Logaritmul numărului 8 la baza 3. Ce este un logaritm. Exemple de rezolvare a logaritmilor

Sănătate

Algebra este o știință complexă și interesantă bazată pe multe funcții. Să ne uităm la ce este un logaritm și care sunt proprietățile acestuia.

Un logaritm este puterea la care trebuie ridicat numărul a pentru a obține numărul x.

Algebra cunoaște multe tipuri de logaritmi. Cele mai comune tipuri de logaritmi sunt:

natural cu baza e=2,718281, notat cu ln.
Exemplu: ln1=0. lne=1;
zecimală cu baza 10, notată lg.
Exemplu: lg100=2. log 10 100=2, deoarece 10 2 =100;
binar, notat lb(b) sau lb 2 b. Este soluția ecuației 2 x =b.
Exemplu: lb16=4.

Acestea din urmă sunt utilizate pe scară largă în informatică, teoria informației, precum și în multe subdomenii ale matematicii discrete. Logaritmii ajută oamenii de știință din statistică să determine cele mai importante distribuții de probabilitate. Sunt folosiți și în genetică.

Numărarea folosind logaritmi

Matematicienii sunt conștienți de mult timp de proprietățile unice ale logaritmilor, precum și de posibilitatea de a le folosi pentru a simplifica calcule complexe. Deci, când treceți la logaritmi:

înmulțirea este ușor înlocuită prin adunare;
împărțire - prin scădere;
ridicarea la o anumită putere sau luarea unei rădăcini devine înmulțire sau împărțire.

Când numărați folosind logaritmi, ar trebui să scăpați de semnul jurnalului. în care:

Motivul și argumentul trebuie să fie pozitive;
Baza trebuie să fie diferită de una, deoarece acest număr, ridicat la orice putere, rămâne neschimbat.

Funcția logaritmică

Funcția logaritmică y = loga x (unde a > 0, a ≠ 1) este de asemenea utilizată în calcule. Printre proprietățile sale se numără următoarele:

domeniul de definire al acestei funcții se află în mulțimea numerelor pozitive;
setul de valori ale funcției este reprezentat prin numere reale;
funcția nu are o valoare maximă sau minimă;
functia apartine formei generale, nefiind par sau impar;
funcția nu este periodică;
graficul trece prin axele de coordonate în punctul (1;0);
dacă baza este mai mare decât unu, funcția crește, iar dacă este mai mică de unu, scade.

Acum aveți o idee despre logaritmi, domeniul lor, precum și proprietățile funcției logaritmice.

Logaritmul unui număr b la baza a este exponentul la care trebuie ridicat numărul a pentru a obține numărul b.

Daca atunci.

Logaritm - extrem mărime matematică importantă, întrucât calculul logaritmic permite nu numai rezolvarea ecuațiilor exponențiale, ci și operarea cu exponenți, diferențierea funcțiilor exponențiale și logaritmice, integrându-le și conducându-le la o formă mai acceptabilă de calculat.

In contact cu

Toate proprietățile logaritmilor sunt direct legate de proprietățile funcțiilor exponențiale. De exemplu, faptul că înseamnă că:

Trebuie remarcat faptul că atunci când se rezolvă probleme specifice, proprietățile logaritmilor se pot dovedi a fi mai importante și mai utile decât regulile de lucru cu puteri.

Să prezentăm câteva identități:

Iată expresiile algebrice de bază:

;

Atenţie! poate exista doar pentru x>0, x≠1, y>0.

Să încercăm să înțelegem întrebarea ce sunt logaritmii naturali. Interes deosebit pentru matematică reprezintă două tipuri- primul are ca bază numărul „10” și se numește „logaritm zecimal”. Al doilea se numește natural. Baza logaritmului natural este numărul „e”. Despre asta vom vorbi în detaliu în acest articol.

Denumiri:

lg x - zecimală;
ln x - natural.

Folosind identitatea, putem observa că ln e = 1, precum și faptul că lg 10=1.

Graficul logaritmului natural

Să construim un grafic al logaritmului natural folosind metoda clasică standard punct cu punct. Dacă doriți, puteți verifica dacă construim corect funcția examinând funcția. Cu toate acestea, are sens să înveți cum să-l construiești „manual” pentru a ști cum să calculezi corect logaritmul.

