Ez a cikk azt tárgyalja, hogyan lehet megtalálni a matematikai kifejezések értékeit. Kezdjük egyszerű numerikus kifejezésekkel, majd a bonyolultságuk növekedésével az eseteket is figyelembe vesszük. A végén adunk egy kifejezést, amely betűjeleket, zárójeleket, gyököket, speciális matematikai jeleket, fokokat, függvényeket stb. Az egész elmélet a hagyományoknak megfelelően bőséges és részletes példákkal lesz ellátva.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Hogyan találjuk meg egy numerikus kifejezés értékét?

A numerikus kifejezések többek között segítenek a probléma feltételének matematikai nyelven történő leírásában. Általában a matematikai kifejezések lehetnek nagyon egyszerűek, amelyek számpárból és számtani előjelekből állnak, vagy nagyon összetettek, tartalmazhatnak függvényeket, fokokat, gyököket, zárójeleket stb. A feladat részeként gyakran meg kell találni egy kifejezés értékét. Ennek mikéntjét az alábbiakban tárgyaljuk.

A legegyszerűbb esetek

Ezek olyan esetek, amikor a kifejezés nem tartalmaz mást, mint számokat és aritmetikát. Az ilyen kifejezések értékeinek sikeres megtalálásához ismernie kell az aritmetikai műveletek zárójelek nélküli végrehajtásának sorrendjét, valamint a különböző számokkal végzett műveletek képességét.

Ha a kifejezés csak számokat és számtani előjeleket tartalmaz " + " , " · " , " - " , " ÷ " , akkor a műveletek balról jobbra haladva a következő sorrendben történnek: először szorzás és osztás, majd összeadás és kivonás. Mondjunk példákat.

Példa 1. Egy numerikus kifejezés értéke

Legyen szükséges megtalálni a 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 kifejezés értékeit.

Először végezzük el a szorzást és az osztást. Kapunk:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Most kivonjuk és megkapjuk a végeredményt:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

2. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Számítsuk ki: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

Először végrehajtjuk a törtek konvertálását, osztását és szorzását:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Most végezzünk összeadást és kivonást. Csoportosítsuk a törteket, és hozzuk őket közös nevezőre:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

A kívánt érték megtalálható.

Kifejezések zárójelekkel

Ha egy kifejezés zárójeleket tartalmaz, akkor ezek határozzák meg a műveletek sorrendjét ebben a kifejezésben. Először a zárójelben lévő műveleteket hajtják végre, majd az összes többit. Mutassuk meg ezt egy példával.

3. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Keresse meg a 0,5 · (0.76 - 0.06) kifejezés értékét.

A kifejezés zárójeleket tartalmaz, ezért először a kivonási műveletet hajtjuk végre a zárójelben, és csak utána a szorzást.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

A zárójelben lévő zárójeleket tartalmazó kifejezések értéke ugyanezen elv szerint található.

4. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Számítsuk ki az 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 értéket.

A műveleteket a legbelső zárójelektől kezdve, a külső zárójelek felé haladva hajtjuk végre.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2 , 5 = 1 + 2 6 = 13 .

A zárójeles kifejezések értékeinek megtalálásakor a legfontosabb a műveletek sorrendjének követése.

Kifejezések gyökerekkel

Azok a matematikai kifejezések, amelyek értékeit meg kell találnunk, gyökjeleket tartalmazhatnak. Sőt, maga a kifejezés is lehet a gyökér jele alatt. Hogyan lehet ilyenkor? Először meg kell találnia a kifejezés értékét a gyökér alatt, majd ki kell bontani a gyökért a kapott számból. Ha lehetséges, jobb megszabadulni a gyököktől a numerikus kifejezésekben, helyettesítve a -tól számértékekkel.

5. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Számítsuk ki a kifejezés értékét - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Először kiszámítjuk a radikális kifejezéseket.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Most kiszámolhatjuk a teljes kifejezés értékét.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Gyakran ahhoz, hogy a gyököket tartalmazó kifejezés értékét megtaláljuk, gyakran először az eredeti kifejezést kell átalakítani. Magyarázzuk meg ezt egy másik példával.

6. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Mi a 3 + 1 3 - 1 - 1

Amint látja, nincs lehetőségünk a gyökér pontos értékre cserélésére, ami megnehezíti a számolási folyamatot. Ebben az esetben azonban használhatja a rövidített szorzási képletet.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Ilyen módon:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Hatásos kifejezések

Ha a kifejezés hatványokat tartalmaz, akkor ezek értékét ki kell számítani az összes többi művelet folytatása előtt. Előfordul, hogy maga a kitevő vagy a fok alapja kifejezés. Ebben az esetben először ezeknek a kifejezéseknek az értékét számítjuk ki, majd a fokozat értékét.

7. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Határozza meg a 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 kifejezés értékét!

Elkezdjük a számolást sorrendben.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Csak az összeadási művelet végrehajtása és a kifejezés értékének megállapítása marad:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Gyakran célszerű a kifejezést a fokozat tulajdonságaival egyszerűsíteni is.

8. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Számítsuk ki a következő kifejezés értékét: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

A kitevők ismét olyanok, hogy pontos számértéküket nem lehet megkapni. Egyszerűsítse az eredeti kifejezést, hogy megtalálja az értékét.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Kifejezések törtekkel

Ha egy kifejezés törteket tartalmaz, akkor egy ilyen kifejezés kiszámításakor minden benne lévő törtet úgy kell ábrázolni, mint közönséges törtekés számítsa ki értékeiket.

Ha vannak kifejezések a tört számlálójában és nevezőjében, akkor ezeknek a kifejezéseknek az értékeit először kiszámítja, és magának a törtnek a végső értékét rögzíti. Az aritmetikai műveletek végrehajtása a szabványos sorrendben történik. Nézzünk egy példamegoldást.

9. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Keressük meg a törteket tartalmazó kifejezés értékét: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Mint látható, az eredeti kifejezésben három tört található. Először számítsuk ki az értékeiket.

3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Írjuk át a kifejezésünket és számítsuk ki az értékét:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

A kifejezések értékeinek megtalálásakor gyakran célszerű csökkenteni a törteket. Van egy kimondatlan szabály: mielőtt megtalálná az értékét, a legjobb, ha bármilyen kifejezést maximálisan leegyszerűsít, minden számítást a legegyszerűbb esetekre redukál.

10. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Számítsuk ki a 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 kifejezést.

Az öt gyökerét nem tudjuk teljesen kivonni, de az eredeti kifejezést leegyszerűsíthetjük átalakításokkal.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Az eredeti kifejezés a következő formában jelenik meg:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Számítsuk ki ennek a kifejezésnek az értékét:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Kifejezések logaritmussal

Ha egy kifejezésben szerepelnek logaritmusok, akkor értéküket, ha lehetséges, a kezdetektől számítjuk. Például a log 2 4 + 2 4 kifejezésben azonnal beírhatja ennek a logaritmusnak az értékét a log 2 4 helyett, majd végrehajthatja az összes műveletet. A következőt kapjuk: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

A numerikus kifejezések a logaritmus előjele alatt és annak alján is megtalálhatók. Ebben az esetben az első lépés az értékük megtalálása. Vegyük a log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 kifejezést. Nekünk van:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Ha a logaritmus pontos értékét nem lehet kiszámítani, a kifejezés egyszerűsítése segít megtalálni az értékét.

11. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Keresse meg a log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 kifejezés értékét.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

A logaritmus tulajdonságai szerint:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

Ismét alkalmazva a logaritmus tulajdonságait, a kifejezés utolsó törtére a következőt kapjuk:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Most folytathatja az eredeti kifejezés értékének kiszámítását.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .

Kifejezések trigonometrikus függvényekkel

Előfordul, hogy a kifejezésben vannak szinusz, koszinusz, érintő és kotangens trigonometrikus függvényei, valamint olyan függvények, amelyek inverzek. Az értékből számítják ki az összes többi számtani művelet végrehajtása előtt. Ellenkező esetben a kifejezés leegyszerűsödik.

12. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Keresse meg a kifejezés értékét: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Először kiszámítjuk a kifejezésben szereplő trigonometrikus függvények értékeit.

sin - 5 π 2 \u003d - 1

Cserélje be az értékeket a kifejezésben, és számítsa ki az értékét:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

A kifejezés értéke megtalálható.

Gyakran egy kifejezés értékének megtalálásához trigonometrikus függvényekkel először konvertálni kell. Magyarázzuk meg egy példával.

13. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Meg kell találni a cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 kifejezés értékét.

A transzformációhoz a kettős szög koszinuszának és az összeg koszinuszának trigonometrikus képleteit használjuk.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos 1 π = cos π 4 - cos 1 π 1-1 = 0.

A numerikus kifejezés általános esete

Általános esetben egy trigonometrikus kifejezés tartalmazhatja az összes fent leírt elemet: zárójeleket, fokokat, gyököket, logaritmusokat, függvényeket. Fogalmazzuk meg Általános szabály megtalálni az ilyen kifejezések értékét.

Hogyan találjuk meg egy kifejezés értékét

1. Gyökök, hatványok, logaritmusok stb. értékükkel helyettesítik.
2. A zárójelben szereplő műveletek végrehajtásra kerülnek.
3. A többi lépést balról jobbra haladva kell végrehajtani. Először - szorzás és osztás, majd - összeadás és kivonás.

Vegyünk egy példát.

14. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Számítsuk ki, hogy mekkora a kifejezés értéke - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

A kifejezés meglehetősen bonyolult és nehézkes. Nem véletlenül választottunk egy ilyen példát, igyekszünk beleilleszteni az összes fent leírt esetet. Hogyan lehet megtalálni egy ilyen kifejezés értékét?

Ismeretes, hogy egy összetett törtforma értékének kiszámításakor először a tört számlálójának és nevezőjének értékeit külön-külön találjuk meg. Ezt a kifejezést egymás után átalakítjuk és egyszerűsítjük.

Először is kiszámítjuk a 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 gyökkifejezés értékét. Ehhez meg kell találni a szinusz értékét, és azt a kifejezést, amely a trigonometrikus függvény argumentuma.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Most megtudhatja a szinusz értékét:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Kiszámoljuk a radikális kifejezés értékét:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

A tört nevezőjével minden egyszerűbb:

Most felírhatjuk a teljes tört értékét:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

Ezt szem előtt tartva írjuk a teljes kifejezést:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Végeredmény:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

Ebben az esetben pontos értékeket tudtunk kiszámítani a gyökökhöz, logaritmusokhoz, szinuszokhoz és így tovább. Ha ez nem lehetséges, akkor matematikai transzformációkkal megpróbálhatja megszabadulni tőlük.

Kifejezések számítása racionális módokon

A numerikus értékeket következetesen és pontosan kell kiszámítani. Ez a folyamat a számokkal végzett műveletek különféle tulajdonságainak felhasználásával racionalizálható és felgyorsítható. Például ismert, hogy a szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla. E tulajdonság ismeretében azonnal kijelenthetjük, hogy a 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 kifejezés nulla. Ebben az esetben egyáltalán nem szükséges a fenti cikkben leírt sorrendben végrehajtani a lépéseket.

Kényelmes a kivonás tulajdonság használata is egyenlő számok. Műveletek elvégzése nélkül elrendelhető, hogy az 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 kifejezés értéke is nulla legyen.

Egy másik technika, amely lehetővé teszi a folyamat felgyorsítását, az azonos átalakítások használata, mint például a kifejezések és tényezők csoportosítása, valamint a közös tényező zárójelből való eltávolítása. A kifejezések törtekkel történő kiszámításának racionális megközelítése az, hogy a számlálóban és a nevezőben ugyanazokat a kifejezéseket csökkentjük.

