Logaritmus je vždy kladný. Logaritmus. Vlastnosti logaritmu (sčítanie a odčítanie)

Ako viete, pri násobení výrazov mocninami sa ich exponenty vždy sčítajú (a b * a c = a b + c). Tento matematický zákon odvodil Archimedes a neskôr, v 8. storočí, vytvoril matematik Virasen tabuľku celočíselných ukazovateľov. Boli to oni, ktorí slúžili na ďalšie objavovanie logaritmov. Príklady použitia tejto funkcie nájdeme takmer všade tam, kde je potrebné zjednodušiť ťažkopádne násobenie na jednoduché sčítanie. Ak strávite 10 minút čítaním tohto článku, vysvetlíme vám, čo sú to logaritmy a ako s nimi pracovať. Jednoduchý a prístupný jazyk.

Definícia v matematike

Logaritmus je vyjadrením nasledujúceho tvaru: log a b=c, teda logaritmus ľubovoľného nezáporného čísla (to znamená akéhokoľvek kladného čísla) "b" podľa jeho základu "a" sa považuje za mocninu "c". “, na ktorý je potrebné zdvihnúť základ „a“, aby nakoniec dostal hodnotu „b“. Analyzujme logaritmus na príkladoch, povedzme, že existuje výraz log 2 8. Ako nájsť odpoveď? Je to veľmi jednoduché, musíte nájsť taký stupeň, aby ste od 2 do požadovaného stupňa dostali 8. Po vykonaní niekoľkých výpočtov vo vašej mysli dostaneme číslo 3! A je to tak správne, pretože 2 na mocninu 3 dáva v odpovedi číslo 8.

Odrody logaritmov

Pre mnohých žiakov a študentov sa táto téma zdá zložitá a nepochopiteľná, ale v skutočnosti logaritmy nie sú také strašidelné, hlavnou vecou je pochopiť ich všeobecný význam a zapamätať si ich vlastnosti a niektoré pravidlá. Sú tam tri určité typy logaritmické výrazy:

1. Prirodzený logaritmus ln a, kde základom je Eulerovo číslo (e = 2,7).
2. Desatinné a, kde základ je 10.
3. Logaritmus ľubovoľného čísla b so základom a>1.

O každom z nich je rozhodnuté štandardným spôsobom, ktorá zahŕňa zjednodušenie, redukciu a následnú redukciu na jeden logaritmus pomocou logaritmických viet. Aby ste získali správne hodnoty logaritmov, mali by ste si zapamätať ich vlastnosti a poradie akcií v ich rozhodnutiach.

Pravidlá a určité obmedzenia

V matematike existuje niekoľko pravidiel-obmedzení, ktoré sú akceptované ako axióma, to znamená, že nie sú predmetom diskusie a sú pravdivé. Čísla napríklad nemôžete deliť nulou a nie je možné použiť ani párny koreň záporné čísla. Logaritmy majú tiež svoje pravidlá, podľa ktorých sa ľahko naučíte pracovať aj s dlhými a objemnými logaritmickými výrazmi:

• základ „a“ musí byť vždy väčší ako nula a zároveň sa nesmie rovnať 1, inak výraz stratí svoj význam, pretože „1“ a „0“ sa v akomkoľvek stupni vždy rovnajú svojim hodnotám;
• ak a > 0, potom a b > 0, ukáže sa, že "c" musí byť väčšie ako nula.

Ako vyriešiť logaritmy?

Napríklad bola zadaná úloha nájsť odpoveď na rovnicu 10 x \u003d 100. Je to veľmi jednoduché, musíte si vybrať takú silu, zvýšiť číslo desať, na ktoré dostaneme 100. Toto je, samozrejme, 10 2 \u003d 100.

Teraz si predstavme tento výraz ako logaritmický. Dostaneme log 10 100 = 2. Pri riešení logaritmov všetky akcie prakticky konvergujú k zisteniu miery, do akej je potrebné zadať základ logaritmu, aby sme získali dané číslo.

