin a podiel by sa mali zaokrúhliť s rovnakou presnosťou, ako je známe najmenej presné číslo.

Ak sa vrátime k predtým zvažovaným problémom, dostaneme:

1,2ґ3,1 = 3,72 m 2 » 3,7 m 2

3,73 + 52,1 + 0,28 = 56,11 m 2 "56,1 m,

kde znamienko " znamená "približne rovnaké".

Niektoré učebnice aritmetiky poskytujú algoritmy na prácu s približnými číslami, čo vám umožňuje vyhnúť sa zbytočným znakom pri výpočte. Okrem toho využívajú tzv. zaznamenávanie približných čísel, t.j. ľubovoľné číslo je vyjadrené v tvare (číslo v rozsahu od 1 do 10) ґ (mocnina 10), kde prvý faktor obsahuje iba platné číslice čísla. Napríklad 82 000 km, zaokrúhlené na najbližších sto km, sa zapíše ako 8,20ґ10 4 km a 0,00702 cm sa zapíše ako 7,02ґ10 –3 cm.

Čísla v matematických tabuľkách, trigonometrických alebo logaritmických tabuľkách sú približné, zapísané s určitým počtom znamienok. Pri práci s takýmito tabuľkami by ste mali dodržiavať pravidlá pre výpočty s približnými číslami.

Logaritmy.

Do začiatku 17. stor. Zložitosť aplikovaných výpočtových problémov narástla natoľko, že ich nebolo možné zvládnuť „ručne“ pre príliš veľa práce a času. Našťastie včas vynájdený J. Napierom na začiatku 17. storočia. logaritmy umožnili vyrovnať sa s problémom, ktorý vznikol. Keďže teória a aplikácie logaritmov sú podrobne popísané v špeciálnom článku LOGARITM, obmedzíme sa len na tie najnutnejšie informácie.

Dá sa ukázať, že ak n je kladné reálne číslo, potom existuje jedinečné kladné reálne číslo X tak, že 10 X = n. číslo X nazývané (bežné alebo desiatkové) logaritmusčísla n; bežne sa to píše takto: X=log n. Logaritmus je teda exponent a zo zákonov operácií s exponentmi to vyplýva

Práve tieto vlastnosti logaritmov vysvetľujú ich rozšírené použitie v aritmetike. Prvá a druhá vlastnosť nám umožňujú zredukovať akýkoľvek problém násobenia a delenia na jednoduchší problém sčítania a odčítania. Tretia a štvrtá vlastnosť umožňujú zredukovať umocňovanie a extrakciu koreňov na oveľa jednoduchšie operácie: násobenie a delenie.

Pre uľahčenie používania logaritmov boli zostavené ich tabuľky. Na zostavenie tabuľky desiatkových logaritmov stačí zahrnúť iba logaritmy čísel od 1 do 10. Napríklad, keďže 247,6 = 10 2 ґ2,476, máme: log247,6 = log10 2 + log2,476 = 2 + log2,476 a keďže 0,02476 = 10 –2 ґ2,476, potom log0,02476 = log10 –2 + log2,476 = –2 + log2,476. Všimnite si, že desiatkový logaritmus čísla medzi 1 a 10 leží medzi 0 a 1 a možno ho zapísať ako desatinné číslo. Z toho vyplýva, že desiatkový logaritmus ľubovoľného čísla je súčtom celého čísla, nazývaného charakteristika logaritmu, a desatinného zlomku nazývaného mantisa logaritmu. Charakteristiku logaritmu akéhokoľvek čísla možno nájsť „v mysli“; Mantisa by sa mala nájsť pomocou tabuliek logaritmov. Napríklad z tabuliek zistíme, že log2,476 = 0,39375, teda log247,63 = 2,39375. Ak je charakteristika logaritmu záporná (keď je číslo menšie ako jedna), potom je vhodné ju znázorniť ako rozdiel dvoch kladných celých čísel, napríklad log0,02476 = –2 + 0,39375 = 8,39375 – 10. nasledujúce príklady vysvetľujú túto techniku.

Literatúra:

Dejiny matematiky od najstarších čias do začiatku 19. storočia., zv. 1–3. M., 1970–1972.
Serre J.-P. Aritmetický kurz. M., 1972
Nechaev V.I. Numerické sústavy. M., 1975
Daan-Dalmedico A., Peiffer J . Cesty a labyrinty. Eseje o histórii matematiky. M., 1986
Engler E. Elementárna matematika. M., 1987

Aritmetika je najzákladnejšia, základná časť matematiky. Vznikol z potrieb ľudí počítanie.