Vegyük például a 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 kifejezést. A zárójelben lévő műveletek végrehajtása nélkül, hanem a tört csökkentésével azt mondhatjuk, hogy a kifejezés értéke 1 3 .

Változós kifejezések értékeinek megkeresése

A literális kifejezés és a változókkal rendelkező kifejezés értéke a betűk és változók adott értékére található.

Változós kifejezések értékeinek megkeresése

Egy szó szerinti kifejezés és egy változós kifejezés értékének megtalálásához be kell cserélnie a betűk és változók megadott értékeit az eredeti kifejezésbe, majd ki kell számítania a kapott numerikus kifejezés értékét.

15. példa Változós kifejezés értéke

Számítsa ki a 0, 5 x-y kifejezés értékét, ha x = 2, 4 és y = 5!

Behelyettesítjük a változók értékeit a kifejezésbe, és kiszámítjuk:

0,5 x-y = 0,5 2,4-5 = 1,2-5 = -3,8.

Néha lehetséges egy kifejezést úgy átalakítani, hogy megkapja annak értékét, függetlenül a benne szereplő betűk és változók értékétől. Ehhez meg kell szabadulni a betűktől és a változóktól a kifejezésben, ha lehetséges, azonos transzformációkkal, aritmetikai műveletek tulajdonságaival és minden lehetséges egyéb módszerrel.

Például az x + 3 - x kifejezésnek nyilvánvalóan 3 az értéke, és ennek az értéknek a kiszámításához nem szükséges ismerni az x értékét. Ennek a kifejezésnek az értéke három az x változó minden értékére az érvényes értéktartományból.

Még egy példa. Az x x kifejezés értéke eggyel egyenlő minden pozitív x esetén.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Első szint

Kifejezés konvertálása. Részletes elmélet (2019)

Kifejezés konvertálása

Gyakran halljuk ezt a kellemetlen mondatot: "egyszerűsítsd a kifejezést". Általában ebben az esetben van egy ilyen szörnyünk:

„Igen, sokkal könnyebb” – mondjuk, de egy ilyen válasz általában nem működik.

Most megtanítalak arra, hogy ne félj semmiféle ilyen feladattól. Sőt, a lecke végén te magad egyszerűsíted le ezt a példát egy (csak!) közönséges számra (igen, a pokolba ezekkel a betűkkel).

De mielőtt elkezdené ezt a leckét, tudnia kell kezelni a törteket és a faktorpolinomokat. Ezért először is, ha még nem tette meg ezt, feltétlenül ismerje el a "" és a "" témakört.

Olvas? Ha igen, akkor készen állsz.

Alapvető egyszerűsítési műveletek

Most elemezzük a kifejezések egyszerűsítésére használt főbb technikákat.

A legegyszerűbb közülük az

1. Hasonló hozás

Mik a hasonlók? Ezt 7. osztályban élted át, amikor a matematikában először jelentek meg betűk a számok helyett. Hasonlóak az azonos betűrésszel rendelkező kifejezések (monomiálisok). Például az összegben, mint a kifejezések és.

Emlékezett?

Hasonló kifejezéseket hozni azt jelenti, hogy több hasonló kifejezést adunk egymáshoz, és egy kifejezést kapunk.

De hogyan rakhatjuk össze a betűket? - kérdezed.

Ezt nagyon könnyű megérteni, ha azt képzeli, hogy a betűk valamiféle tárgyak. Például a levél egy szék. Akkor mi a kifejezés? Két szék plusz három szék, mennyi lesz? Így van, székek: .

Most próbáld ki ezt a kifejezést:

Annak érdekében, hogy ne keveredjen össze, a különböző betűk különböző tárgyakat jelöljenek. Például - ez (szokás szerint) egy szék, és - ez egy asztal. Akkor:

székek asztalok szék asztalok székek székek asztalok

Azokat a számokat, amelyekkel az ilyen kifejezésekben szereplő betűket megszorozzuk, hívjuk együtthatók. Például a monomiális együttható egyenlő. És ő egyenlő.

Tehát a hasonló hozatal szabálya:

Példák:

Hozz hasonlót:

Válaszok:

2. (és hasonlóak, mivel ezért ezeknek a kifejezéseknek ugyanaz a betűrésze).

2. Faktorizáció

Általában ez a legfontosabb része a kifejezések egyszerűsítésének. Miután hasonlókat adott meg, leggyakrabban az eredményül kapott kifejezést faktorálni kell, azaz szorzatként kell bemutatni. Ez különösen a törteknél fontos: a tört csökkentéséhez ugyanis a számlálót és a nevezőt szorzatként kell ábrázolni.

A kifejezések faktorálásának részletes módszereit a "" témakörben végezte el, így itt csak emlékeznie kell arra, amit tanult. Ehhez oldjon meg néhányat példák(ki kell számítani):

Megoldások:

3. Frakciócsökkentés.

Nos, mi lehet szebb, mint kihúzni a számláló és a nevező egy részét, és kidobni az életedből?

Ez a rövidítés szépsége.

Ez egyszerű:

Ha a számláló és a nevező ugyanazokat a tényezőket tartalmazza, akkor redukálható, azaz eltávolítható a törtből.

Ez a szabály a tört alapvető tulajdonságából következik:

Vagyis a redukciós művelet lényege az A tört számlálóját és nevezőjét elosztjuk ugyanazzal a számmal (vagy ugyanazzal a kifejezéssel).

A töredék csökkentéséhez a következőkre van szüksége:

1) számláló és nevező tényezőkre bont

2) ha a számláló és a nevező tartalmazza közös tényezők, törölhetők.

Az elv, azt hiszem, egyértelmű?

