IV.Vector de inducție electrostatică.Flux de inducție. Fluxul vectorului de inducție electrică Teorema Gauss pentru inducția magnetică

Cel mai dificil este studiul fenomenelor electrice într-un mediu electric neomogen. Într-un astfel de mediu, ε are valori diferite, modificându-se brusc la limita dielectricilor. Să presupunem că determinăm intensitatea câmpului la interfața dintre două medii: ε 1 =1 (vid sau aer) și ε 2 =3 (lichid - ulei). La interfață, în timpul trecerii de la vid la un dielectric, intensitatea câmpului scade cu un factor de trei, iar fluxul vectorului de putere scade cu aceeași cantitate (Fig. 12.25, a). O modificare bruscă a vectorului intensității câmpului electrostatic la interfața dintre două medii creează anumite dificultăți în calcularea câmpurilor. În ceea ce privește teorema Gauss, în aceste condiții ea își pierde cu totul sensul.

Deoarece polarizabilitatea și intensitatea dielectricilor disimilați sunt diferite, numărul de linii de câmp din fiecare dielectric va fi, de asemenea, diferit. Această dificultate poate fi eliminată prin introducerea unei noi caracteristici fizice a câmpului, inducția electrică D (sau vectorul deplasare electrică ).

Conform formulei

ε 1 E 1 \u003d ε 2 E 2 \u003d E 0 \u003d const

Înmulțind toate părțile acestor egalități cu constanta electrică ε 0 obținem

ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 = ε 0 E 0 =const

Să introducem notația ε 0 εЕ=D apoi penultima relație va lua forma

D 1 = D 2 = D 0 = const

Vectorul D, egal cu produsul dintre intensitatea câmpului electric în dielectric și permitivitatea lui absolută, se numeștevector de deplasare electrică

(12.45)

Unitatea de deplasare electrică este pandantiv pe metru pătrat(C/m2).

Deplasarea electrică este o mărime vectorială, poate fi exprimată și ca

D = ε ε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

Spre deosebire de tensiunea E, deplasarea electrică D este constantă în toate dielectricii (Fig. 12.25, b). Prin urmare, este convenabil să se caracterizeze câmpul electric într-un mediu dielectric neomogen nu prin intensitatea E, ci prin vectorul de deplasare D. Vectorul D descrie câmpul electrostatic creat de sarcinile libere (adică în vid), dar cu distribuția lor în spațiu, care este în prezența unui dielectric, deoarece sarcinile legate care apar în dielectrici pot provoca o redistribuire a sarcinilor libere creând un câmp. .

Câmp vectorial este reprezentată grafic prin linii electrice de deplasare la fel ca câmpul reprezentate prin linii de forță.

Linie electrică de deplasare sunt drepte ale căror tangente în fiecare punct coincid în direcție cu vectorul deplasării electrice.

Liniile vectorului E pot începe și se termină cu orice încărcătură - libere și legate, în timp ce liniile vectoruluiD- doar cu taxe gratuite. linii vectorialeDspre deosebire de liniile de tensiune sunt continue.

Deoarece vectorul deplasării electrice nu experimentează o discontinuitate la interfața dintre două medii, atunci toate liniile de inducție care provin de la sarcinile înconjurate de o suprafață închisă vor pătrunde în el. Prin urmare, pentru vectorul deplasării electrice, teorema Gauss își păstrează complet sensul pentru un mediu dielectric neomogen.

Teorema lui Gauss pentru un câmp electrostatic într-un dielectric : curgerea vectorului electric deplasare printr-o suprafață închisă arbitrară este egal cu suma algebrică a sarcinilor închise în interiorul acestei suprafețe.

