1. Secțiune axială cilindru este o secțiune a cilindrului printr-un plan care trece prin axa acestuia. Secțiunea transversală axială a cilindrului este dreptunghi.

2. Secțiunea unui cilindru cu un plan paralel cu baza.
În acest caz, secțiunea transversală este un cerc egal și paralel cu baza.

Con

Un con este un corp geometric format dintr-un cerc - temeiuri con, un punct care nu se află în planul acestui cerc, − culmi con și toate segmentele care leagă partea superioară a conului cu punctele bazei.

Se numesc segmentele care leagă vârful conului cu punctele cercului de bază formare con

Conul este numit direct, dacă linia dreaptă care leagă vârful conului de centrul bazei este perpendiculară pe planul bazei.

Pe orez. A) con drept, b) con înclinat.

În cele ce urmează vom lua în considerare doar un con drept!

S- vârful conului.

Cerc cu centre DESPRE– baza conului.

S.A.,C.B., SC– formarea de conuri.

Înălţime a unui con se numește perpendiculară coborâtă de la vârful său spre planul bazei.

Axă a unui con este o linie dreaptă care conține înălțimea acestuia ( ASA DE).

Proprietățile conului:

Generatorii conului sunt egali.

Un con poate fi considerat ca un corp obținut prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul laturii sale.

Cele mai simple secțiuni ale unui con.

1. Secțiune axială conul este o secțiune a unui con de către un plan care trece prin axa acestuia. Secțiunea axială a conului este triunghi.

2. Secțiunea unui con cu un plan paralel cu baza.
În acest caz, secțiunea transversală este un cerc similar și paralel cu baza.

O minge este un corp geometric format din toate punctele din spațiu situate la o distanță nu mai mare decât una dată de un punct dat.

Acest punct ( DESPRE) se numește centru mingea, iar această distanță este rază minge.

Limita mingii este numită suprafata sferica sau sferă.

Se numește orice segment care leagă centrul unei bile de un punct de pe suprafața sferică rază minge ( O.D., OB, OA).

Diametrul mingii este un segment care leagă două puncte ale unei suprafețe sferice și care trece prin centrul mingii ( AB).

Proprietățile mingii:

Razele mingii sunt egale;

Diametrele mingii sunt egale.

O bila poate fi considerata ca un corp obtinut prin rotirea unui semicerc in jurul diametrului sau.

