Príklady redukcie trigonometrie. Odlievacie vzorce. Rýchle a jednoduché

krása

A ešte jedna úloha B11 na tú istú tému – z reálneho POUŽITIA v matematike.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

V tomto krátkom videonávode sa naučíme, ako aplikovať redukčné vzorce na riešenie reálnych úloh B11 zo skúšky z matematiky. Ako vidíte, máme pred sebou dva trigonometrické výrazy, z ktorých každý obsahuje sínusy a kosínusy, ako aj dosť brutálne číselné argumenty.

Pred riešením týchto problémov si pripomeňme, čo sú redukčné vzorce. Takže, ak máme výrazy ako:

Potom sa prvého člena (tvaru k · π/2) môžeme zbaviť podľa špeciálnych pravidiel. Nakreslíme trigonometrický kruh, označíme na ňom hlavné body: 0, π/2; π; 3π/2 a 2π. Potom sa pozrieme na prvý člen pod znamienkom goniometrickej funkcie. Máme:

Ak člen, ktorý nás zaujíma, leží na zvislej osi trigonometrickej kružnice (napríklad: 3π / 2; π / 2 atď.), potom je pôvodná funkcia nahradená kofunkciou: sínus je nahradený kosínus a kosínus je nahradený sínusom.
Ak náš člen leží na vodorovnej osi, potom sa pôvodná funkcia nemení. Stačí odstrániť prvý výraz vo výraze – a je to.

Dostaneme teda goniometrickú funkciu, ktorá neobsahuje členy tvaru k · π/2. Tým však práca s redukčnými vzorcami nekončí. Faktom je, že pred našou novou funkciou získanou po „odmietnutí“ prvého termínu môže byť znamienko plus alebo mínus. Ako identifikovať toto znamenie? Teraz to zistíme.

Predstavte si, že uhol α, ktorý po transformáciách zostane vo vnútri goniometrickej funkcie, má veľmi malú mieru. Čo však znamená „malá miera“? Predpokladajme, že α ∈ (0; 30 °) - to je dosť. Zoberme si funkciu ako príklad:

Potom, podľa našich predpokladov, že α ∈ (0; 30°) dospejeme k záveru, že uhol 3π/2 − α leží v treťom súradnicovom kvadrante, t.j. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Pripomíname si znak pôvodnej funkcie, t.j. y = sin x na tomto intervale. Je zrejmé, že sínus v tretej súradnicovej štvrtine je záporný, pretože podľa definície je sínus ordinátou konca pohyblivého polomeru (v skratke, sínus je súradnica y). No, y-ová súradnica v dolnej polrovine má vždy záporné hodnoty. V treťom štvrťroku je teda y tiež záporné.

Na základe týchto úvah môžeme napísať konečný výraz:

Problém B11 - 1 možnosť

Tieto isté techniky sú celkom vhodné na riešenie problému B11 z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Jediný rozdiel je v tom, že v mnohých skutočných problémoch B11 sa namiesto radiánovej miery (t.j. čísla π, π/2, 2π atď.) používa miera stupňov (t.j. 90°, 180°, 270° a atď.). Pozrime sa na prvú úlohu:

Najprv sa vysporiadajme s čitateľom. cos 41° je netabuľková hodnota, takže s tým nemôžeme nič robiť. Zatiaľ to nechajme tak.

Teraz sa pozrite na menovateľa:

sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°

Je zrejmé, že máme pred sebou redukčný vzorec, takže sínus bol nahradený kosínusom. Okrem toho na segmente leží uhol 41° (0°; 90°), t.j. v prvom súradnicovom štvrťroku - presne tak, ako je to potrebné na uplatnenie redukčných vzorcov. Ale potom je 90° + 41° druhá súradnicová štvrtina. Pôvodná funkcia y = sin x je tam kladná, preto sme v poslednom kroku dali pred kosínus znamienko plus (inými slovami, nevložili sme nič).

Zostáva sa zaoberať posledným prvkom:

cos 240° = cos (180° + 60°) = -cos 60° = -0,5

Tu vidíme, že 180° je horizontálna os. V dôsledku toho sa samotná funkcia nezmení: bol tam kosínus - a kosínus tiež zostane. Opäť však vyvstáva otázka: bude plus alebo mínus pred výsledným výrazom cos 60 °? Všimnite si, že 180° je tretí súradnicový kvadrant. Kosínus je tam záporný, preto kosínus skončí so znamienkom mínus. Celkovo dostaneme konštrukciu -cos 60° = -0,5 - to je tabuľková hodnota, takže všetko sa dá ľahko vypočítať.