Funcția: y = ln x. Să scriem un tabel de puncte prin care va trece graficul:

Să explicăm de ce am ales aceste valori particulare ale argumentului x. Totul tine de identitate: . Pentru logaritmul natural, această identitate va arăta astfel:

Pentru comoditate, putem lua cinci puncte de referință:

;

Astfel, calcularea logaritmilor naturali este o sarcină destul de simplă; în plus, simplifică calculele operațiilor cu puteri, transformându-le în înmulțire obișnuită.

Prin trasarea unui grafic punct cu punct, obținem un grafic aproximativ:

Domeniul de definire a logaritmului natural (adică toate valorile valide ale argumentului X) este toate numerele mai mari decât zero.

Atenţie! Domeniul de definire al logaritmului natural include doar numere pozitive! Sfera definiției nu include x=0. Acest lucru este imposibil pe baza condițiilor de existență a logaritmului.

Gama de valori (adică toate valorile valide ale funcției y = ln x) sunt toate numerele din interval.

Limită naturală a jurnalului

Studiind graficul, apare întrebarea - cum se comportă funcția la y<0.

În mod evident, graficul funcției tinde să traverseze axa y, dar nu va putea face acest lucru, deoarece logaritmul natural al lui x<0 не существует.

Limita naturalului Buturuga poate fi scris astfel:

Formula pentru înlocuirea bazei unui logaritm

A face față unui logaritm natural este mult mai ușor decât a face față unui logaritm care are o bază arbitrară. De aceea vom încerca să învățăm cum să reducem orice logaritm la unul natural sau să-l exprimăm la o bază arbitrară prin logaritmi naturali.

Să începem cu identitatea logaritmică:

Atunci orice număr sau variabilă y poate fi reprezentată ca:

unde x este orice număr (pozitiv conform proprietăților logaritmului).

Această expresie poate fi luată logaritmic pe ambele părți. Să facem asta folosind o bază arbitrară z:

Să folosim proprietatea (doar în loc de „c” avem expresia):

De aici obținem formula universală:

În special, dacă z=e, atunci:

Am putut reprezenta un logaritm la o bază arbitrară prin raportul a doi logaritmi naturali.

Rezolvăm probleme

Pentru a înțelege mai bine logaritmii naturali, să ne uităm la exemple de mai multe probleme.

Problema 1. Este necesar să se rezolve ecuația ln x = 3.

Soluţie: Folosind definiția logaritmului: dacă , atunci , obținem:

Problema 2. Rezolvați ecuația (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Soluție: Folosind definiția logaritmului: dacă , atunci , obținem:

Să folosim din nou definiția unui logaritm:

Prin urmare:

Puteți calcula aproximativ răspunsul sau îl puteți lăsa în acest formular.

Sarcina 3. Rezolvați ecuația.

Soluţie: Să facem o înlocuire: t = ln x. Atunci ecuația va lua următoarea formă:

Avem o ecuație pătratică. Să-i găsim discriminantul:

În statistică și teoria probabilităților se găsesc foarte des mărimile logaritmice. Acest lucru nu este surprinzător, deoarece numărul e reflectă adesea rata de creștere a cantităților exponențiale.

În informatică, programare și teoria calculatoarelor, logaritmii se găsesc destul de des, de exemplu, pentru a stoca N biți în memorie.

În teoriile fractalilor și dimensiunilor, logaritmii sunt utilizați în mod constant, deoarece dimensiunile fractalilor sunt determinate numai cu ajutorul lor.

În mecanică și fizică Nu există nicio secțiune în care logaritmii nu au fost utilizați. Distribuția barometrică, toate principiile termodinamicii statistice, ecuația Tsiolkovsky etc. sunt procese care pot fi descrise matematic numai folosind logaritmi.

În chimie, logaritmii sunt utilizați în ecuațiile Nernst și descrierile proceselor redox.

În mod uimitor, chiar și în muzică, pentru a afla numărul de părți ale unei octave, se folosesc logaritmi.

Logaritmul natural Funcția y=ln x proprietățile sale

Dovada proprietății principale a logaritmului natural

proprietăți principale.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

temeiuri identice

Log6 4 + log6 9.

Acum să complicăm puțin sarcina.