Cele mai simple secțiuni ale unei mingi

1. Secțiunea unei mingi de către un plan care trece prin centrul ei. În acest caz, secțiunea este cerc mare.

2. Secțiunea unei mingi de către un avion Nu trecând prin centrul ei. În acest caz, secțiunea este cerc.

Suprafața cilindrică m O linie dreaptă m, care se deplasează de-a lungul unei curbe, descrie o suprafață cilindrică. Dacă această curbă este închisă, atunci este descrisă o suprafață cilindrică închisă. Dacă o curbă închisă are forma unui cerc, atunci este descris un cilindru circular. Dacă dreapta m este perpendiculară pe planul curbei, atunci se descrie un cilindru circular drept TIPURI DE CILINDRI Cilindru eliptic TIPURI DE CILINDRI Cilindru hiperbolic TIPURI DE CILINDRI Cilindru parabolic 26.07.2014 6 Definiția unui cilindru. Un cilindru este un corp format din două cercuri care nu se află în același plan și sunt combinate prin translație paralelă și toate segmentele care leagă punctele corespunzătoare acestor cercuri. Cilindru Un cilindru poate fi obținut prin rotirea unui dreptunghi în jurul unei linii drepte care conține oricare dintre elementele unui cilindru. Raza unui cilindru este raza bazei acestuia. Înălțimea unui cilindru este distanța dintre planurile bazelor sale. Axa unui cilindru este o linie dreaptă care trece prin centrele bazelor. Proprietățile cilindrului. 1) Bazele sunt egale și paralele. 2) Toate generatricele cilindrului sunt paralele și egale între ele Dezvoltarea cilindrului Suprafața laterală a cilindrului este dezvoltată într-un dreptunghi, o parte din care este înălțimea cilindrului, iar cealaltă lungimea circumferinței bazei . Un cilindru echilateral este un cilindru a cărui secțiune axială este secțiunea pătrată a cilindrului. Secțiunea transversală a unui cilindru cu un plan paralel cu axa sa este un dreptunghi. Cele două laturi ale sale sunt generatrice ale cilindrului, iar celelalte două sunt coarde paralele ale bazelor. Secțiunea cilindrului care trece prin axa cilindrului se numește secțiune axială și este, de asemenea, dreptunghi. Un plan paralel cu planul bazei cilindrului intersectează suprafața sa laterală de-a lungul unui cerc egal cu circumferința bazei. Plan tangent Dacă un plan are o linie dreaptă comună cu suprafața laterală, atunci acest plan se numește plan tangent. Linia de tangență este generatoarea cilindrului. Suprafața laterală a cilindrului este un dreptunghi, iar o parte este înălțimea cilindrului. Suprafața completă a cilindrului este formată din două cercuri și o suprafață laterală. L H 2 RH S suprafața laterală a cilindrului și S a cercului R 2 R 2 RH 2 R (R H) 2 S a cercului S lateral S suprafața completă a cilindrului 2 și suprafața cilindrului 2 și Volumul cilindrului Volumul cilindrului cilindrul este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea cilindrului. V S baza V R 2 H H Explicați ce este un cilindru circular drept? Care este raza, înălțimea, generatria și axa cilindrului? Care este secțiunea axială a unui cilindru? Care cilindru se numește echilateral? Care este secțiunea unui cilindru după un plan perpendicular pe axa cilindrului? Ce înțelegem prin suprafața laterală și totală a cilindrului? Cum să găsiți suprafața laterală și totală a unui cilindru? ELEMENTELE UNUI CILINDRU Problema 1. Secțiunea axială a unui cilindru este un pătrat, a cărui aria este Q. Aflați aria bazei cilindrului. Dat: cilindru, secțiune axială - pătrat Secțiune = Q Aflați: Sbas = Cerc Rezolvare: Problema 2. Suprafața laterală a cilindrului se transformă într-un pătrat cu aria de 4 cm2. Aflați suprafața și volumul total al cilindrului. Presupunem 3 N lcerc Dat: cilindru Sq = 4 cm2 Aflați: Sp.p., Vcyl. Rezolvare: Lucrări de laborator și practice Tema: Cilindru 1. Definiție, proprietăți. 2. Desen, dimensiuni în mm. 3. Calculaţi: a) aria bazei b) suprafaţa laterală a cilindrului. c) întreaga suprafaţă a cilindrului. d) volumul cilindrului. Probleme Diagonala secțiunii axiale este de 48 cm. Unghiul dintre diagonala si generatria cilindrului este de 60o. Aflați 1) înălțimea cilindrului; 2) raza cilindrului; 3) Sbas Înălțimea cilindrului este de 8 cm, raza este de 5 cm. Aflați aria secțiunii transversale a unui plan paralel cu axa acestuia dacă distanța dintre acest plan și axa cilindrului este de 3 cm Aria suprafeței laterale a cilindrului este S. Aflați transversala axială. zona secțională a cilindrului. Cilindrul se obține prin rotirea unui pătrat cu latura α în jurul uneia dintre laturile sale. Aflați aria: 1) secțiunii axiale a cilindrului; 2) suprafața completă a cilindrului Cilindru Originalitate în design și arhitectură Problemă: Cât de mult va crește volumul camerei de ardere a motorului auto GAZ-53 dacă diametrul pistonului este de 10 cm și cursa pistonului este de 9 cm? Soluția V=pR2H: V=3,14 52 9=706,5 (cm3) Problemă: Determinați capacitatea rezervorului de ulei al pompei de servodirecție a mașinii ZIL130, dacă diametrul acestuia este de 126 mm și înălțimea este de 140 mm =3,14. 3969,140=174477,24

Cilindru (cilindru circular drept) este un corp format din două cercuri (bazele unui cilindru), combinate prin translație paralelă și toate segmentele care leagă punctele corespunzătoare ale acestor cercuri în timpul translației paralele. Segmentele care leagă punctele corespunzătoare ale cercurilor de bază se numesc generatoare ale cilindrului.

Iată o altă definiție:

Cilindru- un corp care este limitat de o suprafață cilindrică cu ghidaj închis și două plane paralele care intersectează generatricele acestei suprafețe.