Teraz dosadíme získané čísla do pôvodného vzorca a dostaneme:

Ako vidíte, číslo cos 41 ° v čitateli a menovateli zlomku sa ľahko zníži a zostane obvyklý výraz, ktorý sa rovná -10. V tomto prípade môže byť mínus buď vyňaté a umiestnené pred zlomkom, alebo "ponechané" vedľa druhého multiplikátora až do posledného kroku výpočtov. Tak či onak, odpoveď je -10. To je všetko, problém B11 je vyriešený!

Problém B14 - 2. možnosť

Prejdime k druhej úlohe. Pred nami je opäť zlomok:

No v prvom súradnicovom kvadrante máme 27°, takže tu už nič nezmeníme. Ale hriech 117 ° musí byť natretý (zatiaľ bez akéhokoľvek štvorca):

sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°

Očividne opäť pred nami redukčný vzorec: 90° je vertikálna os, takže sínus sa zmení na kosínus. Okrem toho uhol α = 117° = 90° + 27° leží v druhom súradnicovom kvadrante. Pôvodná funkcia y = sin x je tam kladná, preto pred kosínusom po všetkých transformáciách stále zostáva znamienko plus. Inými slovami, nič sa tam nepridáva - necháme to tak: cos 27 °.

Vraciame sa k pôvodnému výrazu, ktorý je potrebné vyhodnotiť:

Ako vidíte, po transformáciách sa v menovateli objavila hlavná trigonometrická identita: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Celkom -4: 1 = -4 - tak sme našli odpoveď na druhú úlohu B11.

Ako vidíte, pomocou redukčných vzorcov sa takéto úlohy z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky riešia len v niekoľkých riadkoch. Žiadne sínusy súčtu a kosínusy rozdielu. Všetko, čo si musíme zapamätať, je len trigonometrický kruh.

Definícia. Redukčné vzorce sa nazývajú vzorce, ktoré vám umožňujú prejsť od goniometrických funkcií formulára k funkciám argumentov. S ich pomocou možno zmenšiť sínus, kosínus, tangens a kotangens ľubovoľného uhla na sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla od 0 do 90 stupňov (od 0 do radiánov). Redukčné vzorce nám teda umožňujú prejsť k práci s uhlami do 90 stupňov, čo je nepochybne veľmi pohodlné.

Prenášacie vzorce:

Existujú dve pravidlá používania vzorcov na liatie.

1. Ak možno uhol znázorniť ako (π/2 ±a) alebo (3*π/2 ±a), potom zmeny názvu funkcie sin to cos, cos to sin, tg to ctg, ctg to tg. Ak možno uhol znázorniť ako (π ±a) alebo (2*π ±a), potom názov funkcie zostáva nezmenený.

Pozrite sa na obrázok nižšie, schematicky ukazuje, kedy by sa malo označenie zmeniť a kedy nie.

2. Znak zníženej funkcie zostáva rovnaký. Ak mala pôvodná funkcia znamienko plus, potom aj redukovaná funkcia má znamienko plus. Ak mala pôvodná funkcia znamienko mínus, potom aj redukovaná funkcia má znamienko mínus.

Na obrázku nižšie sú znázornené znaky hlavných goniometrických funkcií v závislosti od štvrťroka.

Príklad:

Vypočítajte

Použime redukčné vzorce:

Sin(150˚) je v druhej štvrtine, z obrázku vidíme, že znamenie hriechu v tejto štvrtine sa rovná "+". To znamená, že vyššie uvedená funkcia bude mať aj znamienko „+“. Použili sme druhé pravidlo.

Teraz 150˚ = 90˚ + 60˚. 90˚ je π/2. To znamená, že máme do činenia s prípadom π / 2 + 60, preto podľa prvého pravidla zmeníme funkciu z sin na cos. V dôsledku toho dostaneme Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Lekcia a prezentácia na tému: "Aplikácia redukčných vzorcov pri riešení problémov"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje pripomienky, spätnú väzbu, návrhy. Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre ročník 10
1C: Škola. Interaktívne konštrukčné úlohy pre ročníky 7-10
1C: Škola. Riešime úlohy v geometrii. Interaktívne úlohy na stavanie v priestore pre ročníky 10-11

Čo budeme študovať:
1. Trochu zopakujeme.
2. Pravidlá pre redukčné vzorce.
3. Tabuľka transformácií pre redukčné vzorce.
4. Príklady.