Mentálna aritmetika

Čo sa nazýva mentálna aritmetika? Mentálna aritmetika je metóda výučby rýchleho počítania, ktorá pochádza z dávnych čias.

V súčasnosti, na rozdiel od predchádzajúcej, sa učitelia snažia deti nielen naučiť počítať, ale snažia sa aj rozvíjať ich myslenie.

Samotný proces učenia je založený na využívaní a rozvoji oboch hemisfér mozgu. Hlavná vec je, aby ste ich mohli používať spolu, pretože sa navzájom dopĺňajú.

V skutočnosti je ľavá hemisféra zodpovedná za logiku, reč a racionalitu a pravá hemisféra je zodpovedná za predstavivosť.

Výcvikový program zahŕňa školenie obsluhy a používania nástrojov ako napr počítadlo.

Počítadlo je hlavným nástrojom pri učení sa mentálnej aritmetiky, pretože sa s ním študenti učia pracovať, pohybovať kockou domina a pochopiť podstatu výpočtu. Po čase sa počítadlo stane vašou predstavivosťou a žiaci si ich predstavujú, stavajú na týchto poznatkoch a riešia príklady.

Recenzie na tieto vyučovacie metódy sú veľmi pozitívne. Má to jednu nevýhodu - školenie je platené a nie každý si to môže dovoliť. Preto cesta génia závisí od finančnej situácie človeka.

Matematika a aritmetika

Matematika a aritmetika sú úzko súvisiace pojmy, alebo skôr aritmetika je odvetvie matematiky, ktoré pracuje s číslami a výpočtami (operácie s číslami).

Aritmetika je hlavnou sekciou, a teda základom matematiky. Základom matematiky sú najdôležitejšie pojmy a operácie, ktoré tvoria základ, na ktorom sa budujú všetky následné poznatky. Medzi hlavné operácie patrí: sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie.

Aritmetika sa zvyčajne študuje v škole od samého začiatku vzdelávania, tj. z prvej triedy. Deti ovládajú základy matematiky.

Doplnenie je aritmetická operácia, počas ktorej sa sčítajú dve čísla a ich výsledkom je nové - tretie.

a+b=c.

Odčítanie je aritmetická operácia, v ktorej sa druhé číslo odčíta od prvého čísla a výsledkom je tretie.

Vzorec pridávania je vyjadrený takto: a - b = c.

Násobenie je akcia, ktorej výsledkom je súčet identických výrazov.

Vzorec pre túto akciu je: a1+a2+…+an=n*a.

divízie- Ide o rozdelenie čísla alebo premennej na rovnaké časti.

Prihláste sa na kurz „Zrýchlite mentálnu aritmetiku, NIE mentálnu aritmetiku“, aby ste sa naučili rýchlo a správne sčítať, odčítať, násobiť, deliť, odmocňovať čísla a dokonca extrahovať odmocniny. Za 30 dní sa naučíte používať jednoduché triky na zjednodušenie aritmetických operácií. Každá lekcia obsahuje nové techniky, jasné príklady a užitočné úlohy.

Vyučovanie aritmetiky

Aritmetika sa vyučuje medzi stenami školy. Od prvého ročníka sa deti začínajú učiť základný a hlavný oddiel matematiky – aritmetiku.

Pridávanie čísel

Pravidlá aritmetiky

Poradie operácií vo výraze je veľmi dôležité!

Ak príklad vyzerá ako 2+3-4, poradie v ňom môže byť akékoľvek. Pretože operácie sčítania a odčítania majú rovnakú prioritu. Ak najprv urobíme sčítanie, dostaneme: 5-4=1 a ak najprv urobíme odčítanie, potom: 2-1=1. Ako vidíte, výsledok je rovnaký.

Podobne s výrazom pre násobenie a delenie. Operácie násobenia a delenia majú rovnakú prioritu. Napríklad 2 8:4. Najprv urobme násobenie: 16:4=4 a ak delenie: 2 2=4.

Poradie dáva zmysel, keď výraz kombinuje operácie sčítania alebo odčítania s operáciami násobenia alebo delenia. Napríklad:

2+22. Prvou akciou je vykonať VŠETKY operácie násobenia a delenia a až potom sčítanie a odčítanie. Teda výraz 2+2 2 = 2+4=6.

Ale vo výrazoch sú zátvorky. Zátvorky majú tendenciu meniť poradie operácií. Zoberme si predchádzajúci príklad, len so zátvorkami: (2+2)*2. V tomto prípade sa najskôr vykonajú operácie v zátvorkách a potom mimo zátvoriek v poradí: 1. Násobenie a delenie 2. Sčítanie a odčítanie.