(12.47)

Fluxul vectorial al intensității câmpului electric. Lăsați un mic loc de joacă DS(Fig. 1.2) traversează liniile de forță ale câmpului electric, a cărui direcție este cu normala n colțul acestui site A. Presupunând că vectorul de tensiune E nu se modifică în cadrul site-ului DS, defini fluxul vectorului de tensiune prin intermediul site-ului DS Cum

DFE =E DS cos A.(1.3)

Deoarece densitatea liniilor de câmp este egală cu valoarea numerică a tensiunii E, apoi numărul de linii de forță care traversează zonaDS, va fi egal numeric cu valoarea fluxuluiDFEprin suprafataDS. Reprezentăm partea dreaptă a expresiei (1.3) ca produs scalar al vectorilor EȘiDS= nDS, Unde neste vectorul normal unitar la suprafațăDS. Pentru zona elementară d S expresia (1.3) ia forma

dFE = E d S

peste site S fluxul vector de intensitate este calculat ca integrală peste suprafață

Flux vectorial de inducție electrică. Fluxul vectorului de inducție electrică este determinat în mod similar cu fluxul vectorului intensității câmpului electric

dFD = D d S

Există o oarecare ambiguitate în definițiile fluxurilor, datorită faptului că pentru fiecare suprafață se pot specifica două normale în sens opus. Pentru o suprafață închisă, normala exterioară este considerată pozitivă.

Teorema lui Gauss. Considera punct pozitiv incarcare electrica q, situat în interiorul unei suprafețe închise arbitrare S(Fig. 1.3). Curgerea vectorului de inducție prin elementul de suprafață d S egală
(1.4)

Componenta d S D = d S cos Aelement de suprafață d Sîn direcția vectorului de inducțieDconsiderat ca un element al unei suprafeţe sferice de rază r, în centrul căruia există o taxăq.

Având în vedere că d S D/ r 2 egal corporale elementare colț dw, sub care din punctul în care taxaqelement de suprafață d vizibil S, transformăm expresia (1.4) în forma d FD = q d w / 4 p, de unde după integrare pe întreg spațiul care înconjoară sarcina, adică în unghiul solid de la 0 la 4p, primim

FD = q.

Fluxul vectorului de inducție electrică printr-o suprafață închisă de formă arbitrară este egal cu sarcina închisă în interiorul acestei suprafețe.

Dacă o suprafață închisă arbitrară S nu acoperă o taxă punctuală q(Fig. 1.4), apoi, după ce am construit o suprafață conică cu un vârf în punctul în care se află sarcina, împărțim suprafața S in doua parti: S 1 și S 2. Fluxul vectorial D prin suprafata S găsim ca sumă algebrică a fluxurilor prin suprafeţe S 1 și S 2:

.

Ambele suprafețe din punctul în care se află încărcarea q vizibil dintr-un unghi solid w. Deci debitele sunt egale

Deoarece atunci când calculăm debitul printr-o suprafață închisă, folosim normal exterior la suprafață, este ușor de observat că fluxul Ф 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Debit total Ф D= 0. Aceasta înseamnă că curgerea vectorului de inducție electrică printr-o suprafață închisă de formă arbitrară nu depinde de sarcinile situate în afara acestei suprafețe.

Dacă câmpul electric este creat de un sistem de sarcini punctuale q 1 , q 2 ,¼ , q n, care este acoperit de o suprafață închisă S, atunci, în conformitate cu principiul suprapunerii, fluxul vectorului de inducție prin această suprafață este definit ca suma fluxurilor create de fiecare dintre sarcini. Fluxul vectorului de inducție electrică printr-o suprafață închisă de formă arbitrară este egal cu suma algebrică a sarcinilor acoperite de această suprafață.:

Trebuie remarcat faptul că taxele q i nu trebuie neapărat să fie punct, o condiție necesară este ca regiunea încărcată să fie complet acoperită de suprafață. Dacă într-un spațiu delimitat de o suprafață închisă S, sarcina electrică este distribuită continuu, atunci trebuie considerat că fiecare volum elementar d V are o taxă. În acest caz, în partea dreaptă a expresiei (1.5), însumarea algebrică a sarcinilor este înlocuită cu integrarea peste volumul închis în interiorul suprafeței închise. S:

(1.6)

Expresia (1.6) este formularea cea mai generală Teoreme Gauss: fluxul vectorului de inducție electrică printr-o suprafață închisă de formă arbitrară este egal cu sarcina totală din volumul acoperit de această suprafață și nu depinde de sarcinile situate în afara suprafeței considerate. Teorema Gauss poate fi scrisă și pentru fluxul vectorului intensității câmpului electric:

.