Exemple de rezolvare a logaritmilor

Ce se întâmplă dacă baza sau argumentul unui logaritm este o putere? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă ODZ a logaritmului: a > 0, a ≠ 1, x >

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Trecerea la o nouă fundație

Să fie dat logaritmul logax. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Vezi si:

Proprietățile de bază ale logaritmului

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Exponentul este 2,718281828... Pentru a vă aminti exponentul, puteți studia regula: exponentul este egal cu 2,7 și de două ori anul nașterii lui Leo Nikolaevici Tolstoi.

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Cunoscând această regulă, veți ști atât valoarea exactă a exponentului, cât și data nașterii lui Lev Tolstoi.

Exemple de logaritmi

Expresii logaritmice

Exemplul 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Folosind proprietățile 3.5 calculăm

4. Unde .

Exemplul 2. Găsiți x dacă

Exemplul 3. Să fie dată valoarea logaritmilor

Calculați log(x) dacă

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Logaritmii, ca orice numere, pot fi adunați, scăzuți și transformați în orice fel. Dar, deoarece logaritmii nu sunt chiar numere obișnuite, există reguli aici, care sunt numite proprietăți principale.

Cu siguranță trebuie să cunoașteți aceste reguli - fără ele, nici o problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată. În plus, sunt foarte puține dintre ele - puteți învăța totul într-o singură zi. Asadar, haideti sa începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceleași baze: logax și logay. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este egală cu logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul cheie aici este temeiuri identice. Dacă motivele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vă vor ajuta să calculați o expresie logaritmică chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:

Deoarece logaritmii au aceleași baze, folosim formula sumei:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log2 48 − log2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log3 135 − log3 5.

Din nou bazele sunt aceleași, deci avem:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt calculate separat. Dar după transformări se obțin numere complet normale. Multe teste se bazează pe acest fapt. Da, expresii asemănătoare testelor sunt oferite cu toată seriozitatea (uneori practic fără modificări) la examenul de stat unificat.

Extragerea exponentului din logaritm

Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă ODZ al logaritmului: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Și încă ceva: învață să aplici toate formulele nu numai de la stânga la dreapta, ci și invers. , adică Puteți introduce numerele înainte de semnul logaritmului în logaritmul însuși. Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log7 496.

Să scăpăm de gradul din argument folosind prima formulă:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Rețineți că numitorul conține un logaritm, a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 24; 49 = 72. Avem:

Cred că ultimul exemplu necesită unele clarificări. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment lucrăm doar cu numitorul.

Formule logaritmice. Exemple de logaritmi soluții.

Am prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de puteri și am scos exponenții - am obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numătorul și numitorul conțin același număr: log2 7. Deoarece log2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne în numitor. Conform regulilor aritmeticii, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce s-a făcut. Rezultatul a fost răspunsul: 2.

Trecerea la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Ce se întâmplă dacă motivele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?

Formulele pentru tranziția către o nouă fundație vin în ajutor. Să le formulăm sub forma unei teoreme:

Să fie dat logaritmul logax. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

În special, dacă setăm c = x, obținem:

Din a doua formulă rezultă că baza și argumentul logaritmului pot fi schimbate, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, adică. logaritmul apare la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea numai atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există probleme care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să ne uităm la câteva dintre acestea:

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log5 16 log2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi conțin puteri exacte. Să scoatem indicatorii: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Acum să „inversăm” al doilea logaritm:

Deoarece produsul nu se schimbă la rearanjarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi ne-am ocupat de logaritmi.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să notăm asta și să scăpăm de indicatorii:

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, următoarele formule ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine exponent în argument. Numărul n poate fi absolut orice, deoarece este doar o valoare logaritmică.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Așa se numește: .

De fapt, ce se întâmplă dacă numărul b este ridicat la o astfel de putere încât numărul b la această putere dă numărul a? Așa este: rezultatul este același număr a. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni rămân blocați în el.

Asemenea formulelor pentru trecerea la o nouă bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Rețineți că log25 64 = log5 8 - pur și simplu a luat pătratul de la baza și argumentul logaritmului. Luând în considerare regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală de la examenul de stat unificat :)

Unitate logaritmică și zero logaritmic

În concluzie, voi da două identități care cu greu pot fi numite proprietăți - mai degrabă, sunt consecințe ale definiției logaritmului. Apar constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și pentru elevii „avansați”.

logaa = 1 este. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul oricărei baze a a acelei baze în sine este egal cu unu.
loga 1 = 0 este. Baza a poate fi orice, dar dacă argumentul conține unul, logaritmul este egal cu zero! Deoarece a0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.