Ak chcete presne určiť hodnotu neznámeho stupňa, musíte sa naučiť pracovať s tabuľkou stupňov. Vyzerá to takto:

Ako vidíte, niektoré exponenty sa dajú uhádnuť intuitívne, ak máte technické myslenie a znalosti násobilky. Avšak, pre veľké hodnoty potrebujete tabuľku stupňov. Využiť ho môžu aj tí, ktorí v zložitých matematických témach nerozumejú vôbec ničomu. Ľavý stĺpec obsahuje čísla (základ a), horný rad čísel je hodnota mocniny c, na ktorú je číslo a umocnené. Na priesečníku buniek sa určia hodnoty čísel, ktoré sú odpoveďou (a c = b). Zoberme si napríklad úplne prvú bunku s číslom 10 a odmocnime ju, dostaneme hodnotu 100, ktorá je naznačená na priesečníku našich dvoch buniek. Všetko je také jednoduché a ľahké, že to pochopí aj ten najskutočnejší humanista!

Rovnice a nerovnice

Ukazuje sa, že za určitých podmienok je exponentom logaritmus. Preto akékoľvek matematické numerické výrazy možno zapísať ako logaritmickú rovnicu. Napríklad 3 4 = 81 možno zapísať ako logaritmus 81 k základu 3, čo je štyri (log 3 81 = 4). Pre záporné mocniny sú pravidlá rovnaké: 2 -5 = 1/32 zapíšeme ako logaritmus, dostaneme log 2 (1/32) = -5. Jednou z najfascinujúcejších častí matematiky je téma „logaritmov“. Príklady a riešenia rovníc zvážime o niečo nižšie, hneď po preštudovaní ich vlastností. Teraz sa pozrime, ako vyzerajú nerovnosti a ako ich odlíšiť od rovníc.

Je daný výraz v nasledujúcom tvare: log 2 (x-1) > 3 - ide o logaritmickú nerovnosť, keďže neznáma hodnota "x" je pod znamienkom logaritmu. A tiež vo výraze sa porovnávajú dve veličiny: logaritmus požadovaného čísla v základe dva je väčší ako číslo tri.

Najdôležitejší rozdiel medzi logaritmickými rovnicami a nerovnosťami je v tom, že rovnice s logaritmami (napríklad logaritmus 2 x = √9) zahŕňajú jednu alebo viac konkrétnych číselných hodnôt v odpovedi, zatiaľ čo pri riešení nerovnosti oba rozsahy prijateľné hodnoty a body porušujúce túto funkciu. V dôsledku toho odpoveď nie je jednoduchá množina jednotlivých čísel ako v odpovedi rovnice, ale súvislý rad alebo množina čísel.

Základné vety o logaritmoch

Pri riešení primitívnych úloh pri hľadaní hodnôt logaritmu nemusia byť jeho vlastnosti známe. Pokiaľ však ide o logaritmické rovnice alebo nerovnice, v prvom rade je potrebné jasne pochopiť a prakticky aplikovať všetky základné vlastnosti logaritmov. S príkladmi rovníc sa zoznámime neskôr, najprv si každú vlastnosť podrobnejšie rozoberieme.

1. Základná identita vyzerá takto: a logaB =B. Platí len vtedy, ak a je väčšie ako 0, nerovná sa 1 a B je väčšie ako nula.
2. Logaritmus súčinu môže byť vyjadrený v nasledujúcom vzorci: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. V tomto prípade je predpokladom: d, s 1 a s 2 > 0; a≠1. Môžete poskytnúť dôkaz pre tento vzorec logaritmov s príkladmi a riešením. Nech log a s 1 = f 1 a log a s 2 = f 2, potom a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dostaneme, že s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vlastnosti stupňov ), a ďalej podľa definície: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, čo sa malo dokázať.
3. Logaritmus kvocientu vyzerá takto: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Veta vo forme vzorca má tento tvar: log a q b n = n/q log a b.