O proprietate importantă a câmpului electric rezultă din teorema lui Gauss: liniile de forță încep sau se termină numai pe sarcini electrice sau merg la infinit. Subliniem încă o dată că, în ciuda faptului că intensitatea câmpului electric E și inducție electrică D depind de locația tuturor sarcinilor în spațiu, fluxurile acestor vectori printr-o suprafață închisă arbitrară S numai determinat acele sarcini care se află în interiorul suprafeței S.

Forma diferențială a teoremei Gauss. Rețineți că formă integrală teorema Gauss caracterizează relația dintre sursele câmpului electric (sarcini) și caracteristicile câmpului electric (tărie sau inducție) în volum V arbitrar, dar suficient pentru formarea de relații integrale, valoare. Prin împărțirea volumului V pentru volume mici Vi, obținem expresia

valabil atât în ​​general, cât și pentru fiecare termen. Transformăm expresia rezultată după cum urmează:

(1.7)

și luați în considerare limita la care tinde expresia din partea dreaptă a egalității, cuprinsă între paranteze, cu diviziune nelimitată a volumului V. În matematică, această limită se numește divergenţă vector (în acest caz, vectorul inducției electrice D):

Divergenta vectoriala Dîn coordonate carteziene:

Astfel, expresia (1.7) este transformată în forma:

.

Ținând cont de faptul că, cu împărțirea nelimitată, suma din partea stângă a ultimei expresii trece într-o integrală de volum, obținem

Relația rezultată trebuie să fie valabilă pentru orice volum ales în mod arbitrar V. Acest lucru este posibil numai dacă valorile integranților în fiecare punct din spațiu sunt aceleași. Prin urmare, divergența vectorului D este legată de densitatea de sarcină în același punct prin egalitate

sau pentru vectorul intensității câmpului electrostatic

Aceste egalități exprimă teorema lui Gauss în formă diferențială.

Rețineți că în procesul de trecere la forma diferențială a teoremei Gauss se obține o relație care are un caracter general:

.

Expresia se numește formula Gauss-Ostrogradsky și conectează integrala de volum a divergenței unui vector cu fluxul acestui vector printr-o suprafață închisă care limitează volumul.

Întrebări

1) Care este semnificația fizică a teoremei Gauss pentru un câmp electrostatic în vid

2) Există o încărcare punctiformă în centrul cubuluiq. Care este fluxul vectorului E:

a) prin întreaga suprafață a cubului; b) printr-una din feţele cubului.

Se vor schimba răspunsurile dacă:

a) sarcina nu se află în centrul cubului, ci în interiorul acestuia ; b) sarcina este în afara cubului.

3) Ce este densitatea de sarcină liniară, de suprafață, de volum.

4) Indicați relația dintre volum și densitatea de sarcină la suprafață.

5) Câmpul din afara planurilor infinite paralele încărcate opus și uniform poate fi diferit de zero?

6) Un dipol electric este plasat în interiorul unei suprafețe închise. Care este curgerea prin această suprafață

Teorema lui Gauss pentru inducția electrică (deplasarea electrică)[

Pentru un câmp într-un mediu dielectric, teorema electrostatică a lui Gauss poate fi scrisă într-un alt mod (alternativ) - prin curgerea vectorului de deplasare electrică (inducție electrică). În acest caz, formularea teoremei este următoarea: fluxul vectorului deplasării electrice printr-o suprafață închisă este proporțional cu sarcina electrică liberă din interiorul acestei suprafețe:

Sub formă diferențială:

Teorema lui Gauss pentru inducția magnetică

Fluxul vectorului de inducție magnetică prin orice suprafață închisă este zero:

sau sub formă diferenţială

Acest lucru este echivalent cu faptul că în natură nu există „sarcini magnetice” (monopoli) care să creeze un câmp magnetic, la fel cum sarcinile electrice creează un câmp electric. Cu alte cuvinte, teorema Gauss pentru inducția magnetică arată că câmpul magnetic este (complet) turbioare.

