Mișcarea arcului. Mișcare circulară uniformă. Perioada și frecvența

frumusetea

Mișcarea unui corp într-un cerc cu o viteză modulo constantă- aceasta este o mișcare în care corpul descrie aceleași arce pentru orice intervale egale de timp.

Se determină poziția corpului pe cerc vector rază\(~\vec r\) desenat din centrul cercului. Modulul vectorului rază este egal cu raza cercului R(Fig. 1).

În timpul Δ t corpul se mișcă dintr-un punct DAR exact LA, se deplasează \(~\Delta \vec r\) egal cu acordul AB, și parcurge o cale egală cu lungimea arcului l.

Vectorul rază este rotit cu un unghi Δ φ . Unghiul este exprimat în radiani.

Viteza \(~\vec \upsilon\) a mișcării corpului de-a lungul traiectoriei (cercului) este direcționată de-a lungul tangentei la traiectorie. Se numeste viteza liniară. Modulul de viteză liniară este egal cu raportul dintre lungimea arcului circular l la intervalul de timp Δ t pentru care se trece acest arc:

\(~\upsilon = \frac(l)(\Delta t).\)

O mărime fizică scalară egală numeric cu raportul dintre unghiul de rotație al vectorului rază și intervalul de timp în care a avut loc această rotație se numește viteză unghiulară:

\(~\omega = \frac(\Delta \varphi)(\Delta t).\)

Unitatea SI a vitezei unghiulare este radianul pe secundă (rad/s).

Cu mișcare uniformă într-un cerc, viteza unghiulară și modulul de viteză liniară sunt valori constante: ω = const; υ = const.

Poziția corpului poate fi determinată dacă modulul vectorului rază \(~\vec r\) și unghiul φ , pe care o compune cu axa Bou(coordonată unghiulară). Daca la momentul initial t 0 = 0 coordonata unghiulară este φ 0 și la timp t este egal cu φ , apoi unghiul de rotație Δ φ raza-vector în timp \(~\Delta t = t - t_0 = t\) este egal cu \(~\Delta \varphi = \varphi - \varphi_0\). Apoi din ultima formulă putem obține ecuația cinematică a mișcării unui punct material de-a lungul unui cerc:

\(~\varphi = \varphi_0 + \omega t.\)

Vă permite să determinați în orice moment poziția corpului. t. Având în vedere că \(~\Delta \varphi = \frac(l)(R)\), obținem\[~\omega = \frac(l)(R \Delta t) = \frac(\upsilon)(R) \Sageata dreapta\]

\(~\upsilon = \omega R\) - formula pentru relația dintre viteza liniară și cea unghiulară.

Interval de timp Τ , în timpul căreia corpul face o revoluție completă, se numește perioada de rotatie:

\(~T = \frac(\Delta t)(N),\)

Unde N- numarul de rotatii facute de corp in timpul Δ t.

În timpul Δ t = Τ corpul parcurge calea \(~l = 2 \pi R\). Prin urmare,

\(~\upsilon = \frac(2 \pi R)(T); \ \omega = \frac(2 \pi)(T) .\)

Valoare ν , se numește inversul perioadei, care arată câte rotații face corpul pe unitatea de timp viteză:

\(~\nu = \frac(1)(T) = \frac(N)(\Delta t).\)

Prin urmare,

\(~\upsilon = 2 \pi \nu R; \ \omega = 2 \pi \nu .\)

Literatură

Aksenovich L. A. Fizica în liceu: Teorie. Sarcini. Teste: Proc. indemnizație pentru instituțiile care oferă general. medii, educație / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vykhavanne, 2004. - C. 18-19.

Mișcarea circulară este cel mai simplu caz de mișcare curbilinie a unui corp. Când un corp se mișcă în jurul unui anumit punct, împreună cu vectorul deplasare, este convenabil să se introducă deplasarea unghiulară ∆ φ (unghiul de rotație față de centrul cercului), măsurată în radiani.

Cunoscând deplasarea unghiulară, este posibil să se calculeze lungimea arcului de cerc (cale) pe care corpul a parcurs.