Vezi si:

Logaritmul lui b la baza a denotă expresia. A calcula logaritmul înseamnă a găsi o putere x () la care egalitatea este satisfăcută

Proprietățile de bază ale logaritmului

Este necesar să se cunoască proprietățile de mai sus, deoarece aproape toate problemele și exemplele legate de logaritmi sunt rezolvate pe baza lor. Restul proprietăților exotice pot fi derivate prin manipulări matematice cu aceste formule

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Când calculați formula pentru suma și diferența de logaritmi (3.4) întâlniți destul de des. Restul sunt oarecum complexe, dar într-o serie de sarcini sunt indispensabile pentru simplificarea expresiilor complexe și calcularea valorilor acestora.

Cazuri comune de logaritmi

Unii dintre logaritmii obișnuiți sunt cei în care baza este chiar zece, exponențială sau două.
Logaritmul la baza zece este de obicei numit logaritm zecimal și este pur și simplu notat cu lg(x).

Din înregistrare reiese clar că elementele de bază nu sunt scrise în înregistrare. De exemplu

Un logaritm natural este un logaritm a cărui bază este un exponent (notat cu ln(x)).

Exponentul este 2,718281828... Pentru a vă aminti exponentul, puteți studia regula: exponentul este egal cu 2,7 și de două ori anul nașterii lui Leo Nikolaevici Tolstoi. Cunoscând această regulă, veți ști atât valoarea exactă a exponentului, cât și data nașterii lui Lev Tolstoi.

Și un alt logaritm important pentru baza doi este notat cu

Derivata logaritmului unei funcții este egală cu una împărțită la variabilă

Logaritmul integral sau antiderivat este determinat de relație

Materialul dat este suficient pentru a rezolva o clasă largă de probleme legate de logaritmi și logaritmi. Pentru a vă ajuta să înțelegeți materialul, voi da doar câteva exemple comune din programa școlară și universități.

Exemple de logaritmi

Expresii logaritmice

Exemplul 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Folosind proprietățile 3.5 calculăm

2.
Prin proprietatea diferenței logaritmilor avem

3.
Folosind proprietățile 3.5 găsim

4. Unde .

O expresie aparent complexă este simplificată pentru a se forma folosind o serie de reguli

Găsirea valorilor logaritmului

Exemplul 2. Găsiți x dacă

Soluţie. Pentru calcul, aplicăm la ultimul termen 5 și 13 proprietăți

O consemnăm și plângem

Deoarece bazele sunt egale, echivalăm expresiile

Logaritmi. Primul nivel.

Să fie dată valoarea logaritmilor

Calculați log(x) dacă

Soluție: Să luăm un logaritm al variabilei pentru a scrie logaritmul prin suma termenilor săi

Acesta este doar începutul cunoașterii noastre cu logaritmii și proprietățile lor. Exersați calculele, îmbogățiți-vă abilitățile practice - veți avea nevoie în curând de cunoștințele acumulate pentru a rezolva ecuații logaritmice. După ce am studiat metodele de bază pentru rezolvarea unor astfel de ecuații, vă vom extinde cunoștințele la un alt subiect la fel de important - inegalitățile logaritmice...

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceleași baze: logax și logay. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log6 4 + log6 9.

Deoarece logaritmii au aceleași baze, folosim formula sumei:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log2 48 − log2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log3 135 − log3 5.

Din nou bazele sunt aceleași, deci avem:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Extragerea exponentului din logaritm

Acum să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă baza sau argumentul unui logaritm este o putere? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Cum se rezolvă logaritmii

Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log7 496.