Suprafata cilindrica- o suprafață care se formează prin deplasarea unei linii drepte de-a lungul unei anumite curbe. Linia dreaptă se numește generatria suprafeței cilindrice, iar linia curbă se numește ghidajul suprafeței cilindrice.

Suprafața laterală a cilindrului- parte a unei suprafețe cilindrice care este limitată de plane paralele.

Baze de cilindru- părți din planuri paralele tăiate de suprafața laterală a cilindrului.

Fig.1 mini

Cilindrul se numește direct(Cm. Fig.1), dacă generatoarele sale sunt perpendiculare pe planurile bazelor. Altfel se numește cilindrul înclinat.

Cilindru circular- un cilindru ale cărui baze sunt cercuri.

Cilindru circular drept (doar un cilindru) este un corp obținut prin rotirea unui dreptunghi în jurul uneia dintre laturile sale. Cm. Fig.1.

Raza cilindrului este raza bazei sale.

Generator al cilindrului- generatoarea unei suprafeţe cilindrice.

Înălțimea cilindrului se numeste distanta dintre planele bazelor. Axa cilindrului se numește linie dreaptă care trece prin centrele bazelor. Se numește secțiunea unui cilindru printr-un plan care trece prin axa cilindrului sectiune axiala.

Axa cilindrului este paralelă cu generatoarea sa și este axa de simetrie a cilindrului.

Un plan care trece prin generatoarea unui cilindru drept și perpendicular pe secțiunea axială trasată prin această generatrică se numește planul tangent al cilindrului. Cm. Fig.2.

Dezvoltarea suprafeței laterale a cilindrului- un dreptunghi cu laturile egale cu inaltimea cilindrului si circumferinta bazei.

Suprafața laterală a cilindrului- zona de dezvoltare a suprafeței laterale. $$S_(lateral)=2\pi\cdot rh$$ , unde h este înălțimea cilindrului și r– raza bazei.

Suprafața totală a unui cilindru- aria, care este egală cu suma ariilor celor două baze ale cilindrului și a suprafeței laterale a acestuia, i.e. se exprimă prin formula: $$S_(full)=2\pi\cdot r^2 + 2\pi\cdot rh = 2\pi\cdot r(r+h)$$ , unde h este înălțimea cilindrului și r– raza bazei.

Volumul oricărui cilindru egal cu produsul dintre aria bazei și înălțimea: $$V = S\cdot h$$ Volumul unui cilindru rotund: $$V=\pi r^2 \cdot h$$ , unde ( r- raza bazei).

O prismă este un tip special de cilindru (generatoarele sunt paralele cu nervurile laterale; ghidajul este un poligon situat la bază). Pe de altă parte, un cilindru arbitrar poate fi considerat o prismă degenerată („netezită”) cu un număr foarte mare de fețe foarte înguste. În practică, un cilindru nu se distinge de o astfel de prismă. Toate proprietățile prismei sunt păstrate în cilindru.

Stereometria este o ramură a geometriei în care sunt studiate figurile din spațiu. Principalele figuri din spațiu sunt un punct, o dreaptă și un plan. În stereometrie apare un nou tip de aranjare relativă a liniilor: liniile încrucișate. Aceasta este una dintre puținele diferențe semnificative dintre stereometrie și planimetrie, deoarece în multe cazuri problemele de stereometrie sunt rezolvate prin luarea în considerare a diferitelor planuri în care sunt îndeplinite legile planimetrice.

În natura din jurul nostru, există multe obiecte care sunt modele fizice ale acestei figuri. De exemplu, multe piese de mașină au forma unui cilindru sau sunt o combinație a acestora, iar coloanele maiestuoase ale templelor și catedralelor, realizate în formă de cilindri, le subliniază armonia și frumusețea.

greacă − kylindros. Un termen străvechi. În viața de zi cu zi - un sul de papirus, o rolă, o rolă (verb - a răsuci, rostogoli).

Pentru Euclid, un cilindru se obține prin rotirea unui dreptunghi. În Cavalieri - prin mișcarea generatricei (cu un ghid arbitrar - un „cilindru”).

Scopul acestui eseu este de a considera un corp geometric - un cilindru.

Pentru a atinge acest obiectiv, este necesar să se ia în considerare următoarele sarcini:

− dați definiții pentru un cilindru;

− ia în considerare elementele cilindrului;

− studiul proprietăţilor cilindrului;

− luați în considerare tipurile de secțiuni de cilindru;

− derivă formula pentru aria unui cilindru;

− se deduce formula pentru volumul unui cilindru;

− rezolvarea problemelor cu ajutorul unui cilindru.

