Simulácia pohybu postáv počítačových hier. Hodina informatiky "modelovanie pohybu" Verletova integračná metóda

Tehotenstvo

Tento tutoriál obsahuje 3D scénu.

Stručný úvod

V skutočnosti už v predchádzajúcich lekciách boli určité aspekty fyziky v Cinema 4D spomenuté: napríklad hneď v prvej lekcii na tejto stránke sme pustili loptu na rovný povrch, neskôr sa fyzikálny model Cinema 4D považoval za jeden zo spôsobov ako simulovať generátor nekonečného pohybu . Ale doteraz to boli len čiastkové, extrémne povrchné a najprimitívnejšie aspekty fyziky.

V tejto lekcii prejdeme k tomu najzaujímavejšiemu: hĺbkovému štúdiu fyziky v Cinema 4D na konkrétnom príklade - pokúsime sa vytvoriť a nakonfigurovať (aspoň v najprimitívnejšej verzii) plne funkčný fyzikálny model pohybu auta v nerovnom teréne, simulujúc vo všeobecnosti rovnaké princípy, podľa ktorých sa auto pohybuje v reálnom svete.

Potreba použiť fyzický model pohybu vozidla spočíva v slovách „na nerovnom teréne“. Vo väčšine prípadov pri modelovaní automobilovej dopravy nie je potrebné používať fyzikálny model: autá sa pohybujú rovnomerne po trajektórii (presne takýto dopravný tok sme sa naučili vytvárať z jedného modelu auta, pamätáte?), pričom prakticky vizuálne interagujú v žiadnom prípade s prostredím, a to je ľahké a jednoduché na zobrazenie pomocou jednoduchých prostriedkov, bez použitia fyziky. Akonáhle sa však bavíme o zložitom teréne, po ktorom auto jazdí, alebo o mimoriadnom správaní sa samotného auta (driftovanie, šmyk či kolízie) – tu prichádza na rad fyzika, pokiaľ ty a ja nechceme manuálne umiestnite veľké množstvo kľúčov a upravte krivky správania trojrozmerného modelu pre každú sekundu jeho správania (a to bez zaručenia vizuálnej vierohodnosti konečného vykreslenia).

Ciele a ciele

Najprv si definujme naše ciele a ciele. V tejto lekcii je naším cieľom znázorniť viac či menej pravdepodobné správanie auta pri jazde na nerovnom povrchu. Presnejšie: auto by malo pri nárazoch na nerovnosti poskakovať a kotúľať sa a tiež by malo visieť kolesá cez výmoly. A samozrejme by mal spomaliť pri prekonávaní nervozity a zrýchliť na rovinatých plochách.

Ak by nešlo o zrýchľovanie a spomaľovanie auta v závislosti od terénu, možno by sme si našu úlohu zjednodušili „zavesením“ auta na neviditeľného „vodcu“ pohybujúceho sa po danej trajektórii – v tomto prípade by auto bolo ako detské sane, ktorých rýchlosť nezávisí od výšky snehových závejov pod bežcami a od rýchlosti kroku otca, ktorý vlečie syna na saniach. V našom prípade toto riešenie problému nie je pre vás a mňa vhodné, to znamená, že budeme musieť vybaviť model auta najviac fungujúcim motorom. Pre maximálny efekt urobíme z nášho auta SUV so zadným náhonom.

Začnime?

Začnime modelovaním vzhľadu auta (konkrétne vzhľadu, nie fyzického modelu – to nie je to isté!). Naše auto bude pozostávať iba z piatich trojrozmerných prvkov: karosérie a štyroch kolies. Dúfam, že chápete, že každé koleso by malo byť samostatným prvkom modelu. Okrem toho je vhodné, aby každé z kolies bolo pevné (monolitické), to znamená, že pozostávalo z jedného jediného prvku a nie zo súboru prvkov, inak sa neskôr stretnete s mnohými ťažkosťami - budete sa musieť spojiť. všetky prvky každého z kolies pomocou fyzikálnych modifikátorov , čo by bola podľa mňa úplne zbytočná strata času. Základným princípom, na základe ktorého sme rozdelili prvky modelu, je možnosť následného vizuálneho posunutia prvkov voči sebe počas pohybu SUV.

Upozorňujeme, že v spodnej časti karosérie SUV sú výrezy pre kolesá - hneď si dám výhradu, aby ich absencia neprekážala pri práci nášho budúceho fyzikálneho modelu (neskôr uvidíte sami), ale pri sledovaní pri animácii by ste videli, ako kolesá prechádzajú priamo dnu, čo by bola, samozrejme, hrubá vizuálna chyba.

Teraz prejdime k najdôležitejšej veci: vytvorenie skutočného fyzického modelu SUV. Okamžite by ste mohli predpokladať, že je čas pripevniť kolesá ku karosérii. V žiadnom prípade! Nie teraz, nie neskôr. A preto. Faktom je, že ak by ste kolesá pripevnili priamo na telo, mali by ste opäť veľa ťažkostí: fyzikálny model Cinema 4D by kolesá vnímal ako vnútri tela(t. j. akoby v ňom uviazli) a za každú cenu by sa ich snažil vyslobodiť, v dôsledku čoho by ste namiesto viac-menej hodnoverného správania kolies videli najmä ich malé, nepretržité vibrácie a minimálna reakcia na fyzickú interakciu s inými objektmi obklopujúcimi SUV. Samozrejme, tento problém sa dá úplne vyriešiť dolaďovaním a časovo náročným nastavovaním hodnôt dynamiky scény a modelov, ako sú intervaly, po ktorých dosiahnutí začína interakcia trojrozmerných prvkov, pôjde jednoduchšou cestou.

Pôjdeme jednoduchšou cestou – a tentoraz vytvoríme nie vizuálny, ale fyzický model karosérie auta. Ako navrhol autor, ide o najobyčajnejšiu polygonálnu kocku. V tom vašom to môže byť akýkoľvek iný polygonálny objekt – hlavné je, že ho nie je vidieť pod karosériou SUV a že ide o polygonálny model, ktorého okraje sú dostatočne vzdialené od kolies. Tento prvok budeme konvenčne nazývať centrum hmotnosti.

Prečo je to tak, pýtate sa? Prečo to nemôže byť NULL objekt alebo splajn?

Pretože hmotnostné centrum, ktoré sme vytvorili, má podľa definície a na základe svojho názvu aktívne participovať na fyzickom modeli SUV. Ani splajny, ani objekty NULL, ktoré majú fyzikálne vlastnosti, ich nepoužívajú, pretože nemajú fyzický povrch.

Bolo teda vytvorené ťažisko SUV. Prejdime k uchyteniu kolies. Pri absencii fyzikálneho modelu by sme ich jednoducho podriadili kocke (alebo aj telu) v správcovi objektov, a to by úplne stačilo. V našom prípade by kolesá nemali byť pripevnené pevne, ale berúc do úvahy určitú fyzickú slobodu, to znamená schopnosť mierne sa posunúť vzhľadom na stred hmotnosti, keď dôjde k fyzickej interakcii s inými objektmi na scéne (napríklad s nerovnomerným povrchy ciest).

Práve pre tento typ upevnenia poskytuje Cinema 4D objekty typu „Connector“ (z anglického „connect“ - „prepojiť“). Prejdite do hornej ponuky, vyhľadajte položku „Simulácia“, v položke rozbaľovacej ponuky vyberte podpoložku „Dynamika“ a v rozbaľovacej ponuke kliknite na „Konektor“.

Vidíme, že v pracovnom okne sa objavil nový objekt a jeho názov sa objavil v správcovi objektov. Začnime s pravým predným kolesom. Konektor umiestnime na miesto, kde sa nachádza geometrický stred kolesa, ktorý sa pomocou konektora pripevní na telo - pričom samotný geometrický stred kolesa by sa mal nachádzať v mieste, kde je stred náboja kolesa. umiestnený pri volante.

Teraz musíte nakonfigurovať konektor. Vyberte jeho názov v správcovi objektov a pozrite si okno vlastností, ktoré sa otvorí nižšie.

Prvým parametrom, ktorého hodnotu by sme mali zmeniť, je typ spojenia (parameter „Type“), ktorý určuje, ako sa koleso bude pohybovať voči karosérii. Je zrejmé, že najvhodnejším typom pripojenia v našom prípade bude „Odpruženie kolies“. V poli oproti slovám „Object A“ presuňte názov centra hmotnosti zo správcu objektov; na obrázku nižšie je označený ako „Základňa“ - to je predmet ku ktorému Pripevňujeme koleso. Do poľa oproti slovám „Object B“ presuňte názov kolesa (na obrázku označený ako „Wheel_FR“ zo skratky „Wheel Front Right“) – toto je namietať, že prikladáme vám ho. Parametre „Príloha A“ a „Príloha B“ sa nedotkneme – označujú, kde sú ťažiská objektov a predvolené hodnoty nám v tomto prípade celkom vyhovujú.

Prejdime k jemnému doladeniu konektora.