Tento vzorec sa nazýva "vlastnosť stupňa logaritmu". Pripomína vlastnosti bežných stupňov a nie je to prekvapujúce, pretože celá matematika spočíva na pravidelných postulátoch. Pozrime sa na dôkaz.

Nechaj log a b \u003d t, ukáže sa t \u003d b. Ak zdvihnete obe časti na mocninu m: a tn = b n ;

ale keďže a tn = (a q) nt/q = b n , teda log a q b n = (n*t)/t, potom log a q b n = n/q log a b. Veta bola dokázaná.

Príklady problémov a nerovností

Najbežnejšími typmi logaritmických problémov sú príklady rovníc a nerovníc. Nachádzajú sa takmer vo všetkých problémových knihách a sú zahrnuté aj v povinnej časti skúšok z matematiky. Na prijatie na univerzitu alebo absolvovanie prijímacie skúšky v matematike treba vedieť takéto úlohy správne riešiť.

Bohužiaľ neexistuje jednotný plán alebo schéma na riešenie a určenie neznámej hodnoty logaritmu, avšak na každú matematickú nerovnosť alebo logaritmickú rovnicu možno použiť určité pravidlá. Najprv by ste mali zistiť, či sa výraz dá zjednodušiť alebo zredukovať všeobecný pohľad. Dlhé logaritmické výrazy môžete zjednodušiť, ak správne použijete ich vlastnosti. Poďme sa s nimi čoskoro zoznámiť.

Pri riešení logaritmických rovníc je potrebné určiť, aký logaritmus máme pred sebou: príklad výrazu môže obsahovať prirodzený logaritmus alebo desiatkový.

Tu sú príklady ln100, ln1026. Ich riešenie sa scvrkáva na skutočnosť, že musíte určiť, do akej miery sa základ 10 bude rovnať 100 a 1026. Pre riešenia prirodzené logaritmy treba použiť logaritmické identity alebo ich vlastnosti. Pozrime sa na príklady riešenia logaritmických problémov rôznych typov.

Ako používať logaritmické vzorce: s príkladmi a riešeniami

Pozrime sa teda na príklady použitia hlavných teorémov na logaritmy.

1. Vlastnosť logaritmu súčinu sa dá využiť v úlohách, kde je potrebné expandovať veľký významčísla b do jednoduchších faktorov. Napríklad log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpoveď je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - ako vidíte, pomocou štvrtej vlastnosti stupňa logaritmu sa nám podarilo vyriešiť na prvý pohľad zložitý a neriešiteľný výraz. Je potrebné iba faktorizovať základ a potom odobrať hodnoty exponentov zo znamienka logaritmu.

Úlohy zo skúšky

Logaritmy sa často vyskytujú pri prijímacích skúškach, najmä veľa logaritmických problémov pri Jednotnej štátnej skúške (štátna skúška pre všetkých absolventov škôl). Zvyčajne sú tieto úlohy prítomné nielen v časti A (najľahšie testovacia časť skúška), ale aj v časti C (najťažšie a najobjemnejšie úlohy). Skúška predpokladá presnú a dokonalú znalosť témy "Prirodzené logaritmy".

Príklady a riešenia problémov sú prevzaté z oficiálnych stránok POUŽÍVAŤ možnosti. Pozrime sa, ako sa takéto úlohy riešia.

Daný log 2 (2x-1) = 4. Riešenie:
prepíšme výraz, trochu ho zjednodušíme log 2 (2x-1) = 2 2 , definíciou logaritmu dostaneme, že 2x-1 = 2 4 , teda 2x = 17; x = 8,5.

• Všetky logaritmy je najlepšie zredukovať na rovnaký základ, aby riešenie nebolo ťažkopádne a mätúce.
• Všetky výrazy pod znamienkom logaritmu sú označené ako kladné, preto pri vyberaní exponentu exponentu výrazu, ktorý je pod znamienkom logaritmu a ako jeho základu, musí byť výraz zostávajúci pod logaritmom kladný.

Logaritmy, ako každé číslo, možno sčítať, odčítať a previesť všetkými možnými spôsobmi. Ale keďže logaritmy nie sú celkom bežné čísla, existujú tu pravidlá, ktoré sa nazývajú základné vlastnosti.