Teorema lui Gauss pentru gravitația newtoniană

Pentru intensitatea câmpului gravitației newtoniene (accelerarea căderii libere), teorema lui Gauss coincide practic cu cea din electrostatică, cu excepția constantelor (totuși, acestea depind încă de o alegere arbitrară a sistemului de unități) și, cel mai important, semnul. :

Unde g- intensitatea câmpului gravitațional, M- sarcina gravitațională (adică masa) în interiorul suprafeței S, ρ - densitatea masei, G este constanta newtoniană.

conductoare într-un câmp electric. Câmpul din interiorul conductorului și de pe suprafața acestuia.

Conductorii sunt corpuri prin care sarcinile electrice pot trece de la un corp încărcat la unul neîncărcat. Capacitatea conductorilor de a trece sarcini electrice prin ei se explică prin prezența purtătorilor de sarcină liberi în ei. Conductori - corpuri metalice în stare solidă și lichidă, soluții lichide de electroliți. Sarcinile libere ale unui conductor introdus într-un câmp electric încep să se miște sub acțiunea acestuia. Redistribuirea sarcinilor determină o modificare a câmpului electric. Când intensitatea câmpului electric din conductor devine zero, electronii se opresc din mișcare. Fenomenul de separare a sarcinilor opuse într-un conductor plasat într-un câmp electric se numește inducție electrostatică. Nu există câmp electric în interiorul conductorului. Acesta este utilizat pentru protecția electrostatică - protecție cu conductori metalici de un câmp electric. Suprafața unui corp conductor de orice formă într-un câmp electric este o suprafață echipotențială.

Condensatoare

Pentru a obține dispozitive care, la un potențial mic față de mediu, ar acumula asupra lor (condensează) sarcini de mărime vizibilă, se folosesc de faptul că capacitatea electrică a unui conductor crește atunci când alte corpuri se apropie de el. Într-adevăr, sub acţiunea unui câmp creat de conductoare încărcate, asupra unui corp adus acestuia apar sarcini induse (pe un conductor) sau legate (pe un dielectric) (fig. 15.5). Sarcinile care au semnul opus sarcinii conductorului q sunt situate mai aproape de conductor decât cele cu același nume cu q și, prin urmare, au o mare influență asupra potențialului acestuia.

Prin urmare, atunci când un corp este adus la un conductor încărcat, puterea câmpului scade și, în consecință, potențialul conductorului scade. Conform ecuației, aceasta înseamnă o creștere a capacității conductorului.

Condensatorul este format din doi conductori (plăci) (Fig. 15.6), separate printr-un strat dielectric. Atunci când unui conductor i se aplică o anumită diferență de potențial, plăcile acestuia sunt încărcate cu sarcini egale de semn opus. Capacitatea electrică a unui condensator este înțeleasă ca o mărime fizică proporțională cu sarcina q și invers proporțională cu diferența de potențial dintre plăci.

Să determinăm capacitatea unui condensator plat.

Dacă aria plăcii este S, iar sarcina de pe aceasta este q, atunci intensitatea câmpului dintre plăci

Pe de altă parte, diferența de potențial dintre plăci de unde

Energia unui sistem de sarcini punctiforme, un conductor încărcat și un condensator.

Orice sistem de sarcini are o anumită energie potențială de interacțiune, care este egală cu munca cheltuită pentru crearea acestui sistem. Energia unui sistem de sarcini punctiforme q 1 , q 2 , q 3 ,… q N este definită după cum urmează:

Unde φ 1 - potențialul câmpului electric creat de toate sarcinile cu excepția q 1 în punctul în care se află taxa q 1 etc. Dacă se modifică configurația sistemului de sarcini, atunci se schimbă și energia sistemului. Pentru a schimba configurația sistemului, trebuie să se lucreze.