Nastavenie "Ignorovať kolízie" je vhodné, keď sa chcete vyhnúť fyzickej interakcii medzi kolesom a stredom hmotnosti - napríklad ak nastavenia konektora umožňujú kolesu vychýliť sa až o 45 stupňov, ale koleso stále spočíva na predmete, na ktorom sa nachádza. a nemôže sa odchýliť od maximálneho povoleného uhla, potom môže toto nastavenie pomôcť. Parameter „Steering Angle“ je maximálny povolený uhol odchýlky kolesa od jeho pôvodnej polohy. Parameter „Suspension Rest Position“ určuje vertikálny posun kolesa v pokoji (to znamená v tých momentoch, keď koleso s ničím neinteraguje). V našom prípade je hodnota -15 cm. - ak ju zmeníte na -25, karoséria SUV sa zdvihne v porovnaní s kolesami ešte vyššie ako v súčasnosti a svetlá výška sa zvýši, ale pri zároveň sa zníži stabilita SUV, keďže ťažisko bude vyššie - však, toto už pripomína vyváženie stability áut v reálnom svete? Mäkkosť odpruženia závisí od hodnoty parametra „Tuhosť odpruženia“. Čím nižšia hodnota, tým mäkšie bude odpruženie. Parameter „Suspension Dumping“ určuje „odskok“ zavesenia. A nakoniec, ak chcete, môžete aktivovať parametre „Dolný limit Y“ a „Horný limit Y“ a určiť pre ne hodnoty vzdialenosti, za ktoré sa koleso nemôže odchýliť.

Po dokončení nastavenia konektora zopakujeme rovnakú operáciu - počnúc vytvorením nového konektora - pre druhé predné koleso, tentoraz ľavé. Namiesto cestovania cez horné menu, ako ste už pravdepodobne zistili, môžete jednoducho nájsť konektor pravého predného kolesa, ktorý sme vytvorili predtým, a stlačením a podržaním klávesu „Ctrl“ na klávesnici celou silou potiahnite názov konektora na prázdne miesto v správcovi objektov - Po dokončení tejto operácie dostanete vy aj ja novú kópiu konektora, ktorá tiež zdedí všetky nastavenia z originálu. Hlavná vec je nezabudnúť zmeniť názov pravého kolesa na názov ľavého v poli „Objekt B“ vlastností nového konektora.

Predné kolesá sú hotové. Presuňme sa dozadu.

A hneď stojíme pred otázkou, ktorá je na prvý pohľad akosi nezrozumiteľná: koľko motorov by malo mať naše SUV? Aká zvláštna otázka, poviete si – jedna, samozrejme.

Dovoľte mi vysvetliť, s čím táto otázka súvisí. V skutočnom mechanizme automobilu sa krútiaci moment prenáša na obe hnacie kolesá súčasne prostredníctvom pomerne zložitého systému mechanických pohonov. Modelovať tento systém pohonu pre vás a mňa nemá zmysel, keďže nemáme za úlohu vizualizovať vnútornú štruktúru SUV, čo znamená, že namiesto plného chodu motora si môžeme dovoliť akúkoľvek zjednodušenú fyzickú imitáciu to, pokiaľ sa hnacie kolesá otáčajú a tlačia auto dopredu.

Takže vy a ja máme dve alternatívne riešenia: ak zúfalo potrebujeme vykresliť oddelená trakcia dvoch hnacích kolies, môžeme do virtuálneho dizajnu pridať dva samostatné motory, z ktorých každý bude točiť svoje koleso. Ak nepotrebujeme modelovať samostatnú trakciu, potom najefektívnejším a najjednoduchším spôsobom, ako uviesť auto do pohybu, je vytvoriť takzvaný „kolesový pár“ – dve kolesá tesne spojené dohromady, ktoré poháňa jeden motor.

V tejto lekcii si zvolíme druhý, jednoduchší spôsob – vytvorenie dvojkolesia a jeho otáčanie jedným motorom. S výhradou, že v zásade, ak chcete, môžete túto metódu skomplikovať - napríklad neotáčajte dvojkolesím, ale nápravou s hnacími kolesami pripojenými pomocou konektorov tak, aby sa voľne kývali dopredu a dozadu, ako napr. sme už nakonfigurovali pre predné kolesá V tejto lekcii si však nebudeme našu úlohu zbytočne komplikovať, ak máte chuť, experimentujte sami na základe scénky priloženej k tejto lekcii, odkaz na ňu nájdete na začiatku lekcie.

Takže je rozhodnuté - vytvoríme dvojkolesie: vyberte dve zadné kolesá - môžete v pracovnom okne, môžete prejsť do správcu objektov, kde je to pre vás pohodlnejšie - potom v správcovi objektov klikneme pravým tlačidlom myši na ľubovoľné z nich a v rozbaľovacej kontextovej ponuke hľadáme položku „Pripojiť“ + Odstrániť“ („Pripojiť a odstrániť“). O riadok vyššie v tej istej kontextovej ponuke je položka „Pripojiť“ - pri kombinovaní prvkov vytvorí nový objekt, pričom originály zlúčených modelov ponechajú nedotknuté, nebudeme potrebovať originály samostatných zadných kolies.

Vidíme, že zadné kolesá SUV sa stali jedným trojrozmerným prvkom – čo sme potrebovali.

Vytvárame ďalší konektor - tentoraz pre zadné dvojkolesie a vzhľadom na jeho monolitickú povahu je len jeden a potom ho nakonfigurujeme. Umiestňujeme ho, prirodzene, do stredu dvojkolesia.

Teraz vytvoríme motor: horné menu, opäť položka „Simulácia“, rozbaľovacia ponuka, podpoložka „Dynamika“, podpoložka „Motor“ v rozbaľovacej ponuke.

Vytvorený motor umiestnime na to isté miesto ako konektor pre dvojkolesie - do stredu medzi zadné kolesá (alebo vedecky povedané do geometrického stredu zadného dvojkolesia), potom v správcovi objektov vyberieme jeho názov, plynulo prejdeme náš pohľad na okno vlastností motora, ktoré sa otvára nižšie, a pokračujeme na stavenisko.

V poli vedľa slov „Object A“ potiahnite názov zadného dvojkolesia zo správcu objektov (na obrázku je označený ako „Back Wheels“). Do poľa vedľa slov „Objekt B“ nič nepreťahujeme. Pre parameter „Typ“ vyberte hodnotu „Uhlový“ - všetko je správne, pretože aby sa SUV mohol pohybovať, motor, ktorý sme vytvorili, musí neustále otáčať hnacie dvojkolesie do určitého uhla. Nastavte parameter „Mode“ na „Regulate Speed“. A nakoniec uvádzame číselné hodnoty parametrov „Uhlová cieľová rýchlosť“ a „Krútiaci moment“.

Pravdepodobne ste pripravení spustiť animáciu a skontrolovať výsledky. Ak áno, potom je ešte priskoro: napokon, vy a ja sme dokončili iba jednu časť práce – nastavili sme fyzický vplyv na objekty, zatiaľ čo samotné fyzické objekty ešte nemáme. A kolesá, hovoríte, a telo a kocka hmotnosti? Je pravda, že boli vytvorené polygonálne modely, ale fyzikálne pre sily vplyvu ešte neexistujú kolesá, ani karoséria, ani kocka závažia - kým sa nepriradí ku kolesám, karosérii a kocke závažia dynamická značka. Pretože je to dynamická značka priradená k polygonálnemu prvku trojrozmernej scény, ktorá naznačuje, že tento prvok sa zúčastňuje interakcie s inými prvkami, ktoré majú dynamické vlastnosti.

Začnime nastavovať fyzikálne vlastnosti SUV. A zároveň budujeme hierarchickú štruktúru prvkov, z ktorých sa skladá. Najprv vytvoríme skupinu, v ktorej sa budú zhromažďovať všetky prvky auta (ak to ešte nebolo urobené) - to sa dá urobiť kombináciou niekoľkých prvých prvkov, ktoré sa vám dostanú pod ruku pomocou kombinácie kláves Alt + G (Pripomínam, že na rozdiel od všeobecne akceptovanej metódy v Cinema 4D sekvenčných samostatných stláčaní kláves, táto kombinácia sa stláča súčasne!), alebo vytvorením NULL objektu.

Následne vytvorenú skupinu nazveme nejakým jedinečným, nenapodobiteľným a nezabudnuteľným slovom (napr. autor to nazval „CAR“) a napcháme do nej všetky prvky súvisiace s SUV: karosériu, kolesá, konektory, závažie a motor.

Teraz označíme prvky skupiny ako účastníkov fyzickej interakcie s okolitým fyzickým modelom: vyberte názov skupiny, kliknite naň pravým tlačidlom myši, v rozbaľovacej ponuke presuňte kurzor myši na položku „Dynamics Tags“ a v rozbaľovacej ponuke z poslednej podponuky vyberte jedinú položku - „Dynamické telo“.

Ak ste doteraz pozorne čítali túto lekciu, možno sa pýtate: ako môže skupina „CAR“, keďže je objektom NULL, fyzicky interagovať vo fyzickom modeli? Správne, samotný objekt NULL nefunguje. Vlastnosti dynamiky však môžu zdediť všetky jemu podriadené prvky a nie je potrebné priraďovať dynamickú značku každému prvku jednotlivo. Hlavná vec je správne nastaviť značku dynamiky skupiny. Konfigurovať: vyberte značku a v okne vlastností, ktoré sa otvorí nižšie, vyberte kartu „Dynamika“, v ktorej aktivujeme parameter „Povolené“ (čím zahŕňa fyziku interakcie) a pre parameter „Dynamický“ vyberte hodnotu „Zapnuté“ ( čím sa naznačuje účasť skupiny na všetkých bežných pre scénu fyzikálnych pravidiel, ako je gravitácia atď.)...