1.1. Definiția unui cilindru

Să considerăm o dreaptă (curbă, întreruptă sau mixtă) situată într-un plan α și o dreaptă S care intersectează acest plan. Prin toate punctele unei drepte date l desenăm drepte paralele cu dreapta S; suprafața α formată de aceste drepte se numește suprafață cilindrică. Linia l se numește ghidajul acestei suprafețe, liniile s 1, s 2, s 3,... sunt generatoarele sale.

Dacă ghidajul este rupt, atunci o astfel de suprafață cilindrică constă dintr-un număr de benzi plate închise între perechi de linii drepte paralele și se numește suprafață prismatică. Generatricele care trec prin vârfurile liniei întrerupte de ghidare se numesc marginile suprafeței prismatice, benzile plate dintre ele sunt fețele acesteia.

Dacă disecăm orice suprafață cilindrică cu un plan arbitrar care nu este paralel cu generatoarele sale, vom obține o linie care poate fi luată și ca ghid pentru această suprafață. Dintre ghidaje, cel care iese în evidență este cel care se obține din tăierea suprafeței cu un plan perpendicular pe generatricele suprafeței. O astfel de secțiune se numește o secțiune normală, iar ghidul corespunzător este numit un ghid normal.

Dacă ghidajul este o linie închisă (convexă) (frântă sau curbă), atunci suprafața corespunzătoare se numește suprafață prismatică sau cilindrică închisă (convexă). Cea mai simplă dintre suprafețele cilindrice are un cerc ca ghid normal. Să disecăm o suprafață prismatică convexă închisă cu două plane paralele între ele, dar nu paralele cu generatoarele.

În secțiuni obținem poligoane convexe. Acum partea suprafeței prismatice închisă între planurile α și α" și cele două plăci poligonale formate în aceste planuri limitează un corp numit corp prismatic - o prismă.

Corp cilindric - un cilindru este definit în mod similar cu o prismă:
Un cilindru este un corp delimitat pe laturi de o suprafata cilindrica inchisa (convexa), iar la capete de doua baze paralele plate. Ambele baze ale cilindrului sunt egale și toți constituenții cilindrului sunt, de asemenea, egali, adică. segmente ale generatoarelor unei suprafeţe cilindrice între planurile bazelor.

Un cilindru (mai precis, un cilindru circular) este un corp geometric format din două cercuri care nu se află în același plan și sunt combinate prin translație paralelă și toate segmentele care leagă punctele corespunzătoare acestor cercuri (Fig. 1) .

Cercurile se numesc bazele cilindrului, iar segmentele care leagă punctele corespunzătoare ale circumferințelor cercurilor sunt numite generatoare ale cilindrului.

Deoarece translația paralelă este mișcare, bazele cilindrului sunt egale.

Deoarece în timpul translației paralele planul se transformă într-un plan paralel (sau în sine), atunci bazele cilindrului se află în planuri paralele.

Deoarece în timpul translației paralele punctele sunt deplasate de-a lungul liniilor paralele (sau care coincid) cu aceeași distanță, atunci generatoarele cilindrului sunt paralele și egale.

Suprafața cilindrului este formată din bază și suprafața laterală. Suprafața laterală este compusă din generatrice.

Un cilindru se numește drept dacă generatoarele lui sunt perpendiculare pe planurile bazelor.

Un cilindru drept poate fi imaginat vizual ca un corp geometric care descrie un dreptunghi atunci când îl rotește în jurul laturii sale ca o axă (Fig. 2).

Orez. 2 − Cilindru drept

În cele ce urmează, vom lua în considerare doar cilindrul drept, numindu-l pur și simplu cilindru pentru concizie.

Raza unui cilindru este raza bazei acestuia. Înălțimea unui cilindru este distanța dintre planurile bazelor sale. Axa unui cilindru este o linie dreaptă care trece prin centrele bazelor. Este paralel cu generatoarele.

Un cilindru se numește echilateral dacă înălțimea lui este egală cu diametrul bazei.