Energia potențială a unui sistem de sarcini punctiforme poate fi calculată în alt mod. Energia potențială a două sarcini punctiforme q 1 , q 2 la distanță unul de celălalt este egal. Dacă există mai multe sarcini, atunci energia potențială a acestui sistem de sarcini poate fi definită ca suma energiilor potențiale ale tuturor perechilor de sarcini care pot fi compilate pentru acest sistem. Deci, pentru un sistem de trei sarcini pozitive, energia sistemului este egală cu

Energia unui conductor solitar încărcat și a unui condensator

Dacă un conductor solitar are o sarcină q, atunci există un câmp electric în jurul lui, al cărui potențial pe suprafața conductorului este , iar capacitatea este C. Să creștem sarcina cu dq. Când transferați sarcina dq de la infinit, lucrați egal cu . Dar potențialul câmpului electrostatic al unui conductor dat la infinit este egal cu zero. Apoi

Când sarcina dq este transferată de la conductor la infinit, același lucru este efectuat de forțele câmpului electrostatic. In consecinta, cu o crestere a sarcinii conductorului cu dq, energia potentiala a campului creste, i.e.

Integrând această expresie, găsim energia potențială a câmpului electrostatic al unui conductor încărcat pe măsură ce sarcina acestuia crește de la zero la q:

Aplicând relația , se pot obține următoarele expresii pentru energia potențială W:

Pentru un condensator încărcat, diferența de potențial (tensiune) este deci egală cu raportul pentru energia totală a câmpului său electrostatic are forma

Scopul lecției: Teorema Ostrogradsky–Gauss a fost stabilită de matematicianul și mecanicul rus Mihail Vasilievici Ostrogradsky sub forma unei teoreme matematice generale și de matematicianul german Carl Friedrich Gauss. Această teoremă poate fi folosită în studiul fizicii la nivel de profil, deoarece permite calcule mai raționale ale câmpurilor electrice.

Pentru a deriva teorema Ostrogradsky–Gauss, este necesar să se introducă concepte auxiliare atât de importante precum vectorul de inducție electrică și fluxul acestui vector Ф.

Se știe că câmpul electrostatic este adesea descris folosind linii de forță. Să presupunem că determinăm tensiunea într-un punct situat pe interfața dintre două medii: aer (=1) și apă (=81). În acest moment, la trecerea din aer în apă, intensitatea câmpului electric conform formulei va scădea de 81 de ori. Dacă neglijăm conductivitatea apei, atunci numărul liniilor de forță va scădea cu același factor. La rezolvarea diferitelor probleme de calcul al câmpurilor se creează anumite inconveniente din cauza discontinuității vectorului de rezistență la interfața dintre medii și pe dielectrici. Pentru a le evita, se introduce un nou vector, care se numește vectorul de inducție electrică:

Vectorul de inducție electrică este egal cu produsul dintre vector și constanta electrică și permitivitatea mediului într-un punct dat.

Evident, la trecerea prin limita a doi dielectrici, numărul liniilor electrice de inducție nu se modifică pentru câmpul unei sarcini punctiforme (1).

În sistemul SI, vectorul de inducție electrică este măsurat în coulombs pe metru pătrat (C / m 2). Expresia (1) arată că valoarea numerică a vectorului nu depinde de proprietățile mediului. Câmpul vectorial este reprezentat grafic în mod similar cu câmpul de tensiune (de exemplu, pentru o sarcină punctiformă, vezi Fig. 1). Pentru un câmp vectorial are loc principiul suprapunerii:

Flux de inducție electrică

Vectorul de inducție electrică caracterizează câmpul electric în fiecare punct din spațiu. Mai poate fi introdusă o cantitate, în funcție de valorile vectorului nu într-un punct, ci în toate punctele suprafeței delimitate de un contur plat închis.