∆ l = R ∆ φ

Dacă unghiul de rotație este mic, atunci ∆ l ≈ ∆ s .

Să ilustrăm ceea ce s-a spus:

Viteză unghiulară

Cu mișcarea curbilinie se introduce conceptul de viteză unghiulară ω, adică rata de modificare a unghiului de rotație.

Definiție. Viteză unghiulară

Viteza unghiulară într-un punct dat al traiectoriei este limita raportului dintre deplasarea unghiulară ∆ φ și intervalul de timp ∆ t în care a avut loc. ∆t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Unitatea de măsură pentru viteza unghiulară este radiani pe secundă (r a d s).

Există o relație între vitezele unghiulare și liniare ale corpului atunci când se deplasează într-un cerc. Formula pentru determinarea vitezei unghiulare:

Cu mișcare uniformă într-un cerc, vitezele v și ω rămân neschimbate. Se modifică doar direcția vectorului viteză liniară.

În acest caz, o mișcare uniformă de-a lungul unui cerc pe corp este afectată de accelerația centripetă sau normală, îndreptată de-a lungul razei cercului spre centrul său.

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Modulul de accelerație centripetă poate fi calculat prin formula:

a n = v 2 R = ω 2 R

Să demonstrăm aceste relații.

Să considerăm cum se modifică vectorul v → într-o perioadă mică de timp ∆ t . ∆ v → = v B → - v A → .

În punctele A și B, vectorul viteză este direcționat tangențial la cerc, în timp ce modulele de viteză în ambele puncte sunt aceleași.

Prin definiția accelerației:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Să ne uităm la imagine:

Triunghiurile OAB și BCD sunt similare. De aici rezultă că O A A B = B C C D .

Dacă valoarea unghiului ∆ φ este mică, distanța A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Ținând cont de faptul că O A \u003d R și C D \u003d ∆ v pentru triunghiurile similare considerate mai sus, obținem:

R v ∆ t = v ∆ v sau ∆ v ∆ t = v 2 R

Când ∆ φ → 0 , direcția vectorului ∆ v → = v B → - v A → se apropie de direcția spre centrul cercului. Presupunând că ∆ t → 0 , obținem:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆t → 0 ; a n → = v 2 R .

Cu mișcare uniformă de-a lungul unui cerc, modulul de accelerație rămâne constant, iar direcția vectorului se modifică în timp, menținând în același timp orientarea către centrul cercului. De aceea această accelerație se numește centripetă: vectorul în orice moment este îndreptat spre centrul cercului.

Înregistrarea accelerației centripete în formă vectorială este următoarea:

a n → = - ω 2 R → .

Aici R → este vectorul rază a unui punct dintr-un cerc cu originea în centru.

În cazul general, accelerația la deplasarea de-a lungul unui cerc constă din două componente - normală și tangențială.

Luați în considerare cazul când corpul se mișcă de-a lungul cercului neuniform. Să introducem conceptul de accelerație tangențială (tangențială). Direcția sa coincide cu direcția vitezei liniare a corpului și în fiecare punct al cercului este îndreptată tangențial la acesta.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆t → 0

Aici ∆ v τ \u003d v 2 - v 1 este modificarea modulului de viteză pe intervalul ∆ t

Direcția de accelerație completă este determinată de suma vectorială a accelerațiilor normale și tangenţiale.

Mișcarea circulară într-un plan poate fi descrisă folosind două coordonate: x și y. În fiecare moment de timp, viteza corpului poate fi descompusă în componente v x și v y .

Dacă mișcarea este uniformă, valorile v x și v y precum și coordonatele corespunzătoare se vor schimba în timp conform unei legi armonice cu o perioadă T = 2 π R v = 2 π ω

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Deoarece viteza liniară își schimbă uniform direcția, atunci mișcarea de-a lungul cercului nu poate fi numită uniformă, este uniform accelerată.

Viteză unghiulară

Alegeți un punct de pe cerc 1 . Să construim o rază. Pentru o unitate de timp, punctul se va muta la punct 2 . În acest caz, raza descrie unghiul. Viteza unghiulară este numeric egală cu unghiul de rotație al razei pe unitatea de timp.