Takže (2+2) 2=4 2=8.

Ako môžete vidieť na príkladoch, zátvorky majú svoju úlohu. A poradie operácií je rovnaké.

Aritmetické hodiny

Hodiny počítania - školské hodiny, do šiesteho ročníka. Potom matematika otvára svoje sekcie: geometriu a algebru a neskôr trigonometriu.

Aritmetický stupeň 5

V piatom ročníku žiaci začínajú študovať témy ako zlomky a zmiešané čísla. Informácie o operáciách s týmito číslami nájdete v našich článkoch o príslušných operáciách.

Zlomkové číslo je pomer dvoch čísel k sebe alebo čitateľa k menovateľovi. Zlomkové číslo možno nahradiť delením. Napríklad ¼ = 1:4.

Zmiešané číslo– ide o zlomkové číslo so zvýraznenou časťou celého čísla. Celá časť sa pridelí za predpokladu, že čitateľ je väčší ako menovateľ. Napríklad tam bol zlomok: 5/4, možno ho premeniť zvýraznením celej časti: 1 celok a ¼.

Príklady tréningu:

Úloha č.1:

Úloha č.2:

Aritmetika 6. ročník

V 6. ročníku sa objavuje téma prevod zlomkov na malý zápis. Čo to znamená? Napríklad pri zlomku ½ sa bude rovnať 0,5. ¼ = 0,25.

Príklady môžu byť zostavené v nasledujúcom štýle: 0,25+0,73+12/31.

Príklady tréningu:

Úloha č.1:

Úloha č.2:

Hry na rozvoj mentálnej aritmetiky a rýchlosti počítania

Existujú skvelé hry, ktoré podporujú počítanie, pomáhajú rozvíjať matematické zručnosti a matematické myslenie, mentálne počítanie a rýchlosť počítania! Môžete hrať a rozvíjať sa! Zaujíma ťa? Prečítajte si krátke články o hrách a určite vyskúšajte.

Hra "Rýchle počítanie"

Hra „rýchle počítanie“ vám pomôže urýchliť vaše duševné počítanie. Podstatou hry je, že na obrázku, ktorý vám je predložený, budete musieť vybrať odpoveď áno alebo nie na otázku „Existuje 5 rovnakých druhov ovocia? Choďte za svojím cieľom a táto hra vám s tým pomôže.

Hra "Matematické porovnania"

Hra Math Comparison bude vyžadovať, aby ste porovnali dve čísla s časom. To znamená, že musíte čo najrýchlejšie vybrať jedno z dvoch čísel. Pamätajte, že čas je obmedzený a čím viac odpoviete správne, tým lepšie sa budú rozvíjať vaše matematické schopnosti! Skúsime?

Hra "Rýchle pridávanie"

Hra „Quick Addition“ je vynikajúci simulátor rýchleho počítania. Podstata hry: je dané pole 4x4. Existuje 16 čísel a nad poľom je sedemnáste číslo. Váš cieľ: pomocou šestnástich čísel vytvorte 17 pomocou operácie sčítania. Napríklad nad poľom máte napísané číslo 28, potom v poli musíte nájsť 2 také čísla, ktoré spolu dajú číslo 28. Ste pripravení vyskúšať si ruku? Potom pokračujte a trénujte!

Vývoj fenomenálnej mentálnej aritmetiky

Pozreli sme sa len na špičku ľadovca, aby sme lepšie porozumeli matematike – prihláste sa na náš kurz: Zrýchlenie mentálnej aritmetiky – NIE mentálnej aritmetiky.

Na kurze sa naučíte nielen desiatky techník na zjednodušené a rýchle násobenie, sčítanie, násobenie, delenie a počítanie percent, ale precvičíte si ich aj v špeciálnych úlohách a vzdelávacích hrách! Mentálna aritmetika si tiež vyžaduje veľa pozornosti a koncentrácie, ktoré sa aktívne trénujú pri riešení zaujímavých problémov.

Rýchle čítanie za 30 dní

Zvýšte rýchlosť čítania 2-3 krát za 30 dní. Od 150-200 do 300-600 slov za minútu alebo od 400 do 800-1200 slov za minútu. Kurz využíva tradičné cvičenia na rozvoj rýchleho čítania, techniky zrýchľujúce mozgové funkcie, metódy postupného zvyšovania rýchlosti čítania, psychológiu rýchleho čítania a otázky účastníkov kurzu. Vhodné pre deti a dospelých, ktorí čítajú až 5000 slov za minútu.

Rozvoj pamäti a pozornosti u dieťaťa vo veku 5-10 rokov

Účel kurzu: rozvíjať pamäť a pozornosť dieťaťa, aby sa mu ľahšie učilo v škole, aby si lepšie pamätalo.

Po absolvovaní kurzu bude dieťa schopné:

2-5 krát lepšie zapamätať si texty, tváre, čísla, slová
Naučte sa pamätať si na dlhší čas
Zvýši sa rýchlosť vybavovania potrebných informácií

Naše oboznámenie sa s matematikou začína aritmetikou, náukou o číslach. Jedna z prvých ruských učebníc aritmetiky, ktorú napísal L. F. Magnitsky v roku 1703, začínala slovami: „Aritmetika alebo čitateľ je čestné, nezávideniahodné umenie a pre každého pohodlne zrozumiteľné, najužitočnejšie a veľmi chválené, od najstarších a najnovšie, ktoré žili v rôznych časoch najčestnejších aritmetikov, vymysleli a vysvetlili.“ S aritmetikou vstupujeme, ako povedal M. V. Lomonosov, do „brán učenia“ a začíname našu dlhú a ťažkú, ale fascinujúcu cestu pochopenia sveta.

Slovo „aritmetika“ pochádza z gréckeho aritmos, čo znamená „číslo“. Táto veda študuje operácie s číslami, rôzne pravidlá ich manipulácie a učí, ako riešiť problémy, ktoré sa scvrkávajú na sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie čísel. Aritmetiku si často predstavujeme ako akýsi prvý stupeň matematiky, na základe ktorého možno študovať jej zložitejšie úseky – algebru, matematickú analýzu atď. Dokonca aj celé čísla - hlavný predmet aritmetiky - sa pri zvažovaní ich všeobecných vlastností a vzorov odvolávajú na vyššiu aritmetiku alebo teóriu čísel. Tento pohľad na aritmetiku má, samozrejme, svoje opodstatnenie – v skutočnosti zostáva „abecedou počítania“, ale abeceda je „najužitočnejšia“ a „ľahko pochopiteľná“.

Aritmetika a geometria sú dlhoročnými spoločníkmi človeka. Tieto vedy sa objavili, keď vznikla potreba počítať predmety, merať pozemky, deliť korisť a sledovať čas.

Aritmetika pochádza z krajín starovekého východu: Babylon, Čína, India, Egypt. Napríklad egyptský Rind papyrus (pomenovaný podľa svojho majiteľa G. Rinda) pochádza z 20. storočia. BC. Okrem iných informácií obsahuje rozklady zlomku na súčet zlomkov s čitateľom rovným jednej, napr.

Poklady matematických vedomostí nahromadené v krajinách starovekého východu vyvinuli a pokračovali vedci starovekého Grécka. História zachovala mnoho mien vedcov, ktorí pracovali na aritmetike v starovekom svete - Anaxagoras a Zeno, Euclid (pozri Euclid a jeho prvky), Archimedes, Eratosthenes a Diophantus. Meno Pytagoras (VI. storočie pred naším letopočtom) sa tu leskne ako jasná hviezda. Pythagorejci (študenti a nasledovníci Pytagoras) uctievali čísla a verili, že obsahujú všetku harmóniu sveta. Jednotlivým číslam a párom čísel boli priradené špeciálne vlastnosti. Čísla 7 a 36 boli vo veľkej úcte a potom sa dbalo na takzvané dokonalé čísla, priateľské čísla atď.

V stredoveku bol rozvoj aritmetiky spojený aj s východom: Indiou, krajinami arabského sveta a Strednou Áziou. Od Indov k nám prišli čísla, ktoré používame, nula a pozičný číselný systém; z al-Kashi (XV. storočie), ktorý pracoval na Samarkandskom observatóriu v Ulugbeku, - desatinné zlomky.

Vďaka rozvoju obchodu a vplyvu orientálnej kultúry od 13. stor. Záujem o aritmetiku rastie aj v Európe. Stojí za to pripomenúť si meno talianskeho vedca Leonarda z Pisy (Fibonacci), ktorého práca „Kniha počítadla“ predstavila Európanom hlavné úspechy východnej matematiky a bola začiatkom mnohých štúdií aritmetiky a algebry.