Potom prejdite na kartu „Kolízia“ v tom istom okne vlastností a zadajte hodnoty, ktoré prinútia prvky skupiny zdediť pravidlá dynamiky: „Použiť značku na deti“ pre parameter „Zdediť značku“ „ („Dedičnosť“), "Všetky" pre "Jednotlivé prvky", začiarknutie pre "Vlastné kolízie" a "Automaticky (MoDynamics)" pre "Tvar" ("Obvod"). Zostávajúce parametre nakonfigurujeme podľa vášho vkusu.

Tu by sa patrilo konečne pripomenúť karosériu SUV. Podľa našej predstavy by tiež mala interagovať s okolitým fyzikálnym modelom trojrozmernej scény – napríklad hádzať nosom stenu z kartónových škatúľ – ale zároveň by nemala interagovať s inými prvkami vlastnej skupiny. - so záťažovou kockou a kolieskami. Aby sme dosiahli tento výsledok, podriadime ho váhovej kocke a karosérii priradíme individuálny tag dynamiky - rovnako ako skupine prvkov auta - ale v tagu dynamika karosérie vypneme parameter “Dynamický” (nastavíme hodnotu „Vypnuté“ na karte „Dynamika“ (všimnite si, že parameter „Povolené“ zostane aktivovaný, inak sa telo úplne prestane podieľať na fyzickom modeli scény a akákoľvek prekážka, ktorá sa dostane do cesty SUV, bude voľne prechádzať telom!). Na karte „Kolízia“ dynamického tagu priradeného k telu môžete zadať „Žiadne“ a „Vypnuté“ pre parametre „Zdediť značku“ a „Jednotlivé prvky“ - telo nemá podriadené prvky, ktorým dynamické vlastnosti tela by sa mali prenášať.

Do trojrozmernej scény ostáva už len pridať vyššie opakovane spomínaný okolitý fyzikálny model – nejaký nerovný reliéf, ktorý by vo finálnej animácii odhalil fyzikálne hodnovernú reakciu auta na interakciu s výmoľmi. V scéne pripojenej k lekcii je to hrubé zdanie akejsi arény s jadrom posiatym mohylami.

Konečne

V tejto lekcii sme študovali vytvorenie najjednoduchšieho fyzického modelu pohybu auta – bez akýchkoľvek ďalších pluginov a modulov, pomocou štandardných nástrojov Cinema 4D. V lekcii, ako ste si všimli, sa nehovorí o modelovaní zákrut, model, ktorý sme vytvorili, sa môže pohybovať iba v priamom smere - samozrejme, pokiaľ nerovný terén pod kolesami nezmení trajektóriu pohybu (čo sa stane vo videu nižšie). Mimochodom, autor zámerne upravil parametre fyzického modelu trojrozmernej scény tak, aby pohyb SUV bol akoby prehnaný, aby bolo možné jasne demonštrovať interakciu kolies a karosérie auta s nezrovnalosti. Okrem toho scéna pripojená k lekcii obsahuje ďalšie prvky, ktoré nie sú uvedené v lekcii a sú určené na streľbu a osvetlenie. Následne sa možno na stránke budú uvažovať o zložitejších fyzických modeloch.

Konečný výsledok je vo forme animácie.

Skrátený preklad-prerozprávanie článku: .

Úvod

Článok popisuje základy prístupu k modelovaniu pohybu objektov, ktorý je vhodné použiť v počítačových hrách. Tento prístup je jednoduchý, programy, ktoré ho implementujú, fungujú rýchlo a sú dosť stabilné. Navyše na pochopenie jeho základov nie sú potrebné žiadne špeciálne matematické znalosti (hoci samotný prístup má pevné matematické základy). S jeho pomocou môžete simulovať pohyb tkanív, mäkkých a tvrdých telies, ako aj tiel s prihliadnutím na spojenia.

Fyzikálne modelovanie, teda modelovanie pohybu postáv na základe zákonov fyziky (alebo skôr mechaniky), sa skúma pomerne dlho. V literatúre sú navrhnuté rôzne prístupy (pozri atď.) a veľa úsilia sa investovalo do vytvorenia presných a spoľahlivých algoritmov. Presné metódy na modelovanie pohybu sú vo fyzike známe už dlho. Pre hry a systémy virtuálnej reality však presnosť nie je najdôležitejšou výhodou (aj keď je dobrá, keď je). Oveľa dôležitejšia je vierohodnosť (programátor môže skresľovať model reality koľko chce, pokiaľ dokáže hráča zaujať) a rýchlosť vykonávania (na vykonanie je pridelená iba časť času, ktorý trvá animačný rámec). výpočty pre modelovanie pohybu). V prípade fyzikálneho modelovania pojem „pravdepodobnosť“ zahŕňa aj stabilitu: modelovacia metóda, pri ktorej telesá prenikajú cez prekážky alebo sa odrážajú, keď by mali nehybne ležať, nemožno považovať za úspešnú. Metódy opísané v tejto práci boli vyvinuté predovšetkým na dosiahnutie vierohodnosti a rýchlosti výpočtu. Majú vysoký výkon a sú pomerne jednoduché na implementáciu (aspoň v porovnaní s inými metódami, ktoré riešia rovnaké problémy).

Uvažovaná metóda je iteratívna, takže od určitého kroku ju možno kedykoľvek zastaviť. To umožňuje kompromis medzi presnosťou výpočtu a vynaloženým časom: ak sa určité množstvo chýb považuje za prijateľné, kód môže bežať rýchlejšie; Okrem toho je možné počas vykonávania adaptívne zvoliť veľkosť chyby. Metóda si poradí aj s kolíziami a kľudovými kontaktmi a poradí si s modelovaním stohu telies naukladaných na seba, čo je problém mnohých fyzikálnych motorov.

Úspech metódy závisí od správnej kombinácie a využitia výhod niekoľkých techník:

Verletova metóda numerickej integrácie;
zvládanie kolízií a prieniku do tela pomocou projekcie;
jednoduchý riešič obmedzení využívajúci relaxáciu;
aproximácia druhej odmocniny, ktorá zvyšuje rýchlosť výpočtov;
modelovanie pevných látok ako častíc spojených väzbami.

Uvedieme krátke vysvetlenie každej z týchto techník. Pri písaní tohto dokumentu sa autor snažil sprístupniť ho čo najširšiemu publiku bez straty podstatných informácií potrebných na implementáciu. To znamená, že matematické vysvetlenia a zdôvodnenia sú obmedzené na minimum, pokiaľ nie sú rozhodujúce pre pochopenie predmetu. Cieľom práce je demonštrovať možnosť implementácie pomerne pokročilej a robustnej metódy fyzikálneho modelovania bez utápania sa v matematických jemnostiach.

Obsah je usporiadaný nasledovne. Časť 2 popisuje znázornenie časticového systému bez použitia rýchlosti. Táto reprezentácia má množstvo výhod, z ktorých najvýznamnejšie sú stabilita a jednoduchosť implementácie spojení a iných obmedzení. Časť 3 popisuje, ako prebieha riešenie kolízie. Potom v časti 4 je časticový systém rozšírený o spojenia, ktoré umožňujú simuláciu pohybu tkaniny. Časť 5 vysvetľuje, ako zostaviť systém vzájomne prepojených častíc na modelovanie tuhého telesa. Ďalej v časti 6 ukážeme, ako realizovať spojenia medzi telesami (najmä pánty). Časť 7 obsahuje rôzne krátke poznámky a určité skúsenosti s implementáciou trenia.

V nasledujúcom texte sú vektory označené písmenami so šípkami a ich zložky dolnými indexmi: $\vec(x)=(x_1,x_2,x_3)$ .

Metóda integrácie Verlet

Srdcom simulácie (t. j. simulácie fyzikálneho procesu pomocou počítačového systému) je časticový systém. Pri implementácii takéhoto systému sa zvyčajne predpokladá, že každá častica má dve hlavné charakteristiky: súradnicu (polohu) $\vec(x)$ a rýchlosť $\vec(v)$ . Potom sa pomocou vzorcov vypočítajú nové hodnoty súradníc $\vec(x)^\prime$ a rýchlosti $\vec(v)^\prime$.

$$ \začiatok(zarovnané) \vec(x)^\prvé &= \vec(x) + \vec(v) \Delta t, \\ \vec(v)^\prvočíslo &= \vec(v) + \vec(a) \Delta t, \end(zarovnané) $$

kde $\Delta t$ je časový krok, $\vec(a)$ je zrýchlenie vypočítané v súlade s 2. Newtonovým zákonom $\vec(f)=m \vec(a)$ (kde $\vec(f)$ je celková sila pôsobiaca na časticu). Uvedené vzorce implementujú najjednoduchšiu metódu numerickej integrácie - Eulerovu metódu.

Budeme uvažovať o ďalšom popise častice, v ktorej sa rýchlosť nepoužíva: namiesto uloženia polohy a rýchlosti každej častice uložíme aktuálnu polohu častice $\vec(x)$ a jej polohu na predchádzajúcej časti. integračný krok $\vec(x)^ (*)$ . Za predpokladu, že integračný krok je konštantný, získame nasledujúce vzorce na výpočet nových hodnôt:

$$ \začiatok(zarovnané) \vec(x)^\prvočíslo &= 2\vec(x) - \vec(x)^(*) + \vec(a) \Delta t^2, \\ \vec( x)^(*) &= \vec(x). \end(zarovnané) $$

Táto metóda numerickej integrácie sa nazýva Verletova metóda (pozri) a aktívne sa používa v molekulárnej dynamike.