Perioada și frecvența

Perioada de rotație T este timpul necesar corpului pentru a face o revoluție.

RPM este numărul de rotații pe secundă.

Frecvența și perioada sunt legate de relație

Relația cu viteza unghiulară

Viteza liniei

Fiecare punct de pe cerc se mișcă cu o anumită viteză. Această viteză se numește liniară. Direcția vectorului de viteză liniară coincide întotdeauna cu tangenta la cerc. De exemplu, scânteile de sub o râșniță se mișcă, repetând direcția vitezei instantanee.

Luați în considerare un punct dintr-un cerc care face o revoluție, timpul petrecut - aceasta este perioada T.Drumul pe care îl depășește punctul este circumferința cercului.

accelerație centripetă

Când se deplasează de-a lungul unui cerc, vectorul accelerație este întotdeauna perpendicular pe vectorul viteză, îndreptat către centrul cercului.

Folosind formulele anterioare, putem deriva următoarele relații

Punctele situate pe aceeași linie dreaptă care emană din centrul cercului (de exemplu, acestea pot fi puncte care se află pe spița roții) vor avea aceleași viteze unghiulare, perioadă și frecvență. Adică se vor roti în același mod, dar cu viteze liniare diferite. Cu cât punctul este mai departe de centru, cu atât se va mișca mai repede.

Legea adunării vitezelor este valabilă și pentru mișcarea de rotație. Dacă mișcarea unui corp sau a unui cadru de referință nu este uniformă, atunci legea se aplică vitezelor instantanee. De exemplu, viteza unei persoane care merge de-a lungul marginii unui carusel rotativ este egală cu suma vectorială a vitezei liniare de rotație a marginii caruselului și a vitezei persoanei.

Pământul participă la două mișcări principale de rotație: zilnică (în jurul axei sale) și orbitală (în jurul Soarelui). Perioada de rotație a Pământului în jurul Soarelui este de 1 an sau 365 de zile. Pământul se rotește în jurul axei sale de la vest la est, perioada acestei rotații este de 1 zi sau 24 de ore. Latitudinea este unghiul dintre planul ecuatorului și direcția de la centrul Pământului până la un punct de pe suprafața acestuia.

Conform celei de-a doua legi a lui Newton, cauza oricărei accelerații este o forță. Dacă un corp în mișcare experimentează o accelerație centripetă, atunci natura forțelor care provoacă această accelerație poate fi diferită. De exemplu, dacă un corp se mișcă în cerc pe o frânghie legată de el, atunci forța care acționează este forța elastică.

Dacă un corp aflat pe un disc se rotește împreună cu discul în jurul axei sale, atunci o astfel de forță este forța de frecare. Dacă forța încetează să acționeze, atunci corpul va continua să se miște în linie dreaptă

Considerăm mișcarea unui punct pe un cerc de la A la B. Viteza liniară este egală cu

Acum să trecem la un sistem fix conectat la pământ. Accelerația totală a punctului A va rămâne aceeași atât în valoare absolută, cât și în direcție, deoarece accelerația nu se modifică la trecerea de la un cadru de referință inerțial la altul. Din punctul de vedere al unui observator staționar, traiectoria punctului A nu mai este un cerc, ci o curbă mai complexă (cicloidă), de-a lungul căreia punctul se mișcă neuniform.

Printre diferite feluri mișcarea curbilinie prezintă un interes deosebit mișcarea uniformă a unui corp într-un cerc. Aceasta este cea mai simplă formă de mișcare curbilinie. În același timp, orice mișcare curbilinie complexă a unui corp într-o secțiune suficient de mică a traiectoriei sale poate fi considerată aproximativ ca o mișcare uniformă de-a lungul unui cerc.

O astfel de mișcare se realizează prin puncte de roți rotative, rotoare de turbine, sateliți artificiali care se rotesc pe orbite etc. Cu mișcare uniformă într-un cerc, valoarea numerică a vitezei rămâne constantă. Cu toate acestea, direcția vitezei în timpul unei astfel de mișcări se schimbă constant.