Dacă bazele cilindrului sunt plate (și, prin urmare, planurile care le conțin sunt paralele), atunci se spune că cilindrul stă pe un plan. Dacă bazele unui cilindru aflat pe un plan sunt perpendiculare pe generatoare, atunci cilindrul se numește drept.

În special, dacă baza unui cilindru aflat pe un plan este un cerc, atunci vorbim de un cilindru circular (circular); dacă este o elipsă, atunci este eliptică.

1. 3. Secțiuni ale cilindrului

Secțiunea transversală a unui cilindru cu un plan paralel cu axa sa este un dreptunghi (Fig. 3, a). Cele două laturi ale sale sunt generatoarele cilindrului, iar celelalte două sunt coarde paralele ale bazelor.

A) b)

V) G)

Orez. 3 – Secțiuni ale cilindrului

În special, dreptunghiul este secțiunea axială. Aceasta este o secțiune a unui cilindru cu un plan care trece prin axa sa (Fig. 3, b).

Secțiunea transversală a unui cilindru cu un plan paralel cu baza este un cerc (Figura 3, c).

Secțiunea transversală a unui cilindru cu un plan care nu este paralel cu baza și axa acestuia este un oval (Fig. 3d).

Teorema 1. Un plan paralel cu planul bazei cilindrului își intersectează suprafața laterală de-a lungul unui cerc egal cu circumferința bazei.

Dovada. Fie β un plan paralel cu planul bazei cilindrului. Translația paralelă în direcția axei cilindrului, combinând planul β cu planul bazei cilindrului, combină secțiunea suprafeței laterale prin plan β cu circumferința bazei. Teorema a fost demonstrată.

Suprafața laterală a cilindrului.

Aria suprafeței laterale a cilindrului este considerată limita la care tinde aria suprafeței laterale a unei prisme regulate înscrise în cilindru atunci când numărul de laturi ale bazei acestei prisme crește la nesfârșit.

Teorema 2. Aria suprafeței laterale a unui cilindru este egală cu produsul dintre circumferința bazei sale și înălțimea acestuia (latura S.c = 2πRH, unde R este raza bazei cilindrului, H este înălțimea cilindrului).

A) b)
Orez. 4 - Suprafața laterală a cilindrului

Dovada.

Fie P n și H perimetrul bazei și respectiv înălțimea unei prisme n-gonale regulate înscrise în cilindru (Fig. 4, a). Atunci aria suprafeței laterale a acestei prisme este latura S.c − P n H. Să presupunem că numărul de laturi ale poligonului înscris în bază crește fără limită (Fig. 4, b). Atunci perimetrul P n tinde spre circumferința C = 2πR, unde R este raza bazei cilindrului, iar înălțimea H nu se modifică. Astfel, aria suprafeței laterale a prismei tinde spre limita de 2πRH, adică aria suprafeței laterale a cilindrului este egală cu latura S.c = 2πRH. Teorema a fost demonstrată.

Suprafața totală a cilindrului.

Suprafața totală a unui cilindru este suma ariilor suprafeței laterale și a celor două baze. Aria fiecărei baze a cilindrului este egală cu πR 2, prin urmare, aria suprafeței totale a cilindrului S total este calculată cu formula S side.c = 2πRH+ 2πR 2.

r

T 1

T

F

F 1

F

T

A)

F

b)

Orez. 5 - Suprafața totală a cilindrului

Dacă suprafața laterală a cilindrului este tăiată de-a lungul generatricei FT (Fig. 5, a) și desfășurată astfel încât toate generatoarele să fie în același plan, atunci ca rezultat obținem un dreptunghi FTT1F1, care se numește dezvoltarea suprafata laterala a cilindrului. Latura FF1 a dreptunghiului este dezvoltarea cercului bazei cilindrului, prin urmare, FF1=2πR, iar latura sa FT este egală cu generatricea cilindrului, adică FT = H (Fig. 5, b). Astfel, aria FT∙FF1=2πRH a dezvoltării cilindrului este egală cu aria suprafeței sale laterale.

1.5. Volumul cilindrului

Dacă un corp geometric este simplu, adică poate fi împărțit într-un număr finit de piramide triunghiulare, atunci volumul său este egal cu suma volumelor acestor piramide. Pentru un corp arbitrar, volumul este determinat după cum urmează.

Un corp dat are un volum V dacă există corpuri simple care îl conțin și corpuri simple conținute în el cu volume care sunt cât se dorește de puțin diferite de V.