Să scăpăm de gradul din argument folosind prima formulă:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Rețineți că numitorul conține un logaritm, a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 24; 49 = 72. Avem:

Cred că ultimul exemplu necesită unele clarificări. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment lucrăm doar cu numitorul. Am prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de puteri și am scos exponenții - am obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Trecerea la o nouă fundație

Formulele pentru tranziția către o nouă fundație vin în ajutor. Să le formulăm sub forma unei teoreme:

Să fie dat logaritmul logax. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

În special, dacă setăm c = x, obținem:

Din a doua formulă rezultă că baza și argumentul logaritmului pot fi schimbate, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, adică. logaritmul apare la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea numai atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există probleme care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să ne uităm la câteva dintre acestea:

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log5 16 log2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi conțin puteri exacte. Să scoatem indicatorii: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Acum să „inversăm” al doilea logaritm:

Deoarece produsul nu se schimbă la rearanjarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi ne-am ocupat de logaritmi.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să notăm asta și să scăpăm de indicatorii:

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, următoarele formule ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine exponent în argument. Numărul n poate fi absolut orice, deoarece este doar o valoare logaritmică.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Așa se numește: .

Asemenea formulelor pentru trecerea la o nouă bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Rețineți că log25 64 = log5 8 - pur și simplu a luat pătratul de la baza și argumentul logaritmului. Luând în considerare regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală de la examenul de stat unificat :)

Unitate logaritmică și zero logaritmic

logaa = 1 este. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul oricărei baze a a acelei baze în sine este egal cu unu.
loga 1 = 0 este. Baza a poate fi orice, dar dacă argumentul conține unul, logaritmul este egal cu zero! Deoarece a0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în procedurile judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea organismelor guvernamentale din Federația Rusă - să dezvăluie informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Logaritm număr pozitiv N la bază(b> 0, b 1 ) numit exponent X , la care trebuie să construiți b pentru a obține N .

Notație logaritmică:

Această intrare este echivalentă cu următoarele:b x = N .

EXEMPLE: jurnalul 3 81 = 4, deoarece 3 4 = 81;

Jurnal 1/3 27 = – 3, deoarece (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

Definiția de mai sus a logaritmului poate fi scrisă ca o identitate:

Proprietățile de bază ale logaritmilor.

1) Buturuga b= 1 , deoarece b 1 = b.

2) jurnal 1 = 0 , deoarece b 0 = 1 .

3) Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor factorilor:

Buturuga( ab) = jurnal A+ jurnal b.

4) Logaritmul coeficientului este egal cu diferența dintre logaritmii dividendului și divizorului:

Buturuga( A/b) = jurnal A-Buturuga b.

5) Logaritmul unei puteri este egal cu produsul dintre exponent și logaritmul bazei sale:

Buturuga (b k ) = k Buturuga b.

Consecința acestei proprietăți este următoarea:logaritmul rădăcinii egal cu logaritmul numărului radical împărțit la puterea rădăcinii:

6) Dacă baza logaritmului este un grad, atunci valoarea inversul exponentului, poate fi scos din semnul log rima:

Ultimele două proprietăți pot fi combinate într-una singură:

7) Formula modulului de tranziție (de ex. e . trecerea de la o bazălogaritm la o altă bază):

În cazul special când N=a avem:

Logaritm zecimal numit logaritm de bază 10. Este desemnat lg, adică jurnalul 10 N = lg N. Logaritmii numerelor 10, 100, 1000, ... p numerele sunt 1, 2, 3, ..., respectivacestea. au atât de multe pozitive

unități, câte zerouri sunt într-un număr logaritmic după unu. Logaritmii numerelor 0,1, 0,01, 0,001, ... p avna respectiv –1, –2, –3, …, adică au atâtea negative câte zerouri sunt înaintea unu în numărul logaritmic ( numărare și zero numere întregi). Logaritmi alte numere au o parte fracționară numită mantisa. Întrego parte a logaritmului se numește caracteristică. Pentru utilizare practicăLogaritmii zecimali sunt cele mai convenabile.

Logaritmul natural numit logaritm de bază e. Este desemnat ln, adică Buturuga eN = ln N. Număr eeste irațional, astavaloare aproximativă 2,718281828. Aceasta este limita la care tinde numărul(1 + 1 / n) n cu spor nelimitatn(cm. prima limită minunată ).
Oricât de ciudat ar părea, logaritmii naturali s-au dovedit a fi foarte convenabil atunci când se efectuează diferite tipuri de operații legate de analiza funcțiilor.Calcularea logaritmilor la bazăerealizat mult mai repede decât din orice alt motiv.