Egy tipikus rövidítési hibára szeretném felhívni a figyelmet. Bár ez a téma egyszerű, de sokan mindent rosszul csinálnak, ezt nem veszik észre vágott- ez azt jelenti, hogy feloszt számlálót és nevezőt ugyanazzal a számmal.

Nincsenek rövidítések, ha a számláló vagy a nevező az összeg.

Például: egyszerűsíteni kell.

Vannak, akik ezt teszik: ami teljesen helytelen.

Egy másik példa: csökkenteni.

A "legokosabb" ezt fogja tenni:.

Mondd, mi a baj itt? Úgy tűnik: - ez egy szorzó, így csökkentheti.

De nem: - ez csak egy tag tényezője a számlálóban, de maga a számláló egészében nincs faktorokra bontva.

Íme egy másik példa: .

Ez a kifejezés faktorokra van felbontva, ami azt jelenti, hogy csökkentheti, azaz eloszthatja a számlálót és a nevezőt ezzel, majd a következővel:

Azonnal feloszthatja:

Az ilyen hibák elkerülése érdekében ne feledje egyszerű módja hogyan állapítható meg, hogy egy kifejezés faktorált-e:

A kifejezés értékének kiszámításakor utoljára végrehajtott aritmetikai művelet a "fő". Vagyis ha betűk helyett behelyettesítünk néhány (bármilyen) számot, és megpróbáljuk kiszámítani a kifejezés értékét, akkor ha az utolsó művelet a szorzás, akkor szorzatunk van (a kifejezés faktorokra bomlik). Ha az utolsó művelet összeadás vagy kivonás, ez azt jelenti, hogy a kifejezés nincs faktorálva (és ezért nem csökkenthető).

A javításhoz oldja meg néhányat saját maga példák:

Válaszok:

1. Remélem nem rohantál azonnal vágni és? Még mindig nem volt elég az egységeket így „csökkenteni”:

Az első lépés a faktorizálás:

4. Törtek összeadása és kivonása. Törtek közös nevezőre hozása.

A közönséges törtek összeadása és kivonása jól ismert művelet: keresünk egy közös nevezőt, minden törtet megszorozunk a hiányzó tényezővel és összeadjuk/kivonjuk a számlálókat. Emlékezzünk:

Válaszok:

1. A és nevezők másodlagosak, vagyis nincs közös tényezőjük. Ezért ezeknek a számoknak az LCM-je megegyezik a szorzatukkal. Ez lesz a közös nevező:

2. Itt a közös nevező:

3. Itt először a kevert frakciókat nem megfelelővé alakítjuk, majd - a szokásos séma szerint:

Egészen más kérdés, ha a törtek betűket tartalmaznak, például:

Kezdjük egyszerűen:

a) A nevezők nem tartalmaznak betűket

Itt minden ugyanaz, mint a közönséges numerikus törteknél: találunk egy közös nevezőt, minden törtet megszorozunk a hiányzó tényezővel, és összeadjuk / kivonjuk a számlálókat:

most a számlálóban hozhat hasonlókat, ha vannak, és faktorálhatja őket:

Próbáld ki magad:

b) A nevezők betűket tartalmaznak

Emlékezzünk a betűk nélküli közös nevező megtalálásának elvére:

Először is meghatározzuk a közös tényezőket;

Ezután egyszer kiírjuk az összes közös tényezőt;

és szorozzuk meg őket minden más tényezővel, nem a közös tényezőkkel.

A nevezők közös tényezőinek meghatározásához először egyszerű tényezőkre bontjuk őket:

Hangsúlyozzuk a közös tényezőket:

Most egyszer kiírjuk a gyakori tényezőket, és hozzáadjuk az összes nem gyakori (nem aláhúzott) tényezőt:

Ez a közös nevező.

Térjünk vissza a levelekhez. A nevezők pontosan ugyanúgy vannak megadva:

A nevezőket faktorokra bontjuk;

közös (azonos) szorzók meghatározása;

írja ki egyszer az összes gyakori tényezőt;

Ezeket minden más tényezővel megszorozzuk, nem a közös tényezőkkel.

Tehát sorrendben:

1) bontsa fel a nevezőket tényezőkre:

2) határozza meg a közös (azonos) tényezőket:

3) írja ki egyszer az összes gyakori tényezőt, és szorozza meg az összes többi (nem aláhúzott) tényezővel:

A közös nevező tehát itt van. Az első törtet meg kell szorozni a másodikkal:

Egyébként van egy trükk:

Például: .

Ugyanazokat a tényezőket látjuk a nevezőkben, csak mindegyik más mutatókkal. A közös nevező a következő lesz:

Amennyiben

Amennyiben

Amennyiben

fokozatban.

Bonyolítsuk a feladatot:

Hogyan készítsünk törteket azonos nevezővel?

Emlékezzünk a tört alapvető tulajdonságára:

Sehol nem mondják, hogy ugyanaz a szám kivonható (vagy összeadható) a tört számlálójából és nevezőjéből. Mert nem igaz!

Győződjön meg saját szemével: vegyen például bármilyen törtet, és adjon hozzá néhány számot a számlálóhoz és a nevezőhöz, például . Mit tanultak?

Tehát még egy megingathatatlan szabály:

Ha törteket hoz egy közös nevezőbe, csak a szorzási műveletet használja!

De mit kell szorozni, hogy megkapd?

Itt tovább és szaporodj. És szorozzuk meg:

Azokat a kifejezéseket, amelyek nem faktorizálhatók, "elemi tényezőknek" nevezzük. Például egy elemi tényező. - is. De - nem: tényezőkre bomlik.

Mi a helyzet a kifejezéssel? Ez elemi?

Nem, mert faktorizálható:

(a faktorizációról már olvasott a "" témakörben).

Tehát azok az elemi tényezők, amelyekre egy kifejezést betűkkel bont, analógjai azoknak az egyszerű tényezőknek, amelyekre a számokat bontja. És ugyanezt fogjuk tenni velük.

