1. Axiálny rez valec je rez valca rovinou prechádzajúcou jeho osou. Axiálny prierez valca je obdĺžnik.

2. Rez valca s rovinou rovnobežnou so základňou.
V tomto prípade je prierezom kruh rovný a rovnobežný so základňou.

Kužeľ

Kužeľ je geometrické teleso, ktoré pozostáva z kruhu - dôvodov kužeľ, bod, ktorý neleží v rovine tejto kružnice, − vrcholov kužeľ a všetky segmenty spájajúce vrchol kužeľa s hrotmi základne.

Segmenty spájajúce vrchol kužeľa s bodmi základnej kružnice sa nazývajú formovanie kužeľ

Kužeľ je tzv priamy, ak je priamka spájajúca vrchol kužeľa so stredom podstavy kolmá na rovinu podstavy.

Zapnuté ryža. A) rovný kužeľ, b) naklonený kužeľ.

Ďalej budeme uvažovať iba o priamom kužeľi!

S- vrchná časť kužeľa.

Kruh so stredmi O– základňa kužeľa.

S.A.,C.B., SC– vytváranie kužeľov.

Výška kužeľa sa nazýva kolmica zostupujúca z jeho vrcholu na rovinu základne.

Os kužeľa sa nazýva priamka obsahujúca jeho výšku ( SO).

Vlastnosti kužeľa:

Generátory kužeľa sú rovnaké.

Kužeľ možno považovať za teleso získané otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo jeho strany.

Najjednoduchšie časti kužeľa.

1. Axiálny rez kužeľ je úsek kužeľa rovinou prechádzajúcou jeho osou. Axiálny rez kužeľa je trojuholník.

2. Rez kužeľa s rovinou rovnobežnou so základňou.
V tomto prípade je prierezom kruh podobný a rovnobežný so základňou.

Guľa je geometrické teleso, ktoré pozostáva zo všetkých bodov v priestore umiestnených vo vzdialenosti nie väčšej ako daná od daného bodu.

Tento bod ( O) sa nazýva stred loptu a táto vzdialenosť je polomer loptu.

Hranica lopty je tzv guľový povrch alebo guľa.

Akýkoľvek segment spájajúci stred gule s bodom na guľovej ploche sa nazýva polomer lopta ( O.D., OB, OA).

Priemer gule je úsečka spájajúca dva body na guľovej ploche a prechádzajúca stredom gule ( AB).

Vlastnosti lopty:

Polomery gule sú rovnaké;

Priemery guľôčok sú rovnaké.

Guľu možno považovať za teleso získané otáčaním polkruhu okolo jeho priemeru.