Tieto pravidlá musia byť známe – bez nich ani jedna vážna logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.

Sčítanie a odčítanie logaritmov

Zvážte dva logaritmy s rovnakým základom: log a X a log a r. Potom ich možno sčítať a odčítať a:

1. log a X+ denník a r= log a (X · r);
2. log a X−log a r= log a (X : r).

Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel je logaritmus kvocientu. Poznámka: kľúčový moment tu - rovnaké dôvody. Ak sú základy odlišné, tieto pravidlá nefungujú!

Tieto vzorce vám pomôžu vypočítať logaritmický výraz, aj keď nie sú zohľadnené jeho jednotlivé časti (pozri lekciu „Čo je to logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:

denník 6 4 + denník 6 9.

Keďže základy logaritmov sú rovnaké, použijeme súčtový vzorec:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 2 48 − log 2 3.

Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 3 135 − log 3 5.

Opäť platí, že základy sú rovnaké, takže máme:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré sa neuvažujú samostatne. Ale po transformáciách sa ukážu celkom normálne čísla. Na základe tejto skutočnosti mnohí testovacie papiere. Áno, kontrola – na skúške sú ponúkané podobné výrazy úplne vážne (niekedy – prakticky bez zmien).

Odstránenie exponentu z logaritmu

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme. Čo ak existuje stupeň v základe alebo argumente logaritmu? Potom môže byť exponent tohto stupňa vyňatý zo znamienka logaritmu podľa nasledujúcich pravidiel:

Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje ich prvé dve. Ale je lepšie si to aj tak zapamätať – v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.

Všetky tieto pravidlá majú samozrejme zmysel, ak sa dodrží logaritmus ODZ: a > 0, a ≠ 1, X> 0. A ešte niečo: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak, t.j. môžete zadať čísla pred znamienkom logaritmu do samotného logaritmu. To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 7 49 6 .

Zbavme sa stupňa v argumente podľa prvého vzorca:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

[Titul obrázku]

Všimnite si, že menovateľ je logaritmus, ktorého základ a argument sú presné mocniny: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Máme:

Myslím, že posledný príklad potrebuje objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chvíle pracujeme len s menovateľom. Predložili základ a argument tam stojaceho logaritmu vo forme stupňov a vybrali ukazovatele - dostali „trojposchodový“ zlomok.

Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ a menovateľ majú rovnaké číslo: log 2 7. Keďže log 2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa stalo. Výsledkom je odpoveď: 2.

Prechod na nový základ

Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Čo ak sú základy odlišné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?

Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na novú základňu. Formulujeme ich vo forme vety:

Nechajte logaritmus logovať a X. Potom pre ľubovoľné číslo c také že c> 0 a c≠ 1, platí rovnosť:

[Titul obrázku]

Najmä ak dáme c = X, dostaneme:

[Titul obrázku]

Z druhého vzorca vyplýva, že je možné zameniť základ a argument logaritmu, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus je v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka nachádzajú v bežných číselných výrazoch. Ich vhodnosť je možné vyhodnotiť len pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc.

Sú však úlohy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do nového základu. Uvažujme o niekoľkých z nich:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 5 16 log 2 25.

Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov sú presné exponenty. Vyberme ukazovatele: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Teraz otočme druhý logaritmus:

Keďže súčin sa nemení permutáciou faktorov, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme prišli na logaritmy.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 9 100 lg 3.

Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:

Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:

Základná logaritmická identita

V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danej báze. V tomto prípade nám pomôžu vzorce:

V prvom prípade číslo n sa stáva exponentom argumentu. číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len hodnota logaritmu.

Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. Nazýva sa to základná logaritmická identita.

Vskutku, čo sa stane, ak číslo b zdvihnúť k moci tak, že b do tejto miery dáva číslo a? Správne: toto je rovnaké číslo a. Pozorne si prečítajte tento odsek ešte raz - veľa ľudí na ňom „visí“.