Látjuk, hogy mindkét nevezőnek van egy tényezője. A hatalom közös nevezőjére fog kerülni (emlékezz, miért?).

A szorzó elemi, és nincs közös bennük, ami azt jelenti, hogy az első törtet egyszerűen meg kell szorozni vele:

Egy másik példa:

Megoldás:

Mielőtt pánikszerűen megszorozná ezeket a nevezőket, el kell gondolkodnia azon, hogyan számolja be őket? Mindkettő képviseli:

Kiváló! Akkor:

Egy másik példa:

Megoldás:

A nevezőket szokás szerint faktorizáljuk. Az első nevezőben egyszerűen zárójelbe tettük; a másodikban - a négyzetek különbsége:

Úgy tűnik, hogy nincsenek közös tényezők. De ha jobban megnézed, már annyira hasonlítanak... És az igazság a következő:

Tehát írjuk:

Vagyis így alakult: a zárójelben felcseréltük a kifejezéseket, és ezzel párhuzamosan a tört előtti jel az ellenkezőjére változott. Vegye figyelembe, hogy ezt gyakran meg kell tennie.

Most elhozzuk a közös nevezőt:

Megvan? Most ellenőrizzük.

Feladatok az önálló megoldáshoz:

Válaszok:

Itt emlékeznünk kell még egy dologra - a kockák különbségére:

Felhívjuk figyelmét, hogy a második tört nevezője nem tartalmazza az „összeg négyzete” képletet! Az összeg négyzete így nézne ki:

Az A az összeg ún. hiányos négyzete: a benne szereplő második tag az első és az utolsó szorzata, nem pedig azok duplázott szorzata. Az összeg nem teljes négyzete az egyik tényező a kockák különbségének növekedésében:

Mi van, ha már három tört van?

Igen, ugyanaz! Először is tegyük így maximális összeget A nevezőkben szereplő tényezők azonosak voltak:

Figyelem: ha egy zárójelben megváltoztatja a jeleket, a tört előtti jel az ellenkezőjére változik. Amikor a második zárójelben lévő jeleket megváltoztatjuk, a tört előtti jel ismét megfordul. Ennek eredményeként ő (a tört előtti jel) nem változott.

Az első nevezőt teljes egészében kiírjuk a közös nevezőbe, majd hozzáadjuk az összes még fel nem írt tényezőt a másodiktól, majd a harmadiktól (és így tovább, ha több a tört). Vagyis ez így megy:

Hmm... A törtekkel egyértelmű, hogy mit kell tenni. De mi van a kettővel?

Ez egyszerű: tudja, hogyan kell törteket adni, igaz? Tehát meg kell győződnie arról, hogy a kettes töredék lesz! Ne feledje: a tört osztási művelet (a számlálót elosztjuk a nevezővel, ha hirtelen elfelejti). És semmi sem egyszerűbb, mint elosztani egy számot. Ebben az esetben maga a szám nem változik, hanem törtté változik:

Pontosan ami kell!

5. Törtek szorzása és osztása.

Nos, a legnehezebb résznek most vége. És előttünk áll a legegyszerűbb, de ugyanakkor a legfontosabb:

Eljárás

Mi a numerikus kifejezés kiszámításának eljárása? Ne feledje, figyelembe véve egy ilyen kifejezés értékét:

számoltál?

Működnie kell.

Szóval, emlékeztetlek.

Az első lépés a fokozat kiszámítása.

A második a szorzás és az osztás. Ha egyszerre több szorzás és osztás is van, akkor ezeket tetszőleges sorrendben megteheti.

Végül végezzük az összeadást és a kivonást. Még egyszer, bármilyen sorrendben.

De: a zárójeles kifejezést nem sorrendben értékeljük!

Ha több zárójelet szorozunk vagy osztunk egymással, először kiértékeljük az egyes zárójelekben lévő kifejezéseket, majd szorozzuk vagy osztjuk őket.

Mi van akkor, ha más zárójelek is vannak a zárójelben? Nos, gondoljuk át: a zárójelek közé valamilyen kifejezés van írva. Mi az első tennivaló egy kifejezés kiértékelésekor? Így van, számold ki a zárójeleket. Nos, kitaláltuk: először a belső zárójeleket számoljuk ki, aztán minden mást.

Tehát a fenti kifejezés műveleteinek sorrendje a következő (az aktuális művelet pirossal van kiemelve, vagyis az a művelet, amelyet éppen végrehajtok):

Oké, minden egyszerű.

De ez nem ugyanaz, mint a betűkkel való kifejezés, ugye?

Nem, ez ugyanaz! Csak aritmetikai műveletek helyett algebrai műveleteket kell végrehajtani, vagyis az előző részben leírt műveleteket: hasonlót hozva, frakciók hozzáadása, frakciók csökkentése stb. Az egyetlen különbség a polinomok faktorálása lesz (gyakran használjuk, amikor törtekkel dolgozunk). A faktorizáláshoz leggyakrabban az i-t kell használni, vagy egyszerűen ki kell venni a közös tényezőt a zárójelekből.

Általában az a célunk, hogy egy kifejezést szorzatként vagy hányadosként ábrázoljunk.

Például:

Egyszerűsítsük a kifejezést.

1) Először egyszerűsítjük a zárójelben lévő kifejezést. Ott van a törtek különbsége, és az a célunk, hogy ezt szorzatként vagy hányadosként ábrázoljuk. Tehát a törteket közös nevezőre hozzuk, és hozzáadjuk:

Ezt a kifejezést nem lehet tovább egyszerűsíteni, itt minden tényező elemi (emlékszel még, mit jelent ez?).

2) Ezt kapjuk:

Törtek szorzása: mi lehetne könnyebb.

3) Most lerövidítheti:

Rendben, most mindennek vége. Semmi bonyolult, igaz?

Egy másik példa:

Egyszerűsítse a kifejezést.

Először próbáld meg magad megoldani, és csak azután nézd meg a megoldást.

Először is határozzuk meg az eljárást. Először adjuk hozzá a zárójelben lévő törteket, két tört helyett egy fog kiderülni. Ezután elvégezzük a törtek felosztását. Nos, az eredményt hozzáadjuk az utolsó törttel. Sematikusan megszámozom a lépéseket:

Most megmutatom az egész folyamatot, pirosra színezve az aktuális műveletet:

Végül adok két hasznos tippet:

1. Ha vannak hasonlók, azonnal hozni kell. Bármelyik pillanatban is vannak hasonlók, célszerű azonnal elhozni.

2. Ugyanez vonatkozik a frakciók redukálására is: amint lehetőség adódik a csökkentésére, ki kell használni. Kivételt képeznek az összeadandó vagy kivont törtek: ha most ugyanazok a nevezők, akkor a csökkentést későbbre kell hagyni.

Íme néhány önálló megoldásra váró feladat:

És már az elején megígérte:

Megoldások (röviden):

Ha legalább az első három példával megbirkózott, akkor vegye figyelembe, hogy elsajátította a témát.

Most pedig a tanuláshoz!

KIFEJEZÉS KONVERZIÓ. ÖSSZEFOGLALÁS ÉS ALAPKÉPLET

Alapvető egyszerűsítési műveletek:

• Hasonlót hozni: hasonló kifejezések hozzáadásához (kicsinyítéséhez) hozzá kell adni az együtthatóikat és hozzá kell rendelni a betűrészt.
• Faktorizáció: a közös tényező zárójelből való kiemelése, alkalmazása stb.
• Frakciócsökkentés: a tört számlálója és nevezője szorozható vagy osztható ugyanazzal a nullától eltérő számmal, amelytől a tört értéke nem változik.
  1) számláló és nevező tényezőkre bont
  2) ha a számlálóban és a nevezőben közös tényezők vannak, akkor ezek áthúzhatók.

  FONTOS: csak a szorzók csökkenthetők!

• Törtek összeadása és kivonása:
  ;
• Törtek szorzása és osztása:
  ;

A numerikus kifejezés számok rekordja aritmetikai műveletekkel és zárójelekkel együtt. Ha egy kifejezésben változókat használunk számokkal együtt, és az egész kifejezés jelentéssel van összeállítva, akkor algebrai (szó szerinti) kifejezésnek nevezzük. Ha a kifejezés direkt, derivált, inverz és egyéb trigonometrikus függvényeket tartalmaz, akkor a kifejezést trigonometrikusnak nevezzük. Az iskolai matematika tantárgy nagyszámú példáját és különféle kifejezéseket használó feladatát részletezi.

A legfontosabb dolgok, amelyeket emlékezni kell:

1. Egy numerikus kifejezés értéke az ebben a kifejezésben végrehajtott aritmetikai műveletek során kapott szám lesz. A lényeg az aritmetikai műveletek következetes végrehajtása. Az egész művelet egyszerűsége érdekében a lépések számozhatók. Ha a kifejezés zárójeleket tartalmaz, akkor először a zárójelben lévő karakternek megfelelő műveletet hajtjuk végre. A hatványozás lesz a következő lépés. A prioritás szerint a szorzást vagy osztást végezzük, és csak a legvégén az összeadást és a kivonást.

Most keressük meg az 5+20*(60-45) numerikus kifejezés értékét. Először a zárójeltől szabaduljunk meg. Az akciót végrehajtva 60-45=15-öt kapunk. Most 5+20*15 van nálunk. A következő művelet a szorzás 20*15=300. És az utolsó művelet az összeadás lesz, végrehajtjuk, és a végeredmény 5 + 300 = 305 lesz.

2. Ismert szögben? A trigonometrikus kifejezésekkel való munka során alapismeretekre lesz szüksége trigonometrikus képletek a kifejezés egyszerűsítése érdekében. Keressük meg a cos 12 kifejezés értékét? cos 18? - sin 12? bűn 18?. A kifejezés egyszerűsítésére a cos (? +?) = cos? kötözősaláta? - bűn? bűn?, akkor kapunk cos 12? cos 18? - sin 12? sin 18?= cos(12? +18?)= cos30? =v3?2.

3. Változós kifejezések. Emlékeztetni kell arra, hogy az algebrai kifejezés értéke közvetlenül függ a változótól. A változókat görög vagy latin ábécé betűivel jelölhetjük. Ha megvannak egy algebrai kifejezés adott paraméterei, először le kell egyszerűsítenünk. Ezt követően szükséges a megadott változók behelyettesítése és aritmetikai műveletek elvégzése. Ennek eredményeként a megadott változókkal egy számot kapunk, amely az algebrai kifejezés értéke lesz. Vegyünk egy példát, ahol meg kell találni a 3(a+y)+2(3a+2y) kifejezés értékét, ahol a=4 és y=5. Egyszerűsítse ezt a kifejezést, és kap 3a+3y+6a+4y=9a+7y. Most be kell cserélnie a változók értékét és ki kell számolnia, a kapott eredmény a kifejezés értéke lesz. Így van 9a+7y, ahol a=4 és y=5 kapunk 36+35=71-et. Vegye figyelembe, hogy az algebrai kifejezéseknek nem mindig van értelme. Például a 15:(b-4) kifejezésnek értelme van a b =4 kivételével bármely b-re.

Most, hogy megtanultuk az egyes törtek összeadását és szorzását, többet is mérlegelhetünk összetett szerkezetek. Például mi van akkor, ha a törtek összeadása, kivonása és szorzása egy feladatban történik?

Először is az összes törtet helytelenné kell konvertálnia. Ezután egymás után végrehajtjuk a szükséges műveleteket - ugyanabban a sorrendben, mint a közönséges számoknál. Ugyanis:

1. Először a hatványozást hajtják végre - megszabadulni az összes kitevőt tartalmazó kifejezéstől;
2. Ezután - osztás és szorzás;
3. Az utolsó lépés az összeadás és kivonás.

Természetesen, ha a kifejezésben zárójelek vannak, a műveletek sorrendje megváltozik - először mindent figyelembe kell venni, ami a zárójelben van. És ne feledje a helytelen törteket: csak akkor kell kijelölnie a teljes részt, ha az összes többi művelet már befejeződött.

Fordítsuk le az első kifejezés összes törtjét nem megfelelőre, majd hajtsuk végre a következő műveleteket:

Most keressük meg a második kifejezés értékét. Itt törtek egész rész nem, de vannak zárójelek, ezért először az összeadást végezzük, és csak azután a felosztást. Vegye figyelembe, hogy 14 = 7 2 . Akkor:

Végül nézzük a harmadik példát. Itt vannak zárójelek és diploma - jobb külön számolni. Ha 9 = 3 3 , akkor a következőt kapjuk:

Ügyeljen az utolsó példára. A tört hatványra emeléséhez külön kell emelni a számlálót erre a hatványra, és külön a nevezőt.

Dönthetsz másként is. Ha visszaemlékezünk a fokozat meghatározására, a probléma a törtek szokásos szorzására redukálódik:

Többszintű törtek

Eddig csak a "tiszta" törteket vettük figyelembe, amikor a számláló és a nevező közönséges számok. Ez összhangban van a numerikus tört legelső leckében adott definíciójával.

De mi van akkor, ha egy összetettebb objektumot helyezünk a számlálóba vagy a nevezőbe? Például egy másik számtört? Az ilyen konstrukciók gyakran előfordulnak, különösen hosszú kifejezésekkel való munka során. Íme néhány példa:

Csak egy szabály van a többszintes frakciókkal való munkavégzéshez: azonnal meg kell szabadulnia tőlük. Az "extra" padlók eltávolítása meglehetősen egyszerű, ha emlékszel arra, hogy a törtsáv a szabványos osztási műveletet jelenti. Ezért bármely tört átírható a következőképpen:

Ezt a tényt felhasználva és az eljárást követve bármely többszintes törtet könnyedén le tudjuk redukálni egy normálra. Vessen egy pillantást a példákra:

Egy feladat. A többszintű törtek átalakítása gyakori törtekké:

Minden esetben átírjuk a főtörtet, az osztóvonalat osztásjelre cserélve. Ne feledje azt is, hogy bármely egész szám ábrázolható törtként 1-es nevezővel. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Kapunk:

Az utolsó példában a törteket csökkentettük a végső szorzás előtt.

A többszintes törtekkel való munka sajátosságai

A többszintes törteknél van egy finomság, amelyet mindig emlékezni kell, különben rossz választ kaphat, még akkor is, ha minden számítás helyes volt. Nézd meg:

1. A számlálóban külön szám van 7, a nevezőben pedig a tört 12/5;
2. A számláló a 7/12-es tört, a nevező pedig az egyes szám 5.

Tehát egy lemezre két teljesen különböző értelmezést kaptunk. Ha számolsz, a válaszok is eltérőek lesznek:

Annak érdekében, hogy a rekord mindig egyértelműen olvasható legyen, használjon egy egyszerű szabályt: a fő tört elválasztó vonalának hosszabbnak kell lennie, mint a beágyazott sor. Lehetőleg többször.

Ha követi ezt a szabályt, akkor a fenti törteket a következőképpen kell írni:

Igen, valószínűleg csúnya, és túl sok helyet foglal. De jól fogsz számolni. Végül néhány példa, ahol valóban előfordulnak többszintű törtek:

Egy feladat. Kifejezésértékek keresése:

Tehát dolgozzunk az első példával. Alakítsuk át az összes törtet helytelenné, majd hajtsuk végre az összeadás és osztás műveleteit:

Tegyük ugyanezt a második példával is. Alakítsa át az összes törtet helytelenné, és hajtsa végre a szükséges műveleteket. Hogy ne untassam az olvasót, kihagyok néhány kézenfekvő számítást. Nekünk van:

Tekintettel arra, hogy a főtörtek számlálója és nevezője összegeket tartalmaz, a többszintes törtek írásának szabálya automatikusan betartásra kerül. Szintén az utolsó példában szándékosan hagytuk meg a 46/1 számot tört alakban az osztás végrehajtása érdekében.

Azt is megjegyzem, hogy mindkét példában a törtsáv valójában a zárójeleket helyettesíti: először is megtaláltuk az összeget, és csak ezután - a hányadost.

Valaki azt fogja mondani, hogy a helytelen törtekre való áttérés a második példában egyértelműen felesleges volt. Talán ez a helyzet. De így biztosítjuk magunkat a hibák ellen, mert a következő alkalommal sokkal bonyolultabbnak bizonyulhat a példa. Válassza ki magának, mi a fontosabb: a gyorsaság vagy a megbízhatóság.

ÉN. Algebrai kifejezéseknek nevezzük azokat a kifejezéseket, amelyekben számok, aritmetikai műveletek jelei és zárójelek is használhatók a betűkkel együtt.

Példák algebrai kifejezésekre:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2-2ab;

Mivel az algebrai kifejezésben egy betűt lecserélhetünk különböző számokra, a betűt változónak nevezzük, magát a betűt pedig algebrai kifejezés- változós kifejezés.

II. Ha egy algebrai kifejezésben a betűket (változókat) helyettesítjük az értékükkel, és végrehajtjuk a megadott műveleteket, akkor a kapott számot az algebrai kifejezés értékének nevezzük.

Példák. Keresse meg egy kifejezés értékét:

1) a + 2b -c, ha a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| x = -8; y=-5; z = 6.

Megoldás.