Pentru a face acest lucru, luați în considerare un conductor plat închis (circuit) cu o suprafață S, plasat într-un câmp electric uniform. Normala la planul conductor formează un unghi cu direcția vectorului de inducție electrică (Fig. 2).

Fluxul inducției electrice prin suprafața S se numește valoare egală cu produsul dintre modulul vectorului de inducție și aria S și cosinusul unghiului dintre vector și normală:

Această teoremă vă permite să găsiți fluxul vectorului de inducție electrică printr-o suprafață închisă, în interiorul căreia se află sarcini electrice.

Fie mai întâi o sarcină punctiformă q să fie plasată în centrul unei sfere de rază arbitrară r 1 (Fig. 3). Apoi ; . Să calculăm fluxul total de inducție care trece prin întreaga suprafață a acestei sfere: ; (). Dacă luăm o sferă cu raza , atunci și Ф = q. Dacă desenăm o sferă care nu cuprinde sarcina q, atunci debitul total Ф \u003d 0 (deoarece fiecare linie va intra pe suprafață, iar altă dată o va părăsi).

Astfel, Ф = q dacă sarcina este situată în interiorul suprafeței închise și Ф = 0 dacă sarcina este situată în afara suprafeței închise. Fluxul F nu depinde de forma suprafeței. De asemenea, nu depinde de aranjarea sarcinilor în interiorul suprafeței. Aceasta înseamnă că rezultatul obținut este valabil nu numai pentru o sarcină, ci și pentru orice număr de sarcini situate arbitrar, dacă înțelegem prin q doar suma algebrică a tuturor sarcinilor situate în interiorul suprafeței.

Teorema lui Gauss: fluxul de inducție electrică prin orice suprafață închisă este egal cu suma algebrică a tuturor sarcinilor din interiorul suprafeței: .

Din formula se poate observa că dimensiunea fluxului electric este aceeași cu cea a sarcinii electrice. Prin urmare, unitatea fluxului de inducție electrică este pandantivul (C).

Notă: dacă câmpul este neomogen și suprafața prin care se determină curgerea nu este un plan, atunci această suprafață poate fi împărțită în elemente infinitezimale ds și fiecare element poate fi considerat plat, iar câmpul din apropiere este omogen. Prin urmare, pentru orice câmp electric, fluxul vectorului de inducție electrică prin elementul de suprafață este: dФ=. Ca rezultat al integrării, fluxul total printr-o suprafață închisă S în orice câmp electric neomogen este egal cu: , unde q este suma algebrică a tuturor sarcinilor înconjurate de o suprafață închisă S. Exprimăm ultima ecuație în funcție de intensitatea câmpului electric (pentru vid): .

Aceasta este una dintre ecuațiile fundamentale ale lui Maxwell pentru câmpul electromagnetic, scrisă în formă integrală. Arată că sursa unui câmp electric constant în timp sunt sarcini electrice nemișcate.

Să determinăm acum, folosind teorema Ostrogradsky-Gauss, intensitatea câmpului pentru un număr de cazuri.

1. Câmp electric al unei suprafețe sferice încărcate uniform.

O sferă cu raza R. Fie sarcina +q distribuită uniform pe o suprafață sferică cu raza R. Distribuția sarcinii pe suprafață este caracterizată de densitatea sarcinii de suprafață (Fig. 4). Densitatea de sarcină la suprafață este raportul dintre sarcină și suprafața pe care este distribuită. . În SI.

Să determinăm puterea câmpului:

a) în afara suprafeței sferice,
b) în interiorul unei suprafeţe sferice.

a) Să luăm punctul A, care se află la o distanță r>R de centrul suprafeței sferice încărcate. Să desenăm mental prin ea o suprafață sferică S de raza r, având un centru comun cu o suprafață sferică încărcată. Din considerente de simetrie este evident că liniile de forță sunt drepte radiale perpendiculare pe suprafața S și pătrund uniform în această suprafață, adică. tensiunea în toate punctele acestei suprafețe este constantă ca mărime. Să aplicăm teorema Ostrogradsky-Gauss acestei suprafețe sferice S de rază r. Deci, fluxul total prin sferă este N = E? S; N=E. Pe cealaltă parte. Echivalează: . Prin urmare: pentru r>R.