Viteza corpului în orice punct al traiectoriei curbilinie este direcționată tangențial la traiectoria în acest punct. Acest lucru poate fi văzut observând lucrul unei pietre de șlefuit în formă de disc: apăsând capătul unei tije de oțel pe o piatră care se rotește, puteți vedea particule fierbinți care ies de pe piatră. Aceste particule zboară cu aceeași viteză pe care o aveau în momentul separării de piatră. Direcția scânteilor coincide întotdeauna cu tangenta la cerc în punctul în care tija atinge piatra. Sprayurile de pe roțile unei mașini care derapează, de asemenea, se deplasează tangențial la cerc.

Astfel, viteza instantanee a corpului în diferite puncte ale traiectoriei curbilinie are direcții diferite, în timp ce modulul de viteză poate fi fie același peste tot, fie se poate schimba de la un punct la altul. Dar chiar dacă modulul de viteză nu se modifică, acesta nu poate fi considerat constant. La urma urmei, viteza este o mărime vectorială, iar pentru mărimile vectoriale, modulul și direcția sunt la fel de importante. De aceea mișcarea curbilinie este întotdeauna accelerată, chiar dacă modulul de viteză este constant.

Mișcarea curbilinie poate modifica modulul de viteză și direcția acestuia. Se numește mișcare curbilinie, în care modulul de viteză rămâne constant mișcare curbilinie uniformă. Accelerația în timpul unei astfel de mișcări este asociată doar cu o schimbare a direcției vectorului viteză.

Atât modulul, cât și direcția de accelerație trebuie să depindă de forma traiectoriei curbe. Cu toate acestea, nu este necesar să luăm în considerare fiecare dintre nenumăratele sale forme. Reprezentând fiecare secțiune ca un cerc separat cu o anumită rază, problema găsirii accelerației într-o mișcare uniformă curbilinie se va reduce la găsirea accelerației într-un corp care se mișcă uniform de-a lungul unui cerc.

Mișcarea uniformă într-un cerc se caracterizează printr-o perioadă și o frecvență de circulație.

Se numește timpul necesar unui corp pentru a face o revoluție perioada de circulatie.

Cu mișcare uniformă într-un cerc, perioada de revoluție este determinată prin împărțirea distanței parcurse, adică circumferința cercului la viteza de mișcare:

Se numește reciproca unei perioade frecvența circulației, notat cu litera ν . Numărul de rotații pe unitatea de timp ν numit frecvența circulației:

Datorită schimbării continue a direcției vitezei, un corp care se mișcă într-un cerc are o accelerație care caracterizează viteza de schimbare a direcției sale, valoarea numerică a vitezei în acest caz nu se modifică.

Cu o mișcare uniformă a unui corp de-a lungul unui cerc, accelerația în orice punct al acestuia este întotdeauna direcționată perpendicular pe viteza de mișcare de-a lungul razei cercului către centrul său și se numește accelerație centripetă.

Pentru a-i găsi valoarea, luați în considerare raportul dintre modificarea vectorului viteză și intervalul de timp în care a avut loc această modificare. Deoarece unghiul este foarte mic, avem

Deoarece viteza liniară își schimbă uniform direcția, atunci mișcarea de-a lungul cercului nu poate fi numită uniformă, este uniform accelerată.

Viteză unghiulară

Perioada și frecvența

Perioada de rotație T este timpul necesar corpului pentru a face o revoluție.

RPM este numărul de rotații pe secundă.

Frecvența și perioada sunt legate de relație

Relația cu viteza unghiulară

Viteza liniei

Luați în considerare un punct dintr-un cerc care face o revoluție, timpul petrecut - aceasta este perioada T. Calea parcursă de un punct este circumferința unui cerc.

accelerație centripetă

Când se deplasează de-a lungul unui cerc, vectorul accelerație este întotdeauna perpendicular pe vectorul viteză, îndreptat către centrul cercului.

Folosind formulele anterioare, putem deriva următoarele relații

Considerăm mișcarea unui punct pe un cerc de la A la B. Viteza liniară este egală cu v Ași v B respectiv. Accelerația este modificarea vitezei pe unitatea de timp. Să găsim diferența de vectori.