Rovnako ako nové základné konverzné vzorce, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

[Titul obrázku]

Všimnite si, že log 25 64 = log 5 8 - práve vytiahol štvorec zo základne a argument logaritmu. Vzhľadom na pravidlá násobenia právomocí s rovnakým základom dostaneme:

Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha zo skúšky :)

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na záver uvediem dve identity, ktoré je ťažké nazvať vlastnosťami – skôr ide o dôsledky z definície logaritmu. Neustále sa nachádzajú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.

1. log a a= 1 je logaritmická jednotka. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus na akúkoľvek základňu a z tejto základne sa rovná jednej.
2. log a 1 = 0 je logaritmická nula. Základňa a môže byť čokoľvek, ale ak je argument jedna, logaritmus je nula! pretože a 0 = 1 je priamym dôsledkom definície.

To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.

Takže máme mocniny dvoch. Ak vezmete číslo zo spodného riadku, potom môžete ľahko nájsť silu, na ktorú musíte zdvihnúť dvojku, aby ste získali toto číslo. Napríklad, ak chcete získať 16, musíte zvýšiť dve na štvrtú mocninu. A aby ste získali 64, musíte zvýšiť dve na šiestu mocninu. To je možné vidieť z tabuľky.

A teraz - v skutočnosti definícia logaritmu:

Logaritmus k základu a argumentu x je mocnina, na ktorú musí byť číslo a umocnené, aby sme dostali číslo x .

Zápis: log a x \u003d b, kde a je základ, x je argument, b je v skutočnosti to, čomu sa rovná logaritmus.

Napríklad 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (základný 2 logaritmus čísla 8 je tri, pretože 2 3 = 8). Môže tiež log 2 64 = 6, pretože 2 6 = 64.

Operácia nájdenia logaritmu čísla k danému základu sa nazýva logaritmus. Pridajme teda do tabuľky nový riadok:

Bohužiaľ, nie všetky logaritmy sa dajú tak ľahko zvážiť. Skúste napríklad nájsť log 2 5 . Číslo 5 nie je v tabuľke, ale logika diktuje, že logaritmus bude ležať niekde na segmente. Pretože 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takéto čísla sa nazývajú iracionálne: čísla za desatinnou čiarkou možno písať donekonečna a nikdy sa neopakujú. Ak sa logaritmus ukáže ako iracionálny, je lepšie ho nechať takto: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Je dôležité pochopiť, že logaritmus je výraz s dvoma premennými (základ a argument). Mnoho ľudí si spočiatku mýli, kde je základ a kde je argument. Aby ste predišli nepríjemným nedorozumeniam, stačí sa pozrieť na obrázok:

Pred nami nie je nič iné ako definícia logaritmu. Pamätajte: logaritmus je sila, ku ktorej potrebujete zvýšiť základ, aby ste dostali argument. Práve základ je mocne vyvýšený - na obrázku je zvýraznený červenou farbou. Ukazuje sa, že základňa je vždy na dne! Toto úžasné pravidlo hovorím svojim študentom na prvej hodine - a nie je tam žiadny zmätok.

Prišli sme na definíciu - zostáva sa naučiť počítať logaritmy, t.j. zbavte sa znaku „log“. Na začiatok si všimneme, že z definície vyplývajú dve dôležité skutočnosti:

1. Argument a základ musia byť vždy väčšie ako nula. Vyplýva to z definície stupňa racionálnym exponentom, na ktorý je zredukovaná definícia logaritmu.
2. Základ sa musí líšiť od jednoty, pretože jednotka k akejkoľvek moci je stále jednotkou. Z tohto dôvodu je otázka „na akú silu treba pozdvihnúť, aby sme dostali dve“ nezmyselná. Taký stupeň neexistuje!

Takéto obmedzenia sú tzv platný rozsah(ODZ). Ukazuje sa, že ODZ logaritmu vyzerá takto: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Všimnite si, že neexistujú žiadne obmedzenia na číslo b (hodnota logaritmu) nie je uložené. Napríklad logaritmus môže byť záporný: log 2 0,5 \u003d -1, pretože 0,5 = 2 -1.