Să aplicăm această definiție pentru a găsi volumul unui cilindru cu raza bazei R și înălțimea H.

La derivarea formulei pentru aria unui cerc, s-au construit două n-gonuri (unul care conține cercul, celălalt conținut în cerc) astfel încât ariile lor, cu o creștere nelimitată în n, să se apropie de aria lui cercul fără limită. Să construim astfel de poligoane pentru cercul de la baza cilindrului. Fie P un poligon care conține un cerc și P" un poligon conținut într-un cerc (Fig. 6).

Orez. 7 − Cilindru cu o prismă descrisă și înscrisă în el

Să construim două prisme drepte cu bazele P și P" și o înălțime H egală cu înălțimea cilindrului. Prima prismă conține un cilindru, iar a doua prismă este conținută într-un cilindru. Deoarece cu o creștere nelimitată a n, zonele bazelor prismelor se apropie nelimitat de zona bazei cilindrului S, apoi volumele lor se apropie de SH pe o perioadă nelimitată, conform definiției, volumul cilindrului

V = SH = πR 2 H.

Deci, volumul unui cilindru este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.

Sarcina 1.

Secțiunea axială a cilindrului este un pătrat cu aria Q.

Găsiți aria bazei cilindrului.

Dat: cilindru, pătrat - secțiunea axială a cilindrului, S pătrat = Q.

Găsiți: S cilindru principal

Latura pătratului este . Este egal cu diametrul bazei. Prin urmare, aria bazei este .

Răspuns: S cilindru principal. =

Sarcina 2.

Într-un cilindru este înscrisă o prismă hexagonală regulată. Aflați unghiul dintre diagonala feței sale laterale și axa cilindrului dacă raza bazei este egală cu înălțimea cilindrului.

Dat: cilindru, prismă hexagonală regulată înscrisă în cilindru, raza bazei = înălțimea cilindrului.

Aflați: unghiul dintre diagonala feței sale laterale și axa cilindrului.

Rezolvare: Fețele laterale ale prismei sunt pătrate, deoarece latura unui hexagon regulat înscris într-un cerc este egală cu raza.

Marginile prismei sunt paralele cu axa cilindrului, prin urmare unghiul dintre diagonala feței și axa cilindrului este egal cu unghiul dintre diagonală și marginea laterală. Și acest unghi este de 45°, deoarece fețele sunt pătrate.

Răspuns: unghiul dintre diagonala feței sale laterale și axa cilindrului = 45°.

Sarcina 3.

Înălțimea cilindrului este de 6 cm, raza bazei este de 5 cm.

Găsiți aria unei secțiuni trasate paralel cu axa cilindrului la o distanță de 4 cm de aceasta.

Dat: H = 6cm, R = 5cm, OE = 4cm.

Găsiți: S sec.

S sec. = KM×KS,

OE = 4 cm, KS = 6 cm.

Triunghi OKM - isoscel (OK = OM = R = 5 cm),

Triunghiul OEK este dreptunghic.

Din triunghiul OEK, conform teoremei lui Pitagora:

KM = 2EK = 2×3 = 6,

S sec. = 6×6 = 36 cm 2.

Scopul acestui eseu a fost îndeplinit; a fost luat în considerare un corp geometric precum un cilindru.

Sunt luate în considerare următoarele sarcini:

− se dă definiţia unui cilindru;

− se iau în considerare elementele cilindrului;

− au fost studiate proprietăţile cilindrului;

− se iau în considerare tipuri de secțiuni de cilindru;

− se derivă formula pentru aria unui cilindru;

− se derivă formula pentru volumul unui cilindru;

− probleme rezolvate cu ajutorul unui cilindru.

1. Pogorelov A.V Geometrie: Manual pentru clasele 10 – 11 ale instituțiilor de învățământ, 1995.

2. Beskin L.N. Stereometrie. Manual pentru profesorii de liceu, 1999.

3. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Kiseleva L. S., Poznyak E. G. Geometrie: manual pentru clasele 10-11 ale instituțiilor de învățământ, 2000.

4. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometrie: manual pentru clasele 10-11 în instituţiile de învăţământ general, 1998.

5. Kiselev A. P., Rybkin N. A. Geometrie: Stereometrie: clasele 10 – 11: Manual și carte de probleme, 2000.