Verletova metóda je založená na približnom vzorci na výpočet druhej derivácie

$$ \frac(\Delta^2 \vec(x))(\Delta t^2) = \frac( \frac(\vec(x)^\prime - \vec(x))(\Delta t) - \frac(\vec(x) - \vec(x)^(*))(\Delta t) )(\Delta t) = \frac(\vec(x)^\prime - 2\vec(x) + \vec(x)^(*))(\Delta t^2) = \vec(a) $$

Táto aproximácia nie je najpresnejšia (existujú pokročilejšie metódy numerickej integrácie), ale je stabilná a funguje rýchlo. Znížením faktora 2 na, povedzme, 1,99, tým zavedieme odporovú silu, ktorá rozptýli energiu systému. Všimnite si tiež, že $\vec(x)-\vec(x)^(*)$ je vzdialenosť prejdená počas posledného integračného kroku ($\vec(v)\Delta t$ ).

Na konci integračného kroku sa aktuálna poloha každej častice $\vec(x)$ uloží do zodpovedajúcej premennej $\vec(x)^(*)$ na použitie v ďalšom kroku. Ak je v systéme veľa častíc, potom namiesto kopírovania ich súradníc je vhodné použiť presmerovanie ukazovateľa.

Kód implementujúci myšlienky opísané vyššie môže vyzerať takto (trieda Vector3 obsahuje všetky potrebné operácie s vektormi)

class ParticleSystem (Vektor3 m_x [ NUM_PARTICLES ]; // Aktuálna pozícia Vector3 m_oldx [ NUM_PARTICLES ]; // Predchádzajúca pozícia Vector3 m_a [ NUM_PARTICLES ]; // Celková sila (zrýchlenie) Vector3 m_vGravity ; // Gravitačný float m_fTimeStep ; public : void TimeStep(); private : void Verlet(); void SatisfyConstraints(); void AccumulateForces(); // (vynecháme konštruktory, inicializáciu polí a pod.) }; // krok integrácie metódou Verlet void ParticleSystem::Verlet() ( for (int i = 0 ; i< NUM_PARTICLES ; i ++ ) { Vector3 & x = m_x [ i ]; Vector3 temp = x ; Vector3 & oldx = m_oldx [ i ]; Vector3 & a = m_a [ i ]; x += x - oldx + a * fTimeStep * fTimeStep ; oldx = temp ; } } // súčet síl pôsobiacich na každú časticu void ParticleSystem::AccumulateForces() ( // Všetky častice sú pod vplyvom gravitácie pre (int i = 0; i< NUM_PARTICLES ; i ++ ) m_a [ i ] = m_vGravity ; } // kontrola súladu so superponovanými pripojeniami void ParticleSystem::SatisfyConstraints() ( // Teraz nás nezaujíma, ako sa to implementuje.) // krok výpočtu void ParticleSystem :: TimeStep () ( AccumulateForces (); Verlet (); SatisfyConstraints (); )

Zatiaľ všetko opísané vyššie nevyzerá veľmi pôsobivo. Výhody tohto prístupu budú zrejmé, keď prejdeme k používaniu obmedzení a popisu tuhých telies.

Skúste nastaviť $\vec(a)=(0,0,1)$ a počiatočné podmienky $\vec(x)=(1,0,0)$ , $\vec(x)^*= (0,0,0)$ . Vypočítajte niekoľko krokov ručne a uvidíte, čo sa stane.

Zrážky a manipulácia s kontaktmi pomocou projekcie

Metódy spracovania kontaktov medzi telami, založené na použití penalizačných funkcií (schémy založené na penalizácii), naznačujú, že v mieste kontaktu, kde je možné prenikanie telies do seba, je potrebné vložiť pružinu na simuláciu tohto kontaktu. Tento prístup je ľahko implementovateľný, ale vedie k množstvu vážnych problémov. Predovšetkým je veľmi ťažké zvoliť tuhosť pruženia, aby jednak predmety do seba nevnikali príliš hlboko a jednak aby systém nestrácal stabilitu tuhosťou pruženia. byť príliš vysoký. Ďalším prístupom k spracovaniu kolízie je, že pri detekcii kolízie sa čas „pretočí“ späť až do presného okamihu kontaktu telies (napríklad pomocou binárneho vyhľadávania), potom sa polohy a rýchlosti telies korigujú. (pomocou vzorcov pre zrážky známe z kurzu fyziky), po ktorých výpočet začína znova od tohto bodu v čase. A tak – za každú kolíziu. Nie je to veľmi ekonomický prístup, ak plánujete simulovať pohyb mnohých telies v reálnom čase.

Tu sa pozrieme na iný prístup. Premietneme častice, ktoré prenikli do prekážky mimo prekážky. Projekciou rozumieme pohyb častice, dostatočne malej na to, aby ju len oslobodil od prekážky. Typicky to zahŕňa pohyb častice v smere kolmom na kontaktnú plochu (prekážku) - odtiaľ pochádza termín "projekcia".

Zvážte nasledujúci príklad. Nech je náš „svet“ vnútri kocky o veľkosti (0,0,0)--(1000,1000,1000) a navyše reštitučný koeficient častíc je nulový (t.j. častice, ktoré sa zrážajú s povrchom kocka sa od nej neodrážajú). Aby sme zabezpečili, že súradnice častíc zostanú vo vnútri kocky, napíšeme nasledujúci kód, ktorý implementuje projekciu:

// Núti častice zostať vo vnútri kocky void ParticleSystem :: SatisfyConstraints () ( for (int i = 0 ; i< NUM_PARTICLES ; i ++ ) { // Pre všetky častice Vektor3 & x = m_x [ i ]; x = vmin(vmax(x, Vektor3(0, 0, 0)), Vektor3 (1000, 1000, 1000)); ))

(vmax je zložková operácia výpočtu maxima a vmin je ekvivalentný výpočet minima). Tento kód rieši kolízie aj pokojové kontakty (to znamená prípady, keď je bod v pokoji na povrchu kocky) a ukladá polohu všetkých častíc vo vnútri kocky. Krása metódy Verlet spočíva v tom, že príslušné zmeny hodnôt rýchlosti sa vykonávajú automaticky. Pri následných volaniach TimeStep() sa rýchlosť upraví tak, aby neobsahovala komponent kolmý na povrch kocky (čo zodpovedá nulovému koeficientu obnovy). Pozri obrázok 1.

Skúste tieto výpočty urobiť sami - a uvidíte, že nie je potrebné nulovať rýchlosť v smere kolmom na stenu kocky - to sa deje „samo“. Môže sa to zdať triviálne, ak sa obmedzíme na modelovanie častíc, ale hlavné výhody Verletovej metódy sa ukážu hneď, ako prejdeme k väzbám a pripojeným tuhým telesám. Teda práve teraz.

Spracovanie viacerých súčasne uložených spojení relaxačnou metódou

Model tkaniny je zvyčajne systém častíc spojených pružinami. Zostrojiť diferenciálne rovnice pre takýto systém nie je ťažké. Jedna vec je však stavať a druhá vec riešiť. Zároveň sa vynárajú všetky problémy, ktoré sme mali pri používaní penalizačných funkcií: príliš tuhé pružiny vedú k tomu, že samotný systém rovníc sa stáva „tuhým systémom“, čo vedie k nestabilite, ak sa použijú najjednoduchšie metódy numerickej integrácie, resp. pomalá práca, ak sa použijú pokročilejšie metódy, v oboch prípadoch je zaručená bolesť hlavy. Naopak príliš mäkké pramene spôsobia, že látka bude pôsobiť neskutočne pružne.

Najzaujímavejšia vec sa však stane, ak je tuhosť pružiny nasmerovaná do nekonečna: systém sa zrazu stáva riešiteľným aj pre veľmi jednoduchú (a rýchlu) integračnú metódu, pričom zostáva stabilný. Ale predtým, než budeme pokračovať v rozprávaní o látke, vráťme sa k predchádzajúcemu príkladu. Kocku, s ktorou sme sa zaoberali, si možno predstaviť ako súbor jednostranných obmedzení (t. j. obmedzení zapísaných vo forme nerovností) – jedna pre každú stranu kocky – ktoré sa musia vykonávať počas celej simulácie.

\begin(rovnica) x_i \geq 0 \ \text(and)\ x_i \leq 1000 \quad (i=1,2,3). \label(eq:C1) \end(equation)

V uvažovanom príklade na dodržanie obmedzení uložených väzbami (aby častice zostali vo vnútri kocky), stačí jednoducho premietnuť súradnice „vylezených“ častíc na povrch kocky. Táto myšlienka je opísaná v nasledujúcom pseudokóde:

// Pseudokód na vynútenie obmedzení (1) pre i = 1 , 2 , 3 nastavte xi = min ( max ( xi , 0 ), 1 000 )

Možno si to predstaviť tak, že častica a povrch prekážky sú spojené nekonečne tuhou pružinou, ktorá, ak sa predĺži, sa okamžite vráti do svojej normálnej dĺžky, rovnej nule.

Rozšírme náš model pridaním tyče dĺžky 100. Aby sme to dosiahli, musíme definovať dve častice ($\vec(x)_1$ a $\vec(x)_2$ ) a vyžadovať, aby vzdialenosť medzi nimi je vždy rovná 100. Matematický zápis pre tento bilaterálny vzťah je:

\začiatok(rovnica) |\vec(x)_2-\vec(x)_1| = 100. \label(eq:C2) \end(equation)

Aj keď v počiatočnom okamihu polohy častíc spĺňajú podmienky \eqref(eq:C2), potom v nasledujúcom okamihu tieto podmienky s najväčšou pravdepodobnosťou nebudú splnené. Aby sme získali správnu hodnotu vzdialenosti, pohybujeme časticami a premietame ich na množinu riešení opísanú v \eqref(eq:C2). Za týmto účelom sa častice buď od seba vzdialia, alebo sa priblížia, v závislosti od toho, či je vzdialenosť získaná numerickou integráciou malá alebo veľká. Pozri obrázok 2.

Pohybujúce sa častice na korekciu vzdialenosti, ktorá nespĺňa obmedzenie \eqref(eq:C2)

Pseudokód implementujúci podmienky \eqref(eq:C2):

Delta = x2 - x1; deltalength = sqrt(delta * delta); diff = (deltadĺžka - pokojná dĺžka) / deltadĺžka ; x1 -= delta * 0,5 * rozdiel ; x2 += delta * 0,5 * rozdiel ;

Všimnite si, že delta je vektor a delta*delta je skalárny súčin. Tento pseudokód posunie častice od seba alebo ich posunie tak, aby sa medzi nimi dosiahla požadovaná vzdialenosť. Opäť si to môžeme predstaviť ako nekonečne tuhú pružinu, ktorá sa okamžite vráti do svojej normálnej dĺžky 100.

Teraz predpokladajme, že okrem podmienky \eqref(eq:C2) musí byť splnená aj podmienka \eqref(eq:C1) (častice musia byť vo vnútri kocky). Môže sa ukázať, že pri pokuse o splnenie podmienky \eqref(eq:C2) niektoré častice tyče porušia požiadavky \eqref(eq:C1) (tyč bude vyčnievať z kocky). Urážlivú časticu môžete samozrejme znova premietnuť na povrch kocky spustením \eqref(eq:C1), ale potom sa \eqref(eq:C2) rozbije.

Aby sme súčasne splnili požiadavky \eqref(eq:C1) a \eqref(eq:C2), musíme vyriešiť sústavu rovníc. Urobíme to, ale nie priamo: jednoducho zopakujeme dva fragmenty pseudokódu jeden po druhom v určitom počte krát v nádeji, že výsledok bude užitočný. Tento prístup je implementovaný v nasledujúcom kóde:

//realizácia modelovania tyče vo vnútri kocky void ParticleSystem :: SatisfyConstraints () ( for (int j = 0; j< NUM_ITERATIONS ; j ++ ) { // Najprv splníme podmienky (1) pre (int i = 0; i< NUM_PARTICLES ; i ++ ) { // Pre všetky častice Vektor3 & x = m_x [ i ]; x = vmin(vmax(x, Vektor3(0, 0, 0)), Vektor3 (1000, 1000, 1000)); ) // Teraz sa uspokojme (2) Vektor3 & x1 = m_x [0]; Vektor3 & x2 = m_x [1]; Vektor3 delta = x2 - x1; float deltalength = sqrt(delta * delta); float diff = (deltalength - restlength) / deltalength ; x1 -= delta * 0,5 * rozdiel ; x2 += delta * 0,5 * rozdiel ; ))

(tu je vynechaná inicializácia častíc). Aj keď sa táto metóda „hlúpeho“ opakovania môže zdať trochu naivná, napriek tomu sa približuje k riešeniu, ktoré hľadáme! V matematike je to tzv relaxačná metóda(alebo Jacobi, alebo Gauss-Seidel - podľa toho, ako presne to robíte, pozri). Funguje tak, že postupne spĺňa jednotlivé obmedzenia a konverguje ku globálnej konfigurácii, ktorá spĺňa všetky obmedzenia súčasne. Táto metóda je veľmi užitočná v situáciách, keď musí byť súčasne splnených viacero nezávislých obmedzení.

Počet požadovaných iterácií závisí od modelovaného systému a povahy pohybu. Výber tohto čísla môžete prispôsobiť meraním zmeny, ktorá nastala v porovnaní s predchádzajúcou iteráciou. Ak zastavíme iterácie príliš skoro, výsledok nebude dostatočne presný, ale vďaka Verletovej metóde bude pravdepodobne o niečo lepší v ďalšom rámci a ešte lepší v nasledujúcom rámci atď. To znamená, že aj zastavenie relaxácie skoré nezničí animáciu úplne, ale urobí obraz trhanejším.

Modelovanie látok

Skutočnosť, že obmedzenie tyčového typu možno považovať za veľmi tuhú pružinu, umožňuje použiť tento typ obmedzenia na modelovanie tkaniva. Predpokladajme napríklad, že tkanina je reprezentovaná šesťhrannou sieťou pozostávajúcou z trojuholníkov. Každý uzol siete predstavuje časticu a každá plocha je tyčovité spojenie spájajúce častice (normálna dĺžka tyče sa rovná vzdialenosti medzi uzlami, ktoré spája).

Funkcia HandleConstraints(), ktorá je zodpovedná za spracovanie obmedzení, využíva relaxáciu nad všetkými obmedzeniami. Relaxačný cyklus sa môže opakovať niekoľkokrát. Vo väčšine prípadov však na získanie dobre vyzerajúcej animácie stačí iba jedna iterácia. To znamená, že časová náročnosť simulácie tkaniny závisí hlavne od toho, ako dlho trvá vykonanie operácií $N$ druhej odmocniny a $N$ delenia (kde $N$ je počet hrán v simulovanej sieti tkanina). Nižšie vám ukážeme trik, ako sa zbaviť výpočtu druhej odmocniny. Najprv sa však pozrime, ako vyzerá spracovanie obmedzení.

// Realizácia modelovania látok struct Obmedzenie ( int časticaA , časticaB ; plávajúca pokojová dĺžka ; ); // Predpokladajme, že pole m_constraints už existuje void ParticleSystem :: SatisfyConstraints () ( for (int j = 0; j< NUM_ITERATIONS ; j ++ ) { for (int i = 0 ; i < NUM_CONSTRAINTS ; i ++ ) { Constraint & c = m_constraints [ i ]; Vector3 & x1 = m_x [ c . particleA ]; Vector3 & x2 = m_x [ c . particleB ]; Vector3 delta = x2 - x1 ; float deltalength = sqrt (delta * delta ); float diff = (deltalength - c . restlength ) / deltalength ; x1 -= delta * 0.5 * diff ; x2 += delta * 0.5 * diff ; } // Pripojte jednu z častíc, ktoré tvoria látku, k počiatku m_x [0] = vektor3 (0, 0, 0); ))

Teraz poďme diskutovať o tom, ako sa zbaviť výpočtu druhej odmocniny. Ak sú splnené všetky obmedzenia (dobre, alebo takmer splnené), potom, ako už vieme, výsledok výpočtu druhej odmocniny má tendenciu k $r$ - normálnej dĺžke spojenia (tyče). Túto skutočnosť využijeme na získanie približného výrazu pre funkciu druhej odmocniny. Nahraďte funkciu $\sqrt(x)$ členom 1. rádu z jej Taylorovho radu v okolí dĺžky $r$ (toto je ekvivalentné jednej iterácii Newton-Raphsonovej metódy s počiatočná aproximácia $r$). Po niekoľkých transformáciách dostaneme nasledujúci pseudokód:

// Pseudokód na uplatnenie obmedzení (2) pomocou aproximácie sqrt delta = x2 - x1; delta *= restlength * restlength / (delta * delta + restlength * restlength ) - 0,5 ; x1 -= delta; x2 += delta ;

Všimnite si, že ak vzdialenosť už spĺňa obmedzenia (tj ak |delta|=dĺžka odpočinku), potom dostaneme delta rovnú (0,0,0) a nenastane žiadna zmena.

Teraz už pri spracovaní každého vzťahu nepoužívame odmocniny. Okrem toho je možné vopred vypočítať druhú mocninu pokojovej dĺžky * pokojovej dĺžky. Časovo náročné operácie sú zredukované na vykonávanie $N$ delení na snímku (a prístup k zodpovedajúcej pamäti) – je ťažké vymyslieť niečo, čo beží výrazne rýchlejšie.

Obmedzenia nemusia byť nevyhnutne splnené v jednej iterácii, ale vďaka Verletovej metóde systém rýchlo konverguje do správneho stavu (keď sú splnené všetky obmedzenia) - doslova v niekoľkých snímkach. V skutočnosti použitie iba jednej iterácie a aproximácie druhej odmocniny eliminuje problém tuhosti sústavy rovníc, ktorý by sa nevyhnutne objavil v sústave s absolútne tuhými tyčami.

Umiestnením kolíkových spojov medzi páry susedných vrcholov možno algoritmus modelovania tkaniva rozšíriť na modelovanie rastlín.

Kód a rovnice diskutované v tejto časti predpokladajú, že všetky častice majú rovnakú hmotnosť. Častice s rôznou hmotnosťou sa dajú modelovať rovnakým spôsobom, ale výsledné rovnice budú trochu komplikovanejšie.

Teda súlad s obmedzením \eqref(eq:C2) pre častice s rôznymi hmotnosťami je implementovaný nasledujúcim pseudokódom:

// Pseudokód na vynútenie obmedzení (2) delta = x2 - x1; deltalength = sqrt(delta * delta); diff = (deltalength - zvyšok dĺžky ) / (deltadĺžka * (invmass1 + invmass2 )); x1 -= invmass1 * delta * diff ; x2 += invmass2 * delta * diff ;

Tu invmass1 a invmass2 ukladajú inverzné hmotnosti častíc $\vec(x)_1$ a $\vec(x)_2$ . Ak chceme, aby častica zostala nehybná, musíme ju nastaviť na invmass = 0, čo zodpovedá nekonečnej hmotnosti. Ako je uvedené vyššie, na urýchlenie výpočtov možno použiť približné výpočty druhej odmocniny.

Pevné látky

Pohybové rovnice tuhých telies boli navrhnuté dávno pred vynálezom moderných počítačov. Aby v tých časoch získali nejaké užitočné výsledky, museli matematici vykonávať transformácie vzorcov. To viedlo k vzniku takých užitočných konceptov a nástrojov ako tenzor zotrvačnosti, moment hybnosti, moment sily, kvaternióny reprezentujúce orientáciu, atď. pre jednoduchšie prvky a v niektorých prípadoch dokonca robia takéto výpočty ziskovejšími. V prípade trojrozmerných telies to znamená, že môže byť vhodné modelovať pevnú látku so štyrmi časticami a šiestimi väzbami (s uvedením správneho počtu stupňov voľnosti: $4\cdot 3 - 6 = 6$). To zjednodušuje veľa vecí a to je to, čo urobíme ďalej.

Uvažujme štvorsten s časticou umiestnenou v každom z jeho štyroch vrcholov. Okrem toho každý zo šiestich okrajov štvorstenu predstavuje obmedzenie typu tyče diskutované v predchádzajúcej časti. To úplne stačí na simuláciu pevného tela. Tetrahedron môže byť umiestnený vo vnútri kocky diskutovanej vyššie a Verlet integrátor zabezpečí jeho správny pohyb. Funkcia SatisfyConstraints() sa musí postarať o dve veci: 1) aby častice zostali vo vnútri kocky a 2) aby sa rešpektovalo šesť obmedzení kmeňa. To sa dá urobiť, ako predtým, pomocou relaxácie: zvyčajne stačia 3-4 iterácie. Nezabudnite tiež na efektívne výpočty druhej odmocniny.

Je však jasné, že pri zrážkach sa pevné telesá budú správať inak ako „kostrové“ štvorsteny. Je tu ďalší problém: doteraz sme fakt kolízie tuhého telesa s okolitým „svetom“ zisťovali len na základe informácií o vrcholoch: ak bol vrchol mimo kocky, opäť sa premietol dovnútra. Toto funguje skvele, pokiaľ je vnútro „sveta“ konvexné. Ak to tak nie je, potom štvorsten bude schopný preniknúť cez hranicu „sveta“ aj vtedy, keď žiadny z jeho vrcholov neprekročí túto hranicu (pozri obr. 3, kde trojuholník je plochým analógom štvorstenu). Pozrime sa, ako je tento problém vyriešený.

Najprv sa pozrime na jednoduchšiu verziu problému. Zoberme si tyč, umiestnime ju do kubického „sveta“ a predpokladajme, že kocka má malý výstupok smerujúci dovnútra. Teraz môže tyč prekročiť hranice „sveta“, hoci obe častice na jej koncoch zostávajú vo vnútri kocky (obr. 4). Nebudeme zachádzať do zložitosti vývoja mechanizmu detekcie kolízií, pretože ide o úplne samostatnú vedu. Predpokladajme namiesto toho, že subsystém detekcie kolízie už existuje a vykonáva svoju prácu: určuje hĺbku prieniku a súradnice bodov prieniku pre každý z dvoch kolidujúcich objektov. Jedna definícia bodov prieniku a hĺbky prieniku je: hĺbka prieniku $d_p$ je najkratšia vzdialenosť, ktorú musia byť dva objekty oddelené vo vhodnom smere, aby sa predišlo ich zrážke. Penetračné body sú body na každom z predmetov, kde sa predmety navzájom dotýkajú po vyššie uvedenom prenose.

Pozrite sa ešte raz na obrázok 4. Tu po kroku numerickej integrácie tyč prenikla cez hranicu. Detektor kolízie identifikoval dva body prieniku: $\vec(p)$ a $\vec(q)$ . Na obr. 4a sa bod $\vec(p)$ v skutočnosti zhoduje s jednou z koncových častíc: $\vec(p)=\vec(x)_1$ . Na obr. 4b leží $\vec(p)$ medzi $\vec(x)_1$ a $\vec(x)_2$ vo vzdialenosti 1/4 dĺžky tyče od \ (\vec( x)_1\) . V oboch prípadoch bod $\vec(p)$ leží na tyči, a preto jeho súradnice možno vyjadriť ako lineárnu kombináciu súradníc bodov $\vec(x)_1$ a \ (\vec(x) _2\) : $\vec(p) = c_1\vec(x)_1 + c_2\vec(x)_2$ tak, že $c_1 + c_2 = 1$ . V prvom prípade $c_1 = 1$ , $c_2 = 0$ a v druhom prípade - $c_1 = 0,75$ a $c_2 = 0,25$ . Tieto hodnoty nám hovoria, ako ďaleko je potrebné posunúť zodpovedajúce častice.

Ak chcete opraviť polohu tyče, posuňte ju tak, aby sa bod $\vec(p)$ zhodoval s bodom $\vec(q)$ . Aby sme to dosiahli, presunieme častice $\vec(x)_1$ a $\vec(x)_2$ v smere určenom vektorom spájajúcim $\vec(p)$ a $\ vec(q)$: .

V prvom prípade (obr. 4a) jednoducho premietneme $\vec(x)_1$ mimo oblasť, kde je „zakázané“ byť, rovnako ako predtým (v smere $\vec(q) )$ ). To bude stačiť a súradnice $\vec(x)_2$ nie je potrebné vôbec meniť. V druhom prípade (obr. 4b) je tiež potrebné posunúť bod $\vec(x)_1$ do väčšej vzdialenosti ako $\vec(x)_2$ , keďže bod $\vec (p)$ sa nachádza bližšie k $\vec(x)_1$ (naozaj, pretože $\vec(p) = 0,75\vec(x)_1 + 0,25\vec(x)_2$, potom vždy, keď posunieme $\vec(x)_1$ o 0,75, posunieme $\vec(x)_2$ iba o 0,25). Inými slovami, nové polohy častíc $\vec(x)_1^\prvočíslo$ a $\vec(x)_2^\prvočíslo$ sú dané vzťahmi

\začiatok(rovnica) \začiatok(zarovnanie) \vec(x)_1^\prvočíslo &= \vec(x)_1 + 0,75\lambda\cdot\vec(\Delta), \\ \vec(x)_2^\ prvočíslo &= \vec(x)_2 + 0,25\lambda\cdot\vec(\Delta), \end(zarovnané) \label(eq:x_new) \end(equation)

kde $\lambda$ je neznáma veličina. Nová poloha častice $\vec(p)$ - $\vec(p)^\prime$ - sa vypočíta pomocou vzorca

$$ \vec(p)^\prvý = c_1\vec(x)_1^\prvý + c_2\vec(x)_2^\prvý . $$

Pamätajme, že chceme dosiahnuť to $\vec(p)^\prvočíslo = \vec(q)$ , to znamená, že musíme zvoliť $\lambda$ presne také, aby $\vec(p ) ^\prime$ sa v dôsledku toho zhodovalo s $\vec(q)$ . Keďže častice pohybujeme iba v smere $\vec(\Delta)$ , potom sa $\vec(p)$ pohybuje aj v smere $\vec(\Delta)$ a teda riešenie rovnicu \ (\vec(p)^\prvočíslo = \vec(q)\) možno nájsť vyjadrením $\lambda$ z

\begin(rovnica) \vec(p)^\prime\cdot\vec(\Delta) = \vec(q)\cdot\vec(\Delta) . \label(eq:pq) \end(equation)

Vypísaním výrazu na ľavej strane rovnosti dostaneme

$$ \začiatok(zarovnané) \vec(p)^\prime\cdot\vec(\Delta) &= (0,75\vec(x)_1^\prime + 0,25\vec(x)_2^\prime) \cdot \vec(\Delta) \\ &= (0,75 (\vec(x)_1 + 0,75\lambda\cdot\vec(\Delta)) + 0,25 (\vec(x)_2 + 0,25\lambda\cdot\vec( \Delta))) \cdot\vec(\Delta) \\ &= ((0,75\vec(x)_1 + 0,25\vec(x)_2)\cdot\vec(\Delta) + \lambda(0,75^2 + 0,25^2)\cdot\Delta^2 \\ &= \vec(p) \cdot\vec(\Delta) + \lambda(0,75^2 + 0,25^2)\cdot\Delta^2 , \end( zarovnané) $$

čo, berúc do úvahy pravú stranu \eqref(eq:pq), dáva

$$ \lambda = \frac((\vec(p)-\vec(q)) \cdot\vec(\Delta))((0,75^2 + 0,25^2)\cdot\Delta^2) . $$

Nahradením nájdenej $\lambda$ do \eqref(eq:x_new) získame opravené polohy častíc $\vec(x)_1$ a $\vec(x)_2$, pri ktorých $ \vec( p)^\prime$ sa bude zhodovať s $\vec(q)$ .

Obrázok 5 ukazuje polohu, ktorá vzniká po pohybe častíc. Už nedochádza k vzájomnému prenikaniu predmetov, ale bola porušená požiadavka, aby dĺžka tyče zostala konštantná. Aby sme to napravili, urobme ešte jednu iteráciu relaxačného cyklu (alebo aj niekoľko), po ktorej dokončíme cyklus korekcie polôh častíc.

V prípade štvorstenu bude vyššie popísaná stratégia fungovať podobne. Najprv sa nájdu body vzájomného prieniku $\vec(p)$ a $\vec(q)$ (môžu sa nachádzať aj vo vnútri trojuholníka) a $\vec(p)$ sa znázorní ako lineárna kombinácia štyroch častíc $\vec(p)=c_1\vec(x)_1+c_2\vec(x)_2+c_3\vec(x)_3+c_4\vec(x)_4$ tak, že $c_1+c_2+c_3+c_4=1$ (bude to vyžadovať riešenie malého systému lineárnych rovníc). Raz nájdený $\vec(\Delta) = \vec(q)-\vec(p)$, bude možné nájsť hodnotu $\lambda$ pomocou vzorca

$$ \lambda = \frac((\vec(p)-\vec(q)) \cdot\vec(\Delta))((c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 + c_4^2)\cdot \Delta^2) , $$

a korigované polohy častíc sú definované ako

$$ \begin(align*) \vec(x)_1^\prime &= \vec(x)_1 + c_1\lambda\cdot\vec(\Delta), \\ \vec(x)_2^\prime & = \vec(x)_2 + c_2\lambda\cdot\vec(\Delta), \\ \vec(x)_3^\prime &= \vec(x)_3 + c_3\lambda\cdot\vec(\Delta ), \\ \vec(x)_4^\prvočíslo &= \vec(x)_4 + c_4\lambda\cdot\vec(\Delta). \end(align*) $$

Uvažovali sme teda o zrážke jedného tuhého telesa s nehybným „svetom“. Vyššie opísaná metóda sa dá ľahko zovšeobecniť na zvládnutie kolízií viacerých tuhých telies. V tomto prípade sa kolízie spracovávajú pre jeden pár telies naraz a namiesto pohybu iba $\vec(p)$ , budete musieť presunúť $\vec(p)$ a $\vec (q)$ voči sebe navzájom.

A opäť, po úprave polôh častíc, aby nedochádzalo k vzájomnému prenikaniu telies, je potrebné sa postarať o splnenie ďalších šiestich obmedzení – nemennosti vzdialeností medzi časticami, ktoré tvoria pevné teleso. Pomocou tejto metódy môže byť štvorsten dokonca vnorený do iného objektu, čo je vhodnejšie použiť namiesto samotného štvorstenu pri riešení kolízií. Obrázok 6 zobrazuje štvorsten umiestnený v kocke.

Najprv musí byť kocka nejakým spôsobom pripevnená k štvorstenu. Jedným z prístupov je vybrať ťažisko štvorstenu ako stred kocky $0,25\cdot (\vec(x)_1 + \vec(x)_2 + \vec(x)_3 + \vec(x)_4)$ a potom pomocou aktuálnych súradníc štvorstenu vypočítajte súradnice vrcholov kocky. Keď sa zistí kolízia, kontaktný bod $\vec(p)$ (ktorý sa teraz nachádza na kocke) sa spracuje rovnakým spôsobom ako vyššie. Aktualizované súradnice častíc sa vypočítajú rovnakým spôsobom. Na urýchlenie výpočtov si môžete vopred vypočítať koeficienty $c_1$ -$c_4$ pre všetky vrcholy kocky. Ak je $\vec(p)$ vrcholom, potom hodnoty $c_1$ -$c_4$ možno nájsť a použiť priamo. V opačnom prípade leží $\vec(p)$ vo vnútri trojuholníka alebo na jednej z jeho strán a hodnoty $c_1$-$c_4$ možno získať z vopred vypočítaných hodnôt vrcholy trojuholníka pomocou interpolácie.

Na zvládnutie kolízií spravidla stačia 3-4 iterácie. Ak sa relaxácia zastaví príliš skoro, telá sa nebudú správať ako úplne pevné. Ale to je dokonca dobré, pretože absolútne pevné telesá v prírode neexistujú. Navyše to robí systém stabilnejším.

Pri preskupovaní polôh častíc, ktoré tvoria štvorsten, treba zodpovedajúcim spôsobom zmeniť fyzikálne vlastnosti telesa (matematicky to znamená, že tenzor zotrvačnosti telesa sa mení v závislosti od polôh a hmotností častíc).

Rovnakým princípom ako štvorsten môžete nastaviť inú podobnú konfiguráciu častíc a väzieb umiestnením častíc do bodov so súradnicami $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $ (0,1,0)$ a $(0,0,1)$ . Nech $\vec(a)$ , $\vec(b)$ a $\vec(c)$ sú vektory smerujúce od častice 1 k časticiam 2, 3 a 4. Polohy častíc obmedzíme požiadavkou, aby vektory $\vec(a)$ , $\vec(b)$ a $\vec(c)$ mali jednotkovú dĺžku a uhol medzi každým z troch párov vektorov bol rovný $90^\circ$ (zodpovedajúce skalárne súčine sa musia rovnať nule). Všimnite si, že to opäť, ako v prípade štvorstenu, poskytne 4 častice a 6 väzieb.

Kĺbové telá

Teraz môžeme spojiť niekoľko tuhých telies pomocou závesov (valcový, guľový atď.). Za predpokladu, že dve telesá majú jednu spoločnú časticu, dostaneme guľový záves (čapový spoj) a ak sú dve častice spoločné, tak dostaneme valcový záves (záves) (obr. 7). Rovnakým spôsobom môžete spojiť dve telesá pomocou tyče alebo akéhokoľvek iného typu spojenia - stačí si zapamätať pridanie kódu, aby ste zvládli nový typ spojenia v relaxačnej slučke.

Tento prístup nám umožňuje zostaviť kompletný model kĺbového ľudského tela. Realizmus sa zvýši, ak dodatočne implementujete obmedzenia uhlových pohybov v pántoch. Existuje niekoľko spôsobov, ako takéto obmedzenia implementovať. Najjednoduchšia metóda zahŕňa použitie obmedzenia typu tyče, ktoré sa spustí iba vtedy, keď vzdialenosť medzi dvoma časticami klesne pod určitú prahovú hodnotu (v tomto prípade ide o jednosmernú väzbu tvaru $|\vec(x)_2 - \vec(x)_1| > 100$). V dôsledku toho sa obe častice nikdy nemôžu dostať príliš blízko k sebe (obr. 8).

Iný spôsob vytvárania obmedzení uhlových pohybov vyžaduje splnenie nasledujúcej podmienky pre bodový súčin:

$$ (\vec(x)_2 - \vec(x)_0)\cdot (\vec(x)_1 - \vec(x)_0)< \alpha . $$

Môžete tiež obmedziť pohyb častice na konkrétnu rovinu. Opäť platí, že polohy častíc, ktoré nespĺňajú dané obmedzenia, musia byť opravené. Robí sa to podobne ako v prípade tyče, aj keď zodpovedajúce vzorce budú trochu komplikovanejšie.

| Modelovanie v tabuľkových procesoroch

Lekcie 17 - 18
Modelovanie v tabuľkových procesoroch

Simulácia pohybu tela pod vplyvom gravitácie

Príklady pohybu pod vplyvom gravitácie sú dobre známe. Ide o pád tela z určitej výšky a pohyb tela hodeného nahor určitou rýchlosťou a pohyb tela hodeného pod uhlom k horizontu. Ak sa pri takýchto problémoch neberie do úvahy sila odporu vzduchu, potom sú všetky uvedené typy pohybu opísané známymi vzorcami. Nemenej zaujímavé sú ale problémy, pri ktorých sa berie do úvahy odpor vzduchu.

PROBLÉM 3.24. Zasiahnutie cieľa

Etapa I. Formulácia problému

POPIS ÚLOHY

Chlapci hrajú bedminton. Poryv vetra zdvihol loptičku a odniesol ju na konáre stromu. Náročnou úlohou je získať loptičku. Problém sa dá vyriešiť niekoľkými spôsobmi. Každá metóda má svoje pre a proti.

Môžete napríklad vyliezť na strom. Ide však o veľmi nebezpečnú činnosť: čím vyššie sú konáre stromu, tým sú tenšie. Existuje vysoká pravdepodobnosť pádu. Môžete vyrúbať strom. Zdá sa však, že tento spôsob riešenia problému ešte nikto neskúšal. Ak by si každý zvolil tento spôsob riešenia problému, potom by už dávno nezostal ani jeden strom. Môžete počkať, kým loptička spadne sama, zachytená ďalším poryvom vetra. Najčastejšie sa snažia zraziť loptičku kameňom. Tento model správania si zvolíme aj my. Okrem toho poznáme zákony pohybu tela.

ÚČEL SIMULÁCIE

Preskúmajte pohyb telesa hodeného pod uhlom k horizontále. Zvoľte počiatočné hodnoty rýchlosti a uhla hodu tak, aby hodené telo zasiahlo cieľ.