Spolu s vynálezom tlače (polovica 15. storočia) sa objavili prvé tlačené matematické knihy. Prvá tlačená kniha o aritmetike vyšla v Taliansku v roku 1478. V „Úplnej aritmetike“ nemeckého matematika M. Stiefela (začiatok 16. storočia) sú už záporné čísla a dokonca aj myšlienka logaritmizácie.

Približne od 16. storočia. vývoj čisto aritmetických otázok vtiekol do hlavného prúdu algebry - ako významný medzník možno zaznamenať vzhľad diel francúzskeho vedca F. Vietu, v ktorých sú čísla označené písmenami. Od tejto chvíle sú základné aritmetické pravidlá konečne pochopené z hľadiska algebry.

Hlavným predmetom aritmetiky je číslo. Prirodzené čísla, t.j. čísla 1, 2, 3, 4, ... atď., vznikli počítaním konkrétnych predmetov. Prešlo mnoho tisíc rokov, kým sa človek dozvedel, že dvaja bažanti, dve ruky, dvaja ľudia atď. možno nazvať rovnakým slovom „dva“. Dôležitou úlohou aritmetiky je naučiť sa prekonávať špecifický význam názvov počítaných predmetov, odvádzať pozornosť od ich tvaru, veľkosti, farby atď. Fibonacci už má úlohu: „Sedem starých žien ide do Ríma. Každý má 7 mulíc, každý mulica nesie 7 vrecúšok, každé vrece obsahuje 7 bochníkov, každý bochník obsahuje 7 nožov, každý nôž má 7 puzdier. Koľkí tam sú?" Na vyriešenie problému budete musieť poskladať staré ženy, mulice, tašky a chlieb.

Vývoj pojmu číslo - výskyt nulových a záporných čísel, obyčajné a desatinné zlomky, spôsoby písania čísel (číslice, zápisy, číselné systémy) - to všetko má bohatú a zaujímavú históriu.

„Veda o číslach sa vzťahuje na dve vedy: praktickú a teoretickú. Praktické štúdium čísel, pokiaľ hovoríme o spočítateľných číslach. Táto veda sa používa v trhových a občianskych záležitostiach. Teoretická veda o číslach študuje čísla v absolútnom zmysle, abstrahované mysľou od tiel a všetkého, čo sa v nich dá spočítať.“ al-Farabi

V aritmetike sa čísla sčítavajú, odčítavajú, násobia a delia. Umenie rýchlo a presne vykonávať tieto operácie na akýchkoľvek číslach sa dlho považovalo za najdôležitejšiu úlohu aritmetiky. Dnes v hlave alebo na papieri robíme len tie najjednoduchšie výpočty, zložitejšie výpočtové práce čoraz častejšie zverujeme mikrokalkulátorom, ktoré postupne nahrádzajú zariadenia ako počítadlo, sčítací stroj (pozri Výpočtová technika), diapozitív. pravidlo. Činnosť všetkých počítačov – jednoduchých aj zložitých – je však založená na najjednoduchšej operácii – sčítaní prirodzených čísel. Ukazuje sa, že najzložitejšie výpočty sa dajú zredukovať na sčítanie, ale táto operácia sa musí vykonať mnoho miliónov krát. Ale tu vstupujeme do inej oblasti matematiky, ktorá má pôvod v aritmetike - výpočtovej matematike.

Aritmetické operácie s číslami majú rôzne vlastnosti. Tieto vlastnosti možno opísať slovami, napríklad: „Súčet sa nemení zmenou miesta výrazov,“ možno napísať písmenami: , možno vyjadriť špeciálnymi výrazmi.

Napríklad táto vlastnosť sčítania sa nazýva komutatívny alebo komutatívny zákon. Aritmetické zákony používame často zo zvyku, bez toho, aby sme si to uvedomovali. Študenti v škole sa často pýtajú: „Prečo sa učiť všetky tieto komutatívne a kombinačné zákony, keď už je jasné, ako sčítať a násobiť čísla? V 19. storočí matematika urobila dôležitý krok – začala systematicky sčítavať a násobiť nielen čísla, ale aj vektory, funkcie, posuny, tabuľky čísel, matice a mnoho iného, ba dokonca len písmená, symboly, bez toho, aby sa skutočne zaujímala o ich konkrétny význam. A tu sa ukázalo, že najdôležitejšie je, aké zákony tieto operácie dodržiavajú. Štúdium operácií špecifikovaných na ľubovoľných objektoch (nie nevyhnutne na číslach) je už oblasťou algebry, hoci táto úloha je založená na aritmetike a jej zákonoch.