Zatiaľ však iba zvažujeme číselné výrazy, kde nie je potrebné poznať ODZ logaritmu. Všetky obmedzenia už spracovatelia problémov vzali do úvahy. Ale keď idú logaritmické rovnice a nerovností, požiadavky DHS sa stanú povinnými. V základe a argumente totiž môžu byť veľmi silné konštrukcie, ktoré nemusia nevyhnutne zodpovedať vyššie uvedeným obmedzeniam.

Teraz zvážte všeobecnú schému na výpočet logaritmov. Pozostáva z troch krokov:

1. Vyjadrite základ a a argument x ako mocninu s najmenším možným základom väčším ako jedna. Po ceste je lepšie zbaviť sa desatinných zlomkov;
2. Riešte rovnicu pre premennú b: x = a b ;
3. Výsledné číslo b bude odpoveďou.

To je všetko! Ak sa logaritmus ukáže ako iracionálny, bude to vidieť už v prvom kroku. Požiadavka, aby bol základ väčší ako jedna, je veľmi dôležitá: znižuje sa tým pravdepodobnosť chyby a výrazne sa zjednodušujú výpočty. Podobný desatinné miesta: ak ich hneď preložíte do obyčajných, chýb bude mnohonásobne menej.

Pozrime sa, ako táto schéma funguje na konkrétnych príkladoch:

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 5 25

1. Predstavme si základ a argument ako mocninu päťky: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Zostavme a vyriešime rovnicu:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Dostal odpoveď: 2.

Úloha. Vypočítajte logaritmus:

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 4 64

1. Predstavme si základ a argument ako mocninu dvoch: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Zostavme a vyriešime rovnicu:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Dostal odpoveď: 3.

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 16 1

1. Predstavme si základ a argument ako mocninu dvoch: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Zostavme a vyriešime rovnicu:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Prijatá odpoveď: 0.

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 7 14

1. Predstavme základ a argument ako mocninu siedmich: 7 = 7 1 ; 14 nie je vyjadrené ako mocnina siedmich, pretože 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Z predchádzajúceho odseku vyplýva, že logaritmus sa neuvažuje;
3. Odpoveď je žiadna zmena: log 7 14.

Malá poznámka k poslednému príkladu. Ako sa uistiť, že číslo nie je presnou mocninou iného čísla? Veľmi jednoduché – stačí to rozložiť na prvočiniteľa. Ak sú v expanzii aspoň dva odlišné faktory, číslo nie je presnou mocninou.

Úloha. Zistite, či sú presné mocniny čísla: 8; 48; 81; 35; štrnásť .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - presný stupeň, pretože existuje len jeden multiplikátor;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nie je presná mocnina, pretože existujú dva faktory: 3 a 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - presný stupeň;
35 = 7 5 - opäť nie presný stupeň;
14 \u003d 7 2 - opäť nie presný stupeň;

Všimnite si tiež, že samotné prvočísla sú vždy presné mocniny samých seba.

Desatinný logaritmus

Niektoré logaritmy sú také bežné, že majú špeciálny názov a označenie.

Desatinný logaritmus argumentu x je základný 10 logaritmus, t.j. mocnina, na ktorú musíte zvýšiť číslo 10, aby ste dostali číslo x. Označenie: lg x .

Napríklad log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - atď.

Keď sa odteraz v učebnici objaví fráza ako „Nájsť lg 0,01“, vedzte, že to nie je preklep. Toto je desiatkový logaritmus. Ak však na takéto označenie nie ste zvyknutí, vždy ho môžete prepísať:
log x = log 10 x

Všetko, čo platí pre bežné logaritmy, platí aj pre desatinné miesta.

prirodzený logaritmus

Existuje ďalší logaritmus, ktorý má svoj vlastný zápis. V istom zmysle je ešte dôležitejšia ako desatinná. Toto je prirodzený logaritmus.