Opakovanie goniometrických funkcií

Chlapi, už ste sa stretli so vzormi duchov, ale ešte sa tak nevolali. kde myslíš?

Pozrite si naše kresby. Správne, keď zaviedli definície goniometrických funkcií.

Pravidlo pre redukčné vzorce

Uveďme si základné pravidlo: Ak znamienko goniometrickej funkcie obsahuje číslo v tvare π×n/2 + t, kde n je ľubovoľné celé číslo, potom je možné našu goniometrickú funkciu zredukovať na jednoduchší tvar, ktorý bude obsahovať iba argument t. Takéto vzorce sa nazývajú vzorce duchov.

Pripomeňme si niekoľko vzorcov:

sin(t + 2π*k) = sin(t)
cos(t + 2π*k) = cos(t)
sin(t + π) = -sin(t)
cos(t + π) = -cos(t)
sin(t + π/2) = cos(t)
cos(t + π/2) = -sin(t)
tg(t + π*k) = tg(x)
ctg(t + π*k) = ctg(x)

existuje veľa duchovných vzorcov, urobme si pravidlo, podľa ktorého budeme určovať naše goniometrické funkcie pri použití duchovné vzorce:

Ak znamienko goniometrickej funkcie obsahuje čísla v tvare: π + t, π - t, 2π + t a 2π - t, funkcia sa nezmení, to znamená, že napríklad sínus zostane sínusom, kotangens zostane kotangensom.
Ak znamienko goniometrickej funkcie obsahuje čísla v tvare: π/2 + t, π/2 - t,
3π/2 + t a 3π/2 - t, potom sa funkcia zmení na príbuznú, t.j. zo sínusu sa stane kosínus, z kotangensu sa stane tangens.
Pred výslednú funkciu musíte vložiť znamienko, ktoré by mala konvertovaná funkcia, ak by bola 0

Tieto pravidlá platia aj vtedy, keď je argument funkcie v stupňoch!

Môžeme urobiť aj tabuľku prevodov goniometrických funkcií:

Príklady použitia redukčných vzorcov

1. Transformujme cos(π + t). Názov funkcie zostáva, t.j. dostaneme cos(t). Ďalej predpokladajme, že π/2

2. Transformujte sin(π/2 + t). Mení sa názov funkcie, t.j. dostaneme cos(t). Ďalej predpokladajme, že 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. Transformujme tg(π + t). Názov funkcie zostáva, t.j. dostaneme tg(t). Ďalej predpokladajme, že 0

4. Transformujme ctg(270 0 + t). Názov funkcie sa zmení, čiže dostaneme tg(t). Ďalej predpokladajme, že 0

Problémy s redukčnými vzorcami pre samostatné riešenie

Chlapci, premeňte sa podľa našich pravidiel:

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) ctg(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) ctg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) sin(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 - t),
9) sin(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).

Existujú dve pravidlá používania vzorcov na liatie.

Pozrite sa na obrázok nižšie, schematicky ukazuje, kedy by sa malo označenie zmeniť a kedy nie.

2. Pravidlo "aký si bol, taký zostaneš."

Znak zníženej funkcie zostáva rovnaký. Ak mala pôvodná funkcia znamienko plus, potom aj redukovaná funkcia má znamienko plus. Ak mala pôvodná funkcia znamienko mínus, potom aj redukovaná funkcia má znamienko mínus.

Na obrázku nižšie sú znázornené znaky hlavných goniometrických funkcií v závislosti od štvrťroka.

Vypočítať hriech (150˚)

Použime redukčné vzorce:

Sin(150˚) je v druhej štvrtine, z obrázku vidíme, že znamenie hriechu v tejto štvrtine je +. To znamená, že vyššie uvedená funkcia bude mať aj znamienko plus. Použili sme druhé pravidlo.

V prípade potreby je možné všetky redukčné vzorce zhrnúť do jednej tabuľky. Ale stále je jednoduchšie si tieto dve pravidlá zapamätať a použiť ich.

Potrebujete pomôcť so štúdiom?

Predchádzajúca téma: