Jednostki odległości i długości Przelicznik jednostek powierzchni Przelicznik Dołącz © 2011-2017 Mikhail Dovzhik Kopiowanie materiałów jest zabronione. W kalkulatorze online możesz używać wartości w tych samych jednostkach miary! Jeśli masz problemy z przeliczaniem jednostek miary, użyj przelicznika jednostek odległości i długości oraz przelicznika jednostek powierzchni. Dodatkowe funkcje kalkulatora powierzchni czworokątnej

• Możesz poruszać się między polami wprowadzania, naciskając prawy i lewy klawisz na klawiaturze.

Teoria. Obszar czworoboku Czworokąt to figura geometryczna składająca się z czterech punktów (wierzchołków), z których żadne trzy nie leżą na tej samej linii prostej, oraz czterech segmentów (boków) łączących te punkty parami. Czworokąt nazywamy wypukłym, jeśli odcinek łączący dowolne dwa punkty tego czworokąta będzie się w nim znajdował.

Jak znaleźć obszar wielokąta?

Wzór na określenie obszaru określa się, biorąc każdą krawędź wielokąta AB i obliczając obszar trójkąta ABO z wierzchołkiem na początku O, poprzez współrzędne wierzchołków. Podczas chodzenia wokół wielokąta powstają trójkąty, w tym wewnątrz wielokąta i znajdujące się poza nim. Różnica między sumą tych obszarów to powierzchnia samego wielokąta.

Dlatego formuła nazywana jest formułą geodety, ponieważ „kartograf” jest u źródeł; jeśli porusza się po obszarze w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, obszar jest dodawany, jeśli znajduje się po lewej stronie i odejmowany, jeśli znajduje się po prawej stronie pod względem początku. Wzór powierzchni obowiązuje dla dowolnego nieprzecinającego się (prostego) wielokąta, który może być wypukły lub wklęsły. Zawartość

• 1 Definicja
• 2 przykłady
• 3 Bardziej złożony przykład
• 4 Wyjaśnienie nazwy
• 5 Zobacz

Obszar wielokąta

Uwaga

Mogłoby być:

• trójkąt;
• czworoboczny;
• pięć lub sześciokąt i tak dalej.

Taką figurę z pewnością będą charakteryzować dwie pozycje:

1. Sąsiednie boki nie należą do tej samej linii.
2. Niesąsiadujące nie mają punktów wspólnych, to znaczy nie przecinają się.

Aby zrozumieć, które wierzchołki sąsiadują ze sobą, musisz sprawdzić, czy należą do tej samej strony. Jeśli tak, to sąsiednie. W przeciwnym razie można je połączyć segmentem, który należy nazwać przekątną. Można je rysować tylko w wielokątach, które mają więcej niż trzy wierzchołki.

Jakie ich rodzaje istnieją? Wielokąt z więcej niż czterema rogami może być wypukły lub wklęsły. Różnica w tym ostatnim polega na tym, że niektóre z jego wierzchołków mogą leżeć po różnych stronach linii prostej poprowadzonej przez dowolny bok wielokąta.

Jak znaleźć obszar sześciokąta foremnego i nieregularnego?

• Znając długość boku, pomnóż go przez 6 i uzyskaj obwód sześciokąta: 10 cm x 6 \u003d 60 cm
• Zastąp wyniki w naszym wzorze:
Powierzchnia \u003d 1/2 * obwód * apothema Powierzchnia \u003d ½ * 60 cm * 5√3 Rozwiąż: Teraz pozostaje uprościć odpowiedź, aby pozbyć się pierwiastków kwadratowych i wskazać wynik w centymetrach kwadratowych: ½ * 60 cm * 5 √3 cm \u003d 30 * 5√3 cm =150 √3 cm =259,8 cm² Film o tym, jak znaleźć obszar sześciokąta foremnego Istnieje kilka opcji określania obszaru nieregularnego sześciokąta:

• metoda trapezowa.
• Metoda obliczania powierzchni nieregularnych wielokątów za pomocą osi współrzędnych.
• Metoda dzielenia sześciokąta na inne kształty.

W zależności od początkowych danych, które znasz, wybierana jest odpowiednia metoda.

Ważny

Niektóre nieregularne sześciokąty składają się z dwóch równoległoboków. Aby określić obszar równoległoboku, pomnóż jego długość przez jego szerokość, a następnie dodaj dwa znane już obszary. Film o tym, jak znaleźć obszar wielokąta Sześciokąt równoboczny ma sześć równych boków i jest sześciokątem foremnym.

Powierzchnia sześciokąta równobocznego jest równa 6 obszarom trójkątów, na które podzielona jest regularna figura sześciokątna. Wszystkie trójkąty w sześciokącie foremnym są równe, więc aby znaleźć pole takiego sześciokąta, wystarczy znać pole co najmniej jednego trójkąta. Aby znaleźć pole sześciokąta równobocznego, stosuje się oczywiście wzór na pole sześciokąta foremnego, opisany powyżej.

404 Nie Znaleziono

Dekorowanie domu, ubieranie, rysowanie obrazów przyczyniły się do procesu powstawania i gromadzenia informacji z dziedziny geometrii, które ówcześni ludzie pozyskiwali empirycznie, kawałek po kawałku i przekazywali z pokolenia na pokolenie. Dziś znajomość geometrii jest niezbędna w życiu codziennym wycinaczowi, budowniczemu, architektowi i każdemu zwykłemu człowiekowi. Dlatego musisz nauczyć się obliczać obszar różnych figur i pamiętać, że każda z formuł może być później przydatna w praktyce, w tym wzór na sześciokąt foremny.
Sześciokąt to taka figura wielokątna, której łączna liczba kątów wynosi sześć. Sześciokąt foremny to sześciokątna figura o równych bokach. Kąty sześciokąta foremnego również są sobie równe.
W życiu codziennym często możemy spotkać przedmioty, które mają kształt foremnego sześciokąta.

Kalkulator nieregularnego obszaru wielokąta po bokach

Będziesz potrzebować

• - ruletka;
• — dalmierz elektroniczny;
• - kartka papieru i ołówek;
• - kalkulator.

Instrukcja 1 Jeśli potrzebujesz całkowitej powierzchni mieszkania lub oddzielnego pokoju, po prostu przeczytaj paszport techniczny mieszkania lub domu, pokazuje on materiał filmowy z każdego pokoju i całkowity materiał z mieszkania. 2 Aby zmierzyć powierzchnię prostokątnego lub kwadratowego pokoju, weź taśmę mierniczą lub dalmierz elektroniczny i zmierz długość ścian. Podczas pomiaru odległości za pomocą dalmierza pamiętaj, aby kierunek wiązki był prostopadły, w przeciwnym razie wyniki pomiarów mogą być zniekształcone. 3 Następnie pomnóż uzyskaną długość (w metrach) pomieszczenia przez szerokość (w metrach). Wynikowa wartość będzie powierzchnią podłogi, mierzoną w metrach kwadratowych.

Wzór na obszar Gaussa

Jeśli potrzebujesz obliczyć powierzchnię podłogi bardziej złożonej konstrukcji, takiej jak pokój pięciokątny lub pokój z okrągłym łukiem, naszkicuj schematyczny szkic na kartce papieru. Następnie podziel złożony kształt na kilka prostych, takich jak kwadrat i trójkąt lub prostokąt i półkole. Zmierz za pomocą taśmy mierniczej lub dalmierza wielkość wszystkich boków otrzymanych figur (dla okręgu musisz znać średnicę) i wprowadź wyniki na swój rysunek.

5 Teraz oblicz obszar każdego kształtu osobno. Powierzchnię prostokątów i kwadratów oblicza się mnożąc boki. Aby obliczyć powierzchnię koła, podziel średnicę na pół i kwadrat (pomnóż ją przez siebie), a następnie pomnóż wynik przez 3,14.
Jeśli chcesz tylko połowę okręgu, podziel wynikowy obszar na pół. Aby obliczyć obszar trójkąta, znajdź P, dzieląc sumę wszystkich boków przez 2.

Wzór do obliczania powierzchni nieregularnego wielokąta

Jeśli punkty są numerowane kolejno w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, to wyznaczniki w powyższym wzorze są dodatnie i moduł w nim można pominąć; jeśli są ponumerowane zgodnie z ruchem wskazówek zegara, wyznaczniki będą ujemne. Dzieje się tak dlatego, że formuła może być postrzegana jako szczególny przypadek twierdzenia Greena. Aby zastosować wzór, musisz znać współrzędne wierzchołków wielokąta na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Na przykład weźmy trójkąt o współrzędnych ((2, 1), (4, 5), (7, 8)). Weź pierwszą współrzędną x pierwszego wierzchołka i pomnóż ją przez współrzędną y drugiego wierzchołka, a następnie pomnóż współrzędną x drugiego wierzchołka przez współrzędną y trzeciego. Powtarzamy tę procedurę dla wszystkich wierzchołków. Wynik można określić za pomocą następującego wzoru: A tri.

Wzór na obliczenie powierzchni nieregularnego czworoboku

A) _(\text(tri.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|) gdzie xi i yi oznaczają odpowiednią współrzędną. Ten wzór można uzyskać, otwierając nawiasy w ogólnym wzorze dla przypadku n = 3. Korzystając z tego wzoru, można stwierdzić, że powierzchnia trójkąta jest równa połowie sumy 10 + 32 + 7 - 4 - 35 - 16, co daje 3. Liczba zmiennych we wzorze zależy od liczby boków wielokąta. Na przykład wzór na pole pięciokąta będzie wykorzystywał zmienne do x5 i y5: Pentagon. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | (\displaystyle \mathbf (A) _(\text(pent.))=(1 \ponad 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4 )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5 )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A dla czwórki - zmienne do x4 i y4: Czwórka.

Sześciokąt lub sześciokąt to regularny wielokąt, którego boki są sobie równe, a każdy kąt ma dokładnie 120 stopni. Sześciokąt jest czasem spotykany w codziennym życiu człowieka, więc może być konieczne obliczenie jego powierzchni nie tylko w problemach szkolnych, ale także w prawdziwym życiu.

wypukły sześciokąt

Heskagon jest odpowiednio regularnym wielokątem wypukłym, wszystkie jego kąty są równe, wszystkie boki są równe, a jeśli narysujesz segment przez dwa sąsiednie wierzchołki, wtedy cała figura będzie po jednej stronie tego segmentu. Jak w każdym zwykłym n-gonie, wokół sześciokąta można opisać okrąg lub wpisać do niego. Główną cechą sześciokąta jest to, że długość promienia opisanego okręgu pokrywa się z długością boku wielokąta. Dzięki tej właściwości możesz łatwo znaleźć powierzchnię sześciokąta za pomocą wzoru:

S \u003d 2,59 R 2 \u003d 2,59 a 2.

Dodatkowo promień okręgu wpisanego jest powiązany z bokiem figury jako:

Wynika z tego, że pole sześciokąta można obliczyć za pomocą jednej z trzech zmiennych do wyboru.

Heksagram

Gwiaździsty sześciokąt foremny pojawia się przed nami w postaci sześcioramiennej gwiazdy. Taka figura powstaje przez nałożenie na siebie dwóch trójkątów równobocznych. Najbardziej znanym prawdziwym heksagramem jest Gwiazda Dawida - symbol narodu żydowskiego.

Liczby sześciokątne

W teorii liczb istnieją liczby figuratywne związane z pewnymi kształtami geometrycznymi. Najczęściej używane są liczby trójkątne i kwadratowe, a także czworościenne i piramidalne, za pomocą których można łatwo rozłożyć kształty geometryczne za pomocą rzeczywistych obiektów. Na przykład liczby piramidalne podpowiedzą, jak ułożyć kule armatnie w stabilną piramidę. Istnieją również liczby sześciokątne, które określają liczbę punktów wymaganych do zbudowania sześciokąta.

Sześciokąt w rzeczywistości

Sześciokąty są często widywane w prawdziwym życiu. Na przykład odcinki nakrętek lub ołówków są sześciokątne, co zapewnia wygodny chwyt przedmiotu. Sześciokąt to efektywna figura geometryczna zdolna do układania płaszczyzny bez szczelin i zakładek. Dlatego dekoracyjne materiały wykończeniowe, na przykład płytki i płyty chodnikowe lub płyty gipsowo-kartonowe, często mają kształt sześciokątny.

Skuteczność sześciokąta sprawia, że ​​jest on popularny również w naturze. Plastry miodu mają dokładnie sześciokątny kształt, dzięki czemu przestrzeń ula jest wypełniona bez przerw. Innym przykładem sześciokątnej płytki samolotu jest Szlak Olbrzyma, pomnik przyrody powstały podczas erupcji wulkanu. Popiół wulkaniczny został skompresowany w sześciokątne kolumny, które brukowały powierzchnię wybrzeża Irlandii Północnej.

Pakowanie kręgów w samolocie

I trochę więcej o skuteczności sześciokąta. Pakowanie kulek to klasyczny problem z geometrią kombinatoryczną, który wymaga znalezienia najlepszego sposobu pakowania nie przecinających się kulek. W praktyce zadanie to przeradza się w logistyczny problem pakowania pomarańczy, jabłek, kul armatnich, czy jakiegokolwiek innego kulistego przedmiotu, który musi być zapakowany jak najściślej. Heskagon jest rozwiązaniem tego problemu.

Wiadomo, że najefektywniejszym układem okręgów w przestrzeni dwuwymiarowej jest umieszczenie środków okręgów na wierzchołkach sześciokątów wypełniających płaszczyznę bez przerw. W rzeczywistości 3D problem umieszczania kulek rozwiązywany jest poprzez układanie obiektów heksagonalnie.

Korzystając z naszego kalkulatora, możesz obliczyć powierzchnię sześciokąta foremnego, znając jego bok lub promienie odpowiednich okręgów. Spróbujmy obliczyć pola sześciokątów na prawdziwych przykładach.

Przykłady z życia

olbrzymi sześciokąt

Olbrzymi sześciokąt to wyjątkowe zjawisko atmosferyczne na Saturnie, które wygląda jak wspaniała trąba powietrzna w kształcie regularnego sześciokąta. Wiadomo, że bok gigantycznego sześciokąta ma 13 800 km, dzięki czemu możemy określić obszar „chmury”. Aby to zrobić, po prostu wprowadź wartość strony do formularza kalkulatora i uzyskaj wynik:

Tak więc powierzchnia wiru atmosferycznego na Saturnie wynosi około 494 777 633 kilometrów kwadratowych. Naprawdę imponujące.

Szachy sześciokątne

Wszyscy jesteśmy przyzwyczajeni do pola szachowego podzielonego na 64 kwadratowe komórki. Istnieją jednak również szachy sześciokątne, których pole gry jest podzielone na 91 sześciokątów foremnych. Określmy obszar planszy dla sześciokątnej wersji słynnej gry. Niech bok komórki ma 2 centymetry. Obszarem jednej komórki gry będzie:

Wtedy powierzchnia całej planszy będzie równa 91 × 10,39 = 945,49 centymetrów kwadratowych.

Wniosek

Sześciokąt często znajduje się w rzeczywistości, chociaż tego nie zauważamy. Skorzystaj z naszego kalkulatora online, aby obliczyć powierzchnię sześciokątów do codziennych lub szkolnych problemów.

Sześciokąt to wielokąt o 6 bokach i 6 kątach. W zależności od tego, czy sześciokąt jest regularny, czy nie, istnieje kilka metod znajdowania jego obszaru. Przeanalizujemy wszystko.

Jak znaleźć pole sześciokąta foremnego?

Wzory do obliczania powierzchni sześciokąta foremnego - wielokąta wypukłego o sześciu identycznych bokach.

Podana długość boku:

• Wzór powierzchni: S = (3√3*a²)/2
• Jeśli długość boku a jest znana, to podstawiając ją do wzoru, możemy łatwo znaleźć pole figury.
• W przeciwnym razie długość boku można znaleźć przez obwód i apotem.
• Jeśli podano obwód, to po prostu dzielimy go przez 6 i otrzymujemy długość jednego boku. Na przykład, jeśli obwód wynosi 24, długość boku wyniesie 24/6 = 4.
• Apothem to prostopadła narysowana od środka do jednego z boków. Aby znaleźć długość jednego boku, podstawiamy długość apotem do wzoru a = 2*m/√3. To znaczy, jeśli apotem m = 2√3, to długość boku a = 2*2√3/√3 = 4.

Podano apotem:

• Wzór powierzchni: S = 1/2*p*m, gdzie p to obwód, m to apotem.
• Znajdźmy obwód sześciokąta przez apotem. W poprzednim akapicie dowiedzieliśmy się, jak znaleźć długość jednej strony przez apotem: a \u003d 2 * m / √3. Pozostaje tylko pomnożyć ten wynik przez 6. Otrzymujemy wzór obwodu: p \u003d 12 * m / √3.

Biorąc pod uwagę promień opisanego okręgu:

• Promień okręgu opisanego wokół sześciokąta foremnego jest równy bokowi tego sześciokąta.
  Wzór powierzchni: S = (3√3*a²)/2

Biorąc pod uwagę promień okręgu wpisanego:

• Wzór powierzchni: S = 3√3*r², gdzie r = √3*a/2 (a jest jednym z boków wielokąta).

Jak znaleźć obszar nieregularnego sześciokąta?

Wzory do obliczania powierzchni nieregularnego sześciokąta - wielokąta, którego boki nie są sobie równe.

Metoda trapezowa:

• Sześciokąt dzielimy na dowolne trapezy, obliczamy powierzchnię każdego z nich i sumujemy.
• Podstawowe wzory na powierzchnię trapezu: S = 1/2*(a + b)*h, gdzie a i b to podstawy trapezu, h to wysokość.
  S = h*m, gdzie h to wysokość, m to linia środkowa.

Współrzędne wierzchołków sześciokąta są znane:

• Na początek zapiszmy współrzędne punktów, co więcej, umieszczając je nie w chaotycznej kolejności, ale kolejno jeden po drugim. Na przykład:
  O: (-3, -2)
  B: (-1, 4)
  C: (6, 1)
  D: (3, 10)
  E: (-4, 9)
  F: (-5, 6)
• Następnie ostrożnie pomnóż współrzędną x każdego punktu przez współrzędną y następnego punktu:
  -3*4 = -12
  -1*1 = -1
  6*10 = 60
  3*9 = 27
  -4*6 = -24
  -5*(-2) = 10
  Zsumuj wyniki:
  -12 – 1 + 60 + 27 – 24 + 10 = 60
  Następnie pomnóż współrzędną y każdego punktu przez współrzędną x następnego punktu.
  -2*(-1) = 2
  4*6 = 24
  1*3 = 3
  10*(-4) = -40
  9*(-5) = -45
  6*(-3) = -18
  Zsumuj wyniki:
  2 + 24 + 3 – 40 – 45 – 18 = -74
  Odejmij drugi od pierwszego wyniku:
  60 -(-74) = 60 + 74 = 134
  Wynikową liczbę dzieli się przez dwa:
  134/2 = 67
  Odpowiedź: 67 jednostek kwadratowych.

• Ponadto, aby znaleźć obszar sześciokąta, możesz podzielić go na trójkąty, kwadraty, prostokąty, równoległoboki i tak dalej. Znajdź obszary jego figur składowych i dodaj je.

Tak więc zbadano metody znajdowania obszaru sześciokąta na każdą okazję. Teraz idź dalej i zastosuj to, czego się nauczyłeś! Powodzenia!

Temat wielokątów jest poruszany w szkolnym programie nauczania, ale nie zwracają na to wystarczającej uwagi. Tymczasem jest to ciekawe, a dotyczy to zwłaszcza foremnego sześciokąta lub sześciokąta – w końcu wiele naturalnych obiektów ma taki kształt. Należą do nich plastry miodu i inne. Ta forma jest bardzo dobrze stosowana w praktyce.

Definicja i konstrukcja

Sześciokąt foremny to figura płaska, która ma sześć boków o równej długości i taką samą liczbę równych kątów.

Jeśli przypomnimy sobie wzór na sumę kątów wielokąta

okazuje się, że na tej figurze wynosi 720 °. Cóż, ponieważ wszystkie kąty figury są równe, łatwo obliczyć, że każdy z nich jest równy 120 °.

Rysowanie sześciokąta jest bardzo proste, wystarczy kompas i linijka.

Instrukcje krok po kroku będą wyglądać tak:

W razie potrzeby możesz obejść się bez linii, rysując pięć okręgów o równym promieniu.

Otrzymana w ten sposób liczba będzie regularnym sześciokątem, co można wykazać poniżej.

Właściwości są proste i ciekawe

Aby zrozumieć właściwości sześciokąta foremnego, warto podzielić go na sześć trójkątów:

Pomoże to w przyszłości wyraźniej pokazać jego właściwości, z których główne to:

1. ograniczona średnica koła;
2. średnica wpisanego koła;
3. kwadrat;
4. obwód.

Okrąg ograniczony i możliwość budowy

Okrąg można opisać wokół sześciokąta, a ponadto tylko jeden. Ponieważ ta liczba jest poprawna, możesz to zrobić po prostu: narysuj dwusieczną z dwóch sąsiednich kątów wewnątrz. Przecinają się w punkcie O i razem z bokiem między nimi tworzą trójkąt.

Kąty między bokiem sześciokąta a dwusiecznymi będą wynosić 60°, więc z całą pewnością możemy powiedzieć, że trójkąt, na przykład AOB, jest równoramienny. A ponieważ trzeci kąt będzie również równy 60 °, jest również równoboczny. Wynika z tego, że odcinki OA i OB są równe, co oznacza, że ​​mogą służyć jako promień okręgu.

Następnie możesz przejść na następną stronę, a także narysować dwusieczną pod kątem w punkcie C. Okaże się kolejny trójkąt równoboczny, a bok AB będzie wspólny dla dwóch naraz, a OS będzie następnym promieniem, przez który przechodzi ten sam okrąg. Takich trójkątów będzie w sumie sześć i będą miały wspólny wierzchołek w punkcie O. Okazuje się, że będzie można opisać okrąg, a jest to tylko jeden, a jego promień jest równy bokowi sześciokąta :

Dlatego możliwe jest skonstruowanie tej figury za pomocą cyrkla i linijki.

Cóż, obszar tego kręgu będzie standardowy:

Wpisany okrąg

Środek koła opisanego pokrywa się ze środkiem koła wpisanego. Aby to sprawdzić, możemy narysować prostopadłe od punktu O do boków sześciokąta. Będą to wysokości tych trójkątów, które tworzą sześciokąt. A w trójkącie równoramiennym wysokość jest medianą w stosunku do boku, na którym spoczywa. Zatem ta wysokość to nic innego jak prostopadła dwusieczna, czyli promień wpisanego okręgu.

Wysokość trójkąta równobocznego oblicza się po prostu:

h²=a²-(a/2)²= a²3/4, h=a(√3)/2

A skoro R=a i r=h, okazuje się, że

r=R(√3)/2.

W ten sposób wpisany okrąg przechodzi przez środki boków foremnego sześciokąta.

Jego obszar będzie:

S=3πa²/4,

to znaczy trzy czwarte opisanego.

Obwód i powierzchnia

Wszystko jest jasne na obwodzie, to jest suma długości boków:

P=6a, lub P=6R

Ale powierzchnia będzie równa sumie wszystkich sześciu trójkątów, na które można podzielić sześciokąt. Ponieważ powierzchnia trójkąta jest obliczana jako połowa iloczynu podstawy i wysokości, to:

S \u003d 6 (a / 2) (a (√3) / 2) \u003d 6a² (√3) / 4 \u003d 3a² (√3) / 2 lub

S=3R²(√3)/2

Ci, którzy chcą obliczyć ten obszar przez promień wpisanego okręgu, mogą zrobić w ten sposób:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Konstrukcje rozrywkowe

Trójkąt można wpisać w sześciokąt, którego boki połączą wierzchołki przez jeden:

W sumie będzie ich dwóch, a ich nałożenie na siebie da Gwiazdę Dawida. Każdy z tych trójkątów jest równoboczny. Łatwo to zweryfikować. Jeśli spojrzysz na stronę AC, to należy do dwóch trójkątów jednocześnie - BAC i AEC. Jeśli w pierwszym z nich AB \u003d BC, a kąt między nimi wynosi 120 °, to każdy z pozostałych będzie wynosił 30 °. Z tego możemy wyciągnąć logiczne wnioski:

1. Wysokość ABC od wierzchołka B będzie równa połowie boku sześciokąta, ponieważ sin30°=1/2. Tym, którzy chcą to zweryfikować, można doradzić przeliczenie zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, pasuje tu idealnie.
2. Strona AC będzie równa dwóm promieniom okręgu wpisanego, który ponownie oblicza się przy użyciu tego samego twierdzenia. Czyli AC=2(a(√3)/2)=a(√3).
3. Trójkąty ABC, CDE i AEF są równe w dwóch bokach i kąt między nimi, stąd równość boków AC, CE i EA.

Przecinające się ze sobą trójkąty tworzą nowy sześciokąt, który jest również regularny. Łatwo to udowodnić:

W ten sposób figura spełnia znaki sześciokąta foremnego - ma sześć równych boków i kątów. Z równości trójkątów na wierzchołkach łatwo wywnioskować długość boku nowego sześciokąta:

d=a(√3)/3

Będzie to również promień okręgu opisanego wokół niego. Promień wpisanego będzie równy połowie boku dużego sześciokąta, co zostało udowodnione przy rozpatrywaniu trójkąta ABC. Jego wysokość to dokładnie połowa boku, dlatego druga połowa to promień okręgu wpisanego w mały sześciokąt:

r₂=а/2

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

Okazuje się, że powierzchnia sześciokąta wewnątrz gwiazdy Dawida jest trzykrotnie mniejsza niż w tym dużym, w który wpisana jest gwiazda.

Od teorii do praktyki

Właściwości sześciokąta są bardzo aktywnie wykorzystywane zarówno w przyrodzie, jak iw różnych dziedzinach działalności człowieka. Przede wszystkim dotyczy to śrub i nakrętek – czapki pierwszego i drugiego to nic innego jak regularny sześciokąt, jeśli nie weźmiemy pod uwagę fazek. Wielkość kluczy odpowiada średnicy wpisanego koła - czyli odległości między przeciwległymi ścianami.

Znalazła swoje zastosowanie i płytki heksagonalne. Jest znacznie mniej powszechny niż czworokątny, ale wygodniej jest go ułożyć: trzy płytki spotykają się w jednym punkcie, a nie cztery. Kompozycje mogą być bardzo ciekawe:

Produkowane są również betonowe płyty chodnikowe.

Występowanie sześciokąta w przyrodzie jest wyjaśnione w prosty sposób. Tak więc najłatwiej jest ciasno dopasować kółka i kulki na płaszczyźnie, jeśli mają tę samą średnicę. Z tego powodu plastry miodu mają taki kształt.

Własności matematyczne

Cechą sześciokąta foremnego jest równość jego boku i promienia koła opisanego, ponieważ

Wszystkie kąty wynoszą 120°.

Promień okręgu wpisanego to:

Obwód sześciokąta foremnego to:

Powierzchnia sześciokąta foremnego jest obliczana według wzorów:

Sześciokąty układające płaszczyznę, czyli mogą wypełniać płaszczyznę bez przerw i zakładek, tworząc tzw. parkiet.

Parkiet sześciokątny (parkiet sześciokątny)- teselacja płaszczyzny równymi sześciokątami foremnymi umieszczonymi z boku na bok.

Parkiet sześciokątny jest podwójny do parkietu trójkątnego: jeśli połączysz środki sąsiednich sześciokątów, to narysowane segmenty dadzą parkiet trójkątny. Symbol Schläfli parkietu sześciokątnego to (6,3), co oznacza, że ​​trzy sześciokąty zbiegają się w każdym wierzchołku parkietu.