Prirodzený logaritmus x je základný e logaritmus, t.j. mocnina, na ktorú treba zvýšiť číslo e, aby sme získali číslo x. Označenie: ln x .

Mnohí sa budú pýtať: čo iné je číslo e? Ide o iracionálne číslo, jeho presná hodnota sa nedá nájsť a zapísať. Tu sú len prvé čísla:
e = 2,718281828459...

Nebudeme sa ponoriť do toho, čo je toto číslo a prečo je to potrebné. Pamätajte, že e je základom prirodzeného logaritmu:
ln x = log e x

Teda ln e = 1; loge2 = 2; ln e 16 = 16 - atď. Na druhej strane, ln 2 je iracionálne číslo. Vo všeobecnosti prirodzený logaritmus akéhokoľvek racionálne číslo iracionálny. Samozrejme okrem jednoty: ln 1 = 0.

Pre prirodzené logaritmy platia všetky pravidlá, ktoré platia pre bežné logaritmy.

Začnime s vlastnosti logaritmu jednoty. Jeho formulácia je nasledovná: logaritmus jednoty sa rovná nule, tj. log a 1=0 pre ľubovoľné a>0, a≠1. Dôkaz je jednoduchý: keďže a 0 = 1 pre ľubovoľné a, ktoré spĺňa vyššie uvedené podmienky a>0 a a≠1 , potom z definície logaritmu okamžite vyplýva dokázaná rovnosť log a 1=0.

Uveďme príklady aplikácie uvažovanej vlastnosti: log 3 1=0 , lg1=0 a .

Prejdime k ďalšej vlastnosti: logaritmus čísla rovného základu sa rovná jednej, teda log a a=1 pre a>0, a≠1. V skutočnosti, keďže a 1 =a pre ľubovoľné a , potom podľa definície logaritmu log a a=1 .

Príklady použitia tejto vlastnosti logaritmov sú log 5 5 = 1 , log 5,6 5,6 a lne = 1 .

Napríklad log 2 2 7 =7, log10-4 =-4 a .

Logaritmus súčinu dvoch kladné čísla x a y sa rovná súčinu logaritmov týchto čísel: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Dokážme vlastnosť logaritmu súčinu. Vzhľadom na vlastnosti stupňa a log a x+log a y =a log a x a log a y a keďže podľa hlavnej logaritmickej identity log a x =x a log a y = y , potom log a x a log a y =x y . Teda log a x + log a y = x y , z čoho vyplýva požadovaná rovnosť podľa definície logaritmu.

Ukážme si príklady použitia vlastnosti logaritmu súčinu: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 a .

Vlastnosť logaritmu súčinu možno zovšeobecniť na súčin konečného počtu n kladných čísel x 1 , x 2 , …, x n ako log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Táto rovnosť sa dá ľahko dokázať.

Napríklad prirodzený logaritmus súčinu možno nahradiť súčtom troch prirodzených logaritmov čísel 4 , e a .

Logaritmus podielu dvoch kladných čísel x a y sa rovná rozdielu medzi logaritmami týchto čísel. Vlastnosť logaritmu podielu zodpovedá vzorcu v tvare , kde a>0 , a≠1 , x a y sú nejaké kladné čísla. Platnosť tohto vzorca je dokázaná ako vzorec pre logaritmus súčinu: od , potom podľa definície logaritmu .

Tu je príklad použitia tejto vlastnosti logaritmu: .

Prejdime k vlastnosť logaritmu stupňa. Logaritmus stupňa sa rovná súčinu exponentu a logaritmu modulu bázy tohto stupňa. Túto vlastnosť logaritmu stupňa zapíšeme vo forme vzorca: log a b p =p log a |b|, kde a>0 , a≠1, b a p sú čísla také, že stupeň b p dáva zmysel a b p > 0 .

Najprv dokážeme túto vlastnosť pre kladné b . Základná logaritmická identita nám umožňuje reprezentovať číslo b ako log a b , potom b p = (a log a b) p a výsledný výraz sa vďaka vlastnosti mocniny rovná a p log a b . Dostaneme sa teda k rovnosti b p =a p log a b , z ktorej podľa definície logaritmu usúdime, že log a b p = p log a b .

Zostáva dokázať túto vlastnosť pre záporné b . Tu si všimneme, že výraz log a b p pre záporné b má zmysel len pre párne exponenty p (keďže hodnota stupňa b p musí byť väčšia ako nula, inak logaritmus nebude dávať zmysel) a v tomto prípade b p =|b| p . Potom b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, odkiaľ log a b p =p log a |b| .

Napríklad, a ln(-3)4=4ln|-3|=4ln3.

Vyplýva to z predchádzajúcej vlastnosti vlastnosť logaritmu od koreňa: logaritmus odmocniny n-tého stupňa sa rovná súčinu zlomku 1/n a logaritmu koreňového výrazu, tj. , kde a>0 , a≠1 , n – prirodzené číslo, väčšie ako jedna, b>0 .

Dôkaz je založený na rovnosti (pozri ), ktorá platí pre každé kladné b , a na vlastnosti logaritmu stupňa: .

Tu je príklad použitia tejto vlastnosti: .

Teraz dokážme prevodný vzorec na nový základ logaritmu milý . Na to stačí dokázať platnosť log c b = log a b log c a . Základná logaritmická identita nám umožňuje reprezentovať číslo b ako log a b , potom log c b = log c a log a b . Zostáva použiť vlastnosť logaritmu stupňa: log c a log a b = log a b log c a. Tým je dokázaná rovnosť log c b=log a b log c a, čo znamená, že je dokázaný aj vzorec pre prechod na nový základ logaritmu.

Ukážme si niekoľko príkladov použitia tejto vlastnosti logaritmov: a .

Vzorec na prechod na novú základňu vám umožňuje prejsť na prácu s logaritmami, ktoré majú „pohodlnú“ základňu. Napríklad sa dá použiť na prepnutie na prirodzené alebo desiatkové logaritmy, aby ste mohli vypočítať hodnotu logaritmu z tabuľky logaritmov. Vzorec na prechod na nový základ logaritmu tiež umožňuje v niektorých prípadoch nájsť hodnotu daného logaritmu, keď sú známe hodnoty niektorých logaritmov s inými základmi.

Často sa používa špeciálny prípad vzorca na prechod na nový základ logaritmu pre c=b tvaru . To ukazuje, že log a b a log b a – . Napríklad, .

Často sa používa aj vzorec , čo je užitočné pri hľadaní logaritmických hodnôt. Aby sme potvrdili naše slová, ukážeme, ako sa pomocou neho vypočíta hodnota logaritmu formulára. Máme . Na dôkaz vzorca stačí použiť prechodový vzorec na nový základ logaritmu a: .

Zostáva dokázať porovnávacie vlastnosti logaritmov.

Dokážme, že pre akékoľvek kladné čísla b 1 a b 2 platí b 1 log a b 2 a pre a> 1 nerovnosť log a b 1

Nakoniec zostáva dokázať poslednú z uvedených vlastností logaritmov. Obmedzíme sa na dokázanie jeho prvej časti, teda dokážeme, že ak a 1 >1 , a 2 >1 a a 1 1 je pravda log a 1 b>log a 2 b . Ostatné tvrdenia tejto vlastnosti logaritmov sú dokázané podobným princípom.

Použime opačnú metódu. Predpokladajme, že pre 1 >1 , a 2 >1 a a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b je pravda. Pomocou vlastností logaritmov možno tieto nerovnosti prepísať ako a v uvedenom poradí a z nich vyplýva, že log b a 1 ≤ log b a 2 a log b a 1 ≥ log b a 2, v tomto poradí. Potom, pomocou vlastností mocnín s rovnakými základmi, musia byť splnené rovnosti b log b a 1 ≥ b log b a 2 a b log b a 1 ≥ b log b a 2, teda a 1 ≥a 2 . Dospeli sme teda k rozporu s podmienkou a 1

Bibliografia.