FORMALIZÁCIA PROBLÉMU

Poznámka. Na nastavenie presnosti zásahu △ , musíte vziať do úvahy veľkosť tela.

Presnosť zásahu △ by nemala byť väčšia ako polovica najmenšej geometrickej veľkosti tela.

Napríklad, ak je cieľom loptička s priemerom približne 7 cm, potom △ = 3,5 cm Ak je cieľom basketbalový kôš s priemerom 40 cm, tak △ = 20 cm Ak je cieľom balón vysoký 5 m, tak △ = 2,5 m.

Etapa II. Vývoj modelu

INFORMAČNÝ MODEL

Charakteristiky objektov a procesu uvádzame vo forme tabuľky.

Parametre pohybu tela sú uvedené na obrázku 3.4. Pohyb telesa vrhaného pod uhlom k horizontále je opísaný vzorcami

POČÍTAČOVÝ MODEL

Pre modelovanie zvolíme prostredie tabuľkového procesora. V tomto prostredí sú tabuľkové informácie a matematické modely spojené do tabuľky, ktorá obsahuje tri oblasti:

♦ počiatočné údaje;
♦ priebežné výpočty;
♦ výsledky.

1. Vyplňte oblasť zdrojových údajov podľa vzoru.

Stĺpce A B C D E F vyplňte zhora nadol podobnými vzorcami.

2. Vyplňte oblasť medzivýpočtov a výsledkov.

EXPERIMENTÁLNY PLÁN

TESTOVANIE

EXPERIMENT 1

Preskúmajte pohyb tela.

EXPERIMENT 2

Preskúmajte zmenu pohybu telesa pri zmene počiatočnej rýchlosti.

EXPERIMENT 3

Preskúmajte zmenu pohybu tela pri zmene uhla vrhania.

EXPERIMENT 4

Zmenou počiatočnej rýchlosti a uhla hodu preskúmajte povahu pohybu tela a jeho polohu vo vzťahu k cieľu.

EXPERIMENT 5

Zmenou počiatočnej počiatočnej rýchlosti a uhla zvoľte hodnoty tak, aby hodené telo zasiahlo cieľ so špecifikovanou presnosťou.

VEDENIE VÝSKUMU

TESTOVANIE

1. Vyplňte toľko riadkov výpočtovej tabuľky, koľko je súradníc pri nebude menšia ako nula.

2. Porovnajte výsledky skúšobného výpočtu s výsledkami uvedenými v príklade výpočtu. V tabuľke nižšie je niekoľko riadkov s výsledkami výpočtov na základe uvedených počiatočných údajov.

3. Pomocou stĺpcov B a C zostavte pohybový diagram. Príklad je znázornený na obrázku 3.6. Ak chcete vytvoriť diagram, vezmite toľko vypočítaných hodnôt, aby krivka pretínala vodorovnú os X .

4. Ako určiť, koľko výpočtových bodov je potrebné vziať na zostavenie diagramu?

Záver. Ak chcete vytvoriť diagram, musíte vziať vypočítané hodnoty, ktorých súradnice r väčšia ako 0 a jedna záporná hodnota.

EXPERIMENT 1. Štúdium pohybu tela

1. Pomocou diagramu testovacieho prípadu opíšte, ako sa telo pohybuje.

2. Vysvetlite, ako z diagramu určiť najvyšší bod telesa.

3. Vysvetlite, čo na diagrame predstavuje priesečník krivky s vodorovnou osou x. Ako určiť tento bod pomocou výpočtovej tabuľky?

4. Určte z nákresu, v akej vzdialenosti od bodu hodu telo dopadne na zem.

5. Z výpočtovej tabuľky určte:

Maximálna výška zdvihu;
čas cesty do najvyššieho bodu;
vzdialenosť od bodu odhodu po bod dopadu na zem;
čas pohybu pred pádom.

Do voľnej oblasti tabuľky zapíšte výsledky štúdie pohybu tela podľa navrhovaného vzoru.

6. Zadajte inú verziu počiatočných údajov, vyplňte pre ne tabuľku výsledkov experimentu.

EXPERIMENT 2. Závislosť pohybu tela na počiatočnej rýchlosti (uhol hodu nezmenený)

1. Zmenou počiatočnej rýchlosti od 5 do 20 m/s sledujte, ako sa mení maximálna výška zdvihu (y súradnica)

2. Pozorujte, ako sa mení dosah letu (súradnica x) so zvyšujúcou sa počiatočnou rýchlosťou.

3. Vykonajte výpočty pre určitý uhol a zhrňte výsledky výskumu do tabuľky (tabuľka 2), zostavenej na voľnom poli tabuľky.

4. Závery na základe výsledkov experimentu zapíšte do tabuľky: ako sa zmení výška a dolet pri zmene počiatočnej rýchlosti (pri konštantnom uhle vrhu)?

EXPERIMENT 3. Závislosť pohybu tela od uhla hodu (počiatočná rýchlosť pohybu je nezmenená)

1. Vykonajte výpočty pomocou modelu, zväčšite uhol vrhania z 5° na 85° a ponechajte počiatočnú rýchlosť nezmenenú (napríklad 15 m/s).

2. Sledujte zmenu výšky zdvihu (y súradnica) ako sa uhol vrhania zvyšuje, počiatočná rýchlosť zostáva nezmenená.

3. Pozorujte zmenu doletu (súradnica x) ako sa uhol vrhania zväčšuje.

4. Uveďte výsledky výpočtov do voľného poľa tabuľky (tabuľka 3).

5. Závery na základe výsledkov experimentu zapíšte do tabuľky: ako sa zmení výška a dolet pri zmene uhla vrhania (pri konštantnej počiatočnej rýchlosti)?

EXPERIMENT 4. Štúdium charakteru pohybu tela a jeho polohy vo vzťahu k cieľu

Obrázok 3.7 ukazuje možnosti umiestnenia krivky pohybu tela vo vzťahu k cieľu. Možno ich charakterizovať nasledovne:

1. Telo pri pohybe nedosiahne výšku, v ktorej sa nachádza cieľ a padá na zem bez dosiahnutia X ts .

2. Telo pri pohybe nedosiahne výšku, v ktorej sa nachádza cieľ, ale padá ďalej na zem X c.

3. Telo sa pri pohybe dvíha vyššie Y c, ale spadne na zem bez toho, aby dosiahol X c.

4. Telo sa pri pohybe dvíha vyššie Y c a padá ďalej na zem X c.

V stĺpcoch D, E a F hodnoty sú vypočítané S x, Sy, S, ktoré ukazujú polohu tela vo vzťahu k cieľu.

1. Preskúmajte, čo znamená znamenie S x a S y v rôznych časových okamihoch.

Záver.

2. Preskúmajte, ako sa mení S keď sa telo hýbe.

Záver. Celková vzdialenosť k cieľu sa najskôr znižuje a potom zvyšuje.

3. Vo voľnom poli tabuľky (tabuľka 4) vyberte počiatočné údaje (počiatočná rýchlosť a uhol hodu), zodpovedajúce možnostiam pohybu tela uvedeným na obrázku 3.7.

EXPERIMENT 5. Výber počiatočných hodnôt pre zasiahnutie cieľa

V prvom rade si všimneme, že existuje nekonečné množstvo možností, ako počiatočné údaje zasiahnuť cieľ. Našou úlohou je vybrať jednu možnosť.

1. Podľa stĺpca F určiť najmenšiu hodnotu S. V tomto momente telo letí najbližšie k cieľu.

2. Nakreslite stĺpec G analýza hitov. Budeme predpokladať, že telo zasiahlo cieľ, ak je vzdialenosť od cieľa menšia ako špecifikovaná presnosť (bunka $D$10). Ak to chcete urobiť, v bunke G16 zadajte vzorec =IF(F16<$D$10; «попал»; «мимо») .

3. Zmeňte vstupné údaje, aby ste dosiahli čo najlepšiu aproximáciu cieľa.

4. Výsledky výskumu zapíšte na voľné pole tabuľky (tabuľka 5).

5. Zvoľte inú sadu počiatočných údajov, v ktorých teleso zasiahne cieľový „previs“, teda po prejdení najvyššieho bodu stúpania.

6. Zmeňte cieľové súradnice a vyberte hodnoty počiatočnej rýchlosti a uhla hodu pre novú cieľovú pozíciu.

Výsledky a závery získané v experimentoch prezentujte vo forme správy v textovom dokumente. Vo svojej správe uveďte odpovede na nasledujúce otázky:

1. Ako sa pohybuje teleso hodené pod uhlom k horizontále?
2. Ako určiť najvyšší bod stúpania?
3. Ako určiť dosah letu?
4. Ako sa zmení maximálna výška zdvihu so zvýšením počiatočnej rýchlosti a konštantného uhla vrhania?
5. Ako sa mení dosah letu so zvyšovaním počiatočnej rýchlosti a konštantným uhlom hodu?
6. Ako sa mení maximálna výška zdvihu s rastúcim uhlom vrhania a konštantnou počiatočnou rýchlosťou?
7. Ako sa mení dosah letu so zvyšujúcim sa uhlom vrhania a konštantnou počiatočnou rýchlosťou?
8. Ako môžeme vypočítať polohu tela vo vzťahu k cieľu v každom časovom okamihu? Ako sa to dá určiť z výpočtovej tabuľky?
9. Ako sa mení vzdialenosť od tela k cieľu počas pohybu a ako sa to dá určiť pomocou výpočtovej tabuľky?