1) a + 2b -c, ha a = -2; b = 10; c = -3,5. A változók helyett az értékeiket helyettesítjük. Kapunk:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| x = -8; y=-5; z = 6. A feltüntetett értékeket behelyettesítjük. Ne feledje, hogy a modul negatív szám egyenlő az ellenkező számmal és a modulussal pozitív szám egyenlő azzal a számmal. Kapunk:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Egy betű (változó) értékeit, amelyekre az algebrai kifejezésnek van értelme, a betű (változó) érvényes értékeinek nevezzük.

Példák. A változó mely értékeinél nincs értelme a kifejezésnek?

Megoldás. Tudjuk, hogy nem lehet nullával osztani, ezért ezeknek a kifejezéseknek nem lesz értelme annak a betűnek (változónak) az értékével, amely a tört nevezőjét nullára fordítja!

Az 1) példában ez az érték a = 0. Valójában, ha egy helyett 0-t cserélünk, akkor a 6-ot el kell osztani 0-val, de ezt nem lehet megtenni. Válasz: az 1) kifejezésnek nincs értelme, ha a = 0.

A 2) példában a nevező x - 4 = 0 x = 4-nél, ezért ez az érték x = 4 és nem vehető fel. Válasz: a 2) kifejezésnek nincs értelme x = 4 esetén.

A 3) példában a nevező x + 2 = 0 x = -2 esetén. Válasz: a 3) kifejezésnek nincs értelme x = -2 esetén.

A 4) példában a nevező 5 -|x| = 0 |x| esetén = 5. És mivel |5| = 5 és |-5| \u003d 5, akkor nem veheti fel az x \u003d 5 és x \u003d -5 értékeket. Válasz: a 4) kifejezésnek nincs értelme x = -5 és x = 5 esetén.
IV. Két kifejezést azonosnak nevezünk, ha a változók bármely megengedett értéke esetén a kifejezések megfelelő értékei egyenlőek.

Példa: 5 (a - b) és 5a - 5b azonosak, mivel az 5 (a - b) = 5a - 5b egyenlőség igaz a és b bármely értékére. Az 5 (a - b) = 5a - 5b egyenlőség egy azonosság.

Identitás egy egyenlőség, amely a benne szereplő változók összes megengedett értékére érvényes. Példák az Ön által már ismert azonosságokra, például az összeadás és szorzás tulajdonságai, az elosztási tulajdonság.

Egy kifejezés helyettesítését egy másikkal, azzal azonosan azonos transzformációnak nevezzük, vagy egyszerűen egy kifejezés transzformációjának. A változókkal rendelkező kifejezések azonos transzformációit a számokkal végzett műveletek tulajdonságai alapján hajtjuk végre.

Példák.

a) konvertálja a kifejezést azonos egyenlővé a szorzás elosztó tulajdonságával:

1) 10 (1,2x + 2,3 év); 2) 1,5 (a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Megoldás. Emlékezzünk vissza a szorzás eloszlási tulajdonságára (törvényére):

(a+b) c=a c+b c(a szorzás eloszlási törvénye az összeadásra vonatkozóan: ahhoz, hogy két szám összegét megszorozzuk egy harmadik számmal, minden tagot megszorozhatunk ezzel a számmal, és összeadhatjuk az eredményeket).
(a-b) c=a c-b c(a szorzás eloszlási törvénye a kivonás tekintetében: ahhoz, hogy két szám különbségét megszorozzuk egy harmadik számmal, ezzel a csökkentett és külön kivont számmal szorozhatunk, és az első eredményből kivonhatjuk a másodikat).

1) 10 (1,2x + 2,3 év) \u003d 10 1,2x + 10 2,3 év \u003d 12x + 23 év.

2) 1,5 (a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) alakítsa át a kifejezést azonos egyenlővé az összeadás kommutatív és asszociatív tulajdonságainak (törvényeinek) segítségével:

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s.

Megoldás. Alkalmazzuk az összeadás törvényeit (tulajdonságait):

a+b=b+a(elmozdulás: az összeg nem változik a feltételek átrendeződésétől).
(a+b)+c=a+(b+c)(asszociatív: ahhoz, hogy két tag összegéhez egy harmadik számot adjunk, hozzáadhatjuk a második és a harmadik összegét az első számhoz).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s = (5,4s -2,3s) + (-3 -2,5) = 3,1s -5,5.

ban ben) alakítsa át a kifejezést azonos egyenlővé a szorzás kommutatív és asszociatív tulajdonságainak (törvényeinek) segítségével:

7) 4 · x · (-2,5); 8) -3,5 · 2y · (-egy); 9) 3a · (-3) · 2s.

Megoldás. Alkalmazzuk a szorzás törvényeit (tulajdonságait):

a b=b a(elmozdulás: a tényezők permutációja nem változtatja meg a szorzatot).
(a b) c=a (b c)(kombinatív: ha két szám szorzatát meg szeretné szorozni egy harmadik számmal, az első számot megszorozhatja a második és a harmadik szorzatával).

7) 4 · x · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2y · (-1) = 7 év.

9) 3a · (-3) · 2s = -18as.

Ha egy algebrai kifejezést redukálható törtként adunk meg, akkor a törtredukciós szabály segítségével egyszerűsíthető, pl. cserélje le a vele megegyezőt egy egyszerűbb kifejezésre.

Példák. Egyszerűsítse a frakciócsökkentés használatával.

Megoldás. A tört csökkentése azt jelenti, hogy a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal (kifejezéssel) osztjuk el, amely nem nulla. 10. töredék) a következővel csökken 3b; tört 11) csökkenti aés tört 12) csökkenti 7n. Kapunk:

Az algebrai kifejezéseket képletek megfogalmazására használják.

A képlet egy egyenlőségként felírt algebrai kifejezés, amely két vagy több változó közötti kapcsolatot fejezi ki. Példa: az Ön által ismert útvonalképlet s=v t(s a megtett út, v a sebesség, t az idő). Ne feledje, milyen más képleteket ismer.

1/1 oldal 1