Najjednoduchšie časti lopty

1. Rez gule rovinou prechádzajúcou jej stredom. V tomto prípade je sekcia veľký kruh.

2. Rez gule rovinou nie prechádza jeho stredom. V tomto prípade je sekcia kruh.

Valcová plocha m Priamka m, ktorá sa pohybuje po krivke, opisuje valcovú plochu. Ak je táto krivka uzavretá, potom je opísaná uzavretá valcová plocha. Ak má uzavretá krivka tvar kruhu, potom je opísaný kruhový valec. Ak je priamka m kolmá na rovinu krivky, potom je opísaný pravý kruhový valec TYPY VALCOV Eliptický valec TYPY VALCOV Hyperbolický valec TYPY VALCOV Parabolický valec 26.07.2014 6 Definícia valca. Valec je teleso, ktoré pozostáva z dvoch kruhov, ktoré neležia v rovnakej rovine a sú spojené rovnobežným posunom, a všetkých segmentov spájajúcich príslušné body týchto kruhov. Valec Valec možno získať otáčaním obdĺžnika okolo priamky obsahujúcej ktorúkoľvek z jeho strán valca. Polomer valca je polomer jeho základne. Výška valca je vzdialenosť medzi rovinami jeho základní. Os valca je priamka prechádzajúca stredmi podstavcov. Vlastnosti valca. 1) Základy sú rovnaké a rovnobežné. 2) Všetky tvoriace priamky valca sú rovnobežné a navzájom si rovné Rozvinutie valca Bočná plocha valca je rozvinutá do obdĺžnika, ktorého jedna strana je výška valca a druhá dĺžka obvodu základne Rovnostranný valec je valec, ktorého axiálny prierez je štvorcový prierez valca. Prierez valca s rovinou rovnobežnou s jeho osou je obdĺžnik. Jeho dve strany sú tvoriace priamky valca a ďalšie dve sú rovnobežné tetivy podstav. Úsek valca prechádzajúci osou valca sa nazýva axiálny rez a je tiež obdĺžnikom. Rovina rovnobežná s rovinou základne valca pretína jeho bočnú plochu pozdĺž kružnice rovnajúcej sa obvodu základne. Dotyková rovina Ak má rovina spoločnú priamku s povrchom plášťa, potom sa táto rovina nazýva dotyková rovina. Dotyková čiara je tvoriaca čiara valca. Bočná plocha valca je obdĺžnik, ktorého jedna strana je výška valca a druhá je jeho obvod. Celý povrch valca pozostáva z dvoch kruhov a bočného povrchu. L H 2 RH S bočný povrch valca a S kruhu R 2 R 2 RH 2 R (R H) 2 S kruhu S bočný S plný povrch valca 2 a povrch valca 2 a Objem valca Objem valec sa rovná súčinu plochy základne a výšky valca. V S základ V R 2 H H Vysvetlite, čo je pravý kruhový valec? Aký je polomer, výška, tvoriaca čiara a os valca? Aký je axiálny prierez valca? Ktorý valec sa nazýva rovnostranný? Aký je prierez valca rovinou kolmou na os valca? Čo rozumieme pod pojmom bočný a celkový povrch valca? Ako nájsť bočnú a celkovú plochu valca? PRVKY VALCA Úloha 1. Axiálny rez valca je štvorec, ktorého plocha je Q. Nájdite plochu základne valca. Dané: valec, axiálny rez - štvorec Rez = Q Nájdite: Sbas = Kruh Riešenie: Úloha 2. Bočná plocha valca sa zmení na štvorec s plochou 4 cm2. Nájdite celkový povrch a objem valca. Predpokladajme 3 N lkruh Dané: valec Sq = 4 cm2 Nájdite: Sp.p., Vcyl. Riešenie: Laboratórne a praktické práce Téma: Valec 1. Definícia, vlastnosti. 2. Výkres, rozmery v mm. 3. Vypočítajte: a) základnú plochu b) bočnú plochu valca. c) celý povrch valca. d) objem valca. Problémy Uhlopriečka axiálneho rezu je 48 cm. Uhol medzi uhlopriečkou a tvoriacou čiarou valca je 60o. Nájdite 1) výšku valca; 2) polomer valca; 3) Sbas Výška valca je 8 cm, polomer je 5 cm. Nájdite plochu prierezu roviny rovnobežnej s jej osou, ak je vzdialenosť medzi touto rovinou a osou valca 3 cm. Plocha bočného povrchu valca je S. Nájdite axiálny priečny prierez. prierezová plocha valca. Valec sa získa otáčaním štvorca so stranou α okolo jednej z jeho strán. Nájdite oblasť: 1) axiálneho rezu valca; 2) celý povrch valca Valec Originalita v dizajne a architektúre Problém: O koľko sa zväčší objem spaľovacieho priestoru motora automobilu GAZ-53, ak je priemer piestu 10 cm a zdvih piestu 9 cm? Riešenie V=пR2H: V=3,14 52 9=706,5 (cm3) Úloha Určte objem olejovej nádrže čerpadla posilňovača riadenia automobilu ZIL130, ak má priemer 126 mm a výšku 140 mm = 3,14. 3969,140=174477,24

Valec (priamy kruhový valec) je teleso pozostávajúce z dvoch kruhov (základne valca), spojených paralelným posunom, a všetkých segmentov spájajúcich zodpovedajúce body týchto kruhov pri paralelnom posune. Segmenty spájajúce zodpovedajúce body základných kružníc sa nazývajú generátory valca.

Tu je ďalšia definícia:

Valec- teleso, ktoré je ohraničené valcovou plochou s uzavretým vedením a dvoma rovnobežnými rovinami pretínajúcimi tvoriace priamky tejto plochy.