Parkiet sześciokątny to najbardziej gęste upakowanie okręgów na płaszczyźnie. W dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej najlepszym wypełnieniem jest umieszczenie środków okręgów na wierzchołkach parkietu utworzonego z foremnych sześciokątów, w którym każde koło jest otoczone sześcioma innymi. Gęstość tego opakowania wynosi . W 1940 roku udowodniono, że to opakowanie jest najgęstsze.

Sześciokąt foremny z bokiem to osłona uniwersalna, to znaczy każdy zestaw średnic może być przykryty sześciokątem foremnym z bokiem (lemat Pal).

Sześciokąt foremny można zbudować za pomocą cyrkla i linijki. Poniżej znajduje się metoda konstrukcji zaproponowana przez Euklidesa w Elementach, Księga IV, Twierdzenie 15.

Sześciokąt regularny w przyrodzie, technologii i kulturze

pokaż podział płaszczyzny na regularne sześciokąty. Sześciokątny kształt bardziej niż pozostałe pozwala zaoszczędzić na ścianach, czyli mniej wosku zostanie wydane na plastry miodu z takimi komórkami.

Niektóre złożone kryształy i molekuły, takie jak grafit, mają sześciokątną sieć krystaliczną.

Powstaje, gdy mikroskopijne kropelki wody w chmurach są przyciągane do cząstek kurzu i zamarzają. Pojawiające się w tym przypadku kryształki lodu, które początkowo nie przekraczają średnicy 0,1 mm, opadają i rosną w wyniku kondensacji na nich wilgoci z powietrza. W tym przypadku powstają sześcioramienne formy krystaliczne. Ze względu na strukturę cząsteczek wody między promieniami kryształu możliwe są tylko kąty 60° i 120°. Główny kryształ wody ma kształt sześciokąta foremnego w płaszczyźnie. Na wierzchołkach takiego sześcioboku osadzane są wówczas nowe kryształy, osadzane są na nich nowe iw ten sposób uzyskuje się różne formy gwiazd płatków śniegu.

Naukowcom z Uniwersytetu Oksfordzkiego udało się zasymulować pojawienie się takiego sześciokąta w laboratorium. Aby dowiedzieć się, jak zachodzi taka formacja, naukowcy umieścili 30-litrową butelkę wody na talerzu obrotowym. Modelowała atmosferę Saturna i jego zwykłą rotację. Wewnątrz naukowcy umieścili małe pierścienie, które obracają się szybciej niż pojemnik. To wygenerowało miniaturowe wiry i strumienie, które eksperymentatorzy wizualizowali zieloną farbą. Im szybciej pierścień się obracał, tym większe stawały się wiry, powodując, że pobliski strumień odbiegał od okrągłego kształtu. W ten sposób autorom eksperymentu udało się uzyskać różne kształty – owale, trójkąty, kwadraty i oczywiście pożądany sześciokąt.

Pomnik przyrody składający się z około 40 000 połączonych ze sobą bazaltowych (rzadko andezytycznych) kolumn, powstałych w wyniku starożytnej erupcji wulkanu. Położony w północno-wschodniej Irlandii Północnej, 3 km na północ od miasta Bushmills.

Wierzchołki kolumn tworzą rodzaj trampoliny, która zaczyna się u podnóża klifu i znika pod powierzchnią morza. Większość kolumn jest sześciokątna, chociaż niektóre mają cztery, pięć, siedem lub osiem rogów. Najwyższa kolumna ma około 12 metrów wysokości.

Około 50-60 milionów lat temu, w okresie paleogenu, stanowisko Antrim było przedmiotem intensywnej aktywności wulkanicznej, gdy stopiony bazalt przeniknął przez osady, tworząc rozległe płaskowyże lawy. Przy szybkim chłodzeniu objętość substancji zmniejszyła się (obserwuje się to, gdy błoto wysycha). Kompresja pozioma zaowocowała charakterystyczną strukturą heksagonalnych filarów.

Przekrój nakrętki ma kształt foremnego sześciokąta.