Aritmetika obsahuje veľa pravidiel na riešenie problémov. V starých knihách nájdete problémy na „trojom pravidle“, na „proporcionálnom delení“, na „metóde stupníc“, na „falošnom pravidle“ atď. Väčšina týchto pravidiel je už zastaraná, hoci problémy, ktoré sa s ich pomocou vyriešili, nemožno v žiadnom prípade považovať za zastarané. Známy problém o bazéne, ktorý je naplnený niekoľkými rúrami, je starý najmenej dvetisíc rokov a školáci to stále nemajú ľahké. Ak však skôr na vyriešenie tohto problému bolo potrebné poznať špeciálne pravidlo, dnes sa mladší školáci učia riešiť takýto problém zadaním písmenového označenia požadovaného množstva. Aritmetické problémy teda viedli k potrebe riešiť rovnice, a to je opäť problém algebry.

PYTAGORAS
(asi 570-asi 500 pred Kr.)

O Pytagorasovi zo Samosu nezostali žiadne písomné dokumenty a z neskorších dôkazov je ťažké rekonštruovať skutočný obraz jeho života a úspechov. Je známe, že Pytagoras opustil svoj rodný ostrov Samos v Egejskom mori pri pobreží Malej Ázie na znak protestu proti tyranii panovníka a už v dospelosti (podľa legendy vo veku 40 rokov) sa objavil v gréckom meste Crotone v južnom Taliansku. Pytagoras a jeho prívrženci - Pytagoriáni - vytvorili tajné spojenectvo, ktoré zohralo významnú úlohu v živote gréckych kolónií v Taliansku. Pytagoriáni sa navzájom spoznávali podľa päťuholníka v tvare hviezdy – pentagramu.

Učenie Pytagora bolo výrazne ovplyvnené filozofiou a náboženstvom Východu. Veľa cestoval po krajinách východu: bol v Egypte a Babylone. Tam sa Pytagoras zoznámil aj s východnou matematikou. Matematika sa stala súčasťou jeho vyučovania, a to najdôležitejšou súčasťou.

Pythagorejci verili, že tajomstvo sveta je ukryté v číselných vzorcoch. Svet čísel žil pre Pytagorejcov zvláštnym životom, čísla mali svoj osobitný životný význam. Čísla rovné súčtu ich deliteľov boli vnímané ako dokonalé (6, 28, 496, 8128); Priateľské boli dvojice čísel, z ktorých každé sa rovnalo súčtu deliteľov toho druhého (napríklad 220 a 284). Pytagoras bol prvý, kto rozdelil čísla na párne a nepárne, jednoduché a zložené a zaviedol pojem figurálne číslo. V jeho škole sa podrobne skúmali pytagorejské trojice prirodzených čísel, v ktorých sa druhá mocnina jedného rovnala súčtu druhých mocnín ďalších dvoch (pozri poslednú Fermatovu vetu).

Pytagorasovi sa pripisuje výrok: „Všetko je číslo“. Celý svet a matematiku zvlášť chcel zredukovať na čísla (a myslel tým len prirodzené čísla). Ale v samotnej škole Pythagoras sa objavil objav, ktorý porušil túto harmóniu.

Je dokázané, že nejde o racionálne číslo, t.j. nemožno vyjadriť prirodzenými číslami.

Prirodzene, Pythagorova geometria bola podriadená aritmetike, čo sa jasne prejavilo vo vete, ktorá nesie jeho meno a ktorá sa neskôr stala základom pre použitie numerických metód v geometrii. (Neskôr Euklides opäť dostal do popredia geometriu, ktorej podriadil algebru.) Pytagorejci zrejme poznali správne telesá: štvorsten, kocku a dvanásťsten.

Pytagorasovi sa pripisuje systematické zavádzanie dôkazov do geometrie, vytvorenie planimetrie priamočiarych útvarov a doktrína podobnosti.

Meno Pythagoras je spojené s doktrínou aritmetických, geometrických a harmonických proporcií, priemerov.

Treba poznamenať, že Pytagoras považoval Zem za guľu, ktorá sa pohybuje okolo Slnka. Keď v 16. stor Cirkev začala tvrdo prenasledovať Kopernikovo učenie, toto učenie sa tvrdohlavo nazývalo pytagorejské.

ARCHIMEDES
(asi 287-212 pred Kr.)

O Archimedesovi, veľkom matematikovi a mechanikovi, sa vie viac ako o iných starovekých vedcoch. V prvom rade je spoľahlivý rok jeho smrti - rok pádu Syrakúz, keď vedec zomrel v rukách rímskeho vojaka. Starovekí historici Polybius, Livius a Plutarch však o jeho matematických prednostiach hovorili málo; z nich sa do našich čias dostali informácie o úžasných vynálezoch vedca, ktoré urobil počas jeho služby u kráľa Hierona II. Známy je príbeh o kráľovskej zlatej korune. Archimedes skontroloval čistotu jeho zloženia pomocou zákona vztlakovej sily, ktorý našiel, a jeho zvolania „Eureka!“, t.j. "Nájdené!". Iná legenda hovorí, že Archimedes postavil systém blokov, pomocou ktorých jeden muž dokázal spustiť obrovskú loď Syracosia. Slová Archimeda, ktoré vtedy vyslovil, sa stali okrídlenými: „Dajte mi oporu a ja obrátim Zem.

Inžiniersky génius Archimedes sa s osobitnou silou prejavil počas obliehania Syrakúz, bohatého obchodného mesta na ostrove Sicília.

Vojaci rímskeho konzula Marcella boli dlho zadržiavaní pri hradbách mesta bezprecedentnými strojmi: silné katapulty mierili na kamenné bloky, do striel boli inštalované vrhacie stroje, vyhadzujúce krúpy z delových gúľ, pobrežné žeriavy otočené mimo hradieb a hádzali kamenné a olovené bloky na nepriateľské lode, háky zachytávali lode a zhadzovali ich z veľkej výšky, systémy konkávnych zrkadiel (v niektorých príbehoch - štíty) zapálili lode. V „Histórii Marcella“ opisuje Plutarchos hrôzu, ktorá vládla v radoch rímskych vojakov: „Akonáhle zbadali, že spoza múru pevnosti sa objavuje lano alebo poleno, utiekli a kričali, že Archimedes vynašiel nový stroj na ich zničenie.“ .

Obrovský bol aj Archimedov prínos k rozvoju matematiky. Archimedova špirála (pozri Špirály), opísaná bodom pohybujúcim sa v rotujúcom kruhu, stála oddelene medzi mnohými krivkami, ktoré poznali jeho súčasníci. Ďalšia kinematicky definovaná krivka - cykloida - sa objavila až v 17. storočí. Archimedes sa naučil nájsť dotyčnicu k svojej špirále (a jeho predchodcovia dokázali nakresliť dotyčnice iba ku kužeľosečkám), našiel oblasť jej otočenia, ako aj oblasť elipsy, povrch kužeľa a guľa, objemy gule a guľový segment. Bol obzvlášť hrdý na pomer, ktorý objavil medzi objemom gule a okolo nej opísaného valca, ktorý sa rovná 2:3 (pozri vpísané a ohraničené obrázky).

Archimedes tiež veľa pracoval na probléme kvadratúry kruhu (pozri Slávne problémy staroveku). Vedec vypočítal pomer obvodu k priemeru (číslu) a zistil, že je medzi a.

Metóda, ktorú vytvoril na výpočet obvodu a plochy obrazca, bola významným krokom k vytvoreniu diferenciálneho a integrálneho počtu, ktorý sa objavil až o 2000 rokov neskôr.

Archimedes tiež našiel súčet nekonečnej geometrickej progresie s menovateľom . V matematike to bol prvý príklad nekonečného radu.

Veľkú úlohu vo vývoji matematiky zohrala jeho esej „Psammit“ - „O počte zŕn piesku“, v ktorej ukazuje, ako pomocou existujúceho číselného systému možno vyjadriť ľubovoľne veľké čísla. Ako základ pre svoje úvahy používa problém počítania počtu zŕn piesku vo viditeľnom vesmíre. Vtedajší názor o prítomnosti záhadných „najväčších počtov“ bol teda vyvrátený.

Medzi dôležité pojmy, ktoré aritmetika zaviedla, patria proporcie a percentá. Väčšina konceptov a metód aritmetiky je založená na porovnávaní rôznych závislostí medzi číslami. V dejinách matematiky prebiehal proces spájania aritmetiky a geometrie počas mnohých storočí.

Dá sa jasne vysledovať „geometrizácia“ aritmetiky: zložité pravidlá a vzorce vyjadrené vzorcami sa stanú jasnejšie, ak sa dajú znázorniť geometricky. Dôležitú úlohu v samotnej matematike a jej aplikáciách zohráva spätný proces - preklad vizuálnych, geometrických informácií do reči čísel (pozri Grafické výpočty). Tento preklad je založený na myšlienke francúzskeho filozofa a matematika R. Descartesa o definovaní bodov v rovine súradnicami. Samozrejme, táto myšlienka sa používala už pred ním, napríklad v námorných záležitostiach, keď bolo potrebné určiť polohu lode, ako aj v astronómii a geodézii. Ale práve od Descarta a jeho študentov pochádza dôsledné používanie jazyka súradníc v matematike. A v našej dobe, keď riadia zložité procesy (napríklad let kozmickej lode), uprednostňujú mať všetky informácie vo forme čísel, ktoré spracuje počítač. V prípade potreby stroj pomáha osobe preložiť nahromadené číselné informácie do jazyka kreslenia.

Vidíte, že keď hovoríme o aritmetike, vždy ideme za jej hranice - do algebry, geometrie a iných odvetví matematiky.

Ako môžeme vymedziť hranice samotnej aritmetiky?

V akom zmysle sa toto slovo používa?

Slovo "aritmetika" možno chápať ako:

akademický predmet, ktorý sa zaoberá predovšetkým racionálnymi číslami (celými číslami a zlomkami), operáciami s nimi a problémami riešenými pomocou týchto operácií;

časť historickej budovy matematiky, ktorá zhromaždila rôzne informácie o výpočtoch;

„teoretická aritmetika“ je časť modernej matematiky, ktorá sa zaoberá konštrukciou rôznych číselných systémov (prirodzené, celočíselné, racionálne, reálne, komplexné čísla a ich zovšeobecnenia);

„formálna aritmetika“ je časť matematickej logiky (pozri Matematická logika), ktorá sa zaoberá analýzou axiomatickej teórie aritmetiky;

„vyššia aritmetika“ alebo teória čísel, samostatne sa rozvíjajúca časť matematiky.

Všetko o všetkom. Zväzok 5 Likum Arkady

Kto vynašiel aritmetiku?

Aritmetika je veda o číslach. Zaoberá sa význammi čísel, ich symbolmi a ako s nimi pracovať. Nikto „nevynašiel“ aritmetiku. Vznikol z ľudských potrieb. Ľudia spočiatku operovali len s pojmom kvantita, no počítať ešte nevedeli. Napríklad primitívny človek mohol povedať, že nazbieral dosť bobúľ. Poľovník už na prvý pohľad vedel, že stratil jeden z oštepov.

Ale čas plynul a človek začal mať potrebu určovať množstvo, teda v číslach. Pastieri museli spočítať počet zvierat. Farmári museli odpočítavať načasovanie sezónnych prác. Preto už dávno, nikto nevie, kedy boli obe čísla a ich mená vynájdené. Tieto čísla nazývame celé alebo prirodzené čísla. Neskôr človek potreboval čísla menšie ako jedna a čísla medzi celými číslami. Takto vznikli zlomky.

Oveľa neskôr sa začali používať iné čísla. Niektoré z nich boli negatívne, napríklad mínus dva alebo mínus sedem. Číslovanie sa stalo základom aritmetiky a vtedy sa človek naučil vykonávať štyri základné aritmetické operácie – sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie.

Z knihy 100 veľkých záhad astronautiky autora Slavín Stanislav Nikolajevič

Kto vynašiel lunárny rover? Keď sovietska vláda prehrala lunárny závod, predstierala, že ju to veľmi netrápilo. Hovorí sa, že od samého začiatku sme smerovali k objavovaniu Seleny so samopalmi. A toto bola čiastočne pravda. Už len preto, že prvé informácie o lunárnych roveroch boli

Z knihy Kto je kto vo svete umenia autora Sitnikov Vitalij Pavlovič

Kto vynašiel serenádu? Od nepamäti sa po zemi túlali básnici a speváci. V starovekom Grécku sa potulní básnici, ktorí spievali svoje básne, nazývali rapsodes. Severné národy Európy si bardov veľmi vážili. V neskorších dobách ľudia chodili po mestách a dedinách

Z knihy Svet okolo nás autora Sitnikov Vitalij Pavlovič

Kto prišiel s rozprávkou? Bájka je jedným z najstarších žánrov literatúry; Verí sa, že podobne ako mýtus sa stal jednou z prvých literárnych foriem, ktoré odrážali predstavy ľudí o svete. Jeho prvým autorom je vraj otrok Ezop, preslávený svojím dôvtipom. Verí sa, že

autora Sitnikov Vitalij Pavlovič

Kto vynašiel injekciu? Anglický vedec W. Harvey prvýkrát oznámil v roku 1628 možnosť zavádzania liečivých látok do tela cez kožu, publikoval zásadnú prácu, v ktorej hovoril o fungovaní obehového systému človeka. vyjadril sa Harvey