Valcový povrch- plocha, ktorá vzniká pohybom priamky po určitej krivke. Priamka sa nazýva tvoriaca čiara valcovej plochy a zakrivená čiara sa nazýva vedenie valcovej plochy.

Bočný povrch valca- časť valcovej plochy, ktorá je ohraničená rovnobežnými rovinami.

Základy valcov- časti rovnobežných rovín odrezané bočnou plochou valca.

Obr.1 mini

Valec je tzv priamy(Cm. Obr.1), ak sú jeho generátory kolmé na roviny základní. Inak sa volá valec naklonený.

Kruhový valec- valec, ktorého podstavy sú kruhy.

Pravý kruhový valec (len valec) je teleso získané otáčaním obdĺžnika okolo jednej z jeho strán. Cm. Obr.1.

Polomer valca je polomer jeho základne.

Generátor valca- tvoriaca čiara valcovej plochy.

Výška valca sa nazýva vzdialenosť medzi rovinami základov. Os valca nazývaná priamka prechádzajúca stredmi báz. Rez valca rovinou prechádzajúcou osou valca sa nazýva axiálny rez.

Os valca je rovnobežná s jeho tvoriacou čiarou a je osou symetrie valca.

Rovina prechádzajúca cez tvoriacu čiaru priameho valca a kolmá na axiálny rez pretiahnutý touto tvoriacou čiarou sa nazýva tzv. dotyčnicová rovina valca. Cm. Obr.2.

Vývoj bočného povrchu valca- obdĺžnik so stranami rovnými výške valca a obvodu podstavy.

Povrchová plocha na strane valca- vývojová oblasť bočného povrchu. $$S_(strana)=2\pi\cdot rh$$ , kde h je výška valca a r– polomer základne.

Celková plocha valca- plocha, ktorá sa rovná súčtu plôch dvoch podstav valca a jeho bočnej plochy, t.j. je vyjadrená vzorcom: $$S_(full)=2\pi\cdot r^2 + 2\pi\cdot rh = 2\pi\cdot r(r+h)$$ , kde h je výška valca a r– polomer základne.

Objem akéhokoľvek valca rovná súčinu plochy základne a výšky: $$V = S\cdot h$$ Objem okrúhleho valca: $$V=\pi r^2 \cdot h$$ , kde ( r- polomer základne).

Hranol je špeciálny typ valca (generátory sú rovnobežné s bočnými rebrami; vedenie je mnohouholník ležiaci na základni). Na druhej strane ľubovoľný valec možno považovať za degenerovaný („vyhladený“) hranol s veľmi veľkým počtom veľmi úzkych plôch. V praxi je valec od takéhoto hranola na nerozoznanie. Vo valci sú zachované všetky vlastnosti hranola.

Stereometria je oblasť geometrie, v ktorej sa študujú postavy v priestore. Hlavné postavy v priestore sú bod, priamka a rovina. V stereometrii sa objavuje nový typ vzájomného usporiadania čiar: kríženie čiar. Toto je jeden z mála významných rozdielov medzi stereometriou a planimetriou, pretože v mnohých prípadoch sa problémy v stereometrii riešia zvažovaním rôznych rovín, v ktorých sú splnené planimetrické zákony.

V prírode okolo nás je veľa predmetov, ktoré sú fyzickými modelmi tejto postavy. Napríklad mnohé časti strojov majú tvar valca alebo sú ich kombináciou a majestátne stĺpy chrámov a katedrál, vyrobené v tvare valcov, zdôrazňujú ich harmóniu a krásu.

grécky − kylindros. Staroveký termín. V každodennom živote - papyrusový zvitok, valček, valček (sloveso - krútiť, valiť).

V prípade Euklida sa valec získa otáčaním obdĺžnika. V Cavalieri - pohybom tvoriacej čiary (s ľubovoľným vedením - „valcom“).

Účelom tejto eseje je zvážiť geometrické teleso - valec.

Na dosiahnutie tohto cieľa je potrebné zvážiť nasledujúce úlohy:

− uveďte definície valca;

− zvážiť prvky valca;

− študovať vlastnosti valca;

− zvážiť typy sekcií valcov;

- odvodiť vzorec pre plochu valca;

− odvodiť vzorec pre objem valca;

− riešiť problémy pomocou valca.