Astfel: tensiunea creată de o suprafață sferică încărcată uniform în afara ei este aceeași ca și când întreaga sarcină ar fi în centrul ei (Fig. 5).

b) Să găsim intensitatea câmpului în punctele aflate în interiorul suprafeței sferice încărcate. Să luăm un punct B separat de centrul sferei la distanță . Atunci, E = 0 pentru r

2. Intensitatea câmpului unui plan infinit încărcat uniform

Luați în considerare câmpul electric creat de un plan infinit încărcat cu o constantă de densitate în toate punctele planului. Din motive de simetrie, putem presupune că liniile de tensiune sunt perpendiculare pe plan și direcționate de la acesta în ambele direcții (Fig. 6).

Alegem un punct A situat în dreapta planului și calculăm în acest punct folosind teorema Ostrogradsky-Gauss. Ca suprafață închisă, alegem o suprafață cilindrică astfel încât suprafața laterală a cilindrului să fie paralelă cu liniile de forță, iar bazele sale și să fie paralele cu planul, iar baza să treacă prin punctul A (Fig. 7). Să calculăm fluxul de tensiune prin suprafața cilindrică considerată. Debitul prin suprafața laterală este 0, deoarece liniile de tensiune sunt paralele cu suprafața laterală. Atunci debitul total este suma debitelor și care trec prin bazele cilindrului și . Ambele fluxuri sunt pozitive =+; =; =; ==; N=2.

- o secțiune a planului situată în interiorul suprafeței cilindrice selectate. Sarcina din interiorul acestei suprafețe este q.

Apoi ; - poate fi luată ca sarcină punctiformă) cu punctul A. Pentru a afla câmpul total este necesar să se adună geometric toate câmpurile create de fiecare element: ; .

Luați în considerare modul în care valoarea vectorului E se modifică la interfața dintre două medii, de exemplu, aer (ε 1) și apă (ε = 81). Intensitatea câmpului în apă scade brusc cu un factor de 81. Acest comportament vectorial E creează anumite inconveniente la calcularea câmpurilor în diverse medii. Pentru a evita acest inconvenient, se introduce un nou vector D este vectorul de inducție sau deplasare electrică a câmpului. Comunicarea vectorilor DȘi E are forma

D = ε ε 0 E.

Evident, pentru câmpul unei sarcini punctuale, deplasarea electrică va fi egală cu

Este ușor de observat că deplasarea electrică este măsurată în C/m 2 , nu depinde de proprietăți și este reprezentată grafic prin linii similare liniilor de tensiune.

Direcția liniilor câmpului caracterizează direcția câmpului în spațiu (desigur, linii de forță nu există, sunt introduse pentru comoditatea ilustrației) sau direcția vectorului intensității câmpului. Cu ajutorul liniilor de tensiune, este posibil să se caracterizeze nu numai direcția, ci și mărimea intensității câmpului. Pentru a face acest lucru, am convenit să le efectuăm cu o anumită densitate, astfel încât numărul liniilor de tensiune care pătrund într-o suprafață unitară, perpendicular pe liniile de tensiune, să fie proporțional cu modulul vectorului. E(Fig. 78). Apoi numărul de linii care pătrund în zona elementară dS, normala la care n formează un unghi α cu vectorul E, este egal cu E dScos α = E n dS,

unde E n - componenta vectoriala Eîn direcția normalului n. Valoarea dФ Е = E n dS = E d S numit fluxul vectorului de tensiune prin tampon d S(d S= dS n).

Pentru o suprafață închisă arbitrară S, curgerea vectorului E prin aceasta suprafata este

O expresie similară are fluxul vectorului deplasare electrică Ф D

.