1.1. Definícia valca

Uvažujme nejakú priamku (krivku, lomenú alebo zmiešanú) l ležiacu v rovine α a nejakú priamku S pretínajúcu túto rovinu. Cez všetky body danej priamky l vedieme priamky rovnobežné s priamkou S; plocha α tvorená týmito priamkami sa nazýva valcová plocha. Priamka l sa nazýva vodič tejto plochy, priamky s 1, s 2, s 3,... sú jej generátormi.

Ak je vedenie zlomené, potom takáto valcová plocha pozostáva z množstva plochých pásikov uzavretých medzi pármi rovnobežných priamych čiar a nazýva sa prizmatická plocha. Tvoriace priamky prechádzajúce cez vrcholy vodiacej prerušovanej čiary sa nazývajú hrany hranolovej plochy, ploché pásy medzi nimi sú jej plochy.

Ak narežeme ľubovoľnú valcovú plochu ľubovoľnou rovinou, ktorá nie je rovnobežná s jej generátormi, dostaneme priamku, ktorú môžeme brať aj ako vodiacu pre túto plochu. Spomedzi vodítok vyniká ten, ktorý sa získa rezom povrchu rovinou kolmou na tvoriace priamky povrchu. Takáto sekcia sa nazýva normálna sekcia a zodpovedajúca vodiaca lišta sa nazýva normálne vodítko.

Ak je vedenie uzavretá (konvexná) čiara (prerušovaná alebo zakrivená), potom sa zodpovedajúca plocha nazýva uzavretá (konvexná) prizmatická alebo valcová plocha. Najjednoduchšia z valcových plôch má ako normálne vedenie kruh. Rozoberme uzavretý konvexný hranolový povrch s dvoma rovinami rovnobežnými navzájom, ale nie rovnobežnými s generátormi.

V rezoch získame konvexné polygóny. Teraz časť hranolovej plochy uzavretá medzi rovinami α a α" a dve polygonálne dosky vytvorené v týchto rovinách ohraničujú teleso nazývané hranolové teleso - hranol.

Valcové teleso - valec je definovaný podobne ako hranol:
Valec je teleso ohraničené na bokoch uzavretou (konvexnou) valcovou plochou a na koncoch dvoma plochými rovnobežnými základňami. Obe základne valca sú rovnaké a všetky zložky valca sú tiež rovnaké, t.j. segmenty tvoriacich priamok valcovej plochy medzi rovinami podstav.

Valec (presnejšie kruhový valec) je geometrické teleso, ktoré pozostáva z dvoch kruhov, ktoré neležia v rovnakej rovine a sú spojené rovnobežným posunom, a všetkých segmentov spájajúcich zodpovedajúce body týchto kruhov (obr. 1) .

Kruhy sa nazývajú základne valca a segmenty spájajúce príslušné body obvodov kruhov sa nazývajú generátory valca.

Pretože paralelný posun je pohyb, základne valca sú rovnaké.

Keďže pri paralelnom posúvaní sa rovina premení na rovnobežnú rovinu (alebo do seba), potom základne valca ležia v rovnobežných rovinách.

Pretože pri paralelnom preklade sú body posunuté pozdĺž rovnobežných (alebo zhodných) línií o rovnakú vzdialenosť, potom sú generátory valca rovnobežné a rovnaké.

Povrch valca pozostáva zo základne a bočnej plochy. Bočný povrch sa skladá z tvoriacich čiar.

Valec sa nazýva rovný, ak sú jeho generátory kolmé na roviny podstav.

Priamy valec si môžeme vizuálne predstaviť ako geometrické teleso, ktoré pri otáčaní okolo jeho strany ako osi opisuje obdĺžnik (obr. 2).

Ryža. 2 - Priamy valec

V nasledujúcom budeme uvažovať iba o priamom valci, ktorý pre stručnosť nazývame jednoducho valec.

Polomer valca je polomer jeho základne. Výška valca je vzdialenosť medzi rovinami jeho základní. Os valca je priamka prechádzajúca stredmi podstavcov. Je paralelný s generátormi.

Valec sa nazýva rovnostranný, ak sa jeho výška rovná priemeru základne.

Ak sú základne valca ploché (a teda roviny, ktoré ich obsahujú, sú rovnobežné), potom sa hovorí, že valec stojí na rovine. Ak sú základne valca stojaceho v rovine kolmé na tvoriacu čiaru, potom sa valec nazýva rovný.

Najmä, ak podstavou valca stojaceho na rovine je kruh, potom hovoríme o kruhovom (kruhovom) valci; ak je to elipsa, potom je to elipsa.

1. 3. Časti valca

Prierez valca s rovinou rovnobežnou s jeho osou je obdĺžnik (obr. 3, a). Jeho dve strany sú generátory valca a ďalšie dve sú rovnobežné tetivy základov.

A) b)

V) G)

Ryža. 3 – Časti valca

Najmä obdĺžnik je axiálny rez. Toto je časť valca s rovinou prechádzajúcou jeho osou (obr. 3, b).

Prierez valca s rovinou rovnobežnou so základňou je kruh (obrázok 3, c).

Prierez valca s rovinou, ktorá nie je rovnobežná so základňou a jeho osou, je ovál (obr. 3d).

Veta 1. Rovina rovnobežná s rovinou podstavy valca pretína jeho bočnú plochu pozdĺž kružnice rovnajúcej sa obvodu podstavy.

Dôkaz. Nech β je rovina rovnobežná s rovinou podstavy valca. Rovnobežný posun v smere osi valca, ktorý kombinuje rovinu β s rovinou základne valca, spája rez bočnou plochou rovinou β s obvodom základne. Veta je dokázaná.

Bočný povrch valca.

Plocha bočného povrchu valca sa považuje za hranicu, ku ktorej smeruje plocha bočného povrchu pravidelného hranola vpísaného do valca, keď sa počet strán základne tohto hranola zvyšuje na neurčito.

Veta 2. Plocha bočného povrchu valca sa rovná súčinu obvodu jeho základne a jeho výšky (S strana.c = 2πRH, kde R je polomer základne valca, H je výška valca).

A) b)
Ryža. 4 - Bočná plocha valca

Dôkaz.

Nech P n a H sú obvody podstavy a výška pravidelného n-gonálneho hranola vpísaného do valca (obr. 4, a). Potom je plocha bočnej plochy tohto hranola S strana.c − P n H. Predpokladajme, že počet strán mnohouholníka vpísaného do základne rastie neobmedzene (obr. 4, b). Potom obvod P n smeruje k obvodu C = 2πR, kde R je polomer podstavy valca a výška H sa nemení. Plocha bočného povrchu hranola teda smeruje k hranici 2πRH, t.j. plocha bočného povrchu valca sa rovná S side.c = 2πRH. Veta je dokázaná.

Celková plocha valca.

Celková plocha valca je súčtom plôch bočného povrchu a dvoch základní. Plocha každej základne valca sa rovná πR 2, preto sa plocha celkového povrchu valca S total vypočíta podľa vzorca S strana.c = 2πRH+ 2πR 2.

r

T 1

T

F

F 1

F

T

A)

F

b)

Ryža. 5 - Celková plocha valca

Ak je bočný povrch valca rozrezaný pozdĺž tvoriacej čiary FT (obr. 5, a) a rozložený tak, že všetky generátory sú v rovnakej rovine, potom ako výsledok dostaneme obdĺžnik FTT1F1, ktorý sa nazýva rozvinutie bočný povrch valca. Strana FF1 obdĺžnika je rozvinutím kružnice podstavy valca, teda FF1=2πR, a jej strana FT sa rovná tvoriacej priamke valca, t.j. FT = H (obr. 5, b). Plocha FT∙FF1=2πRH rozvinutia valca sa teda rovná ploche jeho bočného povrchu.

1.5. Objem valca

Ak je geometrické teleso jednoduché, to znamená, že sa dá rozdeliť na konečný počet trojuholníkových pyramíd, potom sa jeho objem rovná súčtu objemov týchto pyramíd. Pre ľubovoľné teleso sa objem určuje nasledovne.

Dané teleso má objem V, ak existujú jednoduché telesá, ktoré ho obsahujú, a jednoduché telesá v ňom obsiahnuté s objemom tak málo odlišným od objemu, ako je žiaduce.

Aplikujme túto definíciu na nájdenie objemu valca s polomerom základne R a výškou H.

Pri odvodzovaní vzorca pre oblasť kruhu boli skonštruované dva n-uholníky (jeden obsahujúci kruh, druhý obsiahnutý v kruhu) tak, že ich plochy sa s neobmedzeným nárastom n blížili k ploche kruh bez obmedzenia. Zostrojme také mnohouholníky pre kružnicu na základni valca. Nech P je mnohouholník obsahujúci kruh a P“ je mnohouholník obsiahnutý v kruhu (obr. 6).

Ryža. 7 − Valec s opísaným a vpísaným hranolom

Zostrojme dva priame hranoly so základňami P a P" a výškou H rovnajúcou sa výške valca. Prvý hranol obsahuje valec a druhý hranol je obsiahnutý vo valci. Keďže s neobmedzeným nárastom n, plochy podstav hranolov sa neobmedzene približujú k ploche podstavy valca S, potom sa ich objemy neobmedzene približujú k SH Podľa definície objem valca

V = SH = πR2H.

Objem valca sa teda rovná súčinu plochy základne a výšky.

Úloha 1.

Axiálny rez valca je štvorec s plochou Q.

Nájdite oblasť základne valca.

Dané: valec, štvorec - osový rez valca, S štvorec = Q.

Nájdite: S hlavný valec

Strana námestia je . Rovná sa priemeru základne. Preto je plocha základne .

Odpoveď: S hlavný valec. =

Úloha 2.

Vo valci je vpísaný pravidelný šesťhranný hranol. Nájdite uhol medzi uhlopriečkou jeho bočnej plochy a osou valca, ak sa polomer podstavy rovná výške valca.

Dané: valec, pravidelný šesťhranný hranol vpísaný do valca, polomer základne = výška valca.

Nájdite: uhol medzi uhlopriečkou jeho bočnej plochy a osou valca.

Riešenie: Bočné strany hranola sú štvorce, pretože strana pravidelného šesťuholníka vpísaného do kruhu sa rovná polomeru.

Hrany hranola sú rovnobežné s osou valca, preto sa uhol medzi uhlopriečkou čela a osou valca rovná uhlu medzi uhlopriečkou a bočnou hranou. A tento uhol je 45°, keďže plochy sú štvorcové.

Odpoveď: uhol medzi uhlopriečkou jeho bočnej plochy a osou valca = 45°.

Úloha 3.

Výška valca je 6 cm, polomer podstavy je 5 cm.

Nájdite oblasť rezu vedeného rovnobežne s osou valca vo vzdialenosti 4 cm od nej.

Dané: H = 6 cm, R = 5 cm, OE = 4 cm.

Nájsť: S sek.

S sek. = KM × KS,

OE = 4 cm, KS = 6 cm.

Trojuholník OKM - rovnoramenný (OK = OM = R = 5 cm),

Trojuholník OEK je pravouhlý.

Z trojuholníka OEK podľa Pytagorovej vety:

KM = 2EK = 2×3 = 6,

S sek. = 6×6 = 36 cm2.

Účel tejto eseje bol splnený.

Zvažujú sa tieto úlohy:

− je uvedená definícia valca;

− sú zohľadnené prvky valca;

− boli študované vlastnosti valca;

− uvažujú sa typy sekcií valcov;

- je odvodený vzorec pre plochu valca;

− je odvodený vzorec pre objem valca;

− vyriešené problémy pomocou valca.

1. Pogorelov A.V Geometria: Učebnica pre 10 – 11 ročníkov vzdelávacích inštitúcií, 1995.

2. Beskin L.N. Stereometria. Manuál pre učiteľov stredných škôl, 1999.

3. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Kiseleva L. S., Poznyak E. G. Geometria: Učebnica pre ročníky 10 - 11 vzdelávacích inštitúcií, 2000.

4. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria: učebnica pre ročníky 10-11 v inštitúciách všeobecného vzdelávania, 1998.

5. Kiselev A. P., Rybkin N. A. Geometria: Stereometria: ročníky 10 – 11: Učebnica a problémová kniha, 2000.