Teorema Ostrogradsky-Gauss

Această teoremă vă permite să determinați fluxul vectorilor E și D din orice număr de sarcini. Luați o sarcină punctiformă Q și definiți fluxul vectorului E printr-o suprafață sferică de rază r, în centrul căreia se află.

Pentru o suprafață sferică α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 și

Ф E = E · 4 πr 2 .

Înlocuind expresia pentru E obținem

Astfel, din fiecare sarcină punctiformă provine fluxul Ф E al vectorului E egal cu Q/ ε 0 . Generalizând această concluzie la cazul general al unui număr arbitrar de sarcini punctiforme, dăm formularea teoremei: fluxul total al vectorului E printr-o suprafață închisă de formă arbitrară este numeric egală cu suma algebrică a sarcinilor electrice cuprinse în interiorul acestei suprafețe, împărțită la ε 0 , i.e.

Pentru fluxul vectorial de deplasare electrică D puteți obține o formulă similară

curgerea vectorului de inducție printr-o suprafață închisă este egală cu suma algebrică a sarcinilor electrice acoperite de această suprafață.

Dacă luăm o suprafață închisă care nu cuprinde încărcătura, atunci fiecare linie EȘi D va traversa această suprafață de două ori - la intrare și la ieșire, astfel încât debitul total se dovedește a fi zero. Aici este necesar să se țină cont de suma algebrică a liniilor, de intrare și de ieșire.

Aplicarea teoremei Ostrogradsky-Gauss pentru calcularea câmpurilor electrice generate de avioane, o sferă și un cilindru

O suprafață sferică cu raza R poartă o sarcină Q distribuită uniform pe suprafața cu densitatea suprafeței σ

Să luăm un punct A din afara sferei la o distanță r de centru și să desenăm mental o sferă cu raza r simetrică cu cea încărcată (Fig. 79). Aria sa este S = 4 πr 2 . Fluxul vectorului E va fi egal cu

Conform teoremei Ostrogradsky-Gauss
, prin urmare,
ținând cont că Q = σ 4 πr 2 , obținem

Pentru punctele situate pe suprafața unei sfere (R = r)

D Pentru punctele din interiorul unei sfere goale (nu există nicio sarcină în interiorul sferei), E = 0.

2 . Suprafață cilindrică goală cu raza R și lungime lîncărcat cu o densitate de sarcină de suprafață constantă
(Fig. 80). Să desenăm o suprafață cilindrică coaxială cu raza r > R.

Fluxul vectorial E prin aceasta suprafata

Conform teoremei lui Gauss

Echivalând părțile corecte ale egalităților date, obținem

.

Dacă este dată densitatea de sarcină liniară a unui cilindru (sau a unui filet subțire).
Acea

3. Câmp de planuri infinite cu densitatea de sarcină de suprafață σ (Fig. 81).

Luați în considerare câmpul creat de un plan infinit. Din considerente de simetrie rezultă că intensitatea în orice punct al câmpului are o direcție perpendiculară pe plan.

În punctele simetrice, E va fi aceeași ca mărime și opusă ca direcție.

Să construim mental suprafața unui cilindru cu baza ΔS. Apoi, prin fiecare dintre bazele cilindrului, va ieși un flux

F E = E ∆S, iar debitul total prin suprafața cilindrică va fi egal cu F E = 2E ∆S.

În interiorul suprafeței există o sarcină Q = σ · ΔS. Conform teoremei lui Gauss,

Unde

Rezultatul obtinut nu depinde de inaltimea cilindrului selectat. Astfel, intensitatea câmpului E la orice distanță este aceeași ca mărime.

Pentru două plane încărcate opus cu aceeași densitate de sarcină de suprafață σ, conform principiului suprapunerii, în afara spațiului dintre planuri, intensitatea câmpului este egală cu zero E = 0, iar în spațiul dintre plane
(Fig. 82a). Dacă avioanele sunt încărcate cu sarcini similare cu aceeași densitate de sarcină de suprafață, se observă imaginea inversă (Fig. 82b). În spațiul dintre planele E=0, iar în spațiul din afara planurilor
.